第六章 数列
第1讲 数列的概念及简单表示法
课标要求 考情分析
1.了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表法、图象法、公式法）. 2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数. 命题形式 高考中各种题型都会出现，难度适中. 常考内容 数列的递推关系及数列的函数特征.
必备知识 自主排查
理一理
1．数列的概念
概念 含义
数列 按照①_ _ _ _ _ _ _ _ 排列的一列数
数列的项 数列中的②_ _ _ _ _ _ _ _
数列的通项 数列的第项
通项公式 数列的第项与③_ _ _ _ _ _ _ _ 之间的关系式
前项和 数列中，④_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
提醒 数列的项是指数列中某一确定的数，而项数是指数列的项对应的位置序号.
2.数列的分类及性质
3．数列的表示方法
列表法 列表格表示与的对应关系
图象法 把点⑤_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 画在平面直角坐标系中
公式法 通项公式 把数列的通项用公式表示
递推公式 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式
常用结论
1.若数列的前项和为，通项公式为，则
2.若，则数列为周期数列，为的一个周期.
练一练
1．判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1） 数列1,2,3与3,2,1是两个不同的数列.（ ）
（2） 若数列的前项和为，则对任意,都有.（ ）
（3） 若数列用图象表示,则从图象上看是一群孤立的点.（ ）
（4） 一个确定的数列,它的通项公式只有一个. （ ）
2．已知在数列中，,,则（ ）
A. B. C. D.
3．若数列的前4项分别是，，，，则此数列的一个通项公式为（ ）
A. B. C. D.
4．（用结论）已知数列的前项和为，则数列的通项公式为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
5第 （1） 改编）根据下面的图形及相应的点数,可得点数构成的数列的一个通项公式_ _ _ _ _ _ _ _ .
核心考点 师生共研
考点一 由an与Sn的关系求通项公式
［例1］
（1） [2025·广州检测]已知数列的前项和,当取最小值时，_ _ _ _ .
（2） 设是数列的前项和，已知,,则_ _ _ _ _ _ .
［感悟进阶］
与 关系问题的求解思路
（1）利用转化为只含,的关系式，再求解.
（2）利用转化为只含,的关系式，再求解.
注意 最后需检验当时的表达式是否可以与当时的表达式合并.
［对点训练］
1．[2025·漳州模拟]已知各项均不为0的数列的前项和为，若，则（ ）
A. B. C. D.
2．已知数列满足,则_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
考递若数列满足，且,则数列的第100项为_ _ _ _ .
（2） 设是首项为1的正项数列，且，则_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
［感悟进阶］
由递推关系求数列的通项公式的常用方法
注意 根据累加法、累乘法求出之后，注意检验是否满足.
［对点训练］
1．已知在数列中，,,则_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
2．已知,,则数列的通项公式为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
考点三 数列的函数特征
角度1 数列的周期性
［例3］
（1） 已知在数列中，，，，则（ ）
A. B. C. 1 D. 2
（2） [2025·太原模拟]已知在数列中，,则数列的前2 026项和为_ _ _ _ .
［方项，通过观察归纳出数列的周期，进而求有关项的值或者前项的和.
角度2 数列的单调性
［例4］ 设无穷数列的通项公式为.若是递减数列，则 的一个取值为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
［感悟进阶］
解决数列单调性问题的三种方法
（1）作差比较法：根据的符号判断数列是递增数列、递减数列，还是常数列.
（2）作商比较法：根据与1的大小关系进行判断.
（3）函数法：结合相应的函数图象直观判断.
角度3 数列的最大（小）项
［例5］ 已知数列的通项公式为,其最大项和最小项分别为（ ）
A. 1, B. 0, C. , D. 1,
［感悟进阶］
求数列的最大项或最小项的常用方法
（1）函数法：利用函数的单调性求最值.
（2）利用确定最大项，利用确定最小项.
［对点训练］
1．数列满足,则当_ _ _ _ 时，取最大值为_ _ _ _ _ _ .
1 2 3 4 5
4 5 1 2 3
在数列中，，，则_ _ _ _ .
课后达标 分级演练
A 基础达标
1．已知数列,,, ，则是该数列的（ ）
A. 第5项 B. 第6项 C. 第7项 D. 第8项
2．已知数列满足,，则（ ）
A. 4 046 B. C. 2 D.
3．已知函数，对任意,由得到的数列均是递增数列，则下列图象对应的函数符合上述条件的是（ ）
A. B.
C. D.
4．[2025·贵州模拟]已知数列满足，则“数列是递增数列”的充要条件是（ ）
A. B. C. D.
5．（多选）已知数列的通项公式为其前项和为，则（ ）
A. B. C. D.
6．已知正项数列中，，则_ _ _ _ _ _ .
7．已知数列的首项,前项和为，且满足,则数列的通项公式_ _ _ _ _ _ _ _ .
8．[2025·长沙模拟]一只蜜蜂从蜂房出发向右爬，每次只能爬向右侧相邻的两个蜂房（如图），例如：从蜂房只能爬到1号或2号蜂房，从1号蜂房只能爬到2号或3号蜂房 以此类推，用表示蜜蜂爬到号蜂房的方法数，则.
9．（13分）已知数列中，，，.
（1） 求，的值；（6分）
（2） 求的前2 025项和.（7分）
B 综合运用
10．[2025·长春联考]（多选）已知数列满足,,,则下列结论正确的有（ ）
A.
B. 数列是等比数列
C. 数列为递增数列
D. 数列的前项和的最小值为
11．[2025·滨州模拟]已知函数,数列满足,,,则_ _ _ _ .
12．已知数列的各项都为正数，定义：为数列的匀称值.若数列的匀称值为，则_ _ _ _ _ _ _ _ .
13．（13分）已知数列的前项和为，且满足.
（1） 求数列的通项公式；（6分）
（2） 设,求数列的最大项.（7分）
14．（15分）已知数列中，，其前项和为，且满足.
（1） 求数列的通项公式；（7分）
（2） 记，若数列为递增数列，求实数 的取值范围.（8分）
第2讲 等差数列
课标要求 考情分析
1.理解等差数列的概念. 2.掌握等差数列的通项公式与前项和公式. 3.能在具体的问题情境中发现数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题. 4.体会等差数列与一次函数、二次函数的关系. 命题形式 常以选择题或解答题的形式出现. 常考内容 等差数列的基本运算与性质. 创新考法 与等比数列、数列求和、不等式等问题结合.
必备知识 自主排查
理一理
1．等差数列的有关概念
（1）定义：如果一个数列从①_ _ _ _ 起，每一项与它的前一项的② 都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列.符号表示为③_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ （，为常数）.
（2）等差中项：数列,,成等差数列的充要条件是④_ _ _ _ _ _ _ _ ，其中叫做与的⑤_ _ _ _ _ _ _ _ .
提醒 理解定义要注意三个关键词——“从第2项起”“每一项与它的前一项的差”“同一个常数”.
2．等差数列的基本公式
（1）通项公式：⑥_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
（2）前项和公式：⑦_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
3.等差数列的常用性质
已知为等差数列，为公差，为该数列的前项和.
（1）通项公式的推广：;
（2）在等差数列中，当时，.特别地，若,则;
（3）,,, 仍是等差数列，公差为；
（4）,,， 也成等差数列，公差为;
（5）若,（项数相同）都是等差数列，则也是等差数列；
（6）若是等差数列，则也是等差数列，其首项与首项相同，公差是公差的.
常用结论
1.等差数列的函数性质
（1）等差数列的单调性：当时，是递增数列；当时，是递减数列；当时，是常数列.
（2）在等差数列中，，，则存在最大值；若,,则存在最小值.
2.两个常用结论
（1）关于等差数列奇数项和与偶数项和的性质
①若项数为,则,;
②若项数为,则,,,.
（2）两个等差数列,的前项和,之间的关系为.
练一练
1．判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1） 若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数,则这个数列是等差数列.（ ）
（2） 等差数列的单调性是由公差决定的. （ ）
（3） 数列为等差数列的充要条件是对任意,都有.（ ）
（4） 等差数列的前项和公式是常数项为0的二次函数.（ ）
2．已知数列满足,,则（ ）
A. 20 B. 25 C. 30 D. 35
3．（选择性必修第二册P15T4 改编）已知在等差数列中，,,则（ ）
A. 18 B. 16 C. 20 D. 17
4．（用结论）在项数为的等差数列中，各奇数项之和为75，各偶数项之和为90，末项与首项之差为27，则_ _ _ _ .
必知的前项和为，且,，则.
核心考点 师生共研
考点一 等差数列基本量的运算
［例1］
（1） [2024·全国甲卷]记为等差数列的前项和.已知，，则（ ）
A. B. C. D.
（2） [2024· 新课标Ⅱ卷]记为等差数列的前项和.若，，则.
，的＝－5，则S6＝( )
A．－20 B．－15 C．－10 D．－5
解析：选B.方法一：记{an}的公差为d.
因为S3＝6，S5＝－5，
所以解得
所以a6＝a1＋5d＝－10，
所以S6＝S5＋a6＝－5－10＝－15.故选B.
方法二：因为Sn为等差数列{an}的前n项和，所以设Sn＝An2＋Bn，
由S3＝6，S5＝－5，得解得所以Sn＝－n2＋n，所以S6＝－×36＋×6＝－15.故选B.
2．[2025·汕头模拟]已知等差数列的前项和为，，，若，则（ ）
A. 8 B. 9 C. 10 D. 11
考点二 等差数列的判定与证明
［例2］ 已知数列满足,且.
（1） 求,.
（2） 证明数列是等差数列，并求的通项公式.
［感悟进阶］
［对点训练］
1．已知数列的前项和且,,则（ ）
A. 13 B. 49 C. 35 D. 63
2．已知数列满足,，且，则数列的第100项为（ ）
A. B. C. D.
考点三 等差数列的性质及应用
角度1 项的性质
［例3］
（1） [2024· 九省联考]记等差数列的前项和为,,,则（ ）
A. 120 B. 140 C. 160 D. 180
（2） [2025·运城模拟]已知数列是等差数列，，则（ ）
A. 4 B. C. D.
［感悟进阶］
等差数列的项的性质
两项和的转换是最常用的性质，利用可实现项的合并与拆分，在中，与可相互转化.
角度2 和的性质
［例4］
（1） 已知等差数列的前项和为，若,,则（ ）
A. 63 B. 71 C. 99 D. 117
（2） 已知等差数列,的前项和分别为,,若对任意正整数都有,则_ _ _ _ _ _ _ _ .
［感悟进阶］
等差数列前 项和的性质
在等差数列中，为其前项和，则
.
.
,，， 成等差数列.
角度3 最值问题
［例5］ [2025·湖北联考]已知公差小于0的等差数列的前项和为，若,,是等比数列，则当取最大值时，（ ）
A. 2或3 B. 2 C. 3 D. 4
［感悟进阶］
求等差数列前 项和 最值的两种方法
［对点训练］
1．[2025·贵阳适应性考试]设等差数列的前项和为，已知,,则（ ）
A. 150 B. 140 C. 130 D. 120
C. ，， ，中最大的项为
D. ，， ，中最大的项为
3．已知等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项和为290，所有偶数项和为261，则该数列的项数为.
课后达标 分级演练
A 基础达标
1．已知为等差数列，其前项和为,若,,,则（ ）
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
2．已知,都是首项为1的等差数列，且的公差为3,的公差为2,若数列满足，则（ ）
A. 20 B. 27 C. 40 D. 47
3．《周髀算经》中有一个问题，大意是：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气，自冬至日起，其日影长依次成等差数列．若立春当日日影长为9.5尺，春分当日日影长为6尺，则立夏当日日影长为( )
A.16.5尺 B．13尺
C．3.5尺 D．2.5尺
解析：选D.设十二个节气自冬至日起的日影长构成等差数列{an}，则立春当日日影长为a4＝9.5尺，春分当日日影长为a7＝6尺，所以立夏当日日影长为a10＝2a7－a4＝2×6－9.5＝2.5(尺).
4．[2025·甘肃高考诊断考试]在等差数列中，,是方程的两根，若,则的值为（ ）
A. B. C. 2 D. 6
5．[2025· 东北三校联考]（多选）已知等差数列的首项,则下列选项中正确的是（ ）
A. 若,则
B. 若,,则
C. 若,,则
D. 若,则,
6．已知等差数列的前项和为，公差为，若，则.
等
8．在等差数列中，若,则_ _ _ _ .
9．（13分）已知公差不为0的等差数列满足,.
（1） 求数列的通项公式；（6分）
（2） 记数列的前项和为，求使成立的最大正整数.（7分）
，则（ ）
A. B. C. 0 D. 2
11．[2025·淮北质检]记是等差数列的前项和，则“是递增数列”是“是递增数列”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
12．[2025·河北模拟]已知等差数列的前项积为，，，，则当取得最小值时，_ _ _ _ .
13．[2023· 新课标Ⅰ卷]（12分）设等差数列的公差为，且.令,记,分别为数列,的前项和.
（1） 若,,求的通项公式；（5分）
（2） 若为等差数列，且，求.（7分）
14．[2025·河南段考]（13分）已知数列的前项和满足.
（1） 求证：是等差数列；（6分）
（2） 若当且仅当时，最大，比较与的大小.（7分）
数
列
课标要求 考情分析
1.理解等比数列的概念并掌握其通项公式与前项和公式. 2.能在具体的问题情境中发现数列的等比关系，并解决相应的问题. 3.体会等比数列与指数函数的关系. 命题形式 高考中各种题型均有出现，难度适中. 常考内容 等比数列及其前项和的基本运算与性质. 创新考法 等比数列与函数、方程、不等式结合.
必备知识 自主排查
理一理
1．等比数列的有关概念
（1）定义:如果一个数列从①_ _ _ _ 起，每一项与它的前一项的比都等于②_ _ _ _ _ _ _ _ ，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的③_ _ ，通常用字母④_ _ _ _ _ _ 表示，定义的表达式为.
（2）等比中项:如果,,成等比数列，那么⑤_ _ _ _ _ _ 叫做与的等比中项.即：是与的等比中项,,成等比数列.
提醒 （1）在等比数列中，易忽视每一项与公比都不为0；（2）只有当两个数同号且不为0时，这两个数才有等比中项，且等比中项有两个，它们互为相反数.
2．等比数列的基本公式
（1）通项公式：⑥_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
（2）前项和公式：
提醒 在求等比数列的前项和时，易忽略这一特殊情形.
3．等比数列的常用性质
已知数列是等比数列，是其前项和.
（1）通项公式的推广：;
（2）若,则⑩_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ;
（3）若数列,（项数相同）都是等比数列，则，,,,仍然是等比数列；
（4）在等比数列中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即,,,， 为等比数列，公比为;
（5）公比不为的等比数列的前项和为,则,,， 仍成等比数列，其公比为;当公比为时，,,， 不一定构成等比数列.
常用结论
1.等比数列的单调性
当,或,时，是递增数列；当，或,时，是递减数列；当时，是常数列.
2.等比数列的常用结论
（1）;
（2）若,则,,， 成等比数列；
（3）若数列的项数为,则;若项数为,则.
练一练
1．判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1） 等比数列的公比，则该数列为递增数列.（ ）
（2） 三个数,,成等比数列的充要条件是.（ ）
（3） 如果数列为等比数列，则数列{是等差数列.（ ）
（4） 数列的通项公式是，则其前项和为.（ ）
2．已知数列是等比数列，是其前项和，若,公比，，则（ ）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
3．（选择性必修第二册P37T1改编）在等比数列中，若，，则的值为（ ）
A. B. C. D. 或
4．（选择性必修第二册P31T3改编）在等比数列中，,,则_ _ _ _ .
5．（用结论）已知等比数列共有项，其和为,且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比_ _ _ _ .
的前项和，已知.
（1） 求的通项公式；
（2） 求数列的前项和.
