人教A版（2019）高中数学必修第一册 3.2.1 单调性与最大（小）值——最值 课件(共37张PPT)

(共37张PPT)
人教A版2019必修第一册
3.2.1 单调性与最大（小）值—最值
（第2课时）
第三章 函数的概念与性质
目 录
1 学习目标
2 新课讲解
3 课本例题
4 课本练习
5 题型分类讲解
6 随堂检测
7 课后作业
学习目标
1.理解函数的最大(小)值的概念及其几何意义.（难点）
2.能借助函数的图象和单调性，求一些简单函数的最值．(重点、难点)
3.掌握求二次函数在闭区间上的最值．（重点）
科考队对沙漠气候进行科学考察，下图是某天气温随时间的变化曲线．
【提示】
　气温从0时逐渐降底，6时气温达到最低，从6时到17时，气温逐渐升高，17时气温达到最高，从17时到24时，气温逐渐降低。
请你根据曲线图说说气温的变化情况？
新课引入
活动1：你能以的为例说明函数最大值的含义吗？
图象特征：函数有最高点(0,0)，即最大的函数值为0.
数学含义：
(1)0是的函数值，即0=f(0)；
(2)0是函数值中最大的一个，即 x∈R，都有.
一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足:
(1)都有;
(2)使得.
那么，我们则称是函数的最大值.
函数的最大值可用来表示.
5
活动2：你能仿照函数最大值的定义，给出函数的最小值的定义吗？
一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足:
(1)都有;
(2)使得.
那么，我们则称是函数的最小值.
函数的最大值可用来表示.
思考：一个函数一定有最大值或最小值吗？为什么？
不一定.比如：
一次函数（）时，无最大值和最小值；
二次函数（开口向上时有最小值无最大值；开口向下时有最大值无最小值）；
常函数（既有最大值又有最小值，且最大值和最小值相等）.
给定区间的函数，看区间端点能否取到，具体情况具体分析.
例4.“菊花”烟花是最壮观的烟花之一. 制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂. 如果烟花距地面的高度h(单位: m)与时间t单位: s) 之间的关系为h(t)=-4.9t2+14.7t+18，那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻 这时距地面的高度是多少(精确到1m)
解：画出函数h(t)=-4.9t2+14.7t+18的图象.
函数图象的顶点就是烟花上升的最高点，顶点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻,纵坐标就是这时距地面的高度.
由二次函数的知识可知，对于h(t)=-4.9t2+14.7t+18有:
∴烟花冲出后1.5秒是它爆裂的最佳时刻,这时距地面的高度为29 m.
1. 图像法求函数最值
方法总结 图象法求函数最值的一般步骤
例5.已知函数,求函数的最大值和最小值.
解：则
由得＞0，＞0,
于是， ＞0，即 .
所以，函数在区间上单调递减.
因此，函数在区间的两个端点上分别取得最大值与最小值.
在时取得最大值，最大值是2；在时取得最小值，最小值是0.4.
2. 利用函数单调性求最值
方法总结
（1）若函数 在区间 上单调递增，则 的最大值为 ，
最小值为 .
（2）若函数 在区间 上单调递减，则 的最大值为 ，
最小值为 .
（3）若函数 有多个单调区间，那就先求出各区间上的最值，再从各区间的最值中决定出最大（小）值.函数的最大（小）值是整个值域范围内的最大（小）值.
（4）若函数定义域为开区间，则不但要考虑函数在该区间上的单调性，还要考虑端点处的函数值或者发展趋势.
整个上午（8：00~12：00）天气越来越暖，中午时分（12：00~13：00）一场暴风雨使天气骤然凉爽了许多，暴风雨过后，天气转暖，直到太阳落山（18：00）才又开始转凉. 画出这一天8：00~20：00的期间气温作为时间函数的一个可能的图象（示意图），并说出所画函数的单调区间.
解：函数的一个可能图象如图（1）所示：
单调增区间：[8,12)，[13,18);
单调减区间：[12,13)，[18,20].
图象的形状不是唯一的，只要能反映气温的变化情况即可
课本练习
2. 设函数的定义域为[-6，11]. 如果 在区间[-6，2]上单调递减，在区间[2，11]上单调递增，画出 的一个大致的图象，从图象上可以发现 f(-2) 函数 f(x) 的一个__________.
解：
在区间[-6，11]上的大致图象如图所示.
最小值
3. 已知函数 ，求函数在区间[2，6]上的最大值和最小值.
解：
所以，函数 在区间[2，6]上单调递减.
题型一：图象法求函数的最值
例1.已知函数
(1)在直角坐标系中画出的图象；
(2)根据函数图象写出函数的单调区间和值域.
解(1)：的图象如图所示：
(2)：由的图象知：
函数的单调增区间为：，;
单调减区间为：
值域为：.
题型讲解
1.已知函数 ，画出函数的图象，确定函数的最值情况，并写出值域.
[解析]
图象如图所示，
由图象知，函数 的最大值为2，没有最小值，
所以其值域为 .
练一练
题型二：利用单调性求函数的最值
例2.已知函数.
(1)判断函数在区间上的单调性，并用定义证明你的结论；
证明：
(
所以，
又由，得
于是
所以，函数在区间上单调递增.
例2.已知函数.
(2)求该函数在[2,4]上的最值.
解：由（1）知：函数在区间上单调递增.
因此，函数在区间的两个端点上分别取得最小值与最大值.
在时取得最小值，最小值是；在时取得最大值，最大值是.
2.已知函数 ，求函数 的最大值和最小值.
