第2章二次函数 单元测试（含答案）北师大版九年级下册数学
文档属性
| 名称 | 第2章二次函数 单元测试（含答案）北师大版九年级下册数学 |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 81.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-11-19 17:33:30 | ||
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文档简介
北师大版九年级下 第2章 二次函数 单元测试
一．选择题（共12小题）
1．下列y关于x的函数中，是二次函数的是（ ）
A．y=ax2+bx+c B．
C．y=（x-2）2-x2 D．y=3x2-2
2．把一个小球以20m/s的速度竖直向上弹出，它在空中的高度h（m）与时间t（s）满足关系：h=20t-5t2．当h=10时，小球的运动时间为（ ）
A．1s B．s C．2 s D．s
3．对于y=2（x-3）2+2的图象，下列叙述正确的是（ ）
A．顶点坐标为（-3，2）
B．对称轴为y=3
C．当x≥3时y随x增大而增大
D．当x≤3时y随x增大而增大
4．抛物线y=x2-5x+7与y轴的交点坐标是（ ）
A．（7，0） B．（-5，0） C．（0，7） D．（0，-5）
5．二次函数y=x2-x+2的图象与x轴的交点情况为（ ）
A．没有公共点 B．有一个公共点
C．有两个公共点 D．无法确定
6．如表中列出的是二次函数y=ax2+bx+c中x与y的几组对应值：
x … -2 0 1 3 …
y … 6 -4 -6 -4 …
下列各选项中，正确的是（ ）
A．这个函数的图象开口向下
B．这个函数的图象与x轴有两个交点，且都在y轴同侧
C．当x＞1时，y的值随x值的增大而增大
D．方程ax2+（b+2）x+c=-4的解为x1=0，x2=1
7．一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+bx在同一平面直角坐标系中的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
8．抛物线y=a（x-1）2-2（a≠0）当-1≤x≤2时，y的最大值与最小值的差为3，则a的值为（ ）
A．1 B． C．或 D．或
9．已知点A（1，a），B（m2+5，b）在二次函数y=-mx2+4mx+7（m≠0）的图象上，且函数y有最大值，则a与b的大小关系为（ ）
A．a＞b B．a=b C．a＜b D．无法确定
10．已知二次函数y=（3-m）x2，当x＞0时，y随x增大而减小，则实数m的取值范围是（ ）
A．m＞-3 B．m＜-3 C．m＜3 D．m＞3
11．如图，二次函数y=ax2+bx+c（a,b,c为常数，a≠0）的图象与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，对称轴为直线x=1，下列四个结论：①abc＞0；②2a+c＞0；③am2+bm≥a+b（m为任意实数）；④若，则-2＜a+b+c＜-1，其中正确结论为（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①③④
12．如图，二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴负半轴交于 对称轴为直线x=1．有以下结论：
①abc＜0；
②3a+c＞0；
③若点（-3，y1），（3，y2），（0，y3）均在函数图象上，则 y1＞y3＞y2；
④若方程a（2x+1）（2x-5）=1的两根为x1，x2且 x1＜x2 则x1＜x2；
⑤点M，N是抛物线与x轴的两个交点，若在x轴下方的抛物线上存在一点P，使得PM⊥PN，则a的范围为 ；
其中结论正确的有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
二．填空题（共5小题）
13．二次函数y=（x-4）（x+2）的图象的对称轴为直线x= ______．
14．二次函数y=（x-m）2+1在x≤1时y随x增大而减小，则m的取值范围是 ______．
15．已知抛物线的图象上有三个点（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），且x1＞x2＞x3＞1，则y1，y2，y3的大小关系是 ______．
16．抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示，则当y＞0时，x的取值范围是 ______．
