7.1.1 数系的扩充和复数的概念 教学设计

《数系的扩充和复数的概念》教学设计
1 教材分析
教材从求解一元二次方程入手,引出数系的扩充,并进一步介绍复数的相关概念. 本节内容不仅是对已有数系的一次扩充,还为后续学习《复数的几何意义》和《复数的四则运算》奠定了基础,具有承前启后的作用,同时也是本章的重点内容.但是教材中关于数学史的内容仅提到了虚数单位是由数学家欧拉引入的,取自的词头,未能充分展现复数产生的历史背景，数学家的探索过程以及数学符号的抽象化演变.
2 学情分析
高一阶段的学生求知欲强烈,抽象思维能力和逻辑推理能力正在快速发展,具备一定的观察、分析和解决数学问题的能力.在知识储备方面,他们已经完成了从自然数集到实数集的认知建构,同时能够熟练求解一元二次方程的实数解,这为数系的扩充和复数的引入提供了认知基础.但需要关注的是,他们可能缺乏从历史发展的角度理解数系的扩充过程,同时对负数开平方问题和复数的表示形式存在理解障碍.由于学生对数学史普遍抱有浓厚兴趣,教师可结合复数的发展历程,帮助学生突破认知难点.
3 课标分析
《普通高中数学课程标准(2017年版2020年修订)》对本节课的要求是:学生应通过方程求解来认识复数,理解引入复数的必要性,了解数系的扩充.同时,学生还需掌握复数的代数表示,理解两个复数相等的含义.此外,它建议教师可以适当融入数学文化,使学生体会数系扩充过程中理性思维的作用.特别地,数学史作为数学文化的重要载体,教师通过呈现数系扩充和复数发展过程的数学史,学生能够感受人类突破认知局限的创造性思维过程,这对培养学生的数学学科核心素养具有独特意义.
4 教学目标
(1)知识目标:理解数系扩充的历史背景和复数的产生必要性,掌握复数的概念,能够准确区分复数的实部和虚部,并能根据定义对复数进行分类以及总结复数相等的条件.
(2)能力目标:通过归纳复数概念、分类及其相等条件,增强数学语言表达能力.
(3)素养目标:通过探讨数系扩充的原则,经历复数概念、分类及其相等条件的探索过程,培养逻辑推理、数学抽象和数学运算素养.
(4)情感目标:通过了解复数的发展史及其在社会生活中的应用,拓宽数学视野,感受数学与社会生活的密切联系.
(5)思政目标:结合复数发展的曲折历程,培养迎难而上、追求真理的精神以及辩证思维能力;通过了解复数对现代科技的贡献,增强科技报国的使命感与社会责任感.
5 教学重难点
教学重点是教师通过引导学生经历数系的扩充过程和复数的发展过程,帮助学生掌握复数的概念,理解复数的分类及其相等的含义.
教学难点是学生通过小组合作讨论数系扩充的原则,在此基础上探究复数的概念.
6 教学方法
为有效突破本节课的教学重难点,教学将按照历史脉络展开.首先从丢番图、卡丹等数学家对虚数的质疑切入,接着引导学生分析邦贝利对虚数的探讨过程,继而讲解笛卡尔正式提出“虚数”和欧拉引入虚数单位关键贡献.在此基础上,通过讲解数系的扩充过程,引导学生讨论数系扩充的规律、复数的概念、复数相等的含义及其分类,然后针对教学重难点设计变式训练.最后介绍复数在社会生活中的应用.
7 教学过程
7.1 引入概念:以数学史为引,创设问题情境
师:展示问题情境1:在公元1世纪,希腊数学家海伦在《立体测量学》中讨论了“平顶金字塔不可能问题”:已知一个正棱台的下底面是边长为的正方形,上底面是边长为的正方形,从上到下的侧棱长度是,则可以求出这个正棱台的高.
.
由学生计算:当,,时,的值.
生:,但是根号下的数应.
师:但是海伦在书中记录的结果是,我们无法确定他是故意忽略了这个奇怪的结果,还是只是记录错了.后来,许多数学家都遇到了负数开平方根的情况.
展示问题情境2:在公元3世纪,古希腊数学家丢番图在其著作《算术》求解一元二次方程时,认为该方程无解.提出问题:大家认同丢番图的想法吗
生:认同,因为该一元二次方程的.
师:展示问题情境3:16世纪,意大利数学家卡丹在其著作《重要的艺术》中提出了“分十问题”:把10拆分成两个数的和,使这两个数的乘积为40.提出问题:请大家求出这两个数.
生:设这两个数为,.
由题意知,
即.
移项得,.
由于,所以这两个数不存在.
师:但是卡丹求得这两个数为,由学生验证这两个数是否满足条件.
生:这两个数满足条件,但是负数不能开平方.
师:卡丹和我们的想法一样,也接受不了这两个数,但还是在书中记录了下来.
展示问题情境4: 27年后,意大利数学家邦贝利对一元三次方程进行了讨论.提出问题:大家能不能求出该一元三次方程的根
生:不能.
师:给出意大利数学家塔尔塔利亚提出的一元三次方程的求根公式:
.
由学生求解的根.
生:求出.
师:提出问题:我们又遇到了负数开平方根,那该如何验证该方程的根是存在的呢
生:看的图象与轴是否有交点.
