（单元提升培优）第8单元 数学广角-数与形 专项03 应用题-2025-2026学年六年级数学上册单元提升培优精练人教版（含答案解析）
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| 名称 | （单元提升培优）第8单元 数学广角-数与形 专项03 应用题-2025-2026学年六年级数学上册单元提升培优精练人教版（含答案解析） |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.3MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-11-16 00:00:00 | ||
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文档简介
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2025-2026学年六年级数学上册单元提升培优精练人教版
第8单元 数学广角-数与形 专项03 应用题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
（1）搭1间房子要（ ）根小棒，搭2间房子要（ ）根小棒，搭3间房子要（ ）根小棒。
（2）搭10间房子要（ ）根小棒，搭n间房子要（ ）根小棒。
（3）如果有65根小棒可以搭多少间房子？
2．观察下图，按要求完成下列各题。
(1)这4个图形中分别有多少个三角形？请依次写出。
(2)按照这种规律画下去，第6个图形中有多少个三角形呢？第9个图形中有多少个三角形呢？
(3)仔细观察图形，你能发现什么规律？请推测第n个图形中有多少个三角形。
(4)根据上面的规律，请计算下图中一共有多少个三角形。
3．用相同的边长是1厘米的小正方形按照下图的方法拼大正方形，请完成填空。
(1)小正方形的个数分别是( )、( )、( )…
(2)大正方形的周长分别是( )厘米、( )厘米、( )厘米…
(3)根据图形排列规律，第5个图形中的小正方形有( )个，这个图形的周长是( )厘米；第9个图形中的小正方形有( )个，这个图形的周长是( )厘米。
4．一张长方形桌子可坐6人，按下列方式将桌子拼在一起。
（1）3张桌子拼在一起可坐（ ）人，5张桌子拼在一起可坐（ ）人。
（2）依据上面桌子的拼摆规律，如果是n张桌子拼在一起，那么可以坐多少人？
5．用A、B、C、D、E代表5人的姓名，这5人进行乒乓球比赛，每2人之间都要打一局。A已打了4局，B打了3局，C打了2局，D打了1局。E一共打了几局？分别和谁打的？
6．观察下图，想一想。
（1）依次排下去，第7幅图有多少个棋子？第15幅图呢？
（2）第n幅图有多少个棋子？
7．请你根据下面图形与数的规律完成下列各题：
（1）接着画一画，填一填。
（2）如果不画，这样排列下去，第10个图的数是（ ），第n个图的数是（ ）（用含n的式子表示）。
8．用绳子测量一口井的深度，把绳子三折来量，井外每折余16米，把绳子四折来量，井外每折余4米，井深和绳长各是多少？
9．用小棒摆六边形，按照下图所示的规律摆。
（1）摆4个六边形，需要几根小棒？摆n个呢？请写出思考过程。
（2）按这个规律摆80个六边形，需要几根小棒？
10．如图，长边坐2人，短边坐1人，一张餐桌可坐6人。
（1）2张餐桌拼在一起最多坐几人？三张拼在一起呢？
①先画一画：
②再填一填：2张餐桌拼在一起最多可坐（ ）人，三张餐桌拼在一起，最多可坐（ ）人。
（2）按照上面的规律可知，n张桌子拼在一起最多可以坐（ ）人。
11．下面每个三角形图各是由多少个小三角形组成的？如果小三角形的边长为1，每个三角形图的周长分别是多少？每个三角形图包含小三角形的个数与这个三角形图的周长之间有什么样的关系？
小三角形个数：
（ ） （ ） （ ） （ ）
周长：
（ ） （ ） （ ） （ ）
你还能提出什么数学问题？
12．我国宋代数学家杨辉在1261年撰写了《详解九章算法》，他在这本著作中画了一个由数构成的三角形图，我们把它称为“杨辉三角”。你能发现下面“杨辉三角”图中各数之间的关系吗？你能按照发现的规律把这个三角形图继续写下去吗？试试看。
13．下面每个图中各有多少个绿色小正方形和多少个蓝色小正方形？
照这样接着画下去，第6个图形有多少个绿色小正方形和多少个蓝色小正方形？第10个图形呢？你能解释这其中的道理吗？
14．用小棒按照如下方式摆图形，摆一个八边形需要8根小棒。观察规律。
（1）根据规律，怎样摆出4个八边形，把你的想法画在方框内。
（2）照这样画下去，想一想，摆7个八边形需要（ ）根小棒，如果想摆n个八边形需要（ ）根小棒。
15．照这样的规律接着画下去，第5个图形中有多少个○？第8个图形呢？
32－1＝8 42－22＝12 52－32＝16
16．一种细胞在培养过程中，每30分钟要分裂一次（1个母细胞一分为二成2个子细胞）。这种细胞如果要由1个分裂成8个，需要多少分钟？（请用画图的方法解释说明）
17．回想一下课本第107页第1题的图（如下图）。照这样，第6个图形最外圈有多少个小正方形呢？请用课本中探索到的规律或者自己探索规律，列算式解答。
18．观察如图，回答问题。
（1）根据前4个图形的规律拼摆，第6个图形需要几根小棒？
（2）摆第个图形需要几根小棒？把探索过程用你喜欢的方式表示出来。
19．先分析，再解答。
（1）观察规律，将里的数补充完整。
（2）第6行的第一个数是（ ），最后一个数是（ ）。
（3）你能写出第n行的第一个数与最后一个数分别是多少吗？
20．画一画，算一算。
（1）请你在横线上画出第5个点阵。
（2）第9个点阵中有多少个点？
21．仓库里有一批民用物资，第一天运走全部的，以后每天都运走剩下物资的，第几天运走后，仓库里剩下的物资是原有物资的。把你思考的过程画一画，算一算。
22．像下图那样用小棒摆三角形，请你算一算。摆10个三角形用多少根小棒？摆n个三角形呢？
23．画一画，填一填。
（1）根据上面的图形与数的规律接着画出第四个图形并填空。
（2）这样排列下去，第5个图形有（ ）个点，第10个图形的方框里有（ ）个点。
24．用小棒按照如下方式摆图形，摆一个八边形需要8根小棒。观察规律。
（1）根据规律，怎样摆出4个八边形，把你的想法画在方框内。
（2）照这样画下去，想一想，摆7个八边形需要（ ）根小棒，如果想摆n个八边形需要（ ）根小棒。
25．
（1）用同样大小的黑色棋子按上图所示的方式摆图形，按照这样的规律摆下去，则第n个图形需要黑色棋子（ ）枚。（用含n的代数式表示）
（2）用第（1）题中的式子计算第22个图形中有多少枚黑色棋子。
26．下边球体上画出了三个圆，在图中的六个□里分别填入1，2，3，4，5，6，使得每个圆周上四个数相加的和都相等。
（1）这个相等的和等于______；
（2）在图中将所有的□填完整。
27．下面都是由边长为1厘米的小正方形拼成的大正方形。
……
（1）观察图形，完成表格。
图号 ① ② ③ ④ ⑤
阴影部分边长（厘米） 1 2
周围正方形个数（个） 8 12
（2）以此类推，你知道图⑨中涂色部分的周围共有多少个小正方形吗？
28．现有a（a＞50）根长度相同的小棒，按图1摆放恰好可以摆成（2m＋1）个三角形，按图2摆放恰好可以摆成2n个小正方形。
（1）求a的最小值；
图1 图2
（2）若这a根小棒还可以按图3恰好摆成p个五边形，且a＜200，求a的最大值。
29．下图是由火柴棒摆成的图形，第n个图形是由n个正方形组成。请思考下列问题。
（1）像这样摆下去，第n个图形中有（ ）根火柴棒。
（2）当时，用第（1）题的式子计算出摆21个正方形需要的火柴棒数。
30．小华用吸管和图钉钉三角形图案。（如下图）
（1）请根据钉三角形图案时，三角形与图钉的数量关系填写下表。
三角形的个数 1 2 3 4 5 6
图钉的个数 3 4 5 （ ） （ ） （ ）
吸管的根数 3 5 7 （ ） （ ） （ ）
（2）照这样接着做，用23个图钉时钉成的图案中有（ ）个三角形，用了（ ）根吸管。
（3）请你写出三角形的个数与图钉个数的数量关系。
（4）你还能提出什么数学问题？请提出并解答。
31．仔细分析，探究规律。
三角形个数 1个 2个 3个 4个 …
小棒的根数 3根 5根 7根 9根 …
观察图形和表格，如果要摆100个三角形，需要多少根小棒？要摆n个三角形，需要多少根小棒？
32．下面每个图形中灰色小正方形有多少个？
（1）观察规律，照样子在下面的括号内填上算式，并把第4幅图画在方框内。
（2）照这样的画下去，想一想，第20幅图形中有（ ）个灰色小正方形。
33．探索：百以内所有奇数的和。我们可以通过“数形结合”的方法来研究。
（1）画图并填空：
……
（ ）
（2）你探索后发现：从1开始的连续n个奇数的和等于（ ）。
（3）结论运用：百以内所有奇数的和等于（ ）。
34．九名同学在老师的指导下玩击鼓传花游戏，老师每敲一下，同学就将花传给顺时针方向的下一个同学，例如0号传给1号，1号传给2号，……，8号传给0号，那么，当老师敲第50下，同学们正好完成第50次传递，花传到7号同学的手上，你知道花是从几号同学手上开始传的吗？
35．用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放：
（1）第8个图形中有多少颗黑色棋子？
（2）第几个图形中有303颗黑色棋子？
36．
（1）按这样的规律摆下去，第n个图形需要多少个●？
（2）按上面的规律，摆第几个图形需要用200个●？
37．下面的4个图形都是用相同的小棒拼成的。
①根据前4个图形的规律拼摆，40根小棒能摆出第10个图形吗？
②第n个图形是由多少根小棒拼成的？把探索过程用你喜欢的方式表示出来。
38．一张桌子摆4把椅子，两张桌子并起来摆6把椅子……照这样摆下去。
（1）6张桌子可以摆多少把椅子？
（2）n张桌子可以摆多少把椅子？用式子表示出来是（ ）把。
（3）如果有34人，需要并起来多少张桌子才能坐下？
39．将小棒按照下面的样子摆七边形。
（1）摆n个七边形需要多少根小棒？
（2）当n＝26时，需要多少根小棒？
40．数形结合是一种重要的数学思想。请你画出第五个图形并思考：第10个方框有多少个点？第51个方框有多少个点？
1 1＋4 1＋4×2 1＋4×3 （ ）
41．小明用牙签搭六边形，如下图。
（1）数一数，上面四幅图每幅各用了多少根牙签？
（2）接着画下去，第五幅图将用多少根牙签？第八幅图呢？
（3）你能利用规律直接写成第n幅图一共要用多少根吗？
42．
（1）像这样摆下去，第n个图形需要__________根小棒。
（2）当n＝35时，计算第（1）题式子中需要的小棒数。
43．下列图中有大小不同的菱形，第1幅图中有1个菱形，第2幅图中有3个菱形，第3幅图中有5个菱形，则第4幅图中有多少个菱形？第幅图中有多少个菱形？
44．认真思考，细心操作。
（1）观察上面的点子图，找一找有什么规律，并把第五个图形画出。
（2）第n个图形共有（ ）个圆。
45．为庆祝“六一”儿童节，某幼儿园举行用火柴棒摆“金鱼”比赛。如图所示，按照下面的规律摆下去。
（1）摆6个“金鱼”需要多少根火柴棒？
（2）摆n个“金鱼”需要多少根火柴棒？
（3）若有2018根火柴棒，那么可以摆多少个“金鱼”？
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参考答案与试题解析
1．（1）5；9；13
（2）41；（4n＋1）
