2026届高考数学复习备考：?三角函数的奇偶性、对称性 高频考点专题练

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2026届高考数学复习备考：
三角函数的奇偶性、对称性 高频考点专题练
一、单选题
1．函数f(x)=在[—π，π]的图像大致为
A． B．
C． D．
2．函数图像的一条对称轴为，则（ ）
A． B． C． D．
3．若为偶函数，则实数（ ）
A． B．0 C．2 D．4
4．将函数的图象，向右平移个单位长度，再把纵坐标伸长到原来的2倍，得到函数，则下列说法正确的个数是（ ）
①函数的最小正周期为
②函数在区间上单调递增
③函数在区间上的最小值为
④是函数的一条对称轴
A．1 B．2 C．3 D．4
5．已知函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，且.若将的图象向左平移个单位长度后所得函数的图象关于轴对称，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
6．已知函数，若，则（ ）
A．2 B．1 C．0 D．
7．已知定义在上的函数与函数的图象有唯一公共点，则实数m的值为（ ）
A． B． C．1 D．2
8．若函数图象的一个对称中心为，则的值为（ ）．
A． B． C．1 D．
二、多选题
9．将函数的图象向右平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标保持不变，得到函数的图象，则关于的说法正确的是（ ）
A．最小正周期为 B．偶函数
C．在上单调递减 D．关于中心对称
10．已知函数的部分图象如图所示，则（ ）

A．
B．的图象过点
C．函数的图象关于直线对称
D．若函数在区间上不单调，则实数的取值范围是
11．已知函数，则（ ）
A．是奇函数 B．的最小正周期为
C．的最小值为 D．在上单调递增
12．主动降噪耳机让我们在嘈杂的环境中享受一丝宁静，它的工作原理是：先通过微型麦克风采集周围的噪声，然后降噪芯片生成与振幅相同的反相位声波来抵消噪声，已知某噪声的声波曲线，且经过点，则下列说法正确的是（ ）
A．函数是奇函数
B．函数在区间上单调递减
C．，使得
D．的值为定值
13．下列关于函数的相关命题，叙述正确的有（ ）
A．的最小正周期为
B．的一条对称轴为
C．的单调增区间为
D．若时，函数有两个不同零点，则
14．已知函数的相邻两对称轴的之间的距离为，函数为偶函数，则（ ）
A．
B．为其一个对称中心
C．若在单调递增，则
D．曲线与直线有7个交点
三、填空题
15．若函数的最大值为，则 ，的一个对称中心为
16．若函数是偶函数，是奇函数，已知存在点，，使函数在、点处的切线斜率互为倒数，那么 .
17．定义：闭区间[a，b]的长度为，已知函数同时满足以下3个条件：①在任意一个区间长度为的闭区间内，都不存在，使得；②；③是函数图象的一个对称中心，则实数的最大值为 .
四、解答题
18．设函数.
（1）已知函数是偶函数，求的值；
（2）求函数 的值域.
19．已知函数．
(1)求函数的对称中心及对称轴方程；
(2)当时，求函数的最大值和最小值．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D A B C C A C D BCD BCD
题号 11 12 13 14
答案 AC ABD ACD ACD
1．D
【分析】先判断函数的奇偶性，得是奇函数，排除A，再注意到选项的区别，利用特殊值得正确答案．
【详解】由，得是奇函数，其图象关于原点对称．又．故选D．
【点睛】本题考查函数的性质与图象，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养．采取性质法或赋值法，利用数形结合思想解题．
2．A
【分析】直接利用对称性，取特殊值，即可求出.
【详解】由的图象关于对称，
可知：，即，则．
故选：A．
3．B
【分析】根据偶函数的定义，由即可求解.
【详解】由得：
由题意可知：
可得：恒成立，
所以，
故选：B.
4．C
【分析】首先对化简，然后根据图像变换得到，再逐一分析关于的性质即可.
