湘教版数学七年级上册3.5 认识二元一次方程组 同步分层练习
一、夯实基础
1．（2024七上·海曙期末）下列方程中，属于二元一次方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022七下·华安月考）下列各方程组中，属于二元一次方程组的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2025七下·龙泉期中）下列选项中，以为解的二元一次方程组是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2025八上·开福开学考）已知是方程的解，则（ ）
A．1 B． C．3 D．
5．（2025八上·杭州开学考）某款风味酸牛奶的营养成分中，碳水化合物含量是蛋白质的4倍，碳水化合物、蛋白质与脂肪的含量共37g．设蛋白质、脂肪的含量分别为（g），（g），可列出方程（ ）
A． B． C． D．
6．（2024七下·岳阳期中）请你写出一个以为解的一个二元一次方程组：
7．已知二元一次方程组的解是则+的值是 .
8．（2024七下·拱墅期中）已知两个二元一次方程的部分解如下表所示：则方程组的解是 ．
的解
x 44 45 46 47 …
y 56 55 54 53 …
的解
x 44 45 46 47 …
y 54 55 56 57 …
9．将下列左侧方程组的解和右侧相应的方程组用线连起来。
10．检验下列各组数是不是方程2x-3y=1的解。
(2) (3)
二、能力提升
11．（2025七下·越城期中）已知是方程的一个解，则的值为（ ）
A． B．1 C．2 D．
12．（2025七下·慈溪期中） 已知是二元一次方程 的解，则 4a - 6b - 2 的值是（ ）
A．1 B．4 C．6 D．8
13．（2025·雨花期末）《孙子算经》记载了这样一个问题“今有甲、乙二人，持钱各不知数．甲得乙中半（中半即为），可满四十八．乙得甲太半（太半即为），亦满四十八．问甲、乙二人持钱各几何？”设甲持钱x，乙持钱y，则根据题意可以列出方程组为（ ）
A． B．
C． D．
14．（2023七下·赫山期中）如图，设他们中有x个成人，y个儿童．根据图中的对话可得方程组（ ）
A． B．
C． D．
15． 二元一次方程组 的解是 .
16．（2025七下·北川期末）（m-3）x+2y|m-2|+6=0是关于x，y的二元一次方程，则m= ．
17．（2025七下·安州期末）已知方程是二元一次方程，则m+n= ．
18．（2025七下·杭州月考）关于，的方程组的解满足，则的值为 ．
19．（2025七下·温州期中）小温在一场篮球赛中投进了若干个3分球和若干个2分球，共得13分，则本次篮球赛中，小温的投球个数为 ．
20．小明和小丽两人同时到一家水果店买水果.小明买了1kg苹果和2kg梨，共花了26元；小丽买了2kg同样品种的苹果和1kg同样品种的梨，共花了28元.这种苹果和梨的价格各为多少
根据题意，小明列出方程组
而小丽列出的是
交流后，他们发现两个方程组不同，于是展开了争论，都说自己是正确的，而对方是错误的.他们列的方程组正确吗 你认为他们产生分歧的原因是什么
21．某物流公司现有31 t货物运往某地，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，使每辆车都装满货物恰好一次运完．已知每种型号车的载重量和租金如下表：
车型 A B
载重量（t/辆） 3 4
租金（元/辆） 1000 1200
（1）请你帮该物流公司设计租车方案．
（2）请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费．
22． 已知方程组 是二元一次方程组， 求 的值．
三、拓展创新
23． 星期天， 小明和同学们共 8 人去郊游， 途中， 小明用 20 元钱去买可乐和奶茶， 已知可乐 2 元一杯， 奶茶 3 元一杯， 20 元钱刚好用完． 求可乐和奶茶各有多少杯． 如果设可乐有 杯， 奶茶有 杯：
（1） 请列出方程， 并探究有哪几种购买方式．
（2）每人至少一杯饮料，有哪几种购买方式？
24．
（1） 找到几组适合方程x+y=0的x， y的值；
（2）找到几组适合方程x-y=2的x， y的值；
（3）找出一组x， y的值， 使它们同时适合方程x+y=0和x-y=2；
（4）根据上面的结论，请直接写出二元一次方程组的解.
