课件33张PPT。1. 两边及其夹角分别相等的两个三角形ＡＢＣＡ'Ｂ'
Ｃ'
若△AOC≌△BOD，
对应边: AC= ，
AO= ，
CO= ，
对应角有: ∠A= ，
∠C= ，
∠AOC= ;
复习：全等三角形的性质BDBODO∠B∠D∠BOD1.只给一个条件(一组对应边相等或一组对应角相等).①只给一条边：②只给一个角：可以发现只给一个条件画出的三角形不能保证一定全等2.给出两个条件：①一边一内角：②两内角：③两边： 可以发现给出两个条件时画出的三角形也不能保证一定全等。探究1对于三个角对应相等的两个三角形全等吗？如图， △ABC和△ADE中，如果 DE∥AB，则∠A=∠A，∠B=∠ADE，∠C= ∠ AED，但△ABC和△ADE不重合，所以不全等。三个角对应相等的两个三角形不一定全等 以2.5cm，3.5cm为三角形的两边，长度为2.5cm的边所对的角为40° ，情况又怎样？动手画一画，你发现了什么？ABCDEF2.5cm3.5cm40°40°3.5cm2.5cm结论：两边及其一边所对的角相等，两个三角形不一定全等探究2注：这个角一定要是这两边所夹的角做一做：画△ABC,使AB=3cm，AC=4cm。画法：2. 在射线AM上截取AB= 3cm3. 在射线AN上截取AC=4cm 这样画出来的三角形与同桌所画的三角形进行比较，它们互相重合吗？若再加一个条件，使∠A=45°，画出△ABC1. 画∠MAN= 45°4.连接BC∴△ABC就是所求的三角形把你们所画的三角形剪下来与同桌所画的三角形进行比较，它们能互相重合吗？探究3先任意画出一个△ABC，再画出一个△A′B′C′使A′B′=AB，A′C′=AC，∠A=∠A′。画法：2. 在射线A′D上截取A′B′= AB3. 在射线A′E上截取A′C′=AC1. 画∠DA′E= ∠A4.连接B′C′∴△A′B′C′就是所求的三角形把你们所画的三角形剪下来与原来的三角形进行比较，它们能互相重合吗？探究4问：如图△ABC和△ DEF 中，
AB=DE=3 ㎝，∠ B=∠ E=300 ， BC=EF=5 ㎝
则它们完全重合？即△ABC≌△ DEF ？问：如图△ABC和△ DEF 中，
AB=DE=3 ㎝，∠ B=∠ E=300 ， BC=EF=5 ㎝
则它们完全重合？即△ABC≌△ DEF ？ 三角形全等判定方法1用符号语言表达为：在△ABC与△DEF中AB=DE
∠B=∠E
BC=EF∴△ABC≌△DEF（SAS） 两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。简写成“边角边”或“SAS”
44练一练:1.如图,在下列三角形中,哪两个三角形全等?445530°30°4430°4640°4640°40°①③②⑥⑤④2.在下列图中找出全等三角形，并把它们用直线连起来.已知：如图，AD∥BC，AD=CB
求证：△ADC≌△CBA分析：观察图形，结合已知条件，知，AD=CB，AC=CA，但没有给出两组对应边的夹角（∠1，∠2）相等。所以，应设法先证明∠1=∠2，才能使全等条件充足。AD=CB（已知）
∠1=∠2（已知）
AC=CA （公共边）
∴△ADC≌△CBA（SAS）例1:证明：∵AD∥BC
∴∠1=∠2（两直线平行，内错角相等）
在△DAC和△BCA中DC1AB2B范例学习动 态 演 示图3已知：如图3 ，AD∥BC，AD=CB，AE=CF
