（单元提升培优）第8单元 数学广角-数与形 专项02 填空题-2025-2026学年六年级数学上册单元提升培优精练人教版（含答案解析）
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| 名称 | （单元提升培优）第8单元 数学广角-数与形 专项02 填空题-2025-2026学年六年级数学上册单元提升培优精练人教版（含答案解析） |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.8MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-11-16 00:00:00 | ||
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文档简介
/ 让学习更有效 新课备课备考 | 数学学科
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2025-2026学年六年级数学上册单元提升培优精练人教版
第8单元 数学广角-数与形 专项02 填空题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
1．探索规律。
将小棒按如下方式摆放。
(1)摆1个八边形需要8根小棒，摆2个八边形需要( )根小棒，摆3个八边形需要( )根小棒。
(2)摆n个八边形需要( )根小棒。
2．观察图，用数和式表示图中棋子数。
照这样画下去，第6组图形中，黑棋数用算式表示为( )，有( )个；第8组图形中，总棋数用算式表示为( )，有( )个。
3．杨辉三角是中国古代数学的杰出研究成果之一，它把组合数内在的一些性质直观地从图形中体现出来，是一种数与形的结合，如图，第4行第2个数是3，第7行第4个数是( )。
4．我国著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事非。”如图：在一个边长为1的正方形纸板上，依次贴上面积为的矩形彩色纸片，请你用“数形结合”的思想，依据数形变化的规律，计算：。
5．生活中，人们经常会把同样大小的圆柱形物体捆成一排（横截面如下图）。如果每个圆柱的直径是6厘米，粘贴处的胶带长度不计，捆3个需要胶带( )厘米，捆n个需要( )厘米。（π取3）
6．如图，找规律，算一算，一个小正方体的表面积是( )平方厘米。
7．观察下列等式：31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，36＝729，37＝2187，…，根据上述算式中的规律，你认为的末位数字是 。
8．用小棒摆正六边形（如图），摆5个正六边形需要( )根小棒，摆23个正六边形需要( )根小棒。
9．如图：摆一个正方形需要4根小棒，摆2个需要7根小棒，摆5个需要( )根小棒，摆n个需要( )根小棒。
10．如图，用黑白两种颜色的正方形纸片，按黑色纸片逐渐加1的规律拼成如图图案。按照这样的规律，如果一个图案白色纸片有70张，那么这个图案中有黑色纸片( )张。
11．丽丽用小棒拼正六边形，按这样的规律拼下去，拼4个正六边形需要 根小棒，拼个正六边形需要 根小棒。
12．将黑、白棋子按一层白、一层黑、一层白、一层黑……排成正三角形的形状，如图：当这样的一个正三角形中黑棋子比白棋子多5颗时，这个正三角形一共排了( )层，排成这个正三角形一共用了( )颗棋子。
13．如图，用大小相同的正方体木块搭模型，按照这样的规律，第4个模型需要 个正方体木块；第n个模型需要 个正方体水块。
14．在以下数列：……中位于第 项。
15．有许多等式：
；
；
；
…
那么第10个等式的和是 。
16．找规律。
1，，，…第n个数是( )。
17．如果n是一个自然数，那么n的“双阶乘”记为n！！，其表示从2到n的所有偶数的积，例如：3！！＝2.4！！＝2×4.9！！＝2×4×6×8，那么2！！＋3！！＋4！！＋……2024！！的末尾数字为 。
18．“数缺形时少直观，形缺数时难入微”。这是我国著名数学家华罗庚的名言。数和形是数学中最主要的两个研究对象，数形结合是数学学习中的一个重要的数学思想，请仔细观察下面几幅图形，思考并回答问题：
(1)由图形 可以证明公式：成立；
(2)由图形 可以证明公式：成立；
(3)由图形 可以证明公式：成立。
19．用围棋中的黑子和白子在棋盘上依次摆出了以下的图形。
按照这样的规律，当白棋有n枚时，黑子有( )枚；当一共用了35枚棋子时，白子有( )枚。
20．如图，按这样的规律摆下去，第8个图形有( )个●，第n个图形有( )个●。
21．生活中，人们经常会把同样大小的圆柱形物体捆成一排（横截面如下图）。如果每个圆柱的直径是6厘米，打结处的绳子长度不计。捆3个要( )厘米，捆n个需要( )厘米。（π取3）
22．用小棒摆成一组有规律的图案如下图所示，第1个图案需要4根小棒，第2个图案需要10根小棒……按此规律摆下去，第7个图案需要( )根小棒，第n个图案需要( )根小棒。
23．（如图）用长度相等的火柴棒按照图中的方式拼摆正方形，第4幅图需要 根火柴棒，第n幅图需要 根火柴棒。
24．用小棒按照下列的规律摆图形，第1个图形需要7根小棒，那么第4个图形需要( )根小棒，第n个图形需要( )根小棒。
25．下图中，在A城市和B城市间，增加1个站点，需要增加2种单程票；增加2个站点，需要增加5种单程票。照此规律，增加3个站点，需要增加( )种单程票；增加5个站点需要增加( )种单程票。
26．用白色和黑色圆形按照下面的方法摆图形。
按照这样的方法摆下去，第5个图形中，共有( )个圆形；当某一个图形中有10个黑色的圆形时，那么这个图形中白色的圆形有( )个。
27．用小棒摆三角形（如下图），照这样摆5个三角形要用( )根小棒，摆n个三角形需要用( )根小棒。
28．同学们用小棒玩游戏，如图：搭第一个图形要8根小棒，搭第二个图形要15根小棒，照这样的方法，搭第6个图形要( )根小棒，搭第n个图形要( )根小棒。
29．如图，小明用小棒搭房子，搭7间房子要用( )根小棒，搭n间房子需要( )根小棒。
30．画直线把一个圆分成尽可能多的块数（如图）请仔细观察，找出其中的规律。按照你发现的规律，6条直线最多能把圆分成( )块。
31．老师制作教具，如图①所示，搭一个长方体框架用了12根小棒。如果搭如图②所示的2个长方体框架，需要( )根小棒。如果像这样搭n个长方体框架，需要( )根小棒。
32．如图所示，用小木棒摆正方形。
按这样的规律，摆8个正方形需要小木棒( )根，摆n个正方形需要小木棒( )根。（用含字母“n”的式子表示）
33．如图，下面每个三角形都是由若干个小三角形组成的。按照这样的规律，摆第5个图形需要( )个小三角形。
34．将一些五角星如下图摆放，照这样的规律继续摆下去，第7幅图中共有( )颗五角星，第n幅图中共有( )颗五角星。
35．把数和形结合起来思考，是数学学习经常使用的方法。认真观察如图所示的点阵图，按这样的规律，第6幅图一共有( )个圆点，第n幅图一共有( )个圆点。
36．观察下面的点阵图形规律，第8个图形中有( )个点，第n个图形中有( )个点。
37．用小棒按下图方式搭图形，第6个图形需要( )根小棒，第n个图形需要( )根小棒。
38．如图，下列图案均是长度相同的火柴按一定的规律拼搭而成：第1个图案中有两个正方形，第2个图案中有4个正方形，…，依此规律，第10个图案中有( )个正方形。
39．如图，每个图形都是用边长1cm的小正方形纸片摆出来的，照这样摆下去，第4个图形用了( )个小正方形纸片，第4个图形的周长是( )cm。
40．如图，像这样有规律地排列，摆第8个图形需要( )根小棒。
41．古希腊毕达哥拉斯学派把1、3、6、10…这样的数称为“三角形数”，把1、4、9、16…这样的数称为“正方形数”。从图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”可以看作两个相邻“三角形数”之和，比如4＝1＋3，9＝3＋6…那么49＝( )＋( )。
42．如图，3个杯子叠起来高16cm，5个杯子叠起来高22cm。照这样计算，( )个杯子叠起来高31cm，n个杯子叠起来的高度是( )cm。
43．如图由同样大小的圆按一定规律排列所组成，其中第1个图形中有4个圆，第2个图形中有8个圆，第3个图形中有14个圆，第4个图形中有22个圆……，按此规律排列下去，第30个图形有 个圆。
44．如图是用小棒拼摆的3个不同的图形，按照这个规律，第五个图形需要( )根小棒，第n个图形需要( )根小棒。
45．果果用□和两种小正方形，在如图表格中按规律摆正方形。果果发现在他摆出的正方形中，□比多8个，这个正方形中□摆了 个，摆了 个。
46．小亮按下面的摆法摆六边形。摆1个六边形用6根小棒（如图①），摆2个六边形用了11根小棒（如图②）……
按照这个摆法，摆4个六边形要用( )根小棒，摆n个六边形要用( )根小棒，用36根小棒能摆出( )个六边形。
47．苗族千人长桌宴是苗族宴席的最高形式与隆重礼仪，已有几千年的历史。通常用于接亲嫁女、满月酒以及村寨联谊宴饮活动。在设定座位时如下图设计，认真观察，完成后面的问题。
(1)按照上图所示规律，安排5张桌子最多可以坐 人。
(2)如果有42人，需要安排 张桌子。
48．下面每个正方体的棱长是。
表面积： ( ) ( )
49．古希腊的毕达哥拉斯喜欢用小石子摆数，他发现当小石子的数量是1、3、6、10…这些数时，都能摆成正三角形，于是把这样的数称为“三角形数”。如下图，第10个三角形数是( )，第100个三角形数是( )。
50．按如图规律铺黑白砖，第49幅图形中有( )块黑瓷砖。
51．如图，1张桌子可坐4人，2张桌子拼起来可坐6人，3张桌子拼起来可坐8人。像这样10张桌子可坐( )人，( )张桌子拼起来可坐38人。
52．按下面图形的排列规律，摆到第9个图形共需要小三角形个数是( )个。
53．小棒摆摆乐！用小棒按照一定的规律摆八边形：
(1)如果摆成7个八边形，需要( )根小棒，29根小棒可以摆成( )个八边形。
(2)如果要摆成n个八边形，需要( )根小棒。
54．用边长是1厘米的正方形分别摆出如图的图形。按照规律，第5个图形的周长是( )厘米。
55．用黑白两种颜色的正方形纸片按规律拼图案（如下图）。第6个图案中黑色正方形纸片有( )张，第n个图案中黑色正方形纸片有( )张。
56．下面图形都是由面积为1的正方形组成的，观察图形的变化规律，第⑥个图形中正方形的数量是( )个。
……
57．用白色和黑色的小正方形按照下面的方法摆图形。按照这样的方法继续摆下去，第4个图形中，黑色小正方形有( )个；第个图形中，黑色小正方形有( )个。
58．如借助下图，可以将算式＝ ＝ （横线上填算式转化过程和结果）。
59．如图，用“＋”字形分割正方形，分割一次，分成了4个小正方形，分割两次分成了7个小正方形，请思考分割的次数和正方形个数的关系，如果分成了361个正方形，共用“＋”字形分割了( )次。
60．如图，1个羽毛球高7cm，2个这样的羽毛球摞起来高9.5cm，照这样一直摞下去，则n个这样的羽毛球摞起来高度是( )cm。
61．找规律填一填。
依次摆下去，第8个图形是( )形。摆第10个图形需要( )根小棒，摆n个图形需要( )根小棒。
62．观察下图，依次排下去，第n幅图有( )个棋子。
63．用小棒摆五边形，如下图所示。
按照这样的方法继续摆下去，摆第20幅图需要( )根小棒。
64．著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10…这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16…这样的数称为“正方形数”。从上图中可以发现：任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻的“三角形数”之和，例如4＝1＋3。把“正方形数”100写成两个相邻的“三角形数”之和，100＝( )。
65．将黑色棋子按照一定规律排列成一系列如图所示的图案。第1个图中有6枚黑棋子，第2个图中有11枚黑棋子，第3个图中有16枚黑棋子……按照此规律，第n个图中有( )枚黑棋子。
66．观察图的规律，第6个图中有( )个点，第n个图中有( )个点。
67．下面图形都是由面积为1的正方形组成的，观察图形的变化规律，第⑧个图形中正方形的数量是( )个。
68．按下图这样的规律摆下去，第10个图中有( )个涂成阴影的小正方形，第n个图中有( )个涂成阴影的小正方形。
69．如图，用小棒摆一个正六边形，摆4个正六边形需要 根小棒；摆51个小正六边形需要 根小棒；用1001根小棒，可以摆 个小正六边形。
70．把边长为1厘米的正方形纸片，按下面的规律拼成长方形：
用4个正方形拼成的长方形的周长是( )厘米，用n个正方形拼成的长方形的周长是( )厘米。
71．下面图形中，第1个图案是由4个基本图形组成，第2个图案是由7个基本图形组成，……，第5个图案是由( )个基本图形组成，第10个图案是由( )个基本图形组成。
72．观察下列图形的构成规律，按照此规律，第10个图形中★的个数为( )个；第n幅图中★的个数为( )个。
73．如图，摆6个同样的正方形需要小棒( )根。
74．用黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图所示的规律，拼成若干个图案：第4个图案中有白色地面砖( )块，第100个图案中有白色地面砖( )块，第n个图案中有白色地面砖( )块。
75．如图，它是由火柴棒组成的三角形图案，拼9个三角形图案用( )根火柴棒，拼n个三角形图案用( )根火柴棒。
76．用白色和灰色圆形按照如图所示的方法摆图形。
按照这样的方法摆下去，第5个图形中，共有 个圆形；当一个图形中有6个灰色圆形时，白色的圆形有 个。
77．按图中的方式摆棋子，摆第5个图案需要 枚棋子，摆第n个图案需要 枚棋子。
78．观察下图，照这样画下去，第5幅图中有( )个互不重叠的三角形，第n幅图中有( )个互不重叠的三角形（用含n的式子表示）。
79．用小棒摆正方形，观察思考：如果摆5个小正方形，需要( )根小棒；如果摆n个正方形，需要( )根小棒。
80．摆1个三角形需要3根小棒，摆2个三角形需要5根小棒，摆3个三角形需要7根小棒。摆n个三角形，需要 根小棒。摆50个三角形，需要 根小棒。
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参考答案与试题解析
1．(1) 15 22
(2)7n＋1
【分析】（1）根据图可知，摆1个八边形需要8根小棒，摆2个八边形需要15根小棒，摆3个八边形需要22根小棒，据此解答。
（2）根据图可知，后一个图形比前一个图形多7根小棒。
摆1个八边形需要8根小棒，可以写成：7×1＋1；
摆2个八边形需要15根小棒，可以写成：7×2＋1；
摆3个八边形需要22根小棒，可以写成：7×3＋1；
……摆n个八边形需要：（7n＋1）根小棒。
【解析】（1）根据分析可知，摆1个八边形需要8根小棒，摆2个八边形需要15根小棒，摆3个八边形需要22根小棒。
（2）根据分析可知，摆n个八边形需要（7n＋1）根小棒。
2．（6＋1）×（6＋2）÷2 28 （8＋1）×（8＋2） 90
【分析】观察图形可知：第一个图形总棋数是（2×3）个，其中黑白棋子的数量相等，黑棋子数为（2×3）÷2；
第二个图形总棋子数是（3×4）个，其中黑白棋子的数量相等，黑棋子数为（3×4）÷2；
第三个图形总棋子数是（4×5）个，其中黑白棋子的数量相等，黑棋子数为（4×5）÷2；
……
由此可知：第n个图形总棋数是（n＋1）×（n＋2）个，黑棋子数为（n＋1）×（n＋2）÷2；据此解答。
【解析】（6＋1）×（6＋2）÷2
＝7×8÷2
＝56÷2
＝28（个）
（8＋1）×（8＋2）
＝9×10
＝90（个）
照这样画下去，第6组图形中，黑棋数用算式表示为（6＋1）×（6＋2）÷2，有28个；第8组图形中，总棋数用算式表示为（8＋1）×（8＋2），有90个。
3．20
【分析】通过观察杨辉三角图可知：从第一行开始，每一行的两端都是1，其余的数是上一行相邻两个数的和，据此补全杨辉三角第7行的数字，再找到第7行第4个数。据此解答即可。
【解析】
如图所示，第7行第4个数是20。
4．
【分析】因为正方形的边长是1，所以正方形的面积也是1，正方形的面积减去未贴彩色纸片的面积就是已贴彩色纸片的面积。
【解析】。
5．42 6＋12n