17．如果平移抛物线C1得到新的抛物线C2，抛物线C1和C2与y轴的交点为同一个点，则称抛物线C1和C2为“同族抛物线”．如图已知抛物线C1：y1=-x2+2x+3与C2：y2=ax2+bx+c是“同族抛物线”，与y轴都交于点C，抛物线C1与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），抛物线C2经过点D（3，6）．若点P是抛物线C2对称轴上一动点，连接CP、AP、AC，则△ACP周长的最小值为 ______．
三．解答题（共5小题）
18．在平面直角坐标系中，抛物线y=a（x-1）2+4经过点（4，13）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）已知点A（m,n）在抛物线上，，且m与K均为整数，求点A的坐标．
19．设二次函数y=mx2+nx-m-n（m,n为常数，m≠0）．
（1）判断该抛物线与x轴的交点的个数，并说明理由．
（2）若m+n＜0，点P（2，a）（a＞0）在该二次函数图象上，求证：m＞0．
（3）设M（x1，y1），N（x2，y2）是该函数图象上的两点，其中x1＜x2，若y1＜y2且m+n=0，求x1+x2的取值范围．
20．公安部提醒市民，骑车必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同．
（1）求该品牌头盔销售量的月增长率；
（2）若此种头盔每个进价为30元，商家经过调查统计，当每个头盔售价为40元时，月销售量为600个，在此基础上售价每涨价1元，则月销售量将减少10个．经销商决定涨价销售，设该品牌头盔售价为x元，月销售量为y.①直接写出y关于x的函数关系式；②求售价x定为多少元时，月销售利润达到最大，最大月销售利润为多少？
21．如图，抛物线与x轴交于A和B两点（点B位于点A右侧），与y轴交于点C，对称轴是直线x=2，且OA=1，OC=3，连接AC，BC．
（1）求此抛物线的函数解析式；
（2）设抛物线的顶点为点P，请在x轴上找到一个点D，使以点P、B、D为顶点的三角形与△ABC相似？
22．如图，抛物线y=x2+bx+c与y轴交于点A（0，2），对称轴为直线x=2，点P是对称轴上位于抛物线顶点B上方的一动点，连接AP并延长交抛物线于点C，连接AB、BC．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若S△ABP：S△BCP=2：1，求点C的坐标；
（3）当∠BAC=45°，求点P的坐标；
（4）将△ABC沿直线AC翻折后点B的对应点恰好落在坐标轴上时，请直接写出此时BP的长为 ______．
北师大版九年级下第2章二次函数单元测试
(参考答案)
一．选择题（共12小题）
1、D 2、D 3、C 4、C 5、A 6、D 7、A 8、C 9、A 10、D 11、D 12、C
二．填空题（共5小题）
13、1； 14、m≥1； 15、y1＜y2＜y3； 16、-1＜x＜3； 17、+；
三．解答题（共5小题）
18、解：（1）∵抛物线y=a（x-1）2+4经过点（4，13），
∴13=（4-1）2×a+4，
∴a=1，
∴抛物线的解析式为y=（x-1）2+4；
（2）点A（m,n）在抛物线上y=（x-1）2+4，
∴m,n满足n=（m-1）2+4，即n-4=（m-1）2，（n-4）2=（m-1）4，
∵，且m与K均为整数，
∴
=
=
=，
∴m-1=1或m-1=-1，
∴m=2或m=0，
m=2时，n=（2-1）2+4=5；m=0，n=（0-1）2+4=5，
综上，点A的坐标为（2，5）或（0，5）．
19、解：（1）该二次函数图象与x轴交点的个数是1个或2个，理由如下：
∵Δ=b2-4ac=n2-4m（-m-n）=n2+4m2+4mn=（n+2m）2≥0，
∴该二次函数图象与x轴交点的个数是1个或2个．
（2）当x=2时，a=4m+2n-m-n=3m+n＞0①，
∵m+n＜0，
∴-m-n＞0②，
①②相加得：2m＞0，
∴m＞0．
（3）∵M（x1，y1），N（x2，y2）是该函数图象上的两点，
∴y1=mx12+nx1-m-n,y2=mx22+nx2-m-n,
∴y1-y2=mx12+nx1-m-n-（mx22+nx2-m-n）=（x1-x2）[m（x1+x2）+n]，
∵x1＜x2，
∴x1-x2＜0，
∵y1＜y2，
∴（x1-x2）[m（x1+x2）+n]＜0，
∴m（x1+x2）+n＞0，
∴m（x1+x2）＞-n,
∵m+n=0，m≠0，
∴m=-n,
∴x1+x2＞1或x1+x2＜1，
∴x1+x2≠1．
20、解：（1）设月增长率为a,
依题意可得：150（1+a）2=216，
解得：a1=0.2=20%，a2=-2.2（不合题意，舍去）．