求证：AFD≌△CEB 证明：∵AD∥BC（已知）
∴∠A=∠C（两直线平行，内错角相等）
又 AE=CF
∴AE+EF=CF+EF（等式性质）
即AF=CE
在△AFD 和△CEB 中AD=CB（已知）
∠A=∠C（已证）
AF=CE（已证）
∴△AFD≌△CEB（SAS）分析：本题已知中的前两个条件，与例2相同，但是没有另一组夹边对应相等的条件，不难发现图3是由图2平移而得。利用AE=CF，可得：AF=CE变式训练1．图5变式训练2 已知：如图5：AB=AC，AD=AE，∠1=∠2
求证：△ABD≌△ACE证明：∵∠1=∠2（已知）
∴∠1+∠BAE = ∠2+∠BAE（等式性质）
即 ∠CAE= ∠BAD在△CAE和△BAD 中 AC=AB（已知）
∠CAE=∠BAD（已证）
AE=AD
∴△ABD≌△ACE（SAS）分析：两组对应夹边已知，缺少
对应夹角相等的条件。
由∠BAE 是两个三角形的
公共部分，可得：∠CAE=∠BAD。例2: 因铺设电线的需要，要在池塘两侧A、B处各埋设一根电线杆（如图），因无法直接量出A、B两点的距离，现有一足够的米尺。请你设计一种方案，粗略测出A、B两杆之间的距离。。AB范例学习 小明的设计方案：先在池塘旁取一个能直接到达A和B处的点C，连结AC并延长至D点，使AC=DC，连结BC并延长至E点，使BC=EC，连结DE，用米尺测出DE的长，这个长度就等于A，B两点的距离。请你说明理由。 AC=DC?
∠ACB=∠DCE
BC=EC ∴△ACB≌△DCE∴AB=DE在△ACB和△DCE中BCDEA 例3：如图，已知AB＝AC，AD＝AE。
求证：∠B＝∠CCEABAD证明：在△ABD和△ACE中∴△ABD≌△ACE（SAS）
∴∠B＝∠C（全等三角形
对应角相等）范例学习例4：已知：如图， AB=CB ，∠ ABD= ∠ CBD
△ ABD 和△ CBD 全等吗？
分析:△ ABD ≌△ CBDAB=CB(已知)∠ABD= ∠CBD(已知)？ABCD练习 (1)已知：如图， AB=CB ，∠ ABD= ∠ CBD
问AD=CD， BD 平分∠ ADC 吗？ABCD练习 (2) 已知:AD=CD， BD 平分∠ ADC 。
问∠A=∠ C 吗？例5：?已知：点A、E、F、C在同一条直线上， AD=CB，AD∥CB，AE=CF.
求证：EB∥DF ADBCEF证明：∵ AD∥CB（已知）∴ ∠A=∠C （两直线平行，内错角相等）∵ AE=CF （已知）∴ AE+EF=CF+EF （等式的性质） 即 AF=CE在△AFD与△CEB中AF=CE （已证）∠A=∠C （已证）AD=CB （已知）∴∴△AFD ≌ △CEB（SAS）∴ ∠AFD=∠CEB∴ EB∥DF FEDCBA例6：如图，∠B＝∠E，AB＝EF，BD＝EC，那么△ABC与 △FED全等吗？为什么？解：全等。∵BD=EC（已知） ∴BD－CD＝EC－CD。即BC＝ED 在△ABC与△FED中∴△ABC≌△FED（SAS）AC∥FD吗？为什么？∴∠1＝∠2（ ）∴∠3＝∠4（ ）∴AC∥FD（内错角相等，两直线平行4321例7.(1) 如图，AC=BD，∠CAB= ∠DBA，你能判断BC=AD吗？说明理由。证明:在△ABC与△BAD中 AC=BD
∠CAB=∠DBA
