湘教版数学七年级下册3.2不等式的基本性质 同步分层练习
一、夯实基础
1．（2024七下·望城期末）由，得，则x的值可能是（ ）
A．1 B． C．0 D．
【答案】D
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：∵由，得，
∴
故答案为：D。
【分析】根据不等式的基本性质：不等式两边同时乘以或除以同一个小于0的数，不等号方向改变，据此即可求解
2．（2025七下·浏阳期末） 若a＜b，那么根据不等式的性质可以得到的是（ ）
A．a+1＞b+1 B．a2＜ab C．﹣a＜﹣b D．
【答案】D
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A．若a＜b，则a＋1＜b＋1，故选项A不符合题意；
B．当a，b均为正数时，若a＜b，则a2＜ab符合题意；当a为负数，b为正数时，如a＝ 1，b＝1，则a2＞ab，不符合题意，故选项B不符合题意；
C．若a＜b，则 a＞ b，故选项C不符合题意；
D．若a＜b，则，故选项D符合题意．
故答案是：D．
【分析】根据不等式的性质对各选项进行判断即可．
3．（2024七下·宣城期中）若，则关于x的不等式的解集为 ．
【答案】
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：，
，
的解集为：，
故答案为：．
【分析】由于2-a<0，不等式两边同时除以（2-a)，不等号的方向改变，据此求解．
4．（2024七下·上思期中） 已知的小数部分是的小数部分是，则 .
【答案】1
【知识点】无理数的估值；不等式的性质；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：∵
∴
∴
∵的小数部分是，
∴
∵
∴
∴
∵的小数部分是，
∴
∴
故答案为：1.
【分析】根据无理数大小的估值得到：根据不等式的性质得进而结合题意求出a和b的值，最后将其代入计算即可.
5．利用不等式的性质解下列不等式：
（1）x-7>26；
（2）3x<2x+1；
（3）
（4）- 4x>3.
【答案】（1）解：根据不等式的性质1，不等式两边加7，不等号的方向不变，所以
x-7+7>26+7，
x>33.
（2）解：根据不等式的性质1，不等式两边减2x，不等号的方向不变，所以
3x-2x<2x+1-2x，
x<1.
（3）解：根据不等式的性质2，不等式两边乘 ，不等号的方向不变，所以
x>75.
（4）解：根据不等式的性质3，不等式两边除以-4，不等号的方向改变，所以
【知识点】利用不等式的性质解简单不等式
【解析】【分析】(1)根据不等式的性质1，不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号方向不变即可求出该不等式的解；
(2)根据不等式的性质1，不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号方向不变即可求出该不等式的解；
(3)根据不等式的性质2，不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号方向不变即可求出该不等式的解；
(4)根据不等式的性质3，不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号方向改变即可求出该不等式的解.
6．（2024七下·江门月考）已知+1的整数部分为a，﹣1的小数部分为b，求2a+3b的值．
【答案】解：∵2＜3
∴3+1＜4，1﹣1＜2，
∴a=3，b=﹣2，
∴2a+3b=2×3+3×（﹣2）=3．
【知识点】无理数的估值；不等式的性质；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】根据估算无理数的大小的方法及不等式的性质可得1﹣1＜2，从而求出a、b得值，进而将a、b的值代入待求式子，按有理数的加减乘除混合运算的运算顺序计算可得答案.
二、能力提升
7．（2024七下·江安期中）今年年初，娃哈哈爆火，抢购娃哈哈旗下的产品成为了年轻人的一种新时尚．如图所示的是娃哈哈旗下的八宝粥，其每罐的外包装上标明：净含量：，表明了每罐八宝粥的净含量x（单位：g）的范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】不等式的性质的实际应用
【解析】【解答】解：净含量的范围是，即．
故答案为：A.
【分析】根据不等式的性质写出即可.
8．（2023七下·平城期末）已知实数，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A．两边都加1，不等号的方向不变，故A正确，不符合题意；
B．两边都减3，不等号的方向不变，故B正确，不符合题意；
C．两边都乘以，不等号的方向改变，故C错误，符合题意；
D．两边都乘以5，不等号的方向不变，故D正确，不符合题意．
故答案为：C。
【分析】根据不等式的性质：不等式两边同时加上或减去同一个数或同一个整式，不等号方向不变；不等式两边同时乘以或除以同一个大于零的数或整式，不等号方向不变；不等式两边同时乘以或除以同一个小于零的数或整式，不等号方向改变，然后对各个选项进行逐一分析即可
9．（2024七下·路桥期末） 在实数范围内规定新运算 " " . 已知不等式 的解集是 ， 则 的值是 .