答：该品牌头盔销售量的月增长率为20%．
（2）①y=600-10（x-40）=600-10x+400=-10x+1000；
②设月销售利润为w,
依题意得：w=（x-30）（1000-10x）=-10（x-65）2+12250，
∵-10＜0，
∴当x=65时，w有最大值，最大值为12250，
故售价x定为65元时，月销售利润达到最大，最大月销售利润为12250元．
21、解：（1）∵抛物线的对称轴x=2，
∴设此抛物线的函数解析式为y=a（x-2）2+h,
∵OA=1，OC=3，
∴A（1，0），C（0，3），
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为y=（x-2）2-1，即y=x2-4x+3；
（2）∵点A（1，0），抛物线的对称轴x=2，
∴B（3，0），
∴OC=OB=3，AB=2，
∴BC=，∠ABC=45°，
∴∠CAB＜135°，又∠CAB是△AOC的外角，
∴90°＜∠CAB＜135°，
由y=（x-2）2-1可知点P的坐标是（2，-1），
∴∠PBO=45°，PB=，
∴∠PBO≠∠BAC，
∴点D不可能在B点右侧的x轴上，
∴要使以点P、B、D为顶点的三角形与△ACB相似，
则∠PBD=∠ABC=45°，且或，
故分以下两种情况考虑：
①当时，∠PBD=∠ABC=45°时，△PBD∽△ABC，
∴，
解得 BD=3，
又OB=3，
∴点D与点O重合，即D1（0，0）；
②当时，∠DBP=∠ABC=45°时，△DBP∽△ABC，
∴，
解得DB=，
又OB=3，
∴OD=OB-DB=3-=，
∴D2的坐标是（，0），
综上所述，满足要求的点D的坐标是（0，0）或（，0）．
22、解：（1）由题意得：，
解得：，
则抛物线的表达式为：y=x2-4x+2；
（2）∵S△ABP：S△BCP=2：1，则PC：AC=1：3，
则（xC-xP）：xC=1：3，即（xC-2）：xC=1：3，则xC=，
则点C（，-）；
（3）由抛物线的表达式知，点B（2，-1），
过点P作PH⊥AB于点H，
由点A、B坐标知，tan∠OAB==tan∠PBA，AB=，
在△ABP中，AB=，∠BAC=45°，tan∠PBA=，
故设PH=x=AH，则BH=2x,则PB=x,
则AB=AH+BH=3x=，则x=，
则BP=x=，则点P（2，）；
（4）设点B翻折后为点G，设点G（x,0）或（0，y），点P（2，m），
则AB=AG且PB=PG，
即4+16=（y-2）2且4+（m-y）2=（m+2）2或4+16=x2+4且（m+2）2=x2+m2，
解得：m=0或，
则PB=m-（-2）=2或，
故答案为：2或．
一．选择题（共12小题）
1．下列y关于x的函数中，是二次函数的是（ ）
A．y=ax2+bx+c B．
C．y=（x-2）2-x2 D．y=3x2-2
2．把一个小球以20m/s的速度竖直向上弹出，它在空中的高度h（m）与时间t（s）满足关系：h=20t-5t2．当h=10时，小球的运动时间为（ ）
A．1s B．s C．2 s D．s
3．对于y=2（x-3）2+2的图象，下列叙述正确的是（ ）
A．顶点坐标为（-3，2）
B．对称轴为y=3
C．当x≥3时y随x增大而增大
D．当x≤3时y随x增大而增大
4．抛物线y=x2-5x+7与y轴的交点坐标是（ ）
A．（7，0） B．（-5，0） C．（0，7） D．（0，-5）
5．二次函数y=x2-x+2的图象与x轴的交点情况为（ ）
A．没有公共点 B．有一个公共点
C．有两个公共点 D．无法确定
6．如表中列出的是二次函数y=ax2+bx+c中x与y的几组对应值：
x … -2 0 1 3 …
y … 6 -4 -6 -4 …
下列各选项中，正确的是（ ）
A．这个函数的图象开口向下
B．这个函数的图象与x轴有两个交点，且都在y轴同侧
C．当x＞1时，y的值随x值的增大而增大
D．方程ax2+（b+2）x+c=-4的解为x1=0，x2=1
7．一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+bx在同一平面直角坐标系中的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
8．抛物线y=a（x-1）2-2（a≠0）当-1≤x≤2时，y的最大值与最小值的差为3，则a的值为（ ）
A．1 B． C．或 D．或
9．已知点A（1，a），B（m2+5，b）在二次函数y=-mx2+4mx+7（m≠0）的图象上，且函数y有最大值，则a与b的大小关系为（ ）
A．a＞b B．a=b C．a＜b D．无法确定
10．已知二次函数y=（3-m）x2，当x＞0时，y随x增大而减小，则实数m的取值范围是（ ）