AB=BA∴△ABC≌△BAD（SAS）(已知)(已知)(公共边)∴BC=AD（全等三角形的对应边相等）(2).如图，在△AEC和△ADB中，已知AE=AD，AC=AB请说明△AEC ≌ △ADB的理由。AE=AD (已知)
= ( )
AC = AB (已知)SAS解：在△AEC和△ADB中∴ △AEC≌△ADB（ ）∠A∠A公共角例8:如图在△ABC中，AB＝AC， AD平分∠BAC，求证： △ABD≌△ACD．
证明: ∵ AD平分∠BAC，
∴ ∠BAD＝∠CAD．
在△ABD与△ACD中，
AB＝AC，(已知)
∠BAD＝∠CAD，(已证)
AD＝AD，(公共边)
∴ ABD≌△ACD（S.A.S.）．
∵例9：小兰做了一个如图所示的风筝，其中∠EDH=∠FDH, ED=FD ，将上述条件标注在图中，小明不用测量就能知道EH=FH吗？与同桌进行交流。 解：在△EDH和△FDH中：
ＥＤ＝ＦＤ（已知）
∠EDH=∠FDH（已知）
ＤＨ＝ＤＨ（公共边）∴△EDH≌△FDH（Ｓ.Ａ.Ｓ）
∴EH=FH(全等三角形对应边相等）
例10：已知:如图,AB=DB,CB=EB,∠1＝∠2
求证:∠A=∠D证明:∵ ∠1＝∠2(已知)
∴∠1+∠DBC＝ ∠2+ ∠DBC(等式的性质)
即∠ABC＝∠DBE
在△ABC和△DBE中,
AB＝DB(已知)
∠ABC＝∠DBE(已证)
CB＝EB(已知)
∴△ABC≌△DBE(SAS)
∴ ∠A=∠D(全等三角形的对应角相等)１： 如图，已知AB和CD相交与O, OA=OB, OC=OD.说明 △ OAD与
△ OBC全等的理由
∴△OAD≌△OBC (S.A.S) 解：在△OAD 和△OBC中巩固练习
2.?如图所示, 根据题目条件，判断下面的三角形是否全等．
（1） AC＝DF， ∠C＝∠F， BC＝EF；
（2） BC＝BD， ∠ABC＝∠ABD．
答案:(1)全等(2)全等巩固练习
说一说1、今天我们学习哪种方法判定两三角形全等？答：边角边（SAS）2、这说明三角形全等的条件中，你发现了什么？答：至少有一个条件：边相等注意哦！“边边角”不能判定两个三角形全等课件11张PPT。
2.两角及其夹边分别相等的两个三角形
教学目标： 1.知识与技能
理解“角边角”判定两个三角形全等的方法。
2过程与方法
经历探究“角边角”判定两个三角形全等的过程，能进行有条理的思索。
3情感态度与价值观
培养严谨的表述能力，体会几何中逻辑推理的应用价值 预学检测1、本节课主要学习那些内容？
2、你认为本节课的重点内容是什么？
3、你对哪些内容有疑问？如果两个三角形有两个角、一条边分别
对应相等，那么这两个三角形能全等吗？合作探究如果两个三角形有两个角及其夹边分别对应相等，那么这两个三角形全等．简记为A.S.A.
（或角边角）． 角边角公理在△ABC和△DEF中，△ABC≌△DEF∴用符号语言表达为：练习如图，要证明△ACE≌ △BDF,根据给定的条件和指明的依据，将应当添设的条件填在横线上。课堂练习∠AEC=∠BFDAC=BD∠A=∠B∠C=∠DAC=BD∠A=∠B 例：1、如图，已知∠ABC＝∠D，∠ACB＝∠CBD
判断图中的两个三角形是否全等，并说明理由．
例题讲解2.如图，已知AB=AC，∠ADB= ∠AEC，求证：
△ABD≌△ACE总结提升本节课学习了哪些内容？你有何收获？作业布置课堂作业：习题14.1第5题.
