人教A版（2019）高中数学必修第二册 8.6.2.3 空间距离 课件（23张PPT）

8.6.2.3
空间距离---点到面的距离
直线到面的距离 面与面的距离
复习
直线与平面垂直的判定定理：
如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直.
垂直
内
相交
符号语言：
图形语言：
线线垂直?线面垂直
直线和平面所成角
1) 斜线:
2) 斜足:
3) 斜线在平面内的射影:
和平面相交,但不垂直的直线叫做平面的斜线
斜线和平面相交的交点
过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线,过垂足和斜足的直线称为斜线在平面内的射影.
☆平面的斜线和它在平面内的射影所成的角，叫做直线和平面所成的角.
规定:①若直线垂直平面，则直线和平面所成的角为90°
②若直线与平面平行或在平面内，则直线和平面所成的角为0 °
☆直线和平面所成角的取值范围为
α
P
l
A
O
复习
直线与平面所成的角是直线与平面内任意一条直线所成角的最小角.
三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直.
O
?
a
A
P
已知 PO、PA分别是平面?的垂线、斜线，AO是PO在平面?上的射影。a? ?，a⊥AO.
求证：a⊥pA
在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么，它也和这条斜线的射影垂直。
P
A
O
a
α

已知：PA，PO分别是平面? 的垂线和斜
线，AO是PO在平面? 的射影,a ? ? ,a
⊥PO求证：a ⊥AO
三垂线定理的逆定理
新知探究
过一点作垂直于已知平面的直线,则该点与垂足间的线段,叫做这个点到该平面的垂线段,
点到平面的距离
在锥体的体积公式中，锥体的高度就是锥体的顶点到底面的距离.
P
l
α
O
下面我们研究直线与平面垂直的判定，就是直线与平面垂直的充分条件.
垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离.
如图，在正三棱柱 ????????????????????????????????????? 中，若 ????????=???? ，
????????????=???? ，则点 ???? 到平面 ???????????????? 的距离为_ __.
?
????????
?
解：∵在正三棱柱 ????????????????????????????????????? 中, ????????=???? , ????????????=???? ，
∴ ?????????????????????????=????????????△?????????????????????????=????????×????????×????????×??????????????????????×????=???????? ，
由正三棱柱的性质可知 ????????????=????????????=???? ，
∴在等腰三角形 ???????????????? 中， ????????????=????????????=???? ， ????????=???? ，
?
跟踪练习
∴ ???????? 边上的高为 ?????????????????=???? ，
∴ ????△????????????????=????????×????×????=???? ，
设点 ???? 到平面 ???????????????? 的距离为 ???? ，则 ?????????????????????????=?????????????????????????=????????×????????=???????? ，
解得 ????=???????? .
故点 ???? 到平面 ???????????????? 的距离为 ???????? .
?
证明:过直线l上任意两点????,????分别作平面α的垂线????????????,????????????,垂足分别为????????,????????。
?
设直线????????????,????????????确定的平面为β,且?????????=????????????????
?
由????,????是直线l上任意的两点，可知直线l上各点到平面α的距离相等。
?
α
β
????1
?
????
?
????
?
????1
?
例 如图，直线l平行于平面α，求证：直线l上各点到平面α的距离相等。
∵????????????⊥????，????????????⊥????，∴????????????//???????????? 。
?
∵????//????，∴????//????????????????
?
∴????????????=????????????
?
典例解析
∴四边形????????????????????????是矩形
?
通过此例题可知，若一条直线与一个平面平行，那这条直线上任意一点到平面的距离相等，我们把这个距离叫做直线到这个平面的距离.
如果两个平面平行，那么其中一个平面内任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平面间的距离.
在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABC=?????????,AB=BC=1,BB1=2,求直线B1C1到平面A1BC的距离.
?
新知应用
由题意得B1C1//BC，BC?平面A1BC，B1C1?平面A1BC
?
∴B1C1// 平面 A1BC ，
?
∴ 直线 B1C1 到平面 A1BC 的距离等于点 B1 到平面 A1BC 的距离，
?
连接 B1C，易知B1B⊥平面ABC，且 BC?平面ABC
?
∴B1B⊥BC ，
?
∴S△B1BC=12BB1?BC=1
?
又 BC⊥AB，AB∩BB1=B，AB，BB1?平面ABB1A1
?
∴BC⊥平面 ABB1A1
?
∵A1B?平面 ABB1A1，
?
∴BC⊥A1B
?
∴S△A1BC=12A1B?BC=52
?
设点 B1 到平面 A1BC 的距离为d
?
∵VB1?A1BC=VA1?B1BC
?
∴13S△A1BC×d=13S△B1BC×A1B1
?
解：
解得 d=255
?
即直线 B1C1 到平面 A1BC 的距离为 255
?
AC与平面A1BC所成角的正弦值？
新知应用
在棱长为2的正方体 ????????????????????????????????????????????????? 中， ???? ， ???? ， ???? ， ???? 分别是 ???????????????? ， ???????????????? ， ???????????????? ， ???????????????? 的中点，
求平面 ???????????? 与平面 ???????????????? 间的距离.
?
先证平面????????????// 平面 ????????????????（前面已证明过）
?
∴平面????????????与平面????????????????间的距离等于点????到平面????????????的距离
?
设为????
?
因为????，???? 分别为 ????????????????,???????????????? 的中点
?
又 ????????=????????=????
?
∴????△????????????=????????×????×?????????????????????=????????
?
易知????△????????????=????????×????×????=????
?
∴????????=????????????????????????=????