细研真题 本题源于教材人教版选择性必修第二册.该题考查了等比数列的概念、通项公式及前项和公式等内容.若把本例条件“”适当变化，还可以进行如下考查.
真题变式
1．已知等比数列的前项和为,且,则_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
2．已知等比数列的前项和为，且,则_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
［感悟进阶］
解决等比数列有关问题的两种常用思想
（1）方程思想：等比数列中有,,,,五个量，一般可以“知三求二”，通过列方程（组）求关键量和，问题可迎刃而解.
（2）分类讨论思想：等比数列的前项和公式涉及对公比的分类讨论.
［对点训练］
1．[2023·全国甲卷]设等比数列的各项均为正数，前项和为,若，,则（ ）
A. B. C. 15 D. 40
2．已知在正项等比数列中，，，记为数列的前项和，若，则_ _ _ _ .
考点二 等比数列的判定与证明
［例2］ 已知各项都为正数的数列满足,,且.
（1） 求证：是等比数列；
（2） 求数列的通项公式.
［感悟进阶］
注意（1）在解答题中证明一个数列为等比数列时，只能用定义法和等比中项法；（2）如果要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续的三项不成等比数列即可.
［对点训练］．已知数列满足，.
证明：数列{是等比数列，并求数列的通项公式.
考点三 等比数列的性质
角度1 项的性质
［例3］
（1） （多选）已知正项等比数列的公比为，前项积为，且满足，，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. D. 存在最大值
（2） 已知数列为正项等比数列，若，，则_ _ _ _ _ _ .
质别“，则”,可以减少运算量，提高解题速度.
角度2 和的性质
[例4] (2025·全国一卷)若一个等比数列的各项均为正数，且前4项的和等于4，前8项的和等于68，则这个数列的公比等于________．
【解析】 设该等比数列为{an}且公比为q(q＞0).
方法一：若q＝1，则S8＝2S4，又8≠68，所以q≠1.根据题意可得
解得q＝2(负值舍去).
方法二：由方法一可知，该数列的公比q是不为1的正数，则S4，S8－S4，S12－S8，…成公比为q4的等比数列，所以＝＝q4，解得q＝2(负值舍去).
快解：由方法一可知，该数列的公比q是不为1的正数，由已知可得S8＝S4＋q4S4＝4＋4q4＝68，解得q＝2(负值舍去).
【答案】 2
［感悟进阶］
等比数列性质应用问题的解题突破口
等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形，二是等比中项的变形，三是前项和公式的变形.根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征，即可找出解决问题的突破口.
注意 在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要对性质进行适当变形.此外，解题时注意“设而不求”的运用.
［对点训练］
1．[2025·安徽模拟]在等比数列中，若，则（ ）
A. 2 B. C. 4 D. 8
2．已知等比数列有项，,所有奇数项的和为85，所有偶数项的和为42，则（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
课后达标 分级演练
A 基础达标
1．已知数列满足，若,,则（ ）
A. B. C. 2 D. 8
2．[2025·雅安模拟]已知数列是等差数列，数列是等比数列，若,,则（ ）
A. 2 B. C. D.
和
A. 或36 B. C. 36 D. 18
4．设等比数列的公比为,前项和为.若,,且,,则的值为（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
5．(多选)(2025·全国二卷)记Sn为等比数列{an}的前n项和，q为{an}的公比，q＞0.若S3＝7，a3＝1，则( )
A．q＝ B．a5＝
C．S5＝8 D．an＋Sn＝8
解析：选AD.方法一：根据题意，由得①÷②得＋＋1＝7，化简得6q2－q－1＝0，解得q＝或q＝－(舍去)，故A正确；由A可知q＝，则a1＝＝4，因此an＝4×，则a5＝4×＝，故B错误；S5＝＝，故C错误；an＋Sn＝4×＋＝＋8－＝8，故D正确．故选AD.
方法二：对于A，由S3＝a1＋a2＋a3＝＋＋a3＝＋＋1＝7，整理得6q2－q－1＝0，解得q＝或q＝－(舍去)，故A正确；对于C，因为S3＝7，a4＝a3q＝1×＝，a5＝a4q＝×＝，所以S5＝S3＋a4＋a5＝7＋＋＝，故C错误，B，D选项解析同方法一．
6．设等比数列的前项和为,若,则_ _ _ _ _ _ .
7．已知数列是等比数列，,是函数的两个不同零点，则_ _ _ _ _ _ .
8，则的最小值为.
．1分）已知等比数列的各项满足，,且,,成等差数列.
（1） 求的通项公式；（6分）
（2） 求数列的前项和.（7分）
B 综合运用
10．在《增减算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难．次日脚痛减一半，如此六日过其关．”其大意是有人要去某关口，路程为378里，第一天健步行走，从第二天起由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六天，才到目的地，则此人后三天所走的里程数为( )
A．6 B．12 C．18 D．42
11．[2025·潍坊模拟]已知数列满足,.若数列是公比为2的等比数列，则（ ）
A. B. C. D.
12．[2025·亳州联考]（多选）已知等比数列的前项积为，,公比，且,,则（ ）
A.
B. 当时，最小
C. 当时，最小
D. 存在，使得
13．[2025·南京调研]（13分）设数列的前项和为，.
（1） 求数列的通项公式；（6分）
（2） 若数列满足,求的前50项和.（7分）
14．[2025·济南模拟]（15分）已知数列的前项和为,且,令.
（1） 求证：为等比数列；（7分）
（2） 求使取得最大值时的值.（8分）
培优课 构造法求数列的通项公式
求数列的通项公式时，除了前面我们学习过的公式法、累加法、累乘法等，构造法也是一种重要方法．其基本思想是根据数列递推公式的特征，通过构造特殊的数列（等差、等比数列或可利用累加、累乘法求解的数列）解决问题．
类型一 形如型
角度1 型
［例1］ 已知数列满足，，则数列的通项公式为_ _ _ _ _ _ _ _ ．
角度2 型
［例2］ 已知数列满足,,则_ _ _ _ _ _ _ _ .
角度3 型
［例3］ 在数列中，,,,则数列的通项公式为（ ）
A. B.
C. D.
［感悟进阶］
形式 构造方法
引入参数，构造新的等比数列
引入参数,,构造新的等比数列
等式两边同除以,构造新的等比或等差数列
［对点训练］
1．设数列满足，且，则数列的通项公式为_ _ _ _ _ _ _ _ .
2．已知数列满足，，则数列的通项公式为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
类型二 形如型
［例4］ 已知数列满足,,且,则数列的通项公式为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
［感悟进阶］
递推关系为的题型在求解时一般采用待定系数法，设,即，进而得到方程组解之即可.
［对点训练］．若1是函数的极值点，数列满足,，则数列的通项公式为_ _ _ _ _ _ _ _ .
类型三 形如,,为常数，，,,型
［例5］ 在数列中，，，，则数列的通项公式为_ _ _ _ _ _ _ _ .
［感悟进阶］
，，为常数，，，，型的求解方法是等式两边同时取倒数变形构造出线性递推公式，是常数且，进而求解.
［对点训练］．已知在数列中，且，则（ ）
A. B. C. D.
课后达标 分级演练
A 基础达标
1．已知数列满足,,则（ ）
A. B. C. D.
2．已知数列满足，若，则（ ）
A. 4 B. 3 C. D. 2
3．在数列中，,,则（ ）
A. 是等比数列 B. 是等比数列
C. 是等比数列 D. 是等比数列
4．在数列中，若,,则（ ）
A. B. C. D.
5．[2025·商洛模拟]已知是数列的前项和，,,则（ ）
A. B. C. D.
6的，则_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
7．已知数列满足,，则_ _ _ _ _ _ .
8．已知数列满足，，则数列的通项公式为_ _ _ _ _ _ _ _ ．
9．（13分）已知数列中,,且.
（1） 求,,并证明是等比数列；（6分）
（2） 求的通项公式.（7分）
B 综合运用
10．设数列的前项和为,若,则（ ）
A. B. C. D.
11．（13分）已知数列满足,且.证明数列为等比数列，并求数列的通项公式.
12．（15分）已知数列满足,,.证明：
（1） 是等比数列；（7分）
（2） 存在两个等比数列,，使得成立.（8分）
C
．将一些数排成如图所示的倒三角形，其中第一行各数依次为1，2，3， ，，从第二行起，每一个数都等于它“肩上”的两个数之和，最后一行只有一个数，则（ ）
A. B.
C. D.
第4讲 数列求和
课标要求 考情分析
1.熟练掌握等差数列、等比数列的前项和公式，能够利用公式求数列的前项和. 2.会求一些非等差、等比数列的前项和. 命题形式 多以解答题的形式出现，难度适中. 常考内容 分组（并项）求和、错位相减求和、裂项相消求和等. 创新考法 和函数与导数结合，研究数列性质并求和.
必备知识 自主排查
理一理
数列求和的常用方法
（1）公式法
①等差数列的前项和.
②等比数列的前项和
（2）分组转化法：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和后再相加减.
（3）裂项相消法：把数列的通项公式拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得前项和.
（4）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前项和时可用错位相减法求解.
提醒 用错位相减法求和时，注意最后一项的符号.
（5）倒序相加法：如果一个数列的前项中，与首末两端等“距离”的两项的和等于同一个常数，那么求这个数列的前项和即可用倒序相加法求解.
常用结论
裂项求和常用的变形
（1）.
（2）.
（3）.
（4）.
（5）.
（6）.
（7）.
练一练
1．判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1） 若数列为等比数列，且公比不为1，则数列的前项和.（ ）
（2） 当时，.（ ）
（3） 求时只要把等号两边同时乘以即可根据错位相减法求得. （ ）
（4） 若数列，， ，是首项为1，公比为3的等比数列，则数列的通项公式是.（ ）
2．数列的前项和为（ ）
A. B. C. D.
3．（用结论）已知数列的通项公式为，则数列的前99项和为（ ）
A. 10 B. 9 C. 99 D. 100
4．已知数列的前项和为,若,则_ _ _ _ .
5．（选择性必修第二册 习题（2）改编）_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 且.
核心考点 师生共研
考点一 分组求和与并项求和
［例1］ 设是递增的等差数列，是等比数列，已知,,,.
（1） 求数列和的通项公式；
（2） 设，求数列的前项和.
和
是等差数列，是等比数列，求数列或的前项和时，可采用分组求和法求解.如果,求的前项和时，可采用并项求和法求解.
［对点训练］．已知等差数列满足.
（1） 求的通项公式;
（2） 若 ,记的前项和为,求.
前
，为常数.
（1） 求及的通项公式；
（2） 记,求数列的前项和.
［感悟进阶］
破解裂项相消求和的关键点
（1）定通项：根据已知条件求出数列的通项公式;
（2）巧裂项：根据通项公式的特征进行准确裂项，把数列的每一项，表示为两项之差的形式;
（3）消项求和：通过累加抵消掉中间的项，达到消项的目的，准确求和.
注意（1）裂项原则：一般是前边裂几项,后边就裂几项,直到发现被消去项的规律为止.
（2）消项规律：消项后前边剩几项,后边就剩几项,前边剩第几项,后边就剩倒数第几项.
［对点训练］．已知数列为公差大于0的等差数列，,且,,成等比数列.
（1） 求数列的通项公式；
（2） 设,数列的前项和为,若,求的值.
已
,．
（1） 求数列的通项公式；
（2） 若数列满足，设其前项和为，求证：．
［感悟进阶］
用错位相减法求和的解题策略
如果一个数列的各项是由一个等差数列（公差为）和一个等比数列（公比为,）的对应项之积构成的，那么这个数列的前项和可用错位相减法来求.步骤如下：
［对点训练］．已知是等差数列，其前项和为，是正项等比数列，,,,是和的等差中项.
（1） 求和的通项公式；
（2） 求数列的前项和.
课后达标 分级演练
1．若数列的通项公式为,则数列的前项和（ ）
A. B.
C. D.
2．设数列是以2为首项，1为公差的等差数列，是以1为首项，2为公比的等比数列，则（ ）
A. 1 011 B. 1 022 C. 1 033 D. 1 044
3．已知数列满足,则数列的前5项和为（ ）
A. B. C. D.
4．（多选）已知数列满足,，记的前项和为，则（ ）
A. B.
C. D.
5．已知数列满足,,,则数列的前10项和为.
6． _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
7．若,,则数列的通项公式为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
8．（13分）记为正项数列的前项和，已知,.
（1） 求数列的通项公式；（6分）
（2） 求数列的前项和.（7分）
9．[2025·德州模拟]（13分）已知是公差不为0的等差数列，其前4项和为16，且,,成等比数列.
（1） 求数列的通项公式；（6分）
（2） 设求数列的前项和.（7分）
且
中的项，则称被屏蔽.已知数列满足.
（1） 求数列的通项公式；（7分）
（2） 若为首项与公比均为的等比数列，求数列的前项和，并判断能否被屏蔽，请说明理由.（8分）
11．（17分）已知,数列的前项和为，点均在函数的图象上.
（1） 求数列的通项公式；（8分）
（2） 若,令，求数列的前4 049项和.（9分）
培优课 子数列问题
子数列是数列问题中的一种常见题型.将原数列转化为子数列问题一般适用于某个数列是由几个有规律的数列组合而成的，具体求解时，要搞清楚子数列的项在原数列中的位置，以及在子数列中的位置，即项不变化，项数变化，它体现了转化与化归以及分类讨论、函数与方程的思想，能很好地考查学生的思维.
类型一 奇偶项问题
［例1］ [2025·石家庄模拟]已知数列满足，
（1） 写出，，；
（2） 证明：数列为等比数列；
（3） 若，求数列的前项和.
有的数列求和问题一般采用分组（并项）法求和.
（2）对于通项公式奇、偶项不同的数列求前项和时，可以分别求出奇数项的和与偶数项的和，也可以先求出，再利用,求.
［对点训练］．[2025·厦门质检]记为数列的前项和，已知,，且为等差数列.
（1） 求的通项公式；
（2） 若求的前项和.
5·湘潭模拟]设各项都不为0的数列的前项积为，，.
（1） 求数列的通项公式；
（2） 保持数列中各项的顺序不变，在每两项与之间插入一项（其中,2,3,），组成新的数列，记数列的前项和为，若，求的最小值.
［感悟进阶］
解决数列增减项问题的关键是通过阅读理解题意，弄清楚增加（减少）了多少项，增加（减少）的项有什么特征，在求新数列的和时，一般采用分组求和法，即把原数列部分和增加（减少）部分分别求和，再相加（相减）即可
［对点训练］．已知等差数列和等比数列满足，，，.
（1） 求数列，的通项公式；
（2） 设数列中不在数列中的项按从小到大的顺序排列构成数列，记数列的前项和为，求.
类型三 公共项与并项问题
［例3］ 在数列中，已知,.
（1） 证明数列是等比数列，并求的通项公式；
（2） 设，若数列与的公共项为，记由小到大构成数列，求的前项和.
［感悟进阶］
与两个数列“公共项”有关的问题的解题关键是确定好两个数列的“公共项”,此类问题一般有两种类型:一类是去掉“公共项”后，构成新数列；一类是由“公共项”构成新数列.
［对点训练］．[2025·盐城联考]已知是首项为1的等比数列，是首项为2的等差数列，且.
（1） 求和的通项公式；
（2） 若和中的所有项分别构成集合，，将的所有元素按从小到大的顺序排列组成新数列，求数列的前50项和.
课后达标 分级演练
1．[2025·漳州质检]将数列与的公共项从小到大排列得到数列，则（ ）
A. B. C. D.
2．25·联考已比的公比与等差数列的公差均为2，且，设数列满足，则数列的前20项和为（ ）
A. B. C. D.
3]的前项和为，且满足，，现将数列与数列的公共项从小到大排列可以得到新数列，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. D. 数列的前10项和为
4．[2025·哈尔滨模拟]（多选）已知等差数列的首项为1，公差为6，在中每相邻两项之间都插入个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列，下列说法正确的是（ ）
A.