A．m＞-3 B．m＜-3 C．m＜3 D．m＞3
11．如图，二次函数y=ax2+bx+c（a,b,c为常数，a≠0）的图象与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，对称轴为直线x=1，下列四个结论：①abc＞0；②2a+c＞0；③am2+bm≥a+b（m为任意实数）；④若，则-2＜a+b+c＜-1，其中正确结论为（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①③④
12．如图，二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴负半轴交于 对称轴为直线x=1．有以下结论：
①abc＜0；
②3a+c＞0；
③若点（-3，y1），（3，y2），（0，y3）均在函数图象上，则 y1＞y3＞y2；
④若方程a（2x+1）（2x-5）=1的两根为x1，x2且 x1＜x2 则x1＜x2；
⑤点M，N是抛物线与x轴的两个交点，若在x轴下方的抛物线上存在一点P，使得PM⊥PN，则a的范围为 ；
其中结论正确的有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
二．填空题（共5小题）
13．二次函数y=（x-4）（x+2）的图象的对称轴为直线x= ______．
14．二次函数y=（x-m）2+1在x≤1时y随x增大而减小，则m的取值范围是 ______．
15．已知抛物线的图象上有三个点（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），且x1＞x2＞x3＞1，则y1，y2，y3的大小关系是 ______．
16．抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示，则当y＞0时，x的取值范围是 ______．
17．如果平移抛物线C1得到新的抛物线C2，抛物线C1和C2与y轴的交点为同一个点，则称抛物线C1和C2为“同族抛物线”．如图已知抛物线C1：y1=-x2+2x+3与C2：y2=ax2+bx+c是“同族抛物线”，与y轴都交于点C，抛物线C1与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），抛物线C2经过点D（3，6）．若点P是抛物线C2对称轴上一动点，连接CP、AP、AC，则△ACP周长的最小值为 ______．
三．解答题（共5小题）
18．在平面直角坐标系中，抛物线y=a（x-1）2+4经过点（4，13）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）已知点A（m,n）在抛物线上，，且m与K均为整数，求点A的坐标．
19．设二次函数y=mx2+nx-m-n（m,n为常数，m≠0）．
（1）判断该抛物线与x轴的交点的个数，并说明理由．
（2）若m+n＜0，点P（2，a）（a＞0）在该二次函数图象上，求证：m＞0．
（3）设M（x1，y1），N（x2，y2）是该函数图象上的两点，其中x1＜x2，若y1＜y2且m+n=0，求x1+x2的取值范围．
20．公安部提醒市民，骑车必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同．
（1）求该品牌头盔销售量的月增长率；
（2）若此种头盔每个进价为30元，商家经过调查统计，当每个头盔售价为40元时，月销售量为600个，在此基础上售价每涨价1元，则月销售量将减少10个．经销商决定涨价销售，设该品牌头盔售价为x元，月销售量为y.①直接写出y关于x的函数关系式；②求售价x定为多少元时，月销售利润达到最大，最大月销售利润为多少？
21．如图，抛物线与x轴交于A和B两点（点B位于点A右侧），与y轴交于点C，对称轴是直线x=2，且OA=1，OC=3，连接AC，BC．
（1）求此抛物线的函数解析式；
（2）设抛物线的顶点为点P，请在x轴上找到一个点D，使以点P、B、D为顶点的三角形与△ABC相似？
22．如图，抛物线y=x2+bx+c与y轴交于点A（0，2），对称轴为直线x=2，点P是对称轴上位于抛物线顶点B上方的一动点，连接AP并延长交抛物线于点C，连接AB、BC．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若S△ABP：S△BCP=2：1，求点C的坐标；
（3）当∠BAC=45°，求点P的坐标；
（4）将△ABC沿直线AC翻折后点B的对应点恰好落在坐标轴上时，请直接写出此时BP的长为 ______．
北师大版九年级下第2章二次函数单元测试
