2026届高考数学复习备考：?三角函数的单调性 高频考点专题练

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2026届高考数学复习备考：
三角函数的单调性 高频考点专题练
一、单选题
1．函数=的部分图像如图所示，则的单调递减区间为
A． B．
C． D．
2．“”是“函数在上单调递减的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．函数的部分图象如图所示，则的单调递减区间为（ ）

A．， B．，
C．， D．，
4．设，．若对任意，均存在，使得函数在是单调函数，则的取值可能是（ ）．
A． B． C． D．
5．已知函数，在区间上单调递增，在上单调递减，且，则（ ）
A． B． C． D．
6．已知函数，若在区间上单调递增，则的最大值为（ ）
A． B．
C． D．
7．已知函数在上单调，且，，则的最大值与最小值之和为（ ）
A． B． C．2 D．
二、多选题
8．若函数的图象经过点，则（ ）
A．点为函数图象的对称中心
B．函数的最小正周期为
C．函数在区间上的函数值范围为
D．函数的单调增区间为
9．已知函数，则下列结论正确的有（ ）
A．函数的最小正周期为
B．函数在上是增函数
C．若，则
D．若，则
10．已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．是周期为的奇函数
B．的图象关于点对称
C．在上单调递增
D．的值域是
11．已知函数满足，且在上是单调函数，则的所有可能取值是（ ）
A．1 B．3 C．5 D．7
三、填空题
12．函数恒有，且在上单调递增，则 ．
13．已知函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为，若在上是增函数，则正数m的取值范围是 .
14．关于定义域为的函数，给出下列四个结论：
①存在在上单调递增的函数使得恒成立；
②存在在上单调递减的函数使得恒成立；
③使得恒成立的函数存在且有无穷多个；
④使得恒成立的函数存在且有无穷多个．
其中正确结论的序号是 ．
四、解答题
15．已知函数，
(1)求函数的值域、对称轴方程、单调递减区间；
(2)，若，求函数的值.
16．已知函数．
(1)若，且，求的值；
(2)求函数的最小正周期，及函数的单调递减区间．
17．已知函数．
(1)求;
(2)设函数，求的值域和单调区间．
18．已知函数.
(1)求函数的单调递增区间；
(2)若，，求的值.
19．已知函数
(1)求函数的最小正周期和单调减区间；
(2)若，求的值域.
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D A D D A C B AC ACD CD
题号 11
答案 AC
1．D
【详解】由五点作图知，，解得，，所以，令，解得＜＜，，故单调减区间为（，），，故选D.
考点：三角函数图像与性质
2．A
【分析】根据充分条件和必要条件的定义判断.
【详解】当时，，
由，则，单调递减成立，即充分性成立；
当时，函数在上单调递减，
推不出成立，如，故必要性不成立；
综上，“”是“函数在上单调递减”的充分不必要条件.
故选：A
3．D
【分析】由图象可知函数的周期，结合函数图象求解最值点的横坐标，即可求出其单调递减区间.
【详解】由图可知的周期；
故图象的最高点和最低点的横坐标分别为，
故的单调递减区间为，.
故选：D

4．D
【分析】利用两个函数总存在一个是单调的函数，而的单调性是已知的，我们就对任意可能包含在时，会导致不单调，此时则需要必须单调，从而去验证在区间的单调性，从而问题可得解.
【详解】由于这两个函数都是周期为的函数，则下面只考虑在区间上进行分析研究，
因为在区间上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
而题意要求对任意，均存在，使得函数在是单调函数，
所以只需要在区间是单调函数即可，
根据选项可知只需要满足时取值，
故，
根据余弦函数的单调性，若满足，解得，
若满足，解得，
若满足，无解，
故必满足题意，而，则ABC错误；
故选：D．
5．A
【分析】根据题设有，进而求得、，再求函数值.
【详解】由题设或，，
所以或，则（舍）或，
所以，，又，则，
所以，故.
故选：A
6．C
【分析】先求在上的单增区间，结合题意，可得关于与的不等式组，分，，三种情况得出的取值范围.
【详解】令，则，
因在区间上单调递增，则，
即且且，
若，则不等式组的解集为空集；
若，则；
若，则不等式组的解集为空集，
则的最大值为.
故选：C
7．B
【分析】由函数的对称性可得对称轴，再由零点联立方程得出，再由函数单调性确定关于周期的不等式，求出，联立可得的范围，据此分类讨论确定检验，即可得出
【详解】由得，
即的图象关于直线对称，且，
故，则，
即，
由函数在上单调，
得，即，
所以，，解得，而，故，1，2.
当时，，则，，结合，得，
此时，当时，
由于在上单调递增，故在上单调递增，满足题意；
当时，，则，，结合，得，
此时，当时，，
由于在上单调递减，故在上单调递减，满足题意；
当时，，，，结合，得，
此时，当时，
由于在上不单调，故在上不单调，不满足题意.
综上，或1，则的最大值与最小值之和为.
故选：B
8．AC
【分析】先求出解析式，对于A，求出函数的对称中心即可判断；对于B，由解析式及最小正周期公式求解即可；对于C，根据变量范围得出角的范围即可得出函数的函数值范围；对于D，求出正切型函数的单调递增区间以及零点即可根据正切（型）函数图象性质得出函数的单调增区间.
【详解】由题，又，故，所以，
对于A，令，则，
所以的对称中心为，
当时，，故点为函数图象的一个对称中心，故A正确；
对于B，由上的最小正周期为，故B错误；
对于C，当，，故，故C正确；
对于D，令，所以，
所以函数的单调递增区间为，无单调递减区间，
令即，所以即，
所以函数的零点为，作出函数的示意图，

