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分课时教学设计
第八课时《16.3.2 完全平方公式（第1课时）》教学设计
课型 新授课 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 完全平方公式是人教版八年级上册整式乘法的核心内容，是多项式乘法的特殊形式与重要延伸．它承接了多项式乘以多项式的基础法则，既是对整式乘法运算的进一步深化，也是后续学习因式分解、分式运算、二次函数等知识的重要铺垫，在整个代数知识体系中起到承上启下的关键作用．同时，公式的探索过程体现了从特殊到一般的数学思想，为学生积累代数推理经验提供了典型载体．
学习者分析 学生已掌握多项式乘法法则，具备一定代数运算基础与符号表达能力，为探索完全平方公式提供了知识前提．但学生此前接触的多为直接展开的多项式乘法，对“从特殊运算归纳一般公式”的推理过程尚显陌生，易在抽象规律时出现思维断层．同时，学生应用公式时易忽略“积的2倍”中间项，或混淆完全平方公式与平方差公式的结构；虽有初步几何直观经验，但将图形面积与代数公式关联的能力较弱．此外，学生个体运算熟练度与推理能力存在差异，部分学生在处理含分数、负号的公式应用时可能面临困难，需通过分层引导与针对性练习帮助突破．
教学目标 1．经历探索完全平方公式的过程，进一步发展符号意识和推理能力． 2．会推导完全平方公式，并能运用公式进行计算． 3．了解(a±b)2＝a2±2ab＋b2的几何背景，发展几何直观．
教学重点 完全平方公式的探索及应用．
教学难点 完全平方公式的探索及应用．
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：学习目标教师活动1： 师出示学习目标： 1．经历探索完全平方公式的过程，进一步发展符号意识和推理能力． 2．会推导完全平方公式，并能运用公式进行计算． 3．了解(a±b)2＝a2±2ab＋b2的几何背景，发展几何直观．学生活动1： 学生齐声读本课的学习目标活动意图说明： 明确本节课的学习目标，使教师的教和学生的学有效结合在一起，激发学生的学习动力，提高学生课堂参与的兴趣与积极性．环节二：新知导入教师活动2： 问题：1．说一说乘法的平方差公式？ 答案：(a+b)(ab)=a2b2 也就是说，两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差． 2．填空： _________________. 答案： 导言：某些特殊形式的多项式相乘，可以写成公式的形式，当遇到相同形式的多项式相乘时，就可以直接运用公式写出结果．学生活动2： 学生积极回答问题活动意图说明： 通过复习平方差公式与多项式乘以多项式，为探究完全平方公式做好准备环节三：新知讲解教师活动3： 探究：计算下列多项式的积，你能发现什么规律？ （1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 预设： （1） （2），， （3），， （4），， 讲解：上面的几个运算都是形如的多项式相乘，因为 = =， = =． 所以，对于具有与此相同形式的多项式相乘，可以直接写出运算结果，即 ， ． 也就是说，两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍． 这两个公式叫作(乘法的)完全平方公式． 注意：是多项式乘法中的特殊情形． 思考：你能根据图1和图2中图形的面积说明完全平方公式吗？ 例1：运用完全平方公式计算． （1）； （2）． 解：（1） = = （2） = = 例2：运用完全平方公式计算． （1）； （2）． 解：（1） = = = （2） = = = 归纳：运用完全平方公式进行简便计算，要熟记完全平方公式的特征，将原式转化为能利用完全平方公式的形式． 