【分析】捆3个圆柱时，胶带的长度由一个圆的周长和4条直径的长度组成。已知圆柱的直径为6厘米，π＝3，根据圆的周长公式C＝πd（d为直径），可得圆的周长为3×6＝18厘米。4条直径的长度为6×4＝24厘米。将圆的周长和4条直径的长度相加，可得捆3个圆柱需要的胶带长度为18＋24＝42厘米。
当捆n个圆柱时，因为两个圆柱并列时，中间有1个“间隔”，对应2条直径（上下各1条）；n个圆柱并列时，有n－1个间隔，所以直线部分是2×（n－1）条直径。胶带的长度由一个圆的周长和2×（n－1）条直径的长度组成。圆的周长为3×6＝18厘米，直径为6厘米，所以捆n个圆柱的长度为：18＋2×（n－1）×6。
【解析】3×6＋6×4
＝18＋24
＝42（厘米）
当捆n个圆柱时，胶带的长度由一个圆的周长和2×（n－1）条直径的长度组成。
18＋2×（n－1）×6
＝18＋12×（n－1）
＝18＋12n－12
＝（6＋12n）厘米
捆3个需要胶带42厘米，捆n个需要（6＋12n）厘米。
6．24
【分析】观察图形可知：
1个小正方体有6个面；
2个小正方体拼成长方体时，有2×（2－1）＝2个面重合，露出6×2－2＝10个面；
3个小正方体拼成长方体时，有2×（3－1）＝4个面重合，露出6×3－4＝14个面；
……
n个小正方体拼成长方体时，有2（n－1）个面重合，露出面的个数：
6n－2（n－1）
＝6n－2n＋2
＝（4n＋2）个
根据此规律，把n＝16代入式子中，求出当16个小正方体拼成长方体时露出面的个数，然后用拼成长方体的表面积除以面的个数，即可求出一个面的面积；再根据正方体的表面积公式S＝6a2，用一个面的面积乘6，求出正方体的表面积。
【解析】规律：n个小正方体拼成长方体时，有2（n－1）个面重合，有（4n＋2）个面。
当n＝16时
4n＋2
＝4×16＋2
＝64＋2
＝66（个）
一个面的面积：264÷66＝4（平方厘米）
正方体的表面积：4×6＝24（平方厘米）
一个小正方体的表面积是24平方厘米。
7．1
【分析】观察给出的等式：31＝3，末位数字是3；32＝9，末位数字是9；33＝27，末位数字是7；34＝81，末位数字是1；35＝243，末位数字是3；36＝729，末位数字是9；37＝2187，末位数字是7；…，可以发现3n的末位数字是以3、9、7、1这4个数字为一个周期循环出现的。用2025除以循环周期4，可得：2025÷4＝506……1，其中余数为1。这说明32025的末位数字是循环周期中的第1个数字，即3，因为32025的末位数字是3，所以32025－2的末位数字为3－2＝1。
【解析】3n的末位数字是以3、9、7、1这4个数字为一个周期循环出现。
对于32025：2025÷4＝506……1
32025的末位数字是循环周期中的第1个数字为3。
3－2＝1
所以32025－2的末位数字为1。
8．26 116
【分析】由图可知，摆1个正六边形需要6根小棒，可表示为5×1＋1＝6根。摆2个正六边形需要11根小棒，可表示为5×2＋1＝11根。摆3个正六边形需要16根小棒，可表示为5×3＋1＝16根。由此可推出，摆n个正六边形需要（5n＋1）根小棒。当n＝5时，代入5n＋1可得：5×5＋1＝26（根）。当n＝23时，代入5n＋1可得：5×23＋1＝116（根）。
【解析】由分析可知，摆n个正六边形需要（5n＋1）根小棒。
当n＝5：
5×5＋1
＝25＋1
＝26（根）
当n＝23：
5×23＋1
＝115＋1
＝116（根）
摆5个正六边形需要26根小棒，摆23个正六边形需要116根小棒。
9．16 3n＋1
【分析】摆1个正方形需要4根小棒，可表示为3×1＋1＝4根。摆2个正方形需要7根小棒，可表示为3×2＋1＝7根。由此可推出规律：摆n个正方形需要3n＋1根小棒。当n＝5时，代入3n＋1可得：3×5＋1＝15＋1＝16根。
【解析】摆1个正方形：
3×1＋1
＝3＋1
＝4（根）
摆2个正方形：
3×2＋1
＝6＋1
＝7（根）
摆n个正方形：3n＋1（根）
当n＝5：
3×5＋1
＝15＋1
＝16（根）
摆5个需要16根小棒，摆n个需要（3n＋1）根小棒。
10．23
【分析】第1个图案：黑色纸片有1张，白色纸片有4张。
第2个图案：黑色纸片有2张，白色纸片有4＋3×（2－1）＝4＋3×1＝4＋3＝7张。
第3个图案：黑色纸片有3张，白色纸片有4＋3×（3－1）＝4＋3×2＝4＋6＝10张。
由此可推出，第n个图案中，黑色纸片有n张，白色纸片有（3n＋1）张。已知白色纸片有70张，即3n＋1＝70，然后计算解答即可。
【解析】由分析可知，第n个图案中，黑色纸片有n张，白色纸片有（3n＋1）张。
3n＋1＝70
3n＝70－1
3n＝69
n＝69÷3
n＝23
所以这个图案中有黑色纸片23张。
11．21
【分析】①观察图形的规律，摆1个正六边形需要6根小棒；
摆2个正六边形需要根小棒；
摆3个正六边形需要根小棒；
根据这个规律可知，摆4个正六边形需要摆根小棒，计算即可求解；
②根据图中的规律发现，第一个正六边形需要6根小木棒，后续每增加1个正六边形就增加5根小木棒，根据这个规律即可列式表示。
【解析】①
（根）
即拼4个正六边形需要21根小棒；
②
即拼个正六边形需要根小棒。
12．10 55
【分析】①根据图中可知，有两层时黑色棋子比白色棋子多1颗棋子；有三层时黑色棋子比白色棋子少；有四层时黑色棋子比白色棋子多2颗棋子；有五层时黑色棋子比白色棋子少；有六层时黑色棋子比白色棋子多3颗棋子；根据这样的规律可知：
当有偶数层时，黑色棋子比白色棋子多（层数÷2）颗棋子；当有奇数层时，黑色棋子比白色棋子少，据此规律解答；
②棋子的总数＝1＋2＋3＋……＋层数即可求解。
【解析】①（层），即正三角形中黑棋子比白棋子多5颗时，这个正三角形一共排10层；
②
（颗）
则这个正三角形一共用了55颗棋子。
13．12 3n
【分析】第1个模型：通过观察可知有3个正方体木块。第2个模型：有6个正方体木块。第3个模型：有9个正方体木块。可以发现，第1个模型：3＝3×1；第2个模型：6＝3×2；第3个模型：9＝3×3。规律为：第n个模型需要3n个正方体木块。那么第4个模型需要的正方体木块数量为3×4＝12个。
【解析】第1个模型：3＝3×1（个）
第2个模型：6＝3×2（个）
第3个模型：9＝3×3（个）
第4个模型：3×4＝12（个）
第n个模型需要3n个正方体木块。
第4个模型需要12个正方体木块；第n个模型需要3n个正方体木块。
14．317
【分析】首先发现第一个数的分子分母的和为2，第二、第三个数的分子分母的和为3，第四、五、六个数的分子分母的和为4，由此将分子与分母之和相等的归于同一组，算出在7＋19－1＝25组，再算出在25组的位置，由此找出规律解决问题。
【解析】因为，在这一列数中，
第1组：分子、分母的和为2的有，共1项，
第2组：分子、分母的和为3的有，共2项，
第3组：分子、分母的和为4的有，共3项，
依此类推就会发现，分子分母和为n的组，有（n－1）项，即第（n－1）组，且每组中分子从n－1开始依次递减1，分母从1开始依次递增1；
的分子与分母和是26，那么该分子所在的组数就是：（组）
根据前面找到的规律，分子分母和为n的组有n－1项，那么前24组的项数之和是
1＋2＋3＋ ＋24
＝
＝25×24÷2
＝25×12
＝300
而在分子、分母和为26一组中，前面还有，共16个数，即在第17项，所以在这一整列数的项数为（项）。
【点评】解决这类数列找项数的问题，关键是通过分组找出分子分母的和、每组项数的规律，再利用等差数列求和等知识计算。要注意分析每组内数的分子分母变化特点，准确确定目标数所在组及组内位置，从而算出总项数。
15．1668
【分析】分析等式的规律，第个等式左边有个连续偶数，确定第10个等式左边的第一个数，第1个等式左边的第一个数为，第2个等式左边的第一个数为，第3个等式左边的第一个数为，那么第个等式左边的第一个数为；右侧有项，其中前项为连续奇数，右侧第一个数为，最后一个数为。
【解析】第10个等式等号左边的第一个数字是：
所以第10个等式是：
所以第10个等式的结果是：
【点评】本题考查的对于等式的规律的探索，分析等式两边的规律进而求和。
16．
【分析】1可以看作，分子和分母都是1；是第2个数，分子是3，分母是4，3＝2×2－1，4＝22；是第3个数，分子是5，分母是9，5＝2×3－1，9＝32；是第4个数，分子是7，分母是16，7＝2×4－1，16＝42；由此可知，第n个数的分子为（2n－1），第n个数的分母为n的平方。
【解析】第n个数的分子：（2n－1）
第n个数的分母：n2
所以第n个数是。
17．
4
【分析】根据“双阶乘”的定义，从开始，后面的的计算都需要乘10，所以末尾数字均为0，因此的尾数与的尾数相同，这里只需要计算的尾数即可。
【解析】；
；
；
；
；
；
；
；
；
因此的尾数为4。
【点评】分析“双阶乘”的末尾数字的规律，根据题中给出的运算的规律，可以分析“末尾数字为0”的临界条件，分段计算末尾数字并计算末尾数字之和就可以高效解决。
18．(1)A
(2)C
(3)B
【分析】（1）图A是边长为（a＋b）的正方形，其面积为（a＋b）2。同时，图A可看作由一个边长为a的正方形、一个边长为b的正方形和两个长为a、宽为b的长方形组成，面积为a2＋2ab＋b2。所以由图形A可以证明公式成立。
（2）图C中，大正方形边长为a，小正方形边长为b，大正方形面积减去小正方形面积为a2－b2。把图C中剩余部分拼接，可得到一个长为（a＋b）、宽为（a－b）的长方形，其面积为（a＋b）（a－b）。所以由图形C可以证明公式a2－b2＝（a＋b）（a－b）成立。
（3）图B中，大正方形边长为（a＋b），面积为（a＋b）2；内部小正方形边长为（b－a），面积为（b－a）2。大正方形面积减去小正方形面积，剩余部分可看作4个长为a、宽为b的长方形，面积为4ab。所以由图形B可以证明公式（a＋b）2－（b－a）2＝4ab成立。
【解析】（1）图形A正方形面积：（a＋b）2
也为：a2＋2ab＋b2
所以由图形A可以证明公式成立。
（2）图C大正方形面积减去小正方形面积：a2－b2。
图C中剩余部分面积：（a＋b）（a－b）
所以由图形C可以证明公式a2－b2＝（a＋b）（a－b）成立。
（3）图B大正方形面积：（a＋b）2
内部小正方形面积：（b－a）2
剩余部分面积：4ab
所以由图形B可以证明公式（a＋b）2－（b－a）2＝4ab成立。
19．2n＋2 11
【分析】由图可知，每增加1枚白子，就需要增加2枚黑子；摆1枚白子需要4枚黑子，可以写成：2×1＋2；摆2枚白子需要6枚黑子，可以写成：2×2＋2；摆3枚白子需要8枚黑子，可以写成：2×3＋2；……由此可知，摆n枚白子需要（2n＋2）枚黑子，一共需要n＋2n＋2＝（3n＋2）枚棋子。当3n＋2＝35时，求出白子的枚数，据此解答。
【解析】根据分析可知，按照这样的规律，当白棋有n枚时，黑子有（2n＋2）枚。
n＋2n＋2＝（3n＋2）枚
3n＋2＝35
解：3n＝35－2
n＝33÷3
n＝11
综上可得：按照这样的规律，当白棋有n枚时，黑子有（2n＋2）枚；当一共用了35枚棋子时，白子有11枚。
20．32 4n
【分析】观察发现，每增加一个图形就增加四个点，第1个图形有4个点，可以写成4×1；第2个图形有8个点，可以写成4×2；第3个图形有12个点，可以写成4×3；第4个图形有16个点，可以写成4×4；依此类推，得出第8个图形和第n个图形的点数。
【解析】观察发现，第1个图形有4个点，可以写成4×1；
第2个图形有8个点，可以写成4×2；
第3个图形有12个点，可以写成4×3；
第4个图形有16个点，可以写成4×4；
依此类推，第8个图形有4×8＝32个点；
第n个图形有4n个点。
所以，第8个图形有32个●，第n个图形有4n个●。
【点评】此题的关键是利用数与形的结合，通过观察图形，把图形中的变化规律转化成数字，多练习，培养数感。
21．42 12n＋6
【分析】绳子绕一圈的长度由两部分组成：①直线部分：绳子在相邻两个圆柱之间是直的。②圆弧部分：绳子绕过最两端的圆柱时，形成两个半圆（合起来是一个整圆）。
每个圆柱直径6cm，捆1个圆柱管时，绳子的长度就是底面圆的周长，圆周长为6×π＝6×3＝18厘米；
当有两个圆柱并排时，绳子的路径包括：两个半圆（即一个完整的圆）围绕两个圆柱的外侧；直线部分：有1个空隙，每个空隙有2条直线（上下各一条），每条6厘米。共（18＋2×1×6）厘米；
三个圆柱时，绳子的路径包括：两端的半圆，一个完整的圆；直线部分：有2个空隙，每个空隙有2条直线（上下各一条），每条6厘米。共18＋2×2×6＝42厘米；
捆n个圆柱时，弯的部分总是：18厘米；直的部分：有（n－1）个空隙，每个空隙有2条直线，每条6厘米。共18＋2×（n－1）×6＝（12n＋6）厘米。
【解析】根据分析：
当捆1个圆柱时，绳长是：6×π＝6×3＝18（厘米）；
当捆2个圆柱时，绳长是：18＋2×1×6＝18＋12＝30（厘米）；
当捆3个圆柱时，绳长是：18＋2×（3－1）×6＝18＋2×2×6＝18＋24＝42（厘米）；
当捆n个圆柱时，绳长是：18＋2×（n－1）×6＝18＋（2n－2）×6＝18＋12n－12＝（12n＋6）厘米
捆3个要42厘米，捆n个需要（12n＋6）厘米。
【点评】解决本题的关键是观察分析得到圆柱的放置规律，以及圆周长的计算方法，一个圆柱体时绳子的长度就是圆的周长，以后每增加一个圆柱体，绳子的长度就会增加圆的直径的2倍。
22．40 6n－2
【分析】由图可知，第1个图案需要4根小棒，第2个图案需要（4＋6）根小棒，第3个图案需要（4＋6×2）根小棒，第4个图案需要（4＋6×3）根小棒……以此类推，每次增加6根小棒，则第n个图案需要[4＋6×（n－1）]根小棒，最后求出n＝7时含有字母式子的值，据此解答。
【解析】4＋6×（n－1）
＝4＋（6n－6×1）
＝4＋6n－6
＝6n＋4－6
＝（6n－2）根
当n＝7时。
6n－2
＝6×7－2
＝42－2
＝40（根）
所以，第7个图案需要40根小棒，第n个图案需要（6n－2）根小棒。
23．13 （3n＋1）/（1＋3n）
【分析】看图可知，第1幅图需要4根火柴棒，4＝1×3＋1；第2幅图需要7根火柴棒，7＝2×3＋1；第3幅图需要10根火柴棒，10＝3×3＋1……由此可知，火柴棒的数量＝第几幅图就用几×3＋1。
【解析】4×3＋1
＝12＋1
＝13（根）
n×3＋1＝（3n＋1）根
第4幅图需要（13）根火柴棒，第n幅图需要（3n＋1）根火柴棒。
24．22 5n＋2/2＋5n
【分析】观察图形可知，第1个、2个、3个图形分别需要7根、12根、17根小棒，发现：每增加一个图形，小棒的数量增加5根，据此得出规律，并按规律解答。
【解析】观察图形可知：
第1个图形需要7根小棒，7＝5×1＋2；
第2个图形需要12根小棒，12＝5×2＋2；
第3个图形需要17根小棒，12＝5×3＋2；
……
第n个图形需要（5n＋2）根小棒；
当n＝4时
5n＋2
＝5×4＋2
＝20＋2
＝22（根）
那么第4个图形需要（22）根小棒，第n个图形需要（5n＋2）根小棒。
25．9 20
【分析】已知增加1个站点，需要增加2种单程票；增加2个站点，需要增加5种单程票，5＝2＋3；据此发现规律，增加n个站点，需要增加2＋3＋…＋（n＋1）种单程票，照此规律解答。
【解析】规律：增加n个站点，需要增加2＋3＋…＋（n＋1）种单程票。
当n＝3时，2＋3＋4＝9（种）
当n＝5时，2＋3＋4＋5＋6＝20（种）
照此规律，增加3个站点，需要增加（9）种单程票；增加5个站点需要增加（20）种单程票。
26．25 90
【分析】第1个图形：圆形总数1＝12个，黑色圆形数1，白色圆形数0。
第2个图形：圆形总数4＝22个，黑色圆形数2，白色圆形数4－2＝2个。
第3个图形：圆形总数9＝32个，黑色圆形数3，白色圆形数9－3＝6个。
第4个图形：圆形总数16＝42个，黑色圆形数4，白色圆形数16－4＝12个。
由此可推出规律：第n个图形中，圆形总数为n2，黑色圆形数为n，白色圆形数为n2－n。根据规律，第5个图形中，圆形总数为52＝25个。当黑色圆形数n＝10时，根据白色圆形数公式n2－n，可得白色圆形数为102－10＝100－10＝90个。
【解析】由分析可知：
第n个图形中，圆形总数为n2个，黑色圆形数为n，白色圆形数为（n2－n）个。
n＝5
52＝25（个）
n＝10
102－10
＝100－10
＝90（个）
第5个图形中，共有25个圆形；当某一个图形中有10个黑色的圆形时，那么这个图形中白色的圆形有90个。
27．11 2n＋1
【分析】摆1个三角形，用了3根小棒。摆2个三角形，用了5根小棒（比摆1个三角形多了2根小棒）。摆3个三角形，用了7根小棒（比摆2个三角形多了2根小棒）。所以摆n个三角形所用小棒的数量比摆（n－1）个三角形多2根小棒，且摆1个三角形用3根小棒，所以摆n个三角形所用小棒的数量可以表示为2n＋1根。当n＝5时，代入2n＋1可得：2×5＋1＝11根。