【详解】根据二倍角公式，得，
再向右平移个单位长度，得到，
再把纵坐标伸长到原来的2倍，得到，即，
对于①，的最小正周期,故①正确，
对于②，令,解得,
令，则单调递增区间为，不是的子集，在区间上不是单调递增，故②错误，
对于③，，，由余弦函数的图像可知，故③正确，
对于④，令，解得,令，则，是函数的一条对称轴，故④正确.
故选：.
5．C
【分析】由题意，利用辅助角公式得，其中.根据题设知，为图象的一条对称轴，结合可求得，，，再根据关于轴对称，得到，，从而求得的最小值.
【详解】由题意，知，其中.
因为在区间上单调递增，在区间上单调递减，
所以为图象的一条对称轴，所以，.
又，所以，，解得，，，
所以.将的图象向左平移个单位长度后，
得到的图象.
由的图象关于轴对称，得，，
所以，，
所以的最小值为.
故选：C.
6．A
【分析】构造奇函数，利用函数的平移，可得函数的对称性，可得答案.
【详解】设，由于，
故为R上的奇函数，则的图象关于原点对称．
又，所以的图象关于对称，
即，由，所以，
故选：A．
7．C
【分析】先推得的对称性与单调性，又也关于对称，由对称性可知方程唯一的根在对称轴上，代入即可解得.
【详解】因为，则，
所以的图象关于对称，且当时，单调递增，当时，单调递减；
又，故可看作由函数向右平移1个单位得到，
所以的图象也关于对称；
又由于函数与函数的图象有唯一公共点，即方程只有一根，
因为两函数图象都关于对称，所以方程的根为，即，解得.
故选：C．

8．D
【分析】根据正弦函数的对称性求解即可.
【详解】因为函数图象的一个对称中心为，
所以，解得，
又因为，所以.
故选：D.
9．BCD
【分析】A选项，根据辅助角公式，平移和伸缩变换得到，从而得到的最小正周期；B选项，由函数奇偶性定义得到B正确；C选项，由得到，由整体法得到函数的单调性；D选项，，故D正确.
【详解】A选项，，
的图象向右平移个单位长度得到
，
再把所得图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标保持不变，得到，
所以的最小正周期为，A错误；
B选项，的定义域为R，且，
故是偶函数，B正确；
C选项，由得，
由于在上单调递减，
所以在上单调递减，C正确；
D选项，，，所以D选项正确.
故选：BCD.
10．BCD
【分析】根据函数图象所经过的点，结合正切型函数的对称性、单调性逐一判断即可.
【详解】对于A：设该函数的最小正周期为，则有，
即，由函数的图象可知：，又，所以，
即，由图象可知：，所以，因此A不正确；
对于B：，所以B正确；
对于C：因为，
，所以，
所以函数的图象关于直线对称，因此C正确；
对于D：
当时，，
当，
，
当函数在区间上不单调时，则有，D正确.
故选：BCD
【点睛】关键点睛：运用函数对称性、函数单调性的性质是解题的关键.
11．AC
【分析】根据二倍角公式可化简，进而根据正弦型函数的性质即可结合选项逐一求解.
【详解】，
又，所以为奇函数，故A正确，
的最小正周期，故B错，
当时，取最小值为，故C正确.
令,解得，
所以的单调递增区间为，
令，得的其中一个单调递增区间为，故D错误，
故选：AC.
12．ABD
【分析】由经过可求出的解析式，利用奇偶性定义可判断A；利用正弦函数的单调性可判断B；求的值可判断D，利用，分、、，三种情况求的化简式可判断C．
【详解】因为经过，
所以，即，，解得，，
又，所以，则，
对于A，，
时，令，可得，
故为奇函数，所以A正确；
对于B，时，，
对于在上单调递减，可得在上单调递减，所以B正确；
对于D，
，
所以恒为，
即对的值为定值，所以D正确；
对于C，当，时，，
当，时，，
当，时，
，所以C错误．
故答案为：ABD.