B. 当时，
C. 当时，不是数列中的项
D. 若是数列中的项，则
5．已知数列满足，，则数列的通项公式为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
6.
（1） 求，的值以及数列的通项公式；（6分）
（2） 求数列的前项和.（7分）
7．（15分）已知数列满足，.
（1） 证明数列是等比数列，并求数列的通项公式；（7分）
（2） 求数列落入区间的所有项的和.（8分）
8．[2025· 张家港调研]（15分）记为数列的前项积，已知.
（1） 证明：数列是等差数列；（7分）
（2） 若将集合，，中的元素从小到大依次排列，构成数列，，，， ，求数列的前项和.（8分）
第5讲 数列中的综合问题
数列是高中数学的重要内容，是学习高等数学的基础，也是高考的重点考查内容之一.高考数列命题主要有以下三方面:（1）考查数列本身的有关知识，要求能用等差或等比数列的概念、性质、通项公式和求和公式求解；（2）数列与其他知识的综合问题，如数列与函数、方程、不等式、几何等知识综合考查；（3）数列的实际应用问题.
考点一 等差、等比数列的综合
［例1］ 已知数列的奇数项成等差数列，偶数项成等比数列，且公差和公比都是2，若对满足的任意正整数，，均有成立.
（1） 求数列的通项公式；
（2） 令，求数列的前项和.
解
需要先求出首项和公差（公比）.
（2）注意解题细节：在数列的通项公式问题中第一项和后面的项能否用同一个公式表示等，这些细节对解题的影响也是巨大的.
［对点训练］．已知等差数列的前项和为，公差，是，的等比中项，.
（1） 求的通项公式；
（2） 若数列满足，，求.
.
（1） 求证：数列{}是等差数列，并求的通项公式；
（2） 设,数列的前项和为，是否存在正整数，使得对任意正整数均有？若存在，求出的最大值；若不存在，请说明理由.
［感悟进阶］
数列与不等式综合问题的解题策略
（1）判断数列问题的一些不等关系，可以利用数列的单调性比较大小或借助数列对应的函数的单调性比较大小.
（2）考查与数列有关的不等式证明问题，此类问题一般采用放缩法进行证明，有时也可通过构造函数进行证明.
（3）数列中有关项或前项和的恒成立问题，常转化为数列的最值问题；求项或前项和的不等关系可以利用不等式的性质或基本不等式求解.
角度2 数列与函数
［例3］ [2025·龙岩模拟]已知函数，记等差数列的前项和为，若，，则（ ）
A. B. C. 2 025 D. 4 050
［感悟进阶］
数列与函数的综合问题主要有以下两类
（1）已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般利用函数的性质、图象来解决.
（2）已知数列条件，解决函数问题，此类问题一般要充分利用数列的范围、公式、求和方法对所给条件化简变形.
［对点训练］．在公差不为零的等差数列中，,且,,成等比数列，数列的前项和满足.
（1） 求数列和的通项公式；
（2） 设,数列的前项和为，若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围.
考点三 数列的实际应用
[例4] 某高校选派一批志愿者参与某志愿服务活动，计划第一批次先选派1名志愿者，然后每批次增加1人，后因学生报名积极，学校决定改变选派计划．若将原计划选派的各批次人数看成数列{an}．保持数列{an}中各项先后顺序不变的情况下，在ak与ak＋1(k＝1，2，3，…)之间插入2k，使它们和原数列的项依次构成一个新的数列{bn}，若按照新数列{bn}的各项依次选派学生，则前20批次共选派志愿者的人数为( )
A．2 091 B．2 101 C．2 110 D．2 112
［感悟进阶］
在处理实际问题时，要能从题意中提炼出该问题所蕴含的数列模型是等差数列或等比数列，或根据条件列出递推关系，然后根据数列相关知识分析处理．
[对点训练] 中国传统风筝——龙头蜈蚣风筝以其放飞场面壮观、气势磅礴而广受喜爱．某团队耗时3个多月做出一个长约180 m、重约20 kg、“龙身”骨架共有140节的巨龙风筝．制作过程中，风筝骨架可采用竹子制作，但竹子易断，还有一种耐用的碳杆材质也可做骨架，但它比竹质的成本高．最终团队决定“龙身”骨架按如图所示的规律创作，则所有“龙身”骨架中竹质“龙身”骨架的个数为( )
A. 120 B. 124 C. 128 D. 130
课后达标 分级演练
1．设数列是公差不为零的等差数列，它的前项和为，且，，成等比数列，则（ ）
A. 3 B. 4 C. 6 D. 7
2．有一塔形几何体由若干个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点.已知最底层正方体的棱长为8，如果该塔形几何体的最上层正方体的棱长等于1，那么该塔形几何体中正方体的个数是（ ）
A. 5 B. 7 C. 10 D. 12
3．[2025·阳泉模拟]已知在等差数列中，是函数的一个极大值点，则的值为（ ）
A. B. C. D.
4．（多选）古希腊哲学家芝诺提出了如下悖论：一个人以恒定的速度径直从点走向点，要先走完总路程的二分之一，再走完剩下路程的二分之一，如此下去，会产生无限个“剩下的路程”，因此他有无限个“剩下路程的二分之一”要走，这个人永远走不到终点.由于古代人们对无限认识的局限性，故芝诺得到了错误的结论.设，这个人走的第段距离为，这个人走的前段距离总和为，则下列结论正确的有（ ）
A. ，都有
B. ，都有
C. ，都有
D. ，使得
5．已知数列为等比数列，函数且的图象过定点，，数列的前项和为，则.
6．已知数列的通项公式为，，当时，恒成立，则实数 的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
7．（13分）已知个正数排成行列，表示第行第列的数，其中每一行的数依次构成等差数列，记第行的数所构成的等差数列的公差为,每一列的数依次构成等比数列，并且公比都为.已知,,.
…
…
…
… … … … … …
…
（1） 求公比;（6分）
（2） 把,, ,所构成的数列记为,求数列的前项和.（7分）
8．[2025·福建质检]（15分）已知数列满足，.
（1） 求数列的通项公式；（7分）
（2） 设数列的前项和为，若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围.（8分）
9．[2025·衡阳模拟]（17分）已知正项数列的前项和为，首项.
（1） 若，求数列的通项公式；（8分）
（2） 若函数，数列满足.
培优课 数列中的交汇创新问题
数列与函数（导数）、不等式、概率统计、集合等知识的交汇问题，是历年新高考的热点内容．一般围绕等差数列、等比数列的知识命题，涉及数列的函数性质、通项公式、数列不等式的证明等．
类型一数列中的交汇问题
[例1] (2025·兰州一模节选)已知公差不为零的等差数列{an}满足a1＝1，且a2，a4，a8成等比数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)证明：ln an≤an－1.
【解】 设等差数列{an}的公差为d(d≠0)，a1＝1，a2，a4，a8成等比数列，则a＝a2·a8，所以(1＋3d)2＝(1＋d)(1＋7d)，解得d＝1或d＝0(舍去)，所以an＝n(n∈N*).
(2)证明：设f(x)＝ln x－x＋1，x≥1，f′(x)＝－1，当x≥1时，f′(x)≤0，f(x)单调递减，f(x)max＝f(1)＝0，
所以ln x－x＋1≤0，由(1)可知an≥1，
则有ln an－an＋1≤0，所以不等式ln an≤an－1恒成立．
以数列为背景研究数列的函数性质，如研究数列的单调性、周期性、最值，不等式恒成立时的参数范围问题等．解决这类问题的关键是以构成数列的函数为载体，结合数列是一类特殊函数(定义域是正整数集或它的有限子集)，利用函数的思想方法求解，体现由特殊到一般的思想转化．
[对点训练] (2025·全国一卷)已知数列{an}中，a1＝3，＝＋.
(1)证明：数列{nan}是等差数列；
(2)给定正整数m，设函数f(x)＝a1x＋a2x2＋…＋amxm，求f′(－2).
解析：(1)证明：已知＝＋，等式两边同乘n(n＋1)，得(n＋1)an＋1＝nan＋1，即(n＋1)an＋1－nan＝1.
又因为a1＝3，所以数列{nan}是首项为3，公差为1的等差数列．
(2)方法一：由(1)知，nan＝3＋(n－1)×1＝n＋2.因为f(x)＝a1x＋a2x2＋a3x3＋…＋amxm，所以f′(x)＝a1＋2a2x＋3a3x2＋…＋mamxm-1，则f′(x)＝3＋4x＋5x2＋…＋(m＋2)xm-1，①
所以xf′(x)＝3x＋4x2＋5x3＋…＋(m＋2)xm，②
①－②，得(1－x)f′(x)＝3＋(x＋x2＋…＋xm-1)－(m＋2)xm＝3＋－(m＋2)xm.
当x＝－2时，3f′(－2)＝3＋－(m＋2)·(－2)m，故f′(－2)＝－·(－2)m.
方法二：由(1)知，nan＝3＋(n－1)×1＝n＋2.因为f(x)＝a1x＋a2x2＋a3x3＋…＋amxm，所以f′(x)＝a1＋2a2x＋3a3x2＋…＋mamxm-1，所以f′(－2)＝a1＋2a2·(－2)＋3a3·(－2)2＋…＋mam·(－2)m-1＝3＋4×(－2)＋5×(－2)2＋…＋(m＋2)·(－2)m-1.而(m＋2)·(－2)m-1＝·(－2)m-1－·(－2)m，所以f′(－2)＝×(－2)0－×(－2)1＋×(－2)1－×(－2)2＋…＋·(－2)m-1－·(－2)m＝×(－2)0－·(－2)m＝－·(－2)m.
类型二 数列的新定义问题
［例2］ [2024· 新课标Ⅰ卷节选]设为正整数，数列，， ，是公差不为0的等差数列，若从中删去两项和后剩余的项可被平均分为组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列，， ，是可分数列.
（1） 写出所有的，，使得数列，， ，是可分数列；
（2） 当时，证明：数列，， ，是可分数列.
［感悟进阶］
解决新定义数列问题的一般流程
（1）读懂定义，理解新定义数列的含义；
（2）特殊分析，比如对，2，3， 的情况进行讨论；
（3）通过特殊情况寻找新定义数列的规律及性质，以及新定义数列与已知数列（如等差或等比数列）的关系，仔细观察，探求规律，注重转化，合理设计解题方案；
（4）联系等差数列与等比数列知识，将新定义数列问题转化为熟悉的知识进行求解.
［对点训练］．若无穷数列满足：只要，必有，则称数列具有性质.
（1） 若数列具有性质，且，，,,求；
（2） 若数列具有性质，且,，求证：.
课后达标 分级演练
1．宋代制酒业发达，为了存储方便，酒缸要一层一层堆起来，形成堆垛．可用简便的方法算出堆垛中酒缸的总数，古代称之为“堆垛术”．现有一道关于堆垛求和的问题：将半径相等的圆球堆成一个三角垛，底层是每边为n个圆球的三角形，向上逐层每边减少一个圆球，顶层为一个圆球，记自上而下第n层的圆球总数为an，容易发现：a1＝1，a2＝3，a3＝6，则a10－a5＝( )
A. 45 B. 40 C. 35 D. 30
2．将1，2，…，n按照某种顺序排成一列得到数列{an}，对任意1≤iaj，那么称数对(ai，aj)构成数列{an}的一个“逆序对”．若n＝4，则恰有2个逆序对的数列{an}的个数为( )
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
3．科学家牛顿用“作切线”的方法求函数的零点时，给出了“牛顿数列”，其定义是：对于函数，若数列满足，则称数列为牛顿数列.若函数，数列为牛顿数列且，，则的值是（ ）
A. 8 B. 2 C. D.
4多(025·河南五市联考)对于数列{an}，定义bk为a1，a2，…，ak(k＝1，2，…，n，n∈N*)中的最大值，把数列{bn}称为数列{an}的“M值数列”．如数列2，2，3，7，6的M值数列为2，2，3，7，7，则( )
A. 若数列是递减数列，则为常数列
B. 若数列是递增数列，则有
C. 若,则满足为2，3，3，5，5的所有数列的个数为8
D. 若，记为的前项和，则
5．对给定的数列{an}(an≠0)，记bn＝，则称数列{bn}为数列{an}的一阶商数列；记cn＝，则称数列{cn}为数列{an}的二阶商数列；依次类推，可得数列{an}的P阶商数列(P∈N*).已知数列{an}的二阶商数列的各项均为e，且a1＝1，a2＝1，则a10＝__________．
6．（15分）最大公因数，也称最大公约数，指两个或多个正整数公有约数中最大的一个，，的最大公约数记为，，，的最大公约数记为.与最大公约数相对应的概念是最小公倍数，几个自然数公有的倍数叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个自然数叫做这几个数的最小公倍数，，的最小公倍数记为，，，的最小公倍数记为.例如.
（1） 求的值；（7分）
（2） 若数列满足，，求数列的前项和.（8分）
7．[2025·九江模拟]（17分）已知在无穷数列中，，记,, ,，,,，．
（1） 若为2，0，2，4，2，0，2，4， ，是一个周期为4的数列（即，），直接写出，，，的值；（3分）
（2） 若为周期数列，证明：，使得当时，是常数；（6分）
（3） 设是非负整数，证明：的充要条件为为公差为的等差数列．（8分）
8．(17分)(2025·北京模拟)将平面直角坐标系中的一列点A1(1，a1)，A2(2，a2)，…，An(n，an)，…，记为{An}．设f(n)＝AnAn＋1·j，其中j为与y轴正方向方向相同的单位向量，若对任意的正整数n，都有f(n＋1)＞f(n)，则称{An}为T点列．
(1)若A1(1，1)，A2(2，)，A3(3，)，…，An(n，)，…，则{An}是否为T点列？请说明理由；(3分)
（2） 若为点列，且.任取其中连续三点,,，证明为钝角三角形；（6分）
（3） 若为点列，对于正整数,,，比较与的大小，并说明理由.（8分）
典题溯源与重构 2025年八省联考第16题
数列是高中数学教学的主要内容之一，也是每年高考的必考试题，选择题、填空题与解答题都是其主要题型.从高考试题可以看出，基本上是一大一小，小题表现在基本量的运算，大题呈现通项公式与前项和及其相关的关系.主要考查等差数列或等比数列的定义、公式、性质、通项公式与前项和及相关的知识，有时也会与数学文化和其他知识交汇出现，主要考查数学运算、逻辑推理等核心素养，常用化归与转化思想及函数与方程思想加以解决.
［典题呈现］．已知数列中，，.
（1） 证明:数列为等比数列;
（2） 求的通项公式;
（3） 令,证明:.
［规范解答］
［典题溯源］
类别 教材题（选择性必修第二册 ） 典题 关联特征
条件 ① 数值变化
② 都是已知与的关系
问题 ① 求证是等比数列 求证是等比数列 式子顺序变化
② 不等式的证明 不等式的证明 都是构造数列求通项、证明不等式
［典题重构］
1．已知数列满足,，，则（ ）
A. B. C. D.
2．已知数列满足,.
（1） 求证：是等比数列；
（2） 求数列的通项公式.
3．已知数列满足，，为数列的前项和．
（1） 证明：数列是等比数列；
（2） 求数列的通项公式；
（3） 求．
第90页/共95页第六章 数列
第1讲 数列的概念及简单表示法
课标要求 考情分析
1.了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表法、图象法、公式法）. 2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数. 命题形式 高考中各种题型都会出现，难度适中. 常考内容 数列的递推关系及数列的函数特征.
必备知识 自主排查
理一理
1．数列的概念
概念 含义
数列 按照①_ _ _ _ _ _ _ _ 排列的一列数
数列的项 数列中的②_ _ _ _ _ _ _ _
数列的通项 数列的第项
通项公式 数列的第项与③_ _ _ _ _ _ _ _ 之间的关系式
前项和 数列中，④_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
【答案】确定的顺序； 每一个数； 序号；
提醒 数列的项是指数列中某一确定的数，而项数是指数列的项对应的位置序号.