（3）16间
【分析】（1）看图数一数，即可确定搭1间、2间、三间房子需要的小棒根数；
（2）搭1间房子要5根小棒，5＝1×4＋1；搭2间房子要9根小棒，9＝2×4＋1；搭3间房子要13根小棒，13＝3×4＋1，即小棒根数＝房子数量×4＋1，据此分析；
（3）房子数量＝（小棒数量－1）÷4，据此列式解答。
【解析】（1）搭1间房子要5根小棒，搭2间房子要9根小棒，搭3间房子要13根小棒。
（2）10×4＋1
＝40＋1
＝41（根）
n×4＋1＝（4n＋1）根
搭10间房子要41根小棒，搭n间房子要（4n＋1）根小棒。
（3）（65－1）÷4
＝64÷4
＝16（间）
答：如果有65根小棒可以搭16间房子。
2．（1）1个；3个；6个；10个；
（2）21个；45个；
（3）见详解；（1＋2＋3＋4＋…＋n）个；
（4）55个
【分析】从图中可知：
（1）有1个三角形；
有2个小三角形和1个大三角形，一共是2＋1＝3（个）三角形；
有3个小三角形，相邻2个小三角形组成2个三角形，有1个大三角形，共有3＋2＋1＝6（个）三角形；
有4个小三角形，相邻2个小三角形组成3个三角形，相邻3个小三角形组成2个三角形，有1个大三角形，共有4＋3＋2＋1＝10（个）三角形；
（2）按照这种规律画下去，
第6个图形：6＋5＋4＋3＋2＋1＝21（个）
第9个图形：9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝45（个）
（3）由此得出规律：若图形中的单个小三角形个数为n，则图形中三角形的总个数就是（1＋2＋3＋4＋…＋n）个。
（4）数出单个小三角形的个数，再按规律计算即可。
【解析】（1）1个
2＋1＝3（个）
3＋2＋1＝6（个）
4＋3＋2＋1＝10（个）
答：第1个图形有1个三角形；第2个图形有3个三角形；第3个图形有6个三角形；第4个图形有10个三角形。
（2）第6个图形：6＋5＋4＋3＋2＋1＝21（个）
第9个图形：9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝45（个）
答：第6个图形有21个三角形；第9个图形有45个三角形；
（3）答：我发现图中有几个小三角形就从1开始依次加到n。若图形中的单个小三角形个数为n，则图形中三角形的总个数就是（1＋2＋3＋4＋…＋n）个。
（4）10＋9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝55（个）
答：图中一共有55个三角形。
3．(1) 1 4 9
(2) 4 8 12
(3) 25 20 81 36
【分析】（1）根据题中图形排列规律：
第1个图形是1行1列，有小正方形：1×1＝1（个）；
第2个图形是2行2列，有小正方形：2×2＝4（个）；
第3个图形是3行3列，有小正方形：3×3＝9（个）；
则第n个图形是n行n列，有小正方形：n×n＝n （个）。
（2）通过观察可知：
第1个图形边长为1厘米，周长：1×4＝4（厘米）；
第2个图形边长为2厘米，周长：2×4＝8（厘米）；
第3个图形边长为3厘米，周长：3×4＝12（厘米）；
则第n个图形边长为n厘米，周长：n×4＝4n（厘米）。
（3）通过（1）（2）发现的规律，代入数据计算，即可解答。
【解析】（1）由分析可得：小正方形的个数分别是1、4、9…
（2）由分析可得：大正方形的周长分别是4厘米、8厘米、12厘米…
（3）由分析（1）（2）可得：
5×5＝25（个）
4×5＝20（厘米）
9×9＝81（个）
4×9＝36（厘米）
即第5个图形中的小正方形有25个，这个图形的周长是20厘米；第9个图形中的小正方形有81个，这个图形的周长是36厘米。
4．（1）10；14
（2）（2n＋4）人
【分析】1张长方形桌子可坐6人，6＝2×1＋4；2张桌子拼在一起可坐8人，8＝2×2＋4；依此类推，每多一张桌子可多坐2人，所以n张桌子拼在一起可坐（2n＋4）人。据此解答即可。
【解析】（1）2×3＋4
＝6＋4
＝10（人）
2×5＋4
＝10＋4
＝14（人）
则3张桌子拼在一起可坐10人，5张桌子拼在一起可坐14人。
（2）n×2＋4＝（2n＋4）人
答：如果是n张桌子拼在一起，那么可以坐（2n＋4）人。
5．2局；A和B
【分析】5人进行乒乓球比赛，那么每人最多进行4场比赛，根据“A已打了4局，B打了3局，C打了2局，D打了1局”，在如图中连线表示已赛的场数，找出都有谁和E比赛，从而找出E比赛了几场。
【解析】如图：
答：由图可知，E一共打了2局；分别和A、B打的。
【点评】找出每人最多比赛4场这一突破口，然后根据每人比赛的场数进行画图得出结论。
6．（1）49个；225个（2）（n2）个
【分析】观察棋子的数目与图的序数之间的关系，发现：第1幅图：1＝12个棋子；第2幅图：1＋3＝4＝22个棋子；第3幅图：1＋3＋5＝9＝32个棋子；第4幅图：1＋3＋5＋7＝16＝42个棋子，……，据此总结出一般规律，解答即可。
【解析】第1幅图：1＝12个棋子
第2幅图：1＋3＝4＝22个棋子
第3幅图：1＋3＋5＝9＝32个棋子
第4幅图：1＋3＋5＋7＝16＝42个棋子
……
所以第7幅图有72＝49个棋子
第15幅图有152＝225个棋子
第n幅图：（n2）个棋子
【点评】本题考查数与形，解答本题的关键是找到棋子的数目与图的序数之间的关系。
7．（1）15；21；28；（2）55；
【分析】（1）通过观察，第1个图中有1个点，第2个图中有（1＋2）个点，第3个图中有（1＋2＋3）个点，第4个图中有（1＋2＋3＋4）个点，第几个图形的点数和等于前一个图形的点数和加几。
（2）通过（1）类推，第n个图中有（1＋2＋3＋…＋n）个点，然后通过首尾相加进行化简即可。
【解析】（1）第5个图形：10＋5＝15（个）
第6个图形：15＋6＝21（个）
第7个图形：21＋7＝28（个）
（2）第n个图的数：
1＋2＋3＋…＋n
＝（1＋n）×n÷2
＝（n＋n2）÷2
＝
当n＝10时，
＝
＝
＝
＝55
第10个图的数是55；第n个图的数是。
8．144米；32米
【分析】把绳子三折来量，井外余16米，也就是绳长比井深的3倍还多16×3＝48米；把绳子四折来量，井外余4米，也就是绳长比井深的4倍还多4×4＝16米。根据盈亏问题公式可知，井深为（48－16）÷（4－3）＝32米，则绳长为（32＋16）×3＝144米。
【解析】井深为：
（48－16）÷（4－3）
＝32÷1
＝32（米）
绳长为：
（32＋16）×3
＝48×3
＝144（米）
答：绳长为144米，井深为32米。
【点评】本题为两次都有余的盈亏问题，公式为：（大盈－小盈）÷（两次分配的差）＝分配数量。
9．（1）21根；（5n＋1）根；思考过程见详解
（2）401根
【分析】（1）由图可得：摆1个六边形需要6根小棒，摆2个六边形需要11根小棒，摆3个六边形需要16根小棒，由此可得：每多摆一个六边形，就会增加5根小棒，由此根据规律解答即可；
（2）根据（1）中的规律，将数据代入求出答案即可。
【解析】（1）观察图形可知，摆1个六边形需要6根小棒，
摆2个六边形需要11根小棒，可以写作：11＝6＋5＝6＋5×1；
摆3个六边形需要16根小棒，可以写成：16＝6＋5＋5＝6＋5×2；
摆4个六边形需要小棒的根数，可以写成：6＋5＋5＋5＝6＋5×3；
6＋5×3
＝6＋15
＝21（根）
……
摆n个六边形需要小棒的根数，可以写成：6＋5＋5＋……＋5＝6＋5×（n－1）；
6＋5×（n－1）
＝6＋5n－5
＝5n＋1
答：摆4个六边形，需要21根小棒。摆n个六边形，需要（5n＋1）根小棒。
（2）当n＝80时，代入得：
5n＋1
＝5×80＋1
＝400＋1
＝401（根）
答：摆80个六边形，需要401根小棒。
10．（1）①见详解
②10；14
（2）4n＋2
【分析】观察图形可知，长边坐2人，短边坐1人，则1张桌子可坐6人，每多1张桌子短边所坐人数不变，2个长边共多坐4人，
（1）1张桌子可坐6人，即4＋2；
2张桌子可坐10人，4＋4＋2；
3张桌子可坐14人，4＋4＋4＋2；
据此画图并填空即可；
（2）每多1张桌子就多坐4人，则n张桌子能坐的人数为：（4n＋2）张，据此解答即可。
【解析】（1）①图示如下：
②根据①所画人数可知，2张餐桌拼在一起最多可坐10人，三张餐桌拼在一起，最多可坐14人。
（2）按照上面的规律可知，每多1张桌子就多坐4人，
1张桌子可坐（4＋2）人，即（4×1＋2）人；
2张桌子可坐（4＋4＋2）人，即（4×2＋2）人，
3张桌子可坐（4＋4＋4＋2）人，即（4×3＋2）人，
则n张桌子拼在一起，就是n个4相加，再加2，即（4n＋2）人；
所以，n张桌子拼在一起最多可以坐（4n＋2）人。
【点评】本题考查了数与形结合的规律，发现每多1张桌子就多坐4人，是解答本题的关键。
11．见详解
【分析】观察题意可知，图1摆了1个三角形，图2摆了4个三角形，图3摆了9个三角形，……以此类推可知，图n摆了n2个三角形；图1最大三角形的边长是1，图2最大三角形的边长是2，图3最大三角形的边长是3，……以此类推可知，图n最大三角形的边长是n；已知等边三角形的三条边相等，所以图n最大三角形的周长为3n。
【解析】图1摆了1个三角形，
1＝1×1
图2摆了4个三角形，
4＝2×2
图3摆了9个三角形，
9＝3×3
……
图n摆的三角形个数：n2。
因为图n最大三角形的边长是n，
所以图n最大三角形的周长为3n；
因为3n÷3＝n
所以小三角形的个数＝（这个三角形周长÷3）2
每个三角形图包含小三角形的个数等于这个三角形图的周长除以3所得商的平方。
问题：第7个三角形图的周长是多少？
3×7＝21
答：第7个三角形图的周长是21。（答案不唯一）
【点评】本题主要考查数与形结合的规律，关键根据图示发现这组图形的规律，并运用规律做题。
12．见详解
【分析】观察“杨辉三角”，发现下层中间的数等于上层相邻两个数的和，据此规律解答。
【解析】我发现“杨辉三角”图中各数之间的关系：这些数字组成的三角形是等腰三角形，两条腰上的数都是1，从第3行开始，中间的每一个数都等于它上方相邻的两个数字之和。
按照发现的规律把这个三角形图继续写下去：
【点评】通过数与形的结合，从已知的图形或数据中找到规律，并按规律解题。
13．绿色6个；蓝色18个；绿色10个；蓝色26个；见详解
【分析】第1个图形，有1个绿色小正方形，8个蓝色小正方形，8＝2×1＋6；
第2个图形，有2个绿色小正方形，10个蓝色小正方形，10＝2×2＋6；
第3个图形，有3个绿色小正方形，12个蓝色小正方形，12＝2×3＋6；
第4个图形，有4个绿色小正方形，14个蓝色小正方形，14＝2×4＋6；
……
规律：第n个图形，有n个绿色小正方形，（2n＋6）个蓝色小正方形；据此解答。
【解析】规律：第n个图形，有n个绿色小正方形，（2n＋6）个蓝色小正方形。
当n＝6时，有6个绿色小正方形；
蓝色小正方形有：
2n＋6
＝2×6＋6
＝12＋6
＝18（个）
当n＝10时，有10个绿色小正方形；
蓝色小正方形有：
2n＋6
＝2×10＋6
＝20＋6
＝26（个）
答：照这样接着画下去，第6个图形有6个绿色小正方形和18个蓝色小正方形。第10个图形有10个绿色小正方形和26个蓝色小正方形。
道理：从图中发现规律：第n个图形有n个绿色小正方形，（2n＋6）个蓝色小正方形。
【点评】通过数与形的结合，从已知的图形或数据中找到规律，并按规律解题。