家庭作业：1、基础训练14.1（3）
2、预学下一节内容。
教学反思教学反思:课件15张PPT。3.三边分别相等的两个三角形教学目标1、了解SSS定理的条件，会用 尺规作图作三角形。
2、经历作图领会SSS定理。
3、了解三角形的稳定性。预学检测1、本节课主要学习那些内容？
2、你认为本节课的重点内容是什么？
3、你对哪些内容有疑问？
画出一个△ABC ，在画一个△A`B`C`使A`B`=AB,
B`C`=BC,C`A`=CA。
把画好的△A`B`C`剪下，放到△ABC 上，他们全等吗？合作探究画法: 1.画线段B`C`=BC;2.分别以B`、C`为圆心,线段AB、AC为半径画弧,两弧交于点A`;3. 连接线段A`B` 、A`C`.结论: 三边对应相等的两个三角形全等（可以简写为“边边边”或“SSS”）。在△ABC和△ DEF中∴ △ABC ≌△ DEF（SSS）用符号语言表达为： 取出课前自制长度适当的木条，用钉子把它们分别钉成三角形和四边形，并拉动它们。 三角形的大小和形状是固定不变的，而四边形
的形状会改变。 只要三角形三边的长度确定了，这个三角形的形
状和大小就确定，三角形的这个性质叫三角形的稳定性。 已知：如图，AB=AD，BC=CD，
求证：△ABC≌ △ADCABCDACAC ( ) ≌AB=AD ( )
BC=CD ( )∴ △ABC △ADC（SSS）证明：在△ABC和△ADC中=已知已知 公共边合作探究如图，在四边形ABCD中，AB=CD,AD=CB,求证：∠ A= ∠ C. 证明：在△ABD和△CDB中AB=CDAD=CBBD=DB∴△ABD≌△ACD（SSS）（已知）（已知）（公共边）∴ ∠ A= ∠ C （全等三角形的对应角相等） 你能说明AB∥CD，AD∥BC吗？已知:如图.AB = DC , AC = DB
求证: ∠A = ∠D提示：BC为公共边，由SSS可得两三角形全等，全等三角形对应角相等。当堂训练 今天我们经历了画图验证两个三角形全等的过程，探索出两个三角形全等的条件之一“三边对应相等的两个三角形全等”，我们可以利用它来判别两个三角形全等。 我们还知道了三角形具有稳定性，只要三角形的三边长度确定了，这个三角形的形状和大小就确定了。总结提升课堂作业：课后练习第三题
家庭作业：1、
2、预学下一节内容。布置作业教学反思课件13张PPT。4.其他判定两个三角形全等的条件教学目标1、了解AAS的适用条件
2、会用AAS证明三角形全等预学检测1、本节课主要学习那些内容？
2、你认为本节课的重点内容是什么？
3、你对哪些内容有疑问？
在△ABC和△DEF中∴ △ABC≌△DEF（ASA） 有两角和它们夹边对应相等的两个三角形全等(可以简写成“角边角”或“ASA”）。用符号语言表达为：FEDCBA 在△ABC和△DFE中,当∠A=∠D , ∠C=∠F和AB=DE时,能否得到 △ABC≌△DFE?合作探究根据三角形内角和定理，可知在△ABC和△DFE中，∠B和∠E也相等，这样，在△ABC和△DFE中，可以用ASA来判定△ABC和△DFE全等。定理两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等。简记为“角角边”或.AAS1.两个直角三角形中，斜边和一锐角对应相等，这两个
直角三角形全等吗？为什么？2.两个直角三角形中，有一条直角边和一锐角对应相