思考：(a＋b)2与(－a－b)2相等吗？(a－b)2与(b－a)2相等吗？(a－b)2与a2－b2相等吗？为什么？ 预设：(－a－b)2＝(－1)2(a＋b)2＝(a＋b)2； (a－b)2＝(b－a)2； (a－b)2－(a2－b2)＝2b2－2ab． 若两式相等，则有2b2－2ab＝0，b2＝ab． 因此，只有在a＝b或b＝0的情况下，两式才相等．学生活动3： 学生小组合作探索，班内汇报，然后听老师的点评与讲解活动意图说明： 让学生经历具体—抽象的过程，即经历观察、比较、抽象、概括、推理的过程，探究完全平方公式，认识完全平方公式的几何意义，通过例题让学生对完全平方公式及其变式有所掌握，提高学生运用所学知识解决问题的能力．环节四：课堂小结教师活动4： 问题：本节课你都学习到了哪些知识？ 教师通过学生的回答，进行归纳 学生活动4： 学生积极回顾本节课学习到的知识活动意图说明： 通过学生自己回顾、总结、梳理所学的知识，将所学的知识与以前学过的知识进行紧密联系，完善认知结构和知识体系．
板书设计 课题：16.3.2完全平方公式（第1课时）一、完全平方公式 ， ． 教师板演区学生展示区
课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．如果，那么下列等式中正确的是（ ） A． B． C． D． 答案：C 2．下列等式一定成立的是（ ） A． B． C． D． 答案：D 3．计算： (1) (2)利用乘法公式计算： 解：（1）原式 ； （2）原式 ． 选做题： 4．以下图形的面积能说明的关于、的完全平方公式为 ． 【综合拓展类练习】 5．先化简，再求值：，其中， ， 当，时， 原式．
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．下列代数式中，等于的是（ ）． A． B． C． D． 答案：D 2．若，，则的值为（ ） A． B． C． D． 答案：A 3．计算： (1)； (2)． 解：（1）原式 ． （2）原式 ． 选做题： 4．四个数排列成．我们称之为“二阶行列式”．规定它的运算法则为．若，则 ． 解：∵，， ∴， 即， 化简得， 解得． 故答案为∶ ． 【综合拓展类作业】 5．如图，和谐广场有一块长为米、宽为米的长方形空地，角上有两块边长均为米的小正方形空地，现要将阴影部分进行绿化．（单位：米） (1)用含有a，b的式子表示绿化的总面积（结果写成最简形式）； (2)若，，求出绿化的总面积． 解：（1）根据题意， ， 绿化的总面积为平方米； （2）当，时，（平方米）， 绿化的总面积为5400平方米．
教学反思 本节课围绕公式探索与应用展开，通过特殊运算归纳、代数推导、几何验证的环节，基本达成教学目标，多数学生能掌握公式结构并完成基础计算．但存在不足：一是公式探索环节给学生自主推理的时间不足，部分学生依赖教师引导，未充分经历规律提炼过程；二是针对“易漏中间项”“符号处理失误”的易错点，虽设计练习但未及时进行错因共性分析，部分学生仍存在应用偏差；三是几何验证环节仅简单展示图形，未让学生动手分割面积，几何直观能力培养稍显薄弱．后续需优化时间分配，强化易错点反馈，增加学生实操环节，提升教学实效．
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同步探究学案
课题 16.3.2 完全平方公式（第1课时） 单元 第十六章 学科 数学 年级 八年级
学习 目标 1．经历探索完全平方公式的过程，进一步发展符号意识和推理能力． 2．会推导完全平方公式，并能运用公式进行计算． 3．了解(a±b)2＝a2±2ab＋b2的几何背景，发展几何直观．
重点 完全平方公式的探索及应用．
难点 完全平方公式的探索及应用．
探究过程
导入新课 【引入思考】 1．说一说乘法的平方差公式？ 2．填空： _________________.