14．（1）见详解
（2）50；1＋7n
【分析】（1）摆1个八边形需要8根小棒，摆2个八边形需要15根小棒，15＝1＋2×7，摆3个八边形需要22根小棒，22＝1＋3×7， 摆n个八边形需要的小棒数为：（1＋7n）根，据此解答即可。
【解析】（1）如图所示：
（2）摆7个八边形需要小棒的根数为：
1＋7n＝1＋7×7
＝1＋49
＝50
则摆7个八边形需要50根小棒，如果想摆n个八边形需要（1＋7n）根小棒。
【点评】本题主要考查数.与形结合的规律，发现每多1个八边形就多7根小棒是解本题的关键。
15．24个；36个
【分析】如下图，第1个图中○和●一共有32个，●的个数有12个，○的个数有32－12＝8（个）；第2个图中○和●一共有42个，●的个数有22个，○的个数有42－22＝12（个）；第3个图中○和●一共有52个，●的个数有32个，○的个数有52－32＝16（个）；……由此发现规律：第n个图中○和●一共有（n＋2）2个，●的个数有n2个，○的个数有[（n＋2）2－n2]个。
【解析】（5＋2）2－52
＝72－52
＝49－25
＝24（个）
（8＋2）2－82
＝102－82
＝100－64
＝36（个）
答：第5个图形中有24个○，第8个图形36个○。
【点评】数形结合是学习数学的一种重要的思想方法。运用数形结合的方法，可以帮助理解计算方法，进行计算。
16．90分钟
【分析】一个细胞经过30分钟分裂成2个细胞，2个细胞经过30分钟分裂成4个细胞，4个细胞经过30分钟分裂成8个细胞，据此解答。
【解析】画图如下。
30×3＝90（分钟）
答：需要90分钟。
【点评】解决此题的关键是确定一个母细胞分裂成8个子细胞需要分裂的次数。
17．48个
【分析】第1个图，外圈边长是3个，比外圈小1圈的一边正方形的个数是1，最外圈小正方形的个数：32－12＝9－1＝8（个）；
第2个图，外圈边长是5个，比外圈小1圈的一边正方形的个数是3，最外圈小正方形的个数：52－32＝25－9＝16（个）；
第3个图，外圈边长是7个，比外圈小1圈的一边正方形的个数是5，最外圈小正方形的个数：72－52＝49－25＝24（个）；
……
第n个图，外圈边长是（2n＋1）个，比外圈小1圈的一边正方形的个数是（2n－1），最外圈小正方形的个数：（2n＋1）2－（2n－1）2；
【解析】根据分析，第6个图，外圈边长是13个，比外圈小1圈的一边正方形的个数是11，
132－112
＝169－121
＝48（个）
答：第6个图形最外圈有48个小正方形。
【点评】此题考查了数与形的知识，关键能够观察内外圈边上的数量的关系再找规律。
18．（1）13根
（2）（）根，过程见详解
【分析】第一个图形需3根小棒，第二个图形需3＋2根小棒，第三个图形需3＋2×2根小棒；第四个图形需3＋2×3根小棒……，（1）摆第6个图形即可求。（2）摆n个图形即可求。
【解析】（1）3＋2×5
＝3＋10
＝13（根）
答：第6个图形需要13根小棒。
（2）3＋2×（n－1）
＝3＋2n－2
＝2n＋（3－2）
＝2n＋1
答：摆第n个图形需要2n＋1根小棒。
【点评】仔细观察，比较总结规律是解决本题的关键。
19．（1）9；18；27；36；45；
（2）11；66；
（3）2n－1；2n2－n
【分析】（1）1＋2＝3，3＋2＝5，5＋2＝7，所以第5行的第一个数等于7＋2，然后用第一个数分别乘2、3、4、5，即可求出这一行剩余的四个数，把数补充到图形中即可。
（2）同样，第5行的第一个数9加上2，等于第6行的第一个数，再用第6行的第一个数乘6，即可求出这一行的最后一个数。
（3）这个图形从上往下每行的第一个数依次加2，每行的数规律是从左向右为这一行第一个数分别乘2，乘3，乘3 ，第一行第1个数是1，第二行第1个数是1＋2，第三行第1个数是1＋2×2，依次类推，第n行的第一个数是1＋2×（n－1），第n行有n个数，最后一个数用第一个数乘n，即可得解。
【解析】（1）7＋2＝9
9×2＝18
9×3＝27
9×4＝36
9×5＝45
如图：
（2）9＋2＝11
11×6＝66
即第6行的第一个数是11，最后一个数是66。
（3）根据分析得，第n行的第一个数是：
1＋2×（n－1）
＝1＋2n－2
＝2n－1
（2n－1）×n
＝2n2－n
答：第n行的第一个数是2n－1，最后一个数是2n2－n。
【点评】此题的解题关键是找出横排和竖排中数字排列的规律，平时要注重多积累，培养数感。
20．（1）见详解
（2）45个
【分析】（1）第1个图需要1个点子；
第2个图需要3个点子：＝＝3
第3个图需要6个点子：＝＝6
第4个图需要10个点子：＝＝10
……
第n个图需要点子：
第5个点阵，即n＝5，代入求值画图即可；
（2）第9个点阵，即n＝9，代入求值即可。
【解析】（1）第n个图需要点子：
当n＝5时，
＝＝＝15（个）
画图如下：
（2）当n＝9时，
＝＝＝45（个）
答：第9个点阵中有45个点。
【点评】本题主要考查数与形结合的规律，发现棋子个数的变化规律，再根据规律去解决问题。
21．图见详解；第4天
【分析】先画一个正方形，把这个正方形看作单位“1”，第一天运走全部的，还剩下，即把正方形平均分成2份，一份是运走的，另一份是剩下的；把还剩下的图形看作单位“1”，第二天运走剩下的，即把剩下的图形平均分成2份，一份是运走的，一份是剩下的，那么还剩下…以此类推，画到第4天时还剩下的原来的。
先把这批物资的总量看作单位“1”，第一天运走全部的，还剩下1－＝；第二天运走剩下的，是把剩下的物资看作单位“1”，根据“求一个数的几分之几是多少”，用剩下的物资乘（1－），即可求出第二天运走后还剩下原来的几分之几……以此类推，计算到第4天即可得出仓库里剩下的物资是原有物资的。
【解析】如图：
第1天运走后，还剩下：
1－＝
第2天运走后，还剩下：
×（1－）
＝×
＝
第3天运走后，还剩下：
×（1－）
＝×
＝
第4天运走后，还剩下：
×（1－）
＝×
＝
答：第4天运走后，仓库里剩下的物资是原有物资的。
【点评】理解“每天都运走剩下物资的”的含义，通过画图，数形结合，找到规律，按规律解答。列式计算时，区分单位“1”的不同，根据分数乘法的意义解答。
22．21根；（2n＋1）根
【分析】根据图示发现：摆1个三角形需要小棒：（1＋2）根；摆2个三角形需要小棒：（1＋2＋2）根；摆3个三角形需要小棒：（1＋2＋2＋2）根；依次类推……摆n个三角形需要小棒：（2×n＋1）根。据此解答。
【解析】摆n个三角形需要小棒：2×n＋1＝（2n＋1）根
当n＝10时，
2×10＋1
＝20＋1
＝21（根）
答：摆10个三角形用21根小棒；摆n个三角形用（2n＋1）根小棒。
【点评】本题主要考查数与形结合的规律，关键根据图示发现这组图形的规律，并运用规律做题。
23．（1）；1＋4×3
（2）17；37
【分析】（1）根据图示，后一个图形比前一个图形多4各圆点，即每个角上多1个点，据此作图即可。
（2）根据圆点的排列规律，写出第n个图形圆点的个数表达式，再分别将n＝5和n＝10代入求解即可。
【解析】由分析可得：
（1）如图：
点子数量关系式：1＋4×3
（2）第n个图形圆点的个数是：
1＋4×（n－1）
＝1＋4n－4
＝4n－3（个）
n＝5时
4×5－3
＝20－3
＝17（个）
n＝10时
4×10－3
＝40－3
＝37（个）
【点评】本题考查了图形的变化类问题，主要培养学生的观察能力和总结能力。
24．（1）见详解；
（2）50；7n＋1
【分析】（1）由图可知，摆1个八边形需要8根小棒，摆2个八边形需要（8＋7）根小棒，摆3个八边形需要（8＋7×2）根小棒，摆4个八边形需要（8＋7×3）根小棒……
（2）由（1）可知，每增加一个八边形需要增加7根小棒，摆n个八边形需要[8＋（n－1）×7]根小棒，求出当n＝7时式子的值就是摆7个八边形需要小棒的数量，据此解答。
【解析】（1）分析可知：
（2）摆n个八边形需要小棒的根数为：8＋（n－1）×7
＝8＋7n－7
＝（7n＋1）根
当n＝7时。
7n＋1
＝7×7＋1
＝49＋1
＝50（根）
所以，摆7个八边形需要50根小棒，如果想摆n个八边形需要（7n＋1）根小棒。
【点评】分析图形找出八边形个数和小棒根数的变化规律是解答题目的关键。
25．（1）3n＋1
（2）67枚
【分析】（1）观察图形可知，第一幅图需要4枚黑色棋子，第二幅图需要7枚黑色棋子，第三幅图需要10枚黑色棋子，则第n个图形需要黑色棋子（3n＋1）枚；
（2）把22代入到式子3n＋1中进行计算即可。
【解析】（1）第n个图形需要黑色棋子（3n＋1）枚。
（2）当n＝22时，代入到式子中得：
3n＋1＝3×22＋1
＝66＋1
＝67
答：第22个图形中有67枚黑色棋子。
【点评】本题考查图形的变化规律，发现规律，利用规律是解题的关键。
26．（1）14
（2）见详解
【分析】（1）观察图形可知，1，2，3，4，5，6，在三个圆中各用到2次，先求出它们的和的2倍，再除以3即为所求；
（2）让每个圆的相对的2个数字的和为7，进行填写即可。
【解析】（1）（1＋2＋3＋4＋5＋6）×2÷3
＝21×2÷3
＝14
（2）如图所示：
【点评】考查了发现规律，求出相等的和是解题的关键。
27．（1）3；4；5
16；20；24
（2）40个
【分析】通过观察图可知：阴影部分边长×4，可求出阴影部分四边的正方形个数，再加上4个角上的4个小正方形，就是周围正方形个数。
【解析】（1）观察图形，完成表格。
图号 ① ② ③ ④ ⑤
阴影部分边长（厘米） 1 2 3 4 5
周围正方形个数（个） 8 12 16 20 24
（2）9×4＋4
＝36＋4
＝40（个）
以此类推，你知道图⑨中涂色部分的周围共有40个小正方形。
【点评】通过观察图得出规律是解答此题的关键。
28．（1）67；
（2）147
【分析】（1）对图1分析：
m＝0时，就是有1个三角形时，需要3根小棒；
m＝1时，就是有3个三角形时，需要7＝3＋4根小棒；
m＝2时，就是有5个三角形时，需要11＝3＋4×2根小棒；
……
需要小棒的数量＝3＋4m。
对图2分析：
n＝1时，就是2个正方形时，需要7根小棒；
n＝2时，就是4个正方形时，需要12＝7＋5根小棒；
n＝3时，就是6个正方形时，需要17＝7＋5×2根小棒；
……
需要小棒的数量＝7＋5（n－1）＝5n＋2。
摆成两种图形小棒的数量是一样的，则
a＝3＋4m＝5n＋2，a的值大于50，则m最小12，n最小是10，且m、n、a都是整数。当m＝12时，n＝9.8不符合；m＝13时，n＝10.6不符合；m＝14时，n＝11.4不符合；m＝15时，n＝12.2不符合；m＝16时，n＝13符合。
（2）分析图3：
p＝2时，就是有2个五边形，需要小棒9根小棒；
p＝4时，就是有4个五边形，需要小棒15＝3×4＋3根小棒；
p＝6时，就是有6个五边形，需要小棒21＝3×6＋3根小棒；
……
需要小棒的根数＝3p＋3＝3（p＋1），即a的值是3的倍数，在满足（1）的情况下，a的取值是：67、87、107、127、147、167、187。
其中187和167不是3的倍数，147是3的倍数，
【解析】（1）摆成三角形需要小棒的数量：3＋4m。
摆成正方形需要小棒的数量：5n＋2。
3＋4m＝5n＋2
当m＝16，n＝13时
3＋4×16
＝3＋64
＝67（根）
答：a的最小值67根。
（2）a＝3（p＋1）
a的取值是：67、87、107、127、147、167、187，
其中147符合条件。
