正弦、余弦定理的应用
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正弦、余弦定理的应用导学案
一 自主学习：
1 ( http: / / www.21cnjy.com / )会在各种应用问题中，抽象或构造出三角形，标出已知量、未知量，确定解三角形的方法；2 ( http: / / www.21cnjy.com / )搞清利用解斜三角形可解决的各类应用问题的基本图形和基本等量关系；?
3 ( http: / / www.21cnjy.com / )理解各种应用问题中的有关名词、术语，如：坡度、俯角、仰角、方向角、方位角等；
4 ( http: / / www.21cnjy.com / )通过解三角形的应用的学习，提高解决实际问题的能力 ( http: / / www.21cnjy.com / )??
学习重点：实际问题向数学问题的转化及解斜三角形的方法 ( http: / / www.21cnjy.com / )
学习难点：实际问题向数学问题转化思路的确定 ( http: / / www.21cnjy.com / )
二 学法指导
解三角形的知识在测量、航海、几何、物理学等方面都有非常广泛的应用，如果我们抽去每个应用题中与生产生活实际所联系的外壳，就暴露出解三角形问题的本质，这就要提高分析问题和解决问题的能力及化实际问题为抽象的数学问题的能力 ( http: / / www.21cnjy.com / )
三 合作学习
1
2某渔船在航行中不幸遇险，发出求救信号，我海军舰艇在A处获悉后，立即测出该渔船在方位角为45°、距离A为10海里的C处，并测得渔船正沿方位角为105°的方向，以9海里／ｈ的速度向某小岛B靠拢，我海军舰艇立即以21海里／ｈ的速度前去营救，试问舰艇应按照怎样的航向前进 并求出靠近渔船所用的时间 ( http: / / www.21cnjy.com / )
分析：设舰艇从A处靠近渔船所用的时间为ｘ ｈ，则利用余弦定理建立方程来解决较好，因为如图中的∠1，∠2可以求出，而AC已知，BC、AB均可用ｘ表示，故可看成是一个已知两边夹角求第三边问题 ( http: / / www.21cnjy.com / )
?
设舰艇从A处靠近渔船所用的时间为ｘｈ，则AB＝21ｘ海里，BC＝9ｘ 海里，AC＝10 海里，∠ACB＝∠1＋∠2＝45°＋（180°－105°）＝120°，
根据余弦定理，可得?
AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos120°得
(21ｘ)2＝102＋（9ｘ）2－2×10×9ｘcos120°，
即36ｘ2－9ｘ2×10＝0
解得ｘ1＝，ｘ2＝－ (舍去)
∴AB＝21ｘ＝14，BC＝9ｘ＝6?
再由余弦定理可得?
cos∠BAC＝
∴∠BAC＝21°47′，45°＋21°47′＝66°47′ ( http: / / www.21cnjy.com / )?
所以舰艇方位角为66°47′，小时即40分钟 ( http: / / www.21cnjy.com / )?
答：舰艇应以66°47′的方位角方向航行，靠近渔船则需要40分钟 ( http: / / www.21cnjy.com / )?
评述：解好本题需明确“方位角”这一概念，方位角是指由正北方向顺时针旋转到目标方向线的水平角，其范围是（0°，360°） ( http: / / www.21cnjy.com / )?
在利用余弦定理建立方程求出ｘ后，所求舰艇方位角就转化为一个已知三边求角的问题，故仍然利余弦定理 ( http: / / www.21cnjy.com / )?
3:如图所示，已知半圆的直径AB＝2，点C在AB的延长线上，BC＝1，点P为半圆上的一个动点，以DC为边作等边△PCD，且点D与圆心O分别在PC的两侧，求四边形OPDC面积的最大值 ( http: / / www.21cnjy.com / )
分析：要求四边形OPDC面积的最大值，这首先需要建立一个面积函数，问题是选谁作为自变量，注意到动点P在半圆上运动与∠POB大小变化之间的联系，自然引入∠POB＝θ作为自变量建立函数关系 ( http: / / www.21cnjy.com / )四边形OPDC可以分成△OPC与等边△PDC，Ｓ△OPC可用·OP·OC·sinθ表示，而等边△PDC的面积关键在于边长求解，而边长PC可以在△POC中利用余弦定理表示，至于面积最值的获得，则通过三角函数知识解决 ( http: / / www.21cnjy.com / )
设∠POB＝θ，四边形面积为ｙ，则在△POC中，由余弦定理得：?