25．（2024八上·市北区期末）关于x，y的二元一次方程均可以变形为的形式，其中a，b，c，均为常数且，，规定：方程的“关联系数”记为．
（1）二元一次方程的“关联系数”为______．
（2）已知关于x，y的二元一次方程的“关联系数”为，若，为该方程的一组解，且均为正整数，求m，n的值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】二元一次方程的概念
【解析】【解答】解：A、该方程中含有3个未知数，不属于二元一次方程，故A项不符合题意；
B、该方程含有未知数的项最高次数是2，不属于二元一次方程，故B项不符合题意．
C、该方程符合二元一次方程的定义，故C项符合题意．
D、该方程不是整式方程，不属于二元一次方程，故D项不符合题意．
故答案为：C．
【分析】根据二元一次方程的定义，含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程，即可求得．
2．【答案】A
【知识点】二元一次方程组的概念
【解析】【解答】解：A、符合定义；
B、含有三个未知数，不符合定义；
C、含有未知数的项的最高次数为2，故不符合定义；
D、含有分式方程，故不符合定义.
故答案为：A.
【分析】如果方程组中含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是一次，那么这样的方程组为二元一次方程组，据此判断.
3．【答案】C
【知识点】判断是否为二元一次方程的解
【解析】【解答】解：将代入各个方程组，
可知刚好满足条件.
故答案为：C.
【分析】在求解时，可以将代入方程，同时满足的就是答案.
4．【答案】B
【知识点】已知二元一次方程的解求参数
【解析】【解答】解：由题意可得：
故答案为：B.
【分析】把 代入方程，计算即可求解.
5．【答案】A
【知识点】列二元一次方程
【解析】【解答】解：设蛋白质、眉肪的含量分别为（g），（g），则碳水化合物含量为（g），
∵碳水化合物、蛋白质与脂肪的含量共37g，
∴可列方程为：，即：．
故答案为：A．
【分析】本题考查根据实际问题列二元一次方程，正确找出等量关系式是列出二元一次方程的关键．本题的等量关系式是：碳水化合物含量+蛋白质含量+脂肪的含量=37g.
6．【答案】（答案不唯一）
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：由题意得，满足题意得方程组可以为，
故答案为：（答案不唯一）．
【分析】
由二元一次方程组的解的概念，只需要写出两个解为的二元一次方程即可．
7．【答案】1
【知识点】已知二元一次方程组的解求参数
【解析】【解答】解：将 代入可得
∴ m=2，n=-1，
∴ m+n=1.
故答案为：1.
【分析】将二元一次方程组的解代入可求得m，n，再求和即可求得.
8．【答案】
【知识点】二元一次方程组的解
【解析】【解答】解：观察表格可知：
方程和方程的公共解为：，
∴方程组的解是，
故答案为：．
【分析】根据二元一次方程组的解的意义“能使方程组中每一个方程两边的值都相等的未知数的值就是这个方程组的解”并结合表格中的信息即可求解．
9．【答案】解：
【知识点】判断是否为二元一次方程的解
【解析】【解答】解：
把代入到方程组中左右两边不相等，代入到方程组中左右两边相等，代入到方程组中左右两边不相等，所以 是方程组的解；
把代入到方程组中左右两边不相等，代入到方程组中左右两边不相等，代入到方程组中左右两边相等，所以 是方程组的解；
把代入到方程组中左右两边相等，代入到方程组中左右两边不相等，代入到方程组中左右两边不相等，所以 是方程组的解；
【分析】根据方程组解的概念把每组未知数的值依次每个方程组中可确定各个方程组的解，再用直线连接即可.
10．【答案】解：（1）代入到方程2x-3y=1，等号左边为，右边为1，左边=右边，故是原方程的解；
（2）代入到方程2x-3y=1，等号左边为，右边为1，左边=右边，故是原方程的解；
（3）代入到方程2x-3y=1，等号左边为，右边为1，左边≠右边，故不是原方程的解.
【知识点】判断是否为二元一次方程的解
【解析】【分析】将不同的x、y值代入方程，检验左边计算是否等于右边，若相等则为原方程的解，若不相等则不是原方程的解.
11．【答案】A
【知识点】已知二元一次方程的解求参数
【解析】【解答】解：将 代入方程，得到：
2×3 ×( 2a) = 5
化简得： 6+a=5
移项得：a=5 6
a= 1，
故答案为： A.