【解析】由分析可知，摆n个三角形要用：（2n＋1）根；
2×5＋1
＝10＋1
＝11（根）
摆5个三角形要用11根小棒，摆n个三角形需要用（2n＋1）根小棒。
28．43 7n＋1/1＋7n
【分析】观察图形可知，搭第一个、第二个、第三个图形分别需要8根、15根、22根小棒，发现：每增加一个正八边形，小棒的数量增加7根，据此找到规律，并按规律解答。
【解析】搭第1个图形要8根小棒，8＝7×1＋1；
搭第2个图形要15根小棒，15＝7×2＋1；
搭第3个图形要22根小棒，22＝7×3＋1；
……
规律：搭第n个图形要小棒（7n＋1）根；
当n＝6时
7n＋1
＝7×6＋1
＝42＋1
＝43（根）
照这样的方法，搭第6个图形要（43）根小棒，搭第n个图形要（7n＋1）根小棒。
29．29 4n＋1
【分析】搭1间房子用5根小棒，可表示为4×1＋1＝5根。搭2间房子用9根小棒，可表示为4×2＋1＝9根。搭3间房子用13根小棒，可表示为4×3＋1＝13根。由此可推出，搭n间房子需要（4n＋1）根小棒。当n＝7时，代入4n＋1可得：4×7＋1＝29（根）。
【解析】由分析可知，搭n间房子需要（4n＋1）根小棒。
4×7＋1
＝28＋1
＝29（根）
搭7间房子要用29根小棒，搭n间房子需要（4n＋1）根小棒。
30．22
【分析】观察可得规律是：0条直线能把圆分成1块，1条直线能把圆分成（1＋1）块，2条直线能把圆分成（1＋1＋2）块，3条直线能把圆分成（1＋1＋2＋3）块，……n条直线能把圆分成（1＋1＋2＋3＋…＋n）块，据此分析。
【解析】当n＝6时
1＋1＋2＋3＋…＋n
＝1＋1＋2＋3＋…＋6
＝1＋（1＋6）×6÷2
＝1＋7×6÷2
＝1＋21
＝22（块）
6条直线最多能把圆分成22块。
31．20 8n＋4/4＋8n
【分析】根据题意，先分析搭1个、2个长方体框架所需小棒数量的规律，再推导搭n个长方体框架所需小棒数量。搭1个长方体框架用12根小棒，搭2个时，有部分小棒重合，需找出重合后实际需要的小棒数，进而总结规律。据此解答。
【解析】搭1个长方体框架，需要12根小棒。搭2个长方体框架时，观察图形可知，两个长方体有4根小棒重合（即共用了4根小棒），所以需要的小棒数为12×2－4＝20根。搭n个长方体框架时，第一个用12根，从第二个开始，每个都与前一个有4根小棒重合，即每个后续的长方体需要12－4＝8根新的小棒。所以搭n个长方体框架需要的小棒数为12＋8（n－1），化简可得：
12＋8（n－1）
＝12＋8n－8
＝8n＋4
需要20根小棒。如果像这样搭n个长方体框架，需要（8n＋4）根小棒。
32．25 （3n＋1）/（1＋3n）
【分析】看图可知，1个正方形需要4根小木棒，4＝1×3＋1；2个正方形需要7根小木棒，7＝2×3＋1；3个正方形需要10根小木棒，10＝3×3＋1……由此可知，小木棒的根数＝正方形的个数×3＋1。
【解析】3×8＋1
＝24＋1
＝25（根）；
n×3＋1＝（3n＋1）（根）
摆8个正方形需要小木棒25根，摆n个正方形需要小木棒（3n＋1）根。
33．25
【分析】根据图可知，第1个图形由1个小三角形组成1个大三角形，小三角形的个数可以写成：12；
第2个图形由4个小三角形组成1个三角形，小三角形的个数可以写成：22；
第3个图形由9个小三角形组成1个大三角形，小三角形的个数可以写成：32；
……
第n个图形由n个小三角形组成1个大三角形，小三角形个数可以写成n2；当n＝5时，求出需要小三角形的个数。
【解析】根据分析可知，第n个图形由n2个小三角形组成。
n＝5时
52＝25（个）
摆第5个图形需要25个小三角形。
34．25 4n－3
【分析】由图可知，第1幅图中共有1颗五角星，第2幅图中共有（1＋4）颗五角星，第3幅图中共有（1＋4×2）颗五角星，第4幅图中共有（1＋4×3）颗五角星……每次增加4颗五角星，那么第n幅图中共有[1＋4×（n－1）]颗五角星，最后求出n＝7时含有字母式子的值，据此解答。
【解析】1＋4×（n－1）
＝1＋4n－4×1
＝1＋4n－4
＝4n－4＋1
＝（4n－3）颗
当n＝7时。
4n－3
＝4×7－3
＝28－3
＝25（颗）
所以，第7幅图中共有25颗五角星，第n幅图中共有（4n－3）颗五角星。
35．21 3＋3n
【分析】由图可知：
第①幅图中圆点数等于1＋2＋3
第②幅图中圆点数等于2＋3＋4
第③幅图中圆点数等于3＋4＋5
……
第⑥幅图中圆点数等于6＋7＋8＝21（个）圆点
第n幅图中圆点数等于n＋（n＋1）＋（n＋2）＝（3＋3n）个圆点，由此解答即可。
【解析】第6幅点阵图中的圆点数：
6＋7＋8
＝13＋8
＝21（个）
第n幅点阵图中的圆点数：n＋（n＋1）＋（n＋2）＝（3＋3n）个。
第6幅图一共有21个圆点，第n幅图一共有（3＋3n）个圆点。
36．64 n2
【分析】由图可知，第1个图形中有1个点，表示为12；
第2个图形中有4个点，表示为22；
第3个图形中有9个点，表示为32；
第4个图形中有16个点，表示为42；
发现规律：第n个图形中有n2个点。据此解答。
【解析】82＝8×8＝64（个）
所以，第8个图形中有64个点，第n个图形中有n2个点。
37．26 4n＋2/2＋4n
【分析】由图可知，第1个图形需要6根小棒，第2个图形需要（6＋4）根小棒，第3个图形需要（6＋4×2）根小棒……每次增加4根小棒，以此类推，第n个图形需要[6＋4×（n－1）]根小棒，最后求出n＝6时含有字母式子的值，据此解答。
【解析】6＋4×（n－1）
＝6＋4n－4×1
＝6＋4n－4
＝4n＋6－4
＝（4n＋2）根
当n＝6时。
4n＋2
＝4×6＋2
＝24＋2
＝26（根）
所以，第6个图形需要26根小棒，第n个图形需要（4n＋2）根小棒。
38．56
【分析】第1个图案中有2个正方形，第2个图案中有（1＋2＋1）个正方形，第3个图案中有（1＋2＋3＋1）个正方形，…，依此规律，第n个图案中有（1＋2＋3＋…＋n＋1）个正方形。即1＋2＋3＋…＋n＋1＝n×（1＋n）÷2＋1。
【解析】由分析可知，第n个图案中有：n×（1＋n）÷2＋1个正方形。
当n＝10时，
10×（1＋10）÷2＋1
＝10×11÷2＋1
＝110÷2＋1
＝55＋1
＝56（个）
所以第10个图案中有56个正方形。
【点评】此题主要考查了图形的变化，关键是根据题目中给出的图形，通过观察思考，归纳总结出规律，再利用规律解答。
39．16 22
【分析】第1个图形：小正方形纸片数量为12＝1个。第2个图形：小正方形纸片数量为22＝4个。第3个图形：小正方形纸片数量为32＝9个。由此可推出，第n个图形小正方形纸片数量为n2个。那么第4个图形小正方形纸片数量为42＝16个。
第1个图形：周长为4×1＝4cm。第2个图形：周长为6×2－2＝12－2＝10cm。第3个图形：周长为6×3－2＝18－2＝16cm。可以发现，可得第n个图形的周长为：（6n－2）cm。那么第4个图形的周长为：6×4－2＝24－2＝22cm。
【解析】由分析可知，第n个图形小正方形纸片数量为n2个。
42
＝4×4
＝16（个）
第n个图形的周长为：（6n－2）cm
6×4－2
＝24－2
＝22（cm）
第4个图形用了16个小正方形纸片，第4个图形的周长是22cm。
40．17
【分析】摆第1个图形（三角形）需要3根小棒，可表示为2×1＋1＝3根。摆第2个图形需要5根小棒，可表示为2×2＋1＝5根。摆第3个图形需要7根小棒，可表示为2×3＋1＝7根。摆第4个图形需要9根小棒，可表示为2×4＋1＝9根。由此可推出，摆第n个图形需要的小棒数量为2n＋1根。据此把数字8代入计算即可。
【解析】由分析可知，摆第n个图形需要的小棒数量为2n＋1根。
2×8＋1
＝16＋1
＝17（根）
所以摆第8个图形需要17根小棒。
41．21 28
【分析】1、3、6、10…这样的数称为“三角形数”，3＝1＋2，6＝1＋2＋3，10＝1＋2＋3＋4…第n个三角形数是1＋2＋3＋…＋n＝；正方形数是1＝，4＝，9＝…第n个正方形数是；任何一个大于1的“正方形数”可以看作两个相邻“三角形数”之和，正方形数49＝，所以正方形数是第7个，根据第n个三角形数是计算即可解答。
【解析】由分析可知：第n个三角形数是
49＝
所以正方形数是第7个，则两个三角形数分别是第7个和第6个，把7和6分别代入，得：
＝＝7×4＝28
＝＝3×7＝21
所以49＝21＋28
42．8 3n＋7/7＋3n
【分析】已知3个杯子叠起来高16cm，5个杯子叠起来高22cm，那么（5－3）个杯子叠起来的高度是（22－16）cm，用（22－16）÷（5－3）＝3cm，求出每多叠一个杯子增加的高度为3cm；
从图中可知，3个杯子叠起来时高16cm，有2个重叠部分高2×3＝6cm，则一个杯子的高度为16－6＝10cm；
由3个杯子叠起来有2个重叠部分，5个杯子叠起来有4个重叠部分，可得出：n个杯子叠起来有（n－1）个重叠部分，那么n个杯子叠起来的高度＝一个杯子的高度＋（n－1）×3，据此得出规律，并按规律求解。
【解析】每多叠一个杯子增加的高度为：
（22－16）÷（5－3）
＝6÷2
＝3（cm）
一个杯子的高度为：
16－2×3
＝16－6
＝10（cm）
n个杯子叠起来的高度是：
10＋（n－1）×3＝10＋3n－3＝（3n＋7）cm
叠起来高31cm的杯子数量：
3n＋7＝31
解：3n＋7－7＝31－7
3n＝24
3n÷3＝24÷3
n＝8
照这样计算，（8）个杯子叠起来高31cm，n个杯子叠起来的高度是（3n＋7）cm。
43．932
【分析】根据题意可知，第一个图形一共有圆：1×（1＋1）＋2＝4个；第二个图形一共有圆：2×（2＋1）＋2＝8个；第三个图形一共有圆：3×（3＋1）＋2＝14个；第四个图形一共有圆：4×（4＋1）＋2＝22个；圆的个数等于图形序号与序号数加多1数的积再加上上面圆的个数2，根据图形得出第n个图形中圆的个数是n×（n＋1）＋2，据此进行解答。
【解析】第1个图形中一共有1×（1＋1）＋2＝1×2＋2＝2＋2＝4（个）圆
第2个图形中一共有2×（2＋1）＋2＝2×3＋2＝6＋2＝8（个）圆
第3个图形中一共有3×（3＋1）＋2＝3×4＋2＝12＋2＝14（个）圆
第4个图形中一共有4×（4＋1）＋2＝4×5＋2＝20＋2＝22（个）圆
可得第n个图形中圆的个数是：n（n＋1）＋2
所以第30个图形中圆的个数：30×（30＋1）＋2＝30×31＋2＝930＋2＝932（个）
第30个图形有932个圆。
44．60 2n（n＋1）
【分析】根据图示可知：
第1幅图小棒根数：4根
第2幅图小棒根数：12根，12＝4＋8＝2×2×（2＋1）
第3幅图小棒根数：24根，24＝4＋8＋12＝2×3×（3＋1）
……
第n幅图小棒根数：2n（n＋1），据此解答。
【解析】根据分析，第n幅图小棒根数：2n（n＋1）
当n＝5，2n（n＋1）＝2×5×（5＋1）＝60
第五个图形需要60根小棒，第n个图形需要2n（n＋1）根小棒。
45．36 28
【分析】
根据方格图中从左到右□和的排列可知：
第1幅图中，小正方形的个数为1（12）个，其中1个阴影小正方形，0个空白小正方形，1－0＝1（个），比□多1个；
第2幅图中，小正方形的个数为4（22）个，其中1个阴影小正方形，3个空白小正方形，3－1＝2（个），□比多2个；
第3幅图中，小正方形的个数为9（32）个，其中6个阴影小正方形，3个空白小正方形，6－3＝3（个），比□多3个；
第4幅图中，小正方形的个数为16（42）个，其中6个阴影小正方形，10个空白小正方形，10－6＝4（个），□比多4个；
即序号是奇数时，比□多序号个；序号是偶数时，□比多序号个，且小正方形个数即为序号的平方个。据此解答。
【解析】
序号是奇数时，比□多序号个；序号是偶数时，□比多序号个，且小正方形个数即为序号的平方个。
当□比多8个，即第8幅图，小正方形个数为：82＝64（个）
□为：
（64＋8）÷2
＝72÷2
＝36（个）
为：
（64－8）÷2
＝56÷2
＝28（个）
当□比多8个，这个正方形中□摆了36个，摆了28个。
46．21 5n＋1 7
【分析】由图可知，摆1个六边形用6根小棒，摆2个六边形用（6＋5）根小棒，摆3个六边形用（6＋5×2）根小棒……以此类推，每次增加5根小棒，摆n个六边形用[6＋5×（n－1）]根小棒，最后求出n＝4时含有字母式子的值，以及式子的值为36时字母的值，据此解答。
【解析】6＋5×（n－1）
＝6＋（5n－5×1）
＝6＋（5n－5）
＝6＋5n－5
＝5n＋6－5
＝（5n＋1）根
当n＝4时。
5n＋1
＝5×4＋1
＝20＋1
＝21（根）
5n＋1＝36
解：5n＋1－1＝36－1
5n＝35
5n÷5＝35÷5
n＝7
所以，摆4个六边形要用21根小棒，摆n个六边形要用（5n＋1）根小棒，用36根小棒能摆出7个六边形。
47．(1)22
(2)10
【分析】（1）观察图形可知：
1张桌子最多可以坐6人，6＝4×1＋2；
2张桌子最多可以坐10人，10＝4×2＋2；
3张桌子最多可以坐14人，14＝4×3＋2；
……
规律：n张桌子最多可以坐（4n＋2）人；
据此规律解答。
（2）如果有42人，即上一题的规律4n＋2＝42，根据等式的性质解方程即可。
【解析】（1）规律：n张桌子最多可以坐（4n＋2）人；
当n＝5时
4n＋2
＝4×5＋2
＝20＋2
＝22（人）
按照上图所示规律，安排5张桌子最多可以坐22人。
（2）4n＋2＝42
解：4n＋2－2＝42－2
4n＝40
4n÷4＝40÷4
n＝10
如果有42人，需要安排10张桌子。
48．14a2 202a2
【分析】一个正方体有6个面，表面积是6a2；两个正方体有10个面，表面积是10a2；三个正方体有14个面，表面积是14a2，由此可知，每增加一个正方体，表面积就增加4a2；
一个正方体，表面积是6a2；可以写成（4×1＋2）a2；
两个正方体有10个面，表面积是10a2；可以写成（4×2＋2）a2
三个正方体有14个面，表面积是14a2；可以写成（4×3＋2）a2
……
由此可知，n个正方体，表面积是（4n＋2）a2，据此求出n＝50时的表面积。
【解析】根据分析可知， n个正方体，表面积是（4n＋2）a2。
n＝3时：
（4×3＋2）a2
＝（12＋2）a2
＝14a2
n＝50时：
（4×50＋2）a2
＝（200＋2）a2
＝202a2
49．55 5050
【分析】观察“三角形数”：第1个是1，第2个是3＝1＋2，第3个是6＝1＋2＋3，第4个是10＝1＋2＋3＋4 。据此发现规律：第n个三角形数是从1开始连续n个自然数相加的和，利用这个规律来计算第10和第100个三角形数，据此解答。
【解析】规律：第n个三角形数是1＋2＋3＋……＋n ；
计算第10个三角形数：
当n＝10时
1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10
＝ （1＋10）＋（2＋9）＋（3＋8）＋（4＋7）＋（5＋6）
＝11＋11＋11＋11＋11
＝11×5
＝55
当n＝100时
1＋2＋3＋……＋100
＝（1＋100）＋（2＋99）＋……＋（50＋51）
＝101＋101＋……＋101
＝101×50
＝5050
第10个三角形数是55，第100个三角形数是5050。
【点评】关键是发现三角形数是连续自然数相加的规律，通过分组凑整的方法（如把首尾数相加），能简便算出连续自然数相加的和，利用这个规律就可以算出任意第n个三角形数，避免逐个累加的麻烦，要注意找对分组的数量。
50．148
【分析】根据图形可知，第一个图形中，黑瓷砖有4块，可以写成3×1＋1；
第二个图形中，黑瓷砖有7块，可以写成3×2＋1；
第三个图形中，黑瓷砖有10块，可以写成3×3＋1；
由此可以得出一般规律，第n个图形中黑瓷砖有（3n＋1）块，据此解答。
【解析】第n幅图形中有（3n＋1）块黑瓷砖，所以第49幅图形中有：
3×49＋1
＝147＋1
＝148（块）
因此，第49幅图形中有148块黑瓷砖。
51．22 18
【分析】1张桌子可坐4人，4＝1×2＋2；2张桌子拼起来可坐6人，6＝2×2＋2；3张桌子拼起来可坐8人，8＝3×2＋2……由此可知，坐的人数＝几张桌子就用几×2＋2；桌子数＝（坐的人数－2）÷2。
【解析】10×2＋2
＝20＋2
＝22（人）
（38－2）÷2
＝36÷2
＝18（张）
像这样10张桌子可坐（22）人，（18）张桌子拼起来可坐38人。
52．81
【分析】根据题意可知，图①摆第1个图形，需要小三角形个数是1个，可以写成12；
图②摆第2个图形，需要小三角形个数是4个，可以写成22；