13．ACD
【分析】根据三角恒等变换化简得，利用最小正周期公式求解判断A，根据正弦函数对称性求对称轴判断B，根据正弦函数单调性求解单调区间判断C，将问题转化为曲线与直线在区间上有且仅有两个交点，画出函数图象数形结合即可求解判断D.
【详解】由于
，
故最小正周期，故A正确；
令，解得，令得，
所以直线不是函数图像的对称轴，故B错误；
令，所以，
所以函数的单调递增区间为，故C正确；
若函数有两个不同的零点，
即曲线与直线在区间上有且仅有两个交点，
由，得，
设，则，
作出函数图象如图所示，
由图可知：，故D正确.
故选：ACD.
14．ACD
【分析】对于A，根据相邻两对称轴之间的距离求周期得出，再根据偶函数求得；对于B，利用代入验证法进行判断；对于C，根据正弦函数增区间公式进行求解；对于D，数形结合，结合对称性得出结果.
【详解】对于A，由题意，故，
又的图象向左平移个单位得到为偶函数，
所以，且，故，故A正确；
对于B，因为，且不为零，故B错误；
对于C，令，，
令，故易知在单调递增，故，故C正确；
对于D，直线与曲线均过点，且该直线与曲线均关于该点中心对称，
当时，，当时，，如图，
由对称性可知曲线与直线有7个交点，故D正确．
故选：ABD．
15． （答案不唯一）
【分析】根据辅助角公式对函数进行化简，再根据最大值求出A，最后利用余弦型函数求出对称中心.
【详解】由，其中，
又函数的最大值为，则，
又，则，，不妨取，
故，
则的对称中心满足，，解得，，
即的对称中心为，，
则的一个对称中心可为：，
故答案为：，（答案不唯一）
16．
【分析】根据题设中的奇函数和偶函数求出，根据导数的几何意义得切线斜率，根据互为倒数得的关系式，化简后可得.
【详解】函数是偶函数，
可得，
即有
，①
是奇函数，
可得，
，
即为，②
由①②可得，，
，使得函数在点，处的切线斜率互为倒数，
可得，
可得，
即为，
即为，即有，
可得，，.
故答案为：.
17．
【分析】利用①得出，解得.数形结合，利用②中分析出取得最小值时所在的位置，最后利用③中解出的值,求出
【详解】当时，说明与一个取最小值，一个取最大值，
而要想在一个闭区间内能同时取得最小值和最大值，闭区间最少要为半个周期，
因此，若闭区间的长度小于半个周期，则一定不能同时取得最小值和最大值，所以，解得，
所以.不妨设，如图所示：

依次讨论对应为点C，A，D，E四种情况，且，
若对应为点（或点之后），则，即，不合题意；
若求的最大值，即的最小值，即与之间相位跨度最大，
若对应为点，则直线为图象的对称轴，
又是函数图象的一个对称中心，且，
则，解得，则.
所以取值的最大值为.
故答案为：.
18．（1）；（2）.
【分析】(1)由函数的解析式结合偶函数的性质即可确定的值；
(2)首先整理函数的解析式为的形式，然后确定其值域即可.
【详解】(1)由题意结合函数的解析式可得：，
函数为偶函数，则当时，，即，结合可取，相应的值为.
(2)由函数的解析式可得：
.
据此可得函数的值域为：.
【点睛】本题主要考查由三角函数的奇偶性确定参数值，三角函数值域的求解，三角函数式的整理变形等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
19．(1)对称中心为，对称轴方程为：；
(2)最大值为，最小值为0．
【分析】（1）先用半角公式降次，再利用辅助角公式可化简为，利用正弦函数的对称性，求解即可．
（2）当时，，可得，即可得出函数的最值．
【详解】（1）
，
令，解得，
对称轴方程为：．
令，解得，
函数的对称中心为．
（2）当时，，
由正弦函数的性质可知，的最大值为1，最小值为，
函数的最大值为，最小值为0．
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