【答案】-4
【知识点】利用不等式的性质解简单不等式
【解析】【解答】根据题意可得：可变形为：2x-m≥2，
解得：x≥，
∵ 不等式 的解集是 ，
∴，
解得：m=-4，
故答案为：-4.
【分析】先根据题干的定义列出不等式并求出其解集x≥，再结合“不等式 的解集是 ”可得方程，最后求出m的值即可.
10．（2023七下·东莞期中）规定用符号表示一个数的整数部分，例如，，按此规定 ．
【答案】2
【知识点】无理数的估值；不等式的性质
【解析】【解答】解：∵9＜13＜16，
∴，
∴，
∴，
即，
∴.
故答案为：2.
【分析】根据被开方数越大其算术平方根就越大可得，再根据不等式的性质得，从而结合题意可得答案.
11．（2024七下·宁乡市期末）我们定义表示不小于实数的最小整数，例如：．现给出下列结论：
①；②若，则；③若，则；④若，，则．
以上选项中，所有正确的序号是 ．
【答案】①③④
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：根据定义表示不少于实数的最小整数，可得①结论正确；
若，根据的意义，得，结论②错误；
若，则，结论③正确；
当，时，有，，，或6，结论④是正确．
综上所述：①③④正确．
故答案为：①③④．
【分析】根据新定义逐项进行判断即可求出答案.
12．（2024七下·龙门期中）估算能力是一种重要的数学运算能力，特别是对算术平方根的估算．
信息一：因为无理数是无限不循环小数，因此无理数的小数部分我们不可能全部地写出来比如：、等而常用的“…”或者“”的表示方法都不够百分百准确．
信息二：2.5的整数部分是2，小数部分是0.5，可以看成2.5-2得来的；
信息三：任何一个无理数，都可以夹在两个相邻的整数之间，如，是因为，根据上述信息，回答下列问题：
（1）的整数部分 ，小数部分是 ．
（2）也是夹在相邻两个整数之间的，可以表示为：，求的值；
（3）已知，其中x是整数，，求的值．
【答案】（1）3；
（2）解：∵1＜＜2
∴11<<12
∴a=11，b=12
∴a+b=11+12=23
（3）解：依题意得x=4， y=-4=-1-
【知识点】实数的大小比较；无理数的估值；不等式的性质
【解析】【解答】解：（1）∵3＜＜4，
∴的整数部分为3，小数部分为-3.
故答案为：第一空：3；第二空：-3.
【分析】（1）根据材料中的信息可求解；
（2）根据材料中的信息和不等式的性质可求解；
（3）根据材料中的信息和不等式的性质可得3+的整数部分和小数部分，于是可得x、y的值，然后把x、y的值代入所求代数式计算即可求解.
三、拓展创新
13．（2024七下·渝中期末）对于任意实数x，其整数部分记为，小数部分记为，即：，其中表示不超过x的最大整数．如，；，．下列结论正确的个数是（ ）
①；
②若（n是整数），则；
③若，，，则所有可能的值为6，7，8；
④方程的解为或．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：①∵[-0.5]=-1，[-0.5]+{-0.5}=-0.5，
，故①错误；
②，
，
∴或，故②错误；
③，，
则所有可能的值为6，6，8，故③正确；
④∵x=[x]+{x}，∴{x}=x-[x]，
即，
，
，
，故④错误；
综上所述；只有一个正确，
故答案为：A
【分析】根据新定义，对上述①②③④进行分析判断即可；
14． 甲、乙两名同学各提一个水桶在同一个水龙头前打水. 如果甲打满一桶水需a min，乙打满一桶水需b min，那么谁先打水，能使两人都打满一桶水所用时间和（包含等待时间）较少
【答案】对于此类问题，我们需要计算在两种不同顺序下的总用时：
1. 当甲先打水时，甲用时a分钟，之后乙等待a分钟后开始打水，用时b分钟，总用时为2a+b分钟；
2. 当乙先打水时，乙用时b分钟，之后甲等待b分钟后开始打水，用时a分钟，总用时为2b+a分钟.
2a+b-(2b+a)=a-b，
若a>b，则乙先打水总时间短，
若a=b，则无论谁先打水，总用时相同，
若a【知识点】不等式的性质的实际应用
【解析】【分析】 分别表示在两种不同顺序下的总用时，并根据a，b的大小进行分类讨论.
