3.1.1 函数的概念 教学设计

《函数的概念教学设计》
函数的发展在历史上经历了连续不断的过程，许多数学家都在前人的基础上不断完善函数的概念。函数在高中数学体系中无处不在，应用十分广泛，例如函数与方程，函数与数列等，故函数也被广泛的用来解决生活中的实际问题。函数的概念中，也体现出数学的统一美和简洁美，了解函数的由来，能让学生感受数学家坚持探究的精神，培养其数学情感。
1.教材分析
函数是高中数学课程的主线，贯穿在高中数学学习始终，并对其它相关理科学科有指导意义。本节内容起到了承上启下的过渡作用。本节课在初中函数定义的基础上，通过具体实例，了解构成函数的要素以及函数的表示方法，为高中数学的学习打下基础，加强用“数学语言表达世界”的训练，提升数学抽象的核心素养。
2.学情分析
初中阶段，学生已经学习过函数的概念，学生对函数已有一定认知基础。高中阶段，学生学习了集合的概念、表示、关系及运算，本节课正是基于学生这些已有认识的基础之上展开教学的。高一学生具备一定的抽象思维能力和归纳概括能力，但是，集合与对应关系语言下的函数概念是比较抽象的，因此应该注意引导学生思维，逐步抽象出函数定义及其定义域、对应关系、值域等概念。
3.教学目标
（1）通过给出的具体情境，能归纳出函数三要素及函数概念。
（2）能求出函数的其定义域、值域与对应关系。
（3）能理解对应关系的含义，体会“对应”观点下函数思想的本质。
4.教学重难点
重点：理解函数概念、求简单函数的定义域。
难点：对抽象符号的理解。
5.教学过程
问题1：某“复兴号”高速列车加速到后保持匀速运行半小时。
（1）这段时间内，列车行进的路程（单位：）与运行时间（单位：）的关系如何表示？这是一个函数吗？
（2）你认为应该如何刻画这个函数？
师生活动：
1、教师展示题干，学生用初中函数的定义来表述第一问。
2、教师要求学生写出自变量的集合以及和函数值的集合，思考如何表述对应关系。
【设计意图】
问题1以列车运行为实际背景，体现了数学与物理之间的联系。题目设置让学生复习初中所学的函数概念，引导学生关注自变量与函数值的变化范围，尝试用集合的语言来表述函数概念.
问题2：下图5-1是北京市2016年11月23日的空气质量指数(Air Quality Index简称AQI)变化图：
图5-1 北京空气质量指数变化图
（1）你能根据该图确定这一天内12：00的空气质量指数（AQI）的值吗？是否可以确定这一天内任一时刻的空气质量指数（AQI）的值？
（2）你认为这里的是的函数吗？如果是，尝试刻画这个函数。
师生活动：
教师呈现问题2，给学生适当时间阅读思考。
第（1）问中设置让学生体会用图像也可以实现对应关系，对于第（2）问，许多同学对于函数的理解停留在初中的解析式阶段，所以意识不到是函数，因此，教师要带领学生写出t和I变化范围的集合，讲述两个集合间的对应关系，得出是的函数。
【设计意图】
问题2体现了数学学科在环境监测中发挥的作用。学生对于用图像表示的函数在理解上，存在一定的困难。教师在讲解的时候，先使学生接受这种表达方式，然后强调函数概念中的对应关系的本质，使得学生理解是的函数。
问题3:国际上常用恩格尔系数r（r=食物支出金额/总支出金额）反映一个地区人民生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高，下表5-1是我国某省城镇居民恩格尔系数变化情况，从中可以看出，该省城镇居民的生活质量越来越高。
表5-1 某省城镇居民恩格尔系数变化表
年份y 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015
2015恩格尔系数r(%) 36.7 36.8 38.1 35.7 35.2 33.5 33.8 29.9 29.4 28.6
（1）根据表5-1，你认为恩格尔系数是年份的函数吗？
（2）如果是函数，你能按照上述例子的方式来刻画这个函数吗？
师生活动：
教师要求学生写出r和y的取值构成的两个集合，引导学生用自己的语言来叙述该函数。
【设计意图】
问题3将数学与社会经济学结合在了一起，让学生具体感受函数除了可以用解析式、图像表示，还可以用表格，进一步加深学生对于函数三要素的体会。
问题4：刚才展示的三个情境中的函数有哪些共同特征？
师生活动：
（1）教师在课堂上留出适当的时间，可以以小组为单位来得出函数的共同特征，从而初步建立起函数的概念。
（2）教师讲解函数表达方式是多种多样的，为了今后研究统一，引进来表示对应关系。
（3）教师给出函数的一般性定义，并在黑板上展示。
（4）教师解释函数的记号。
学生在面对新的函数概念时，往往对这个符号理解不透彻，函数的英文为“function”,本意是“作用”的意思。这一用法最早为数学家莱布尼茨所提出，随后，欧拉利用“function”的第一个字母“f”引进了符号，我国清朝数学家李善兰将其英文翻译为“函数”。在中文中，“函”指的是容器。以函数为例，我们可以形象地将其比喻为“函数机器”。
图5-2 函数语言图
图5-3 函数机器
【设计意图】
通过教师的引导，学生在已有的函数认知上，通过自主归纳，自主概括给出例题中的共同特征，体会数学概念建立的过程，加深学生对函数概念的理解。
问题4：
例1：判断下列关系是否是函数？如果是，请写出其定义域、值域，并分析其对应法则？
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例2：你能构建一个问题情境，使其中函数的对应关系为吗
例3：请大家阅读课本“函数的发展”，谈谈你有什么样的收获。
【设计意图】
（1）例1中给出的这个函数为19世纪德国数学家狄利克雷定义的一个函数。在此之前，数学家主要研究和计算的都是一些具体的函数，很少去思考抽象的函数。自从狄利克雷之后，数学家开始更加关注函数的性质，比如我们后面所要学习的函数的单调性，奇偶性等等。
例2设置的是一道开放式问题，引导学生去寻找生活中符合该函数关系的情境，让学生对函数的作用有更深一步的体会。
课本阅读材料中详细给出了函数的发展史，课堂上让学生阅读有助于学生对函数概念发展的了解。
课堂小结
问题5.想一想，说一说，通过本节课的学习你有哪些收获？
（1）分析本节课所学的函数概念与初中所学的函数概念有什么联系与区别？
（2）请你用自己的语言说出建立数学概念的过程。
6.教学反思
“函数的概念”这节课，对于刚上高一的学生来说是很抽象并且很难理解的一节课。学生对初中所学过的函数的定义已经出现了遗忘的现象，课堂上需要教师进行唤醒学生对函数的认识。其次，教学过程中需要通过三个实际案例，归纳出函数的共同特性，从而引出函数的定义，但是学生并不能很快找到三者之间的共同点，需要教师进行提醒。在揭示概念本质过程中，应当留给学生更多的时间自行去总结函数的定义，而不应该过快的给出标准的答案。学生对于函数概念中的“对应”二字理解并不透彻，课堂上应该多加例子帮助学生去理解。