华师大版九年级下27.3 实践与探索（1）
文档属性
| 名称 | 华师大版九年级下27.3 实践与探索（1） |  | |
| 格式 | rar | ||
| 文件大小 | 219.2KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 华师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2010-04-11 14:17:00 | ||
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文档简介
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华师大版九年级下27.3 实践与探索（1）
[本课知识要点]
会结合二次函数的图象分析问题、解决问题，在运用中体会二次函数的实际意义．
[创新思维]
生活中，我们常会遇到与二次函数及其图象有关的问题，比如在2004雅典奥运会的赛场上，很多项目，如跳水、铅球、篮球、足球、排球等都与二次函数及其图象息息相关．你知道二次函数在生活中的其它方面的运用吗？
[实践与探索]
例2．如图26．3．2，公园要建造圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA，水流在各个方向沿形状相同的抛物线路线落下，为使水流形状较为漂亮，要求设计成水流在离OA距离为1m处达到距水面最大高度2．25m．
（1）若不计其他因素，那么水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不致落到池外？
（2）若水流喷出的抛物线形状与（1）相同，水池的半径为3．5m，要使水流不落到池外，此时水流最大高度应达多少米？（精确到0．1m）
分析 这是一个运用抛物线的有关知识解决实际问题的应用题，首先必须将水流抛物线放在直角坐标系中，如图26．3．3，我们可以求出抛物线的函数关系式，再利用抛物线的性质即可解决问题．
解 （1）以O为原点，OA为y轴建立坐标系．设抛物线顶点为B，水流落水与x轴交点为C（如图26．3．3）．
由题意得，A（0，1．25），B（1，2．25），
因此，设抛物线为．
将A（0，1．25）代入上式，得，
解得
所以，抛物线的函数关系式为．
当y=0时，解得 x=-0．5（不合题意，舍去），x=2．5，
所以C（2．5，0），即水池的半径至少要2．5m．
（2）由于喷出的抛物线形状与（1）相同，可设此抛物线为．
由抛物线过点（0，1．25）和（3．5，0），可求得h= -1．6，k=3．7．
所以，水流最大高度应达3．7m．
[当堂课内练习]
1．在排球赛中，一队员站在边线发球，发球方向与边线垂直，球开始飞行时距地面1．9米，当球飞行距离为9米时达最大高度5．5米，已知球场长18米，问这样发球是否会直接把球打出边线？
2．在一场篮球赛中，队员甲跳起投篮，当球出手时离地高2．5米，与球圈中心的水平距离为7米，当球出手水平距离为4米时到达最大高度4米．设篮球运行轨迹为抛物线，球圈距地面3米，问此球是否投中？
[本课课外作业]
A组
1．在一场足球赛中，一球员从球门正前方10米处将球踢起射向球门，当球飞行的水平距离是6米时，球到达最高点，此时球高3米，已知球门高2．44米，问能否射中球门？
2．某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到赢利的过程．
下面的二次函数图象（部分）刻画了该公司年初以来累积利润s（万元）与销售时间t（月）之间的关系（即前t个月的利润总和s与t之间的关系）．
根据图象提供的信息，解答下列问题：
（1）由已知图象上的三点坐标，求累积利润s（万元）与时间t（月）之间的函数关系式；
（2）求截止到几月末公司累积利润可达到30万元；
（3）求第8个月公司所获利润是多少万元？
3．如图，一位运动员在距篮下4m处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2．5m时，达到最大高度3．5m，然后准确落入篮圈，已知篮圈中心到地面的距离为3．05m．
（1）建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的函数关系式；
（2）该运动员身高1．8m，在这次跳投中，球在头顶上方
0．25m处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少？
B组
4．某公司草坪的护栏是由50段形状相同的抛物线组成的，为牢固起见，每段护栏需按间距0．4m加设不锈钢管（如图a）做成的立柱，为了计算所需不锈钢管立柱的总长度，设计人员利用图b所示的坐标系进行计算．
（1）求该抛物线的函数关系式；
（2）计算所需不锈钢管立柱的总长度．
5．某跳水运动员在进行10m跳台跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图所示的一条抛物线．在跳某个规定动作时，正常情况下，该运动员在空中的最高处距水面m，入水处距池边的距离为4m，同时运动员在距水面高度5m以前，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势时，否则就会出现失误．
（1）求这条抛物线的函数关系式；
（2）在某次试跳中，测得运动员在空中的运动路线是（1）中的抛物线，且运动员在空中调整好入水姿势时，距池边的水平距离为m，问此次跳水会不会失误？并通过计算说明理由．
[本课知识要点]
让学生进一步体验把实际问题转化为有关二次函数知识的过程．
[创新思维]
二次函数的有关知识在经济生活中的应用更为广阔，我们来看这样一个生活中常见的问题：某广告公司设计一幅周长为12米的矩形广告牌，广告设计费为每平方米1000元，设矩形一边长为x米，面积为S平方米．请你设计一个方案，使获得的设计费最多，并求出这个费用．你能解决它吗？类似的问题，我们都可以通过建立二次函数的数学模型来解决．
[实践与探索]
例1．某化工材料经销公司购进了一种化工原料共7000千克，购进价格为每千克30元。物价部门规定其销售单价不得高于每千克70元，也不得低于30元。市场调查发现：单价定为70元时，日均销售60千克；单价每降低1元，日均多售出2千克。在销售过程中，每天还要支出其他费用500元（天数不足一天时，按整天计算）。设销售单价为x元，日均获利为y元
（1）求y关于x的二次函数关系式，并注明x的取值范围；
（2）将（1）中所求出的二次函数配方成的形式，写出顶点坐标；在直角坐标系画出草图；观察图象，指出单价定为多少元时日均获利最多，是多少？
分析 若销售单价为x元，则每千克降低（70-x）元，日均多售出2（70-x）千克，日均销售量为[60+2（70-x）]千克，每千克获利为（x-30）元，从而可列出函数关系式
解 （1）根据题意，得
(30≤x≤70)
（2）
顶点坐标为（65，1950）；二次函数草图略。
经观察可知，当单价定为65元时，日均获利最多，是1950元
例2。某公司生产的某种产品，它的成本是2元，售价是3元，年销售量为100万件．为了获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告．根据经验，每年投入的广告费是x（十万元）时，产品的年销售量将是原销售量的y倍，且y是x的二次函数，它们的关系如下表：
X（十万元） 0 1 2 …
y 1 1．5 1．8 …
（1）求y与x的函数关系式；
（2）如果把利润看作是销售总额减去成本费和广告费，试写出年利润S（十万元）与广告费x（十万元）的函数关系式；
（3）如果投入的年广告费为10～30万元，问广告费在什么范围内，公司获得的年利润随广告费的增大而增大？