15．（2024七下·玉州期中） 我们知道，是一个无理数，将这个数减去整数部分，差就是小数部分．即的整数部分是1，小数部分是，请回答以下问题：
（1）的小数部分是 ，的小数部分是 ．
（2）若是的整数部分，是的小数部分．求的平方根．
（3）若，其中是整数，且，求的值．
【答案】（1）；
（2）解：，即，
的整数部分，
又，
的整数部分为1，的小数部分，
，
的平方根为；
（3）解：，
，
又，其中是整数，且，
，，
，
的值为11．
【知识点】无理数的估值；不等式的性质；开平方（求平方根）；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：（1）∵
∴
∴的小数部分是：，
∵
∴，
∴
即
∴的小数部分是：，
故答案为：，；
【分析】（1）根据无理数的大小估值可得进而根据不等式的性质可得，从而即可求解；
（2）利用无理数大小估值即可求出a和b的值，进而把a和b代入待求式计算，最后根据平方根的定义即可求解；
（3）利用无理数大小估值及不等式性质得，结合已知即可求出x和y的值，进而将其代入即可求解.
16．（2024七下·大冶期中） 阅读下面的文字，解答问题：
大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？
事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．
又例如：∵，即，∴的整数部分为2，小数部分为．
根据以上提示回答下列问题：
（1）如图，数轴上点A、B、O、C、D分别表示数，，0，1，2，则表示数的点P应落在____．
A．线段上 B．线段上 C．线段上 D．线段上
（2）如果的整数部分为a，的小数部分为b，求的立方根；
（3）若，其中x是整数，且，求的平方根．
【答案】（1）B
（2）解：，，
，，
的整数部分为，的小数部分为，
，
的立方根是；
（3）解：，
，
，且x是整数，且，
，，
，
的平方根为．
【知识点】无理数的估值；不等式的性质；开平方（求平方根）；开立方（求立方根）
【解析】【解答】（1）解：，
，
，
，
表示数的点P应落在线段BO上，
故答案为：B；
【分析】（1）先根据无理数的估算，得到，再结合不等式的性质，求出即可；
（2）先根据无理数的估算得到，，进而得到，，再计算求出立方根即可；
（3）先根据无理数的估算得到，进而得出，，再代入计算，求出平方根即可.
17．（2024七下·江北期末） 阅读材料
若两个正数 ， 则有下面不等式 ， 当 时取等号， 我们把 叫做正数 的算术平均数，把 叫做正数 的几何平均数，于是上述不等式可以表述为：两个正数的算术平均数不小于 (即大于或等于) 它们的几何平均数。它在数学中有广泛的应用，是解决最大（小）值问题的有力工具。
不等式 可以变形为不等式 ， 当且仅当 时取到等号. ( 均为正数)
例： 已知 ， 求 的最小值.
解： 由 得 ， 当且仅当 ， 即 时，有最小值，最小值为 2
根据上面材料回答下列问题：
（1） 2 ； （用 "=" "〈" "〉" 填空）
（2） 当 ， 则 的最小值为 ， 此时 。
（3）当 ， 则 的最小值为 .
（4） 用篱笆围一个面积为 的长方形花园，问这个长方形花园的长、宽各为多少时所用的篱笆最短，最短篱笆是多少
【答案】（1）>；=
（2）6；3
（3）8
（4）解设 这个长方形花园的长 xm，则这个长方形的宽为m，篱笆的长为L
∴(x>0)
∴
∴
当时，解得x=10(负值舍去)
∴当长方形花园的长宽均分10m时，篱笆的周长最短为40m.
【知识点】不等式的性质的实际应用
【解析】【解答】解：（1）∵
∴11>2
5+6>2
∵2=12
∴=
故答案为>，=.
（2）根据得出：
当时，解得x=±3
∵x>0
∴x=3
∴
∴
∴
因此 的最小值为 6，此时x=3，故答案为6，3.
（3）∵
∵
∴x-2>0
∴
∴
∴
∴ 的最小值为8，故答案为8.
【分析】(1)分别计算出各项，再进行比较即可
(2)先根据得到：当时，，解出x的值，舍去负值，再计算出即可.
（3）先把，转换成，再根据，得出：即：，即可得出 的最小值为 8.
(4)设 这个长方形花园的长 xm，则这个长方形的宽为m，篱笆的长为L，根据长方形周长的公式得出：，再根据推出：，得到，当且仅当时，解出x即可.