PC2＝OP2＋OC2－2OP·OCcosθ＝5－4cosθ?
∴ｙ＝Ｓ△OPC＋Ｓ△PCD＝＋(5－4cosθ)
＝2sin(θ－)＋
∴当θ－＝即θ＝时，ｙmax＝2＋ ( http: / / www.21cnjy.com / )
评述：本题中余弦定理为表示△PCD的面积，从而为表示四边形OPDC面积提供了可能，可见正、余弦定理不仅是解三角形的依据，一般地也是分析几何量之间关系的重要公式，要认识到这两个定理的重要性 ( http: / / www.21cnjy.com / )
另外，在求三角函数最值时，涉及到两角和正弦公式sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ的构造及逆用，应要求学生予以重视 ( http: / / www.21cnjy.com / )?
四 当堂检测
1在任一△ABC中求证：
2在△ABC中，已知，，B=45 求A、C及c
解一：由正弦定理
由正弦定理得：
∵B=45<90 即b当A=60时C=75
当A=120时C=15
解二：设c=x由余弦定理
将已知条件代入，整理：
解之：
当时
从而A=60 ，C=75
当时同理可求得：A=120 ，C=15
3 在△ABC中，BC=a, AC=b, a, b是方程的两个根，且
2cos(A+B)=1
求（1）角C的度数 （2）AB的长度 （3）△ABC的面积
1）cosC=cos[(A+B)]=cos(A+B)= ∴C=120
（2）由题设：
∴AB2=AC2+BC22AC BC osC
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" 即AB=
（3）S△ABC=
4 如图，在四边形ABCD中，已知ADCD, AD=10, AB=14, BDA=60, BCD=135 求BC的长
解：在△ABD中，设BD=x
则
即
整理得：
解之： （舍去）
由余弦定理：
∴
5 甲船自A港口出发时，乙船在离A港口7n mile的海面上由D处驶向A港。已知两船的船速之比为2：1，甲船航行方向与AD成角。当甲乙两船相距最近时，它们各离A港口多远？
B
C
D
A
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正弦、余弦定理的应用导学案
一 自主学习：
1 ( http: / / www.21cnjy.com / )会在各种应用问题中，抽象或构造出三角形，标出已知量、未知量，确定解三角形的方法；2 ( http: / / www.21cnjy.com / )搞清利用解斜三角形可解决的各类应用问题的基本图形和基本等量关系；?
3 ( http: / / www.21cnjy.com / )理解各种应用问题中的有关名词、术语，如：坡度、俯角、仰角、方向角、方位角等；
4 ( http: / / www.21cnjy.com / )通过解三角形的应用的学习，提高解决实际问题的能力 ( http: / / www.21cnjy.com / )??
学习重点：实际问题向数学问题的转化及解斜三角形的方法 ( http: / / www.21cnjy.com / )
学习难点：实际问题向数学问题转化思路的确定 ( http: / / www.21cnjy.com / )
二 学法指导
解三角形的知识在测量、航海、几何、物理学等方面都有非常广泛的应用，如果我们抽去每个应用题中与生产生活实际所联系的外壳，就暴露出解三角形问题的本质，这就要提高分析问题和解决问题的能力及化实际问题为抽象的数学问题的能力 ( http: / / www.21cnjy.com / )
三 合作学习
1
2某渔船在航行中不幸遇险，发出求救信号，我海军舰艇在A处获悉后，立即测出该渔船在方位角为45°、距离A为10海里的C处，并测得渔船正沿方位角为105°的方向，以9海里／ｈ的速度向某小岛B靠拢，我海军舰艇立即以21海里／ｈ的速度前去营救，试问舰艇应按照怎样的航向前进 并求出靠近渔船所用的时间 ( http: / / www.21cnjy.com / )
分析：设舰艇从A处靠近渔船所用的时间为ｘ ｈ，则利用余弦定理建立方程来解决较好，因为如图中的∠1，∠2可以求出，而AC已知，BC、AB均可用ｘ表示，故可看成是一个已知两边夹角求第三边问题 ( http: / / www.21cnjy.com / )
?