解 （1）设二次函数关系式为
由表中数据，得 ，解得
所以所求二次函数关系式为
（2）根据题意，得
（3）
由于1≤x≤3，所以当1≤x≤2.5时，S随x的增大而增大．
[当堂课内练习]
1．将进货单价为70元的某种商品按零售价100元一个售出时，每天能卖出20个，若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元，其日销售量就增加1个，为了获得最大利润，则应降价 （ ）
A、5元 B、10元 C、15元 D、20元
2．某公司生产某种产品，每件产品成本是3元，售价是4元，年销售量为10万件，为了获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告．根据经验，每年投入的广告费是x（万元）时，产品的年销售量将是原销售量的y倍，且，如果把利润看作是销售总额减去成本费和广告费，试写出年利润S（万元）与广告费x（万元）的函数关系式，并计算广告费是多少万元时，公司获得的年利润最大，最大年利润是是多少万元？
[本课课外作业]
A组
1.某商场以每件42元的价钱购进一种服装，根据试销得知：这种服装每天的销售量t（件），
与每件的销售价x（元/件）可看成是一次函数关系：t=-3x+204。
（1）写出商场卖这种服装每天的销售利润y与每件的销售价x之间的函数关系式（每天的销售利润是指所卖出服装的销售价与购进价的差）；
（2）通过对所得函数关系式进行配方，指出：商场要想每天获得最大的销售利润，每件的销售价定为多少最为合适；最大销售利润为多少？
2．某旅社有客房120间，当每间房的日租金为50元时，每天都客满，旅社装修后，要提高租金，经市场调查，如果一间客房日租金增加5元，则客房每天出租数会减少6间，不考虑其他因素，旅社将每间客房日租金提高到多少元时，客房的总收入最大？比装修前客房日租金总收入增加多少元？
3．某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品．据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500kg；销售单价每涨1元，月销售量就减少10kg．针对这种水产品的销售情况，请解答以下问题：
(1)当销售单价定为每千克55元时，计算月销售量和月销售利润；
(2)设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，求y与x的函数关系式；
(3)商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？
B组
4．行驶中的汽车在刹车后由于惯性的作用，还要继续向前滑行一段距离才能停止，这段距离称为“刹车距离”，为了测定某种型号汽车的刹车性能﹙车速不超过140千米/时﹚，对这种汽车进行测试，数据如下表：
刹车时车速（千米/时） 0 10 20 30 40 50 60
刹车距离 0 0．3 1．0 2．1 3．6 5．5 7．8
﹙1﹚以车速为x轴，以刹车距离为y轴，在坐标系中描出这些数据所表示的点，并用平滑的曲线连结这些点，得到函数的大致图象；
﹙2﹚观察图象，估计函数的类型，并确定一个满足这些数据的函数关系式；
﹙3﹚该型号汽车在国道上发生一次交通事故，现场测得刹车距离为46．5米，请推测刹车时的车速是多少？请问在事故发生时，汽车是超速行驶还是正常行驶？
26.3 实践与探索（3）
[本课知识要点]
（1）会求出二次函数与坐标轴的交点坐标；
（2）了解二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的关系．
[创新思维]
给出三个二次函数：（1）；（2）；（3）．
它们的图象分别为
观察图象与x轴的交点个数，分别是_____个、_____个、_____个．你知道图象与x轴的交点个数与什么有关吗？
另外，能否利用二次函数的图象寻找方程，不等式或的解？
[实践与探索]
例1．画出函数的图象，根据图象回答下列问题．
（1）图象与x轴、y轴的交点坐标分别是什么？
（2）当x取何值时，y=0？这里x的取值与方程有什么关系？
（3）x取什么值时，函数值y大于0？x取什么值时，函数值y小于0？
解 图象如图26．3．4，
（1）图象与x轴的交点坐标为（-1，0）、（3，0），与y轴的交点坐标为（0，-3）．
（2）当x= -1或x=3时，y=0，x的取值与方程的解相同．
（3）当x＜-1或x＞3时，y＞0；当 -1＜x＜3时，y＜0．
回顾与反思 （1）二次函数图象与x轴的交点问题常通过一元二次方程的根的问题来解决；反过来，一元二次方程的根的问题，又常用二次函数的图象来解决．
（2）利用函数的图象能更好地求不等式的解集，先观察图象，找出抛物线与x轴的交点，再根据交点的坐标写出不等式的解集．
例3．已知二次函数，
（1）试说明：不论m取任何实数，这个二次函数的图象必与x轴有两个交点；
（2）m为何值时，这两个交点都在原点的左侧？
（3）m为何值时，这个二次函数的图象的对称轴是y轴？
分析 （1）要说明不论m取任何实数，二次函数的图象必与x轴有两个交点，只要说明方程有两个不相等的实数根，即⊿＞0．
（2）两个交点都在原点的左侧，也就是方程有两个负实数根，因而必须符合条件①⊿＞0，②，③．综合以上条件，可解得所求m的值的范围．
（3）二次函数的图象的对称轴是y轴，说明方程有一正一负两个实数根，且两根互为相反数，因而必须符合条件①⊿＞0，②．
解 （1）⊿=，由，得，所以⊿＞0，即不论m取任何实数，这个二次函数的图象必与x轴有两个交点．
（2）由，得；由，得；又由（1），⊿＞0，因此，当时，两个交点都在原点的左侧．
（3）由，得m=2，因此，当m=2时，二次函数的图象的对称轴是y轴．
探索 第（3）题中二次函数的图象的对称轴是y轴，即二次函数是由函数上下平移所得，那么，对一次项系数有何要求呢？请你根据它入手解本题．
[当堂课内练习]
1．已知二次函数的图象如图，
则方程的解是__________，
不等式的解集是__________，
不等式的解集是__________．
2．抛物线与y轴的交点坐标为__________，与x轴的交点坐标为__________．
3．已知方程的两根是，-1，则二次函数与x轴的两个交点间的距离为__________．
4．函数的图象与x轴有且只有一个交点，求a的值及交点坐标．
[本课课外作业]
A组
1．已知二次函数，画出此抛物线的图象，根据图象回答下列问题．
（1）方程的解是什么？
（2）x取什么值时，函数值大于0？x取什么值时，函数值小于0？
2．如果二次函数的顶点在x轴上，求c的值．
3．不论自变量x取什么数，二次函数的函数值总是正值，求m的取值范围．
4．已知二次函数，
求：（1）此函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，并画出草图；
（2）以此函数图象与x轴、y轴的交点为顶点的三角形面积；
（3）x为何值时，y＞0．
5．你能否画出适当的函数图象，求方程的解？
B组
6．函数（m是常数）的图象与x轴的交点有 （ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．1个或2个
7．已知二次函数．
（1）说明抛物线与x轴有两个不同交点；
（2）求这两个交点间的距离（关于a的表达式）；
（3）a取何值时，两点间的距离最小？
26.3 实践与探索（4）
[本课知识要点]
掌握一元二次方程及二元二次方程组的图象解法．
[创新思维]
上节课的作业第5题：画图求方程的解，你是如何解决的呢？我们来看一看两位同学不同的方法．
甲：将方程化为，画出的图象，观察它与x轴的交点，得出方程的解．