2.数列的分类及性质
3．数列的表示方法
列表法 列表格表示与的对应关系
图象法 把点⑤_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 画在平面直角坐标系中
公式法 通项公式 把数列的通项用公式表示
递推公式 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式
【答案】
常用结论
1.若数列的前项和为，通项公式为，则
2.若，则数列为周期数列，为的一个周期.
练一练
1．判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1） 数列1,2,3与3,2,1是两个不同的数列.（ ）
（2） 若数列的前项和为，则对任意,都有.（ ）
（3） 若数列用图象表示,则从图象上看是一群孤立的点.（ ）
（4） 一个确定的数列,它的通项公式只有一个. （ ）
【答案】（1） √
（2） ×
（3） √
（4） ×
2．已知在数列中，,,则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】选.由题意得，,,,.
3．若数列的前4项分别是，，，，则此数列的一个通项公式为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】选.由题意得该数列的奇数项为正数，偶数项为负数，第 项的绝对值为，故此数列的一个通项公式为.
4．（用结论）已知数列的前项和为，则数列的通项公式为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】当 时，；当 时，,又 不满足上式，所以
5．（选择性必修第二册 练习 （1） 改编）根据下面的图形及相应的点数,可得点数构成的数列的一个通项公式_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】由题图可知，,,,, ，归纳得.
核心考点 师生共研
考点一 由an与Sn的关系求通项公式
［例1］
（1） [2025·广州检测]已知数列的前项和,当取最小值时，_ _ _ _ .
（2） 设是数列的前项和，已知,,则_ _ _ _ _ _ .
【答案】（1） 3
（2）
【解析】
（1） 当 时，由，①知,②由 得.又 满足上式，所以,所以 ,当且仅当,即 时等号成立.
（2） 依题意得,整理得.又,故数列 是以1为首项，1为公差的等差数列.因此，即.
［感悟进阶］
与 关系问题的求解思路
（1）利用转化为只含,的关系式，再求解.
（2）利用转化为只含,的关系式，再求解.
注意 最后需检验当时的表达式是否可以与当时的表达式合并.
［对点训练］
1．[2025·漳州模拟]已知各项均不为0的数列的前项和为，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】选.因为，则，两式相减可得，即，令，可得，且，所以.
2．已知数列满足,则_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】当 时,.
因为,①
故,②
由，得,所以.
显然当 时不满足上式，
所以
考点二 由数列的递推关系求通项公式
［例2］
（1） 若数列满足，且,则数列的第100项为_ _ _ _ .
（2） 设是首项为1的正项数列，且，则_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】（1） 3
（2）
【解析】
（1） 因为,所以, ,,,以上99个式子累加得,所以.
（2） 因为,所以，所以，又 满足上式，所以.
［感悟进阶］
由递推关系求数列的通项公式的常用方法
注意 根据累加法、累乘法求出之后，注意检验是否满足.
［对点训练］
1．已知在数列中，,,则_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】由题得，因为,且 满足上式，所以.
2．已知,,则数列的通项公式为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】因为,所以,, ，,,又,以上各式累乘得
，
且 也满足上式，所以.
考点三 数列的函数特征
角度1 数列的周期性
［例3］
（1） 已知在数列中，，，，则（ ）
A. B. C. 1 D. 2
（2） [2025·太原模拟]已知在数列中，,则数列的前2 026项和为_ _ _ _ .
【答案】（1） A
（2） 2 028
【解析】
（1） 由，，，得，，，，，， ，则 是以6为周期的周期数列，所以.
（2） 因为, 所以,,,,,,, ,所以数列 是以4为周期的周期数列，且,因为，所以数列 的前2 026项和为.
［感悟进阶］
解决数列周期性问题的方法
根据给出的关系式求出数列的若干项，通过观察归纳出数列的周期，进而求有关项的值或者前项的和.
角度2 数列的单调性
［例4］ 设无穷数列的通项公式为.若是递减数列，则 的一个取值为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】（答案不唯一，即可）
【解析】方法一：由 可得，
又 是递减数列，可得，
即，整理得 恒成立，
即，，所以，又因为，所以，即 的取值范围为，则 的一个取值可以为 即可）.
方法二：根据二次函数图象的对称性，的对称轴为直线,
只需，即.（此处特别注意对称轴的位置）
又因为，所以，
即 的取值范围为.
则 的一个取值可以为 即可）.
［感悟进阶］
解决数列单调性问题的三种方法
（1）作差比较法：根据的符号判断数列是递增数列、递减数列，还是常数列.
（2）作商比较法：根据与1的大小关系进行判断.
（3）函数法：结合相应的函数图象直观判断.
角度3 数列的最大（小）项
［例5］ 已知数列的通项公式为,其最大项和最小项分别为（ ）
A. 1, B. 0, C. , D. 1,
【答案】A
【解析】因为,所以当 时，,且单调递减；当 时，，且单调递减，所以最大项为，最小项为.
［感悟进阶］
求数列的最大项或最小项的常用方法
（1）函数法：利用函数的单调性求最值.
（2）利用确定最大项，利用确定最小项.
［对点训练］
1．数列满足,则当_ _ _ _ 时，取最大值为_ _ _ _ _ _ .
【答案】4；
【解析】方法一：.当 时，,所以 单调递增，当 时，,所以 单调递减，故当 时，.
方法二：令 即
解得,又,故,
故当 时，.
2．如下表，定义函数
1 2 3 4 5
4 5 1 2 3
在数列中，，，则_ _ _ _ .
【答案】3
【解析】由，，
可得，
，
，
，
， ，
可得数列 是周期为5的周期数列，则.
课后达标 分级演练
A 基础达标
1．已知数列,,, ，则是该数列的（ ）
A. 第5项 B. 第6项 C. 第7项 D. 第8项
【答案】C
【解析】选.由数列，，， 的前三项，，可知，数列的通项公式为,由,解得.
2．已知数列满足,，则（ ）
A. 4 046 B. C. 2 D.
【答案】C
【解析】选.由题得，,,, ,所以,所以 是周期为2的周期数列，且,所以.
3．已知函数，对任意,由得到的数列均是递增数列，则下列图象对应的函数符合上述条件的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】选.由题可知,,所以,故函数 满足,即函数 的图象在直线 的上方，故排除，，.
4．[2025·贵州模拟]已知数列满足，则“数列是递增数列”的充要条件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】选.因为，
所以，
由，得到，由 得，,所以“数列 是递增数列”的充要条件是.
5．（多选）已知数列的通项公式为其前项和为，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】BC
【解析】选.由题意得，，,,,,,,,故 错误，正确；,故 正确；,,则,故 错误.
6．已知正项数列中，，则_ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】由题意得，,
所以,
所以,
又当 时，,
所以 满足上式，所以.
7．已知数列的首项,前项和为，且满足,则数列的通项公式_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】因为,①
当 时，,②
由 得,
又当 时，,得,
所以,所以数列 是以1为首项，为公比的等比数列，故.
8．[2025·长沙模拟]一只蜜蜂从蜂房出发向右爬，每次只能爬向右侧相邻的两个蜂房（如图），例如：从蜂房只能爬到1号或2号蜂房，从1号蜂房只能爬到2号或3号蜂房 以此类推，用表示蜜蜂爬到号蜂房的方法数，则.
【答案】89
【解析】依题意，，,，所以，，，，，，，
9．（13分）已知数列中，，，.
（1） 求，的值；（6分）
（2） 求的前2 025项和.（7分）
【答案】
（1） 解：当 时，，所以；
当 时，，所以.
（2） 当 时，，所以，由 得，所以，故数列 是以4为周期的周期数列，
所以.
B 综合运用
10．[2025·长春联考]（多选）已知数列满足,,,则下列结论正确的有（ ）
A.
B. 数列是等比数列
C. 数列为递增数列
D. 数列的前项和的最小值为
【答案】ABD
【解析】选.在数列 中，由,得,因为,所以数列 是首项为1，公比为2的等比数列，则,即,故,故,正确；
显然，,当 时，,因此数列 不是单调数列，故 错误；
当 时，，即数列 从第2项起是递增数列，而,,因此数列 的前6项均为负数，从第7项起均为正数，所以数列 的前 项和 的最小值为，故 正确.
11．[2025·滨州模拟]已知函数,数列满足,,,则_ _ _ _ .
【答案】1
【解析】由题意可知，的定义域为，
且,
即,可知 为定义在 上的奇函数，且,
因为 在 上单调递增且恒大于0，
可知 在 上单调递增.
因为,
则,
可得,即,
由 可知，3为数列 的周期，则,,
所以,且，
所以.
12．已知数列的各项都为正数，定义：为数列的匀称值.若数列的匀称值为，则_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】因为各项均为正数的数列 的“匀称值”为，
所以，①
所以当 时，，②
得，所以，
所以.
13．（13分）已知数列的前项和为，且满足.
（1） 求数列的通项公式；（6分）
（2） 设,求数列的最大项.（7分）
【答案】
（1） 解：因为,①
所以,②
由 并整理，得,
又由,得,
所以数列 是首项为，公比为 的等比数列，所以.
（2） 因为,
所以,
当 时，,
当 时，,
即 ,
所以数列 的最大项为.
14．（15分）已知数列中，，其前项和为，且满足.
（1） 求数列的通项公式；（7分）
（2） 记，若数列为递增数列，求实数 的取值范围.（8分）
【答案】
（1） 解：因为，①
所以，②
得，
即，所以,
所以,所以.
（2） 由（1）得，.
.
因为数列 为递增数列，
所以,即.
令,
则.
所以数列 为递增数列，所以,
即实数 的取值范围为.
第2讲 等差数列
课标要求 考情分析
1.理解等差数列的概念. 2.掌握等差数列的通项公式与前项和公式. 3.能在具体的问题情境中发现数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题. 4.体会等差数列与一次函数、二次函数的关系. 命题形式 常以选择题或解答题的形式出现. 常考内容 等差数列的基本运算与性质. 创新考法 与等比数列、数列求和、不等式等问题结合.
必备知识 自主排查
理一理
1．等差数列的有关概念
（1）定义：如果一个数列从①_ _ _ _ 起，每一项与它的前一项的② 都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列.符号表示为③_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ （，为常数）.
（2）等差中项：数列,,成等差数列的充要条件是④_ _ _ _ _ _ _ _ ，其中叫做与的⑤_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】第2项； 差； ； ； 等差中项
提醒 理解定义要注意三个关键词——“从第2项起”“每一项与它的前一项的差”“同一个常数”.
2．等差数列的基本公式
（1）通项公式：⑥_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
（2）前项和公式：⑦_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】；
3.等差数列的常用性质
已知为等差数列，为公差，为该数列的前项和.
（1）通项公式的推广：;
（2）在等差数列中，当时，.特别地，若,则;
（3）,,, 仍是等差数列，公差为；
（4）,,， 也成等差数列，公差为;
（5）若,（项数相同）都是等差数列，则也是等差数列；
（6）若是等差数列，则也是等差数列，其首项与首项相同，公差是公差的.
常用结论
1.等差数列的函数性质
（1）等差数列的单调性：当时，是递增数列；当时，是递减数列；当时，是常数列.
（2）在等差数列中，，，则存在最大值；若,,则存在最小值.
2.两个常用结论
（1）关于等差数列奇数项和与偶数项和的性质
①若项数为,则,;
②若项数为,则,,,.
（2）两个等差数列,的前项和,之间的关系为.
练一练
1．判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1） 若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数,则这个数列是等差数列.（ ）
（2） 等差数列的单调性是由公差决定的. （ ）
（3） 数列为等差数列的充要条件是对任意,都有.（ ）
（4） 等差数列的前项和公式是常数项为0的二次函数.（ ）
【答案】（1） ×
（2） √
（3） √
（4） ×
2．已知数列满足,,则（ ）
A. 20 B. 25 C. 30 D. 35
【答案】D
【解析】选.由题意得，,故数列 是以3为首项，2为公差的等差数列，所以.
3．（选择性必修第二册P15T4 改编）已知在等差数列中，,,则（ ）
A. 18 B. 16 C. 20 D. 17
【答案】A
【解析】选.因为,所以.
又,所以公差,
所以.
4．（用结论）在项数为的等差数列中，各奇数项之和为75，各偶数项之和为90，末项与首项之差为27，则_ _ _ _ .
【答案】5
【解析】设等差数列的公差为,
则,
又因为,
所以 解得
5．（选择性必修第二册P21例7改编）已知等差数列的前项和为，且,，则.
【答案】18
【解析】由于,,成等差数列，所以,解得.
核心考点 师生共研
考点一 等差数列基本量的运算
［例1］
（1） [2024·全国甲卷]记为等差数列的前项和.已知，，则（ ）
A. B. C. D.
（2） [2024· 新课标Ⅱ卷]记为等差数列的前项和.若，，则.
【答案】（1） B
（2） 95
【解析】
（1） 方法一：设等差数列 的公差为.由已知条件可得 解得 方法二：设等差数列 的公差为.由，可得,即,则,所以.
（2） 方法一：设等差数列 的公差为，由题意得，，即 解得 所以.方法二：设 的公差为，由 得 故，，则.
［感悟进阶］
等差数列基本量的求法
(1)等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及a1，an，d，n，Sn五个量，知其中三个就能求另外两个，体现了方程的思想．
(2)数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知量和未知量是常用方法．
[对点训练] 1.(2025·全国二卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若S3＝6，S5＝－5，则S6＝( )
A．－20 B．－15 C．－10 D．－5
解析：选B.方法一：记{an}的公差为d.
因为S3＝6，S5＝－5，
所以解得
所以a6＝a1＋5d＝－10，
所以S6＝S5＋a6＝－5－10＝－15.故选B.
方法二：因为Sn为等差数列{an}的前n项和，所以设Sn＝An2＋Bn，
由S3＝6，S5＝－5，得解得所以Sn＝－n2＋n，所以S6＝－×36＋×6＝－15.故选B.
2．[2025·汕头模拟]已知等差数列的前项和为，，，若，则（ ）
A. 8 B. 9 C. 10 D. 11
【答案】B
【解析】选.由，，得，解得，则等差数列 的公差，于是，，由，得，所以（负值已舍去）.
考点二 等差数列的判定与证明
［例2］ 已知数列满足,且.
（1） 求,.
（2） 证明数列是等差数列，并求的通项公式.
【答案】
（1） 【解】由已知，得,
又因为,所以.
由，得，
所以.
（2） 由,得,即，所以数列 是首项为，公差为2的等差数列，则，所以.
［感悟进阶］
［对点训练］
1．已知数列的前项和且,,则（ ）
A. 13 B. 49 C. 35 D. 63
【答案】B
【解析】选.由 可知数列 是等差数列，依题意得，公差,则,即,,所以.
2．已知数列满足,，且，则数列的第100项为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】选.因为,
所以,所以 为等差数列，首项为,第2项为,所以公差,所以，所以.
考点三 等差数列的性质及应用
角度1 项的性质
［例3］
（1） [2024· 九省联考]记等差数列的前项和为,,,则（ ）
A. 120 B. 140 C. 160 D. 180
（2） [2025·运城模拟]已知数列是等差数列，，则（ ）
A. 4 B. C. D.
【答案】（1） C
（2） C
【解析】
（1） 由等差数列的性质可得,所以,所以.
（2） 因为，则，又，则，解得，所以.
［感悟进阶］
等差数列的项的性质
两项和的转换是最常用的性质，利用可实现项的合并与拆分，在中，与可相互转化.
角度2 和的性质
［例4］
（1） 已知等差数列的前项和为，若,,则（ ）
A. 63 B. 71 C. 99 D. 117
（2） 已知等差数列,的前项和分别为,,若对任意正整数都有,则_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】（1） C
（2）
【解析】
（1） 由等差数列 的前 项和性质，得,,也成等差数列，即,又,,则,因此.