等，这两个直角三角形全等吗？为什么？答：全等，根据AAS答：全等，根据AAS 例1：如图，点D在AB上，点E在AC上，AB=AC, ∠B= ∠C,求证：AD=AE ∠B=∠C（已知） 证明：在△ABE和△ACD中AB=AC（已知）∠A=∠A（公共角）∴△ABE≌△ACD（ASA）∴AD=AE（全等三角形的对应边相等） 已知，如图，∠1=∠2，∠C=∠D
求证：AC=AD
在△ABD和△ABC中
∠1=∠2 （已知）
∠D=∠C（已知）
AB=AB（公共边）
∴△ABD≌△ABC （AAS）
∴AC=AD （全等三角形对应边相等）
证明：ABCDE12 如图，已知∠C＝∠E，∠1＝∠2，AB＝AD，△ABC和△ADE全等吗？为什么？解： △ABC和△ADE全等。
∵∠1＝∠2（已知） ∴∠1＋∠DAC＝∠2＋∠DAC ∴ △ABC≌△ADE（AAS）在△ABC和△ADC 中即∠BAC＝∠DAE ＝（已知）ADAB(1) 两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等.简写成“角角边”或“AAS”.（2）三角形全等是证明线段相等（对应边相等），
角相等（对应角相等）等问题的基本途径。总结提升 布置作业 课堂作业：P107练习第二题
家庭作业：1、
2、预学下一节内容。 教学反思课件12张PPT。5.两个直角三角形全等的判定如图，舞台背景的形状是两个直角三角形，工作人员想知道这两个直角三角形是否全等，但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量.（1）你能帮他想个办法吗？方法一：测量斜边和一个对应的锐角. (AAS)方法二：测量没遮住的一条直角边和一个对应的锐角. (ASA)或(AAS)如图，舞台背景的形状是两个直角三角形，工作人员想知道这两个直角三角形是否全等，但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量.⑵ 如果他只带了一个卷尺，能完成这个任务吗？ 工作人员测量了每个三角形没有被遮住的直角边和斜边，发现它们分别对应相等，于是他就肯定“两个直角三角形是全等的”.你相信他的结论吗？按照下面的步骤做一做：⑴ 作∠MCN=∠α=90°;⑵ 在射线CM上截取线段CB=3cm;⑶ 以B为圆心,4cm为半径画弧，交射线CN于点A;⑷ 连接AB.画一个Rt△ABC，∠C=90°，一直角边BC=3cm,斜边AB=4cm直角三角形全等的判定 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.
简写成“斜边、直角边”或“HL”.在使用“HL”时,同学们应注意！！！
“HL”是仅适用于直角三角形的特殊方法.
注意对应相等.
因为”HL”仅适用直角三角形,
书写格式应为:
∵在Rt△ ABC 和Rt△ DEF中
AB =DE
AC=DF
∴Rt△ABC≌Rt△DEF (HL)判断直角三角形全等条件三边对应相等 SSS
一锐角和它的邻边对应相等 ASA
一锐角和它的对边对应相等 AAS
两直角边对应相等 SAS
斜边和一条直角边对应相等 HL 直角三角形是特殊的三角形，所以不仅有一般三角形判定全等的方法，还有直角三角形特有的判定方法“HL”.
我们应根据具体问题的实际情况选择判断两个直角三角形全等的方法.