乙：分别画出函数和的图象，观察它们的交点，把交点的横坐标作为方程的解．
你对这两种解法有什么看法？请与你的同学交流．
[实践与探索]
例1．利用函数的图象，求下列方程的解：
（1） ；
（2）．
分析 上面甲乙两位同学的解法都是可行的，但乙的方法要来得简便，因为画抛物线远比画直线困难，所以只要事先画好一条抛物线的图象，再根据待解的方程，画出相应的直线，交点的横坐标即为方程的解．
解 （1）在同一直角坐标系中画出
函数和的图象，
如图26．3．5，
得到它们的交点（-3，9）、（1，1），
则方程的解为 –3，1．
（2）先把方程化为
，然后在同一直角
坐标系中画出函数和
的图象，如图26．3．6，
得到它们的交点（，）、（2，4），
则方程的解为 ，2．
回顾与反思 一般地，求一元二次方程的近似解时，可先将方程化为，然后分别画出函数和的图象，得出交点，交点的横坐标即为方程的解．
例2．利用函数的图象，求下列方程组的解：
(1)； （2）．
分析 （1）可以通过直接画出函数和的图象，得到它们的交点，从而得到方程组的解；（2）也可以同样解决．
解 （1）在同一直角坐标系中画出函数和的图象，如图26．3．7，
得到它们的交点（，）、（1，1），
则方程组的解为．
（2）在同一直角坐标系中画出函数和的图象，如图26．3．8，
得到它们的交点（-2，0）、（3，15），则方程组的解为．
探索 （2）中的抛物线画出来比较麻烦，你能想出更好的解决此题的方法吗？比如利用抛物线的图象，请尝试一下．
[当堂课内练习]
1．利用函数的图象，求下列方程的解：
（1）（精确到0．1） ；
（2）．
2．利用函数的图象，求方程组的解：
[本课课外作业]
A组
1．利用函数的图象，求下列方程的解：
（1） （2）
2．利用函数的图象，求下列方程组的解：
（1）； （2）．
B组
3．如图所示，二次函数与的图象交于A（-2，4）、B（8，2）．求能使成立的x的取值范围。
典型例题
例1．如图26．3．1，一位运动员推铅球，铅球行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系是，问此运动员把铅球推出多远？
解 如图，铅球落在x轴上，则y=0，
因此，．
解方程，得（不合题意，舍去）．
所以，此运动员把铅球推出了10米．
探索 此题根据已知条件求出了运动员把铅球推出的实际距离，如果创设另外一个问题情境：一个运动员推铅球，铅球刚出手时离地面m，铅球落地点距铅球刚出手时相应的地面上的点10m，铅球运行中最高点离地面3m，已知铅球走过的路线是抛物线，求它的函数关系式．你能解决吗？试一试．
例2．（1）已知抛物线，当k= 时，抛物线与x轴相交于两点．
（2）已知二次函数的图象的最低点在x轴上，则a= ．
（3）已知抛物线与x轴交于两点A（α，0），B（β，0），且，则k的值是 ．
分析 （1）抛物线与x轴相交于两点，相当于方程有两个不相等的实数根，即根的判别式⊿＞0．
（2）二次函数的图象的最低点在x轴上，也就是说，方程的两个实数根相等，即⊿=0．
（3）已知抛物线与x轴交于两点A（α，0），B（β，0），即α、β是方程的两个根，又由于，以及，利用根与系数的关系即可得到结果．
请同学们完成填空．
回顾与反思 二次函数的图象与x轴有无交点的问题，可以转化为一元二次方程有无实数根的问题，这可从计算根的判别式入手．
习题一
一、填空题：
1．已知二次函数y=ax2 5x+c的图象如图所示，请根据图象回答下列问题：
(1)a=_______，c=______．
(2)函数图象的对称轴是_________，顶点坐标P__________．
(3)该函数有最______值，当x=______时，y最值=________．
(4)当x_____时，y随x的增大而减小．当x_____时，y随x的增大而增大．
(5)抛物线与x轴交点坐标A_______，B________；与y轴交点C 的坐标为_______；=_________，=________．
(6)当y>0时，x的取值范围是_________；当y<0时，x的取值范围是_________．
(7)方程ax2 5x+c=0中△的符号为________．方程ax2 5x+c=0的两根分别为_____，____．
(8)当x=6时，y______0；当x= 2时，y______0．
二、解答题：
2．已知下表：
(1)求a、b、c的值，并在表内空格处填入正确的数；
(2)请你根据上面的结果判断：
①是否存在实数x，使二次三项式ax2+bx+c的值为0？若存在，求出这个实数值；若不存在，请说明理由．
②画出函数y=ax2+bx+c的图象示意图，由图象确定，当x取什么实数时，ax2+ bx+c>0？
3．请画出适当的函数图象，求方程x2=x+3的解．
4．若二次函数y= x2+bx+c的图象与x轴相交于A( 5，0)，B( 1，0)．
(1)求这个二次函数的关系式；
(2)如果要通过适当的平移，使得这个函数的图象与x轴只有一个交点，那么应该怎样平移？向右还是向左？或者是向上还是向下？应该平移向个单位？
5．已知某型汽车在干燥的路面上，汽车停止行驶所需的刹车距离与刹车时的车速之间有下表所示的对应关系．
(1)请你以汽车刹车时的车速V为自变量，刹车距离s为函数，在图所示的坐标系中描点连线，画出函数的图象；
(2)观察所画的函数的图象，你发现了什么？
(3)若把这个函数的图象看成是一条抛物线，请根据表中所给的数据，选择三对，求出它的函数关系式；
(4)用你留下的两对数据，验证一个你所得到的结论是否正确．
答案：
一、
1．(1)a=1；c=4 (2)直线x=， (3)小；；
(4)≤；≥ (5)(1，0)；(4，0)；(0，4)； 6；； (6)x<1或x>4；1 (7)正号；x1=1；x2=4 (8)>；>
二、
2．(1)由表知，当x=0时，ax2+bx+c=3；当x=1时，ax2=1；当x=2时，ax2+bx+c=3．
∴，∴，
∴a=1，b= 2，c=3，空格内分别应填入0，4，2．
(2)①在x2 2x+3=0中，∵△=( 2)2 4×1×3= 8<0，
∴不存在实数x能使ax2+bx+c=0．
②函数y=x2 2x+3的图象示意图如答图所示，观察图象得出，无论x取什么实数总有ax2+bx+c>0．
3．解：在同一坐标系中如答图所示，画出函数y=x2的图象，画出函数y=x+3 的图象，
这两个图象的交点为A，B，交点A，B的横坐标和2就是方程x2=x+3的解．
4．解：(1)∵y=x2+bx+c，把A( 5，0)，B( 1，0)代入上式，得
∴，，
∴y=．
(2)∵y==
∴顶点坐标为( 3，2)，
∴欲使函数的图象与x轴只有一个交点，应向下平移2个单位．
5．解：(1)函数的图象如答图所示．
(2)图象可看成是一条抛物线这个函数可看作二次函数．
(3)设所求函数关系式为：s=av2+bv+c，
把v=48，s=22.5；v=64，s=36；v=96，s=72分别代入s=av2+bv+c，
得， 解得．
∴
(4)当v=80时，
∵s=52.5， ∴
当v=112时，
∵s=94.5，∴
经检验，所得结论是正确的．
习题二
一、学科内综合题：
1．如图所示，矩形ABCD的边AB=3，AD=2，将此矩形置入直角坐标系中，使AB在x轴上，点C在直线y=x 2上．
(1)求矩形各顶点坐标；
(2)若直线y=x 2与y轴交于点E，抛物线过E、A、B三点，求抛物线的关系式；
(3)判断上述抛物线的顶点是否落在矩形ABCD内部，并说明理由．
2．已知一条抛物线经过A(0，3)，B(4，6)两点，对称轴是x=．
(1)求这条抛物线的关系式．
(2)证明：这条抛物线与x轴的两个交点中，必存在点C，使得对x轴上任意点D都有AC+BC≤AD+BD．
二、实践应用题：
3．利用函数图象求2x2 x 3=0的解．
4．利用函数图象求方程组 的解．