【分析】 通过代入法将方程组的解代入原方程，建立关于参数a的一元一次方程，解方程求出a的值。
12．【答案】D
【知识点】求代数式的值-整体代入求值；已知二元一次方程的解求参数
【解析】【解答】解：代入到，有.
∴
故答案为：D.
【分析】通过代入解得到方程关系式，再通过系数的倍数关系简化目标代数式.
13．【答案】B
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解： 设甲持钱x，乙持钱y，则根据题意可以列出方程组为：
.
故答案为：B.
【分析】根据 甲得乙中半（中半即为），可满四十八．乙得甲太半（太半即为），亦满四十八． 可以得到两个方程，组成方程组即可得到答案.
14．【答案】C
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】
设他们中有x个成人，y个儿童，根据题意得：
，
故选C．
【分析】
设他们中有x个成人，y个儿童，再根据等量关系“共8人，共花费195元”列方程组即可．
15．【答案】(3)
【知识点】判断是否为二元一次方程组的解
【解析】【解答】解：对于选项（1）：
将x=4，y=3代入第二个方程y=2x：左边=y=3，右边=2x=2×4=8，因为3≠8，所以不满足第二个方程，选项(1)错误；
对于选项(2)：
将x=3，y=6代入第二个方程y=2x：左边=y=6，右边=2x=2×3=6，左边=右边，满足第二个方程；再代入第一个方程x+2y =10：左边=x+2y=3+2×6=3+12=15，右边=10，因为15 ≠10，所以不满足第一个方程，选项(2)错误；
对于选项(3)：
将x=2，y=4代入第二个方程y=2x：左边=y=4，右边=2=2×2=4，左边=右边，满足第二个方程；
再代入第一个方程x+2y=10：左边=x+2y=2+2×4=2+8=10，右边=10，左边=右边，满足第一个方程，所以选项(3)正确；
对于选项(4)：
将x=4，y=2代入第二个方程y=2x：左边=y=2，右边=2x=2×4=8，因为2≠8，所以不满足第二个方程，选项(4)错误；
故答案为：(3).
【分析】通过代入检验法，将各选项中的x和值分别代入元一次方程组的两个方程，判断是否同时满足两个方程，从而确定正确解.
16．【答案】1
【知识点】二元一次方程的概念
【解析】【解答】解：∵（m-3）x+2y|m-2|+6=0是关于x，y的二元一次方程，
∴|m 2|＝1且m 3≠0，
解得m＝1，
故答案为：1.
【分析】根据二元一次方程满足的条件，即只含有2个未知数，含未知数的项的次数是1的整式方程，即可求得m的值．
17．【答案】5或-5或1或-1
【知识点】二元一次方程的概念
【解析】【解答】∵ 方程是二元一次方程，
∴
整理①得m=±2，
整理②得n=±3，
∴m+n=5或-5或1或-1.
故答案为：5或-5或1或-1.
【分析】
根据二元一次方程的特点，未知数的次数都为1，可判断出，整理①和②分别计算出m和n的值，即可计算出m+n的值.
18．【答案】13
【知识点】已知二元一次方程的解求参数
【解析】【解答】解：，
①-②得，x-y=a-1，
∵ x-y=12，
∴ a-1=12，即a=13.
故答案为：13.
【分析】利用两个二元一次方程组求差，从而可得a的值.
19．【答案】5或6
【知识点】二元一次方程的应用
【解析】【解答】解： 设小温投进3分球的数量为x个，2分球的数量为y个，
则总得分为：3 x + 2 y = 13，
则总投球个数为：（x + y）个，
则有以下几种情况：
当x=0时， 2 y = 13，解得：y=6.5 （非整数，舍去） ；
当x=1时，2 y = 10，解得：y=5，
则x + y=6；
当x=2时，2 y = 7，解得：y=3.5 （非整数，舍去） ；
当x=3时，2 y = 4，解得：y=2 ，
则x + y=5；
当x=4时，2 y = 1，解得：y=0.5 （非整数，舍去） ；
当 x=5时3x=15>13，超出总分；
综上所述， 小温的投球个数为5或6；
故答案为：5或6.
【分析】设小温投进3分球的数量为x个，2分球的数量为y个，根据总得分建立二元一次方程，再分情况找出满足条件的非负整数解，并计算x+y的值即可得出答案.