答：a的最大值147根。
【点评】认真观察图形，找出图形的变化规律是解题关键。
29．（1）
（2）64根
【分析】（1）摆一个图形需要4根火柴棒，可以写成3×1＋1；摆2个图形需要7根火柴棒，可以写成3×2＋1；摆三个图形需要10根火柴棒，可以写成3×3＋1…；由此可以推理得出一般规律解答问题；
（2）当n＝21时，代入算式，求出需要火柴棒的数量。
【解析】（1）根据分析可知，摆一个图形需要火柴棒的数量：（3×1＋1）根
摆二个图形需要火柴棒的数量：（3×2＋1）根
摆三个图形需要火柴棒的数量：（3×3＋1）根
由此可知摆n图形需要火柴棒的数量：（3n＋1）根
（2）当n＝21时
3×21＋1
＝63＋1
＝64（根）
答：摆21个正方形需要64个火柴棒。
【点评】根据题干中已知图形排列特点以及数量关系，推理得出一般结论进行解答是此类问题的关键。
30．（1）6；7；8；
9；11；13
（2）21；43
（3）设三角形的个数为n，则图钉的个数＝n＋2
（4）提问：吸管的根数与三角形的个数间有什么关系；吸管根数＝2×三角形个数＋1
【分析】（1）由图可知，可以看出随着三角形个数每次增加1，图钉个数也每次增加1，并且每次增加1个图钉的同时，会增如2根吸管；
（2）根据规律可知，当图钉为23个时，需要43根吸管，有21个三角形；
（3）看表1，图钉与三角形的个数始终相差2，所以三角形的个数＋2＝图钉的数量；
（4）如图中表所示，可看出每次增加的吸管根数始终是三角形个数的2倍＋1，所以吸管根数＝2×三角形个数＋1。
【解析】（1）
三角形的个数 1 2 3 4 5 6
图钉的个数 3 4 5 6 7 8
吸管的根数 3 5 7 9 11 13
（2）当图钉为23个时，需要43根吸管，有21个三角形；
（3）可以设三角形的个数为n，则图钉的个数＝n＋2；
（4）提问：吸管的根数与三角形的个数间有什么关系？
吸管根数＝2×三角形个数＋1（答案不唯一）
【点评】本题考查的是根据已知找规律并进行解答。
31．201根；（2n＋1）根
【分析】搭第一个图形需要3根小棒，结合图形，发现：后边每多一个图形，则多用2根小棒。据此解答。
【解析】搭第100个图形，需要小棒：
3＋2×（100 1）
＝3＋198
＝201（根）
则要搭n个三角形时，需要小棒：
3＋2（n 1）＝（2n＋1）根
答：摆100个三角形，需要201根小棒，要摆n个三角形，需要（2n＋1）根小棒。
【点评】此题考查了数与形问题，要能够从图形中发现规律。
32．（1）；；见详解；（2）41
【分析】（1）观察图形可知，灰色小正方形个数等于小正方形的总个数减去白色小正方形个数，据此可分别求出第3幅图和第4幅图的灰色正方形个数。
（2）观察图形可总结出灰色正方形个数为（n＋1）2－n2＝2n＋1，n表示第n幅图，把n＝20代入计算即可。
【解析】（1）
（2）2×20＋1
＝40＋1
＝41（个）
第20幅图形中有41个灰色小正方形。
【点评】本题考查了图形的变化类问题，主要培养学生的观察能力和总结能力。
33．（1）见详解；3；
（2）n2；
（3）2500
【分析】（1）第1幅图等于1的平方，第2幅图等于2的平方，所以第3幅图应等于3的平方，据此完成作图并解答；
（2）利用第1、2、3个图形与算式之间的计算方法，可以看出从1开始连续奇数的和等于数的个数的平方，由此写出规律即可。
（3）百以内第1个奇数是1，最后一个奇数是99，通过算式（1＋99）÷2，即可求出百以内所有奇数的个数有50个，根据（2）得出的规律即可求出百以内所有奇数的和。
【解析】（1）作图如下：
32
（2）经过探索后发现：从1开始的连续n个奇数的和等于n2。
（3）（1＋99）÷2
＝100÷2
＝50
502＝50×50＝2500
所以百以内所有奇数的和等于2500。
【点评】在探索数与形结合的规律时，一方面要考虑图形，另一方面要考虑数的排列规律，通过数形结合来解决问题。
34．2号
【分析】由题意可知，每传9次花就会回到原处，顺时针传50次，说明经过5整圈之后还继续传了5次，传到7号同学手上，倒推回去7－5＝2号，所以花是从2号同学手上开始传的。
【解析】50÷9＝5（圈） 5（次）
7－5＝2（号）
答：花是从2号同学手上开始传的。
【点评】本题考查循环问题，明确每传9次花就会回到原处是解题的关键。
35．（1）27颗（2）100个
【分析】第1图形有黑色棋子的颗数：6＝1×3＋3；
第2图形有黑色棋子的颗数：9＝2×3＋3；
第3图形有黑色棋子的颗数：12＝3×3＋3；
第4图形有黑色棋子的颗数：15＝4×3＋3；
……
第n图形有黑色棋子的颗数：n×3＋3。
【解析】（1）8×3＋3
＝24＋3
＝27（颗）
答：第8个图形中有27颗黑色棋子。
（2）（303－3）÷3
＝300÷3
＝100（个）
答：第100个图形中有303颗黑色棋子。
【点评】解题关键是通过归纳与总结，得到其中的规律，再灵活运用规律解答。
36．（1）4n个
（2）50个
【分析】第1个图形中有●的个数：4个，4＝1×4；
第2个图形中有●的个数：8个，8＝2×4；
第3个图形中有●的个数：12个，12＝3×4；
……
第n个图形中有●的个数：4n个。
【解析】（1）4×n＝4n（个）
答：第n个图形需要4n个●。
（2）200÷4＝50（个）
答：摆第50个图形需要用200个●。
【点评】本题是找规律的题型，从已知的图形或数据中找到规律，并按规律解题。
37．①不能
②4n＋1根；过程见详解
【分析】观察可知，图形数量＝（小棒数量－1）÷4；小棒数量＝图形数量×4＋1，据此分析。
【解析】①10×4＋1
＝40＋1
＝41（根）
41＞40
答：不能摆出第10个图形。
②第1个图形用5根小棒，5＝1×4＋1
第2个图形用9根小棒，9＝2×4＋1
第3个图形用13根小棒，13＝3×4＋1
第4个图形用17根小棒，17＝4×4＋1
所以小棒数量＝4n＋1（根）
【点评】数和图形的规律是相对应的，图形的排列有什么变化规律，数的排列就有相应的变化规律。
38．（1）14把；
（2）2n＋2；
（3）16张
【分析】由图可知，1张桌子时，可以摆4把椅子；2张桌子时，可以摆（4＋2）把椅子；3张桌子时，可以摆（4＋2＋2）把椅子……每增加一张桌子就增加2把椅子，那么n张桌子时，可以摆4＋2（n－1）把椅子；最后计算出椅子数量为34时，n的值即可。
【解析】（1）1张桌子可以摆椅子的数量：4把
2张桌子可以摆椅子的数量：4＋2＝6（把）
3张桌子可以摆椅子的数量：4＋2×2＝4＋4＝8（把）
4张桌子可以摆椅子的数量：4＋3×2＝4＋6＝10（把）
5张桌子可以摆椅子的数量：4＋4×2＝4＋8＝12（把）
6张桌子可以摆椅子的数量：4＋5×2＝4＋10＝14（把）
答：6张桌子可以摆14把椅子。
（2）分析可知，n张桌子可以摆椅子的数量：4＋2（n－1）＝4＋2n－2＝（2n＋2）把
（3）如果有34人，那么需要34把椅子。
2n＋2＝34
解：2n＝34－2
2n＝32
n＝32÷2
n＝16
答：如果有34人，需要并起来16张桌子才能坐下。
【点评】分析题意找出椅子数量变化的规律是解答题目的关键。
39．（1）6n＋1；
（2）157
【分析】由图可知，摆1个七边形需要7根小棒，摆2个七边形需要（7＋6）根小棒，摆3个七边形需要（7＋6×2）根小棒，摆4个七边形需要（7＋6×3）根小棒……每增加一个七边形就增加6根小棒，摆n个七边形需要7＋6×（n－1）根小棒，化简计算n＝26时小棒的根数，据此解答。
【解析】（1）分析可知，摆n个七边形需要小棒的根数：
7＋6×（n－1）
＝7＋6n－6
＝（6n＋1）根
答：摆n个七边形需要（6n＋1）根小棒。
（2）当n＝26时，6n＋1＝6×26＋1＝156＋1＝157（根）
答：当n＝26时，需要157根小棒。
【点评】分析图形找出七边形个数和小棒根数的变化规律是解答题目的关键。
40．第五个图形见解析；37个；201个；1＋4×4
【分析】分析图形的变化规律可知，后面一个图形比相邻的前一个图形多4个点，第n个图形点的个数用式子表示为：1＋4（n－1），据此解答。
【解析】
1 1＋4 1＋4×2 1＋4×3 （ 1＋4×4 ）
分析可知，第n个图形点的个数：1＋4（n－1）＝1＋4n－4＝（4n－3）个
当n＝10时，4n－3＝4×10－3＝40－3＝37（个）
当n＝51时，4n－3＝4×51－3＝204－3＝201（个）
答：第10个方框有37个点，第51个方框有201个点。
【点评】分析图形找出图形变化的规律是解答题目的关键。
41．（1）6根；11根；16根；21根；
（2）26根；41根；
（3）（5n＋1）根
【分析】分析图形可知，每增加一个六边形就增加5根牙签，第1个图形一共用了6根牙签，第2个图形一共用了（6＋5）根牙签，第3个图形一共用了（6＋5×2）根牙签，第4个图形一共用了（6＋5×3）根牙签……则第n个图形一共用了[6＋5×（n－1）]根牙签，据此解答。
【解析】（1）第1幅图用了6根，第2幅图用了11根，第3幅图用了16根，第4幅图用了21根。
（2）第5幅图：6＋5×（5－1）
＝6＋5×4
＝6＋20
＝26（根）
第8幅图：6＋5×（8－1）
＝6＋40－5
＝46－5
＝41（根）
答：第五幅图将用26根牙签，第八幅图将用41根牙签。
（3）6＋5×（n－1）
＝6＋5n－5
＝（5n＋1）根
答：第n幅图一共要用（5n＋1）根。
【点评】用含有字母的式子表示出图形变化的规律是解答题目的关键。
42．（1）2n ＋1；
（2）71根
【分析】（1）观察图形可知：摆1个三角形需要3根小棒，可以写作：2×1＋1；摆2个需要5根小棒，可以写作：2×2＋1；摆3个需要7根小棒，可以写成：3×2＋1；……摆n个三角形需要：（2n ＋1）根小棒。
（2） 根据第一小题的分析可知，摆n个三角形需要：（2n ＋1）根小棒，当n＝35时，把数据代入计算，即可求当n＝35时，需要小棒的数量。
【解析】（1）根据分析可知，像这样摆下去，第n个图形需要（2n＋1）根小棒。
（2）35×2＋1
＝70＋1
＝ 71（根）
答：摆35个三角形需要71根小棒。
【点评】认真观察图形，并从中找出图形变化的规律，是解答此题的关键。
43．7个；（2n－1）个
【分析】根据图意，第1幅图中有1个菱形，第二个图中有3＝2×2－1，第三个图中有5＝2×3－1，第4幅图有7＝2×4－1，以此类推，则第n个图中，有（2n－1）个菱形。注意分析菱形的个数与第几个图形的对应关系。
【解析】由分析可知：
则第4幅图中有：
2×4－1
＝8－1
＝7（个）
则第n个图中，有（2n－1）个菱形。
【点评】此题考查的是找规律，关键是通过归纳与总结，得到其中的规律并运用规律。
44．（1）见详解
（2）
【分析】分析图形可知，第1个图形有个圆；
第2个图形有个圆；
第3个图形有个圆；
第4个图形有个圆；
第5个图形有个圆；
……
第n个图形有个圆，据此解答。
【解析】（1）
（2）第n个图形共有（ ）个圆。
【点评】分析图形找出图形变化的规律是解答题目的关键。
45．（1）38根；（2）2＋6n；（3）336个
【分析】根据题意分析可得：搭第1个图形需8根火柴，此后，每个图形都比前一个图形多用6根，故按照上面的规律，摆n条“金鱼”需用火柴棒的根数为8＋（n－1）×6根；据此解答。
【解析】（1）8＋（6－1）×6
＝8＋5×6
＝8＋30
＝38（根）
答：摆6个“金鱼”需要38根火柴棒。
（2）摆n条“金鱼”需用火柴棒的根数为8＋（n－1）×6根；