5．如图所示，一位篮球运动员在离篮圈水平距离为4m处跳起投篮，球沿一条抛物线运行，当球运行的水平距离为2.5m时，达到最大高度3.5m，然后准确落入篮框内．已知篮圈中心离地面距离为3.05m．
(1)建立如图所示的直角坐标系，求抛物线所对应的函数关系式；
(2)若该运动员身高1.8m，这次跳投时，球在他头顶上方0.25m处出手．问：球出手时，他跳离地面多高？
6．某工厂生产A产品x吨所需费用为P元，而卖出x吨这种产品的售价为每吨Q元，已知P=x2+5x+1000，Q= +45．
(1)该厂生产并售出x吨，写出这种产品所获利润W(元)关于x(吨)的函数关系式；
(2)当生产多少吨这种产品，并全部售出时，获利最多？这时获利多少元？这时每吨的价格又是多少元？
三、创新题：
(一)教材中的变型题
7．画出函数y=x2 x 的图象，根据图象回答问题：
(1)图象与x轴交点A的坐标_________，B点的坐标________，与y轴交点C 的坐标________，=________．(A点在B点左边)．
(2)该函数的对称轴方程为_______，顶点P的坐标________，=______．
(3)当______时，y≤0；当x_______时，y≥0．
(4)抛物线开口向________，函数y有最_____值；当x=_____时，y最值=______．
(二)多解题
8．已知抛物线y=2x2 kx 1与x轴两交点的横坐标，一个大于2，另一个小于2，试求k的取值范围．
(三)多变题
9．如图所示，在直角坐标系xOy中，A，B是x轴上两点，以AB为直径的圆交y轴于点C，设过A、B、C三点的抛物线关系为y=x2 mx+n，若方程x2 mx+n=0两根倒数和为 2．
(1)求n的值；
(2)求此抛物线的关系式．
四、中考题：
10．(2004，陕西，10分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC>AC，以斜边AB所在直线为x轴，以斜边AB上的高所在直线为y轴，建立直角坐标系，若OA2+OB2= 17，且线段OA、OB的长度是关于x的一元二次方程x2 mx+2(m 3)=0的两个根．
(1)求C点的坐标；
(2)以斜边AB为直径作圆与y轴交于另一点E，求过A、B、E 三点的抛物线的关系式，并画出此抛物线的草图．
(3)在抛物线上是否存在点P，使△ABP与△ABC全等？若存在，求出符合条件的P点的坐标；若不存在，说明理由．
答案：
一、
1．解：(1)如答图所示．
∵y=x 2，AD=BC=2，设C点坐标为(m，2)，
把C(m，2)代入y=x 2，
2=m 2．∴m=4．∴C(4，2)，∴OB=4，AB=3．∴OA=4 3=1，
∴A(1，0)，B(4，0)，C(4，2)，D(1，2)．
(2)∵y=x 2，∴令x=0，得y= 2，∴E(0， 2)．
设经过E(0， 2)，A(1，0)，B(4，0) 三点的抛物线关系式为y=ax2+bx+c，
∴， 解得
∴y=．
(3)抛物线顶点在矩形ABCD内部．
∵y=， ∴顶点为．
∵， ∴顶点 在矩形ABCD内部．
2．(1)解：设所求抛物线的关系式为y=ax2+bx+c，
∵A(0，3)，B(4，6)，对称轴是直线x=．
∴， 解得
∴y=．
(2)证明：令y=0，得=0， ∴
∵A(0，3)，取A点关于x轴的对称点E，∴E(0， 3)．
设直线BE的关系式为y=kx 3，把B(4，6)代入上式，得6=4k 3，
∴k=，∴y=x 3．
由x 3=0，得x=．
故C为，C点与抛物线在x轴上的一个交点重合，
在x轴上任取一点D，在△BED中，BE< BD+DE．
又∵BE=EC+BC，EC=AC，ED=AD，∴AC+BC 若D与C重合，则AC+BC=AD+BD． ∴AC+BC≤AD+BD．
二、
3．解：列表
描点，连线，画出函数y=2x2 x 3的图象，如答图所示，由图象得出抛物线与x轴两交点坐标A，B( 1，0)，故方程2x2 x 3=0的解为x1=， x2= 1．
4．解：在同一坐标系中画出函数y= 3x 1与y=x2 x的图象，如答图所示，由图象观察得出y= 3x 1与y=x2 x的交点有且只有一个，即A点，并且A点坐标为( 1，2)．
∴ 的解为．
5．解：(1)图中各点字母表示如答图所示．
∵OA=2．5，AB=4，∴OB=4 2．5=1．5．
∴点D坐标为(1．5，3．05)．
∵抛物线顶点坐标(0，3．5)，
∴设所求抛物线的关系式为y=ax2+3．5，
把D(1．5， 3．05)代入上式，得3．05=a×1．52+3．5，
∴a= 0．2，∴y= 0．2x2+3．5
(2)∵OA=2．5，∴设C点坐标为(2．5，m)，
∴把C(2．5，m)代入y= 0．2x2+3．5，
得m= 0．2×2．52+3．5=2．25．
∴该运动员跳离地面高度h=m (1．8+0．25)=2．25 (1．8+0．25)=0．2(m)．
6．解：(1)∵P=x2+5x+1000，Q= +45．
∴W=Qx P=( +45) (x2+5x+1000)= ．
(2)∵W== (x 150)2+2000．
∵ <0，∴W有最大值．
当x=150吨时，利润最多，最大利润2000元．
当x=150吨，Q= +45=40(元)．
三、(一)
7．如答图所示．
(1)( ，0)；(，0)；(0， )；
(2)直线x=；(， 1)；1
(3)≤x≤；x≤ 或x≥
(4)上；小；； 1
(二)
8．解：∵y=2x2 kx 1，∴△=( k)2 4×2×( 1)=k2+8>0，
∴无论k为何实数， 抛物线y=2x2 kx 1与x轴恒有两个交点．
设y=2x2 kx 1与x轴两交点的横坐标分别为x1，x2，且规定x1<2，x2> 2，
∴x1 2<0，x2 2>0．
∴(x1 2)(x2 2)<0，∴x1x2 2(x1+x2)+4<0．
∵x1，x2亦是方程2x2 kx 1=0的两个根，
∴x1+x2=，x1·x2= ，
∴，∴k>．
∴k的取值范围为k>．
法二：∵抛物线y=2x2 kx 1与x轴两交点横坐标一个大于2，另一个小于2，
∴此函数的图象大致位置如答图所示．
由图象知：当x=2时，y<0．
即y=2×22 2k 1<0，∴k>．∴k的取值范围为k>．
(三)
9．解：(1)由题意，设A(x1，0)，B(x2，0)，C(0，n)
∵OA= x1，OB=x2，又CO⊥AB，CO2=AO·OB，即n2= x1x2．
又∵x1，x2是方程x2 mx+n=0的两根，
∴x1+x2=n，∴n2= n，∴n1= 1，n2=0(舍去) ，∴n= 1．
(2)∵x1，x2是方程x2 mx+n=0的两根，∴x1+x2=m．
又∵n= 1，∴x1x2= 1，
∴，∴m=2，
∴所求抛物线的关系式为y=x2 2x 1．
五、
10．解：(1)线段OA，OB的长度是关于x的一元二次方程x2 mx+2(m 3)=0 的两个根，
∴
又∵OA2+OB2=17，∴(OA+OB)2 2·OA·OB=17．③
把①，②代入③，得m2 4(m 3) =17，∴m2 4m 5=0．解之，得m= 1或m=5．
又知OA+OB=m>0，∴m= 1应舍去．
∴当m=5时，得方程：x2 5x+4=0，解之，得x=1或x=4．
∵BC>AC，∴OB>OA，∴OA=1，OB=4，
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CO⊥AB，
∴OC2=OA·OB=1×4=4．∴OC=2，∴C(0，2)
(2)∵OA=1，OB=4，C，E两点关于x轴对称，
∴A( 1，0)，B(4，0)，E(0， 2)．
设经过A，B，E三点的抛物线的关系式为
y=ax2+bx+c，则 ，解之，得
∴所求抛物线关系式为y=．
(3)存在．∵点E是抛物线与圆的交点．