图③摆第3个图形，需要小三角形个数是9个，可以写成32；
……
由此可知，摆到n个图形，需要小三角形个数是n2个，据此求出n＝9时，需要小三角形的个数。
【解析】根据分析可知，摆到n个图形，需要小三角形个数是n2个。
n＝9时：
92＝9×9＝81（个）
摆到第9个图形共需要小三角形个数是81个。
53．(1) 50 4
(2)（7n＋1）/（1＋7n）
【分析】观察可知，摆1个八边形需要8根小棒，8＝1×7＋1；摆2个八边形需要15根小棒，15＝2×7＋1；摆3个八边形需要22根小棒，22＝3×7＋1……，由此可知，小棒数量＝摆几个八边形就用几×7＋1；八边形的数量＝（小棒数量－1）÷7，据此分析。
【解析】（1）7×7＋1
＝49＋1
＝50（根）
（29－1）÷7
＝28÷7
＝4（个）
如果摆成7个八边形，需要50根小棒，29根小棒可以摆成4个八边形。
（2）n×7＋1＝（7n＋1）根
如果要摆成n个八边形，需要（7n＋1）根小棒。
54．28
【分析】观察可知，第1个图形有1层，周长是4厘米，4＝1×6－2；第2个图形有2层，周长是10厘米，10＝2×6－2；第3个图形有3层，周长是16厘米，16＝3×6－2……，由此可知，周长＝层数×6－2，据此计算第5个图形的周长。
【解析】5×6－2
＝30－2
＝28（厘米）
按照规律，第5个图形的周长是28厘米。
55．19 3n＋1
【分析】根据图可知，第1个图案中有4张黑色正方形，第2个图案中有7张黑色正方形，第3个图案中有10张黑色正方形……，由此可知，后一个图案中黑色正方形比前一个图案中黑色正方形多3张黑色正方形。
第1个图案中黑色正方形有4张，可以写成：3×1＋1；
第2个图案中黑色正方形有7张，可以写成：3×2＋1；
第3个图案中黑色正方形有10张，可以写成：3×3＋1；
……
由此可知，第n个图案中黑色正方形有（3n＋1）张，据此求出第6个图案中黑色正方形的个数。
【解析】根据分析可知，第n个图案中黑色正方形有（3n＋1）个。
n＝6时：
3×6＋1
＝18＋1
＝19（张）
用黑白两种颜色的正方形纸片按规律拼图案。第6个图案中黑色正方形纸片有19张，第n个图案中黑色正方形纸片有（3n＋1）张。
56．27
【分析】能够根据图形发现规律：从左往右，右面每幅图比左边每幅图多的小正方形个数依次为3、4、5、…，据此可知：第⑤个图形中正方形的数量比第④个图形中正方形的数量多6个，第⑥个图形中正方形的数量比第⑤个图形中正方形的数量多7个，据此解答。
【解析】第①个图形正方形个数：2个
第②个图形正方形个数：2＋3＝5（个）
第③个图形正方形个数：5＋4＝9（个）
第④个图形正方形个数：9＋5＝14（个）
第⑤个图形正方形个数：14＋6＝20（个）
第⑥个图形正方形个数：20＋7＝27（个）
第⑥个图形中正方形的数量是27个。
57．17 （4＋1）
【分析】看图可知，第1个图形有5个黑色小正方形，5＝1×4＋1；第2个图形有9个黑色小正方形，9＝2×4＋1；第3个图形有13个黑色小正方形，13＝3×4＋1……，由此可知，第n个图形中黑色小正方形有n×4＋1＝（4n＋1）个，据此分析。
【解析】4×4＋1
＝16＋1
＝17（个）
×4＋1＝（4＋1）个
第4个图形中，黑色小正方形有17个；第个图形中，黑色小正方形有（4＋1）个。
58．
【分析】把整个正方形的面积看作单位“1”。观察图形可知，算式表示的是图中若干个小长方形（或正方形）面积之和，这些小图形面积之和等于单位“1”减去最后剩下的空白部分的面积，空白部分面积为。
【解析】由分析可知：
所以。
59．120
【分析】没有分割前只有1个正方形，分割一次时变成了4个小正方形，增加了（4－1）个小正方形。分割两次时分成了7个小正方形，比上一次又增加了（7－4）个小正方形。由此可见，每分割一次就比上一次多增加3个小正方形。将361个正方形减去最初的1个正方形，求出差，再将差除以3，即可求出分割了多少次。
【解析】4－1＝3（个）
7－4＝3（个）
所以，每分割一次就比上一次多增加3个小正方形。
（361－1）÷3
＝360÷3
＝120（次）
所以，如果分成了361个正方形，共用“＋”字形分割了120次。
60．（4.5＋2.5n）/（2.5n＋4.5）
【分析】根据题意，1个羽毛球高7cm，2个这样的羽毛球摞起来高9.5cm，2个羽毛球摞起来的高度＝一个羽毛球的高度＋（2－1）个球尾的高度，所以一个羽毛球球尾的高度是9.5－7＝2.5（厘米），所以3个羽毛球摞起来的高度＝一个羽毛球的高度＋（3－1）×2.5……n个这样的羽毛球摞起来的高度＝1个羽毛球的高度＋（n－1）×2.5，据此列式解答即可。
【解析】7＋（n－1）×2.5
＝7＋2.5n－2.5
＝（4.5＋2.5n）（cm）
所以n个这样的羽毛球摞起来高度是（4.5＋2.5n）cm。
61．平行四边 21 2n＋1
【分析】观察图形可知，第一个图形是三角形，第二个图形是平行四边形，第三个图形是梯形，第四个图形是平行四边形，第五个图形是梯形，从第2个开始：平行四边形、梯形交替出现，第1个特殊（三角形），从第2个起，双数位置是平行四边形，单数位置（≥3）是梯形。第8个是双数位置，所以第8个图形是平行四边形。
摆第1个图形（三角形）需要3根小棒，3＝1＋2×1；
摆第2个图形需要5根小棒，5＝1＋2×2；
摆第3个图形需要7根小棒，7＝1＋2×3；
摆第4个图形需要9根小棒，9＝1＋2×4。
可以总结出规律：小棒数量依次增加2。摆第n个图形需要（1＋2×n）根小棒。据此解答。
【解析】1＋2×10
＝1＋20
＝21（根）
1＋2×n＝（1＋2n）根
即依次摆下去，第8个图形是平行四边形。摆第10个图形需要21根小棒，摆n个图形（1＋2n）根小棒。
62．
【分析】观察点子的数目与图的序数之间的关系，发现：第1幅图：1＝个；第2幅图：4＝个；第3幅图：9＝个；第4幅图：16＝个，……，据此规律解答。
【解析】第1幅图：＝1×1＝1（个）
第2幅图：＝2×2＝4（个）
第3幅图：＝3×3＝9（个）
第4幅图：＝4×4＝16（个）
所以第5幅图有＝5×5＝25（个）
……
第n幅图：（个）
所以第n幅图有个点子。
63．81
【分析】找摆五边形的规律，第1幅图5根小棒，第2幅图5＋4＝9根，第3幅图5＋4×2＝5＋8＝13根……得出第n幅图小棒数公式：5＋4×（n－1）＝4n＋1 。依据图形规律的归纳与通项公式推导，据此解答。
【解析】第1幅：5＝4×1＋1
第2幅：9＝4×2＋1
第3幅：13＝4×3＋1
第20幅：4×20＋1＝80＋1＝81（根）
64．45＋55
【分析】先写出“三角形数”：1、3、6、10、15、21、28、36、45、55、66……，由此可以发现规律后一个数比前一个数依次多2、3、4、5……，观察这些数，找出相邻的两个数相加等于100，据此解答。
【解析】45和50是相邻的三角形数，45＋55＝100，正好符合条件。
即把“正方形数”100写成两个相邻的“三角形数”之和，100＝45＋55。
65．1＋5n/5n＋1
【分析】由图可知，第1个图中有6枚黑棋子，第2个图中有（6＋5×1）枚黑棋子，第3个图中有（6＋5×2）枚黑棋子……以此类推，每次增加5枚黑棋子，那么第n个图中有[6＋5×（n－1）]枚黑棋子，据此解答。
【解析】6＋5×（n－1）
＝6＋（5n－5）
＝6＋5n－5
＝6－5＋5n
＝（1＋5n）枚
所以，第n个图中有（1＋5n）枚黑棋子。
66．21 4n－3
【分析】观察图形可以发现：第一个图形有1个点；第二个图形有（1＋4×1）个点；第三个图形有（1＋4×2）个点；第四个图有（1＋4×3）个点，……第n个图形有[1＋4（n－1）]个点。
【解析】由分析可知：第n个图形点的个数为：
1＋4（n－1）
＝1＋4n－4
＝（4n－3）（个）
把n＝6代入4n－3得：
4×6－3
＝24－3
＝21（个）
所以第6个图中有21个点，第n个图中有（4n－3）个点。
67．44
【分析】由图可知，第①个图形有2个正方形，第②个图形有（2＋3）个正方形，第③个图形有（2＋3＋4）个正方形，第④个图形有（2＋3＋4＋5）个正方形……以此类推，正方形的个数为从2开始连续自然数的和，是第几个图形算式中就有几个加数，据此解答。
【解析】2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9
＝（2＋3＋4＋5）＋（6＋7＋8＋9）
＝14＋30
＝44（个）
所以，第⑧个图形中正方形的数量是44个。
68．19 2n－1
【分析】观察图形可知，第1个图中有1个小正方形，第2个图中每边有2个小正方形，第3个图中每边有3个小正方形，涂成阴影的小正方形分别有1个、3个、5个，发现：大正方形的边长每增加1个小正方形，则涂成阴影的小正方形数量依次增加2个，据此发现规律并按规律解答。
【解析】观察图形：
第1个图涂成阴影的小正方形有1个；
第2个图涂成阴影的小正方形有3个，3＝2×2－1；
第3个图涂成阴影的小正方形有5个，5＝2×3－1；
……
规律：第n个图中涂成阴影的小正方形有（2n－1）个。
当n＝10时
2n－1
＝2×10－1
＝20－1
＝19（个）
按下图这样的规律摆下去，第10个图中有（19）个涂成阴影的小正方形，第n个图中有（2n－1）个涂成阴影的小正方形。
69．21 256 200
【分析】摆1个正六边形时，需要6根小棒，可表示为5×1＋1；
摆2个正六边形时，第二个正六边形与第一个正六边形共用1根小棒，所以需要6＋5＝11根小棒，可表示为5×2＋1；
摆3个正六边形时，第三个正六边形与第二个正六边形共用1根小棒，所以需要11＋5＝16根小棒，可表示为5×3＋1；
由此发现，摆几个正六边形所需小棒的数量就为5乘几再加1。
【解析】摆4个正六边形所需小棒的数量就为5乘4再加1：
5×4＋1
＝20＋1
＝21（根）
所以摆4个正六边形需要21根小棒；
摆51个正六边形所需小棒的数量就为5乘51再加1：
5×51＋1
＝255＋1
＝256（根）
所以摆51个小正六边形需要256根小棒；
用1001减1，再除以5就是所摆小正方形的个数：
（1001－1）÷5
＝1000÷5
＝200（个）
所以用1001根小棒，可以摆200个小正六边形。
70．10 （2n+2）
【分析】每增加1个正方形，周长增加了2厘米，则n个正方形周长为上下的2n厘米，再加上左右的2厘米，即（2n＋2）厘米。
【解析】由分析可知，用n个正方形拼成的长方形的周长是（2n＋2）厘米。
当n＝4时，
2＋2×4
＝2＋8
＝10（厘米）
所以用4个正方形拼成的长方形的周长是10厘米，用n个正方形拼成的长方形的周长是（2n＋2）厘米。
71．16 31
【分析】根据题意可知，第1个图案是由4个基本图形组成，第2个图案是由7个基本图形组成，第3个图案是由10个基本图形组成，由此可知，后一个图案比前一个图案多3个基本图形；
第1个图案是由4个基本图形组成，可以写成：3×1＋1；
第2个图案是由7个基本图形组成，可以写成：3×2＋1；
第3个图案是由10个基本图形组成，可以写成：3×3＋1；
……
由此可知，第n个图案由（3n＋1）个基本图形组成，当n＝5时，n＝10时，求出有多少个基本图案组成，据此解答。
【解析】根据分析可知，第n个图案由（3n＋1）个基本图形组成。
n＝5时：
3×5＋1
＝15＋1
＝16（个）
n＝10时：
3×10＋1
＝30＋1
＝31（个）
第1个图案是由4个基本图形组成，第2个图案是由7个基本图形组成，……，第5个图案是由16个基本图形组成，第10个图案是由31个基本图形组成。
72．31 1＋3n/3n＋1
【分析】图形1：数出★的个数为4个，可写成3×1＋1；
图形2：数出★的个数为7个，可写成3×2＋1；
图形3：数出★的个数为10个，可写成3×3＋1；
通过观察上述规律，发现第几个图形中★的个数就是3乘几加1。
【解析】第10个图形中★的个数就是3乘10加1，即3×10＋1＝30＋1＝31个；
第n幅图中★的个数就是3乘n加1，即3×n＋1＝（3n＋1）个；
所以按照此规律，第10个图形中★的个数为31个；第n幅图中★的个数为（3n＋1）个。
73．19
【分析】仔细观察可以发现，每增加一个正方形增加3根小棒，摆1个正方形需要4根小棒，摆2个正方形需要（4＋3×1）根小棒，摆3个正方形需要（4＋3×2）根小棒……则摆6个正方形需要（4＋3×5）根小棒.。据此解答。
【解析】4＋3×5
＝4＋15
＝19（根）
所以摆6个同样的正方形需要小棒19根。
74．18 402 （4n＋2）
【分析】观察图形：
第1个图形：白色的地面砖有6块；
第2个图形：白色的地面砖有10块，10＝4×2＋2；
第3个图形：白色的地面砖有14块，14＝4×3＋2；
第4个图形：白色的地面砖有18块，18＝4×4＋2；
……
第n个图形：白色的地面砖有（4n＋2）块；
【解析】4×4＋2
＝16＋2
＝18（块）
4×100＋2
＝400＋2
＝402（块）
则4个图案中有白色地面砖18块，第100个图案中有白色地面砖402块，第n个图案中有白色地面砖（4n＋2）块。
75．19 2n＋1/1＋2n
【分析】拼1个三角形需3根火柴棒，拼2个三角形需（3＋2）根火柴棒，拼3个三角形需（3＋2＋2）根火柴棒，……拼9个三角形需[3＋2×（9－8）]个火柴棒，拼n个三角形需个火柴棒即可解答。
【解析】3＋2×（9－8）
＝3＋2×8
＝3＋16
＝19（根）
拼n个三角形需火柴棒：
3＋2×（n－1）
＝3＋2n－2
＝2n＋1（根）
如图，它是由火柴棒组成的三角形图案，拼9个三角形图案用19根火柴棒，拼n个三角形图案用（2n＋1）根火柴棒。
76．25 30
【分析】观察图形可知：
第1个图中有圆形1个，1＝12，有灰色圆形1个；有白色圆形0个。
第2个图中有圆形4个，4＝22，有灰色圆形2个；有白色圆形2个，2＝22－2。
第3个图中有圆形9个，9＝32，有灰色圆形3个；有白色圆形6个，6＝32－3。
第4个图中有圆形16个，16＝42，有灰色圆形4个；有白色圆形12个，12＝42－4。
……
规律：第n个图中有圆形的个数为n2个，有灰色圆形n个，有白色圆形（n2－n）个。
据此规律解答。
【解析】规律：第n个图中有圆形的个数为n2个，有灰色圆形n个，有白色圆形（n2－n）个。
当n＝5时，n2＝5×5＝25（个）
当一个图形中有6个灰色圆形时，即n＝6时，则白色圆形有：
6×6－6
＝36－6
＝30（个）
第5个图形中，共有（25）个圆形；当一个图形中有6个灰色圆形时，白色的圆形有（30）个。
77．17 2＋3n
【分析】从图中可知：第一个图案需要5枚棋子；第二个图案需要8枚棋子，比第一个图案增加了3枚棋子；第三个图案需要11枚棋子，比第二个图案增加了3枚棋子，据此可以发现，每个图案需要的棋子都比前一个图案增加3枚棋子。
若第一个图案表示为5＝2＋3＝2＋3×1，
则第二个图案表示为8＝2＋3＋3＝2＋3×2，
第三个图案表示为11＝2＋3＋3＋3＝2＋3×3；
……
第n个图案可以表示为：2＋3n
据此解答即可。
【解析】第五个图案：
2＋3×5
＝2＋15
＝17（枚）
摆第5个图案需要17枚棋子，摆第n个图案需要（2＋3n）枚棋子。
78．16 3n＋1/1＋3n
【分析】观察可知，第1幅图中有（3＋1）个互不重叠的三角形，第2幅图中有（3×2＋1）个互不重叠的三角形，第3幅图中有（3×3＋1）个互不重叠的三角形……以此类推，第n幅图中有（3n＋1）个互不重叠的三角形，最后求出n＝5时含有字母式子的值，据此解答。
【解析】规律：第n幅图中有（3n＋1）个互不重叠的三角形。
当n＝5时
3n＋1
＝3×5＋1
＝15＋1
＝16（个）
所以，第5幅图中有（16）个互不重叠的三角形，第n幅图中有（3n＋1）个互不重叠的三角形。
79．16 3n＋1/1＋3n
【分析】观察图形可知，摆1个正方形需要4根小棒，摆2个正方形需要7根小棒，摆3个正方形需要10根小棒……发现：每增加一个正方形，小棒的数量增加3根，据此发现规律，并按此规律解答。
【解析】观察图形可知：
摆1个正方形需要4根小棒，4＝3×1＋1；
摆2个正方形需要7根小棒，7＝3×2＋1；
摆3个正方形需要10根小棒，10＝3×3＋1；
……
摆5个正方形需要小棒：
3×5＋1
＝15＋1
＝16（根）
规律：摆n个正方形需要（3n＋1）根小棒。
如果摆5个小正方形，需要16根小棒；如果摆n个正方形，需要（3n＋1）根小棒。
80．（1＋2n）/（2n＋1） 101
【分析】观察摆三角形的情况，摆1个三角形用3根小棒，即1＋2根小棒；摆2个三角形用1＋2＋2＝5根，即1＋2×2根小棒，摆3个三角形用1＋2＋2＋2＝7根，即1＋2×3根小棒；由此归纳：摆n个三角形时，需要（1＋2n）根小棒；计算摆50个时，把n＝50代入1＋2n中，就能求出小棒数。