（3）（2018－8）÷6＋1
＝2010÷6＋1
＝335＋1
＝336（个）
答：2018根火柴棒可以摆336个“金鱼”。
【点评】本题是对图形变化规律的考查，查出前三个图形的火柴棒的根数，并观察出后一个图形比前一个图形多6根火柴棒是解题的关键。
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2025-2026学年六年级数学上册单元提升培优精练人教版
第8单元 数学广角-数与形 专项03 应用题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
（1）搭1间房子要（ ）根小棒，搭2间房子要（ ）根小棒，搭3间房子要（ ）根小棒。
（2）搭10间房子要（ ）根小棒，搭n间房子要（ ）根小棒。
（3）如果有65根小棒可以搭多少间房子？
2．观察下图，按要求完成下列各题。
(1)这4个图形中分别有多少个三角形？请依次写出。
(2)按照这种规律画下去，第6个图形中有多少个三角形呢？第9个图形中有多少个三角形呢？
(3)仔细观察图形，你能发现什么规律？请推测第n个图形中有多少个三角形。
(4)根据上面的规律，请计算下图中一共有多少个三角形。
3．用相同的边长是1厘米的小正方形按照下图的方法拼大正方形，请完成填空。
(1)小正方形的个数分别是( )、( )、( )…
(2)大正方形的周长分别是( )厘米、( )厘米、( )厘米…
(3)根据图形排列规律，第5个图形中的小正方形有( )个，这个图形的周长是( )厘米；第9个图形中的小正方形有( )个，这个图形的周长是( )厘米。
4．一张长方形桌子可坐6人，按下列方式将桌子拼在一起。
（1）3张桌子拼在一起可坐（ ）人，5张桌子拼在一起可坐（ ）人。
（2）依据上面桌子的拼摆规律，如果是n张桌子拼在一起，那么可以坐多少人？
5．用A、B、C、D、E代表5人的姓名，这5人进行乒乓球比赛，每2人之间都要打一局。A已打了4局，B打了3局，C打了2局，D打了1局。E一共打了几局？分别和谁打的？
6．观察下图，想一想。
（1）依次排下去，第7幅图有多少个棋子？第15幅图呢？
（2）第n幅图有多少个棋子？
7．请你根据下面图形与数的规律完成下列各题：
（1）接着画一画，填一填。
（2）如果不画，这样排列下去，第10个图的数是（ ），第n个图的数是（ ）（用含n的式子表示）。
8．用绳子测量一口井的深度，把绳子三折来量，井外每折余16米，把绳子四折来量，井外每折余4米，井深和绳长各是多少？
9．用小棒摆六边形，按照下图所示的规律摆。
（1）摆4个六边形，需要几根小棒？摆n个呢？请写出思考过程。
（2）按这个规律摆80个六边形，需要几根小棒？
10．如图，长边坐2人，短边坐1人，一张餐桌可坐6人。
（1）2张餐桌拼在一起最多坐几人？三张拼在一起呢？
①先画一画：
②再填一填：2张餐桌拼在一起最多可坐（ ）人，三张餐桌拼在一起，最多可坐（ ）人。
（2）按照上面的规律可知，n张桌子拼在一起最多可以坐（ ）人。
11．下面每个三角形图各是由多少个小三角形组成的？如果小三角形的边长为1，每个三角形图的周长分别是多少？每个三角形图包含小三角形的个数与这个三角形图的周长之间有什么样的关系？
小三角形个数：
（ ） （ ） （ ） （ ）
周长：
（ ） （ ） （ ） （ ）
你还能提出什么数学问题？
12．我国宋代数学家杨辉在1261年撰写了《详解九章算法》，他在这本著作中画了一个由数构成的三角形图，我们把它称为“杨辉三角”。你能发现下面“杨辉三角”图中各数之间的关系吗？你能按照发现的规律把这个三角形图继续写下去吗？试试看。
13．下面每个图中各有多少个绿色小正方形和多少个蓝色小正方形？
照这样接着画下去，第6个图形有多少个绿色小正方形和多少个蓝色小正方形？第10个图形呢？你能解释这其中的道理吗？
14．用小棒按照如下方式摆图形，摆一个八边形需要8根小棒。观察规律。
（1）根据规律，怎样摆出4个八边形，把你的想法画在方框内。
（2）照这样画下去，想一想，摆7个八边形需要（ ）根小棒，如果想摆n个八边形需要（ ）根小棒。
15．照这样的规律接着画下去，第5个图形中有多少个○？第8个图形呢？
32－1＝8 42－22＝12 52－32＝16
16．一种细胞在培养过程中，每30分钟要分裂一次（1个母细胞一分为二成2个子细胞）。这种细胞如果要由1个分裂成8个，需要多少分钟？（请用画图的方法解释说明）
17．回想一下课本第107页第1题的图（如下图）。照这样，第6个图形最外圈有多少个小正方形呢？请用课本中探索到的规律或者自己探索规律，列算式解答。
18．观察如图，回答问题。
（1）根据前4个图形的规律拼摆，第6个图形需要几根小棒？
（2）摆第个图形需要几根小棒？把探索过程用你喜欢的方式表示出来。
19．先分析，再解答。
（1）观察规律，将里的数补充完整。
（2）第6行的第一个数是（ ），最后一个数是（ ）。
（3）你能写出第n行的第一个数与最后一个数分别是多少吗？
20．画一画，算一算。
（1）请你在横线上画出第5个点阵。
（2）第9个点阵中有多少个点？
21．仓库里有一批民用物资，第一天运走全部的，以后每天都运走剩下物资的，第几天运走后，仓库里剩下的物资是原有物资的。把你思考的过程画一画，算一算。
22．像下图那样用小棒摆三角形，请你算一算。摆10个三角形用多少根小棒？摆n个三角形呢？
23．画一画，填一填。
（1）根据上面的图形与数的规律接着画出第四个图形并填空。
（2）这样排列下去，第5个图形有（ ）个点，第10个图形的方框里有（ ）个点。
24．用小棒按照如下方式摆图形，摆一个八边形需要8根小棒。观察规律。
（1）根据规律，怎样摆出4个八边形，把你的想法画在方框内。
（2）照这样画下去，想一想，摆7个八边形需要（ ）根小棒，如果想摆n个八边形需要（ ）根小棒。
25．
（1）用同样大小的黑色棋子按上图所示的方式摆图形，按照这样的规律摆下去，则第n个图形需要黑色棋子（ ）枚。（用含n的代数式表示）
（2）用第（1）题中的式子计算第22个图形中有多少枚黑色棋子。
26．下边球体上画出了三个圆，在图中的六个□里分别填入1，2，3，4，5，6，使得每个圆周上四个数相加的和都相等。
（1）这个相等的和等于______；
（2）在图中将所有的□填完整。
27．下面都是由边长为1厘米的小正方形拼成的大正方形。
……
（1）观察图形，完成表格。
图号 ① ② ③ ④ ⑤
阴影部分边长（厘米） 1 2
周围正方形个数（个） 8 12
（2）以此类推，你知道图⑨中涂色部分的周围共有多少个小正方形吗？
28．现有a（a＞50）根长度相同的小棒，按图1摆放恰好可以摆成（2m＋1）个三角形，按图2摆放恰好可以摆成2n个小正方形。
（1）求a的最小值；
图1 图2
（2）若这a根小棒还可以按图3恰好摆成p个五边形，且a＜200，求a的最大值。
29．下图是由火柴棒摆成的图形，第n个图形是由n个正方形组成。请思考下列问题。
（1）像这样摆下去，第n个图形中有（ ）根火柴棒。
（2）当时，用第（1）题的式子计算出摆21个正方形需要的火柴棒数。
30．小华用吸管和图钉钉三角形图案。（如下图）
（1）请根据钉三角形图案时，三角形与图钉的数量关系填写下表。
三角形的个数 1 2 3 4 5 6
图钉的个数 3 4 5 （ ） （ ） （ ）
吸管的根数 3 5 7 （ ） （ ） （ ）
（2）照这样接着做，用23个图钉时钉成的图案中有（ ）个三角形，用了（ ）根吸管。
（3）请你写出三角形的个数与图钉个数的数量关系。
（4）你还能提出什么数学问题？请提出并解答。
31．仔细分析，探究规律。
三角形个数 1个 2个 3个 4个 …
小棒的根数 3根 5根 7根 9根 …
观察图形和表格，如果要摆100个三角形，需要多少根小棒？要摆n个三角形，需要多少根小棒？
32．下面每个图形中灰色小正方形有多少个？
（1）观察规律，照样子在下面的括号内填上算式，并把第4幅图画在方框内。
（2）照这样的画下去，想一想，第20幅图形中有（ ）个灰色小正方形。
33．探索：百以内所有奇数的和。我们可以通过“数形结合”的方法来研究。
（1）画图并填空：
……
（ ）
（2）你探索后发现：从1开始的连续n个奇数的和等于（ ）。
（3）结论运用：百以内所有奇数的和等于（ ）。
34．九名同学在老师的指导下玩击鼓传花游戏，老师每敲一下，同学就将花传给顺时针方向的下一个同学，例如0号传给1号，1号传给2号，……，8号传给0号，那么，当老师敲第50下，同学们正好完成第50次传递，花传到7号同学的手上，你知道花是从几号同学手上开始传的吗？
35．用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放：
（1）第8个图形中有多少颗黑色棋子？
（2）第几个图形中有303颗黑色棋子？
36．
（1）按这样的规律摆下去，第n个图形需要多少个●？
（2）按上面的规律，摆第几个图形需要用200个●？
37．下面的4个图形都是用相同的小棒拼成的。
①根据前4个图形的规律拼摆，40根小棒能摆出第10个图形吗？
②第n个图形是由多少根小棒拼成的？把探索过程用你喜欢的方式表示出来。
38．一张桌子摆4把椅子，两张桌子并起来摆6把椅子……照这样摆下去。
（1）6张桌子可以摆多少把椅子？
（2）n张桌子可以摆多少把椅子？用式子表示出来是（ ）把。
（3）如果有34人，需要并起来多少张桌子才能坐下？
39．将小棒按照下面的样子摆七边形。
（1）摆n个七边形需要多少根小棒？
（2）当n＝26时，需要多少根小棒？
40．数形结合是一种重要的数学思想。请你画出第五个图形并思考：第10个方框有多少个点？第51个方框有多少个点？
1 1＋4 1＋4×2 1＋4×3 （ ）
41．小明用牙签搭六边形，如下图。
（1）数一数，上面四幅图每幅各用了多少根牙签？
（2）接着画下去，第五幅图将用多少根牙签？第八幅图呢？
（3）你能利用规律直接写成第n幅图一共要用多少根吗？
42．
（1）像这样摆下去，第n个图形需要__________根小棒。
（2）当n＝35时，计算第（1）题式子中需要的小棒数。
43．下列图中有大小不同的菱形，第1幅图中有1个菱形，第2幅图中有3个菱形，第3幅图中有5个菱形，则第4幅图中有多少个菱形？第幅图中有多少个菱形？
44．认真思考，细心操作。
（1）观察上面的点子图，找一找有什么规律，并把第五个图形画出。
（2）第n个图形共有（ ）个圆。
45．为庆祝“六一”儿童节，某幼儿园举行用火柴棒摆“金鱼”比赛。如图所示，按照下面的规律摆下去。
（1）摆6个“金鱼”需要多少根火柴棒？
（2）摆n个“金鱼”需要多少根火柴棒？
（3）若有2018根火柴棒，那么可以摆多少个“金鱼”？
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参考答案与试题解析
1．（1）5；9；13
（2）41；（4n＋1）
（3）16间
【分析】（1）看图数一数，即可确定搭1间、2间、三间房子需要的小棒根数；
（2）搭1间房子要5根小棒，5＝1×4＋1；搭2间房子要9根小棒，9＝2×4＋1；搭3间房子要13根小棒，13＝3×4＋1，即小棒根数＝房子数量×4＋1，据此分析；
（3）房子数量＝（小棒数量－1）÷4，据此列式解答。
【解析】（1）搭1间房子要5根小棒，搭2间房子要9根小棒，搭3间房子要13根小棒。
（2）10×4＋1
＝40＋1
＝41（根）
n×4＋1＝（4n＋1）根