1 / 1湘教版数学七年级下册3.2不等式的基本性质 同步分层练习
一、夯实基础
1．（2024七下·望城期末）由，得，则x的值可能是（ ）
A．1 B． C．0 D．
2．（2025七下·浏阳期末） 若a＜b，那么根据不等式的性质可以得到的是（ ）
A．a+1＞b+1 B．a2＜ab C．﹣a＜﹣b D．
3．（2024七下·宣城期中）若，则关于x的不等式的解集为 ．
4．（2024七下·上思期中） 已知的小数部分是的小数部分是，则 .
5．利用不等式的性质解下列不等式：
（1）x-7>26；
（2）3x<2x+1；
（3）
（4）- 4x>3.
6．（2024七下·江门月考）已知+1的整数部分为a，﹣1的小数部分为b，求2a+3b的值．
二、能力提升
7．（2024七下·江安期中）今年年初，娃哈哈爆火，抢购娃哈哈旗下的产品成为了年轻人的一种新时尚．如图所示的是娃哈哈旗下的八宝粥，其每罐的外包装上标明：净含量：，表明了每罐八宝粥的净含量x（单位：g）的范围是（ ）
A． B． C． D．
8．（2023七下·平城期末）已知实数，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
9．（2024七下·路桥期末） 在实数范围内规定新运算 " " . 已知不等式 的解集是 ， 则 的值是 .
10．（2023七下·东莞期中）规定用符号表示一个数的整数部分，例如，，按此规定 ．
11．（2024七下·宁乡市期末）我们定义表示不小于实数的最小整数，例如：．现给出下列结论：
①；②若，则；③若，则；④若，，则．
以上选项中，所有正确的序号是 ．
12．（2024七下·龙门期中）估算能力是一种重要的数学运算能力，特别是对算术平方根的估算．
信息一：因为无理数是无限不循环小数，因此无理数的小数部分我们不可能全部地写出来比如：、等而常用的“…”或者“”的表示方法都不够百分百准确．
信息二：2.5的整数部分是2，小数部分是0.5，可以看成2.5-2得来的；
信息三：任何一个无理数，都可以夹在两个相邻的整数之间，如，是因为，根据上述信息，回答下列问题：
（1）的整数部分 ，小数部分是 ．
（2）也是夹在相邻两个整数之间的，可以表示为：，求的值；
（3）已知，其中x是整数，，求的值．
三、拓展创新
13．（2024七下·渝中期末）对于任意实数x，其整数部分记为，小数部分记为，即：，其中表示不超过x的最大整数．如，；，．下列结论正确的个数是（ ）
①；
②若（n是整数），则；
③若，，，则所有可能的值为6，7，8；
④方程的解为或．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
14． 甲、乙两名同学各提一个水桶在同一个水龙头前打水. 如果甲打满一桶水需a min，乙打满一桶水需b min，那么谁先打水，能使两人都打满一桶水所用时间和（包含等待时间）较少
15．（2024七下·玉州期中） 我们知道，是一个无理数，将这个数减去整数部分，差就是小数部分．即的整数部分是1，小数部分是，请回答以下问题：
（1）的小数部分是 ，的小数部分是 ．
（2）若是的整数部分，是的小数部分．求的平方根．
（3）若，其中是整数，且，求的值．
16．（2024七下·大冶期中） 阅读下面的文字，解答问题：
大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？
事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．
又例如：∵，即，∴的整数部分为2，小数部分为．
根据以上提示回答下列问题：
（1）如图，数轴上点A、B、O、C、D分别表示数，，0，1，2，则表示数的点P应落在____．
A．线段上 B．线段上 C．线段上 D．线段上
（2）如果的整数部分为a，的小数部分为b，求的立方根；
（3）若，其中x是整数，且，求的平方根．
17．（2024七下·江北期末） 阅读材料
若两个正数 ， 则有下面不等式 ， 当 时取等号， 我们把 叫做正数 的算术平均数，把 叫做正数 的几何平均数，于是上述不等式可以表述为：两个正数的算术平均数不小于 (即大于或等于) 它们的几何平均数。它在数学中有广泛的应用，是解决最大（小）值问题的有力工具。
不等式 可以变形为不等式 ， 当且仅当 时取到等号. ( 均为正数)
例： 已知 ， 求 的最小值.
解： 由 得 ， 当且仅当 ， 即 时，有最小值，最小值为 2
根据上面材料回答下列问题：
（1） 2 ； （用 "=" "〈" "〉" 填空）
（2） 当 ， 则 的最小值为 ， 此时 。
（3）当 ， 则 的最小值为 .