20．【答案】解：两个人的方程组都正确；
他们产生分歧的原因是：两个人设的未知数的意义不同，小明设的x，y分别是苹果和梨的价格；而小丽设的x，y分别是梨和苹果的价格.
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【分析】设苹果的价格为x元/千克，梨的价格为y元/千克，根据“小明买了1kg苹果和2kg梨，共花了26元；小丽买了2kg苹果和1kg梨，共花了28元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解.
21．【答案】（1）解：根据题意，得：
∵ a， b均为正整数，
∴或或
∴有3种租车
方案：①租A型车9辆，B型车1辆；
②租A型车5辆，B型车4辆；
③租A型车1辆，B型车7辆；
（2）解：方案①需租金：9×1000+1200×1=10 200（元）；
方案②需租金：5×1000+4×1200=9800（元）；
方案③需租金：1×1000+7×1200=9400（元）；
∵10200>9 800>9400，
∴最省钱的方案是租A型车1辆，B型车7辆，最少租车费为9400元.
【知识点】二元一次方程的应用
【解析】【分析】（1）根据货车运输量=每辆车的载重量×车辆数及a辆A型车的载重量+b辆B型车的载重量=31，列出二元一次方程，根据实际情况a和b为正整数，即可求得；
（2）分别计算出每个方案的租车费，再比较大小，即可求得.
22．【答案】解：∵ 方程组 是二元一次方程组，
∴，且
解得m=5，m=-1且，
∴ m=5
【知识点】二元一次方程组的概念
【解析】【分析】先根据二元一次方程组的定义列出等式和不等式，再进行求解即可.
23．【答案】（1）解：列方程为 。
．
.
当 时， ； 当 时， ；
当 时， ； 当 时， ；
即有 4 种则买方式：
①购买 10 林可乐和 0 杯奶茶；
②购买 7 杯可乐和 2 杯奶茶；
③购买 4 杯可乐和 4 杯奶茶；
④则买 1 杯可乐和 6 杯奶茶．
（2）解：有 2 种购买方式：
①购买 7 杯可乐和 2 杯奶茶；
②购买 4 杯可乐和 4 杯奶茶．
【知识点】二元一次方程的应用
【解析】【分析】（1）按题干等量关系“可乐总价钱+奶茶总价钱=20元”，结合所设x、y，列出方程. 再根据x、y必然非负整数以及y必然能整除2（由方程易知）列出所有的解、购买方式；
（2）每人至少一杯饮料，可得到关系式为：可乐杯数+奶茶杯数≥8，然后从（1）所得的结果中选择符合该关系式的购买方式即可.
24．【答案】（1）解：令x=1，则y=-1；令x = 2，则y=-2.答案不唯一；
（2）解：令x=3，则y=3-2=1；令x=4，则y=4-2-2.答案不唯一；
（3）解：当x=1，y=-1时同时满足方程x+y=0和x-y=2；
（4）解：能写出，即为：.
【知识点】二元一次方程的解；二元一次方程组的解
【解析】【分析】(1)根据方程x+y=0，通过给x赋值，即可求出对应的y；
(2)根据方程x-y=2，通过给x赋值，即可求出对应的y；
(3)找出同时适合方程x+y=0，x-y=2的值即可；
(4)根据(3)中已经找到同时满足方程组中两个方程得解即可得出答案.
25．【答案】（1）
（2）解：∵关于x，y的二元一次方程的“关联系数”为，
∴二元一次方程为．
∵为该方程的一组解，
∴，即．
∵m，n均为正整数，
∴或
【知识点】二元一次方程的概念；二元一次方程的解
【解析】【解答】（1）解：∵规定：方程的“关联系数”记为，
∴二元一次方程的“关联系数”为；
故答案为：；
【分析】（1）根据关联系数的定义进行解答即可；
（2）根据关联系数的定义得出该二元一次方程为，根据二元一次方程解的定义“使二元一次方程左边等于右边的一对未知数的值就是二元一次方程的解”，据此把代入，得出，再求出该二元一次方程的正整数解即可.
