中小学教育资源及组卷应用平台
同步探究学案
课题 第16章 整式的乘法 章末复习 单元 第十六章 学科 数学 年级 八年级
学习 目标 1．巩固整式的乘法法则，并利用整式的乘法解决有关问题． 2．通过整式的乘法运算，加深对知识的理解，建立比较清晰的知识体系．
重点 熟练地运用整式的乘法法则进行运算．
难点 灵活运用整式的乘法法则解决有关问题．
探究过程
导入新课 【引入思考】 本章知识结构图
新知探究 本节课来研究： 请你带着下面的问题，复习一下全章的内容吧。 1．举例说明同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方如何运算。 2．举例说明怎样将多项式乘（或除以）单项式转化为单项式乘（或除以）单项式、多项式乘多项式是如何转化为单项式相乘的？ 3．本章学习了哪几个乘法公式？你能说出它们的结构特点吗？你能从几何直观的角度用图形的面积解释乘法公式吗？ 考点梳理： 考点一：幂的运算 例1：下面运算中，正确的是（ ） A． B． C． D． 归纳：进行幂的运算的“三点注意” （1）在进行同底数幂的乘法运算时，注意指数是相加而不是相乘． （2）在进行幂的乘方或积的乘方运算时，当底数是负数、指数是奇数时，注意符号为负． （3）在进行加法运算时，不是同类项的不能合并． 考点二：整式的运算 例2：某同学用长为、宽为的小长方形（如图）若干个拼成不同的大长方形，如图、图和图是拼成的不完整的长方形，已知砖块中间无缝隙．根据图示回答下列问题： (1)图中的空白面积为______；（用含，的代数式表示） (2)求图中的空白面积；（用含，的代数式表示） (3)若图和图中的空白面积分别为，，求图中的小长方形面积． 归纳：整式的运算包括单项式乘单项式、单项式乘多项式、多项式乘多项式、单项式除以单项式以及多项式除以单项式，其中单项式乘单项式是整式的运算的基础，必须熟练掌握它的运算法则．整式的混合运算，要按照先算乘方，再算乘除，最后算加减的顺序进行，有括号的要先算括号里的． 考点三：乘法公式 例3：综合探究：小明遇到下面一个问题： 计算．． 经过观察，小明发现如果将原式进行适当的变形后可以出现特殊的结构，进而可以应用平方差公式解决问题，具体解法如下： ． 请根据小明解决问题的方法，试着解决下面问题：计算： (1) (2) 归纳：整式的乘法公式包括平方差公式和完全平方公式，在计算多项式的乘法时，对于符合公式结构特征的式子，运用公式可减少运算量，提高解题速度． 考点四：化简求值 例4：先化简，再求值：，其中，． 归纳：（1）先化后算：优先用乘除法则、乘法公式展开、合并同类项，避免直接代入求值； （2）公式优选：遇平方差、完全平方等形式，直接用公式简化，减少复杂运算； （3）紧盯符号：单项式乘除注意系数符号，多项式展开别漏负号； （4）代入求值：化简后代入数值，先算括号内，再算乘方、乘除，最后算加减，避免计算失误。
课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．下列运算中，正确的是（ ） A． B． C． D． 2．下列不能用平方差公式运算的是（ ） A． B． C． D． 3．计算： (1) (2) (3) 选做题： 4．已知，则的值是 ． 【综合拓展类练习】 5．化简求值：的值，其中．
课堂小结 说一说：今天这节课，你都有哪些收获？
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．下列计算正确的是（ ） A． B． C． D． 2．计算的结果是（ ） A． B． C． D． 3．化简求值：，其中， ． 选做题： 4．观察下列各式及其展开式： 请你猜想的展开式第三项的系数是 ． 【综合拓展类作业】 5．对于任意四个有理数，，，，可以组成两个有理数对与．我们规定：，例如：． (1)若，求的值； (2)若，且，求的值．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共38张PPT)
第十六章 整式的乘法
第16章 整式的乘法
章末复习
1．巩固整式的乘法法则，并利用整式的乘法解决有关问题．
2．通过整式的乘法运算，加深对知识的理解，建立比较清晰的知识体系．
整式的乘法
幂的运算性质
（
单项式乘单项式
多项式乘多项式
单项式乘多项式
特殊 形式
乘法公式
整式的除法
互逆 运算
请你带着下面的问题，复习一下全章的内容吧．
1．举例说明同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方如何运算。
2．举例说明怎样将多项式乘（或除以）单项式转化为单项式乘（或除以）单项式、多项式乘多项式是如何转化为单项式相乘的？
3．本章学习了哪几个乘法公式？你能说出它们的结构特点吗？你能从几何直观的角度用图形的面积解释乘法公式吗？
1．举例说明同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方如何运算。
am·an＝am＋n（m，n都是正整数）．