∴Rt△ACB≌Rt△AEB，∴E(0， 2)符合条件．
∵圆心的坐标(，0 )在抛物线的对称轴上．
∴这个圆和这条抛物线均关于抛物线的对称轴对称．
∴点E关于抛物线对称轴的对称点E′也符合题意．
∴可求得E′(3， 2)．
∴抛物线上存在点P符合题意，它们的坐标是(0， 2)和(3， 2)
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华师大版九年级下27.3 实践与探索（1）
[本课知识要点]
会结合二次函数的图象分析问题、解决问题，在运用中体会二次函数的实际意义．
[创新思维]
生活中，我们常会遇到与二次函数及其图象有关的问题，比如在2004雅典奥运会的赛场上，很多项目，如跳水、铅球、篮球、足球、排球等都与二次函数及其图象息息相关．你知道二次函数在生活中的其它方面的运用吗？
[实践与探索]
例2．如图26．3．2，公园要建造圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA，水流在各个方向沿形状相同的抛物线路线落下，为使水流形状较为漂亮，要求设计成水流在离OA距离为1m处达到距水面最大高度2．25m．
（1）若不计其他因素，那么水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不致落到池外？
（2）若水流喷出的抛物线形状与（1）相同，水池的半径为3．5m，要使水流不落到池外，此时水流最大高度应达多少米？（精确到0．1m）
分析 这是一个运用抛物线的有关知识解决实际问题的应用题，首先必须将水流抛物线放在直角坐标系中，如图26．3．3，我们可以求出抛物线的函数关系式，再利用抛物线的性质即可解决问题．
解 （1）以O为原点，OA为y轴建立坐标系．设抛物线顶点为B，水流落水与x轴交点为C（如图26．3．3）．
由题意得，A（0，1．25），B（1，2．25），
因此，设抛物线为．
将A（0，1．25）代入上式，得，
解得
所以，抛物线的函数关系式为．
当y=0时，解得 x=-0．5（不合题意，舍去），x=2．5，
所以C（2．5，0），即水池的半径至少要2．5m．
（2）由于喷出的抛物线形状与（1）相同，可设此抛物线为．
由抛物线过点（0，1．25）和（3．5，0），可求得h= -1．6，k=3．7．
所以，水流最大高度应达3．7m．
[当堂课内练习]
1．在排球赛中，一队员站在边线发球，发球方向与边线垂直，球开始飞行时距地面1．9米，当球飞行距离为9米时达最大高度5．5米，已知球场长18米，问这样发球是否会直接把球打出边线？
2．在一场篮球赛中，队员甲跳起投篮，当球出手时离地高2．5米，与球圈中心的水平距离为7米，当球出手水平距离为4米时到达最大高度4米．设篮球运行轨迹为抛物线，球圈距地面3米，问此球是否投中？
[本课课外作业]
A组
1．在一场足球赛中，一球员从球门正前方10米处将球踢起射向球门，当球飞行的水平距离是6米时，球到达最高点，此时球高3米，已知球门高2．44米，问能否射中球门？
2．某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到赢利的过程．
下面的二次函数图象（部分）刻画了该公司年初以来累积利润s（万元）与销售时间t（月）之间的关系（即前t个月的利润总和s与t之间的关系）．
根据图象提供的信息，解答下列问题：
（1）由已知图象上的三点坐标，求累积利润s（万元）与时间t（月）之间的函数关系式；
（2）求截止到几月末公司累积利润可达到30万元；
（3）求第8个月公司所获利润是多少万元？
3．如图，一位运动员在距篮下4m处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2．5m时，达到最大高度3．5m，然后准确落入篮圈，已知篮圈中心到地面的距离为3．05m．
（1）建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的函数关系式；
（2）该运动员身高1．8m，在这次跳投中，球在头顶上方
0．25m处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少？
B组
4．某公司草坪的护栏是由50段形状相同的抛物线组成的，为牢固起见，每段护栏需按间距0．4m加设不锈钢管（如图a）做成的立柱，为了计算所需不锈钢管立柱的总长度，设计人员利用图b所示的坐标系进行计算．
（1）求该抛物线的函数关系式；
（2）计算所需不锈钢管立柱的总长度．
5．某跳水运动员在进行10m跳台跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图所示的一条抛物线．在跳某个规定动作时，正常情况下，该运动员在空中的最高处距水面m，入水处距池边的距离为4m，同时运动员在距水面高度5m以前，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势时，否则就会出现失误．
（1）求这条抛物线的函数关系式；
（2）在某次试跳中，测得运动员在空中的运动路线是（1）中的抛物线，且运动员在空中调整好入水姿势时，距池边的水平距离为m，问此次跳水会不会失误？并通过计算说明理由．
[本课知识要点]
让学生进一步体验把实际问题转化为有关二次函数知识的过程．
[创新思维]
二次函数的有关知识在经济生活中的应用更为广阔，我们来看这样一个生活中常见的问题：某广告公司设计一幅周长为12米的矩形广告牌，广告设计费为每平方米1000元，设矩形一边长为x米，面积为S平方米．请你设计一个方案，使获得的设计费最多，并求出这个费用．你能解决它吗？类似的问题，我们都可以通过建立二次函数的数学模型来解决．
[实践与探索]
例1．某化工材料经销公司购进了一种化工原料共7000千克，购进价格为每千克30元。物价部门规定其销售单价不得高于每千克70元，也不得低于30元。市场调查发现：单价定为70元时，日均销售60千克；单价每降低1元，日均多售出2千克。在销售过程中，每天还要支出其他费用500元（天数不足一天时，按整天计算）。设销售单价为x元，日均获利为y元
（1）求y关于x的二次函数关系式，并注明x的取值范围；
（2）将（1）中所求出的二次函数配方成的形式，写出顶点坐标；在直角坐标系画出草图；观察图象，指出单价定为多少元时日均获利最多，是多少？
分析 若销售单价为x元，则每千克降低（70-x）元，日均多售出2（70-x）千克，日均销售量为[60+2（70-x）]千克，每千克获利为（x-30）元，从而可列出函数关系式
解 （1）根据题意，得
(30≤x≤70)
（2）
顶点坐标为（65，1950）；二次函数草图略。
经观察可知，当单价定为65元时，日均获利最多，是1950元
例2。某公司生产的某种产品，它的成本是2元，售价是3元，年销售量为100万件．为了获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告．根据经验，每年投入的广告费是x（十万元）时，产品的年销售量将是原销售量的y倍，且y是x的二次函数，它们的关系如下表：
X（十万元） 0 1 2 …
y 1 1．5 1．8 …
（1）求y与x的函数关系式；
（2）如果把利润看作是销售总额减去成本费和广告费，试写出年利润S（十万元）与广告费x（十万元）的函数关系式；
（3）如果投入的年广告费为10～30万元，问广告费在什么范围内，公司获得的年利润随广告费的增大而增大？
解 （1）设二次函数关系式为
由表中数据，得 ，解得
所以所求二次函数关系式为
（2）根据题意，得
（3）
由于1≤x≤3，所以当1≤x≤2.5时，S随x的增大而增大．
[当堂课内练习]