设舰艇从A处靠近渔船所用的时间为ｘｈ，则AB＝21ｘ海里，BC＝9ｘ 海里，AC＝10 海里，∠ACB＝∠1＋∠2＝45°＋（180°－105°）＝120°，
根据余弦定理，可得?
AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos120°得
(21ｘ)2＝102＋（9ｘ）2－2×10×9ｘcos120°，
即36ｘ2－9ｘ2×10＝0
解得ｘ1＝，ｘ2＝－ (舍去)
∴AB＝21ｘ＝14，BC＝9ｘ＝6?
再由余弦定理可得?
cos∠BAC＝
∴∠BAC＝21°47′，45°＋21°47′＝66°47′ ( http: / / www.21cnjy.com / )?
所以舰艇方位角为66°47′，小时即40分钟 ( http: / / www.21cnjy.com / )?
答：舰艇应以66°47′的方位角方向航行，靠近渔船则需要40分钟 ( http: / / www.21cnjy.com / )?
评述：解好本题需明确“方位角”这一概念，方位角是指由正北方向顺时针旋转到目标方向线的水平角，其范围是（0°，360°） ( http: / / www.21cnjy.com / )?
在利用余弦定理建立方程求出ｘ后，所求舰艇方位角就转化为一个已知三边求角的问题，故仍然利余弦定理 ( http: / / www.21cnjy.com / )?
3:如图所示，已知半圆的直径AB＝2，点C在AB的延长线上，BC＝1，点P为半圆上的一个动点，以DC为边作等边△PCD，且点D与圆心O分别在PC的两侧，求四边形OPDC面积的最大值 ( http: / / www.21cnjy.com / )
分析：要求四边形OPDC面积的最大值，这首先需要建立一个面积函数，问题是选谁作为自变量，注意到动点P在半圆上运动与∠POB大小变化之间的联系，自然引入∠POB＝θ作为自变量建立函数关系 ( http: / / www.21cnjy.com / )四边形OPDC可以分成△OPC与等边△PDC，Ｓ△OPC可用·OP·OC·sinθ表示，而等边△PDC的面积关键在于边长求解，而边长PC可以在△POC中利用余弦定理表示，至于面积最值的获得，则通过三角函数知识解决 ( http: / / www.21cnjy.com / )
设∠POB＝θ，四边形面积为ｙ，则在△POC中，由余弦定理得：?
PC2＝OP2＋OC2－2OP·OCcosθ＝5－4cosθ?
∴ｙ＝Ｓ△OPC＋Ｓ△PCD＝＋(5－4cosθ)
＝2sin(θ－)＋
∴当θ－＝即θ＝时，ｙmax＝2＋ ( http: / / www.21cnjy.com / )
评述：本题中余弦定理为表示△PCD的面积，从而为表示四边形OPDC面积提供了可能，可见正、余弦定理不仅是解三角形的依据，一般地也是分析几何量之间关系的重要公式，要认识到这两个定理的重要性 ( http: / / www.21cnjy.com / )
另外，在求三角函数最值时，涉及到两角和正弦公式sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ的构造及逆用，应要求学生予以重视 ( http: / / www.21cnjy.com / )?
四 当堂检测
1在任一△ABC中求证：
2在△ABC中，已知，，B=45 求A、C及c
解一：由正弦定理
由正弦定理得：
∵B=45<90 即b当A=60时C=75
当A=120时C=15
解二：设c=x由余弦定理
将已知条件代入，整理：
解之：
当时
从而A=60 ，C=75
当时同理可求得：A=120 ，C=15
3 在△ABC中，BC=a, AC=b, a, b是方程的两个根，且
2cos(A+B)=1
求（1）角C的度数 （2）AB的长度 （3）△ABC的面积
1）cosC=cos[(A+B)]=cos(A+B)= ∴C=120
（2）由题设：
∴AB2=AC2+BC22AC BC osC
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" 即AB=
（3）S△ABC=
4 如图，在四边形ABCD中，已知ADCD, AD=10, AB=14, BDA=60, BCD=135 求BC的长
解：在△ABD中，设BD=x
则
即
整理得：
解之： （舍去）
由余弦定理：
∴
5 甲船自A港口出发时，乙船在离A港口7n mile的海面上由D处驶向A港。已知两船的船速之比为2：1，甲船航行方向与AD成角。当甲乙两船相距最近时，它们各离A港口多远？
B
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A
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