【解析】摆1个三角形：3＝1＋2×1根小棒；
摆2个三角形：5＝1＋2×2根小棒；
摆3个三角形：7＝1＋2×3根小棒；
规律：摆n个三角形时，需要（1＋2n）根小棒。
当n＝50时
1＋2n
＝1＋2×50
＝1＋100
＝101
所以摆50个三角形，需要101根小棒。
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2025-2026学年六年级数学上册单元提升培优精练人教版
第8单元 数学广角-数与形 专项02 填空题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
1．探索规律。
将小棒按如下方式摆放。
(1)摆1个八边形需要8根小棒，摆2个八边形需要( )根小棒，摆3个八边形需要( )根小棒。
(2)摆n个八边形需要( )根小棒。
2．观察图，用数和式表示图中棋子数。
照这样画下去，第6组图形中，黑棋数用算式表示为( )，有( )个；第8组图形中，总棋数用算式表示为( )，有( )个。
3．杨辉三角是中国古代数学的杰出研究成果之一，它把组合数内在的一些性质直观地从图形中体现出来，是一种数与形的结合，如图，第4行第2个数是3，第7行第4个数是( )。
4．我国著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事非。”如图：在一个边长为1的正方形纸板上，依次贴上面积为的矩形彩色纸片，请你用“数形结合”的思想，依据数形变化的规律，计算：。
5．生活中，人们经常会把同样大小的圆柱形物体捆成一排（横截面如下图）。如果每个圆柱的直径是6厘米，粘贴处的胶带长度不计，捆3个需要胶带( )厘米，捆n个需要( )厘米。（π取3）
6．如图，找规律，算一算，一个小正方体的表面积是( )平方厘米。
7．观察下列等式：31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，36＝729，37＝2187，…，根据上述算式中的规律，你认为的末位数字是 。
8．用小棒摆正六边形（如图），摆5个正六边形需要( )根小棒，摆23个正六边形需要( )根小棒。
9．如图：摆一个正方形需要4根小棒，摆2个需要7根小棒，摆5个需要( )根小棒，摆n个需要( )根小棒。
10．如图，用黑白两种颜色的正方形纸片，按黑色纸片逐渐加1的规律拼成如图图案。按照这样的规律，如果一个图案白色纸片有70张，那么这个图案中有黑色纸片( )张。
11．丽丽用小棒拼正六边形，按这样的规律拼下去，拼4个正六边形需要 根小棒，拼个正六边形需要 根小棒。
12．将黑、白棋子按一层白、一层黑、一层白、一层黑……排成正三角形的形状，如图：当这样的一个正三角形中黑棋子比白棋子多5颗时，这个正三角形一共排了( )层，排成这个正三角形一共用了( )颗棋子。
13．如图，用大小相同的正方体木块搭模型，按照这样的规律，第4个模型需要 个正方体木块；第n个模型需要 个正方体水块。
14．在以下数列：……中位于第 项。
15．有许多等式：
；
；
；
…
那么第10个等式的和是 。
16．找规律。
1，，，…第n个数是( )。
17．如果n是一个自然数，那么n的“双阶乘”记为n！！，其表示从2到n的所有偶数的积，例如：3！！＝2.4！！＝2×4.9！！＝2×4×6×8，那么2！！＋3！！＋4！！＋……2024！！的末尾数字为 。
18．“数缺形时少直观，形缺数时难入微”。这是我国著名数学家华罗庚的名言。数和形是数学中最主要的两个研究对象，数形结合是数学学习中的一个重要的数学思想，请仔细观察下面几幅图形，思考并回答问题：
(1)由图形 可以证明公式：成立；
(2)由图形 可以证明公式：成立；
(3)由图形 可以证明公式：成立。
19．用围棋中的黑子和白子在棋盘上依次摆出了以下的图形。
按照这样的规律，当白棋有n枚时，黑子有( )枚；当一共用了35枚棋子时，白子有( )枚。
20．如图，按这样的规律摆下去，第8个图形有( )个●，第n个图形有( )个●。
21．生活中，人们经常会把同样大小的圆柱形物体捆成一排（横截面如下图）。如果每个圆柱的直径是6厘米，打结处的绳子长度不计。捆3个要( )厘米，捆n个需要( )厘米。（π取3）
22．用小棒摆成一组有规律的图案如下图所示，第1个图案需要4根小棒，第2个图案需要10根小棒……按此规律摆下去，第7个图案需要( )根小棒，第n个图案需要( )根小棒。
23．（如图）用长度相等的火柴棒按照图中的方式拼摆正方形，第4幅图需要 根火柴棒，第n幅图需要 根火柴棒。
24．用小棒按照下列的规律摆图形，第1个图形需要7根小棒，那么第4个图形需要( )根小棒，第n个图形需要( )根小棒。
25．下图中，在A城市和B城市间，增加1个站点，需要增加2种单程票；增加2个站点，需要增加5种单程票。照此规律，增加3个站点，需要增加( )种单程票；增加5个站点需要增加( )种单程票。
26．用白色和黑色圆形按照下面的方法摆图形。
按照这样的方法摆下去，第5个图形中，共有( )个圆形；当某一个图形中有10个黑色的圆形时，那么这个图形中白色的圆形有( )个。
27．用小棒摆三角形（如下图），照这样摆5个三角形要用( )根小棒，摆n个三角形需要用( )根小棒。
28．同学们用小棒玩游戏，如图：搭第一个图形要8根小棒，搭第二个图形要15根小棒，照这样的方法，搭第6个图形要( )根小棒，搭第n个图形要( )根小棒。
29．如图，小明用小棒搭房子，搭7间房子要用( )根小棒，搭n间房子需要( )根小棒。
30．画直线把一个圆分成尽可能多的块数（如图）请仔细观察，找出其中的规律。按照你发现的规律，6条直线最多能把圆分成( )块。
31．老师制作教具，如图①所示，搭一个长方体框架用了12根小棒。如果搭如图②所示的2个长方体框架，需要( )根小棒。如果像这样搭n个长方体框架，需要( )根小棒。
32．如图所示，用小木棒摆正方形。
按这样的规律，摆8个正方形需要小木棒( )根，摆n个正方形需要小木棒( )根。（用含字母“n”的式子表示）
33．如图，下面每个三角形都是由若干个小三角形组成的。按照这样的规律，摆第5个图形需要( )个小三角形。
34．将一些五角星如下图摆放，照这样的规律继续摆下去，第7幅图中共有( )颗五角星，第n幅图中共有( )颗五角星。
35．把数和形结合起来思考，是数学学习经常使用的方法。认真观察如图所示的点阵图，按这样的规律，第6幅图一共有( )个圆点，第n幅图一共有( )个圆点。
36．观察下面的点阵图形规律，第8个图形中有( )个点，第n个图形中有( )个点。
37．用小棒按下图方式搭图形，第6个图形需要( )根小棒，第n个图形需要( )根小棒。
38．如图，下列图案均是长度相同的火柴按一定的规律拼搭而成：第1个图案中有两个正方形，第2个图案中有4个正方形，…，依此规律，第10个图案中有( )个正方形。
39．如图，每个图形都是用边长1cm的小正方形纸片摆出来的，照这样摆下去，第4个图形用了( )个小正方形纸片，第4个图形的周长是( )cm。
40．如图，像这样有规律地排列，摆第8个图形需要( )根小棒。
41．古希腊毕达哥拉斯学派把1、3、6、10…这样的数称为“三角形数”，把1、4、9、16…这样的数称为“正方形数”。从图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”可以看作两个相邻“三角形数”之和，比如4＝1＋3，9＝3＋6…那么49＝( )＋( )。
42．如图，3个杯子叠起来高16cm，5个杯子叠起来高22cm。照这样计算，( )个杯子叠起来高31cm，n个杯子叠起来的高度是( )cm。
43．如图由同样大小的圆按一定规律排列所组成，其中第1个图形中有4个圆，第2个图形中有8个圆，第3个图形中有14个圆，第4个图形中有22个圆……，按此规律排列下去，第30个图形有 个圆。
44．如图是用小棒拼摆的3个不同的图形，按照这个规律，第五个图形需要( )根小棒，第n个图形需要( )根小棒。
45．果果用□和两种小正方形，在如图表格中按规律摆正方形。果果发现在他摆出的正方形中，□比多8个，这个正方形中□摆了 个，摆了 个。
46．小亮按下面的摆法摆六边形。摆1个六边形用6根小棒（如图①），摆2个六边形用了11根小棒（如图②）……
按照这个摆法，摆4个六边形要用( )根小棒，摆n个六边形要用( )根小棒，用36根小棒能摆出( )个六边形。
47．苗族千人长桌宴是苗族宴席的最高形式与隆重礼仪，已有几千年的历史。通常用于接亲嫁女、满月酒以及村寨联谊宴饮活动。在设定座位时如下图设计，认真观察，完成后面的问题。
(1)按照上图所示规律，安排5张桌子最多可以坐 人。
(2)如果有42人，需要安排 张桌子。
48．下面每个正方体的棱长是。
表面积： ( ) ( )
49．古希腊的毕达哥拉斯喜欢用小石子摆数，他发现当小石子的数量是1、3、6、10…这些数时，都能摆成正三角形，于是把这样的数称为“三角形数”。如下图，第10个三角形数是( )，第100个三角形数是( )。
50．按如图规律铺黑白砖，第49幅图形中有( )块黑瓷砖。
51．如图，1张桌子可坐4人，2张桌子拼起来可坐6人，3张桌子拼起来可坐8人。像这样10张桌子可坐( )人，( )张桌子拼起来可坐38人。
52．按下面图形的排列规律，摆到第9个图形共需要小三角形个数是( )个。
53．小棒摆摆乐！用小棒按照一定的规律摆八边形：
(1)如果摆成7个八边形，需要( )根小棒，29根小棒可以摆成( )个八边形。
(2)如果要摆成n个八边形，需要( )根小棒。
54．用边长是1厘米的正方形分别摆出如图的图形。按照规律，第5个图形的周长是( )厘米。
55．用黑白两种颜色的正方形纸片按规律拼图案（如下图）。第6个图案中黑色正方形纸片有( )张，第n个图案中黑色正方形纸片有( )张。
56．下面图形都是由面积为1的正方形组成的，观察图形的变化规律，第⑥个图形中正方形的数量是( )个。
……
57．用白色和黑色的小正方形按照下面的方法摆图形。按照这样的方法继续摆下去，第4个图形中，黑色小正方形有( )个；第个图形中，黑色小正方形有( )个。
58．如借助下图，可以将算式＝ ＝ （横线上填算式转化过程和结果）。
59．如图，用“＋”字形分割正方形，分割一次，分成了4个小正方形，分割两次分成了7个小正方形，请思考分割的次数和正方形个数的关系，如果分成了361个正方形，共用“＋”字形分割了( )次。
60．如图，1个羽毛球高7cm，2个这样的羽毛球摞起来高9.5cm，照这样一直摞下去，则n个这样的羽毛球摞起来高度是( )cm。
61．找规律填一填。
依次摆下去，第8个图形是( )形。摆第10个图形需要( )根小棒，摆n个图形需要( )根小棒。
62．观察下图，依次排下去，第n幅图有( )个棋子。
63．用小棒摆五边形，如下图所示。
按照这样的方法继续摆下去，摆第20幅图需要( )根小棒。
64．著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10…这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16…这样的数称为“正方形数”。从上图中可以发现：任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻的“三角形数”之和，例如4＝1＋3。把“正方形数”100写成两个相邻的“三角形数”之和，100＝( )。
65．将黑色棋子按照一定规律排列成一系列如图所示的图案。第1个图中有6枚黑棋子，第2个图中有11枚黑棋子，第3个图中有16枚黑棋子……按照此规律，第n个图中有( )枚黑棋子。
66．观察图的规律，第6个图中有( )个点，第n个图中有( )个点。
67．下面图形都是由面积为1的正方形组成的，观察图形的变化规律，第⑧个图形中正方形的数量是( )个。
68．按下图这样的规律摆下去，第10个图中有( )个涂成阴影的小正方形，第n个图中有( )个涂成阴影的小正方形。
69．如图，用小棒摆一个正六边形，摆4个正六边形需要 根小棒；摆51个小正六边形需要 根小棒；用1001根小棒，可以摆 个小正六边形。
70．把边长为1厘米的正方形纸片，按下面的规律拼成长方形：
用4个正方形拼成的长方形的周长是( )厘米，用n个正方形拼成的长方形的周长是( )厘米。
71．下面图形中，第1个图案是由4个基本图形组成，第2个图案是由7个基本图形组成，……，第5个图案是由( )个基本图形组成，第10个图案是由( )个基本图形组成。
72．观察下列图形的构成规律，按照此规律，第10个图形中★的个数为( )个；第n幅图中★的个数为( )个。
73．如图，摆6个同样的正方形需要小棒( )根。
74．用黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图所示的规律，拼成若干个图案：第4个图案中有白色地面砖( )块，第100个图案中有白色地面砖( )块，第n个图案中有白色地面砖( )块。
75．如图，它是由火柴棒组成的三角形图案，拼9个三角形图案用( )根火柴棒，拼n个三角形图案用( )根火柴棒。
76．用白色和灰色圆形按照如图所示的方法摆图形。
按照这样的方法摆下去，第5个图形中，共有 个圆形；当一个图形中有6个灰色圆形时，白色的圆形有 个。
77．按图中的方式摆棋子，摆第5个图案需要 枚棋子，摆第n个图案需要 枚棋子。
78．观察下图，照这样画下去，第5幅图中有( )个互不重叠的三角形，第n幅图中有( )个互不重叠的三角形（用含n的式子表示）。
79．用小棒摆正方形，观察思考：如果摆5个小正方形，需要( )根小棒；如果摆n个正方形，需要( )根小棒。
80．摆1个三角形需要3根小棒，摆2个三角形需要5根小棒，摆3个三角形需要7根小棒。摆n个三角形，需要 根小棒。摆50个三角形，需要 根小棒。
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参考答案与试题解析
1．(1) 15 22
(2)7n＋1
【分析】（1）根据图可知，摆1个八边形需要8根小棒，摆2个八边形需要15根小棒，摆3个八边形需要22根小棒，据此解答。
（2）根据图可知，后一个图形比前一个图形多7根小棒。
摆1个八边形需要8根小棒，可以写成：7×1＋1；
摆2个八边形需要15根小棒，可以写成：7×2＋1；
摆3个八边形需要22根小棒，可以写成：7×3＋1；
……摆n个八边形需要：（7n＋1）根小棒。
【解析】（1）根据分析可知，摆1个八边形需要8根小棒，摆2个八边形需要15根小棒，摆3个八边形需要22根小棒。
（2）根据分析可知，摆n个八边形需要（7n＋1）根小棒。
2．（6＋1）×（6＋2）÷2 28 （8＋1）×（8＋2） 90
【分析】观察图形可知：第一个图形总棋数是（2×3）个，其中黑白棋子的数量相等，黑棋子数为（2×3）÷2；
第二个图形总棋子数是（3×4）个，其中黑白棋子的数量相等，黑棋子数为（3×4）÷2；
第三个图形总棋子数是（4×5）个，其中黑白棋子的数量相等，黑棋子数为（4×5）÷2；
……
由此可知：第n个图形总棋数是（n＋1）×（n＋2）个，黑棋子数为（n＋1）×（n＋2）÷2；据此解答。
【解析】（6＋1）×（6＋2）÷2
＝7×8÷2
＝56÷2
＝28（个）
（8＋1）×（8＋2）
＝9×10
＝90（个）
照这样画下去，第6组图形中，黑棋数用算式表示为（6＋1）×（6＋2）÷2，有28个；第8组图形中，总棋数用算式表示为（8＋1）×（8＋2），有90个。
3．20
【分析】通过观察杨辉三角图可知：从第一行开始，每一行的两端都是1，其余的数是上一行相邻两个数的和，据此补全杨辉三角第7行的数字，再找到第7行第4个数。据此解答即可。
【解析】
如图所示，第7行第4个数是20。
4．
【分析】因为正方形的边长是1，所以正方形的面积也是1，正方形的面积减去未贴彩色纸片的面积就是已贴彩色纸片的面积。
【解析】。
5．42 6＋12n
【分析】捆3个圆柱时，胶带的长度由一个圆的周长和4条直径的长度组成。已知圆柱的直径为6厘米，π＝3，根据圆的周长公式C＝πd（d为直径），可得圆的周长为3×6＝18厘米。4条直径的长度为6×4＝24厘米。将圆的周长和4条直径的长度相加，可得捆3个圆柱需要的胶带长度为18＋24＝42厘米。
当捆n个圆柱时，因为两个圆柱并列时，中间有1个“间隔”，对应2条直径（上下各1条）；n个圆柱并列时，有n－1个间隔，所以直线部分是2×（n－1）条直径。胶带的长度由一个圆的周长和2×（n－1）条直径的长度组成。圆的周长为3×6＝18厘米，直径为6厘米，所以捆n个圆柱的长度为：18＋2×（n－1）×6。