1．将进货单价为70元的某种商品按零售价100元一个售出时，每天能卖出20个，若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元，其日销售量就增加1个，为了获得最大利润，则应降价 （ ）
A、5元 B、10元 C、15元 D、20元
2．某公司生产某种产品，每件产品成本是3元，售价是4元，年销售量为10万件，为了获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告．根据经验，每年投入的广告费是x（万元）时，产品的年销售量将是原销售量的y倍，且，如果把利润看作是销售总额减去成本费和广告费，试写出年利润S（万元）与广告费x（万元）的函数关系式，并计算广告费是多少万元时，公司获得的年利润最大，最大年利润是是多少万元？
[本课课外作业]
A组
1.某商场以每件42元的价钱购进一种服装，根据试销得知：这种服装每天的销售量t（件），
与每件的销售价x（元/件）可看成是一次函数关系：t=-3x+204。
（1）写出商场卖这种服装每天的销售利润y与每件的销售价x之间的函数关系式（每天的销售利润是指所卖出服装的销售价与购进价的差）；
（2）通过对所得函数关系式进行配方，指出：商场要想每天获得最大的销售利润，每件的销售价定为多少最为合适；最大销售利润为多少？
2．某旅社有客房120间，当每间房的日租金为50元时，每天都客满，旅社装修后，要提高租金，经市场调查，如果一间客房日租金增加5元，则客房每天出租数会减少6间，不考虑其他因素，旅社将每间客房日租金提高到多少元时，客房的总收入最大？比装修前客房日租金总收入增加多少元？
3．某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品．据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500kg；销售单价每涨1元，月销售量就减少10kg．针对这种水产品的销售情况，请解答以下问题：
(1)当销售单价定为每千克55元时，计算月销售量和月销售利润；
(2)设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，求y与x的函数关系式；
(3)商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？
B组
4．行驶中的汽车在刹车后由于惯性的作用，还要继续向前滑行一段距离才能停止，这段距离称为“刹车距离”，为了测定某种型号汽车的刹车性能﹙车速不超过140千米/时﹚，对这种汽车进行测试，数据如下表：
刹车时车速（千米/时） 0 10 20 30 40 50 60
刹车距离 0 0．3 1．0 2．1 3．6 5．5 7．8
﹙1﹚以车速为x轴，以刹车距离为y轴，在坐标系中描出这些数据所表示的点，并用平滑的曲线连结这些点，得到函数的大致图象；
﹙2﹚观察图象，估计函数的类型，并确定一个满足这些数据的函数关系式；
﹙3﹚该型号汽车在国道上发生一次交通事故，现场测得刹车距离为46．5米，请推测刹车时的车速是多少？请问在事故发生时，汽车是超速行驶还是正常行驶？
26.3 实践与探索（3）
[本课知识要点]
（1）会求出二次函数与坐标轴的交点坐标；
（2）了解二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的关系．
[创新思维]
给出三个二次函数：（1）；（2）；（3）．
它们的图象分别为
观察图象与x轴的交点个数，分别是_____个、_____个、_____个．你知道图象与x轴的交点个数与什么有关吗？
另外，能否利用二次函数的图象寻找方程，不等式或的解？
[实践与探索]
例1．画出函数的图象，根据图象回答下列问题．
（1）图象与x轴、y轴的交点坐标分别是什么？
（2）当x取何值时，y=0？这里x的取值与方程有什么关系？
（3）x取什么值时，函数值y大于0？x取什么值时，函数值y小于0？
解 图象如图26．3．4，
（1）图象与x轴的交点坐标为（-1，0）、（3，0），与y轴的交点坐标为（0，-3）．
（2）当x= -1或x=3时，y=0，x的取值与方程的解相同．
（3）当x＜-1或x＞3时，y＞0；当 -1＜x＜3时，y＜0．
回顾与反思 （1）二次函数图象与x轴的交点问题常通过一元二次方程的根的问题来解决；反过来，一元二次方程的根的问题，又常用二次函数的图象来解决．
（2）利用函数的图象能更好地求不等式的解集，先观察图象，找出抛物线与x轴的交点，再根据交点的坐标写出不等式的解集．
例3．已知二次函数，
（1）试说明：不论m取任何实数，这个二次函数的图象必与x轴有两个交点；
（2）m为何值时，这两个交点都在原点的左侧？
（3）m为何值时，这个二次函数的图象的对称轴是y轴？
分析 （1）要说明不论m取任何实数，二次函数的图象必与x轴有两个交点，只要说明方程有两个不相等的实数根，即⊿＞0．
（2）两个交点都在原点的左侧，也就是方程有两个负实数根，因而必须符合条件①⊿＞0，②，③．综合以上条件，可解得所求m的值的范围．
（3）二次函数的图象的对称轴是y轴，说明方程有一正一负两个实数根，且两根互为相反数，因而必须符合条件①⊿＞0，②．
解 （1）⊿=，由，得，所以⊿＞0，即不论m取任何实数，这个二次函数的图象必与x轴有两个交点．
（2）由，得；由，得；又由（1），⊿＞0，因此，当时，两个交点都在原点的左侧．
（3）由，得m=2，因此，当m=2时，二次函数的图象的对称轴是y轴．
探索 第（3）题中二次函数的图象的对称轴是y轴，即二次函数是由函数上下平移所得，那么，对一次项系数有何要求呢？请你根据它入手解本题．
[当堂课内练习]
1．已知二次函数的图象如图，
则方程的解是__________，
不等式的解集是__________，
不等式的解集是__________．
2．抛物线与y轴的交点坐标为__________，与x轴的交点坐标为__________．
3．已知方程的两根是，-1，则二次函数与x轴的两个交点间的距离为__________．
4．函数的图象与x轴有且只有一个交点，求a的值及交点坐标．
[本课课外作业]
A组
1．已知二次函数，画出此抛物线的图象，根据图象回答下列问题．
（1）方程的解是什么？
（2）x取什么值时，函数值大于0？x取什么值时，函数值小于0？
2．如果二次函数的顶点在x轴上，求c的值．
3．不论自变量x取什么数，二次函数的函数值总是正值，求m的取值范围．
4．已知二次函数，
求：（1）此函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，并画出草图；
（2）以此函数图象与x轴、y轴的交点为顶点的三角形面积；
（3）x为何值时，y＞0．
5．你能否画出适当的函数图象，求方程的解？
B组
6．函数（m是常数）的图象与x轴的交点有 （ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．1个或2个
7．已知二次函数．
（1）说明抛物线与x轴有两个不同交点；
（2）求这两个交点间的距离（关于a的表达式）；
（3）a取何值时，两点间的距离最小？
26.3 实践与探索（4）
[本课知识要点]
掌握一元二次方程及二元二次方程组的图象解法．
[创新思维]
上节课的作业第5题：画图求方程的解，你是如何解决的呢？我们来看一看两位同学不同的方法．
甲：将方程化为，画出的图象，观察它与x轴的交点，得出方程的解．
乙：分别画出函数和的图象，观察它们的交点，把交点的横坐标作为方程的解．
你对这两种解法有什么看法？请与你的同学交流．
[实践与探索]
例1．利用函数的图象，求下列方程的解：
（1） ；
（2）．
分析 上面甲乙两位同学的解法都是可行的，但乙的方法要来得简便，因为画抛物线远比画直线困难，所以只要事先画好一条抛物线的图象，再根据待解的方程，画出相应的直线，交点的横坐标即为方程的解．
