北京市第三十五中学2025-2026学年高二上学期期中测试数学试题（PDF版，无答案）

北京市第三十五中学 2025-2026 学年度第一学期 高二数学 期中测试
北京市第三十五中学 2025-2026 学年第一学期 期中测试
高二数学 2025.11
行政班 姓名 学号
试卷说明：试卷分值 150 ，考试时间 120 分钟.
I 卷
一．选择题（共 10 个小题，每题 5 分，共 50 分。每小题只有一个正确选项，请．选．择．正．
确．答．案．填．在．答．题．纸．相．应．的．题．号．处．）
1．已知空间向量 a 0, 2, 0 ， b (1, 0, 1) ，则 (a b )1 b = （ ）
A. 2 B. 1 C. 1 D. 2
2．已知直线 l 的一个方向向量为 1,1 ，则直线 l 的倾斜角为（ ）
A. 45 B.

90 C.

135 D.

150
3．若 2 2x y 4 x 2 y m 0 表示圆的方程，则 m 的取值范围是（ ）
A. ( , 5) B. , 5 C. 5, D. 5,
4．在三棱锥 S A B C 中，三条棱 SA，SB，SC 两两相互垂直， S A S B S C 2 ，则点
S 到平面 ABC 的距离为（ ）
3 2 3 4 3
A. B. C. 3 D.
3 3 3
6

5．在 2
2
x 的展开式中，常数项为（ ）
x
A. 15 B. 16 C. 180 D. 240
6．若直线 2 x y m 0 和直线 3x y 3 0 的交点在第二象限，则 m 的取值范围为
（ ）
A. ( , 3) B. (2, 3) C. (2, ) D. ( , 2) (3, )
7．甲、乙、丙、丁四名同学和一名老师站成一排合影留念. 若老师站在正中间，甲同学
不与老师相邻，乙同学与老师相邻，则不同站法种数为（ ）
A. 24 B. 12 C. 8 D. 6
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8．庑殿（图 1）是中国古代传统建筑中的一种屋顶形式，多用于宫殿、坛庙、重要门楼
等高级建筑上，庑殿的基本结构包括四个坡面，坡面相交处形成 5 根屋脊，故又称“四
阿殿”或“五脊殿”．图 2 是根据庑殿顶构造的多面体模型，底面 ABCD 是矩形，且四
个侧面与底面的夹角均相等，则（ ）
B C E F
A. A B B C E F B. A B E F C. A B B C D. A B 2 B C E F
2 2
9．已知 AC，BD 为圆 O： 2 2x y 4 的两条互相垂直的弦，且垂足为 M (1, 2 ) ，则四
边形 ABCD 面积的最大值为（ ）
A. 4 B. 5 C. 10 D. 15
2 2
10．设 P为函数 y 3 | x | 图象上的动点，Q 是圆C : ( x a ) ( y b ) 1（其中 a b 0 ）
上的动点，若 | P Q |最小值为 1，则以所有满足条件的圆心 C 为顶点的多边形面积为
（ ）
8 3 1 6 3
A. B. 4 3 C. D. 8 3
3 3
II 卷
二．填空题（共 5 个小题，每题 5 分，共 25 分，请．将．正．确．答．案．填．在．答．题．纸．相．应．题．号．处．）
11．若直线 x y 3 0 与 ax 2 y 1 0 垂直，则 a ______.
12．直线 被圆 2 2y x x y 4 x 0 所截得的弦长为______.
6 2 6
13．若 1 2 x a a x a x a x0 1 2 6 ，则 a ___3 ，a a a a a a a ___. 0 1 2 3 4 5 6
（用数字作答）
14．一个小岛周围有环岛暗礁区，分布在以小岛中心为圆心，半径为 2km 的圆形区域内.
已知陆上的港口位于小岛中心正北 3km 处，而轮船位于小岛中心的正西方向.在不触礁
的情况下，轮船从距小岛中心______ km 处出发，沿直线航行至港口的路程最短.
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15. 如图，四棱锥 S A B C D 中，底面是边长为 2 的正方形，△ S C D 是等边三角形，平面
S C D 平面 A B C D ， M , N , P 分别为棱 BC，CD，DA 的中点，Q 为△ S C D 及其内部的
动点，满足 P Q // 平面 A M S ，给出下列四个结论：
① 直线 SA 与平面 ABCD 所成角为 45 ；
2 7
② 二面角 S A B N 的余弦值为 ；
7
③ 点 Q 到平面 AMS 的距离为定值；
1
④ 线段 NQ 长度的取值范围是 ,1 .
2
其中所有正确结论的序号是______.
三．解答题（共 6 小题，共 85 分。请．将．正．确．答．案．及．过．程．填．在．答．题．纸．相．应．的．题．号．处．）
16. 已知直线 l 经过直线 3x 4 y 2 0 与直线 2 x y 2 0 的交点 P，且垂直于直线
x 2 y 1 0.
（1）求直线 l 的方程；
（2）求直线 l 与两坐标轴围成的三角形的面积 S .
17. 如图，在四棱锥 P A B C D 中，底面 ABCD 是正方形， PD AD ， P D 2 D C 4 ，
E 是棱 PA 的中点.
（1）求证： P C // 平面 BDE；
（2）从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，
求二面角 E B D A 的余弦值.
条件①： P D D C ； 条件②：平面 P A D 平面 ABCD.
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.
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2 2
18. 已知圆C : x y 2 x 4 y 3 0
（1）若直线 l 过点 ( 2, 0) 且被圆 C 截得的弦长为 2，求直线 l 的方程；
（2）从圆 C 外一点 P 向圆 C 引一条切线，切点为 M，O 为坐标原点，满足 | PM | | PO | ，
求点 P 的轨迹方程.
19. 如图 1，菱形 ABCD 中， A 60 ， A B 4 ，D E A B 于 E . 将△ AED 沿 DE 翻折
到△ A E D ，使 A E B E ，如图 2 .
（1）求证：平面 A ED 平面 BCDE；
（2）求直线 A E 与平面 A B C 所成角的正弦值；
D F
（3）设 F 为线段 A D 上一点，若 EF // 平面 A B C ，求 的值.
F A
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20. 已知△ A B C 的 AB 边所在直线的方程为 x 3 y 6 0 ，点 M 2, 0 为 B C 边的中点，
点T 1,1 在 AC 边所在直线上且满足 AT AB 0.
（1）求 AC 边所在直线的方程；
（2）求△ A B C 的外接圆的方程；
（3）若点 N 的坐标为 n , 0 ，其中 n 为正整数，试讨论在△ A B C 的外接圆上是否存在
点 P，使得 | PN | | PT | 成立？若存在，求出 n 的所有可能取值；若不存在，请说明理
由.
21. 材料：在空间直角坐标系中，经过点 P ( x , y , z ) ，法向量为 n (a , b , c )0 0 0 的平面的方
程为 a ( x x ) b ( y y ) c ( z z ) 0 ；经过点 P ( x , y , z ) 且方向向量 v ( A, B , C )0 0 0 0 0 0 的直
x x y y z z
线方程为 0 0 0 ( A B C 0) .
A B C
阅读上面材料，并解决下列问题：平面 的方程为 x y z 2 0 ，直线 l 的方程为
1 x
y 2 z .
2
（1）证明： l // 平面 ；
x 2
（2）已知点 P (1,1, t ) ，直线 l : y 1 z ，若点 P0 与直线 l 都在平面 上，求平0
2
面 与平面 所成角的余弦值的最大值；
（3）若集合 M {( x , y , z ) || x | | y | | z | 2}中所有的点构成了多面体 的各个面，请直
接写出 的体积.
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演算区域
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