新知探究 本节课来研究： 本节我们借助多项式与多项式相乘，研究乘法的完全平方公式。 探究：计算下列多项式的积，你能发现什么规律？ （1）； （2）； （3）； （4）． 上面的几个运算都是形如的多项式相乘，因为 = =_______________， = =_______________． 所以，对于具有与此相同形式的多项式相乘，可以直接写出运算结果，即 ， ． 也就是说，两个数的和(或差)的平方，等于它们的________，加上(或减去)它们的积的_____倍． 这两个公式叫作(乘法的)完全平方公式． 注意：是多项式乘法中的特殊情形． 思考：你能根据图1和图2中图形的面积说明完全平方公式吗？ 例1：运用完全平方公式计算． （1）； （2）． 例2：运用完全平方公式计算． （1）； （2）． 归纳：运用完全平方公式进行简便计算，要熟记完全平方公式的特征，将原式转化为能利用完全平方公式的形式． 思考：(a＋b)2与(－a－b)2相等吗？(a－b)2与(b－a)2相等吗？(a－b)2与a2－b2相等吗？为什么？
课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．如果，那么下列等式中正确的是（ ） A． B． C． D． 2．下列等式一定成立的是（ ） A． B． C． D． 3．计算： (1) (2)利用乘法公式计算： 选做题： 4．以下图形的面积能说明的关于、的完全平方公式为 ． 【综合拓展类练习】 5．先化简，再求值：，其中，
课堂小结 说一说：今天这节课，你都有哪些收获？
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．下列代数式中，等于的是（ ）． A． B． C． D． 2．若，，则的值为（ ） A． B． C． D． 3．计算： (1)； (2)． 选做题： 4．四个数排列成．我们称之为“二阶行列式”．规定它的运算法则为．若，则 ． 【综合拓展类作业】 5．如图，和谐广场有一块长为米、宽为米的长方形空地，角上有两块边长均为米的小正方形空地，现要将阴影部分进行绿化．（单位：米） (1)用含有a，b的式子表示绿化的总面积（结果写成最简形式）； (2)若，，求出绿化的总面积．
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第十六章 整式的乘法
16.3.2 完全平方公式
（第1课时）
。
1．经历探索完全平方公式的过程，进一步发展符号意识和推理能力．
2．会推导完全平方公式，并能运用公式进行计算．
3．了解(a±b)2＝a2±2ab＋b2的几何背景，发展几何直观．
1．说一说乘法的平方差公式？
(a+b)(ab)=a2b2
也就是说，两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差．
2．填空： ____________________.
某些特殊形式的多项式相乘，可以写成公式的形式，当遇到相同形式的多项式相乘时，就可以直接运用公式写出结果．
探究：计算下列多项式的积，你能发现什么规律？
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
上面的几个运算都是形如的多项式相乘
=
=，
=
=．
对于具有与此相同形式的多项式相乘，可以直接写出运算结果，即
，
．
，
．
(乘法的)完全平方公式
也就是说，两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍．
完全平方公式是多项式乘法中的特殊情形．
思考：你能根据图1和图2中图形的面积说明完全平方公式吗？
图形演示：
图形演示：
例1：运用完全平方公式计算．
（1）； （2）．
解：（1）
=
=
（2）
=
=
例2：运用完全平方公式计算．
（1）； （2）．
解：（1）
=
=
=
（2）
=
=
=
运用完全平方公式进行简便计算，要熟记完全平方公式的特征，将原式转化为能利用完全平方公式的形式．
思考：(a＋b)2与(－a－b)2相等吗？(a－b)2与(b－a)2相等吗？(a－b)2与a2－b2相等吗？为什么？
(－a－b)2＝(－1)2(a＋b)2＝(a＋b)2；
(a－b)2＝(b－a)2；
(a－b)2－(a2－b2)＝2b2－2ab．
若两式相等，则有2b2－2ab＝0，b2＝ab．
因此，只有在a＝b或b＝0的情况下，两式才相等．
【知识技能类练习】必做题：
1．如果，那么下列等式中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
C
【知识技能类练习】必做题：
2．下列等式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
D
【知识技能类练习】必做题：
3．计算：
(1) (2)利用乘法公式计算：
解：（1）原式
；
（2）原式
．
【知识技能类练习】选做题：
4．以下图形的面积能说明的关于、的完全平方公式为
．
【综合拓展类练习】
5．先化简，再求值：，其中，
，
当，时，
原式．
完全平方公式
完全平方差公式
完全平方和公式
(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2
几何表示
(a－b)2＝a2－2ab＋b2
几何表示
【知识技能类作业】必做题：
1．下列代数式中，等于的是（ ）．
A． B． C． D．
D
【知识技能类作业】必做题：
2．若，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
A
【知识技能类作业】必做题：
3．计算：
(1)； (2)．
解：（1）原式
．
（2）原式
．
【知识技能类作业】选做题：
4．四个数排列成．我们称之为“二阶行列式”．规定它的运算法则为．若，则 ．
【综合拓展类作业】
5．如图，和谐广场有一块长为米、宽为米的长方形空地，角上有两块边长均为米的小正方形空地，现要将阴影部分进行绿化．（单位：米）
(1)用含有a，b的式子表示绿化的总面积（结果写成最简形式）；
(2)若，，求出绿化的总面积．
解：（1）根据题意，
，
绿化的总面积为平方米；
（2）当，时，
（平方米），
绿化的总面积为5400平方米．