【解析】3×6＋6×4
＝18＋24
＝42（厘米）
当捆n个圆柱时，胶带的长度由一个圆的周长和2×（n－1）条直径的长度组成。
18＋2×（n－1）×6
＝18＋12×（n－1）
＝18＋12n－12
＝（6＋12n）厘米
捆3个需要胶带42厘米，捆n个需要（6＋12n）厘米。
6．24
【分析】观察图形可知：
1个小正方体有6个面；
2个小正方体拼成长方体时，有2×（2－1）＝2个面重合，露出6×2－2＝10个面；
3个小正方体拼成长方体时，有2×（3－1）＝4个面重合，露出6×3－4＝14个面；
……
n个小正方体拼成长方体时，有2（n－1）个面重合，露出面的个数：
6n－2（n－1）
＝6n－2n＋2
＝（4n＋2）个
根据此规律，把n＝16代入式子中，求出当16个小正方体拼成长方体时露出面的个数，然后用拼成长方体的表面积除以面的个数，即可求出一个面的面积；再根据正方体的表面积公式S＝6a2，用一个面的面积乘6，求出正方体的表面积。
【解析】规律：n个小正方体拼成长方体时，有2（n－1）个面重合，有（4n＋2）个面。
当n＝16时
4n＋2
＝4×16＋2
＝64＋2
＝66（个）
一个面的面积：264÷66＝4（平方厘米）
正方体的表面积：4×6＝24（平方厘米）
一个小正方体的表面积是24平方厘米。
7．1
【分析】观察给出的等式：31＝3，末位数字是3；32＝9，末位数字是9；33＝27，末位数字是7；34＝81，末位数字是1；35＝243，末位数字是3；36＝729，末位数字是9；37＝2187，末位数字是7；…，可以发现3n的末位数字是以3、9、7、1这4个数字为一个周期循环出现的。用2025除以循环周期4，可得：2025÷4＝506……1，其中余数为1。这说明32025的末位数字是循环周期中的第1个数字，即3，因为32025的末位数字是3，所以32025－2的末位数字为3－2＝1。
【解析】3n的末位数字是以3、9、7、1这4个数字为一个周期循环出现。
对于32025：2025÷4＝506……1
32025的末位数字是循环周期中的第1个数字为3。
3－2＝1
所以32025－2的末位数字为1。
8．26 116
【分析】由图可知，摆1个正六边形需要6根小棒，可表示为5×1＋1＝6根。摆2个正六边形需要11根小棒，可表示为5×2＋1＝11根。摆3个正六边形需要16根小棒，可表示为5×3＋1＝16根。由此可推出，摆n个正六边形需要（5n＋1）根小棒。当n＝5时，代入5n＋1可得：5×5＋1＝26（根）。当n＝23时，代入5n＋1可得：5×23＋1＝116（根）。
【解析】由分析可知，摆n个正六边形需要（5n＋1）根小棒。
当n＝5：
5×5＋1
＝25＋1
＝26（根）
当n＝23：
5×23＋1
＝115＋1
＝116（根）
摆5个正六边形需要26根小棒，摆23个正六边形需要116根小棒。
9．16 3n＋1
【分析】摆1个正方形需要4根小棒，可表示为3×1＋1＝4根。摆2个正方形需要7根小棒，可表示为3×2＋1＝7根。由此可推出规律：摆n个正方形需要3n＋1根小棒。当n＝5时，代入3n＋1可得：3×5＋1＝15＋1＝16根。
【解析】摆1个正方形：
3×1＋1
＝3＋1
＝4（根）
摆2个正方形：
3×2＋1
＝6＋1
＝7（根）
摆n个正方形：3n＋1（根）
当n＝5：
3×5＋1
＝15＋1
＝16（根）
摆5个需要16根小棒，摆n个需要（3n＋1）根小棒。
10．23
【分析】第1个图案：黑色纸片有1张，白色纸片有4张。
第2个图案：黑色纸片有2张，白色纸片有4＋3×（2－1）＝4＋3×1＝4＋3＝7张。
第3个图案：黑色纸片有3张，白色纸片有4＋3×（3－1）＝4＋3×2＝4＋6＝10张。
由此可推出，第n个图案中，黑色纸片有n张，白色纸片有（3n＋1）张。已知白色纸片有70张，即3n＋1＝70，然后计算解答即可。
【解析】由分析可知，第n个图案中，黑色纸片有n张，白色纸片有（3n＋1）张。
3n＋1＝70
3n＝70－1
3n＝69
n＝69÷3
n＝23
所以这个图案中有黑色纸片23张。
11．21
【分析】①观察图形的规律，摆1个正六边形需要6根小棒；
摆2个正六边形需要根小棒；
摆3个正六边形需要根小棒；
根据这个规律可知，摆4个正六边形需要摆根小棒，计算即可求解；
②根据图中的规律发现，第一个正六边形需要6根小木棒，后续每增加1个正六边形就增加5根小木棒，根据这个规律即可列式表示。
【解析】①
（根）
即拼4个正六边形需要21根小棒；
②
即拼个正六边形需要根小棒。
12．10 55
【分析】①根据图中可知，有两层时黑色棋子比白色棋子多1颗棋子；有三层时黑色棋子比白色棋子少；有四层时黑色棋子比白色棋子多2颗棋子；有五层时黑色棋子比白色棋子少；有六层时黑色棋子比白色棋子多3颗棋子；根据这样的规律可知：
当有偶数层时，黑色棋子比白色棋子多（层数÷2）颗棋子；当有奇数层时，黑色棋子比白色棋子少，据此规律解答；
②棋子的总数＝1＋2＋3＋……＋层数即可求解。
【解析】①（层），即正三角形中黑棋子比白棋子多5颗时，这个正三角形一共排10层；
②
（颗）
则这个正三角形一共用了55颗棋子。
13．12 3n
【分析】第1个模型：通过观察可知有3个正方体木块。第2个模型：有6个正方体木块。第3个模型：有9个正方体木块。可以发现，第1个模型：3＝3×1；第2个模型：6＝3×2；第3个模型：9＝3×3。规律为：第n个模型需要3n个正方体木块。那么第4个模型需要的正方体木块数量为3×4＝12个。
【解析】第1个模型：3＝3×1（个）
第2个模型：6＝3×2（个）
第3个模型：9＝3×3（个）
第4个模型：3×4＝12（个）
第n个模型需要3n个正方体木块。
第4个模型需要12个正方体木块；第n个模型需要3n个正方体木块。
14．317
【分析】首先发现第一个数的分子分母的和为2，第二、第三个数的分子分母的和为3，第四、五、六个数的分子分母的和为4，由此将分子与分母之和相等的归于同一组，算出在7＋19－1＝25组，再算出在25组的位置，由此找出规律解决问题。
【解析】因为，在这一列数中，
第1组：分子、分母的和为2的有，共1项，
第2组：分子、分母的和为3的有，共2项，
第3组：分子、分母的和为4的有，共3项，
依此类推就会发现，分子分母和为n的组，有（n－1）项，即第（n－1）组，且每组中分子从n－1开始依次递减1，分母从1开始依次递增1；
的分子与分母和是26，那么该分子所在的组数就是：（组）
根据前面找到的规律，分子分母和为n的组有n－1项，那么前24组的项数之和是
1＋2＋3＋ ＋24
＝
＝25×24÷2
＝25×12
＝300
而在分子、分母和为26一组中，前面还有，共16个数，即在第17项，所以在这一整列数的项数为（项）。
【点评】解决这类数列找项数的问题，关键是通过分组找出分子分母的和、每组项数的规律，再利用等差数列求和等知识计算。要注意分析每组内数的分子分母变化特点，准确确定目标数所在组及组内位置，从而算出总项数。
15．1668
【分析】分析等式的规律，第个等式左边有个连续偶数，确定第10个等式左边的第一个数，第1个等式左边的第一个数为，第2个等式左边的第一个数为，第3个等式左边的第一个数为，那么第个等式左边的第一个数为；右侧有项，其中前项为连续奇数，右侧第一个数为，最后一个数为。
【解析】第10个等式等号左边的第一个数字是：
所以第10个等式是：
所以第10个等式的结果是：
【点评】本题考查的对于等式的规律的探索，分析等式两边的规律进而求和。
16．
【分析】1可以看作，分子和分母都是1；是第2个数，分子是3，分母是4，3＝2×2－1，4＝22；是第3个数，分子是5，分母是9，5＝2×3－1，9＝32；是第4个数，分子是7，分母是16，7＝2×4－1，16＝42；由此可知，第n个数的分子为（2n－1），第n个数的分母为n的平方。
【解析】第n个数的分子：（2n－1）
第n个数的分母：n2
所以第n个数是。
17．
4
【分析】根据“双阶乘”的定义，从开始，后面的的计算都需要乘10，所以末尾数字均为0，因此的尾数与的尾数相同，这里只需要计算的尾数即可。
【解析】；
；
；
；
；
；
；
；
；
因此的尾数为4。
【点评】分析“双阶乘”的末尾数字的规律，根据题中给出的运算的规律，可以分析“末尾数字为0”的临界条件，分段计算末尾数字并计算末尾数字之和就可以高效解决。
18．(1)A
(2)C
(3)B
【分析】（1）图A是边长为（a＋b）的正方形，其面积为（a＋b）2。同时，图A可看作由一个边长为a的正方形、一个边长为b的正方形和两个长为a、宽为b的长方形组成，面积为a2＋2ab＋b2。所以由图形A可以证明公式成立。
（2）图C中，大正方形边长为a，小正方形边长为b，大正方形面积减去小正方形面积为a2－b2。把图C中剩余部分拼接，可得到一个长为（a＋b）、宽为（a－b）的长方形，其面积为（a＋b）（a－b）。所以由图形C可以证明公式a2－b2＝（a＋b）（a－b）成立。
（3）图B中，大正方形边长为（a＋b），面积为（a＋b）2；内部小正方形边长为（b－a），面积为（b－a）2。大正方形面积减去小正方形面积，剩余部分可看作4个长为a、宽为b的长方形，面积为4ab。所以由图形B可以证明公式（a＋b）2－（b－a）2＝4ab成立。
【解析】（1）图形A正方形面积：（a＋b）2
也为：a2＋2ab＋b2
所以由图形A可以证明公式成立。
（2）图C大正方形面积减去小正方形面积：a2－b2。
图C中剩余部分面积：（a＋b）（a－b）
所以由图形C可以证明公式a2－b2＝（a＋b）（a－b）成立。
（3）图B大正方形面积：（a＋b）2
内部小正方形面积：（b－a）2
剩余部分面积：4ab
所以由图形B可以证明公式（a＋b）2－（b－a）2＝4ab成立。
19．2n＋2 11
【分析】由图可知，每增加1枚白子，就需要增加2枚黑子；摆1枚白子需要4枚黑子，可以写成：2×1＋2；摆2枚白子需要6枚黑子，可以写成：2×2＋2；摆3枚白子需要8枚黑子，可以写成：2×3＋2；……由此可知，摆n枚白子需要（2n＋2）枚黑子，一共需要n＋2n＋2＝（3n＋2）枚棋子。当3n＋2＝35时，求出白子的枚数，据此解答。
【解析】根据分析可知，按照这样的规律，当白棋有n枚时，黑子有（2n＋2）枚。
n＋2n＋2＝（3n＋2）枚
3n＋2＝35
解：3n＝35－2
n＝33÷3
n＝11
综上可得：按照这样的规律，当白棋有n枚时，黑子有（2n＋2）枚；当一共用了35枚棋子时，白子有11枚。
20．32 4n
【分析】观察发现，每增加一个图形就增加四个点，第1个图形有4个点，可以写成4×1；第2个图形有8个点，可以写成4×2；第3个图形有12个点，可以写成4×3；第4个图形有16个点，可以写成4×4；依此类推，得出第8个图形和第n个图形的点数。
【解析】观察发现，第1个图形有4个点，可以写成4×1；
第2个图形有8个点，可以写成4×2；
第3个图形有12个点，可以写成4×3；
第4个图形有16个点，可以写成4×4；
依此类推，第8个图形有4×8＝32个点；
第n个图形有4n个点。
所以，第8个图形有32个●，第n个图形有4n个●。
【点评】此题的关键是利用数与形的结合，通过观察图形，把图形中的变化规律转化成数字，多练习，培养数感。
21．42 12n＋6
【分析】绳子绕一圈的长度由两部分组成：①直线部分：绳子在相邻两个圆柱之间是直的。②圆弧部分：绳子绕过最两端的圆柱时，形成两个半圆（合起来是一个整圆）。
每个圆柱直径6cm，捆1个圆柱管时，绳子的长度就是底面圆的周长，圆周长为6×π＝6×3＝18厘米；
当有两个圆柱并排时，绳子的路径包括：两个半圆（即一个完整的圆）围绕两个圆柱的外侧；直线部分：有1个空隙，每个空隙有2条直线（上下各一条），每条6厘米。共（18＋2×1×6）厘米；
三个圆柱时，绳子的路径包括：两端的半圆，一个完整的圆；直线部分：有2个空隙，每个空隙有2条直线（上下各一条），每条6厘米。共18＋2×2×6＝42厘米；
捆n个圆柱时，弯的部分总是：18厘米；直的部分：有（n－1）个空隙，每个空隙有2条直线，每条6厘米。共18＋2×（n－1）×6＝（12n＋6）厘米。
【解析】根据分析：
当捆1个圆柱时，绳长是：6×π＝6×3＝18（厘米）；
当捆2个圆柱时，绳长是：18＋2×1×6＝18＋12＝30（厘米）；
当捆3个圆柱时，绳长是：18＋2×（3－1）×6＝18＋2×2×6＝18＋24＝42（厘米）；
当捆n个圆柱时，绳长是：18＋2×（n－1）×6＝18＋（2n－2）×6＝18＋12n－12＝（12n＋6）厘米
捆3个要42厘米，捆n个需要（12n＋6）厘米。
【点评】解决本题的关键是观察分析得到圆柱的放置规律，以及圆周长的计算方法，一个圆柱体时绳子的长度就是圆的周长，以后每增加一个圆柱体，绳子的长度就会增加圆的直径的2倍。
22．40 6n－2
【分析】由图可知，第1个图案需要4根小棒，第2个图案需要（4＋6）根小棒，第3个图案需要（4＋6×2）根小棒，第4个图案需要（4＋6×3）根小棒……以此类推，每次增加6根小棒，则第n个图案需要[4＋6×（n－1）]根小棒，最后求出n＝7时含有字母式子的值，据此解答。
【解析】4＋6×（n－1）
＝4＋（6n－6×1）
＝4＋6n－6
＝6n＋4－6
＝（6n－2）根
当n＝7时。
6n－2
＝6×7－2
＝42－2
＝40（根）
所以，第7个图案需要40根小棒，第n个图案需要（6n－2）根小棒。
23．13 （3n＋1）/（1＋3n）
【分析】看图可知，第1幅图需要4根火柴棒，4＝1×3＋1；第2幅图需要7根火柴棒，7＝2×3＋1；第3幅图需要10根火柴棒，10＝3×3＋1……由此可知，火柴棒的数量＝第几幅图就用几×3＋1。
【解析】4×3＋1
＝12＋1
＝13（根）
n×3＋1＝（3n＋1）根
第4幅图需要（13）根火柴棒，第n幅图需要（3n＋1）根火柴棒。
24．22 5n＋2/2＋5n
【分析】观察图形可知，第1个、2个、3个图形分别需要7根、12根、17根小棒，发现：每增加一个图形，小棒的数量增加5根，据此得出规律，并按规律解答。
【解析】观察图形可知：
第1个图形需要7根小棒，7＝5×1＋2；
第2个图形需要12根小棒，12＝5×2＋2；
第3个图形需要17根小棒，12＝5×3＋2；
……
第n个图形需要（5n＋2）根小棒；
当n＝4时
5n＋2
＝5×4＋2
＝20＋2
＝22（根）
那么第4个图形需要（22）根小棒，第n个图形需要（5n＋2）根小棒。
25．9 20
【分析】已知增加1个站点，需要增加2种单程票；增加2个站点，需要增加5种单程票，5＝2＋3；据此发现规律，增加n个站点，需要增加2＋3＋…＋（n＋1）种单程票，照此规律解答。
【解析】规律：增加n个站点，需要增加2＋3＋…＋（n＋1）种单程票。
当n＝3时，2＋3＋4＝9（种）
当n＝5时，2＋3＋4＋5＋6＝20（种）
照此规律，增加3个站点，需要增加（9）种单程票；增加5个站点需要增加（20）种单程票。
26．25 90
【分析】第1个图形：圆形总数1＝12个，黑色圆形数1，白色圆形数0。
第2个图形：圆形总数4＝22个，黑色圆形数2，白色圆形数4－2＝2个。
第3个图形：圆形总数9＝32个，黑色圆形数3，白色圆形数9－3＝6个。
第4个图形：圆形总数16＝42个，黑色圆形数4，白色圆形数16－4＝12个。
由此可推出规律：第n个图形中，圆形总数为n2，黑色圆形数为n，白色圆形数为n2－n。根据规律，第5个图形中，圆形总数为52＝25个。当黑色圆形数n＝10时，根据白色圆形数公式n2－n，可得白色圆形数为102－10＝100－10＝90个。
【解析】由分析可知：
第n个图形中，圆形总数为n2个，黑色圆形数为n，白色圆形数为（n2－n）个。
n＝5
52＝25（个）
n＝10
102－10
＝100－10
＝90（个）
第5个图形中，共有25个圆形；当某一个图形中有10个黑色的圆形时，那么这个图形中白色的圆形有90个。
27．11 2n＋1
【分析】摆1个三角形，用了3根小棒。摆2个三角形，用了5根小棒（比摆1个三角形多了2根小棒）。摆3个三角形，用了7根小棒（比摆2个三角形多了2根小棒）。所以摆n个三角形所用小棒的数量比摆（n－1）个三角形多2根小棒，且摆1个三角形用3根小棒，所以摆n个三角形所用小棒的数量可以表示为2n＋1根。当n＝5时，代入2n＋1可得：2×5＋1＝11根。
【解析】由分析可知，摆n个三角形要用：（2n＋1）根；
2×5＋1
＝10＋1
＝11（根）
摆5个三角形要用11根小棒，摆n个三角形需要用（2n＋1）根小棒。
28．43 7n＋1/1＋7n
【分析】观察图形可知，搭第一个、第二个、第三个图形分别需要8根、15根、22根小棒，发现：每增加一个正八边形，小棒的数量增加7根，据此找到规律，并按规律解答。