（1）解：∵规定：方程的“关联系数”记为，
∴二元一次方程的“关联系数”为；
故答案为：；
（2）解：∵关于x，y的二元一次方程的“关联系数”为，
∴二元一次方程为．
∵为该方程的一组解，
∴，即．
∵m，n均为正整数，
∴或
1 / 1湘教版数学七年级上册3.5 认识二元一次方程组 同步分层练习
一、夯实基础
1．（2024七上·海曙期末）下列方程中，属于二元一次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二元一次方程的概念
【解析】【解答】解：A、该方程中含有3个未知数，不属于二元一次方程，故A项不符合题意；
B、该方程含有未知数的项最高次数是2，不属于二元一次方程，故B项不符合题意．
C、该方程符合二元一次方程的定义，故C项符合题意．
D、该方程不是整式方程，不属于二元一次方程，故D项不符合题意．
故答案为：C．
【分析】根据二元一次方程的定义，含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程，即可求得．
2．（2022七下·华安月考）下列各方程组中，属于二元一次方程组的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】二元一次方程组的概念
【解析】【解答】解：A、符合定义；
B、含有三个未知数，不符合定义；
C、含有未知数的项的最高次数为2，故不符合定义；
D、含有分式方程，故不符合定义.
故答案为：A.
【分析】如果方程组中含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是一次，那么这样的方程组为二元一次方程组，据此判断.
3．（2025七下·龙泉期中）下列选项中，以为解的二元一次方程组是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】判断是否为二元一次方程的解
【解析】【解答】解：将代入各个方程组，
可知刚好满足条件.
故答案为：C.
【分析】在求解时，可以将代入方程，同时满足的就是答案.
4．（2025八上·开福开学考）已知是方程的解，则（ ）
A．1 B． C．3 D．
【答案】B
【知识点】已知二元一次方程的解求参数
【解析】【解答】解：由题意可得：
故答案为：B.
【分析】把 代入方程，计算即可求解.
5．（2025八上·杭州开学考）某款风味酸牛奶的营养成分中，碳水化合物含量是蛋白质的4倍，碳水化合物、蛋白质与脂肪的含量共37g．设蛋白质、脂肪的含量分别为（g），（g），可列出方程（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】列二元一次方程
【解析】【解答】解：设蛋白质、眉肪的含量分别为（g），（g），则碳水化合物含量为（g），
∵碳水化合物、蛋白质与脂肪的含量共37g，
∴可列方程为：，即：．
故答案为：A．
【分析】本题考查根据实际问题列二元一次方程，正确找出等量关系式是列出二元一次方程的关键．本题的等量关系式是：碳水化合物含量+蛋白质含量+脂肪的含量=37g.
6．（2024七下·岳阳期中）请你写出一个以为解的一个二元一次方程组：
【答案】（答案不唯一）
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：由题意得，满足题意得方程组可以为，
故答案为：（答案不唯一）．
【分析】
由二元一次方程组的解的概念，只需要写出两个解为的二元一次方程即可．
7．已知二元一次方程组的解是则+的值是 .
【答案】1
【知识点】已知二元一次方程组的解求参数
【解析】【解答】解：将 代入可得
∴ m=2，n=-1，
∴ m+n=1.
故答案为：1.
【分析】将二元一次方程组的解代入可求得m，n，再求和即可求得.
8．（2024七下·拱墅期中）已知两个二元一次方程的部分解如下表所示：则方程组的解是 ．
的解
x 44 45 46 47 …
y 56 55 54 53 …
的解
x 44 45 46 47 …
y 54 55 56 57 …
【答案】
【知识点】二元一次方程组的解
【解析】【解答】解：观察表格可知：
方程和方程的公共解为：，
∴方程组的解是，
故答案为：．
【分析】根据二元一次方程组的解的意义“能使方程组中每一个方程两边的值都相等的未知数的值就是这个方程组的解”并结合表格中的信息即可求解．
9．将下列左侧方程组的解和右侧相应的方程组用线连起来。
【答案】解：
【知识点】判断是否为二元一次方程的解
【解析】【解答】解：
把代入到方程组中左右两边不相等，代入到方程组中左右两边相等，代入到方程组中左右两边不相等，所以 是方程组的解；
把代入到方程组中左右两边不相等，代入到方程组中左右两边不相等，代入到方程组中左右两边相等，所以 是方程组的解；
把代入到方程组中左右两边相等，代入到方程组中左右两边不相等，代入到方程组中左右两边不相等，所以 是方程组的解；
【分析】根据方程组解的概念把每组未知数的值依次每个方程组中可确定各个方程组的解，再用直线连接即可.