（4） 用篱笆围一个面积为 的长方形花园，问这个长方形花园的长、宽各为多少时所用的篱笆最短，最短篱笆是多少
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：∵由，得，
∴
故答案为：D。
【分析】根据不等式的基本性质：不等式两边同时乘以或除以同一个小于0的数，不等号方向改变，据此即可求解
2．【答案】D
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A．若a＜b，则a＋1＜b＋1，故选项A不符合题意；
B．当a，b均为正数时，若a＜b，则a2＜ab符合题意；当a为负数，b为正数时，如a＝ 1，b＝1，则a2＞ab，不符合题意，故选项B不符合题意；
C．若a＜b，则 a＞ b，故选项C不符合题意；
D．若a＜b，则，故选项D符合题意．
故答案是：D．
【分析】根据不等式的性质对各选项进行判断即可．
3．【答案】
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：，
，
的解集为：，
故答案为：．
【分析】由于2-a<0，不等式两边同时除以（2-a)，不等号的方向改变，据此求解．
4．【答案】1
【知识点】无理数的估值；不等式的性质；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：∵
∴
∴
∵的小数部分是，
∴
∵
∴
∴
∵的小数部分是，
∴
∴
故答案为：1.
【分析】根据无理数大小的估值得到：根据不等式的性质得进而结合题意求出a和b的值，最后将其代入计算即可.
5．【答案】（1）解：根据不等式的性质1，不等式两边加7，不等号的方向不变，所以
x-7+7>26+7，
x>33.
（2）解：根据不等式的性质1，不等式两边减2x，不等号的方向不变，所以
3x-2x<2x+1-2x，
x<1.
（3）解：根据不等式的性质2，不等式两边乘 ，不等号的方向不变，所以
x>75.
（4）解：根据不等式的性质3，不等式两边除以-4，不等号的方向改变，所以
【知识点】利用不等式的性质解简单不等式
【解析】【分析】(1)根据不等式的性质1，不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号方向不变即可求出该不等式的解；
(2)根据不等式的性质1，不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号方向不变即可求出该不等式的解；
(3)根据不等式的性质2，不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号方向不变即可求出该不等式的解；
(4)根据不等式的性质3，不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号方向改变即可求出该不等式的解.
6．【答案】解：∵2＜3
∴3+1＜4，1﹣1＜2，
∴a=3，b=﹣2，
∴2a+3b=2×3+3×（﹣2）=3．
【知识点】无理数的估值；不等式的性质；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】根据估算无理数的大小的方法及不等式的性质可得1﹣1＜2，从而求出a、b得值，进而将a、b的值代入待求式子，按有理数的加减乘除混合运算的运算顺序计算可得答案.
7．【答案】A
【知识点】不等式的性质的实际应用
【解析】【解答】解：净含量的范围是，即．
故答案为：A.
【分析】根据不等式的性质写出即可.
8．【答案】C
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A．两边都加1，不等号的方向不变，故A正确，不符合题意；
B．两边都减3，不等号的方向不变，故B正确，不符合题意；
C．两边都乘以，不等号的方向改变，故C错误，符合题意；
D．两边都乘以5，不等号的方向不变，故D正确，不符合题意．
故答案为：C。
【分析】根据不等式的性质：不等式两边同时加上或减去同一个数或同一个整式，不等号方向不变；不等式两边同时乘以或除以同一个大于零的数或整式，不等号方向不变；不等式两边同时乘以或除以同一个小于零的数或整式，不等号方向改变，然后对各个选项进行逐一分析即可
9．【答案】-4
【知识点】利用不等式的性质解简单不等式
【解析】【解答】根据题意可得：可变形为：2x-m≥2，
解得：x≥，
∵ 不等式 的解集是 ，
∴，
解得：m=-4，
故答案为：-4.
【分析】先根据题干的定义列出不等式并求出其解集x≥，再结合“不等式 的解集是 ”可得方程，最后求出m的值即可.
10．【答案】2
【知识点】无理数的估值；不等式的性质
【解析】【解答】解：∵9＜13＜16，
∴，
∴，
∴，
即，
∴.
故答案为：2.
【分析】根据被开方数越大其算术平方根就越大可得，再根据不等式的性质得，从而结合题意可得答案.
11．【答案】①③④
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：根据定义表示不少于实数的最小整数，可得①结论正确；
若，根据的意义，得，结论②错误；
若，则，结论③正确；
当，时，有，，，或6，结论④是正确．
综上所述：①③④正确．
故答案为：①③④．
【分析】根据新定义逐项进行判断即可求出答案.
