2025-2026学年沪教版八年级数学上册第一次月考测试卷（第19-20章）（含答案）

2025-2026学年八年级数学上册第一次月考测试卷（第19-20章）
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，共24分.）
1．下列说法中，正确的是（ ）
A．有理数是有限小数 B．无限小数都是无理数
C．无理数可以写成分数的形式 D．无理数是无限不循环小数
2．下列各式正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．近年来我国芯片技术突飞猛进，某品牌手机自主研发的最新型号芯片，其晶体管栅极的宽度为米，将数据“”用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
4．下列根式中，是最简二次根式的是（ ）
A． B．
C． D．
5．实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（　　）
A．0 B． C． D．
6．如下表，被开方数a和它的算术平方根的小数点位置移动符合一定的规律，根据规律可得m，n的值分别为（ ）
a 0.0625 0.625 6.25 62.5 625 6250 62500 625000
0.25 0.791 m n 25 79.1 250 791
， B．，
C．， D．，
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，共48分.）
7．二次根式有意义的条件是： ．
8．比较大小： （请填写“>”、“<”或“=”）．
9． ．
10．已知 的算术平方根是，则的立方根是 ．
11．化简： ．
12．若的整数部分是，小数部分为，则 ．
13．已知是整数，则满足条件的最小正整数n为 ．
14．已知与互为相反数，则b的值为 ．
15．如图，分别把两个面积为的小正方形沿一条对角线裁成4个小三角形，将4个小三角形拼成一个大正方形，那么大正方形的边长是 ．

16．将和化成分数： ．和 ．
17．如图，数轴上依次有、、三点，点为线段的中点，若点、分别表示实数和，则点表示的实数是 ．
18．设，其中为正整数，则的值为 ．
三、解答题：（本大题共10题，共78分.）
19．把下列各数填入相应的集合内（填序号）：
①，②，③，④，⑤，⑥0，⑦，⑧，⑨…（每相邻两个1之间0的个数逐次加）
(1)无理数集合{ …}；
(2)分数集合{ …}；
(3)负实数集合{ …}．
20．计算∶．
21．计算：
(1)． (2)．
22．将下列式子化成最简二次根式：
(1)；
(2)；
(3)．
23．已知甲正方体纸盒的底面积为，乙正方体纸盒的体积比甲正方体纸盒的体积大，丙正方体纸盒的体积是乙正方体纸盒体积的．
(1)求乙正方体纸盒的体积．
(2)求丙正方体纸盒的棱长．
24．求代数式的值，其中，如图是小亮和小芳的解答过程：