10．检验下列各组数是不是方程2x-3y=1的解。
(2) (3)
【答案】解：（1）代入到方程2x-3y=1，等号左边为，右边为1，左边=右边，故是原方程的解；
（2）代入到方程2x-3y=1，等号左边为，右边为1，左边=右边，故是原方程的解；
（3）代入到方程2x-3y=1，等号左边为，右边为1，左边≠右边，故不是原方程的解.
【知识点】判断是否为二元一次方程的解
【解析】【分析】将不同的x、y值代入方程，检验左边计算是否等于右边，若相等则为原方程的解，若不相等则不是原方程的解.
二、能力提升
11．（2025七下·越城期中）已知是方程的一个解，则的值为（ ）
A． B．1 C．2 D．
【答案】A
【知识点】已知二元一次方程的解求参数
【解析】【解答】解：将 代入方程，得到：
2×3 ×( 2a) = 5
化简得： 6+a=5
移项得：a=5 6
a= 1，
故答案为： A.
【分析】 通过代入法将方程组的解代入原方程，建立关于参数a的一元一次方程，解方程求出a的值。
12．（2025七下·慈溪期中） 已知是二元一次方程 的解，则 4a - 6b - 2 的值是（ ）
A．1 B．4 C．6 D．8
【答案】D
【知识点】求代数式的值-整体代入求值；已知二元一次方程的解求参数
【解析】【解答】解：代入到，有.
∴
故答案为：D.
【分析】通过代入解得到方程关系式，再通过系数的倍数关系简化目标代数式.
13．（2025·雨花期末）《孙子算经》记载了这样一个问题“今有甲、乙二人，持钱各不知数．甲得乙中半（中半即为），可满四十八．乙得甲太半（太半即为），亦满四十八．问甲、乙二人持钱各几何？”设甲持钱x，乙持钱y，则根据题意可以列出方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解： 设甲持钱x，乙持钱y，则根据题意可以列出方程组为：
.
故答案为：B.
【分析】根据 甲得乙中半（中半即为），可满四十八．乙得甲太半（太半即为），亦满四十八． 可以得到两个方程，组成方程组即可得到答案.
14．（2023七下·赫山期中）如图，设他们中有x个成人，y个儿童．根据图中的对话可得方程组（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】
设他们中有x个成人，y个儿童，根据题意得：
，
故选C．
【分析】
设他们中有x个成人，y个儿童，再根据等量关系“共8人，共花费195元”列方程组即可．
15． 二元一次方程组 的解是 .
【答案】(3)
【知识点】判断是否为二元一次方程组的解
【解析】【解答】解：对于选项（1）：
将x=4，y=3代入第二个方程y=2x：左边=y=3，右边=2x=2×4=8，因为3≠8，所以不满足第二个方程，选项(1)错误；
对于选项(2)：
将x=3，y=6代入第二个方程y=2x：左边=y=6，右边=2x=2×3=6，左边=右边，满足第二个方程；再代入第一个方程x+2y =10：左边=x+2y=3+2×6=3+12=15，右边=10，因为15 ≠10，所以不满足第一个方程，选项(2)错误；
对于选项(3)：
将x=2，y=4代入第二个方程y=2x：左边=y=4，右边=2=2×2=4，左边=右边，满足第二个方程；
再代入第一个方程x+2y=10：左边=x+2y=2+2×4=2+8=10，右边=10，左边=右边，满足第一个方程，所以选项(3)正确；
对于选项(4)：
将x=4，y=2代入第二个方程y=2x：左边=y=2，右边=2x=2×4=8，因为2≠8，所以不满足第二个方程，选项(4)错误；
故答案为：(3).
【分析】通过代入检验法，将各选项中的x和值分别代入元一次方程组的两个方程，判断是否同时满足两个方程，从而确定正确解.
16．（2025七下·北川期末）（m-3）x+2y|m-2|+6=0是关于x，y的二元一次方程，则m= ．
【答案】1
【知识点】二元一次方程的概念
【解析】【解答】解：∵（m-3）x+2y|m-2|+6=0是关于x，y的二元一次方程，
∴|m 2|＝1且m 3≠0，
解得m＝1，
故答案为：1.