搭10间房子要41根小棒，搭n间房子要（4n＋1）根小棒。
（3）（65－1）÷4
＝64÷4
＝16（间）
答：如果有65根小棒可以搭16间房子。
2．（1）1个；3个；6个；10个；
（2）21个；45个；
（3）见详解；（1＋2＋3＋4＋…＋n）个；
（4）55个
【分析】从图中可知：
（1）有1个三角形；
有2个小三角形和1个大三角形，一共是2＋1＝3（个）三角形；
有3个小三角形，相邻2个小三角形组成2个三角形，有1个大三角形，共有3＋2＋1＝6（个）三角形；
有4个小三角形，相邻2个小三角形组成3个三角形，相邻3个小三角形组成2个三角形，有1个大三角形，共有4＋3＋2＋1＝10（个）三角形；
（2）按照这种规律画下去，
第6个图形：6＋5＋4＋3＋2＋1＝21（个）
第9个图形：9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝45（个）
（3）由此得出规律：若图形中的单个小三角形个数为n，则图形中三角形的总个数就是（1＋2＋3＋4＋…＋n）个。
（4）数出单个小三角形的个数，再按规律计算即可。
【解析】（1）1个
2＋1＝3（个）
3＋2＋1＝6（个）
4＋3＋2＋1＝10（个）
答：第1个图形有1个三角形；第2个图形有3个三角形；第3个图形有6个三角形；第4个图形有10个三角形。
（2）第6个图形：6＋5＋4＋3＋2＋1＝21（个）
第9个图形：9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝45（个）
答：第6个图形有21个三角形；第9个图形有45个三角形；
（3）答：我发现图中有几个小三角形就从1开始依次加到n。若图形中的单个小三角形个数为n，则图形中三角形的总个数就是（1＋2＋3＋4＋…＋n）个。
（4）10＋9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝55（个）
答：图中一共有55个三角形。
3．(1) 1 4 9
(2) 4 8 12
(3) 25 20 81 36
【分析】（1）根据题中图形排列规律：
第1个图形是1行1列，有小正方形：1×1＝1（个）；
第2个图形是2行2列，有小正方形：2×2＝4（个）；
第3个图形是3行3列，有小正方形：3×3＝9（个）；
则第n个图形是n行n列，有小正方形：n×n＝n （个）。
（2）通过观察可知：
第1个图形边长为1厘米，周长：1×4＝4（厘米）；
第2个图形边长为2厘米，周长：2×4＝8（厘米）；
第3个图形边长为3厘米，周长：3×4＝12（厘米）；
则第n个图形边长为n厘米，周长：n×4＝4n（厘米）。
（3）通过（1）（2）发现的规律，代入数据计算，即可解答。
【解析】（1）由分析可得：小正方形的个数分别是1、4、9…
（2）由分析可得：大正方形的周长分别是4厘米、8厘米、12厘米…
（3）由分析（1）（2）可得：
5×5＝25（个）
4×5＝20（厘米）
9×9＝81（个）
4×9＝36（厘米）
即第5个图形中的小正方形有25个，这个图形的周长是20厘米；第9个图形中的小正方形有81个，这个图形的周长是36厘米。
4．（1）10；14
（2）（2n＋4）人
【分析】1张长方形桌子可坐6人，6＝2×1＋4；2张桌子拼在一起可坐8人，8＝2×2＋4；依此类推，每多一张桌子可多坐2人，所以n张桌子拼在一起可坐（2n＋4）人。据此解答即可。
【解析】（1）2×3＋4
＝6＋4
＝10（人）
2×5＋4
＝10＋4
＝14（人）
则3张桌子拼在一起可坐10人，5张桌子拼在一起可坐14人。
（2）n×2＋4＝（2n＋4）人
答：如果是n张桌子拼在一起，那么可以坐（2n＋4）人。
5．2局；A和B
【分析】5人进行乒乓球比赛，那么每人最多进行4场比赛，根据“A已打了4局，B打了3局，C打了2局，D打了1局”，在如图中连线表示已赛的场数，找出都有谁和E比赛，从而找出E比赛了几场。
【解析】如图：
答：由图可知，E一共打了2局；分别和A、B打的。
【点评】找出每人最多比赛4场这一突破口，然后根据每人比赛的场数进行画图得出结论。
6．（1）49个；225个（2）（n2）个
【分析】观察棋子的数目与图的序数之间的关系，发现：第1幅图：1＝12个棋子；第2幅图：1＋3＝4＝22个棋子；第3幅图：1＋3＋5＝9＝32个棋子；第4幅图：1＋3＋5＋7＝16＝42个棋子，……，据此总结出一般规律，解答即可。
【解析】第1幅图：1＝12个棋子
第2幅图：1＋3＝4＝22个棋子
第3幅图：1＋3＋5＝9＝32个棋子
第4幅图：1＋3＋5＋7＝16＝42个棋子
……
所以第7幅图有72＝49个棋子
第15幅图有152＝225个棋子
第n幅图：（n2）个棋子
【点评】本题考查数与形，解答本题的关键是找到棋子的数目与图的序数之间的关系。
7．（1）15；21；28；（2）55；
【分析】（1）通过观察，第1个图中有1个点，第2个图中有（1＋2）个点，第3个图中有（1＋2＋3）个点，第4个图中有（1＋2＋3＋4）个点，第几个图形的点数和等于前一个图形的点数和加几。
（2）通过（1）类推，第n个图中有（1＋2＋3＋…＋n）个点，然后通过首尾相加进行化简即可。
【解析】（1）第5个图形：10＋5＝15（个）
第6个图形：15＋6＝21（个）
第7个图形：21＋7＝28（个）
（2）第n个图的数：
1＋2＋3＋…＋n
＝（1＋n）×n÷2
＝（n＋n2）÷2
＝
当n＝10时，
＝
＝
＝
＝55
第10个图的数是55；第n个图的数是。
8．144米；32米
【分析】把绳子三折来量，井外余16米，也就是绳长比井深的3倍还多16×3＝48米；把绳子四折来量，井外余4米，也就是绳长比井深的4倍还多4×4＝16米。根据盈亏问题公式可知，井深为（48－16）÷（4－3）＝32米，则绳长为（32＋16）×3＝144米。
【解析】井深为：
（48－16）÷（4－3）
＝32÷1
＝32（米）
绳长为：
（32＋16）×3
＝48×3
＝144（米）
答：绳长为144米，井深为32米。
【点评】本题为两次都有余的盈亏问题，公式为：（大盈－小盈）÷（两次分配的差）＝分配数量。
9．（1）21根；（5n＋1）根；思考过程见详解
（2）401根
【分析】（1）由图可得：摆1个六边形需要6根小棒，摆2个六边形需要11根小棒，摆3个六边形需要16根小棒，由此可得：每多摆一个六边形，就会增加5根小棒，由此根据规律解答即可；
（2）根据（1）中的规律，将数据代入求出答案即可。
【解析】（1）观察图形可知，摆1个六边形需要6根小棒，
摆2个六边形需要11根小棒，可以写作：11＝6＋5＝6＋5×1；
摆3个六边形需要16根小棒，可以写成：16＝6＋5＋5＝6＋5×2；
摆4个六边形需要小棒的根数，可以写成：6＋5＋5＋5＝6＋5×3；
6＋5×3
＝6＋15
＝21（根）
……
摆n个六边形需要小棒的根数，可以写成：6＋5＋5＋……＋5＝6＋5×（n－1）；
6＋5×（n－1）
＝6＋5n－5
＝5n＋1
答：摆4个六边形，需要21根小棒。摆n个六边形，需要（5n＋1）根小棒。
（2）当n＝80时，代入得：
5n＋1
＝5×80＋1
＝400＋1
＝401（根）
答：摆80个六边形，需要401根小棒。
10．（1）①见详解
②10；14
（2）4n＋2
【分析】观察图形可知，长边坐2人，短边坐1人，则1张桌子可坐6人，每多1张桌子短边所坐人数不变，2个长边共多坐4人，
（1）1张桌子可坐6人，即4＋2；
2张桌子可坐10人，4＋4＋2；
3张桌子可坐14人，4＋4＋4＋2；
据此画图并填空即可；
（2）每多1张桌子就多坐4人，则n张桌子能坐的人数为：（4n＋2）张，据此解答即可。
【解析】（1）①图示如下：
②根据①所画人数可知，2张餐桌拼在一起最多可坐10人，三张餐桌拼在一起，最多可坐14人。
（2）按照上面的规律可知，每多1张桌子就多坐4人，
1张桌子可坐（4＋2）人，即（4×1＋2）人；
2张桌子可坐（4＋4＋2）人，即（4×2＋2）人，
3张桌子可坐（4＋4＋4＋2）人，即（4×3＋2）人，
则n张桌子拼在一起，就是n个4相加，再加2，即（4n＋2）人；
所以，n张桌子拼在一起最多可以坐（4n＋2）人。
【点评】本题考查了数与形结合的规律，发现每多1张桌子就多坐4人，是解答本题的关键。
11．见详解
【分析】观察题意可知，图1摆了1个三角形，图2摆了4个三角形，图3摆了9个三角形，……以此类推可知，图n摆了n2个三角形；图1最大三角形的边长是1，图2最大三角形的边长是2，图3最大三角形的边长是3，……以此类推可知，图n最大三角形的边长是n；已知等边三角形的三条边相等，所以图n最大三角形的周长为3n。
【解析】图1摆了1个三角形，
1＝1×1
图2摆了4个三角形，
4＝2×2
图3摆了9个三角形，
9＝3×3
……
图n摆的三角形个数：n2。
因为图n最大三角形的边长是n，
所以图n最大三角形的周长为3n；
因为3n÷3＝n
所以小三角形的个数＝（这个三角形周长÷3）2
每个三角形图包含小三角形的个数等于这个三角形图的周长除以3所得商的平方。
问题：第7个三角形图的周长是多少？
3×7＝21
答：第7个三角形图的周长是21。（答案不唯一）
【点评】本题主要考查数与形结合的规律，关键根据图示发现这组图形的规律，并运用规律做题。
12．见详解
【分析】观察“杨辉三角”，发现下层中间的数等于上层相邻两个数的和，据此规律解答。
【解析】我发现“杨辉三角”图中各数之间的关系：这些数字组成的三角形是等腰三角形，两条腰上的数都是1，从第3行开始，中间的每一个数都等于它上方相邻的两个数字之和。
按照发现的规律把这个三角形图继续写下去：
【点评】通过数与形的结合，从已知的图形或数据中找到规律，并按规律解题。
13．绿色6个；蓝色18个；绿色10个；蓝色26个；见详解
【分析】第1个图形，有1个绿色小正方形，8个蓝色小正方形，8＝2×1＋6；
第2个图形，有2个绿色小正方形，10个蓝色小正方形，10＝2×2＋6；
第3个图形，有3个绿色小正方形，12个蓝色小正方形，12＝2×3＋6；
第4个图形，有4个绿色小正方形，14个蓝色小正方形，14＝2×4＋6；
……
规律：第n个图形，有n个绿色小正方形，（2n＋6）个蓝色小正方形；据此解答。
【解析】规律：第n个图形，有n个绿色小正方形，（2n＋6）个蓝色小正方形。
当n＝6时，有6个绿色小正方形；
蓝色小正方形有：
2n＋6
＝2×6＋6
＝12＋6
＝18（个）
当n＝10时，有10个绿色小正方形；
蓝色小正方形有：
2n＋6
＝2×10＋6
＝20＋6
＝26（个）
答：照这样接着画下去，第6个图形有6个绿色小正方形和18个蓝色小正方形。第10个图形有10个绿色小正方形和26个蓝色小正方形。
道理：从图中发现规律：第n个图形有n个绿色小正方形，（2n＋6）个蓝色小正方形。
【点评】通过数与形的结合，从已知的图形或数据中找到规律，并按规律解题。
14．（1）见详解
（2）50；1＋7n
【分析】（1）摆1个八边形需要8根小棒，摆2个八边形需要15根小棒，15＝1＋2×7，摆3个八边形需要22根小棒，22＝1＋3×7， 摆n个八边形需要的小棒数为：（1＋7n）根，据此解答即可。
【解析】（1）如图所示：
（2）摆7个八边形需要小棒的根数为：
1＋7n＝1＋7×7
＝1＋49
＝50
则摆7个八边形需要50根小棒，如果想摆n个八边形需要（1＋7n）根小棒。
【点评】本题主要考查数.与形结合的规律，发现每多1个八边形就多7根小棒是解本题的关键。