（2） ，所以.
［感悟进阶］
等差数列前 项和的性质
在等差数列中，为其前项和，则
.
.
,，， 成等差数列.
角度3 最值问题
［例5］ [2025·湖北联考]已知公差小于0的等差数列的前项和为，若,,是等比数列，则当取最大值时，（ ）
A. 2或3 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】B
【解析】设等差数列 的公差为,则由,,是等比数列，得,整理得,又，所以,即,所以.因为,所以当 时，取得最大值.
［感悟进阶］
求等差数列前 项和 最值的两种方法
［对点训练］
1．[2025·贵阳适应性考试]设等差数列的前项和为，已知,,则（ ）
A. 150 B. 140 C. 130 D. 120
【答案】D
【解析】选.方法一：设等差数列 的公差为，由题意得
解得 所以.
方法二：设等差数列 的公差为，
因为,
所以,又,
所以,解得.
所以.
2．（多选）设等差数列的前项和为，若,,则（ ）
A.
B.
C. ，， ，中最大的项为
D. ，， ，中最大的项为
【答案】ABD
【解析】选.由,得，故 正确；由，得，所以，且公差，故 正确；所以数列 为递减数列，当 时，，当 时，，且当 时，,当 时，，则，， ，，，， ，，又当 时，且单调递减，且单调递增，所以 单调递增，所以，， ，中最大的项为，故 错误，正确.
3．已知等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项和为290，所有偶数项和为261，则该数列的项数为.
【答案】19
【解析】设等差数列 的前 项和为，项数为 且,则,解得,则该数列的项数为.
课后达标 分级演练
A 基础达标
1．已知为等差数列，其前项和为,若,,,则（ ）
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
【答案】C
【解析】选.因为公差,,解得（负值已舍去）.
2．已知,都是首项为1的等差数列，且的公差为3,的公差为2,若数列满足，则（ ）
A. 20 B. 27 C. 40 D. 47
【答案】D
【解析】选.因为 是首项为1，公差为3的等差数列，所以,又 是首项为1，公差为2的等差数列，所以,因此,所以.
3．《周髀算经》中有一个问题，大意是：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气，自冬至日起，其日影长依次成等差数列．若立春当日日影长为9.5尺，春分当日日影长为6尺，则立夏当日日影长为( )
A.16.5尺 B．13尺
C．3.5尺 D．2.5尺
解析：选D.设十二个节气自冬至日起的日影长构成等差数列{an}，则立春当日日影长为a4＝9.5尺，春分当日日影长为a7＝6尺，所以立夏当日日影长为a10＝2a7－a4＝2×6－9.5＝2.5(尺).
4．[2025·甘肃高考诊断考试]在等差数列中，,是方程的两根，若,则的值为（ ）
A. B. C. 2 D. 6
【答案】B
【解析】选.因为,是方程 的两根，所以,且.在等差数列 中，,所以,,代入 可得,解得.
5．[2025· 东北三校联考]（多选）已知等差数列的首项,则下列选项中正确的是（ ）
A. 若,则
B. 若,,则
C. 若,,则
D. 若,则,
【答案】ACD
【解析】选.对于，,则,故 正确；
对于，,则,,则,,故,故 错误；
对于，,则,故 正确；
对于，设 的公差为，由,得,解得,又,则,,故 正确.
6．已知等差数列的前项和为，公差为，若，则.
【答案】10
【解析】由题意可知，解得 所以.
7．已知公差不为0的等差数列的前23项和等于前8项和.若,则的值为.
【答案】24
【解析】设等差数列 的公差为,前 项和为，则由题意得，即,整理得.
因为,所以,即,所以,因为,所以.
8．在等差数列中，若,则_ _ _ _ .
【答案】0
【解析】根据题意可得 , ,所以.
9．（13分）已知公差不为0的等差数列满足,.
（1） 求数列的通项公式；（6分）
（2） 记数列的前项和为，求使成立的最大正整数.（7分）
【答案】
（1） 解：设等差数列 的公差为,
由 得
解得 所以.
（2） 由（1）得,
若,即,
即,解得,所以使 成立的最大正整数 为10.
B 综合运用
10．[2025·江苏模拟]在各项不为0的等差数列中，且，则（ ）
A. B. C. 0 D. 2
【答案】C
【解析】选.因为 为等差数列，且，则，设等差数列 的公差为，又因为，则，可得，即，解得，可知，所以.
11．[2025·淮北质检]记是等差数列的前项和，则“是递增数列”是“是递增数列”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】选.设等差数列 的公差为.若 是递增数列，则.
,故,
所以 是递增数列，充分性成立；若 是递增数列，则,故,所以 是递增数列，必要性成立.故“是递增数列”是“是递增数列”的充要条件.
12．[2025·河北模拟]已知等差数列的前项积为，，，，则当取得最小值时，_ _ _ _ .
【答案】7
【解析】设等差数列 的公差为，由，解得，则，，得，则 是递增数列，且，，因此当 时，，当 时，，因此 最小，故 取得最小值时，.
13．[2023· 新课标Ⅰ卷]（12分）设等差数列的公差为，且.令,记,分别为数列,的前项和.
（1） 若,,求的通项公式；（5分）
（2） 若为等差数列，且，求.（7分）
【答案】
（1） 解：因为，
所以,解得,
所以,
,
又,
所以,
即,
解得 或（舍去），所以.
（2） 因为 为等差数列，
所以,即,
所以,
即,解得 或,
因为,所以,又，
由等差数列的性质知，,
即,所以,
即,
解得 或（舍去）.
当 时，,
解得,与 矛盾，舍去；
当 时，，
解得，满足题意.综上，.
14．[2025·河南段考]（13分）已知数列的前项和满足.
（1） 求证：是等差数列；（6分）
（2） 若当且仅当时，最大，比较与的大小.（7分）
【答案】
（1） 解：证明：由题意知，,①
则,②
得,
即,③
则,④
得,所以 是等差数列.
（2） 设等差数列 的公差为，当 时，由 得，,即.
由题意可知 即
解得,则（另
解：）,即,
又,所以.
第3讲 等比数列
课标要求 考情分析
1.理解等比数列的概念并掌握其通项公式与前项和公式. 2.能在具体的问题情境中发现数列的等比关系，并解决相应的问题. 3.体会等比数列与指数函数的关系. 命题形式 高考中各种题型均有出现，难度适中. 常考内容 等比数列及其前项和的基本运算与性质. 创新考法 等比数列与函数、方程、不等式结合.
必备知识 自主排查
理一理
1．等比数列的有关概念
（1）定义:如果一个数列从①_ _ _ _ 起，每一项与它的前一项的比都等于②_ _ _ _ _ _ _ _ ，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的③_ _ ，通常用字母④_ _ _ _ _ _ 表示，定义的表达式为.
（2）等比中项:如果,,成等比数列，那么⑤_ _ _ _ _ _ 叫做与的等比中项.即：是与的等比中项,,成等比数列.
【答案】第2项； 同一个常数； 公比； ；
提醒 （1）在等比数列中，易忽视每一项与公比都不为0；（2）只有当两个数同号且不为0时，这两个数才有等比中项，且等比中项有两个，它们互为相反数.
2．等比数列的基本公式
（1）通项公式：⑥_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
（2）前项和公式：
【答案】； ； ；
提醒 在求等比数列的前项和时，易忽略这一特殊情形.
3．等比数列的常用性质
已知数列是等比数列，是其前项和.
（1）通项公式的推广：;
（2）若,则⑩_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ;
（3）若数列,（项数相同）都是等比数列，则，,,,仍然是等比数列；
（4）在等比数列中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即,,,， 为等比数列，公比为;
（5）公比不为的等比数列的前项和为,则,,， 仍成等比数列，其公比为;当公比为时，,,， 不一定构成等比数列.
【答案】；
常用结论
1.等比数列的单调性
当,或,时，是递增数列；当，或,时，是递减数列；当时，是常数列.
2.等比数列的常用结论
（1）;
（2）若,则,,， 成等比数列；
（3）若数列的项数为,则;若项数为,则.
练一练
1．判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1） 等比数列的公比，则该数列为递增数列.（ ）
（2） 三个数,,成等比数列的充要条件是.（ ）
（3） 如果数列为等比数列，则数列{是等差数列.（ ）
（4） 数列的通项公式是，则其前项和为.（ ）
【答案】（1） ×
（2） ×
（3） ×
（4） ×
2．已知数列是等比数列，是其前项和，若,公比，，则（ ）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
【答案】B
【解析】选.由题意知,解得.
3．（选择性必修第二册P37T1改编）在等比数列中，若，，则的值为（ ）
A. B. C. D. 或
【答案】D
【解析】选.由，得，即，解得 或，所以 或.
4．（选择性必修第二册P31T3改编）在等比数列中，,,则_ _ _ _ .
【答案】9
【解析】由 得,故.
5．（用结论）已知等比数列共有项，其和为,且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比_ _ _ _ .
【答案】2
【解析】由题意，得
解得
所以.
核心考点 师生共研
考点一 等比数列基本量的运算
［例1］ [2024·全国甲卷]记为等比数列的前项和，已知.
（1） 求的通项公式；
（2） 求数列的前项和.
【答案】
（1） 【解】因为，①
所以，②
得,即，所以等比数列 的公比为.
因为，
所以，故.
（2） 因为，所以,设数列 的前 项和为,
则
.
细研真题 本题源于教材人教版选择性必修第二册.该题考查了等比数列的概念、通项公式及前项和公式等内容.若把本例条件“”适当变化，还可以进行如下考查.
真题变式
1．已知等比数列的前项和为,且,则_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】因为,所以,两式相减得,
即,设等比数列 的公比为，
则.
当 时，由 得，,
解得.
所以.
2．已知等比数列的前项和为，且,则_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】因为，所以，两式相减得,即.
设等比数列 的公比为，则.
当 时，由 得，,即，
解得,所以.
［感悟进阶］
解决等比数列有关问题的两种常用思想
（1）方程思想：等比数列中有,,,,五个量，一般可以“知三求二”，通过列方程（组）求关键量和，问题可迎刃而解.
（2）分类讨论思想：等比数列的前项和公式涉及对公比的分类讨论.
［对点训练］
1．[2023·全国甲卷]设等比数列的各项均为正数，前项和为,若，,则（ ）
A. B. C. 15 D. 40
【答案】C
【解析】选.设等比数列 的公比为,由题意知,且.由，得,解得，所以.
2．已知在正项等比数列中，，，记为数列的前项和，若，则_ _ _ _ .
【答案】6
【解析】设等比数列 的公比为，则，且，且，所以，解得.
考点二 等比数列的判定与证明
［例2］ 已知各项都为正数的数列满足,,且.
（1） 求证：是等比数列；
（2） 求数列的通项公式.
【答案】
（1） 【解】证明：因为,
所以,
因为，所以,
所以,所以,
所以 是首项和公比均为 的等比数列.
（2） 由（1）得.
因为,
所以.
［感悟进阶］
注意（1）在解答题中证明一个数列为等比数列时，只能用定义法和等比中项法；（2）如果要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续的三项不成等比数列即可.
［对点训练］．已知数列满足，.
证明：数列{是等比数列，并求数列的通项公式.
解：因为，
所以，
则，
又，所以数列{是以 为首项，2为公比的等比数列，
则，
所以.
考点三 等比数列的性质
角度1 项的性质
［例3］
（1） （多选）已知正项等比数列的公比为，前项积为，且满足，，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. D. 存在最大值
（2） 已知数列为正项等比数列，若，，则_ _ _ _ _ _ .
【答案】（1） ACD
（2）
【解析】
（1） 由已知，又，，所以，，正确，错误；，，所以，正确；因为 且，所以等比数列 为递减数列，于是 ，则 的最大值为，正确.
（2） 由，由等比数列的性质可得，，则，所以，又，所以．
［感悟进阶］
在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用等比数列的性质，特别是“若，则”,可以减少运算量，提高解题速度.
角度2 和的性质
[例4] (2025·全国一卷)若一个等比数列的各项均为正数，且前4项的和等于4，前8项的和等于68，则这个数列的公比等于________．
【解析】 设该等比数列为{an}且公比为q(q＞0).
方法一：若q＝1，则S8＝2S4，又8≠68，所以q≠1.根据题意可得
解得q＝2(负值舍去).
方法二：由方法一可知，该数列的公比q是不为1的正数，则S4，S8－S4，S12－S8，…成公比为q4的等比数列，所以＝＝q4，解得q＝2(负值舍去).
快解：由方法一可知，该数列的公比q是不为1的正数，由已知可得S8＝S4＋q4S4＝4＋4q4＝68，解得q＝2(负值舍去).
【答案】 2
［感悟进阶］
等比数列性质应用问题的解题突破口
等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形，二是等比中项的变形，三是前项和公式的变形.根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征，即可找出解决问题的突破口.
注意 在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要对性质进行适当变形.此外，解题时注意“设而不求”的运用.
［对点训练］
1．[2025·安徽模拟]在等比数列中，若，则（ ）
A. 2 B. C. 4 D. 8
【答案】C
【解析】选.因为数列 是等比数列，则，即，所以.
2．已知等比数列有项，,所有奇数项的和为85，所有偶数项的和为42，则（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【答案】B
【解析】选.因为等比数列有 项，则奇数项有 项，偶数项有 项，设公比为，得到奇数项的和为，偶数项的和为,整体代入得，所以前 项的和为,解得.
课后达标 分级演练
A 基础达标
1．已知数列满足，若,,则（ ）
A. B. C. 2 D. 8
【答案】C
【解析】选.由 可知，数列 为等比数列，则,设数列 的公比为,因为,且，所以，所以.
2．[2025·雅安模拟]已知数列是等差数列，数列是等比数列，若,,则（ ）
A. 2 B. C. D.
【答案】C
【解析】选.由题意可得
解得
所以.
3．[2025·郑州质检]已知数列为等比数列，且,.设等差数列的前项和为，若,则（ ）
A. 或36 B. C. 36 D. 18
【答案】C
【解析】选.方法一（基本量法） 设等比数列 的公比为.因为,所以,即,所以,即.设等差数列 的公差为,则.
方法二（性质法） 设等比数列 的公比为,由题意，得,因为,所以，所以,即.因为数列 是等差数列，所以.
4．设等比数列的公比为,前项和为.若,,且,,则的值为（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【答案】B
【解析】选.易知，因为,所以,即,又,所以.由，得,又,所以，即，因为，所以，所以，解得.
5．(多选)(2025·全国二卷)记Sn为等比数列{an}的前n项和，q为{an}的公比，q＞0.若S3＝7，a3＝1，则( )
A．q＝ B．a5＝
C．S5＝8 D．an＋Sn＝8
解析：选AD.方法一：根据题意，由得①÷②得＋＋1＝7，化简得6q2－q－1＝0，解得q＝或q＝－(舍去)，故A正确；由A可知q＝，则a1＝＝4，因此an＝4×，则a5＝4×＝，故B错误；S5＝＝，故C错误；an＋Sn＝4×＋＝＋8－＝8，故D正确．故选AD.
方法二：对于A，由S3＝a1＋a2＋a3＝＋＋a3＝＋＋1＝7，整理得6q2－q－1＝0，解得q＝或q＝－(舍去)，故A正确；对于C，因为S3＝7，a4＝a3q＝1×＝，a5＝a4q＝×＝，所以S5＝S3＋a4＋a5＝7＋＋＝，故C错误，B，D选项解析同方法一．
6．设等比数列的前项和为,若,则_ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】依题意， ， , ,,，因为 是等比数列，所以,即,解得
7．已知数列是等比数列，,是函数的两个不同零点，则_ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】根据题意，由数列 是等比数列，得,所以.
8．若正项等比数列的前项和为，且，则的最小值为.