师:的图象如图3.1所示.
图3.1 的函数图象
生:该方程有三个实数根.
师:提出问题:与该一元三次方程的实数根之间具有怎样的关系呢
[设计意图]:通过复制式引入海伦的“平顶金字塔不可能问题”、丢番图的一元二次方程求根问题、卡丹的“分十问题”,顺应式引入邦贝利的一元三次方程求根问题,使学生意识到“负数开平方根”问题的存在,激发学生的求知欲望.
7.2 建构概念:回溯历史轨迹,重塑概念初貌
师:指出邦贝利求得该方程的3个实根为,由学生验证邦贝利的发现.
生:3个实根满足方程.
师:引导学生经历邦贝利的探索过程:
令
,.
则
.
解得
.
由于
.
即
.
解得.
因此
.
在此过程中,邦贝利将写为.由此可以看出,负数开平方根的数都含有.
1637年,法国数学家笛卡尔认为负数开平方根的数是不真实的,将其称为“虚数”.1777年,瑞士数学家欧拉引入虚数单位,它取自的词头,并令,即.
[设计意图]:通过重构邦贝利的探索过程,引导学生发现任何负数开平方的结果均可表示为含有的数,结合数学家笛卡尔和欧拉的贡献,能够促进学生对的深入理解.此教学过程有助于培养学生的逻辑推理能力和数学抽象核心素养.
7.3 理解概念:深挖数学史,剖析概念本质
师:提出虚数与我们之前所接触的数完全不同,引导学生从社会发展和方程求解两个角度回顾数系的扩充过程(图3.2).
图3.2 数系的扩充过程
引导学生以小组为单位,从运算的角度讨论数系扩充的一般原则.
生:负数的引入增加了自然数集中的减法运算,分数的引入使整数集中增加了除法运算,无理数的引入增加了理数集中的开方运算.
师:引导学生总结数系扩充的原则:有新的数产生;在满足原有数集运算方式及其运算律的基础上,增加新的运算方式.提出问题:我们该如何解决负数开平方根的问题
生:引入新数.
师:本节课,我们引入了虚数以及虚数单位,请大家根据数系扩充的原则,看看会出现哪种类型的数
生:.
师:1813年,德国数学家高斯将实数与虚数的复合称为复数,引导学生总结复数的概念.
生:把形如的数叫做复数,其中叫做虚数单位.
师:指出复数的这种表示形式是由高斯提出来的.通常用字母表示复数,即,其中与分别叫做复数的实部与虚部.在此基础上,引导学生归纳复数集的概念:全体复数构成的集合叫做复数集.
提出问题:在复数集中任取两数它们在什么情况下相等
生:与相等当且仅当.
师:提出问题:复数与实数、虚数之间具有怎样的关系
生:对于复数,当且仅当时,它是实数;当且仅当时,它是实数;当时,它是虚数.
师:当且时,它叫做纯虚数.由学生对复数进行分类,并用图表示复数集、实数集、纯虚数集之间的关系.
生:
图3.3 复数的分类
图3.4 图
师:由此可以看出实数集与复数集之间具有怎样的关系
生:实数集是复数集的真子集,即.
[设计意图]:该环节通过顺应式融入数系的扩充过程,引导学生基于数系扩充原则探索复数的表示形式,能够帮助学生深刻理解复数概念的本质;通过引导学生对复数进行分类,可以使学生厘清复数集与其他数集之间的关系.
7.4 应用概念:依托历史名题,构建知识体系
师:展示例题.
例1 求卡丹“分十问题”中的两个数.
师:卡丹当时是这样求解的:将10平分得到5,然后将其平方得到25,接着减去40结果为,最后给分别5加上和减去的平方根,得到两个数:.
例2 当分别取什么值时,复数为实数、虚数、纯虚数
生:自主完成例题.
师:在学生完成后进行讲解,并强调易错点.
生:完善解题过程.
师:由学生总结本节课所学内容.
生:
图3.5 思维导图
[设计意图]:在例题讲解中融入数学家的解题方法,有助于拓展学生的数学思维.通过例题练习和课堂小结,能够帮助学生巩固本节课所学内容,进而构建完整的知识体系,同时有助于培养学生的数学运算核心素养.
7.5 课外拓展:探寻概念应用,领略数学价值
师:本节课我们深入了解了复数的发展历程,感受到了数学家们在探索过程中所展现的坚韧不拔的精神.如今,复数被应用于家庭用电的电路设计、信号处理、医学影像技术、精确定位以及确保自动驾驶汽车、工业机器人稳定运行的系统分析等方面.特别是芯片设计等“卡脖子”技术领域,复数知识是不可或缺的基础知识.希望大家能够以数学家们为榜样,在面对困难时保持迎难而上的勇气,扎实掌握数学基础知识,为推动国家科技发展贡献自己的力量.
[设计意图]:通过附加式引入复数的应用,使学生感受数学与生活的密切联系,激发学生的探索欲,并增强学生的社会责任感.
8 教学反思
本节课融入数学史可以让学生经历复数从质疑到接受的曲折过程,深切感受数学家的思维方式和追求真理的精神.这一过程能够促进学生对复数相关知识的理解以及提高学生的数学抽象与逻辑推理核心素养.通过介绍复数的应用,可以使学生感受数学的应用价值,进而促使学生更加积极主动地学习.