15．24个；36个
【分析】如下图，第1个图中○和●一共有32个，●的个数有12个，○的个数有32－12＝8（个）；第2个图中○和●一共有42个，●的个数有22个，○的个数有42－22＝12（个）；第3个图中○和●一共有52个，●的个数有32个，○的个数有52－32＝16（个）；……由此发现规律：第n个图中○和●一共有（n＋2）2个，●的个数有n2个，○的个数有[（n＋2）2－n2]个。
【解析】（5＋2）2－52
＝72－52
＝49－25
＝24（个）
（8＋2）2－82
＝102－82
＝100－64
＝36（个）
答：第5个图形中有24个○，第8个图形36个○。
【点评】数形结合是学习数学的一种重要的思想方法。运用数形结合的方法，可以帮助理解计算方法，进行计算。
16．90分钟
【分析】一个细胞经过30分钟分裂成2个细胞，2个细胞经过30分钟分裂成4个细胞，4个细胞经过30分钟分裂成8个细胞，据此解答。
【解析】画图如下。
30×3＝90（分钟）
答：需要90分钟。
【点评】解决此题的关键是确定一个母细胞分裂成8个子细胞需要分裂的次数。
17．48个
【分析】第1个图，外圈边长是3个，比外圈小1圈的一边正方形的个数是1，最外圈小正方形的个数：32－12＝9－1＝8（个）；
第2个图，外圈边长是5个，比外圈小1圈的一边正方形的个数是3，最外圈小正方形的个数：52－32＝25－9＝16（个）；
第3个图，外圈边长是7个，比外圈小1圈的一边正方形的个数是5，最外圈小正方形的个数：72－52＝49－25＝24（个）；
……
第n个图，外圈边长是（2n＋1）个，比外圈小1圈的一边正方形的个数是（2n－1），最外圈小正方形的个数：（2n＋1）2－（2n－1）2；
【解析】根据分析，第6个图，外圈边长是13个，比外圈小1圈的一边正方形的个数是11，
132－112
＝169－121
＝48（个）
答：第6个图形最外圈有48个小正方形。
【点评】此题考查了数与形的知识，关键能够观察内外圈边上的数量的关系再找规律。
18．（1）13根
（2）（）根，过程见详解
【分析】第一个图形需3根小棒，第二个图形需3＋2根小棒，第三个图形需3＋2×2根小棒；第四个图形需3＋2×3根小棒……，（1）摆第6个图形即可求。（2）摆n个图形即可求。
【解析】（1）3＋2×5
＝3＋10
＝13（根）
答：第6个图形需要13根小棒。
（2）3＋2×（n－1）
＝3＋2n－2
＝2n＋（3－2）
＝2n＋1
答：摆第n个图形需要2n＋1根小棒。
【点评】仔细观察，比较总结规律是解决本题的关键。
19．（1）9；18；27；36；45；
（2）11；66；
（3）2n－1；2n2－n
【分析】（1）1＋2＝3，3＋2＝5，5＋2＝7，所以第5行的第一个数等于7＋2，然后用第一个数分别乘2、3、4、5，即可求出这一行剩余的四个数，把数补充到图形中即可。
（2）同样，第5行的第一个数9加上2，等于第6行的第一个数，再用第6行的第一个数乘6，即可求出这一行的最后一个数。
（3）这个图形从上往下每行的第一个数依次加2，每行的数规律是从左向右为这一行第一个数分别乘2，乘3，乘3 ，第一行第1个数是1，第二行第1个数是1＋2，第三行第1个数是1＋2×2，依次类推，第n行的第一个数是1＋2×（n－1），第n行有n个数，最后一个数用第一个数乘n，即可得解。
【解析】（1）7＋2＝9
9×2＝18
9×3＝27
9×4＝36
9×5＝45
如图：
（2）9＋2＝11
11×6＝66
即第6行的第一个数是11，最后一个数是66。
（3）根据分析得，第n行的第一个数是：
1＋2×（n－1）
＝1＋2n－2
＝2n－1
（2n－1）×n
＝2n2－n
答：第n行的第一个数是2n－1，最后一个数是2n2－n。
【点评】此题的解题关键是找出横排和竖排中数字排列的规律，平时要注重多积累，培养数感。
20．（1）见详解
（2）45个
【分析】（1）第1个图需要1个点子；
第2个图需要3个点子：＝＝3
第3个图需要6个点子：＝＝6
第4个图需要10个点子：＝＝10
……
第n个图需要点子：
第5个点阵，即n＝5，代入求值画图即可；
（2）第9个点阵，即n＝9，代入求值即可。
【解析】（1）第n个图需要点子：
当n＝5时，
＝＝＝15（个）
画图如下：
（2）当n＝9时，
＝＝＝45（个）
答：第9个点阵中有45个点。
【点评】本题主要考查数与形结合的规律，发现棋子个数的变化规律，再根据规律去解决问题。
21．图见详解；第4天
【分析】先画一个正方形，把这个正方形看作单位“1”，第一天运走全部的，还剩下，即把正方形平均分成2份，一份是运走的，另一份是剩下的；把还剩下的图形看作单位“1”，第二天运走剩下的，即把剩下的图形平均分成2份，一份是运走的，一份是剩下的，那么还剩下…以此类推，画到第4天时还剩下的原来的。
先把这批物资的总量看作单位“1”，第一天运走全部的，还剩下1－＝；第二天运走剩下的，是把剩下的物资看作单位“1”，根据“求一个数的几分之几是多少”，用剩下的物资乘（1－），即可求出第二天运走后还剩下原来的几分之几……以此类推，计算到第4天即可得出仓库里剩下的物资是原有物资的。
【解析】如图：
第1天运走后，还剩下：
1－＝
第2天运走后，还剩下：
×（1－）
＝×
＝
第3天运走后，还剩下：
×（1－）
＝×
＝
第4天运走后，还剩下：
×（1－）
＝×
＝
答：第4天运走后，仓库里剩下的物资是原有物资的。
【点评】理解“每天都运走剩下物资的”的含义，通过画图，数形结合，找到规律，按规律解答。列式计算时，区分单位“1”的不同，根据分数乘法的意义解答。
22．21根；（2n＋1）根
【分析】根据图示发现：摆1个三角形需要小棒：（1＋2）根；摆2个三角形需要小棒：（1＋2＋2）根；摆3个三角形需要小棒：（1＋2＋2＋2）根；依次类推……摆n个三角形需要小棒：（2×n＋1）根。据此解答。
【解析】摆n个三角形需要小棒：2×n＋1＝（2n＋1）根
当n＝10时，
2×10＋1
＝20＋1
＝21（根）
答：摆10个三角形用21根小棒；摆n个三角形用（2n＋1）根小棒。
【点评】本题主要考查数与形结合的规律，关键根据图示发现这组图形的规律，并运用规律做题。
23．（1）；1＋4×3
（2）17；37
【分析】（1）根据图示，后一个图形比前一个图形多4各圆点，即每个角上多1个点，据此作图即可。
（2）根据圆点的排列规律，写出第n个图形圆点的个数表达式，再分别将n＝5和n＝10代入求解即可。
【解析】由分析可得：
（1）如图：
点子数量关系式：1＋4×3
（2）第n个图形圆点的个数是：
1＋4×（n－1）
＝1＋4n－4
＝4n－3（个）
n＝5时
4×5－3
＝20－3
＝17（个）
n＝10时
4×10－3
＝40－3
＝37（个）
【点评】本题考查了图形的变化类问题，主要培养学生的观察能力和总结能力。
24．（1）见详解；
（2）50；7n＋1
【分析】（1）由图可知，摆1个八边形需要8根小棒，摆2个八边形需要（8＋7）根小棒，摆3个八边形需要（8＋7×2）根小棒，摆4个八边形需要（8＋7×3）根小棒……
（2）由（1）可知，每增加一个八边形需要增加7根小棒，摆n个八边形需要[8＋（n－1）×7]根小棒，求出当n＝7时式子的值就是摆7个八边形需要小棒的数量，据此解答。
【解析】（1）分析可知：
（2）摆n个八边形需要小棒的根数为：8＋（n－1）×7
＝8＋7n－7
＝（7n＋1）根
当n＝7时。
7n＋1
＝7×7＋1
＝49＋1
＝50（根）
所以，摆7个八边形需要50根小棒，如果想摆n个八边形需要（7n＋1）根小棒。
【点评】分析图形找出八边形个数和小棒根数的变化规律是解答题目的关键。
25．（1）3n＋1
（2）67枚
【分析】（1）观察图形可知，第一幅图需要4枚黑色棋子，第二幅图需要7枚黑色棋子，第三幅图需要10枚黑色棋子，则第n个图形需要黑色棋子（3n＋1）枚；
（2）把22代入到式子3n＋1中进行计算即可。
【解析】（1）第n个图形需要黑色棋子（3n＋1）枚。
（2）当n＝22时，代入到式子中得：
3n＋1＝3×22＋1
＝66＋1
＝67
答：第22个图形中有67枚黑色棋子。
【点评】本题考查图形的变化规律，发现规律，利用规律是解题的关键。
26．（1）14
（2）见详解
【分析】（1）观察图形可知，1，2，3，4，5，6，在三个圆中各用到2次，先求出它们的和的2倍，再除以3即为所求；
（2）让每个圆的相对的2个数字的和为7，进行填写即可。
【解析】（1）（1＋2＋3＋4＋5＋6）×2÷3
＝21×2÷3
＝14
（2）如图所示：
【点评】考查了发现规律，求出相等的和是解题的关键。
27．（1）3；4；5
16；20；24
（2）40个
【分析】通过观察图可知：阴影部分边长×4，可求出阴影部分四边的正方形个数，再加上4个角上的4个小正方形，就是周围正方形个数。
【解析】（1）观察图形，完成表格。
图号 ① ② ③ ④ ⑤
阴影部分边长（厘米） 1 2 3 4 5
周围正方形个数（个） 8 12 16 20 24
（2）9×4＋4
＝36＋4
＝40（个）
以此类推，你知道图⑨中涂色部分的周围共有40个小正方形。
【点评】通过观察图得出规律是解答此题的关键。
28．（1）67；
（2）147
【分析】（1）对图1分析：
m＝0时，就是有1个三角形时，需要3根小棒；
m＝1时，就是有3个三角形时，需要7＝3＋4根小棒；
m＝2时，就是有5个三角形时，需要11＝3＋4×2根小棒；
……
需要小棒的数量＝3＋4m。
对图2分析：
n＝1时，就是2个正方形时，需要7根小棒；
n＝2时，就是4个正方形时，需要12＝7＋5根小棒；
n＝3时，就是6个正方形时，需要17＝7＋5×2根小棒；
……
需要小棒的数量＝7＋5（n－1）＝5n＋2。
摆成两种图形小棒的数量是一样的，则
a＝3＋4m＝5n＋2，a的值大于50，则m最小12，n最小是10，且m、n、a都是整数。当m＝12时，n＝9.8不符合；m＝13时，n＝10.6不符合；m＝14时，n＝11.4不符合；m＝15时，n＝12.2不符合；m＝16时，n＝13符合。
（2）分析图3：
p＝2时，就是有2个五边形，需要小棒9根小棒；
p＝4时，就是有4个五边形，需要小棒15＝3×4＋3根小棒；
p＝6时，就是有6个五边形，需要小棒21＝3×6＋3根小棒；
……
需要小棒的根数＝3p＋3＝3（p＋1），即a的值是3的倍数，在满足（1）的情况下，a的取值是：67、87、107、127、147、167、187。
其中187和167不是3的倍数，147是3的倍数，
【解析】（1）摆成三角形需要小棒的数量：3＋4m。
摆成正方形需要小棒的数量：5n＋2。
3＋4m＝5n＋2
当m＝16，n＝13时
3＋4×16
＝3＋64
＝67（根）
答：a的最小值67根。
（2）a＝3（p＋1）
a的取值是：67、87、107、127、147、167、187，
其中147符合条件。
答：a的最大值147根。
【点评】认真观察图形，找出图形的变化规律是解题关键。
29．（1）
（2）64根
【分析】（1）摆一个图形需要4根火柴棒，可以写成3×1＋1；摆2个图形需要7根火柴棒，可以写成3×2＋1；摆三个图形需要10根火柴棒，可以写成3×3＋1…；由此可以推理得出一般规律解答问题；
（2）当n＝21时，代入算式，求出需要火柴棒的数量。
【解析】（1）根据分析可知，摆一个图形需要火柴棒的数量：（3×1＋1）根
摆二个图形需要火柴棒的数量：（3×2＋1）根
摆三个图形需要火柴棒的数量：（3×3＋1）根