(1)__________的解法是错误的；
(2)求代数式的值，其中．
25．已知：，，，，，根据上面的计算结果，回答下列问题：
(1)______；若，______；
(2)若a，b，c为三角形三边长，化简：．
26．如图1，把两个边长为1的小正方形沿对角线剪开，所得的4个直角三角形拼成一个面积为2的大正方形．由此得到了一种能在数轴上画出无理数对应点的方法．
（1）图2中A、B两点表示的数分别为___________，____________；
（2）请你参照上面的方法：
①把图3中的长方形进行剪裁，并拼成一个大正方形．在图3中画出裁剪线，并在图4的正方形网格中画出拼成的大正方形，该正方形的边长___________．（注：小正方形边长都为1，拼接不重叠也无空隙）
②在①的基础上，参照图2的画法，在数轴上分别用点M、N表示数a以及．（图中标出必要线段的长）
27．在数学课本中，运用反证法说明“是一个无理数”，请模仿这种方法，说明是无理数．
阅读材料：
“无理数”的由来
为什么不可能是一个有理数？现在我们用代数方法来解答这个问题．
假设是一个有理数，那么可以得到，其中a、b是整数且a、b互素且，这时，就有：，
于是，则a是2的倍数．
再设，其中m是整数，就有：，
也就是：，
所以b也是2的倍数，可见a、b不是互素数，与前面所假设的a与b互素相矛盾，因此不可能是一个有理数．
解：假设是一个有理数．
则（a、b是整数且a、b互素且），
则，
两边同时平方得：_____________，
所以：，可得：，
所以：______________，
因为：______________，
所以：是一个无理数．
28．经研究发现：，由于30没有大于1的平方约数，因此为有理数的条件是正整数（其中t为正整数）．
(1)若正整数a使得，则a的值为_________．
(2)已知a、b、c是正整数，满足．当时，称为“三元数组”．
①若为“三元数组”，且，则________；
②若为“三元数组”，且，则________，________；
③“三元数组”共有_________个．
参考答案
一、选择题
1．D
【详解】A、有理数是整数和分数，故本选项错误，不符合题意；
B、无限不循环小数是无理数，故本选项错误，不符合题意；
C、无理数不可以写成分数的形式，故本选项错误，不符合题意；
D、无理数是无限不循环小数，故本选项正确，符合题意；
故选：D
2．B
【详解】解：、，该选项计算错误，不合题意；
、，该选项计算正确，符合题意；
、，该选项计算错误，不合题意；
、，该选项计算错误，不合题意；
故选：．
3．B
【详解】解：．
故选：B．
4．B
【详解】解：．，故该选项不符合题意；
．是最简二次根式，故该选项符合题意；
．，故该选项不符合题意；
．，故该选项不符合题意；
故选：B．
5．B
由数轴得，继而得出，再根据二次根式的性质化简即可．
【详解】解：由数轴得，
∴，
∴
，
故选：B．
6．B
【详解】解：由题意得：从0.0625开始，小数点每向右移动两位，对应算术平方根扩大10倍，
从0.625开始，小数点每向右移动两位，对应算术平方根扩大10倍，
∴可得：6.25的算术平方根为2.5,62.5的算术平方根约为7.91，
故选B．
二、填空题
7．二
【详解】解：根据题意可得：，
解得：，
故答案为：．
8．
【详解】解：，，
∵，
∴，
故答案为：．
9．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
10．4
【详解】解：已知 的算术平方根是，
∴，
解得，，
∴，
∴的立方根为，
故答案为：4 ．
11．
【详解】解：，且，
，
．
12．
【详解】∵
∴
∴，
∴
故答案为：．
13．5
【详解】解：∵，且是整数，
∴是整数，
∴是一个平方数，
∴最小正整数n为5；
故答案为：5
14．
【详解】解：∵与互为相反数，
∴，
∴．
故答案为：．
15．
【详解】解：把两个面积为的小正方形拼成一个大正方形，
大正方形的面积为，
大正方形的边长是，即，
故答案为：．
16．
【详解】解：，
，
故答案为：，．
17．
【详解】解：∵点为线段的中点，，
∴，
∴对应的数是，
故答案为：．
18．
【详解】解：，，
……
，
．
故答案为：．
三、解答题
19．（1）由题知，，
∴无理数集合{②，③，⑦，⑨…}；
（2）分数集合{①，④，⑧…}；
（3）负实数集合{①，②，⑦，⑧…}．
20．解：
21．（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
22．（1）

；
（2）
；
（3）
．
23．（1）解：∵甲正方体纸盒的底面积为，
∴甲正方体纸盒的边长为，
∴甲正方体纸盒的体积为：，
∵乙正方体纸盒的体积比甲正方体纸盒的体积大，
∴乙正方体纸盒的体积为．
（2）解：∵丙正方体纸盒的体积是乙正方体纸盒体积的，
∴丙正方体的体积为：，
∴丙正方体纸盒的棱长为．
24．（1）解：∵当时，，
∴，
∴小亮的计算错误，小芳的计算正确；
（2）解：
，
当时，，
∴原式．
25．（1）解：，
；
当时，，
∴；
故答案为：，；
（2）解：∵a，b，c为三角形三边长，
∴，，，
，，，
原式
．
26．（1）由图1知，小正方形的对角线长是，
∴图2中点A表示的数是，点B表示的数是，
故答案是：，；
（2）①长方形的面积是5，拼成的正方形的面积也应该是5，
∴正方形的边长是，
如图所示：
故答案是：；
②如图所示：
27．假设是一个有理数．
则（a、b是整数且a、b互素且），
则，
两边同时平方得：，
所以：，可得：，
所以：，
因为：为有理数，必为有理数，而为无理数，与前面所设矛盾，
所以：是一个无理数．
28．（1）解：∵，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）①∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：270，
②∵，
∴，
∴，
设，（，为正整数而且），
∴，即，
∵，
∴，，
∴，，
∴，；
故答案为：120，1080；
③设，，（，，为正整数而且），
∵，
∴，
∴，
又∵
∴，，
当时，，此时，，
当，∴，∴，
当时，同②，，，；
当时，，，，；
综上所述：“三元数组”共有3个．
故答案为：3.