【答案】20
【解析】因为 是正项等比数列，所以，，也是等比数列，由题得，，
且，
所以，
则
，
当且仅当，即（负值已舍去）时取等号，所以 的最小值为20.
9．（13分）已知等比数列的各项满足，,且,,成等差数列.
（1） 求的通项公式；（6分）
（2） 求数列的前项和.（7分）
【答案】
（1） 解：设等比数列 的公比为，由于,,成等差数列，所以,
即,化简可得.
由 知，数列 为递增数列，
所以,所以.
（2） 设数列 的前 项和为，
则
.
B 综合运用
10．在《增减算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难．次日脚痛减一半，如此六日过其关．”其大意是有人要去某关口，路程为378里，第一天健步行走，从第二天起由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六天，才到目的地，则此人后三天所走的里程数为( )
A．6 B．12 C．18 D．42
【答案】D
【解析】选.设第 天走 里，其中,由题意可知，数列 是公比为 的等比数列，所以,解得,所以此人后三天所走的里程数为.
11．[2025·潍坊模拟]已知数列满足,.若数列是公比为2的等比数列，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】选.由题意得,则,所以,两式相减得,所以,,, ,,各式相加得,则.
12．[2025·亳州联考]（多选）已知等比数列的前项积为，,公比，且,,则（ ）
A.
B. 当时，最小
C. 当时，最小
D. 存在，使得
【答案】AC
【解析】选.对于，因为,,所以,又,，所以,故 正确；
对于，，因为,所以,则,又，所以,所以，故.由,，可知数列 是递增数列，当 时，；当 时，.所以当 时，最小，故 错误，正确；
对于，因为数列 是递增数列，且当 时，,所以当 时，，故 错误.
13．[2025·南京调研]（13分）设数列的前项和为，.
（1） 求数列的通项公式；（6分）
（2） 若数列满足,求的前50项和.（7分）
【答案】（1） 解：由,得,两式相减得，即,又当 时，,得,所以，故 是首项为，公比为 的等比数列,故.
（2） 由（1）得,
所以.
14．[2025·济南模拟]（15分）已知数列的前项和为,且,令.
（1） 求证：为等比数列；（7分）
（2） 求使取得最大值时的值.（8分）
【答案】
（1） 解：证明：由 可得,，两式相减得，，整理得,,
因为,,所以,
则,综上，,,
所以 是首项和公比均为 的等比数列.
（2） 由（1）可得,
所以,,
当 时，,
令,可得,
令,可得,
令,可得,
可知 ,
所以 取得最大值时，或.
培优课 构造法求数列的通项公式
求数列的通项公式时，除了前面我们学习过的公式法、累加法、累乘法等，构造法也是一种重要方法．其基本思想是根据数列递推公式的特征，通过构造特殊的数列（等差、等比数列或可利用累加、累乘法求解的数列）解决问题．
类型一 形如型
角度1 型
［例1］ 已知数列满足，，则数列的通项公式为_ _ _ _ _ _ _ _ ．
【答案】
【解析】由，
得，
又，
则，所以 是以5为首项，5为公比的等比数列，
所以，所以.
角度2 型
［例2］ 已知数列满足,,则_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】因为,所以，又,所以,所以数列 是以2为首项，2为公比的等比数列，所以,所以.
角度3 型
［例3］ 在数列中，,,,则数列的通项公式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由 得,所以,又,所以数列 是首项为1，公差为2的等差数列，所以,故.
［感悟进阶］
形式 构造方法
引入参数，构造新的等比数列
引入参数,,构造新的等比数列
等式两边同除以,构造新的等比或等差数列
［对点训练］
1．设数列满足，且，则数列的通项公式为_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】由,得,因为,所以,所以,所以数列 是以3为首项，3为公比的等比数列，所以,即.
2．已知数列满足，，则数列的通项公式为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】在数列 中，由，得，即，而，，则数列 是首项为3，公比为 的等比数列，因此，即，所以数列 的通项公式为.
类型二 形如型
［例4］ 已知数列满足,,且,则数列的通项公式为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】等式两边同时加上 得，
,
令,解得 或.
所以 或.
所以数列 是首项为,公比为3的等比数列；数列 是首项为，公比为 的等比数列，
因此,①
,②
由 得,
故.
［感悟进阶］
递推关系为的题型在求解时一般采用待定系数法，设,即，进而得到方程组解之即可.
［对点训练］．若1是函数的极值点，数列满足,，则数列的通项公式为_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】,所以,即,又,所以,所以数列 是首项为2，公比为3的等比数列，所以,则当 时，,也满足上式，所以.
类型三 形如,,为常数，，,,型
［例5］ 在数列中，，，，则数列的通项公式为_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】递推公式 两边同时取倒数，得，
即，因此，
又，
故数列 是以2为首项，2为公比的等比数列，所以，可得.
［感悟进阶］
，，为常数，，，，型的求解方法是等式两边同时取倒数变形构造出线性递推公式，是常数且，进而求解.
［对点训练］．已知在数列中，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】选.由题意得，由，得，又，所以数列 是以1为首项，为公差的等差数列，所以，所以，，所以.
课后达标 分级演练
A 基础达标
1．已知数列满足,,则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】选.易知，将 两边同时取倒数，得,即，又，故数列 是首项为2，公差为1的等差数列，则，,故.
2．已知数列满足，若，则（ ）
A. 4 B. 3 C. D. 2
【答案】B
【解析】选.由 可得，又，所以，则 是公比为2的等比数列，所以，所以.
3．在数列中，,,则（ ）
A. 是等比数列 B. 是等比数列
C. 是等比数列 D. 是等比数列
【答案】B
【解析】选.因为,所以,又，所以 是首项为4，公比为2的等比数列.
4．在数列中，若,,则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】选.由,知,对 两边取以3为底的对数得，，则数列{是以 为首项，2为公比的等比数列，则,即.
5．[2025·商洛模拟]已知是数列的前项和，,,则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】选.因为，所以.
因为,所以 从第二项起是公比为 的等比数列，
所以,
所以 所以,,所以.
6．已知首项为1的数列满足，则_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】由,得,因为,所以,则,
所以数列 是首项为，公比为5的等比数列，
所以,即.
7．已知数列满足,，则_ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】由,
得,
又,所以数列 是首项为4，公比为4的等比数列，所以，所以.
8．已知数列满足，，则数列的通项公式为_ _ _ _ _ _ _ _ ．
【答案】
【解析】由题意得，由，
取倒数得，
所以，因为，
所以，所以，所以 是首项为2，公比为2的等比数列，
所以，则，
所以数列 的通项公式为.
9．（13分）已知数列中,,且.
（1） 求,,并证明是等比数列；（6分）
（2） 求的通项公式.（7分）
【答案】
（1） 解：由题意得,,
因为,
又,
所以,
所以 是首项为1，公比为2的等比数列.
（2） 由（1）知,
所以.
B 综合运用
10．设数列的前项和为,若,则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】选.当 时，,解得.当 时，,所以,即,所以,又,所以数列 是首项为3，公比为2的等比数列，则,,从而,故.
11．（13分）已知数列满足,且.证明数列为等比数列，并求数列的通项公式.
解：因为,,等式两边同除以,
得,
则，又,
所以数列 是以2为首项，2为公比的等比数列，则,
所以,
则,当 时，,
又当 时，上式也成立，故.
12．（15分）已知数列满足,,.证明：
（1） 是等比数列；（7分）
（2） 存在两个等比数列,，使得成立.（8分）
【答案】
（1） 证明：方法一：设,
则.
因为,
所以 解得（舍去）或 所以,，所以，所以数列 是首项为3，公比为3的等比数列.
方法二：由,
得，
所以,
下同方法一.
（2） 因为,
所以，
显然，所以,
所以数列 是首项为2,公比为2的等比数列，
所以,①
由（1）知，,②
由 得,
所以存在等比数列,,,，或,,使得 成立.
C 素养提升
13．将一些数排成如图所示的倒三角形，其中第一行各数依次为1，2，3， ，，从第二行起，每一个数都等于它“肩上”的两个数之和，最后一行只有一个数，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】选.记第 行的第一个数为,
则,,,, ,,
所以,
即 是以 为首项，1为公差的等差数列.
所以,
所以,
又每行比上一行的数字少1个，
所以最后一行为第2 025行，
所以.
第4讲 数列求和
课标要求 考情分析
1.熟练掌握等差数列、等比数列的前项和公式，能够利用公式求数列的前项和. 2.会求一些非等差、等比数列的前项和. 命题形式 多以解答题的形式出现，难度适中. 常考内容 分组（并项）求和、错位相减求和、裂项相消求和等. 创新考法 和函数与导数结合，研究数列性质并求和.
必备知识 自主排查
理一理
数列求和的常用方法
（1）公式法
①等差数列的前项和.
②等比数列的前项和
（2）分组转化法：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和后再相加减.
（3）裂项相消法：把数列的通项公式拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得前项和.
（4）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前项和时可用错位相减法求解.
提醒 用错位相减法求和时，注意最后一项的符号.
（5）倒序相加法：如果一个数列的前项中，与首末两端等“距离”的两项的和等于同一个常数，那么求这个数列的前项和即可用倒序相加法求解.
常用结论
裂项求和常用的变形
（1）.
（2）.
（3）.
（4）.
（5）.
（6）.
（7）.
练一练
1．判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1） 若数列为等比数列，且公比不为1，则数列的前项和.（ ）
（2） 当时，.（ ）
（3） 求时只要把等号两边同时乘以即可根据错位相减法求得. （ ）
（4） 若数列，， ，是首项为1，公比为3的等比数列，则数列的通项公式是.（ ）
【答案】（1） √
（2） √
（3） ×
（4） √
2．数列的前项和为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】选.所求数列的前 项和为.
3．（用结论）已知数列的通项公式为，则数列的前99项和为（ ）
A. 10 B. 9 C. 99 D. 100
【答案】B
【解析】选.因为,所以.
4．已知数列的前项和为,若,则_ _ _ _ .
【答案】9
【解析】.
5．（选择性必修第二册 习题（2）改编）_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 且.
【答案】
【解析】设,①
则,②
得,所以.
核心考点 师生共研
考点一 分组求和与并项求和
［例1］ 设是递增的等差数列，是等比数列，已知,,,.
（1） 求数列和的通项公式；
（2） 设，求数列的前项和.
【答案】
（1） 【解】设 的公差为,的公比为,由,,得，即,
又因为,所以，
即,联立
解得（舍去）或
所以,.
（2） 由（1）可得,
所以
.
［感悟进阶］
分组求和法与并项求和法的应用策略
一般地，如果是等差数列，是等比数列，求数列或的前项和时，可采用分组求和法求解.如果,求的前项和时，可采用并项求和法求解.
［对点训练］．已知等差数列满足.
（1） 求的通项公式;
（2） 若 ,记的前项和为,求.
【答案】
（1） 解：设等差数列 的公差为，
则,
,
所以 解得 故.
（2） 由（1）及题意得，
所以,
所以.
考点二 裂项相消法求和
［例2］ 已知等差数列,其前项和满足，为常数.
（1） 求及的通项公式；
（2） 记,求数列的前项和.
【答案】
（1） 【解】由题意，当 时，,
当 时，,则,,
因为数列 是等差数列，所以,即,解得,
则,满足,
所以 的通项公式为.
（2） 由（1）可得,则,
所以
.
［感悟进阶］
破解裂项相消求和的关键点
（1）定通项：根据已知条件求出数列的通项公式;
（2）巧裂项：根据通项公式的特征进行准确裂项，把数列的每一项，表示为两项之差的形式;
（3）消项求和：通过累加抵消掉中间的项，达到消项的目的，准确求和.
注意（1）裂项原则：一般是前边裂几项,后边就裂几项,直到发现被消去项的规律为止.
（2）消项规律：消项后前边剩几项,后边就剩几项,前边剩第几项,后边就剩倒数第几项.
［对点训练］．已知数列为公差大于0的等差数列，,且,,成等比数列.
（1） 求数列的通项公式；
（2） 设,数列的前项和为,若,求的值.
【答案】
（1） 解：设等差数列 的公差为.
由题意得
解得 所以.
所以数列 的通项公式是.
（2） 由（1）知，,
所以.
因为,所以,解得.
考点三 错位相减法求和
［例3］ [2025·长治模拟]已知正项等比数列满足,．
（1） 求数列的通项公式；
（2） 若数列满足，设其前项和为，求证：．
【答案】
（1） 【解】设正项等比数列 的公比为，
由，得，
两式相除得，则（负值已舍去），
又，
即，又，则，
所以数列 的通项公式是.
（2） 证明：由（1）知，
则，
于是，
两式相减得，
因此，
而 恒成立，则.
所以.
［感悟进阶］
用错位相减法求和的解题策略
如果一个数列的各项是由一个等差数列（公差为）和一个等比数列（公比为,）的对应项之积构成的，那么这个数列的前项和可用错位相减法来求.步骤如下：
［对点训练］．已知是等差数列，其前项和为，是正项等比数列，,,,是和的等差中项.
（1） 求和的通项公式；
（2） 求数列的前项和.
【答案】（1） 解：设 的公差为，的公比为,由题意,,解得,所以,则.又，是 和 的等差中项，故,所以,解得（负值已舍去）,所以.
（2） 由（1）得,
,
,
两式相减得,故.
课后达标 分级演练
1．若数列的通项公式为,则数列的前项和（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】选.由题知.
2．设数列是以2为首项，1为公差的等差数列，是以1为首项，2为公比的等比数列，则（ ）
A. 1 011 B. 1 022 C. 1 033 D. 1 044
【答案】C
【解析】选.由数列 是以2为首项，1为公差的等差数列，得，由 是以1为首项，2为公比的等比数列，得，
因此，所以.
3．已知数列满足,则数列的前5项和为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】选.因为，所以,所以.
所以 的前5项和为.
4．（多选）已知数列满足,，记的前项和为，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】选.因为，,所以当 为奇数时，；当 为偶数时，.所以，故 错误；又因为，所以，故 正确；，故 正确；，故 正确.
5．已知数列满足,,,则数列的前10项和为.
【答案】90
【解析】由题意可得,,,,, ；,,,,, .
奇数项和偶数项分别构成等差数列，所以.
6． _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】由，且，
则原式.
7．若,,则数列的通项公式为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】由,
可得, ,,所以,即.
8．（13分）记为正项数列的前项和，已知,.
（1） 求数列的通项公式；（6分）
（2） 求数列的前项和.（7分）
【答案】
（1） 解：由题可得,
则数列 为常数列，
又,所以,
则,①
所以，②
得，，即,
所以 是首项为2，公比为2的等比数列，
故.
（2） 由（1）可得,
则.
9．[2025·德州模拟]（13分）已知是公差不为0的等差数列，其前4项和为16，且,,成等比数列.
（1） 求数列的通项公式；（6分）
（2） 设求数列的前项和.（7分）
【答案】
（1） 解：设 的公差为,
由题意知
即 解得
所以.
（2） 设数列 的前 项中的奇数项之和为，偶数项之和为，
则,
,
所以
.
10．（15分）已知和是各项均为正整数的无穷数列，若和都是递增数列，且中任意两项的和不是中的项，则称被屏蔽.已知数列满足.
（1） 求数列的通项公式；（7分）
（2） 若为首项与公比均为的等比数列，求数列的前项和，并判断能否被屏蔽，请说明理由.（8分）
【答案】
（1） 解：由题意得，,
令,可得,
当 时，,
作差可得,即,
又 满足上式，所以.
（2） 因为,所以，
所以，
则，①
.②
得，,
所以.
显然，是递增数列，且各项均为偶数，
而递增数列 的各项均为奇数，所以 中任意两项的和均不是 中的项，所以 能被 屏蔽.
11．（17分）已知,数列的前项和为，点均在函数的图象上.