即：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
(am)n＝amn（m，n都是正整数）．
即：幂的乘方，底数不变，指数相乘．
(ab)n＝anbn（n为正整数）．
即：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．
2．举例说明怎样将多项式乘（或除以）单项式转化为单项式乘（或除以）单项式、多项式乘多项式是如何转化为单项式相乘的？
单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．
p(a＋b＋c)
pb
＋
pc
pa
＋
2．举例说明怎样将多项式乘（或除以）单项式转化为单项式乘（或除以）单项式、多项式乘多项式是如何转化为单项式相乘的？
多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加．
(a＋b＋c)p
b÷p
＋
cp
ap
＋
2．举例说明怎样将多项式乘（或除以）单项式转化为单项式乘（或除以）单项式、多项式乘多项式是如何转化为单项式相乘的？
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．
(a+b)(p+q)
ap
aq
bp
bq
= + + +
3．本章学习了哪几个乘法公式？你能说出它们的结构特点吗？你能从几何直观的角度用图形的面积解释乘法公式吗？
（乘法的）平方差公式
(a+b)(ab)=a2b2
也就是说，两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差．
3．本章学习了哪几个乘法公式？你能说出它们的结构特点吗？你能从几何直观的角度用图形的面积解释乘法公式吗？
，
．
(乘法的)完全平方公式
也就是说，两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍．
考点一：幂的运算
例1：下面运算中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
D
考点一：幂的运算
进行幂的运算的“三点注意”
（1）在进行同底数幂的乘法运算时，注意指数是相加而不是相乘．
（2）在进行幂的乘方或积的乘方运算时，当底数是负数、指数是奇数时，注意符号为负．
（3）在进行加法运算时，不是同类项的不能合并．
考点二：整式的运算
例2：某同学用长为、宽为的小长方形（如图）若干个拼成不同的大长方形，如图、图和图是拼成的不完整的长方形，已知砖块中间无缝隙．根据图示回答下列问题：
(1)图中的空白面积为______；（用含，的代数式表示）
(2)求图中的空白面积；（用含，的代数式表示）
(3)若图和图中的空白
面积分别为，，
求图中的小长方形面积．
考点二：整式的运算
解：（1）由图可知小长方形的面积为，
由图可知，正方形的边长为，
正方形的面积为，
空白部分的面积为；
考点二：整式的运算
（2）由图可知，长方形的长为，宽为，
长方形的面积为，
图中共有个小长方形，
图4中的空白面积为：；
考点二：整式的运算
（3）图中的空白面积为：，
，
图中的空白面积为：
，
，
解得：，
图中的小长方形的面积为．
考点二：整式的运算
整式的运算包括单项式乘单项式、单项式乘多项式、多项式乘多项式、单项式除以单项式以及多项式除以单项式，其中单项式乘单项式是整式的运算的基础，必须熟练掌握它的运算法则．整式的混合运算，要按照先算乘方，再算乘除，最后算加减的顺序进行，有括号的要先算括号里的．
考点三：乘法公式
例3：综合探究：小明遇到下面一个问题：
计算．．
经过观察，小明发现如果将原式进行适当的变形后可以出现特殊的结构，进而可以应用平方差公式解决问题，具体解法如下：
．
考点三：乘法公式
请根据小明解决问题的方法，试着解决下面问题：计算：
(1)
解：（1）
；
考点三：乘法公式
请根据小明解决问题的方法，试着解决下面问题：计算：
(2)
（2）
…
．
考点三：乘法公式
整式的乘法公式包括平方差公式和完全平方公式，在计算多项式的乘法时，对于符合公式结构特征的式子，运用公式可减少运算量，提高解题速度．
考点四：化简求值
例4：先化简，再求值：，
其中，．
解：
，
把，代入得：
原式．
考点四：化简求值
（1）先化后算：优先用乘除法则、乘法公式展开、合并同类项，避免直接代入求值；
（2）公式优选：遇平方差、完全平方等形式，直接用公式简化，减少复杂运算；
（3）紧盯符号：单项式乘除注意系数符号，多项式展开别漏负号；
（4）代入求值：化简后代入数值，先算括号内，再算乘方、乘除，最后算加减，避免计算失误。
【知识技能类练习】必做题：
1．下列运算中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
B
【知识技能类练习】必做题：
2．下列不能用平方差公式运算的是（ ）
A． B．
C． D．
B
【知识技能类练习】必做题：
3．计算：
(1) (2)
(3)
解：（1）原式；
（2）原式；
（3）原式
．