解 （1）在同一直角坐标系中画出
函数和的图象，
如图26．3．5，
得到它们的交点（-3，9）、（1，1），
则方程的解为 –3，1．
（2）先把方程化为
，然后在同一直角
坐标系中画出函数和
的图象，如图26．3．6，
得到它们的交点（，）、（2，4），
则方程的解为 ，2．
回顾与反思 一般地，求一元二次方程的近似解时，可先将方程化为，然后分别画出函数和的图象，得出交点，交点的横坐标即为方程的解．
例2．利用函数的图象，求下列方程组的解：
(1)； （2）．
分析 （1）可以通过直接画出函数和的图象，得到它们的交点，从而得到方程组的解；（2）也可以同样解决．
解 （1）在同一直角坐标系中画出函数和的图象，如图26．3．7，
得到它们的交点（，）、（1，1），
则方程组的解为．
（2）在同一直角坐标系中画出函数和的图象，如图26．3．8，
得到它们的交点（-2，0）、（3，15），则方程组的解为．
探索 （2）中的抛物线画出来比较麻烦，你能想出更好的解决此题的方法吗？比如利用抛物线的图象，请尝试一下．
[当堂课内练习]
1．利用函数的图象，求下列方程的解：
（1）（精确到0．1） ；
（2）．
2．利用函数的图象，求方程组的解：
[本课课外作业]
A组
1．利用函数的图象，求下列方程的解：
（1） （2）
2．利用函数的图象，求下列方程组的解：
（1）； （2）．
B组
3．如图所示，二次函数与的图象交于A（-2，4）、B（8，2）．求能使成立的x的取值范围。
典型例题
例1．如图26．3．1，一位运动员推铅球，铅球行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系是，问此运动员把铅球推出多远？
解 如图，铅球落在x轴上，则y=0，
因此，．
解方程，得（不合题意，舍去）．
所以，此运动员把铅球推出了10米．
探索 此题根据已知条件求出了运动员把铅球推出的实际距离，如果创设另外一个问题情境：一个运动员推铅球，铅球刚出手时离地面m，铅球落地点距铅球刚出手时相应的地面上的点10m，铅球运行中最高点离地面3m，已知铅球走过的路线是抛物线，求它的函数关系式．你能解决吗？试一试．
例2．（1）已知抛物线，当k= 时，抛物线与x轴相交于两点．
（2）已知二次函数的图象的最低点在x轴上，则a= ．
（3）已知抛物线与x轴交于两点A（α，0），B（β，0），且，则k的值是 ．
分析 （1）抛物线与x轴相交于两点，相当于方程有两个不相等的实数根，即根的判别式⊿＞0．
（2）二次函数的图象的最低点在x轴上，也就是说，方程的两个实数根相等，即⊿=0．
（3）已知抛物线与x轴交于两点A（α，0），B（β，0），即α、β是方程的两个根，又由于，以及，利用根与系数的关系即可得到结果．
请同学们完成填空．
回顾与反思 二次函数的图象与x轴有无交点的问题，可以转化为一元二次方程有无实数根的问题，这可从计算根的判别式入手．
习题一
一、填空题：
1．已知二次函数y=ax2 5x+c的图象如图所示，请根据图象回答下列问题：
(1)a=_______，c=______．
(2)函数图象的对称轴是_________，顶点坐标P__________．
(3)该函数有最______值，当x=______时，y最值=________．
(4)当x_____时，y随x的增大而减小．当x_____时，y随x的增大而增大．
(5)抛物线与x轴交点坐标A_______，B________；与y轴交点C 的坐标为_______；=_________，=________．
(6)当y>0时，x的取值范围是_________；当y<0时，x的取值范围是_________．
(7)方程ax2 5x+c=0中△的符号为________．方程ax2 5x+c=0的两根分别为_____，____．
(8)当x=6时，y______0；当x= 2时，y______0．
二、解答题：
2．已知下表：
(1)求a、b、c的值，并在表内空格处填入正确的数；
(2)请你根据上面的结果判断：
①是否存在实数x，使二次三项式ax2+bx+c的值为0？若存在，求出这个实数值；若不存在，请说明理由．
②画出函数y=ax2+bx+c的图象示意图，由图象确定，当x取什么实数时，ax2+ bx+c>0？
3．请画出适当的函数图象，求方程x2=x+3的解．
4．若二次函数y= x2+bx+c的图象与x轴相交于A( 5，0)，B( 1，0)．
(1)求这个二次函数的关系式；
(2)如果要通过适当的平移，使得这个函数的图象与x轴只有一个交点，那么应该怎样平移？向右还是向左？或者是向上还是向下？应该平移向个单位？
5．已知某型汽车在干燥的路面上，汽车停止行驶所需的刹车距离与刹车时的车速之间有下表所示的对应关系．
(1)请你以汽车刹车时的车速V为自变量，刹车距离s为函数，在图所示的坐标系中描点连线，画出函数的图象；
(2)观察所画的函数的图象，你发现了什么？
(3)若把这个函数的图象看成是一条抛物线，请根据表中所给的数据，选择三对，求出它的函数关系式；
(4)用你留下的两对数据，验证一个你所得到的结论是否正确．
答案：
一、
1．(1)a=1；c=4 (2)直线x=， (3)小；；
(4)≤；≥ (5)(1，0)；(4，0)；(0，4)； 6；； (6)x<1或x>4；1
二、
2．(1)由表知，当x=0时，ax2+bx+c=3；当x=1时，ax2=1；当x=2时，ax2+bx+c=3．
∴，∴，
∴a=1，b= 2，c=3，空格内分别应填入0，4，2．
(2)①在x2 2x+3=0中，∵△=( 2)2 4×1×3= 8<0，
∴不存在实数x能使ax2+bx+c=0．
②函数y=x2 2x+3的图象示意图如答图所示，观察图象得出，无论x取什么实数总有ax2+bx+c>0．
3．解：在同一坐标系中如答图所示，画出函数y=x2的图象，画出函数y=x+3 的图象，
这两个图象的交点为A，B，交点A，B的横坐标和2就是方程x2=x+3的解．
4．解：(1)∵y=x2+bx+c，把A( 5，0)，B( 1，0)代入上式，得
∴，，
∴y=．
(2)∵y==
∴顶点坐标为( 3，2)，
∴欲使函数的图象与x轴只有一个交点，应向下平移2个单位．
5．解：(1)函数的图象如答图所示．
(2)图象可看成是一条抛物线这个函数可看作二次函数．
(3)设所求函数关系式为：s=av2+bv+c，
把v=48，s=22.5；v=64，s=36；v=96，s=72分别代入s=av2+bv+c，
得， 解得．
∴
(4)当v=80时，
∵s=52.5， ∴
当v=112时，
∵s=94.5，∴
经检验，所得结论是正确的．
习题二
一、学科内综合题：
1．如图所示，矩形ABCD的边AB=3，AD=2，将此矩形置入直角坐标系中，使AB在x轴上，点C在直线y=x 2上．
(1)求矩形各顶点坐标；
(2)若直线y=x 2与y轴交于点E，抛物线过E、A、B三点，求抛物线的关系式；
(3)判断上述抛物线的顶点是否落在矩形ABCD内部，并说明理由．
2．已知一条抛物线经过A(0，3)，B(4，6)两点，对称轴是x=．
(1)求这条抛物线的关系式．
(2)证明：这条抛物线与x轴的两个交点中，必存在点C，使得对x轴上任意点D都有AC+BC≤AD+BD．
二、实践应用题：
3．利用函数图象求2x2 x 3=0的解．
4．利用函数图象求方程组 的解．
5．如图所示，一位篮球运动员在离篮圈水平距离为4m处跳起投篮，球沿一条抛物线运行，当球运行的水平距离为2.5m时，达到最大高度3.5m，然后准确落入篮框内．已知篮圈中心离地面距离为3.05m．
(1)建立如图所示的直角坐标系，求抛物线所对应的函数关系式；
(2)若该运动员身高1.8m，这次跳投时，球在他头顶上方0.25m处出手．问：球出手时，他跳离地面多高？