（1） 求数列的通项公式；（8分）
（2） 若,令，求数列的前4 049项和.（9分）
【答案】
（1） 解：因为点 均在函数 的图象上，
所以，
当 时，，即,
当 时，
,
因为 也满足上式，所以.
（2） 因为,
所以
.
因为,所以,
所以
，①
又
,②
所以 得,所以.
培优课 子数列问题
子数列是数列问题中的一种常见题型.将原数列转化为子数列问题一般适用于某个数列是由几个有规律的数列组合而成的，具体求解时，要搞清楚子数列的项在原数列中的位置，以及在子数列中的位置，即项不变化，项数变化，它体现了转化与化归以及分类讨论、函数与方程的思想，能很好地考查学生的思维.
类型一 奇偶项问题
［例1］ [2025·石家庄模拟]已知数列满足，
（1） 写出，，；
（2） 证明：数列为等比数列；
（3） 若，求数列的前项和.
【答案】（1） 【解】由题意知，，所以，，.
（2） 证明：因为
所以，所以，且，所以数列 是首项为1，公比为2的等比数列.
（3） 由（2）可知，，
即，
因为 为偶数，为奇数，
所以，
所以，
所以，①
，②
得，，
所以.
［感悟进阶］
（1）含有的数列求和问题一般采用分组（并项）法求和.
（2）对于通项公式奇、偶项不同的数列求前项和时，可以分别求出奇数项的和与偶数项的和，也可以先求出，再利用,求.
［对点训练］．[2025·厦门质检]记为数列的前项和，已知,，且为等差数列.
（1） 求的通项公式；
（2） 若求的前项和.
【答案】
（1） 解：设等差数列 的公差为，
因为，所以，
即,解得，所以，即，当 时，，当 时，，满足上式，所以.
（2） 由（1）知
则
.
所以数列 的前 项和.
类型二 增减项问题
［例2］ [2025·湘潭模拟]设各项都不为0的数列的前项积为，，.
（1） 求数列的通项公式；
（2） 保持数列中各项的顺序不变，在每两项与之间插入一项（其中,2,3,），组成新的数列，记数列的前项和为，若，求的最小值.
【答案】
（1） 【解】由 得，
当 时，，两式相除可得，又，
所以，又，所以.
（2） 依题意，
,
易知 随着 的增大而增大，
当 时，，
当 时，，
又.综上，的最小值为17.
［感悟进阶］
解决数列增减项问题的关键是通过阅读理解题意，弄清楚增加（减少）了多少项，增加（减少）的项有什么特征，在求新数列的和时，一般采用分组求和法，即把原数列部分和增加（减少）部分分别求和，再相加（相减）即可
［对点训练］．已知等差数列和等比数列满足，，，.
（1） 求数列，的通项公式；
（2） 设数列中不在数列中的项按从小到大的顺序排列构成数列，记数列的前项和为，求.
【答案】
（1） 解：设等差数列 的公差为，等比数列 的公比为，
由，，，可得，，则，，
所以，.
（2） 由（1）知，
即 是数列 的第 项.
设数列 的前 项和为，数列 的前 项和为，因为，，
所以数列 的前50项是由数列 的前56项去掉数列 的前6项构成的，
所以.
类型三 公共项与并项问题
［例3］ 在数列中，已知,.
（1） 证明数列是等比数列，并求的通项公式；
（2） 设，若数列与的公共项为，记由小到大构成数列，求的前项和.
【答案】
（1） 【解】由，
可得，即，又，所以数列 是首项为4，公比为4的等比数列，
所以，可得，即数列 的通项公式为.
（2） 由，可得，
由数列 与 的公共项为，可得，所以，则 为偶数，
设，即，
所以，
所以，所以.
［感悟进阶］
与两个数列“公共项”有关的问题的解题关键是确定好两个数列的“公共项”,此类问题一般有两种类型:一类是去掉“公共项”后，构成新数列；一类是由“公共项”构成新数列.
［对点训练］．[2025·盐城联考]已知是首项为1的等比数列，是首项为2的等差数列，且.
（1） 求和的通项公式；
（2） 若和中的所有项分别构成集合，，将的所有元素按从小到大的顺序排列组成新数列，求数列的前50项和.
【答案】
（1） 解：设 的公比为，的公差为，因为 且，
所以，，
解得，，
所以，.
（2） 由（1）知，.
因为数列 是正偶数构成的等差数列，数列 除首项外，其余项都是2的倍数，
所以数列 的前50项和.
课后达标 分级演练
1．[2025·漳州质检]将数列与的公共项从小到大排列得到数列，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】选.令,则,,当 是正奇数，即,时，是正整数，符合题意；当 是正偶数时，不是正整数，不符合题意.所以,,，所以.
2．[2025·湘豫名校联考]已知等比数列的公比与等差数列的公差均为2，且，设数列满足，则数列的前20项和为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】选.因为，所以，，所以,，
根据题意，设数列 的前 项和为，所以.
3．[2025·安徽五市联考]（多选）已知等差数列的前项和为，且满足，，现将数列与数列的公共项从小到大排列可以得到新数列，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. D. 数列的前10项和为
【答案】ACD
【解析】选.设等差数列 的公差为，
由，，解得，
故，，故 正确，错误;
将数列 列举出来为1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，23，25，27，29，31，33，35，37， ，
数列 列举出来为0，3，8，15，24，35， ，
故公共项依次为3，15，35， ，即，，， ，,
故，则，故 正确;
因为，其前10项和为，故 正确.
4．[2025·哈尔滨模拟]（多选）已知等差数列的首项为1，公差为6，在中每相邻两项之间都插入个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列，下列说法正确的是（ ）
A.
B. 当时，
C. 当时，不是数列中的项
D. 若是数列中的项，则
【答案】ABD
【解析】选.对于，由题意得，正确；
对于，设 的公差为，因为，所以 为，，，， ，，则，则,正确;
对于，由 选项知，令，得，所以 是数列 中的项，错误;
对于，设 的公差为,则 为,,,, ,,, ,，且，，，令，得，即,因为,且,所以，正确.
5．已知数列满足，，则数列的通项公式为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】当 时，由题得，联立 得，所以数列 的奇数项成等差数列，偶数项也成等差数列，公差均为2.由 得，当 为奇数时，；当 时，由 得，所以当 为偶数时，.综上，.
6．（13分）已知数列满足，.
（1） 求，的值以及数列的通项公式；（6分）
（2） 求数列的前项和.（7分）
【答案】
（1） 解：根据题意得，，，，所以，.
当 时，，又，所以数列 是以1为首项，2为公比的等比数列，故.
（2） 由（1）及题意知，所以.
所以数列 的前 项和.
7．（15分）已知数列满足，.
（1） 证明数列是等比数列，并求数列的通项公式；（7分）
（2） 求数列落入区间的所有项的和.（8分）
【答案】
（1） 解：由，
得，又，
所以，所以数列 是首项为3，公比为2的等比数列，所以，
故数列 的通项公式为.
（2） 由，
得，
即，即，,
故数列 落入区间 的项为，，，，，，，
所以所求和为.
8．[2025· 张家港调研]（15分）记为数列的前项积，已知.
（1） 证明：数列是等差数列；（7分）
（2） 若将集合，，中的元素从小到大依次排列，构成数列，，，， ，求数列的前项和.（8分）
【答案】
（1） 解：证明：当 时，，
因为 为数列 的前 项积，
所以，所以.
当 时，，则，则，即，所以数列 是首项为3，公差为2的等差数列.
（2） 由（1）得，
设 的前 项和为，令，则数列 是首项为，公差为3的等差数列，设 的前 项和为，数列 与数列 中相同的项从小到大构成的数列为，的前 项和为.
当 时，，则.
因为2，3互质，所以 必为3的倍数，即，，则，所以有，则 是首项为,公差为6的等差数列.因为，，所以数列 与 对应相同的两项之间，与 之间有2项，与 之间有1项，
所以，
，
，
，
所以.
第5讲 数列中的综合问题
数列是高中数学的重要内容，是学习高等数学的基础，也是高考的重点考查内容之一.高考数列命题主要有以下三方面:（1）考查数列本身的有关知识，要求能用等差或等比数列的概念、性质、通项公式和求和公式求解；（2）数列与其他知识的综合问题，如数列与函数、方程、不等式、几何等知识综合考查；（3）数列的实际应用问题.
考点一 等差、等比数列的综合
［例1］ 已知数列的奇数项成等差数列，偶数项成等比数列，且公差和公比都是2，若对满足的任意正整数，，均有成立.
（1） 求数列的通项公式；
（2） 令，求数列的前项和.
【答案】
（1） 【解】由题意，令，则，即，令，，得，因为,所以，解得，，由题意，数列 的奇数项成等差数列，偶数项成等比数列，且公差和公比都是2，
所以
即
（2） 由（1）知，
则，
所以，
两式相减得
,
所以.
［感悟进阶］
等差、等比数列综合问题的解题策略
（1）确定解题顺序：求和需要先求出通项公式，求通项公式需要先求出首项和公差（公比）.
（2）注意解题细节：在数列的通项公式问题中第一项和后面的项能否用同一个公式表示等，这些细节对解题的影响也是巨大的.
［对点训练］．已知等差数列的前项和为，公差，是，的等比中项，.
（1） 求的通项公式；
（2） 若数列满足，，求.
【答案】
（1） 解：由题意得
即
解得 或（舍去），
所以.
（2） ，①
，②
得，，
因为，,所以.
所以
.
考点二 数列与其他知识的交汇
角度1 数列与不等式
［例2］ [2025·泰州模拟]已知各项均为正数的数列的前项和为，,.
（1） 求证：数列{}是等差数列，并求的通项公式；
（2） 设,数列的前项和为，是否存在正整数，使得对任意正整数均有？若存在，求出的最大值；若不存在，请说明理由.
【答案】
（1） 【解】，
则当 时，，
即，
因为，所以，
所以，
又，所以数列{}是以1为首项，1为公差的等差数列，
于是得，
即，当 时，，又 满足上式，
所以 的通项公式为.
（2） 由（1）知，，
则，
则数列 是递增数列，，因为对任意正整数 均有 恒成立，
于是得，解得，
又，则，
所以存在正整数，使得对任意正整数 均有，的最大值为674.
［感悟进阶］
数列与不等式综合问题的解题策略
（1）判断数列问题的一些不等关系，可以利用数列的单调性比较大小或借助数列对应的函数的单调性比较大小.
（2）考查与数列有关的不等式证明问题，此类问题一般采用放缩法进行证明，有时也可通过构造函数进行证明.
（3）数列中有关项或前项和的恒成立问题，常转化为数列的最值问题；求项或前项和的不等关系可以利用不等式的性质或基本不等式求解.
角度2 数列与函数
［例3］ [2025·龙岩模拟]已知函数，记等差数列的前项和为，若，，则（ ）
A. B. C. 2 025 D. 4 050
【答案】A
【解析】因为 的定义域为，，所以 是奇函数，且 在 上单调递增.因为，，所以，所以，所以，所以.
［感悟进阶］
数列与函数的综合问题主要有以下两类
（1）已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般利用函数的性质、图象来解决.
（2）已知数列条件，解决函数问题，此类问题一般要充分利用数列的范围、公式、求和方法对所给条件化简变形.
［对点训练］．在公差不为零的等差数列中，,且,,成等比数列，数列的前项和满足.
（1） 求数列和的通项公式；
（2） 设,数列的前项和为，若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围.
【答案】
（1） 解：设等差数列 的公差为,因为,且,,成等比数列，所以,即,得,所以.
因为数列 的前 项和,当 时，,所以,当 时，,所以,故数列 是首项为2，公比为2的等比数列，所以.
（2） 由（1）可得,所以,所以.
令,,因为,所以,单调递增，所以.
所以,所以,所以.故实数 的取值范围为.
考点三 数列的实际应用
[例4] 某高校选派一批志愿者参与某志愿服务活动，计划第一批次先选派1名志愿者，然后每批次增加1人，后因学生报名积极，学校决定改变选派计划．若将原计划选派的各批次人数看成数列{an}．保持数列{an}中各项先后顺序不变的情况下，在ak与ak＋1(k＝1，2，3，…)之间插入2k，使它们和原数列的项依次构成一个新的数列{bn}，若按照新数列{bn}的各项依次选派学生，则前20批次共选派志愿者的人数为( )
A．2 091 B．2 101 C．2 110 D．2 112
【答案】B
【解析】由题意得，当，时，，当,时，.
故，.
故前20批次共选派志愿者的人数为.
［感悟进阶］
在处理实际问题时，要能从题意中提炼出该问题所蕴含的数列模型是等差数列或等比数列，或根据条件列出递推关系，然后根据数列相关知识分析处理．
[对点训练] 中国传统风筝——龙头蜈蚣风筝以其放飞场面壮观、气势磅礴而广受喜爱．某团队耗时3个多月做出一个长约180 m、重约20 kg、“龙身”骨架共有140节的巨龙风筝．制作过程中，风筝骨架可采用竹子制作，但竹子易断，还有一种耐用的碳杆材质也可做骨架，但它比竹质的成本高．最终团队决定“龙身”骨架按如图所示的规律创作，则所有“龙身”骨架中竹质“龙身”骨架的个数为( )
A. 120 B. 124 C. 128 D. 130
【答案】B
【解析】选.由题图，得“龙身”骨架的排列规律：1个碳质，1个竹质；1个碳质，2个竹质；1个碳质，3个竹质；1个碳质，4个竹质……假设有 个碳质“龙身”骨架，第 个碳质“龙身”骨架后面有完整的 个竹质“龙身”骨架，则竹质“龙身”骨架的个数为，所以当 时，竹质“龙身”骨架的个数为120，接下来需再安排 个“龙身”骨架，即1个碳质“龙身”骨架，4个竹质“龙身”骨架，所以竹质“龙身”骨架的总个数为.
课后达标 分级演练
1．设数列是公差不为零的等差数列，它的前项和为，且，，成等比数列，则（ ）
A. 3 B. 4 C. 6 D. 7
【答案】D
【解析】选.因为数列 是公差不为零的等差数列，设公差为，所以，，.又因为，，成等比数列，所以，可得 或（舍去），所以，所以.
2．有一塔形几何体由若干个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点.已知最底层正方体的棱长为8，如果该塔形几何体的最上层正方体的棱长等于1，那么该塔形几何体中正方体的个数是（ ）
A. 5 B. 7 C. 10 D. 12
【答案】B
【解析】选.设从最底层开始的第 层的正方体棱长为，则由题意得数列 为以8为首项，为公比的等比数列，其通项公式为.
令，得，故该塔形几何体中正方体的个数为7.
3．[2025·阳泉模拟]已知在等差数列中，是函数的一个极大值点，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】选.由正弦函数性质知，当 ，,即 ,时，函数 取得极大值，则 ,，由等差数列性质，得 ,，
所以
.
4．（多选）古希腊哲学家芝诺提出了如下悖论：一个人以恒定的速度径直从点走向点，要先走完总路程的二分之一，再走完剩下路程的二分之一，如此下去，会产生无限个“剩下的路程”，因此他有无限个“剩下路程的二分之一”要走，这个人永远走不到终点.由于古代人们对无限认识的局限性，故芝诺得到了错误的结论.设，这个人走的第段距离为，这个人走的前段距离总和为，则下列结论正确的有（ ）
A. ，都有
B. ，都有
C. ，都有
D. ，使得
【答案】BC
【解析】选.由已知得，，且不难得到，，，所以 错误；走 段距离后，由，得，两式相减化简得，当 时，，符合上式，所以,都有,所以 正确;由 可知 是首项为，公比为 的等比数列，则，即，所以 正确，错误.
5．已知数列为等比数列，函数且的图象过定点，，数列的前项和为，则.
【答案】45
【解析】在 中，令，得，所以函数 且 的图象过定点，所以，.因为数列 为等比数列，所以，又，所以数列 是以0为首项，1为公差的等差数列，，，则.