【知识技能类练习】选做题：
4．已知，则的值是 ．
98
解：，
∴，
，
．
【综合拓展类练习】
5．化简求值：的值，
其中．
解：
，
∵ ∴，
∴， ∴原式．
请同学们总结一下本节课所复习的主要内容
【知识技能类作业】必做题：
1．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
B
【知识技能类作业】必做题：
2．计算的结果是（ ）
A． B．
C． D．
B
【知识技能类作业】必做题：
3．化简求值：，
其中， ．
解：，
，
，
，
，
当，时，
原式．
【知识技能类作业】选做题：
4．观察下列各式及其展开式：
请你猜想的展开式第三项的系数是 ．
45
【综合拓展类作业】
5．对于任意四个有理数，，，，可以组成两个有理数对与．我们规定：，例如：．
(1)若，求的值；
(2)若，且，求的值．
【综合拓展类作业】
解：（1） ，
即，
，
；
（2） ，
即，
整理得，
又 ，
．中小学教育资源及组卷应用平台
分课时教学设计
第十课时《第16章 整式的乘法 章末复习》教学设计
课型 新授课口 复习课 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 本节复习课选自人教版数学八年级上册第十六章“整式的乘法”中的小结内容，是在学生已学完本章新知后的巩固提升内容．核心围绕幂的运算性质、整式的乘除法则、乘法公式三大模块展开，既是对本章知识的系统梳理，也是后续学习因式分解、分式运算等代数式相关内容的重要铺垫，承接了数的运算与代数式运算的衔接，凸显了“运算能力”培养的核心价值．
学习者分析 学生已初步掌握幂的运算性质、整式乘除法则及乘法公式等新知，但存在明显的学情特点：一是对单一法则的直接应用掌握较好，可面对需要综合多法则的运算，如多项式乘除与乘法公式结合、含负号的混合运算时，易出现符号处理失误、步骤混淆等问题；二是对知识间的内在联系理解不深，尚未形成系统知识框架；三是能解决直接套用公式的基础题，却难以将实际问题转化为整式运算模型，灵活运用能力较弱．此外，学生运算习惯差异较大，部分学生存在步骤跳跃、粗心漏算的情况，需在复习中针对性强化．
教学目标 1．巩固整式的乘法法则，并利用整式的乘法解决有关问题． 2．通过整式的乘法运算，加深对知识的理解，建立比较清晰的知识体系．
教学重点 熟练地运用整式的乘法法则进行运算．
教学难点 灵活运用整式的乘法法则解决有关问题．
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：学习目标教师活动1： 师出示学习目标： 1．巩固整式的乘法法则，并利用整式的乘法解决有关问题． 2．通过整式的乘法运算，加深对知识的理解，建立比较清晰的知识体系．学生活动1： 学生齐声读本课的学习目标活动意图说明： 明确本节课的学习目标，使教师的教和学生的学有效结合在一起，激发学生的学习动力，提高学生课堂参与的兴趣与积极性．环节二：知识框图教师活动2： 出示知识框图 学生活动2： 学生认真和老师回顾本章的知识架构活动意图说明： 通过出示本章知识框图，让学生对本章所学内容有明确的了解，为进一步进行知识回顾做好准备环节三：回顾思考教师活动3： 请你带着下面的问题，复习一下全章的内容吧． 1．举例说明同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方如何运算。 预设：am·an＝am＋n（m，n都是正整数）． 即：同底数幂相乘，底数不变，指数相加． (am)n＝amn（m，n都是正整数）． 即：幂的乘方，底数不变，指数相乘． (ab)n＝anbn（n为正整数）． 即：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘． 2．举例说明怎样将多项式乘（或除以）单项式转化为单项式乘（或除以）单项式、多项式乘多项式是如何转化为单项式相乘的？ 预设：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加． 多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加． 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加． 3．本章学习了哪几个乘法公式？你能说出它们的结构特点吗？你能从几何直观的角度用图形的面积解释乘法公式吗？ 预设：（乘法的）平方差公式 (a+b)(ab)=a2b2 也就是说，两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差． (乘法的)完全平方公式 ， ． 也就是说，两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍． 学生活动3： 学生先独立思考，然后在小组合作探究中完成老师提出的问题活动意图说明： 以问题串的形式创设情境，引起学生的认知冲突，使学生对旧知识设疑并回顾，从而激发学生的学习兴趣和求知欲望环节四：考点梳理教师活动4： 考点一：幂的运算 例1：下面运算中，正确的是（ ） A． B． C． D． 