6．某工厂生产A产品x吨所需费用为P元，而卖出x吨这种产品的售价为每吨Q元，已知P=x2+5x+1000，Q= +45．
(1)该厂生产并售出x吨，写出这种产品所获利润W(元)关于x(吨)的函数关系式；
(2)当生产多少吨这种产品，并全部售出时，获利最多？这时获利多少元？这时每吨的价格又是多少元？
三、创新题：
(一)教材中的变型题
7．画出函数y=x2 x 的图象，根据图象回答问题：
(1)图象与x轴交点A的坐标_________，B点的坐标________，与y轴交点C 的坐标________，=________．(A点在B点左边)．
(2)该函数的对称轴方程为_______，顶点P的坐标________，=______．
(3)当______时，y≤0；当x_______时，y≥0．
(4)抛物线开口向________，函数y有最_____值；当x=_____时，y最值=______．
(二)多解题
8．已知抛物线y=2x2 kx 1与x轴两交点的横坐标，一个大于2，另一个小于2，试求k的取值范围．
(三)多变题
9．如图所示，在直角坐标系xOy中，A，B是x轴上两点，以AB为直径的圆交y轴于点C，设过A、B、C三点的抛物线关系为y=x2 mx+n，若方程x2 mx+n=0两根倒数和为 2．
(1)求n的值；
(2)求此抛物线的关系式．
四、中考题：
10．(2004，陕西，10分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC>AC，以斜边AB所在直线为x轴，以斜边AB上的高所在直线为y轴，建立直角坐标系，若OA2+OB2= 17，且线段OA、OB的长度是关于x的一元二次方程x2 mx+2(m 3)=0的两个根．
(1)求C点的坐标；
(2)以斜边AB为直径作圆与y轴交于另一点E，求过A、B、E 三点的抛物线的关系式，并画出此抛物线的草图．
(3)在抛物线上是否存在点P，使△ABP与△ABC全等？若存在，求出符合条件的P点的坐标；若不存在，说明理由．
答案：
一、
1．解：(1)如答图所示．
∵y=x 2，AD=BC=2，设C点坐标为(m，2)，
把C(m，2)代入y=x 2，
2=m 2．∴m=4．∴C(4，2)，∴OB=4，AB=3．∴OA=4 3=1，
∴A(1，0)，B(4，0)，C(4，2)，D(1，2)．
(2)∵y=x 2，∴令x=0，得y= 2，∴E(0， 2)．
设经过E(0， 2)，A(1，0)，B(4，0) 三点的抛物线关系式为y=ax2+bx+c，
∴， 解得
∴y=．
(3)抛物线顶点在矩形ABCD内部．
∵y=， ∴顶点为．
∵， ∴顶点 在矩形ABCD内部．
2．(1)解：设所求抛物线的关系式为y=ax2+bx+c，
∵A(0，3)，B(4，6)，对称轴是直线x=．
∴， 解得
∴y=．
(2)证明：令y=0，得=0， ∴
∵A(0，3)，取A点关于x轴的对称点E，∴E(0， 3)．
设直线BE的关系式为y=kx 3，把B(4，6)代入上式，得6=4k 3，
∴k=，∴y=x 3．
由x 3=0，得x=．
故C为，C点与抛物线在x轴上的一个交点重合，
在x轴上任取一点D，在△BED中，BE< BD+DE．
又∵BE=EC+BC，EC=AC，ED=AD，∴AC+BC
二、
3．解：列表
描点，连线，画出函数y=2x2 x 3的图象，如答图所示，由图象得出抛物线与x轴两交点坐标A，B( 1，0)，故方程2x2 x 3=0的解为x1=， x2= 1．
4．解：在同一坐标系中画出函数y= 3x 1与y=x2 x的图象，如答图所示，由图象观察得出y= 3x 1与y=x2 x的交点有且只有一个，即A点，并且A点坐标为( 1，2)．
∴ 的解为．
5．解：(1)图中各点字母表示如答图所示．
∵OA=2．5，AB=4，∴OB=4 2．5=1．5．
∴点D坐标为(1．5，3．05)．
∵抛物线顶点坐标(0，3．5)，
∴设所求抛物线的关系式为y=ax2+3．5，
把D(1．5， 3．05)代入上式，得3．05=a×1．52+3．5，
∴a= 0．2，∴y= 0．2x2+3．5
(2)∵OA=2．5，∴设C点坐标为(2．5，m)，
∴把C(2．5，m)代入y= 0．2x2+3．5，
得m= 0．2×2．52+3．5=2．25．
∴该运动员跳离地面高度h=m (1．8+0．25)=2．25 (1．8+0．25)=0．2(m)．
6．解：(1)∵P=x2+5x+1000，Q= +45．
∴W=Qx P=( +45) (x2+5x+1000)= ．
(2)∵W== (x 150)2+2000．
∵ <0，∴W有最大值．
当x=150吨时，利润最多，最大利润2000元．
当x=150吨，Q= +45=40(元)．
三、(一)
7．如答图所示．
(1)( ，0)；(，0)；(0， )；
(2)直线x=；(， 1)；1
(3)≤x≤；x≤ 或x≥
(4)上；小；； 1
(二)
8．解：∵y=2x2 kx 1，∴△=( k)2 4×2×( 1)=k2+8>0，
∴无论k为何实数， 抛物线y=2x2 kx 1与x轴恒有两个交点．
设y=2x2 kx 1与x轴两交点的横坐标分别为x1，x2，且规定x1<2，x2> 2，
∴x1 2<0，x2 2>0．
∴(x1 2)(x2 2)<0，∴x1x2 2(x1+x2)+4<0．
∵x1，x2亦是方程2x2 kx 1=0的两个根，
∴x1+x2=，x1·x2= ，
∴，∴k>．
∴k的取值范围为k>．
法二：∵抛物线y=2x2 kx 1与x轴两交点横坐标一个大于2，另一个小于2，
∴此函数的图象大致位置如答图所示．
由图象知：当x=2时，y<0．
即y=2×22 2k 1<0，∴k>．∴k的取值范围为k>．
(三)
9．解：(1)由题意，设A(x1，0)，B(x2，0)，C(0，n)
∵OA= x1，OB=x2，又CO⊥AB，CO2=AO·OB，即n2= x1x2．
又∵x1，x2是方程x2 mx+n=0的两根，
∴x1+x2=n，∴n2= n，∴n1= 1，n2=0(舍去) ，∴n= 1．
(2)∵x1，x2是方程x2 mx+n=0的两根，∴x1+x2=m．
又∵n= 1，∴x1x2= 1，
∴，∴m=2，
∴所求抛物线的关系式为y=x2 2x 1．
五、
10．解：(1)线段OA，OB的长度是关于x的一元二次方程x2 mx+2(m 3)=0 的两个根，
∴
又∵OA2+OB2=17，∴(OA+OB)2 2·OA·OB=17．③
把①，②代入③，得m2 4(m 3) =17，∴m2 4m 5=0．解之，得m= 1或m=5．
又知OA+OB=m>0，∴m= 1应舍去．
∴当m=5时，得方程：x2 5x+4=0，解之，得x=1或x=4．
∵BC>AC，∴OB>OA，∴OA=1，OB=4，
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CO⊥AB，
∴OC2=OA·OB=1×4=4．∴OC=2，∴C(0，2)
(2)∵OA=1，OB=4，C，E两点关于x轴对称，
∴A( 1，0)，B(4，0)，E(0， 2)．
设经过A，B，E三点的抛物线的关系式为
y=ax2+bx+c，则 ，解之，得
∴所求抛物线关系式为y=．
(3)存在．∵点E是抛物线与圆的交点．
∴Rt△ACB≌Rt△AEB，∴E(0， 2)符合条件．
∵圆心的坐标(，0 )在抛物线的对称轴上．
∴这个圆和这条抛物线均关于抛物线的对称轴对称．
∴点E关于抛物线对称轴的对称点E′也符合题意．
∴可求得E′(3， 2)．
∴抛物线上存在点P符合题意，它们的坐标是(0， 2)和(3， 2)
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