[解析] 设 ， 是 上任意两个实数，且 ，
所以 ，
因为 ，所以 ， ， ，
所以 ，即 ，所以 在 上单调递增，
所以 ， .
练一练
例3.某产品生产厂家根据以往的销售经验得到有关生产销售的统计规律：每生产产品 （百台），其总成本为 （万元），其中固定成本为2.8万元，并且每生产1百台的生产成本为1万元（总成本＝固定成本 生产成本）.销售收入 （万元）满足： 假定该产品产销平衡（即生产的产品都能卖掉），根据上述统计规律，请完成下列问题：
（1）写出利润函数 的解析式（利润＝销售收入－总成本）.
（2）工厂生产多少台产品时，可使盈利最多？
题型三：函数单调性的实际应用
[解析] （1）由题意得 ，
所以
（2）当 时，因为函数 单调递减，所以 （万元），
当 时，函数 ，当 时， 有最大值，最大值为3.6（万元），
所以当工厂生产4百台产品时，可使盈利最大，最大盈利为3.6万元.
方法总结
（1）解实际应用题时，要弄清题意，从实际出发，引入数学符号，建立数学模型，列出函数关系式，分析函数的性质，从而解决问题，要注意自变量的取值范围.
（2）在实际应用问题中，最大利润、用料最省等问题常转化为求函数最值来解决，本题转化为二次函数求最值，利用配方法和分类讨论思想使问题得到解决.
3.将进货单价为40元的商品按50元一个出售时，能卖出500个，已知这种商品每涨价1元，其销售量就减少10个，为得到最大利润，售价应为多少元？最大利润为多少？
[解析] 设售价为 元，利润为 元，单个涨价 元，销量减少 个，销量为 个，
则 .
故当 时， .即售价为70元时，利润获得最大，最大利润为9000元.
练一练
题型四：二次函数在区间上的最值
例4.求定义在下列区间的函数y=x2-2x-1在的最大值和最小值.
(1)x∈[0, 3] ； (2) x∈(2, 4] ； (3) x∈[-2, -1].
5
解：由二次的知识可知，函数y=x2-2x-1的图象开口向上，其对称轴为x=1.∴y=x2-2x-1的大致图象如图所示.
（1）
∵x∈[0, 3]
∴当x=1时，ymin=12-2-1=-2 .
当x=3时，ymax=32-2×3-1=2.
5
例3.求定义在下列区间的函数y=x2-2x-1在的最大值和最小值.
(1)x∈[0, 3] ； (2) x∈(2, 4] ； (3) x∈[-2, -1].
解（2）：
∵x∈[2, 4]
∴当x=1时，ymin=12-2-1=-2 . 当x=3时，ymax=32-2×3-1=2.
解（3）:∵x∈[-2, -1]
∴当x=-1时，ymin=(-1)2-2×(-1)-1=2.
当x=3时，ymax=(-2)2-2×(-2)-1=7.
4.（1）已知函数 ，若 ，求函数 的最值；
练一练
[解析] （1）∵函数 的图象开口向上，对称轴为直线 ，
在 上单调递减，在 上单调递增，且 .
， .
（2）已知函数 ，求函数 的最值.
（2）设 ，则 .
由（1）知 在 上单调递减，在 上单调递增.
当 ，即 时， ，无最大值.
（3）已知函数 ，若 ，求函数 的最值；
（3）由题意得函数图象的对称轴为直线 ，
①当 ，即 时，
，
.
②当 ，即 时，
，
.
③当 ，即 时，
，
.
④当 ，即 时，
，
.
设函数 的最大值为 ，最小值为 ，
则
方法总结
1.二次函数在指定区间上的最值与二次函数图象的开口、对称轴有关，求解时要注意这两个因素.
2.图象直观，便于分析、理解；配方法说理更严谨，一般用于解答题.
分离参数
恒成立/存在(有解)问题化为最值问题
一般只适用于二次不等式
题型五：恒成立（存在有解）与最值
分离参数
分离参数
分离参数
函数最值
分离参数
分离参数
函数最值
分离参数
1.函数 在 上的图象如图所示，则此函数在 上的最大值、最小值分别为( @40@ ).
A. ， B. ， C. ，无最小值 D. ，
C
[解析] 观察图象可知，图象的最高点坐标是 ，故其最大值是3；无最低点，即该函数不存在最小值.故选C.
随堂检查
2.函数 在 上的最小值为( @42@ ).
A. B. C. D.
B
[解析] 函数 在 上单调递减，∴当 时， .
3.已知函数 ，当 时，恒有 成立，则实数 的取值范围是
( @44@ ).
A. B. C. D.
B
[解析] 因为 在 上单调递增，所以 ，故满足 .
又因为在 时， 恒成立，所以 ，故 .
5.画出函数 的图象，并写出函数 的单调区间及最小值.
[解析] 作出函数 的图象如图所示.
由图象可知， 的单调递增区间为 和 ，无单调递减区间，函数 的最小值为 .
求函数最值的方法
求函数最值的问题实质上就是求函数的值域问题，因此求函数值域的方法也可用来求函数最值。求函数最值的常用方法如下：
（1）配方法：主要适用于二次函数或可化为二次函数的函数，要特别注意自变量的取值范围；
（2）换元法：用换元法时一定要注意新元的取值范围；
（3）数形结合法：对于图像较容易画出的函数的最值问题，可借助图像直观求出
（4）利用数的单调性：要注意函数的单调性对函数最值的影响，特别是闭区间上函数的最值.
课堂小结