【解析】搭第1个图形要8根小棒，8＝7×1＋1；
搭第2个图形要15根小棒，15＝7×2＋1；
搭第3个图形要22根小棒，22＝7×3＋1；
……
规律：搭第n个图形要小棒（7n＋1）根；
当n＝6时
7n＋1
＝7×6＋1
＝42＋1
＝43（根）
照这样的方法，搭第6个图形要（43）根小棒，搭第n个图形要（7n＋1）根小棒。
29．29 4n＋1
【分析】搭1间房子用5根小棒，可表示为4×1＋1＝5根。搭2间房子用9根小棒，可表示为4×2＋1＝9根。搭3间房子用13根小棒，可表示为4×3＋1＝13根。由此可推出，搭n间房子需要（4n＋1）根小棒。当n＝7时，代入4n＋1可得：4×7＋1＝29（根）。
【解析】由分析可知，搭n间房子需要（4n＋1）根小棒。
4×7＋1
＝28＋1
＝29（根）
搭7间房子要用29根小棒，搭n间房子需要（4n＋1）根小棒。
30．22
【分析】观察可得规律是：0条直线能把圆分成1块，1条直线能把圆分成（1＋1）块，2条直线能把圆分成（1＋1＋2）块，3条直线能把圆分成（1＋1＋2＋3）块，……n条直线能把圆分成（1＋1＋2＋3＋…＋n）块，据此分析。
【解析】当n＝6时
1＋1＋2＋3＋…＋n
＝1＋1＋2＋3＋…＋6
＝1＋（1＋6）×6÷2
＝1＋7×6÷2
＝1＋21
＝22（块）
6条直线最多能把圆分成22块。
31．20 8n＋4/4＋8n
【分析】根据题意，先分析搭1个、2个长方体框架所需小棒数量的规律，再推导搭n个长方体框架所需小棒数量。搭1个长方体框架用12根小棒，搭2个时，有部分小棒重合，需找出重合后实际需要的小棒数，进而总结规律。据此解答。
【解析】搭1个长方体框架，需要12根小棒。搭2个长方体框架时，观察图形可知，两个长方体有4根小棒重合（即共用了4根小棒），所以需要的小棒数为12×2－4＝20根。搭n个长方体框架时，第一个用12根，从第二个开始，每个都与前一个有4根小棒重合，即每个后续的长方体需要12－4＝8根新的小棒。所以搭n个长方体框架需要的小棒数为12＋8（n－1），化简可得：
12＋8（n－1）
＝12＋8n－8
＝8n＋4
需要20根小棒。如果像这样搭n个长方体框架，需要（8n＋4）根小棒。
32．25 （3n＋1）/（1＋3n）
【分析】看图可知，1个正方形需要4根小木棒，4＝1×3＋1；2个正方形需要7根小木棒，7＝2×3＋1；3个正方形需要10根小木棒，10＝3×3＋1……由此可知，小木棒的根数＝正方形的个数×3＋1。
【解析】3×8＋1
＝24＋1
＝25（根）；
n×3＋1＝（3n＋1）（根）
摆8个正方形需要小木棒25根，摆n个正方形需要小木棒（3n＋1）根。
33．25
【分析】根据图可知，第1个图形由1个小三角形组成1个大三角形，小三角形的个数可以写成：12；
第2个图形由4个小三角形组成1个三角形，小三角形的个数可以写成：22；
第3个图形由9个小三角形组成1个大三角形，小三角形的个数可以写成：32；
……
第n个图形由n个小三角形组成1个大三角形，小三角形个数可以写成n2；当n＝5时，求出需要小三角形的个数。
【解析】根据分析可知，第n个图形由n2个小三角形组成。
n＝5时
52＝25（个）
摆第5个图形需要25个小三角形。
34．25 4n－3
【分析】由图可知，第1幅图中共有1颗五角星，第2幅图中共有（1＋4）颗五角星，第3幅图中共有（1＋4×2）颗五角星，第4幅图中共有（1＋4×3）颗五角星……每次增加4颗五角星，那么第n幅图中共有[1＋4×（n－1）]颗五角星，最后求出n＝7时含有字母式子的值，据此解答。
【解析】1＋4×（n－1）
＝1＋4n－4×1
＝1＋4n－4
＝4n－4＋1
＝（4n－3）颗
当n＝7时。
4n－3
＝4×7－3
＝28－3
＝25（颗）
所以，第7幅图中共有25颗五角星，第n幅图中共有（4n－3）颗五角星。
35．21 3＋3n
【分析】由图可知：
第①幅图中圆点数等于1＋2＋3
第②幅图中圆点数等于2＋3＋4
第③幅图中圆点数等于3＋4＋5
……
第⑥幅图中圆点数等于6＋7＋8＝21（个）圆点
第n幅图中圆点数等于n＋（n＋1）＋（n＋2）＝（3＋3n）个圆点，由此解答即可。
【解析】第6幅点阵图中的圆点数：
6＋7＋8
＝13＋8
＝21（个）
第n幅点阵图中的圆点数：n＋（n＋1）＋（n＋2）＝（3＋3n）个。
第6幅图一共有21个圆点，第n幅图一共有（3＋3n）个圆点。
36．64 n2
【分析】由图可知，第1个图形中有1个点，表示为12；
第2个图形中有4个点，表示为22；
第3个图形中有9个点，表示为32；
第4个图形中有16个点，表示为42；
发现规律：第n个图形中有n2个点。据此解答。
【解析】82＝8×8＝64（个）
所以，第8个图形中有64个点，第n个图形中有n2个点。
37．26 4n＋2/2＋4n
【分析】由图可知，第1个图形需要6根小棒，第2个图形需要（6＋4）根小棒，第3个图形需要（6＋4×2）根小棒……每次增加4根小棒，以此类推，第n个图形需要[6＋4×（n－1）]根小棒，最后求出n＝6时含有字母式子的值，据此解答。
【解析】6＋4×（n－1）
＝6＋4n－4×1
＝6＋4n－4
＝4n＋6－4
＝（4n＋2）根
当n＝6时。
4n＋2
＝4×6＋2
＝24＋2
＝26（根）
所以，第6个图形需要26根小棒，第n个图形需要（4n＋2）根小棒。
38．56
【分析】第1个图案中有2个正方形，第2个图案中有（1＋2＋1）个正方形，第3个图案中有（1＋2＋3＋1）个正方形，…，依此规律，第n个图案中有（1＋2＋3＋…＋n＋1）个正方形。即1＋2＋3＋…＋n＋1＝n×（1＋n）÷2＋1。
【解析】由分析可知，第n个图案中有：n×（1＋n）÷2＋1个正方形。
当n＝10时，
10×（1＋10）÷2＋1
＝10×11÷2＋1
＝110÷2＋1
＝55＋1
＝56（个）
所以第10个图案中有56个正方形。
【点评】此题主要考查了图形的变化，关键是根据题目中给出的图形，通过观察思考，归纳总结出规律，再利用规律解答。
39．16 22
【分析】第1个图形：小正方形纸片数量为12＝1个。第2个图形：小正方形纸片数量为22＝4个。第3个图形：小正方形纸片数量为32＝9个。由此可推出，第n个图形小正方形纸片数量为n2个。那么第4个图形小正方形纸片数量为42＝16个。
第1个图形：周长为4×1＝4cm。第2个图形：周长为6×2－2＝12－2＝10cm。第3个图形：周长为6×3－2＝18－2＝16cm。可以发现，可得第n个图形的周长为：（6n－2）cm。那么第4个图形的周长为：6×4－2＝24－2＝22cm。
【解析】由分析可知，第n个图形小正方形纸片数量为n2个。
42
＝4×4
＝16（个）
第n个图形的周长为：（6n－2）cm
6×4－2
＝24－2
＝22（cm）
第4个图形用了16个小正方形纸片，第4个图形的周长是22cm。
40．17
【分析】摆第1个图形（三角形）需要3根小棒，可表示为2×1＋1＝3根。摆第2个图形需要5根小棒，可表示为2×2＋1＝5根。摆第3个图形需要7根小棒，可表示为2×3＋1＝7根。摆第4个图形需要9根小棒，可表示为2×4＋1＝9根。由此可推出，摆第n个图形需要的小棒数量为2n＋1根。据此把数字8代入计算即可。
【解析】由分析可知，摆第n个图形需要的小棒数量为2n＋1根。
2×8＋1
＝16＋1
＝17（根）
所以摆第8个图形需要17根小棒。
41．21 28
【分析】1、3、6、10…这样的数称为“三角形数”，3＝1＋2，6＝1＋2＋3，10＝1＋2＋3＋4…第n个三角形数是1＋2＋3＋…＋n＝；正方形数是1＝，4＝，9＝…第n个正方形数是；任何一个大于1的“正方形数”可以看作两个相邻“三角形数”之和，正方形数49＝，所以正方形数是第7个，根据第n个三角形数是计算即可解答。
【解析】由分析可知：第n个三角形数是
49＝
所以正方形数是第7个，则两个三角形数分别是第7个和第6个，把7和6分别代入，得：
＝＝7×4＝28
＝＝3×7＝21
所以49＝21＋28
42．8 3n＋7/7＋3n
【分析】已知3个杯子叠起来高16cm，5个杯子叠起来高22cm，那么（5－3）个杯子叠起来的高度是（22－16）cm，用（22－16）÷（5－3）＝3cm，求出每多叠一个杯子增加的高度为3cm；
从图中可知，3个杯子叠起来时高16cm，有2个重叠部分高2×3＝6cm，则一个杯子的高度为16－6＝10cm；
由3个杯子叠起来有2个重叠部分，5个杯子叠起来有4个重叠部分，可得出：n个杯子叠起来有（n－1）个重叠部分，那么n个杯子叠起来的高度＝一个杯子的高度＋（n－1）×3，据此得出规律，并按规律求解。
【解析】每多叠一个杯子增加的高度为：
（22－16）÷（5－3）
＝6÷2
＝3（cm）
一个杯子的高度为：
16－2×3
＝16－6
＝10（cm）
n个杯子叠起来的高度是：
10＋（n－1）×3＝10＋3n－3＝（3n＋7）cm
叠起来高31cm的杯子数量：
3n＋7＝31
解：3n＋7－7＝31－7
3n＝24
3n÷3＝24÷3
n＝8
照这样计算，（8）个杯子叠起来高31cm，n个杯子叠起来的高度是（3n＋7）cm。
43．932
【分析】根据题意可知，第一个图形一共有圆：1×（1＋1）＋2＝4个；第二个图形一共有圆：2×（2＋1）＋2＝8个；第三个图形一共有圆：3×（3＋1）＋2＝14个；第四个图形一共有圆：4×（4＋1）＋2＝22个；圆的个数等于图形序号与序号数加多1数的积再加上上面圆的个数2，根据图形得出第n个图形中圆的个数是n×（n＋1）＋2，据此进行解答。
【解析】第1个图形中一共有1×（1＋1）＋2＝1×2＋2＝2＋2＝4（个）圆
第2个图形中一共有2×（2＋1）＋2＝2×3＋2＝6＋2＝8（个）圆
第3个图形中一共有3×（3＋1）＋2＝3×4＋2＝12＋2＝14（个）圆
第4个图形中一共有4×（4＋1）＋2＝4×5＋2＝20＋2＝22（个）圆
可得第n个图形中圆的个数是：n（n＋1）＋2
所以第30个图形中圆的个数：30×（30＋1）＋2＝30×31＋2＝930＋2＝932（个）
第30个图形有932个圆。
44．60 2n（n＋1）
【分析】根据图示可知：
第1幅图小棒根数：4根
第2幅图小棒根数：12根，12＝4＋8＝2×2×（2＋1）
第3幅图小棒根数：24根，24＝4＋8＋12＝2×3×（3＋1）
……
第n幅图小棒根数：2n（n＋1），据此解答。
【解析】根据分析，第n幅图小棒根数：2n（n＋1）
当n＝5，2n（n＋1）＝2×5×（5＋1）＝60
第五个图形需要60根小棒，第n个图形需要2n（n＋1）根小棒。
45．36 28
【分析】
根据方格图中从左到右□和的排列可知：
第1幅图中，小正方形的个数为1（12）个，其中1个阴影小正方形，0个空白小正方形，1－0＝1（个），比□多1个；
第2幅图中，小正方形的个数为4（22）个，其中1个阴影小正方形，3个空白小正方形，3－1＝2（个），□比多2个；
第3幅图中，小正方形的个数为9（32）个，其中6个阴影小正方形，3个空白小正方形，6－3＝3（个），比□多3个；
第4幅图中，小正方形的个数为16（42）个，其中6个阴影小正方形，10个空白小正方形，10－6＝4（个），□比多4个；
即序号是奇数时，比□多序号个；序号是偶数时，□比多序号个，且小正方形个数即为序号的平方个。据此解答。
【解析】
序号是奇数时，比□多序号个；序号是偶数时，□比多序号个，且小正方形个数即为序号的平方个。
当□比多8个，即第8幅图，小正方形个数为：82＝64（个）
□为：
（64＋8）÷2
＝72÷2
＝36（个）
为：
（64－8）÷2
＝56÷2
＝28（个）
当□比多8个，这个正方形中□摆了36个，摆了28个。
46．21 5n＋1 7
【分析】由图可知，摆1个六边形用6根小棒，摆2个六边形用（6＋5）根小棒，摆3个六边形用（6＋5×2）根小棒……以此类推，每次增加5根小棒，摆n个六边形用[6＋5×（n－1）]根小棒，最后求出n＝4时含有字母式子的值，以及式子的值为36时字母的值，据此解答。
【解析】6＋5×（n－1）
＝6＋（5n－5×1）
＝6＋（5n－5）
＝6＋5n－5
＝5n＋6－5
＝（5n＋1）根
当n＝4时。
5n＋1
＝5×4＋1
＝20＋1
＝21（根）
5n＋1＝36
解：5n＋1－1＝36－1
5n＝35
5n÷5＝35÷5
n＝7
所以，摆4个六边形要用21根小棒，摆n个六边形要用（5n＋1）根小棒，用36根小棒能摆出7个六边形。
47．(1)22
(2)10
【分析】（1）观察图形可知：
1张桌子最多可以坐6人，6＝4×1＋2；
2张桌子最多可以坐10人，10＝4×2＋2；
3张桌子最多可以坐14人，14＝4×3＋2；
……
规律：n张桌子最多可以坐（4n＋2）人；
据此规律解答。
（2）如果有42人，即上一题的规律4n＋2＝42，根据等式的性质解方程即可。
【解析】（1）规律：n张桌子最多可以坐（4n＋2）人；
当n＝5时
4n＋2
＝4×5＋2
＝20＋2
＝22（人）
按照上图所示规律，安排5张桌子最多可以坐22人。
（2）4n＋2＝42
解：4n＋2－2＝42－2
4n＝40
4n÷4＝40÷4
n＝10
如果有42人，需要安排10张桌子。
48．14a2 202a2
【分析】一个正方体有6个面，表面积是6a2；两个正方体有10个面，表面积是10a2；三个正方体有14个面，表面积是14a2，由此可知，每增加一个正方体，表面积就增加4a2；
一个正方体，表面积是6a2；可以写成（4×1＋2）a2；
两个正方体有10个面，表面积是10a2；可以写成（4×2＋2）a2
三个正方体有14个面，表面积是14a2；可以写成（4×3＋2）a2
……
由此可知，n个正方体，表面积是（4n＋2）a2，据此求出n＝50时的表面积。
【解析】根据分析可知， n个正方体，表面积是（4n＋2）a2。
n＝3时：
（4×3＋2）a2
＝（12＋2）a2
＝14a2
n＝50时：
（4×50＋2）a2
＝（200＋2）a2
＝202a2
49．55 5050
【分析】观察“三角形数”：第1个是1，第2个是3＝1＋2，第3个是6＝1＋2＋3，第4个是10＝1＋2＋3＋4 。据此发现规律：第n个三角形数是从1开始连续n个自然数相加的和，利用这个规律来计算第10和第100个三角形数，据此解答。
【解析】规律：第n个三角形数是1＋2＋3＋……＋n ；
计算第10个三角形数：
当n＝10时
1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10
＝ （1＋10）＋（2＋9）＋（3＋8）＋（4＋7）＋（5＋6）
＝11＋11＋11＋11＋11
＝11×5
＝55
当n＝100时
1＋2＋3＋……＋100
＝（1＋100）＋（2＋99）＋……＋（50＋51）
＝101＋101＋……＋101
＝101×50
＝5050
第10个三角形数是55，第100个三角形数是5050。
【点评】关键是发现三角形数是连续自然数相加的规律，通过分组凑整的方法（如把首尾数相加），能简便算出连续自然数相加的和，利用这个规律就可以算出任意第n个三角形数，避免逐个累加的麻烦，要注意找对分组的数量。
50．148
【分析】根据图形可知，第一个图形中，黑瓷砖有4块，可以写成3×1＋1；
第二个图形中，黑瓷砖有7块，可以写成3×2＋1；
第三个图形中，黑瓷砖有10块，可以写成3×3＋1；
由此可以得出一般规律，第n个图形中黑瓷砖有（3n＋1）块，据此解答。
【解析】第n幅图形中有（3n＋1）块黑瓷砖，所以第49幅图形中有：
3×49＋1
＝147＋1
＝148（块）
因此，第49幅图形中有148块黑瓷砖。
51．22 18
【分析】1张桌子可坐4人，4＝1×2＋2；2张桌子拼起来可坐6人，6＝2×2＋2；3张桌子拼起来可坐8人，8＝3×2＋2……由此可知，坐的人数＝几张桌子就用几×2＋2；桌子数＝（坐的人数－2）÷2。
【解析】10×2＋2
＝20＋2
＝22（人）
（38－2）÷2
＝36÷2
＝18（张）
像这样10张桌子可坐（22）人，（18）张桌子拼起来可坐38人。
52．81
【分析】根据题意可知，图①摆第1个图形，需要小三角形个数是1个，可以写成12；
图②摆第2个图形，需要小三角形个数是4个，可以写成22；
图③摆第3个图形，需要小三角形个数是9个，可以写成32；
……
由此可知，摆到n个图形，需要小三角形个数是n2个，据此求出n＝9时，需要小三角形的个数。
【解析】根据分析可知，摆到n个图形，需要小三角形个数是n2个。
n＝9时：
92＝9×9＝81（个）
摆到第9个图形共需要小三角形个数是81个。
53．(1) 50 4
(2)（7n＋1）/（1＋7n）