想一想你能够用几种方法说明两个直角三角形全等？ (1) _______,∠A=∠D ( ASA )
(2) AC=DF,________ (SAS)
(3) AB=DE,BC=EF ( )
(4) AC=DF, ______ ( HL )
(5) ∠A=∠D, BC=EF ( )
(6) ________,AC=DF ( AAS )
BCAEFD把下列说明Rt△ABC≌Rt△DEF的条件或根据补充完整.AC=DFBC=EFHLAB=DEAAS∠B=∠E1.如图，AC⊥BC,BD⊥AD,垂足分别为C，D，AC=BD，求证BC=AD.DCAB2. 如图，AC=AD，∠C，∠D是直角，将上述条件标注在图中，你能说明BC与BD相等吗？解：在Rt△ACB和Rt△ADB中,则∴ Rt△ACB≌Rt△ADB (HL).∴BC=BD
(全等三角形对应边相等). 3. 如图，两根长度为12米的绳子，一端系在旗杆上，另一端分别固定在地面两个木桩上，两个木桩离旗杆底部的距离相等吗？请说明你的理由。解：BD=CD
因为∠ADB=∠ADC=90°
AB=AC
AD=AD所以Rt△ABD≌Rt△ACD(HL)
所以BD=CD课后练习课件22张PPT。6.全等三角形的判定方法的综合运用 学习目标1.熟练掌握判定三角形全等的四种方法：SAS，ASA，AAS，SSS；（重点）
2．会根据具体情况选择合适方法证明三角形全等．（难点）一、情境导入
1．判定三角形全等的四种方法：SAS，ASA，AAS，SSS．
2．怎样选择合适的方法解题呢？二、合作探究
探究点一：判定三角形全等的开放性题目
【类型一】条件开放
例1：如图，∠ABC=∠EBD，AB=BE，要使△ABC≌△EBD，则需要补充的条件为 ．（填一个即可）
解析：需要补充的条件为BC=BD或∠A=∠E或∠C=∠D．
（1）补充的条件为BC=BD，
∵∠ABC=∠EBD，AB=BE，又有BC=BD，
∴△ABC≌△EBD（SAS）．
（2）补充的条件为∠A=∠E，
∵∠ABC=∠EBD，AB=BE，又有∠A=∠E，
∴△ABC≌△EBD（ASA）．
（3）补充的条件为∠C=∠D，
∵∠ABC=∠EBD，AB=BE，又有∠C=∠D，
∴△ABC≌△EBD（AAS）．
故填BC=BD或∠A=∠E或∠C=∠D．方法总结：
（1）已知一边一角，可任意添加一个角的条件，用AAS或ASA判定全等；添加边的条件时只能添加夹这个角的边，用SAS判定全等．若添加另一边即这个角的对边，符合SSA的情形，不能判定三角形全等．
（2）添加条件时，应结合判定图形和四种方法：SSS、SAS、ASA、AAS，注意不能是SSA的情形．【类型二】结论开放
例2：如图，点F在BC上，AB=AE，CB=FE，∠EAB=∠CAF，请你任意写出一个正确结论： ．
解析：由∠EAB=∠CAF可得，∠EAF=∠CAB，又AB=AE，CB=FE，所以△ABC≌△AEF（SAS），所以AF=AC，∠E=∠B，∠AFE=∠C．故可以填：△ABC≌△AEF或AF=AC或∠E=∠B或∠AFE=∠C方法总结：对于结论开放题，应先结合已知条件和图形进行推理，得出各种结论，任选其中之一即可．
【类型三】条件结论都开放
例3：如图△ADF和△BCE中，∠A=∠B，点D、E、F、C在同﹣直线上，有如下三个关系式：
①AD=BC；②DE=CF；③BE∥AF．
（1）请用其中两个关系式作为条件，另一个作为结论，写出所有你认为正确的命题．（用序号写出命题书写形式，如：如果①、②，那么③）
（2）选择（1）中你写出的一个命题，说明它正确的理由．
解：（1）如果①③，那么②；如果②③，那么①．
（2）对于“如果①，③，那么②”证明如下：
∵BE∥AF，∴∠AFD=∠BEC．
∵AD=BC，∠A=∠B，∴△ADF≌△BCE．
∴DF=CE．∴DF﹣EF=CE﹣EF即DE=CF．
对于“如果②，③，那么①”证明如下：
∵BE∥AF，∴∠AFD=∠BEC．