【分析】根据二元一次方程满足的条件，即只含有2个未知数，含未知数的项的次数是1的整式方程，即可求得m的值．
17．（2025七下·安州期末）已知方程是二元一次方程，则m+n= ．
【答案】5或-5或1或-1
【知识点】二元一次方程的概念
【解析】【解答】∵ 方程是二元一次方程，
∴
整理①得m=±2，
整理②得n=±3，
∴m+n=5或-5或1或-1.
故答案为：5或-5或1或-1.
【分析】
根据二元一次方程的特点，未知数的次数都为1，可判断出，整理①和②分别计算出m和n的值，即可计算出m+n的值.
18．（2025七下·杭州月考）关于，的方程组的解满足，则的值为 ．
【答案】13
【知识点】已知二元一次方程的解求参数
【解析】【解答】解：，
①-②得，x-y=a-1，
∵ x-y=12，
∴ a-1=12，即a=13.
故答案为：13.
【分析】利用两个二元一次方程组求差，从而可得a的值.
19．（2025七下·温州期中）小温在一场篮球赛中投进了若干个3分球和若干个2分球，共得13分，则本次篮球赛中，小温的投球个数为 ．
【答案】5或6
【知识点】二元一次方程的应用
【解析】【解答】解： 设小温投进3分球的数量为x个，2分球的数量为y个，
则总得分为：3 x + 2 y = 13，
则总投球个数为：（x + y）个，
则有以下几种情况：
当x=0时， 2 y = 13，解得：y=6.5 （非整数，舍去） ；
当x=1时，2 y = 10，解得：y=5，
则x + y=6；
当x=2时，2 y = 7，解得：y=3.5 （非整数，舍去） ；
当x=3时，2 y = 4，解得：y=2 ，
则x + y=5；
当x=4时，2 y = 1，解得：y=0.5 （非整数，舍去） ；
当 x=5时3x=15>13，超出总分；
综上所述， 小温的投球个数为5或6；
故答案为：5或6.
【分析】设小温投进3分球的数量为x个，2分球的数量为y个，根据总得分建立二元一次方程，再分情况找出满足条件的非负整数解，并计算x+y的值即可得出答案.
20．小明和小丽两人同时到一家水果店买水果.小明买了1kg苹果和2kg梨，共花了26元；小丽买了2kg同样品种的苹果和1kg同样品种的梨，共花了28元.这种苹果和梨的价格各为多少
根据题意，小明列出方程组
而小丽列出的是
交流后，他们发现两个方程组不同，于是展开了争论，都说自己是正确的，而对方是错误的.他们列的方程组正确吗 你认为他们产生分歧的原因是什么
【答案】解：两个人的方程组都正确；
他们产生分歧的原因是：两个人设的未知数的意义不同，小明设的x，y分别是苹果和梨的价格；而小丽设的x，y分别是梨和苹果的价格.
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【分析】设苹果的价格为x元/千克，梨的价格为y元/千克，根据“小明买了1kg苹果和2kg梨，共花了26元；小丽买了2kg苹果和1kg梨，共花了28元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解.
21．某物流公司现有31 t货物运往某地，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，使每辆车都装满货物恰好一次运完．已知每种型号车的载重量和租金如下表：
车型 A B
载重量（t/辆） 3 4
租金（元/辆） 1000 1200
（1）请你帮该物流公司设计租车方案．
（2）请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费．
【答案】（1）解：根据题意，得：
∵ a， b均为正整数，
∴或或
∴有3种租车
方案：①租A型车9辆，B型车1辆；
②租A型车5辆，B型车4辆；
③租A型车1辆，B型车7辆；
（2）解：方案①需租金：9×1000+1200×1=10 200（元）；
方案②需租金：5×1000+4×1200=9800（元）；
方案③需租金：1×1000+7×1200=9400（元）；
∵10200>9 800>9400，
∴最省钱的方案是租A型车1辆，B型车7辆，最少租车费为9400元.
【知识点】二元一次方程的应用
【解析】【分析】（1）根据货车运输量=每辆车的载重量×车辆数及a辆A型车的载重量+b辆B型车的载重量=31，列出二元一次方程，根据实际情况a和b为正整数，即可求得；
（2）分别计算出每个方案的租车费，再比较大小，即可求得.