?
得 ????????????△?????????????????=????????????△?????????????????????????
?
解得 ????=????????
?
∴平面 ???????????? 与平面 ???????????????? 间的距离为 ????????
?
（2）如图所示，在长方体?????????????????????′????′????′????′中，????????=12 ，
????????=6，????????′=5，分别过????′????′和????????的两个平行平面（平面????′????????????′
和平面????????′????′????，其中????,????,????′，????′分别在????????，????????，????′????′，????′????′ 上）将
长方体分为体积相等的三部分，求这两个平行平面之间的距离.
?
解：长方体夹在两个平行平面之间的部
分是一个棱柱，它以四边形????′????????????′ 为底
面，????′????′ 为高.
根据题意得????四边形????′????????????′?????′????′=13????长方体 ，
?
即????′????′?????????′?????′????′=13??????????????????????????′，∴????′????′=13????????=4 .
作????′????⊥????′????，????为垂足，∵????′????′⊥ 平面????????????′????′，????′????? 平面????????????′????′ ，
∴????′????⊥????′????′ .
?
又????′????∩????′????′=????′，∴????′????⊥ 平面
????′????????????′，即????′???? 的长度是所求两个平行平
面之间的距离.
在Rt△????′????????′ 中，
????′????=????′????′?sin∠????′????′????=4sin∠????′????′????=4×????????′????????′=2052+82=208989 ，
即这两个平行平面之间的距离为208989 .
?
［素养小结］
1.利用线面、面面平行转化：利用线面距、面面距的定义，转化为直
线或平面上的一点到平面的距离.
2.利用中点转化：如果条件中具有中点条件，将一个点到平面的距离
借助中点（等分点）转化为另一点到平面的距离.
3.通过换底转化：一是直接换底，以方便求几何体的高；二是将底面
扩展（分割），以方便求底面积和高.
探究点二 线面垂直的综合应用
例2 如图，矩形????????????????是圆柱????????1 的一个轴截面，
点????在圆????上（异于????，????），????为???????? 的中点.
?
（1）证明：????????⊥ 平面???????????? ；
?
证明：因为????????⊥ 平面????????????，????????? 平面???????????? ，
所以????????⊥???????? .
因为????????为圆????的直径，所以????????⊥???????? .
又????????∩????????=????，????????? 平面????????????，????????? 平面???????????? ，
所以????????⊥ 平面???????????? .
?
（2）当直线????????与平面????????????所成的角为45? 时，证明：????????⊥ 平面
???????????? .
?
证明： 因为????????⊥ 平面????????????，????????? 平面???????????? ，
所以????????⊥????????，
易知∠????????????即为直线????????与平面???????????? 所成的角，
所以∠????????????=45? ，
所以△????????????为等腰直角三角形，????????=???????? .
因为????为????????的中点，所以????????⊥???????? .
由（1）知，????????⊥ 平面????????????，又????????? 平面???????????? ，
所以????????⊥???????? .
又????????∩????????=????，????????? 平面????????????，????????? 平面???????????? ，
所以????????⊥ 平面???????????? .
?
变式 如图，在三棱柱?????????????????1????1????1中，????????1⊥
平面????????????，底面三角形???????????? 是边长为2的等边三角
形，????为???????? 的中点.
?
（1）求证：????????1//平面????1???????? ；
?
证明：连接????????1交????1????于点????，连接???????? .
∵????，????分别为????????，????????1的中点，∴????????//????????1 .
又????????1? 平面????1????????，????????? 平面????1???????? ，
∴????????1//平面????1???????? .
?
（2）若直线????????1与平面????1????????????1所成的角为30? ，求三
棱锥????1?????1???????? 的体积.
?
解：在等边三角形????????????中，????????⊥???????? ，
∵????????1⊥ 平面????????????，????????? 平面????????????，∴????????1⊥???????? ，
又????????∩????????1=????，????????，????????1? 平面????1????????????1 ，
∴????????⊥ 平面????1????????????1 ，
?
故∠????????1????为????????1与平面????1????????????1 所成的角.
在Rt△????1????????中，∠????????1????=30? ，????????=3 ，
∴????1????=????????tan?30?=3，∴????????1=????1????2?????????2=22 ，
故????????1?????1????????=?????????????1????1????=13×????△????1????1????×????????=13×22×3=263 .
?
例1 如图所示,在三棱柱?????????????????1????1????1中,侧棱????1????⊥ 底面???????????? ,且各
棱长均相等,????为???????? 的中点.
?
（1）证明:????????⊥ 平面????1????????????1 ;
?
证明:因为底面????????????是正三角形,????为???????? 的中点,
所以????????⊥???????? .
因为侧棱????????1⊥ 底面????????????,????????? 平面???????????? ,
?
所以????1????⊥???????? ,
又????1????∩????????=????,所以????????⊥ 平面????1????????????1 .
?
（2）求直线????????与平面????1???????? 所成角的正弦值.
?
法1：等体积法
解:在平面????1????????????1内,过点????作????????⊥????1???? ，交
????1????的延长线于点????,连接???????? .
因为????????⊥ 平面????1????????????1,所以????????⊥???????? ,
又????1????∩????????=????,所以????????⊥ 平面????1???????? ,所以
∠????????????为直线????????与平面????1???????? 所成的角.
?
设三棱柱的各棱长均为????,可得????1????=52????,由△????1?????????△???????????? ,易得
????????=5????5 .
在Rt△????????????中,可得sin∠????????????=????????????????=55 ，
所以直线????????与平面????1????????所成角的正弦值为55 .