∵DE=CF，∴DE+EF=CF+EF即DF=CE．
∵∠A=∠B，∴△ADF≌△BCE．
∴AD=BC．解析：（1）本题主考查全等三角形的判定，能不能成立，就看作为条件的关系式能不能证明△ADF≌△BCE，从而得到结论．
（2）对于“如果①，③，那么②”进行证明，根据平行线的性质得到∠AFD=∠BEC，因为AD=BC，∠A=∠B，利用AAS判定△ADF≌△BCE，得到DF=CE，即得到DE=CF．探究点二：灵活选用合适方法证明三角形全等
例4：如图，在△ABE中，AB=AE，AD=AC，∠BAD=∠EAC，BC、DE交于点O．
求证：（1）△ABC≌△AED；
（2）OB=OE．
解析：（1）由∠BAD=∠EAC可知∠BAC=∠EAD，所以有可证△ABC≌△AED（SAS）；
（2）由（1）知∠ABC=∠AED，AB=AE可知∠ABE=∠AEB，所以∠OBE=∠OEB，则OB=OE．
证明：（1）∵∠BAD=∠EAC，∴∠BAD+∠DAC=∠EAC+∠DAC，
即∠BAC=∠EAD．
在△ABC和△AED中，∴△ABC≌△AED（SAS）．
（2）由（1）知∠ABC=∠AED，
∵AB=AE，
∴∠ABE=∠AEB．∴∠ABE-∠ABC=∠AEB-∠AED，即∠OBE=∠OEB．∴OB=OE．探究点三：添加辅助线证明三角形全等
例5：已知：如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BC=DC，CF平分∠BCD，DF∥AB，BF的延长线交DC于点E．
求证：（1）△BFC≌△DFC；
（2）AD=DE．
解析：（1）由CF平分∠BCD可知∠BCF=∠DCF，然后通过SAS就能证出△BFC≌△DFC．
（2）连接BD，要证明AD=DE，证明△BAD≌△BED则可．由于BD=BD，所以只需另外证明两组角对应相等即可．证明：（1）∵CF平分∠BCD，
∴∠BCF=∠DCF．
在△BFC和△DFC中，∴△BFC≌△DFC．
（2）连接BD．
∵△BFC≌△DFC，
∴BF=DF，∴∠FBD=∠FDB．
∵DF∥AB，∴∠ABD=∠FDB．∴∠ABD=∠FBD．
∵AD∥BC，∴∠BDA=∠DBC．
∵BC=DC，∴∠DBC=∠BDC．∴∠BDA=∠BDC．
又BD=BD，∴△BAD≌△BED．
∴AD=DE．
方法总结：证明全等三角形中常见辅助线的作法：
（1）连接两点；
（2）倍长中线；
（3）过一点作已知直线的平行线；
（4）过一点作已知直线的垂线．探究点四：多次运用三角形全等的判定
例6：如图，在四边形ABCD中，AB=AD，BC=DC，E为AC上的一动点（不与A重合），在E移动过程中BE和DE是否相等？若相等，请写出证明过程；若不相等，请说明理由．解析：要证BE=DE，先证△ADC≌△ABC（SSS），得到∠DAE=∠BAE，再证△ADE≌△ABE（SAS）即可．
解：相等．
理由如下：
在△ABC和△ADC中，
AB=AD，AC=AC，BC=DC，
∴△ABC≌△ADC（SSS），∴∠DAE=∠BAE，
在△ADE和△ABE中，
AB=AD，∠DAE=∠BAE，AE=AE，
∴△ADE≌△ABE（SAS），∴BE=DE．方法总结：把要证明的边相等或角相等，转化为证明它们所在的三角形全等．如果两个三角形全等的条件不具备，可通过两次或多次三角形全等得出．探究点五：全等三角形的应用
例7：如图，A、B两个建筑物分别位于河的两岸，为了测量它们之间的距离，可以沿河岸作射线BF，且使BF⊥AB，在BF上截取BC=CD，过D点作DE⊥BF，使E、C、A在一条直线上，则DE的长就是A、B之间的距离，请说明理由．
解析：∵∠ACB=∠DCE，BC=CD，∠B=∠EDC=90°，
∴△ACB≌△ECD，
∴AB=DE．∴DE的长就是A、B之间的距离．方法总结：本题考查全等三角形的应用，关键是通过证明三角形全等，得到线段相等，从而得出结论成立．课后练习