22． 已知方程组 是二元一次方程组， 求 的值．
【答案】解：∵ 方程组 是二元一次方程组，
∴，且
解得m=5，m=-1且，
∴ m=5
【知识点】二元一次方程组的概念
【解析】【分析】先根据二元一次方程组的定义列出等式和不等式，再进行求解即可.
三、拓展创新
23． 星期天， 小明和同学们共 8 人去郊游， 途中， 小明用 20 元钱去买可乐和奶茶， 已知可乐 2 元一杯， 奶茶 3 元一杯， 20 元钱刚好用完． 求可乐和奶茶各有多少杯． 如果设可乐有 杯， 奶茶有 杯：
（1） 请列出方程， 并探究有哪几种购买方式．
（2）每人至少一杯饮料，有哪几种购买方式？
【答案】（1）解：列方程为 。
．
.
当 时， ； 当 时， ；
当 时， ； 当 时， ；
即有 4 种则买方式：
①购买 10 林可乐和 0 杯奶茶；
②购买 7 杯可乐和 2 杯奶茶；
③购买 4 杯可乐和 4 杯奶茶；
④则买 1 杯可乐和 6 杯奶茶．
（2）解：有 2 种购买方式：
①购买 7 杯可乐和 2 杯奶茶；
②购买 4 杯可乐和 4 杯奶茶．
【知识点】二元一次方程的应用
【解析】【分析】（1）按题干等量关系“可乐总价钱+奶茶总价钱=20元”，结合所设x、y，列出方程. 再根据x、y必然非负整数以及y必然能整除2（由方程易知）列出所有的解、购买方式；
（2）每人至少一杯饮料，可得到关系式为：可乐杯数+奶茶杯数≥8，然后从（1）所得的结果中选择符合该关系式的购买方式即可.
24．
（1） 找到几组适合方程x+y=0的x， y的值；
（2）找到几组适合方程x-y=2的x， y的值；
（3）找出一组x， y的值， 使它们同时适合方程x+y=0和x-y=2；
（4）根据上面的结论，请直接写出二元一次方程组的解.
【答案】（1）解：令x=1，则y=-1；令x = 2，则y=-2.答案不唯一；
（2）解：令x=3，则y=3-2=1；令x=4，则y=4-2-2.答案不唯一；
（3）解：当x=1，y=-1时同时满足方程x+y=0和x-y=2；
（4）解：能写出，即为：.
【知识点】二元一次方程的解；二元一次方程组的解
【解析】【分析】(1)根据方程x+y=0，通过给x赋值，即可求出对应的y；
(2)根据方程x-y=2，通过给x赋值，即可求出对应的y；
(3)找出同时适合方程x+y=0，x-y=2的值即可；
(4)根据(3)中已经找到同时满足方程组中两个方程得解即可得出答案.
25．（2024八上·市北区期末）关于x，y的二元一次方程均可以变形为的形式，其中a，b，c，均为常数且，，规定：方程的“关联系数”记为．
（1）二元一次方程的“关联系数”为______．
（2）已知关于x，y的二元一次方程的“关联系数”为，若，为该方程的一组解，且均为正整数，求m，n的值．
【答案】（1）
（2）解：∵关于x，y的二元一次方程的“关联系数”为，
∴二元一次方程为．
∵为该方程的一组解，
∴，即．
∵m，n均为正整数，
∴或
【知识点】二元一次方程的概念；二元一次方程的解
【解析】【解答】（1）解：∵规定：方程的“关联系数”记为，
∴二元一次方程的“关联系数”为；
故答案为：；
【分析】（1）根据关联系数的定义进行解答即可；
（2）根据关联系数的定义得出该二元一次方程为，根据二元一次方程解的定义“使二元一次方程左边等于右边的一对未知数的值就是二元一次方程的解”，据此把代入，得出，再求出该二元一次方程的正整数解即可.
（1）解：∵规定：方程的“关联系数”记为，
∴二元一次方程的“关联系数”为；
故答案为：；
（2）解：∵关于x，y的二元一次方程的“关联系数”为，
∴二元一次方程为．
∵为该方程的一组解，
∴，即．
∵m，n均为正整数，
∴或
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