答案：D 归纳：进行幂的运算的“三点注意” （1）在进行同底数幂的乘法运算时，注意指数是相加而不是相乘． （2）在进行幂的乘方或积的乘方运算时，当底数是负数、指数是奇数时，注意符号为负． （3）在进行加法运算时，不是同类项的不能合并． 考点二：整式的运算 例2：某同学用长为、宽为的小长方形（如图）若干个拼成不同的大长方形，如图、图和图是拼成的不完整的长方形，已知砖块中间无缝隙．根据图示回答下列问题： (1)图中的空白面积为______；（用含，的代数式表示） (2)求图中的空白面积；（用含，的代数式表示） (3)若图和图中的空白面积分别为，，求图中的小长方形面积． 解：（1）由图可知小长方形的面积为， 由图可知，正方形的边长为， 正方形的面积为， 空白部分的面积为； （2）由图可知，长方形的长为，宽为， 长方形的面积为， 图中共有个小长方形， 图4中的空白面积为：； （3）图中的空白面积为：， ， 图中的空白面积为：， ， 解得：， 图中的小长方形的面积为． 归纳：整式的运算包括单项式乘单项式、单项式乘多项式、多项式乘多项式、单项式除以单项式以及多项式除以单项式，其中单项式乘单项式是整式的运算的基础，必须熟练掌握它的运算法则．整式的混合运算，要按照先算乘方，再算乘除，最后算加减的顺序进行，有括号的要先算括号里的． 考点三：乘法公式 例3：综合探究：小明遇到下面一个问题： 计算．． 经过观察，小明发现如果将原式进行适当的变形后可以出现特殊的结构，进而可以应用平方差公式解决问题，具体解法如下： ． 请根据小明解决问题的方法，试着解决下面问题：计算： (1) (2) 解：（1） ； （2） … ． 归纳：整式的乘法公式包括平方差公式和完全平方公式，在计算多项式的乘法时，对于符合公式结构特征的式子，运用公式可减少运算量，提高解题速度． 考点四：化简求值 例4：先化简，再求值：，其中，． 解： ， 把，代入得： 原式． 归纳：（1）先化后算：优先用乘除法则、乘法公式展开、合并同类项，避免直接代入求值； （2）公式优选：遇平方差、完全平方等形式，直接用公式简化，减少复杂运算； （3）紧盯符号：单项式乘除注意系数符号，多项式展开别漏负号； （4）代入求值：化简后代入数值，先算括号内，再算乘方、乘除，最后算加减，避免计算失误。学生活动4： 学生先独立完成例题，然后小组合作交流，并派代表班内汇报交流活动意图说明： 通过例题，考查查学生对应用对顶角、邻补角、垂线、平移、综合运用平行线的判定与性质进行证明和计算、添加辅助线等知识的掌握情况，提高学生综合运用知识解决相关问题能力．环节五：课堂小结教师活动5： 问题：请同学们总结一下本节课所复习的主要内容？ 教师通过学生的回答，进行归纳学生活动5： 学生积极对本节课所复习的内容进行总结活动意图说明： 通过学生自己回顾、总结、梳理所复习的知识，将所学的知识进一步整合，完善本章知识体系．
板书设计 课题：第16章 整式的乘法 章末复习一、知识框图 二、考点梳理 1.幂的运算 2.整式的运算 3.乘法公式 4.化简求值教师板演区学生展示区
课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．下列运算中，正确的是（ ） A． B． C． D． 答案：B 2．下列不能用平方差公式运算的是（ ） A． B． C． D． 答案：B 3．计算： (1) (2) (3) 解：（1）原式 ； （2）原式 ； （3）原式 ． 选做题： 4．已知，则的值是 ． 答案：98 解：， ∴， ， ． 故答案为：98． 【综合拓展类练习】 5．化简求值：的值，其中． 解： ， ∵ ∴， ∴， ∴原式．
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．下列计算正确的是（ ） A． B． C． D． 答案：B 2．计算的结果是（ ） A． B． C． D． 答案：B 3．化简求值：，其中， ． 解：， ， ， ， ， 当，时，原式． 选做题： 4．观察下列各式及其展开式： 请你猜想的展开式第三项的系数是 ． 答案：45 【综合拓展类作业】 5．对于任意四个有理数，，，，可以组成两个有理数对与．我们规定：，例如：． (1)若，求的值； (2)若，且，求的值． 解：（1） ， 即， ， ； （2） ， 即， 整理得， 又 ， ．
教学反思 本节复习课通过分层习题与知识结构图梳理，帮助学生巩固了整式乘除法则与乘法公式，但仍有不足．多数学生能熟练完成基础运算，却在综合题（如公式变形、实际问题建模）中卡顿，说明对“数式通性”和转化思想的渗透不够深入．课堂上对学生符号处理失误、步骤跳跃等问题的即时反馈不够精准，部分学生仍未形成规范运算习惯．后续需增加小组讨论环节，让学生自主梳理知识联系，同时设计更多“法则逆用”“跨知识点综合”的针对性练习，强化灵活运用能力，提升复习实效．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
