教案
学科 数学 年级 八年级
示范性案例描述 例基本信息数学 八年级上册 北师大版 第七章第一节《为什么要证明》 案例的教学目标1.经历观察、归纳、实验等活动，在活动中体会到观察、实验、归纳所得到的结论未必可靠，初步感受证明的必要性，发展推理意识（重点）；2.使用恰当的思路和方法对一些数学结论进行判断和证明，能够简单地描述和书写推理过程，体会归纳法和分类讨论的数学思想，初步发展直观想象、逻辑推理、数学建模、数学运算的核心素养.（难点）教学内容分析《为什么要证明》是北师大版数学八年级上册第七章第一节的内容.本节是在学生对几何结论已经有了一定直观认识的基础上编排的.在以前的学习中，教材已引导学生通过探索（观察、测量、实验、归纳等）得到了很多正确的结论，但并没有进行严格的证明，虽然学生认可它们的正确性，并利用这些结论解决了一些问题，然而这样更容易给学生造成一些错觉，认为通过探究得到的结论一定正确.本节课通过各种活动，让学生体会到直观感受与客观结果有时并不一致的冲击，从而认识到证明的必要性和推理的严谨性.本节课是证明的起始阶段，对培养学生的正确认识，养成良好习惯，培养学科素养至关重要.学生情况分析八年级的学生，具有一定数学知识基础和抽象概括能力，随着学习内容的延伸，学生思维水平的发展，学生自然会遇到一些直观感受与客观事实不一致的问题，这也促进他们追根溯源，寻求真理.同时，学生在以往的学习活动中，积累了一定的小组讨论、合作探究的活动经验，这也是本节课活动开展的必要条件.录课班级学生虽基础略弱，却思维活跃，但也难免与恰当思路有所偏差；纪律较好，有丰富的课堂小组合作探究经验。教学步骤或教学活动设计导入：我们常说：耳听为虚，眼见为实；举一反三，触类旁通；纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行.可见，观察、归纳、实验，是人们认识事物的重要手段，但通过以上方法得到的结论一定正确吗？我们来感受几个问题.（一）活动内容观察观察（1）：观察下面两图，中间圆的大小一样吗？如何验证？观察（2）：观察图中的两条线段的长度相等吗？如何验证？观察（3）：观察如图圆中图形的边是曲还是直？是正方形吗？如何验证？ （观察（1）图） （观察（2）图） （观察（3）图） 猜想（1）猜想：把地球看成球形，假如用一根比地球赤道长1米的铁丝将地球赤道围起来,那么铁丝与地球赤道之间的间隙能有多大？能放进一个拳头吗？先凭感觉想象一下，再具体算一算，看看与你的感觉是否一致，并与同伴进行交流.（取3.14，结果精确到百分位，单位：米） （2）思考：假如用一根比篮球过球心的截面圆周长长1 米的铁丝将篮球围起来，那么铁丝与篮球之间的间隙能有多大？与地球相比谁的间隙大？归纳实验如图,三角形ABC两边的中点分别是D、E，连接DE.（1）猜一猜：DE和BC有怎样的位置关系和数量关系？（工具：量角器、直尺、三角板）（2）初验证：请你用三角板和量角器测量，记录你的测量结果.和你的猜想一致吗？（3）再验证：若改变三角形ABC的形状, 使其为直角三角形或钝角三角形，还能得到类似的结论吗？（4）推理论证：你能对自己的猜测进行严格的证明吗？（5）你能肯定这两个结论对所有的三角形都成立吗？（二）课堂小结1.知识技能：观察、归纳、实验是人们认识事物的重要手段，但通过以上方法得到的结论不一定正确，因而需进行有根有据的证明.若要说明一个结论正确，则需严格的证明；若要说明结论不正确，举反例是一种常用的方法，且只需举出一个反例即可.2.思想方法：数形结合、分类讨论、归纳法.3.核心素养：直观想象、数学运算、数学建模、逻辑推理. ... ...（三）当堂检测1.你能确定图中三条线段a、b、c，哪一条和线段d在同一条直线上吗？ 2.当n为正整数时，的值一定是质数吗？3.下列说法是否正确，若正确请说明理由，若不正确，请举出反例.①两个无理数的和还是无理数； ②两个无理数的差还是无理数；③两个无理数的积还是无理数； ④两个无理数的商还是无理数.4.一个两位数，若把它的十位数字与个位数字对调，将得到一个新的两位数．则原数与新数的和能被11整除吗？小明这样验证：比如23，把它的十位数字与个位数字对调后得到新的两位数32，而23+32=55，因此我们断定，这两个数的和能被11整除.你认为应该如何证明？评价或作业设计知识要点1.下列关于判断一个数学结论是否正确的叙述正确的是（ ）A．只需观察得出 B．只需依靠经验获得 C．通过亲自实验得出 D．必须进行有根据地推理2.图中两条线段a与b的长度相等吗？你是如何判断的？3.某班有39位同学，他们每人将自己的学号作为n的取值（n=1,2,3，...39）代入式子，结果发现的值都是质数，于是他们猜想：对于所有的自然数，的值都是质数，你认为他们的猜想正确吗？验证一下n=40的情形.规律方法4.下列说法不正确的是（ ）A．一次函数不一定是正比例函数 B．不是一次函数就一定不是正比例函数C．正比例函数是特殊的一次函数 D．不是正比例函数就一定不是一次函数5.某班有50人，在一次数学考试中，得分均为整数，全班最低分为48分，最高分为96分，那么该班考试中（ ）A．至少有两人得分相同 B．至多有两人得分相同 C．得分相同的情况不会出现 D．以上结论都不对6.小张想买一个直径为八寸的生日蛋糕，店员说：“八寸的蛋糕卖完了，给你两个四寸的蛋糕，高度和材质都和八寸的蛋糕一样，总价钱等于一个八寸蛋糕的价钱，可以吗？”小张拒绝了，你知道小张为什么拒绝吗？探究巩固7.当x为任意实数时,的值都大于零吗，为什么 8.某公园计划砌一个形状如图（1）所示的喷水池，后来有人建议改为图（2）的形状，且外圆的直径不变，喷水池边沿的宽度、高度不变，你认为砌喷水池的边沿与图（1）相比需要的材料变多了还是变少了？活动拓展以“严谨的数学”为主题，制作精美手抄报.（1、支持小组合作；2、对所有同学均选做）案例特色或创新以“观察、归纳、实验是人们认识事物的重要手段，通过观察、归纳实验得到的结论一定正确吗？如何判断？怎样验证？”为主线，呈现相应素材，设计相应活动进行探讨，让学生在探索中感受证明的必要性，并在探索和练习中，体会数学思想、提升核心素养、培养创新意识.