6．已知数列的通项公式为，，当时，恒成立，则实数 的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】 ,
【解析】由，当 时，恒成立，即数列 是递增数列，
则对于任意的，都有.
已知，
则有 恒成立，
即 对于任意的 恒成立，
因为当 时，，所以.
7．（13分）已知个正数排成行列，表示第行第列的数，其中每一行的数依次构成等差数列，记第行的数所构成的等差数列的公差为,每一列的数依次构成等比数列，并且公比都为.已知,,.
…
…
…
… … … … … …
…
（1） 求公比;（6分）
（2） 把,, ,所构成的数列记为,求数列的前项和.（7分）
【答案】
（1） 解：因为,，所以第4行的数所构成的等差数列的公差，
所以,则，
又,所以.
（2） 由,，,
得,,
则,所以数列 是以 为首项，为公比的等比数列，则数列 的前 项和.
8．[2025·福建质检]（15分）已知数列满足，.
（1） 求数列的通项公式；（7分）
（2） 设数列的前项和为，若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围.（8分）
【答案】
（1） 解：因为，①
所以当 时，.②
由 得，
因为当 时，也符合上式，
所以，.
（2） 由（1）知，，
因为不等式 对任意的 恒成立，又 且 单调递增，
所以 对任意的 恒成立.
因为，，，，
所以当 为偶数时，对任意的 恒成立，即.
当 时，,
因为，所以当 为偶数时，随着 的增大而增大，所以；
当 为奇数时，对任意的 恒成立，即，
因为，
当 时，,当 时，,
所以，即，
所以.
综上可知，实数 的取值范围为,.
9．[2025·衡阳模拟]（17分）已知正项数列的前项和为，首项.
（1） 若，求数列的通项公式；（8分）
（2） 若函数，数列满足.
【答案】
（1） 解：由 知，当 时，，两式相减得，
即，
由题意得，则，
因此数列 是首项为1，公差为2的等差数列，
所以数列 的通项公式为.
（2） 证明：令，则，
易知当 时，，单调递减，
当 时，，单调递增，
所以，
即，当且仅当 时取等号.
又，所以，
即，即.
当 时，，
当 时，，
因此，
所以
，
即 得证.
培优课 数列中的交汇创新问题
数列与函数（导数）、不等式、概率统计、集合等知识的交汇问题，是历年新高考的热点内容．一般围绕等差数列、等比数列的知识命题，涉及数列的函数性质、通项公式、数列不等式的证明等．
类型一数列中的交汇问题
[例1] (2025·兰州一模节选)已知公差不为零的等差数列{an}满足a1＝1，且a2，a4，a8成等比数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)证明：ln an≤an－1.
【解】 设等差数列{an}的公差为d(d≠0)，a1＝1，a2，a4，a8成等比数列，则a＝a2·a8，所以(1＋3d)2＝(1＋d)(1＋7d)，解得d＝1或d＝0(舍去)，所以an＝n(n∈N*).
(2)证明：设f(x)＝ln x－x＋1，x≥1，f′(x)＝－1，当x≥1时，f′(x)≤0，f(x)单调递减，f(x)max＝f(1)＝0，
所以ln x－x＋1≤0，由(1)可知an≥1，
则有ln an－an＋1≤0，所以不等式ln an≤an－1恒成立．
以数列为背景研究数列的函数性质，如研究数列的单调性、周期性、最值，不等式恒成立时的参数范围问题等．解决这类问题的关键是以构成数列的函数为载体，结合数列是一类特殊函数(定义域是正整数集或它的有限子集)，利用函数的思想方法求解，体现由特殊到一般的思想转化．
[对点训练] (2025·全国一卷)已知数列{an}中，a1＝3，＝＋.
(1)证明：数列{nan}是等差数列；
(2)给定正整数m，设函数f(x)＝a1x＋a2x2＋…＋amxm，求f′(－2).
解析：(1)证明：已知＝＋，等式两边同乘n(n＋1)，得(n＋1)an＋1＝nan＋1，即(n＋1)an＋1－nan＝1.
又因为a1＝3，所以数列{nan}是首项为3，公差为1的等差数列．
(2)方法一：由(1)知，nan＝3＋(n－1)×1＝n＋2.因为f(x)＝a1x＋a2x2＋a3x3＋…＋amxm，所以f′(x)＝a1＋2a2x＋3a3x2＋…＋mamxm-1，则f′(x)＝3＋4x＋5x2＋…＋(m＋2)xm-1，①
所以xf′(x)＝3x＋4x2＋5x3＋…＋(m＋2)xm，②
①－②，得(1－x)f′(x)＝3＋(x＋x2＋…＋xm-1)－(m＋2)xm＝3＋－(m＋2)xm.
当x＝－2时，3f′(－2)＝3＋－(m＋2)·(－2)m，故f′(－2)＝－·(－2)m.
方法二：由(1)知，nan＝3＋(n－1)×1＝n＋2.因为f(x)＝a1x＋a2x2＋a3x3＋…＋amxm，所以f′(x)＝a1＋2a2x＋3a3x2＋…＋mamxm-1，所以f′(－2)＝a1＋2a2·(－2)＋3a3·(－2)2＋…＋mam·(－2)m-1＝3＋4×(－2)＋5×(－2)2＋…＋(m＋2)·(－2)m-1.而(m＋2)·(－2)m-1＝·(－2)m-1－·(－2)m，所以f′(－2)＝×(－2)0－×(－2)1＋×(－2)1－×(－2)2＋…＋·(－2)m-1－·(－2)m＝×(－2)0－·(－2)m＝－·(－2)m.
类型二 数列的新定义问题
［例2］ [2024· 新课标Ⅰ卷节选]设为正整数，数列，， ，是公差不为0的等差数列，若从中删去两项和后剩余的项可被平均分为组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列，， ，是可分数列.
（1） 写出所有的，，使得数列，， ，是可分数列；
（2） 当时，证明：数列，， ，是可分数列.
【答案】（1） 【解】满足题意的 为，，.
（2） 证明：当 时，由题知，，，，，，，，，，，，
可平均分成3组：，，，；，，，；，，，，每组均为等差数列，
所以当 时符合；
当 时，数列，， ，去掉，以后，分成 组，只需让前面的3组还按 时的分法，即，，，；，，，；，，，，后面的每4个相邻的项为一组即可，即，，，；…；，，，，每一组都能构成等差数列，所以当 时，数列，， ，是 可分数列.
［感悟进阶］
解决新定义数列问题的一般流程
（1）读懂定义，理解新定义数列的含义；
（2）特殊分析，比如对，2，3， 的情况进行讨论；
（3）通过特殊情况寻找新定义数列的规律及性质，以及新定义数列与已知数列（如等差或等比数列）的关系，仔细观察，探求规律，注重转化，合理设计解题方案；
（4）联系等差数列与等比数列知识，将新定义数列问题转化为熟悉的知识进行求解.
［对点训练］．若无穷数列满足：只要，必有，则称数列具有性质.
（1） 若数列具有性质，且，，,,求；
（2） 若数列具有性质，且,，求证：.
【答案】
（1） 解：数列 具有性质，则由，
可得，进而,，
所以由，可得.故.
（2） 证明：方法一：因为,，且数列 具有性质，
所以，进而，
因此，依此类推可得，，， ，
所以对任意，,都有，
又由已知,，得，
且，故，
所以 得证.
方法二：由数列 具有性质，只要，
则,, ，
即,，
则有， ，令,，
则有，故 得证.
课后达标 分级演练
1．宋代制酒业发达，为了存储方便，酒缸要一层一层堆起来，形成堆垛．可用简便的方法算出堆垛中酒缸的总数，古代称之为“堆垛术”．现有一道关于堆垛求和的问题：将半径相等的圆球堆成一个三角垛，底层是每边为n个圆球的三角形，向上逐层每边减少一个圆球，顶层为一个圆球，记自上而下第n层的圆球总数为an，容易发现：a1＝1，a2＝3，a3＝6，则a10－a5＝( )
A. 45 B. 40 C. 35 D. 30
【答案】B
【解析】选.当 时，第1层的圆球总数为,当 时，第2层的圆球总数为,当 时，第3层的圆球总数为, ,所以第 层的圆球总数为,当 时，,当 时，,故.
2．将1，2，…，n按照某种顺序排成一列得到数列{an}，对任意1≤iaj，那么称数对(ai，aj)构成数列{an}的一个“逆序对”．若n＝4，则恰有2个逆序对的数列{an}的个数为( )
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
【答案】B
【解析】选.若，则，数1，2，3，4可以构成的逆序对有，，，，，，若数列 的第一项为4，则至少有3个逆序对，不合题意；
若数列 的第二项为4，则恰有2个逆序对的数列 为1，4，2，3；
若数列 的第三项为4，则恰有2个逆序对的数列 为1，3，4，2或2，1，4，3；
若数列 的第四项为4，则恰有2个逆序对的数列 为2，3，1，4或3，1，2，4.
综上，恰有2个逆序对的数列 的个数为5.
3．科学家牛顿用“作切线”的方法求函数的零点时，给出了“牛顿数列”，其定义是：对于函数，若数列满足，则称数列为牛顿数列.若函数，数列为牛顿数列且，，则的值是（ ）
A. 8 B. 2 C. D.
【答案】C
【解析】选.根据题意，，所以，又，所以数列 为首项是2，公比是 的等比数列，所以，所以，所以.
4．(多选)(2025·河南五市联考)对于数列{an}，定义bk为a1，a2，…，ak(k＝1，2，…，n，n∈N*)中的最大值，把数列{bn}称为数列{an}的“M值数列”．如数列2，2，3，7，6的M值数列为2，2，3，7，7，则( )
A. 若数列是递减数列，则为常数列
B. 若数列是递增数列，则有
C. 若,则满足为2，3，3，5，5的所有数列的个数为8
D. 若，记为的前项和，则
【答案】ABD
【解析】选.若数列 是递减数列，则 是，， ，中的最大值，所以，为常数列，正确；
若数列 是递增数列，则 是，， ，中的最大值，所以，即，正确；
若 为2，3，3，5，5，则，，可以取1，2，3，，可以取1，2，3，4，5，故符合要求的数列 的个数为，错误；
若，则数列 中的奇数项构成递增的正项数列，偶数项构成递减的负项数列，则有，所以，正确.
5．对给定的数列{an}(an≠0)，记bn＝，则称数列{bn}为数列{an}的一阶商数列；记cn＝，则称数列{cn}为数列{an}的二阶商数列；依次类推，可得数列{an}的P阶商数列(P∈N*).已知数列{an}的二阶商数列的各项均为e，且a1＝1，a2＝1，则a10＝__________．
【答案】
【解析】由数列 的二阶商数列的各项均为，可知，而，
故数列 是以1为首项，为公比的等比数列，即，即，，
即，，， ，,
所以，故.
6．（15分）最大公因数，也称最大公约数，指两个或多个正整数公有约数中最大的一个，，的最大公约数记为，，，的最大公约数记为.与最大公约数相对应的概念是最小公倍数，几个自然数公有的倍数叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个自然数叫做这几个数的最小公倍数，，的最小公倍数记为，，，的最小公倍数记为.例如.
（1） 求的值；（7分）
（2） 若数列满足，，求数列的前项和.（8分）
【答案】
（1） 解：
.
（2） 因为，，且2与3互质，
所以，,
所以，
,
两式相减得，
所以.
7．[2025·九江模拟]（17分）已知在无穷数列中，，记,, ,，,,，．
（1） 若为2，0，2，4，2，0，2，4， ，是一个周期为4的数列（即，），直接写出，，，的值；（3分）
（2） 若为周期数列，证明：，使得当时，是常数；（6分）
（3） 设是非负整数，证明：的充要条件为为公差为的等差数列．（8分）
【答案】（1） 解：，，，.
（2） 证明：不妨设 的周期为，
记，， ，，
，，，则当 时，是常数，即，使得当 时，是常数，结论正确．
（3） 证明：充分性：
若 为公差为 的等差数列，则，,于是，
因此，即充分性成立.
必要性：因为，所以，因为，，
所以，于是，．
因此．
故数列 是公差为 的等差数列，即必要性成立.故原问题得证.
8．(17分)(2025·北京模拟)将平面直角坐标系中的一列点A1(1，a1)，A2(2，a2)，…，An(n，an)，…，记为{An}．设f(n)＝AnAn＋1·j，其中j为与y轴正方向方向相同的单位向量，若对任意的正整数n，都有f(n＋1)＞f(n)，则称{An}为T点列．
(1)若A1(1，1)，A2(2，)，A3(3，)，…，An(n，)，…，则{An}是否为T点列？请说明理由；(3分)
（2） 若为点列，且.任取其中连续三点,,，证明为钝角三角形；（6分）
（3） 若为点列，对于正整数,,，比较与的大小，并说明理由.（8分）
【答案】
（1） 解：为 点列，理由如下：
由题意可知，,，，所以，
，
即，，
所以若，,，,， ，,， ，则 为 点列.
（2） 证明：由题意可知，，，
所以，
因为 为 点列，所以，，
又因为，所以.
所以对 中连续三点，，，
都有，.
因为，，
因为，
故 与 不共线，
即，，不共线，
因为，
所以
，
则 为钝角，
所以 为钝角三角形.
（3） 由，知.
因为 为 点列，由（2）知，，
所以，， ，
，
两边分别相加可得，
所以，
所以，
所以，
又，
，,
所以，
，
所以.
典题溯源与重构 2025年八省联考第16题
数列是高中数学教学的主要内容之一，也是每年高考的必考试题，选择题、填空题与解答题都是其主要题型.从高考试题可以看出，基本上是一大一小，小题表现在基本量的运算，大题呈现通项公式与前项和及其相关的关系.主要考查等差数列或等比数列的定义、公式、性质、通项公式与前项和及相关的知识，有时也会与数学文化和其他知识交汇出现，主要考查数学运算、逻辑推理等核心素养，常用化归与转化思想及函数与方程思想加以解决.
［典题呈现］．已知数列中，，.
（1） 证明:数列为等比数列;
（2） 求的通项公式;
（3） 令,证明:.
［规范解答］
【答案】
（1） 解：证明：由 得，注解①
则,注解②
又，所以数列 是首项为，公比为 的等比数列.
（2） 由（1）得，解得.
（3） 证明：.
令,,注解③
易知 在 上单调递增，
则，
所以数列 为递减数列,
从而数列 为递增数列，且,故得.
【解析】
（1） ［关键步骤］①取倒数是构造新数列的常用技巧②由等比数列定义，应寻求与之间的关系
（3） ［关键步骤］③数列是特殊函数，此处构造函数，借助函数的单调性研究大小关系
［典题溯源］
类别 教材题（选择性必修第二册 ） 典题 关联特征
条件 ① 数值变化
② 都是已知与的关系
问题 ① 求证是等比数列 求证是等比数列 式子顺序变化
② 不等式的证明 不等式的证明 都是构造数列求通项、证明不等式
［典题重构］
1．已知数列满足,，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】选.因为，所以，所以.又，所以，所以数列 是首项为，公差为 的等差数列，所以，整理得，所以.
2．已知数列满足,.
（1） 求证：是等比数列；
（2） 求数列的通项公式.
【答案】
（1） 解：证明：因为,所以.
因为,所以,所以,所以,所以数列 是以15为首项，3为公比的等比数列.
（2） 由（1）得,则,
所以.
又因为,所以,所以 是以2为首项，为公比的等比数列.
所以,
即.
3．已知数列满足，，为数列的前项和．
（1） 证明：数列是等比数列；
（2） 求数列的通项公式；
（3） 求．
【答案】
（1） 解：证明：由，
得，
等式两边同时除以，
可得，等式两边再同时减6得，
，
即，
又，故，
则数列 是首项为，公比为 的等比数列．
（2） 由（1）得，
即，所以．
（3） 由（2）知，
所以
．
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