所以函数的单调增区间为，故D错误.
故选：AC.
9．ACD
【分析】对于A：整理可得，即可求最小正周期；对于B：举反例说明即可；对于C：可得，以为整体，利用诱导公式以及倍角公式运算求解；对于D：可得，以为整体，结合两家和差公式运算求解.
【详解】对于A：因为，
所以函数的最小正周期为，故A正确；
对于B：因为，
即，可知函数在上不是增函数，故B错误；
对于C：若，
则，故C正确；
对于D：，
则，
所以，故D正确；
故选：ACD.
10．CD
【分析】先化简，，A选项利用奇函数若，则，验证；B选项令，求出对称中心的坐标；C选项通过令，求出的增区间，再判断是否正确；D选项通过，确定的值域.
【详解】.
对于A，周期为，，因此不是奇函数，故A错误；
对于B，令，，解得：,
当时，，所以关于对称，
则关于对称，故B错误；
对于C，令，，解得:，
所以增区间为，,
当时，则，故C正确；
D选项：，则，则，故D正确.
故选：CD.
11．AC
【分析】分析出关于中心对称，关于轴对称，根据单调性得到，设对称中心和对称轴的距离为，则，设的最小正周期为，分，，，和五种情况，结合函数的性质判断出答案.
【详解】，故关于中心对称，
，故关于轴对称，
，则，
在上是单调函数，所以，故，
设对称中心和对称轴的距离为，则，
设的最小正周期为，
若，则，故，此时，
，，，，
故，，，，
因为，故当，时，满足要求，此时，
此时，当时，，
此时在上单调递增，满足要求；
若，即，，此时，
，，，，
故，，，，
因为，故当，时，满足要求，此时，
此时，当时，，
故在上不单调，不合要求，
若，即，，此时，
，，，，
故，，，，
因为，故当，时，满足要求，此时，
此时，当时，，
此时在上单调递增，满足要求；
若，即，，此时，
，，，，
故，，，，
因为，故当，时，满足要求，此时，
此时，当时，，
故在上不单调，不合要求，
当时，，不合要求，
综上，所有可能取值为1或5.
故选：AC
12．
【分析】利用函数最值得出，所以，已知在上单调递增，所以，解出.分和，根据在上单调性进行讨论，得出值.
【详解】已知恒有，根据正弦函数的性质可得：，即，
所以，所以
已知在上单调递增，所以，即，解得.
当时，因为，所以，
因为在上单调递增，所以，
解得，所以，
解得，故.
当时，因为，所以.
取，则，因为，
所以，故在上单调递减，不满足题意.
同理可得，时，也不满足题意.
综上可得：.
故答案为：.
13．
【分析】根据正弦型函数对称轴与周期的关系，结合正弦型函数的单调性进行求解即可.
【详解】因为函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为，
所以，解得，即，
因为在上是增函数，则，
所以函数的增区间包含，
令，得，
所以，所以故的取值范围为.
故答案为：
14．②③
【分析】利用反证法可判断①④的正误，构造函数并验证后可判断②③的正误.
【详解】对于①，若存在在上的增函数，满足，
则，即，
故时，，故，
故即，矛盾，故①错误；
对于②，取，该函数为上的减函数且，
故该函数符合，故②正确；
对于③，取，
此时，由可得有无穷多个，
故③正确；
对于④，若存在，使得，
令，则，但，矛盾，
故满足的函数不存在，故④错误.
故答案为：②③
15．(1)值域，对称轴方程，减区间；
(2).
【分析】（1）利用和角的正弦公式及辅助角公式化简函数，再利用正弦函数的性质求解.
（2）由同角公式求出，再代入（1）中求值.
【详解】（1）依题意，，
所以函数的值域为；
由，得函数的对称轴方程；
由，得单调递减区间.
（2）由，，得，所以.
16．(1)
(2)最小正周期，，
【分析】（1）根据同角三角函数关系得到，由余弦二倍角公式得到，从而得到；
（2）利用三角恒等变换得到，利用得到最小正周期，并利用整体法求出函数的单调递减区间.
【详解】（1）因为，且，
所以，，
所以．
（2），
所以函数的最小正周期．
由，，
解得，．
所以函数的单调递减区间，．
17．(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）直接由题意得，结合余弦函数的单调性即可得解；
（2）由三角恒等变换得，由此可得值域，进一步由整体代入法可得函数的单调区间.
【详解】（1）由题意，所以；
（2）由（1）可知，
所以
，
所以函数的值域为，
令，解得，
令，解得，
所以函数的单调递减区间为，
函数的单调递增区间为.
18．(1)．
(2)
【分析】（1）利用二倍角公式及辅助角公式化简函数，再利用正弦函数单调性求出递增区间.
（2）由（1）结合已知求出，再利用差角的余弦公式求解即得.
【详解】（1），
令，解得，
所以的单调递增区间为.
（2）由，得，，
即，则，，
所以
.
19．(1)最小正周期；
(2)
【分析】（1）利用和角公式、二倍角公式和辅助角公式将函数解析式化成正弦型函数，求得最小正周期，借助于正弦函数的单调区间即可求出其单调减区间；
（2）由给定范围求得整体角的范围，结合正弦函数的图象，即可求得函数的值域.
【详解】（1）
，
故函数的最小正周期
由，可得.
故函数的单调减区间为：；
（2）因，由，可得，
由正弦函数的图象，可得，
故的值域为.
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