由此可知摆n图形需要火柴棒的数量：（3n＋1）根
（2）当n＝21时
3×21＋1
＝63＋1
＝64（根）
答：摆21个正方形需要64个火柴棒。
【点评】根据题干中已知图形排列特点以及数量关系，推理得出一般结论进行解答是此类问题的关键。
30．（1）6；7；8；
9；11；13
（2）21；43
（3）设三角形的个数为n，则图钉的个数＝n＋2
（4）提问：吸管的根数与三角形的个数间有什么关系；吸管根数＝2×三角形个数＋1
【分析】（1）由图可知，可以看出随着三角形个数每次增加1，图钉个数也每次增加1，并且每次增加1个图钉的同时，会增如2根吸管；
（2）根据规律可知，当图钉为23个时，需要43根吸管，有21个三角形；
（3）看表1，图钉与三角形的个数始终相差2，所以三角形的个数＋2＝图钉的数量；
（4）如图中表所示，可看出每次增加的吸管根数始终是三角形个数的2倍＋1，所以吸管根数＝2×三角形个数＋1。
【解析】（1）
三角形的个数 1 2 3 4 5 6
图钉的个数 3 4 5 6 7 8
吸管的根数 3 5 7 9 11 13
（2）当图钉为23个时，需要43根吸管，有21个三角形；
（3）可以设三角形的个数为n，则图钉的个数＝n＋2；
（4）提问：吸管的根数与三角形的个数间有什么关系？
吸管根数＝2×三角形个数＋1（答案不唯一）
【点评】本题考查的是根据已知找规律并进行解答。
31．201根；（2n＋1）根
【分析】搭第一个图形需要3根小棒，结合图形，发现：后边每多一个图形，则多用2根小棒。据此解答。
【解析】搭第100个图形，需要小棒：
3＋2×（100 1）
＝3＋198
＝201（根）
则要搭n个三角形时，需要小棒：
3＋2（n 1）＝（2n＋1）根
答：摆100个三角形，需要201根小棒，要摆n个三角形，需要（2n＋1）根小棒。
【点评】此题考查了数与形问题，要能够从图形中发现规律。
32．（1）；；见详解；（2）41
【分析】（1）观察图形可知，灰色小正方形个数等于小正方形的总个数减去白色小正方形个数，据此可分别求出第3幅图和第4幅图的灰色正方形个数。
（2）观察图形可总结出灰色正方形个数为（n＋1）2－n2＝2n＋1，n表示第n幅图，把n＝20代入计算即可。
【解析】（1）
（2）2×20＋1
＝40＋1
＝41（个）
第20幅图形中有41个灰色小正方形。
【点评】本题考查了图形的变化类问题，主要培养学生的观察能力和总结能力。
33．（1）见详解；3；
（2）n2；
（3）2500
【分析】（1）第1幅图等于1的平方，第2幅图等于2的平方，所以第3幅图应等于3的平方，据此完成作图并解答；
（2）利用第1、2、3个图形与算式之间的计算方法，可以看出从1开始连续奇数的和等于数的个数的平方，由此写出规律即可。
（3）百以内第1个奇数是1，最后一个奇数是99，通过算式（1＋99）÷2，即可求出百以内所有奇数的个数有50个，根据（2）得出的规律即可求出百以内所有奇数的和。
【解析】（1）作图如下：
32
（2）经过探索后发现：从1开始的连续n个奇数的和等于n2。
（3）（1＋99）÷2
＝100÷2
＝50
502＝50×50＝2500
所以百以内所有奇数的和等于2500。
【点评】在探索数与形结合的规律时，一方面要考虑图形，另一方面要考虑数的排列规律，通过数形结合来解决问题。
34．2号
【分析】由题意可知，每传9次花就会回到原处，顺时针传50次，说明经过5整圈之后还继续传了5次，传到7号同学手上，倒推回去7－5＝2号，所以花是从2号同学手上开始传的。
【解析】50÷9＝5（圈） 5（次）
7－5＝2（号）
答：花是从2号同学手上开始传的。
【点评】本题考查循环问题，明确每传9次花就会回到原处是解题的关键。
35．（1）27颗（2）100个
【分析】第1图形有黑色棋子的颗数：6＝1×3＋3；
第2图形有黑色棋子的颗数：9＝2×3＋3；
第3图形有黑色棋子的颗数：12＝3×3＋3；
第4图形有黑色棋子的颗数：15＝4×3＋3；
……
第n图形有黑色棋子的颗数：n×3＋3。
【解析】（1）8×3＋3
＝24＋3
＝27（颗）
答：第8个图形中有27颗黑色棋子。
（2）（303－3）÷3
＝300÷3
＝100（个）
答：第100个图形中有303颗黑色棋子。
【点评】解题关键是通过归纳与总结，得到其中的规律，再灵活运用规律解答。
36．（1）4n个
（2）50个
【分析】第1个图形中有●的个数：4个，4＝1×4；
第2个图形中有●的个数：8个，8＝2×4；
第3个图形中有●的个数：12个，12＝3×4；
……
第n个图形中有●的个数：4n个。
【解析】（1）4×n＝4n（个）
答：第n个图形需要4n个●。
（2）200÷4＝50（个）
答：摆第50个图形需要用200个●。
【点评】本题是找规律的题型，从已知的图形或数据中找到规律，并按规律解题。
37．①不能
②4n＋1根；过程见详解
【分析】观察可知，图形数量＝（小棒数量－1）÷4；小棒数量＝图形数量×4＋1，据此分析。
【解析】①10×4＋1
＝40＋1
＝41（根）
41＞40
答：不能摆出第10个图形。
②第1个图形用5根小棒，5＝1×4＋1
第2个图形用9根小棒，9＝2×4＋1
第3个图形用13根小棒，13＝3×4＋1
第4个图形用17根小棒，17＝4×4＋1
所以小棒数量＝4n＋1（根）
【点评】数和图形的规律是相对应的，图形的排列有什么变化规律，数的排列就有相应的变化规律。
38．（1）14把；
（2）2n＋2；
（3）16张
【分析】由图可知，1张桌子时，可以摆4把椅子；2张桌子时，可以摆（4＋2）把椅子；3张桌子时，可以摆（4＋2＋2）把椅子……每增加一张桌子就增加2把椅子，那么n张桌子时，可以摆4＋2（n－1）把椅子；最后计算出椅子数量为34时，n的值即可。
【解析】（1）1张桌子可以摆椅子的数量：4把
2张桌子可以摆椅子的数量：4＋2＝6（把）
3张桌子可以摆椅子的数量：4＋2×2＝4＋4＝8（把）
4张桌子可以摆椅子的数量：4＋3×2＝4＋6＝10（把）
5张桌子可以摆椅子的数量：4＋4×2＝4＋8＝12（把）
6张桌子可以摆椅子的数量：4＋5×2＝4＋10＝14（把）
答：6张桌子可以摆14把椅子。
（2）分析可知，n张桌子可以摆椅子的数量：4＋2（n－1）＝4＋2n－2＝（2n＋2）把
（3）如果有34人，那么需要34把椅子。
2n＋2＝34
解：2n＝34－2
2n＝32
n＝32÷2
n＝16
答：如果有34人，需要并起来16张桌子才能坐下。
【点评】分析题意找出椅子数量变化的规律是解答题目的关键。
39．（1）6n＋1；
（2）157
【分析】由图可知，摆1个七边形需要7根小棒，摆2个七边形需要（7＋6）根小棒，摆3个七边形需要（7＋6×2）根小棒，摆4个七边形需要（7＋6×3）根小棒……每增加一个七边形就增加6根小棒，摆n个七边形需要7＋6×（n－1）根小棒，化简计算n＝26时小棒的根数，据此解答。
【解析】（1）分析可知，摆n个七边形需要小棒的根数：
7＋6×（n－1）
＝7＋6n－6
＝（6n＋1）根
答：摆n个七边形需要（6n＋1）根小棒。
（2）当n＝26时，6n＋1＝6×26＋1＝156＋1＝157（根）
答：当n＝26时，需要157根小棒。
【点评】分析图形找出七边形个数和小棒根数的变化规律是解答题目的关键。
40．第五个图形见解析；37个；201个；1＋4×4
【分析】分析图形的变化规律可知，后面一个图形比相邻的前一个图形多4个点，第n个图形点的个数用式子表示为：1＋4（n－1），据此解答。
【解析】
1 1＋4 1＋4×2 1＋4×3 （ 1＋4×4 ）
分析可知，第n个图形点的个数：1＋4（n－1）＝1＋4n－4＝（4n－3）个
当n＝10时，4n－3＝4×10－3＝40－3＝37（个）
当n＝51时，4n－3＝4×51－3＝204－3＝201（个）
答：第10个方框有37个点，第51个方框有201个点。
【点评】分析图形找出图形变化的规律是解答题目的关键。
41．（1）6根；11根；16根；21根；
（2）26根；41根；
（3）（5n＋1）根
【分析】分析图形可知，每增加一个六边形就增加5根牙签，第1个图形一共用了6根牙签，第2个图形一共用了（6＋5）根牙签，第3个图形一共用了（6＋5×2）根牙签，第4个图形一共用了（6＋5×3）根牙签……则第n个图形一共用了[6＋5×（n－1）]根牙签，据此解答。
【解析】（1）第1幅图用了6根，第2幅图用了11根，第3幅图用了16根，第4幅图用了21根。
（2）第5幅图：6＋5×（5－1）
＝6＋5×4
＝6＋20
＝26（根）
第8幅图：6＋5×（8－1）
＝6＋40－5
＝46－5
＝41（根）
答：第五幅图将用26根牙签，第八幅图将用41根牙签。
（3）6＋5×（n－1）
＝6＋5n－5
＝（5n＋1）根
答：第n幅图一共要用（5n＋1）根。
【点评】用含有字母的式子表示出图形变化的规律是解答题目的关键。
42．（1）2n ＋1；
（2）71根
【分析】（1）观察图形可知：摆1个三角形需要3根小棒，可以写作：2×1＋1；摆2个需要5根小棒，可以写作：2×2＋1；摆3个需要7根小棒，可以写成：3×2＋1；……摆n个三角形需要：（2n ＋1）根小棒。
（2） 根据第一小题的分析可知，摆n个三角形需要：（2n ＋1）根小棒，当n＝35时，把数据代入计算，即可求当n＝35时，需要小棒的数量。
【解析】（1）根据分析可知，像这样摆下去，第n个图形需要（2n＋1）根小棒。
（2）35×2＋1
＝70＋1
＝ 71（根）
答：摆35个三角形需要71根小棒。
【点评】认真观察图形，并从中找出图形变化的规律，是解答此题的关键。
43．7个；（2n－1）个
【分析】根据图意，第1幅图中有1个菱形，第二个图中有3＝2×2－1，第三个图中有5＝2×3－1，第4幅图有7＝2×4－1，以此类推，则第n个图中，有（2n－1）个菱形。注意分析菱形的个数与第几个图形的对应关系。
【解析】由分析可知：
则第4幅图中有：
2×4－1
＝8－1
＝7（个）
则第n个图中，有（2n－1）个菱形。
【点评】此题考查的是找规律，关键是通过归纳与总结，得到其中的规律并运用规律。
44．（1）见详解
（2）
【分析】分析图形可知，第1个图形有个圆；
第2个图形有个圆；
第3个图形有个圆；
第4个图形有个圆；
第5个图形有个圆；
……
第n个图形有个圆，据此解答。
【解析】（1）
（2）第n个图形共有（ ）个圆。
【点评】分析图形找出图形变化的规律是解答题目的关键。
45．（1）38根；（2）2＋6n；（3）336个
【分析】根据题意分析可得：搭第1个图形需8根火柴，此后，每个图形都比前一个图形多用6根，故按照上面的规律，摆n条“金鱼”需用火柴棒的根数为8＋（n－1）×6根；据此解答。
【解析】（1）8＋（6－1）×6
＝8＋5×6
＝8＋30
＝38（根）
答：摆6个“金鱼”需要38根火柴棒。
（2）摆n条“金鱼”需用火柴棒的根数为8＋（n－1）×6根；
（3）（2018－8）÷6＋1
＝2010÷6＋1
＝335＋1
＝336（个）
答：2018根火柴棒可以摆336个“金鱼”。
【点评】本题是对图形变化规律的考查，查出前三个图形的火柴棒的根数，并观察出后一个图形比前一个图形多6根火柴棒是解题的关键。
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
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