【分析】观察可知，摆1个八边形需要8根小棒，8＝1×7＋1；摆2个八边形需要15根小棒，15＝2×7＋1；摆3个八边形需要22根小棒，22＝3×7＋1……，由此可知，小棒数量＝摆几个八边形就用几×7＋1；八边形的数量＝（小棒数量－1）÷7，据此分析。
【解析】（1）7×7＋1
＝49＋1
＝50（根）
（29－1）÷7
＝28÷7
＝4（个）
如果摆成7个八边形，需要50根小棒，29根小棒可以摆成4个八边形。
（2）n×7＋1＝（7n＋1）根
如果要摆成n个八边形，需要（7n＋1）根小棒。
54．28
【分析】观察可知，第1个图形有1层，周长是4厘米，4＝1×6－2；第2个图形有2层，周长是10厘米，10＝2×6－2；第3个图形有3层，周长是16厘米，16＝3×6－2……，由此可知，周长＝层数×6－2，据此计算第5个图形的周长。
【解析】5×6－2
＝30－2
＝28（厘米）
按照规律，第5个图形的周长是28厘米。
55．19 3n＋1
【分析】根据图可知，第1个图案中有4张黑色正方形，第2个图案中有7张黑色正方形，第3个图案中有10张黑色正方形……，由此可知，后一个图案中黑色正方形比前一个图案中黑色正方形多3张黑色正方形。
第1个图案中黑色正方形有4张，可以写成：3×1＋1；
第2个图案中黑色正方形有7张，可以写成：3×2＋1；
第3个图案中黑色正方形有10张，可以写成：3×3＋1；
……
由此可知，第n个图案中黑色正方形有（3n＋1）张，据此求出第6个图案中黑色正方形的个数。
【解析】根据分析可知，第n个图案中黑色正方形有（3n＋1）个。
n＝6时：
3×6＋1
＝18＋1
＝19（张）
用黑白两种颜色的正方形纸片按规律拼图案。第6个图案中黑色正方形纸片有19张，第n个图案中黑色正方形纸片有（3n＋1）张。
56．27
【分析】能够根据图形发现规律：从左往右，右面每幅图比左边每幅图多的小正方形个数依次为3、4、5、…，据此可知：第⑤个图形中正方形的数量比第④个图形中正方形的数量多6个，第⑥个图形中正方形的数量比第⑤个图形中正方形的数量多7个，据此解答。
【解析】第①个图形正方形个数：2个
第②个图形正方形个数：2＋3＝5（个）
第③个图形正方形个数：5＋4＝9（个）
第④个图形正方形个数：9＋5＝14（个）
第⑤个图形正方形个数：14＋6＝20（个）
第⑥个图形正方形个数：20＋7＝27（个）
第⑥个图形中正方形的数量是27个。
57．17 （4＋1）
【分析】看图可知，第1个图形有5个黑色小正方形，5＝1×4＋1；第2个图形有9个黑色小正方形，9＝2×4＋1；第3个图形有13个黑色小正方形，13＝3×4＋1……，由此可知，第n个图形中黑色小正方形有n×4＋1＝（4n＋1）个，据此分析。
【解析】4×4＋1
＝16＋1
＝17（个）
×4＋1＝（4＋1）个
第4个图形中，黑色小正方形有17个；第个图形中，黑色小正方形有（4＋1）个。
58．
【分析】把整个正方形的面积看作单位“1”。观察图形可知，算式表示的是图中若干个小长方形（或正方形）面积之和，这些小图形面积之和等于单位“1”减去最后剩下的空白部分的面积，空白部分面积为。
【解析】由分析可知：
所以。
59．120
【分析】没有分割前只有1个正方形，分割一次时变成了4个小正方形，增加了（4－1）个小正方形。分割两次时分成了7个小正方形，比上一次又增加了（7－4）个小正方形。由此可见，每分割一次就比上一次多增加3个小正方形。将361个正方形减去最初的1个正方形，求出差，再将差除以3，即可求出分割了多少次。
【解析】4－1＝3（个）
7－4＝3（个）
所以，每分割一次就比上一次多增加3个小正方形。
（361－1）÷3
＝360÷3
＝120（次）
所以，如果分成了361个正方形，共用“＋”字形分割了120次。
60．（4.5＋2.5n）/（2.5n＋4.5）
【分析】根据题意，1个羽毛球高7cm，2个这样的羽毛球摞起来高9.5cm，2个羽毛球摞起来的高度＝一个羽毛球的高度＋（2－1）个球尾的高度，所以一个羽毛球球尾的高度是9.5－7＝2.5（厘米），所以3个羽毛球摞起来的高度＝一个羽毛球的高度＋（3－1）×2.5……n个这样的羽毛球摞起来的高度＝1个羽毛球的高度＋（n－1）×2.5，据此列式解答即可。
【解析】7＋（n－1）×2.5
＝7＋2.5n－2.5
＝（4.5＋2.5n）（cm）
所以n个这样的羽毛球摞起来高度是（4.5＋2.5n）cm。
61．平行四边 21 2n＋1
【分析】观察图形可知，第一个图形是三角形，第二个图形是平行四边形，第三个图形是梯形，第四个图形是平行四边形，第五个图形是梯形，从第2个开始：平行四边形、梯形交替出现，第1个特殊（三角形），从第2个起，双数位置是平行四边形，单数位置（≥3）是梯形。第8个是双数位置，所以第8个图形是平行四边形。
摆第1个图形（三角形）需要3根小棒，3＝1＋2×1；
摆第2个图形需要5根小棒，5＝1＋2×2；
摆第3个图形需要7根小棒，7＝1＋2×3；
摆第4个图形需要9根小棒，9＝1＋2×4。
可以总结出规律：小棒数量依次增加2。摆第n个图形需要（1＋2×n）根小棒。据此解答。
【解析】1＋2×10
＝1＋20
＝21（根）
1＋2×n＝（1＋2n）根
即依次摆下去，第8个图形是平行四边形。摆第10个图形需要21根小棒，摆n个图形（1＋2n）根小棒。
62．
【分析】观察点子的数目与图的序数之间的关系，发现：第1幅图：1＝个；第2幅图：4＝个；第3幅图：9＝个；第4幅图：16＝个，……，据此规律解答。
【解析】第1幅图：＝1×1＝1（个）
第2幅图：＝2×2＝4（个）
第3幅图：＝3×3＝9（个）
第4幅图：＝4×4＝16（个）
所以第5幅图有＝5×5＝25（个）
……
第n幅图：（个）
所以第n幅图有个点子。
63．81
【分析】找摆五边形的规律，第1幅图5根小棒，第2幅图5＋4＝9根，第3幅图5＋4×2＝5＋8＝13根……得出第n幅图小棒数公式：5＋4×（n－1）＝4n＋1 。依据图形规律的归纳与通项公式推导，据此解答。
【解析】第1幅：5＝4×1＋1
第2幅：9＝4×2＋1
第3幅：13＝4×3＋1
第20幅：4×20＋1＝80＋1＝81（根）
64．45＋55
【分析】先写出“三角形数”：1、3、6、10、15、21、28、36、45、55、66……，由此可以发现规律后一个数比前一个数依次多2、3、4、5……，观察这些数，找出相邻的两个数相加等于100，据此解答。
【解析】45和50是相邻的三角形数，45＋55＝100，正好符合条件。
即把“正方形数”100写成两个相邻的“三角形数”之和，100＝45＋55。
65．1＋5n/5n＋1
【分析】由图可知，第1个图中有6枚黑棋子，第2个图中有（6＋5×1）枚黑棋子，第3个图中有（6＋5×2）枚黑棋子……以此类推，每次增加5枚黑棋子，那么第n个图中有[6＋5×（n－1）]枚黑棋子，据此解答。
【解析】6＋5×（n－1）
＝6＋（5n－5）
＝6＋5n－5
＝6－5＋5n
＝（1＋5n）枚
所以，第n个图中有（1＋5n）枚黑棋子。
66．21 4n－3
【分析】观察图形可以发现：第一个图形有1个点；第二个图形有（1＋4×1）个点；第三个图形有（1＋4×2）个点；第四个图有（1＋4×3）个点，……第n个图形有[1＋4（n－1）]个点。
【解析】由分析可知：第n个图形点的个数为：
1＋4（n－1）
＝1＋4n－4
＝（4n－3）（个）
把n＝6代入4n－3得：
4×6－3
＝24－3
＝21（个）
所以第6个图中有21个点，第n个图中有（4n－3）个点。
67．44
【分析】由图可知，第①个图形有2个正方形，第②个图形有（2＋3）个正方形，第③个图形有（2＋3＋4）个正方形，第④个图形有（2＋3＋4＋5）个正方形……以此类推，正方形的个数为从2开始连续自然数的和，是第几个图形算式中就有几个加数，据此解答。
【解析】2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9
＝（2＋3＋4＋5）＋（6＋7＋8＋9）
＝14＋30
＝44（个）
所以，第⑧个图形中正方形的数量是44个。
68．19 2n－1
【分析】观察图形可知，第1个图中有1个小正方形，第2个图中每边有2个小正方形，第3个图中每边有3个小正方形，涂成阴影的小正方形分别有1个、3个、5个，发现：大正方形的边长每增加1个小正方形，则涂成阴影的小正方形数量依次增加2个，据此发现规律并按规律解答。
【解析】观察图形：
第1个图涂成阴影的小正方形有1个；
第2个图涂成阴影的小正方形有3个，3＝2×2－1；
第3个图涂成阴影的小正方形有5个，5＝2×3－1；
……
规律：第n个图中涂成阴影的小正方形有（2n－1）个。
当n＝10时
2n－1
＝2×10－1
＝20－1
＝19（个）
按下图这样的规律摆下去，第10个图中有（19）个涂成阴影的小正方形，第n个图中有（2n－1）个涂成阴影的小正方形。
69．21 256 200
【分析】摆1个正六边形时，需要6根小棒，可表示为5×1＋1；
摆2个正六边形时，第二个正六边形与第一个正六边形共用1根小棒，所以需要6＋5＝11根小棒，可表示为5×2＋1；
摆3个正六边形时，第三个正六边形与第二个正六边形共用1根小棒，所以需要11＋5＝16根小棒，可表示为5×3＋1；
由此发现，摆几个正六边形所需小棒的数量就为5乘几再加1。
【解析】摆4个正六边形所需小棒的数量就为5乘4再加1：
5×4＋1
＝20＋1
＝21（根）
所以摆4个正六边形需要21根小棒；
摆51个正六边形所需小棒的数量就为5乘51再加1：
5×51＋1
＝255＋1
＝256（根）
所以摆51个小正六边形需要256根小棒；
用1001减1，再除以5就是所摆小正方形的个数：
（1001－1）÷5
＝1000÷5
＝200（个）
所以用1001根小棒，可以摆200个小正六边形。
70．10 （2n+2）
【分析】每增加1个正方形，周长增加了2厘米，则n个正方形周长为上下的2n厘米，再加上左右的2厘米，即（2n＋2）厘米。
【解析】由分析可知，用n个正方形拼成的长方形的周长是（2n＋2）厘米。
当n＝4时，
2＋2×4
＝2＋8
＝10（厘米）
所以用4个正方形拼成的长方形的周长是10厘米，用n个正方形拼成的长方形的周长是（2n＋2）厘米。
71．16 31
【分析】根据题意可知，第1个图案是由4个基本图形组成，第2个图案是由7个基本图形组成，第3个图案是由10个基本图形组成，由此可知，后一个图案比前一个图案多3个基本图形；
第1个图案是由4个基本图形组成，可以写成：3×1＋1；
第2个图案是由7个基本图形组成，可以写成：3×2＋1；
第3个图案是由10个基本图形组成，可以写成：3×3＋1；
……
由此可知，第n个图案由（3n＋1）个基本图形组成，当n＝5时，n＝10时，求出有多少个基本图案组成，据此解答。
【解析】根据分析可知，第n个图案由（3n＋1）个基本图形组成。
n＝5时：
3×5＋1
＝15＋1
＝16（个）
n＝10时：
3×10＋1
＝30＋1
＝31（个）
第1个图案是由4个基本图形组成，第2个图案是由7个基本图形组成，……，第5个图案是由16个基本图形组成，第10个图案是由31个基本图形组成。
72．31 1＋3n/3n＋1
【分析】图形1：数出★的个数为4个，可写成3×1＋1；
图形2：数出★的个数为7个，可写成3×2＋1；
图形3：数出★的个数为10个，可写成3×3＋1；
通过观察上述规律，发现第几个图形中★的个数就是3乘几加1。
【解析】第10个图形中★的个数就是3乘10加1，即3×10＋1＝30＋1＝31个；
第n幅图中★的个数就是3乘n加1，即3×n＋1＝（3n＋1）个；
所以按照此规律，第10个图形中★的个数为31个；第n幅图中★的个数为（3n＋1）个。
73．19
【分析】仔细观察可以发现，每增加一个正方形增加3根小棒，摆1个正方形需要4根小棒，摆2个正方形需要（4＋3×1）根小棒，摆3个正方形需要（4＋3×2）根小棒……则摆6个正方形需要（4＋3×5）根小棒.。据此解答。
【解析】4＋3×5
＝4＋15
＝19（根）
所以摆6个同样的正方形需要小棒19根。
74．18 402 （4n＋2）
【分析】观察图形：
第1个图形：白色的地面砖有6块；
第2个图形：白色的地面砖有10块，10＝4×2＋2；
第3个图形：白色的地面砖有14块，14＝4×3＋2；
第4个图形：白色的地面砖有18块，18＝4×4＋2；
……
第n个图形：白色的地面砖有（4n＋2）块；
【解析】4×4＋2
＝16＋2
＝18（块）
4×100＋2
＝400＋2
＝402（块）
则4个图案中有白色地面砖18块，第100个图案中有白色地面砖402块，第n个图案中有白色地面砖（4n＋2）块。
75．19 2n＋1/1＋2n
【分析】拼1个三角形需3根火柴棒，拼2个三角形需（3＋2）根火柴棒，拼3个三角形需（3＋2＋2）根火柴棒，……拼9个三角形需[3＋2×（9－8）]个火柴棒，拼n个三角形需个火柴棒即可解答。
【解析】3＋2×（9－8）
＝3＋2×8
＝3＋16
＝19（根）
拼n个三角形需火柴棒：
3＋2×（n－1）
＝3＋2n－2
＝2n＋1（根）
如图，它是由火柴棒组成的三角形图案，拼9个三角形图案用19根火柴棒，拼n个三角形图案用（2n＋1）根火柴棒。
76．25 30
【分析】观察图形可知：
第1个图中有圆形1个，1＝12，有灰色圆形1个；有白色圆形0个。
第2个图中有圆形4个，4＝22，有灰色圆形2个；有白色圆形2个，2＝22－2。
第3个图中有圆形9个，9＝32，有灰色圆形3个；有白色圆形6个，6＝32－3。
第4个图中有圆形16个，16＝42，有灰色圆形4个；有白色圆形12个，12＝42－4。
……
规律：第n个图中有圆形的个数为n2个，有灰色圆形n个，有白色圆形（n2－n）个。
据此规律解答。
【解析】规律：第n个图中有圆形的个数为n2个，有灰色圆形n个，有白色圆形（n2－n）个。
当n＝5时，n2＝5×5＝25（个）
当一个图形中有6个灰色圆形时，即n＝6时，则白色圆形有：
6×6－6
＝36－6
＝30（个）
第5个图形中，共有（25）个圆形；当一个图形中有6个灰色圆形时，白色的圆形有（30）个。
77．17 2＋3n
【分析】从图中可知：第一个图案需要5枚棋子；第二个图案需要8枚棋子，比第一个图案增加了3枚棋子；第三个图案需要11枚棋子，比第二个图案增加了3枚棋子，据此可以发现，每个图案需要的棋子都比前一个图案增加3枚棋子。
若第一个图案表示为5＝2＋3＝2＋3×1，
则第二个图案表示为8＝2＋3＋3＝2＋3×2，
第三个图案表示为11＝2＋3＋3＋3＝2＋3×3；
……
第n个图案可以表示为：2＋3n
据此解答即可。
【解析】第五个图案：
2＋3×5
＝2＋15
＝17（枚）
摆第5个图案需要17枚棋子，摆第n个图案需要（2＋3n）枚棋子。
78．16 3n＋1/1＋3n
【分析】观察可知，第1幅图中有（3＋1）个互不重叠的三角形，第2幅图中有（3×2＋1）个互不重叠的三角形，第3幅图中有（3×3＋1）个互不重叠的三角形……以此类推，第n幅图中有（3n＋1）个互不重叠的三角形，最后求出n＝5时含有字母式子的值，据此解答。
【解析】规律：第n幅图中有（3n＋1）个互不重叠的三角形。
当n＝5时
3n＋1
＝3×5＋1
＝15＋1
＝16（个）
所以，第5幅图中有（16）个互不重叠的三角形，第n幅图中有（3n＋1）个互不重叠的三角形。
79．16 3n＋1/1＋3n
【分析】观察图形可知，摆1个正方形需要4根小棒，摆2个正方形需要7根小棒，摆3个正方形需要10根小棒……发现：每增加一个正方形，小棒的数量增加3根，据此发现规律，并按此规律解答。
【解析】观察图形可知：
摆1个正方形需要4根小棒，4＝3×1＋1；
摆2个正方形需要7根小棒，7＝3×2＋1；
摆3个正方形需要10根小棒，10＝3×3＋1；
……
摆5个正方形需要小棒：
3×5＋1
＝15＋1
＝16（根）
规律：摆n个正方形需要（3n＋1）根小棒。
如果摆5个小正方形，需要16根小棒；如果摆n个正方形，需要（3n＋1）根小棒。
80．（1＋2n）/（2n＋1） 101
【分析】观察摆三角形的情况，摆1个三角形用3根小棒，即1＋2根小棒；摆2个三角形用1＋2＋2＝5根，即1＋2×2根小棒，摆3个三角形用1＋2＋2＋2＝7根，即1＋2×3根小棒；由此归纳：摆n个三角形时，需要（1＋2n）根小棒；计算摆50个时，把n＝50代入1＋2n中，就能求出小棒数。
【解析】摆1个三角形：3＝1＋2×1根小棒；
摆2个三角形：5＝1＋2×2根小棒；
摆3个三角形：7＝1＋2×3根小棒；
规律：摆n个三角形时，需要（1＋2n）根小棒。
当n＝50时
1＋2n
＝1＋2×50
＝1＋100
＝101
所以摆50个三角形，需要101根小棒。
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