(参考答案)
一．选择题（共12小题）
1、D 2、D 3、C 4、C 5、A 6、D 7、A 8、C 9、A 10、D 11、D 12、C
二．填空题（共5小题）
13、1； 14、m≥1； 15、y1＜y2＜y3； 16、-1＜x＜3； 17、+；
三．解答题（共5小题）
18、解：（1）∵抛物线y=a（x-1）2+4经过点（4，13），
∴13=（4-1）2×a+4，
∴a=1，
∴抛物线的解析式为y=（x-1）2+4；
（2）点A（m,n）在抛物线上y=（x-1）2+4，
∴m,n满足n=（m-1）2+4，即n-4=（m-1）2，（n-4）2=（m-1）4，
∵，且m与K均为整数，
∴
=
=
=，
∴m-1=1或m-1=-1，
∴m=2或m=0，
m=2时，n=（2-1）2+4=5；m=0，n=（0-1）2+4=5，
综上，点A的坐标为（2，5）或（0，5）．
19、解：（1）该二次函数图象与x轴交点的个数是1个或2个，理由如下：
∵Δ=b2-4ac=n2-4m（-m-n）=n2+4m2+4mn=（n+2m）2≥0，
∴该二次函数图象与x轴交点的个数是1个或2个．
（2）当x=2时，a=4m+2n-m-n=3m+n＞0①，
∵m+n＜0，
∴-m-n＞0②，
①②相加得：2m＞0，
∴m＞0．
（3）∵M（x1，y1），N（x2，y2）是该函数图象上的两点，
∴y1=mx12+nx1-m-n,y2=mx22+nx2-m-n,
∴y1-y2=mx12+nx1-m-n-（mx22+nx2-m-n）=（x1-x2）[m（x1+x2）+n]，
∵x1＜x2，
∴x1-x2＜0，
∵y1＜y2，
∴（x1-x2）[m（x1+x2）+n]＜0，
∴m（x1+x2）+n＞0，
∴m（x1+x2）＞-n,
∵m+n=0，m≠0，
∴m=-n,
∴x1+x2＞1或x1+x2＜1，
∴x1+x2≠1．
20、解：（1）设月增长率为a,
依题意可得：150（1+a）2=216，
解得：a1=0.2=20%，a2=-2.2（不合题意，舍去）．
答：该品牌头盔销售量的月增长率为20%．
（2）①y=600-10（x-40）=600-10x+400=-10x+1000；
②设月销售利润为w,
依题意得：w=（x-30）（1000-10x）=-10（x-65）2+12250，
∵-10＜0，
∴当x=65时，w有最大值，最大值为12250，
故售价x定为65元时，月销售利润达到最大，最大月销售利润为12250元．
21、解：（1）∵抛物线的对称轴x=2，
∴设此抛物线的函数解析式为y=a（x-2）2+h,
∵OA=1，OC=3，
∴A（1，0），C（0，3），
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为y=（x-2）2-1，即y=x2-4x+3；
（2）∵点A（1，0），抛物线的对称轴x=2，
∴B（3，0），
∴OC=OB=3，AB=2，
∴BC=，∠ABC=45°，
∴∠CAB＜135°，又∠CAB是△AOC的外角，
∴90°＜∠CAB＜135°，
由y=（x-2）2-1可知点P的坐标是（2，-1），
∴∠PBO=45°，PB=，
∴∠PBO≠∠BAC，
∴点D不可能在B点右侧的x轴上，
∴要使以点P、B、D为顶点的三角形与△ACB相似，
则∠PBD=∠ABC=45°，且或，
故分以下两种情况考虑：
①当时，∠PBD=∠ABC=45°时，△PBD∽△ABC，
∴，
解得 BD=3，
又OB=3，
∴点D与点O重合，即D1（0，0）；
②当时，∠DBP=∠ABC=45°时，△DBP∽△ABC，
∴，
解得DB=，
又OB=3，
∴OD=OB-DB=3-=，
∴D2的坐标是（，0），
综上所述，满足要求的点D的坐标是（0，0）或（，0）．
22、解：（1）由题意得：，
解得：，
则抛物线的表达式为：y=x2-4x+2；
（2）∵S△ABP：S△BCP=2：1，则PC：AC=1：3，
则（xC-xP）：xC=1：3，即（xC-2）：xC=1：3，则xC=，
则点C（，-）；
（3）由抛物线的表达式知，点B（2，-1），
过点P作PH⊥AB于点H，
由点A、B坐标知，tan∠OAB==tan∠PBA，AB=，
在△ABP中，AB=，∠BAC=45°，tan∠PBA=，
故设PH=x=AH，则BH=2x,则PB=x,
则AB=AH+BH=3x=，则x=，
则BP=x=，则点P（2，）；
（4）设点B翻折后为点G，设点G（x,0）或（0，y），点P（2，m），
则AB=AG且PB=PG，
即4+16=（y-2）2且4+（m-y）2=（m+2）2或4+16=x2+4且（m+2）2=x2+m2，
解得：m=0或，
则PB=m-（-2）=2或，
故答案为：2或．