12．【答案】（1）3；
（2）解：∵1＜＜2
∴11<<12
∴a=11，b=12
∴a+b=11+12=23
（3）解：依题意得x=4， y=-4=-1-
【知识点】实数的大小比较；无理数的估值；不等式的性质
【解析】【解答】解：（1）∵3＜＜4，
∴的整数部分为3，小数部分为-3.
故答案为：第一空：3；第二空：-3.
【分析】（1）根据材料中的信息可求解；
（2）根据材料中的信息和不等式的性质可求解；
（3）根据材料中的信息和不等式的性质可得3+的整数部分和小数部分，于是可得x、y的值，然后把x、y的值代入所求代数式计算即可求解.
13．【答案】A
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：①∵[-0.5]=-1，[-0.5]+{-0.5}=-0.5，
，故①错误；
②，
，
∴或，故②错误；
③，，
则所有可能的值为6，6，8，故③正确；
④∵x=[x]+{x}，∴{x}=x-[x]，
即，
，
，
，故④错误；
综上所述；只有一个正确，
故答案为：A
【分析】根据新定义，对上述①②③④进行分析判断即可；
14．【答案】对于此类问题，我们需要计算在两种不同顺序下的总用时：
1. 当甲先打水时，甲用时a分钟，之后乙等待a分钟后开始打水，用时b分钟，总用时为2a+b分钟；
2. 当乙先打水时，乙用时b分钟，之后甲等待b分钟后开始打水，用时a分钟，总用时为2b+a分钟.
2a+b-(2b+a)=a-b，
若a>b，则乙先打水总时间短，
若a=b，则无论谁先打水，总用时相同，
若a【知识点】不等式的性质的实际应用
【解析】【分析】 分别表示在两种不同顺序下的总用时，并根据a，b的大小进行分类讨论.
15．【答案】（1）；
（2）解：，即，
的整数部分，
又，
的整数部分为1，的小数部分，
，
的平方根为；
（3）解：，
，
又，其中是整数，且，
，，
，
的值为11．
【知识点】无理数的估值；不等式的性质；开平方（求平方根）；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：（1）∵
∴
∴的小数部分是：，
∵
∴，
∴
即
∴的小数部分是：，
故答案为：，；
【分析】（1）根据无理数的大小估值可得进而根据不等式的性质可得，从而即可求解；
（2）利用无理数大小估值即可求出a和b的值，进而把a和b代入待求式计算，最后根据平方根的定义即可求解；
（3）利用无理数大小估值及不等式性质得，结合已知即可求出x和y的值，进而将其代入即可求解.
16．【答案】（1）B
（2）解：，，
，，
的整数部分为，的小数部分为，
，
的立方根是；
（3）解：，
，
，且x是整数，且，
，，
，
的平方根为．
【知识点】无理数的估值；不等式的性质；开平方（求平方根）；开立方（求立方根）
【解析】【解答】（1）解：，
，
，
，
表示数的点P应落在线段BO上，
故答案为：B；
【分析】（1）先根据无理数的估算，得到，再结合不等式的性质，求出即可；
（2）先根据无理数的估算得到，，进而得到，，再计算求出立方根即可；
（3）先根据无理数的估算得到，进而得出，，再代入计算，求出平方根即可.
17．【答案】（1）>；=
（2）6；3
（3）8
（4）解设 这个长方形花园的长 xm，则这个长方形的宽为m，篱笆的长为L
∴(x>0)
∴
∴
当时，解得x=10(负值舍去)
∴当长方形花园的长宽均分10m时，篱笆的周长最短为40m.
【知识点】不等式的性质的实际应用
【解析】【解答】解：（1）∵
∴11>2
5+6>2
∵2=12
∴=
故答案为>，=.
（2）根据得出：
当时，解得x=±3
∵x>0
∴x=3
∴
∴
∴
因此 的最小值为 6，此时x=3，故答案为6，3.
（3）∵
∵
∴x-2>0
∴
∴
∴
∴ 的最小值为8，故答案为8.
【分析】(1)分别计算出各项，再进行比较即可
(2)先根据得到：当时，，解出x的值，舍去负值，再计算出即可.
（3）先把，转换成，再根据，得出：即：，即可得出 的最小值为 8.
(4)设 这个长方形花园的长 xm，则这个长方形的宽为m，篱笆的长为L，根据长方形周长的公式得出：，再根据推出：，得到，当且仅当时，解出x即可.
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