北京版初中数学九年级上册期中测试卷（标准难度含详细答案解析）

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北京版初中数学九年级上册期中测试卷
考试范围：第18，19，20章；考试时间：120分钟；命题人：
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，为的黄金分割点，则下列结论中正确的是( )
A. B.
C. D.
2.如图，在中，点在边上，若，，且，则线段的长为( )
A. B. C. D.
3.抛物线，，共有的性质是( )
A. 开口向上 B. 对称轴都是轴 C. 都有最高点 D. 顶点都是原点
4.已知二次函数，当时，随的增大而增大，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
5.在中，若，，则的长是( )
A. B. C. D.
6.如图，在中，，于点若，，则的长为( )
A. B. C. D.
7.如果，且，那么的值为( )
A. B. C. D.
8.如图，矩形∽矩形，，，则( )
A. B. C. D.
9.某品牌的饮水机接通电源就进入自动程序：开机加热到水温为时，停止加热，水温开始下降，此时水温与开机后用时成反比例关系，直至水温降至，饮水机关机饮水机关机后即刻自动开机，重复上述自动程序当水温为时，接通电源后，水温和时间的关系如图所示，水温从降到所用的时间是( )
A. 分钟 B. 分钟 C. 分钟 D. 分钟
10.若抛物线与轴的两个交点间的距离为，称此抛物线为定弦抛物线，已知某定弦抛物线的对称轴为直线，将此抛物线向左平移个单位，再向下平移个单位，得到的抛物线过点( )
A. B. C. D.
11.如图，某博物馆大厅电梯的截面图中，的长为米，与的夹角为，则高是( )
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
12.如图是一个地铁站入口的双翼闸机如图，它的双翼展开时，双翼边缘的端点与之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机侧立面夹角当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.已知，在中，，，，则的面积为 ．
14.如图，抛物线与直线交于，两点，则不等式的解集是 ．
15.如图，正方形的顶点和正方形的顶点都在函数的图象上，若正方形的面积为，则点的坐标为 ．
16.矩形中，，点在矩形的内部，点在边上，满足∽，若是等腰三角形，则的长为 ．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知函数是常数，当为何值时，此函数为二次函数
18.本小题分
如图，是等腰三角形的高，已知，，求的长．
19.本小题分
如图，，求证：∽．
20.本小题分
热气球的探测器显示，从热气球看一栋楼顶部的仰角为，看这栋楼底部的俯角为，热气球与楼的水平距离为，这栋楼有多高结果取整数？
21.本小题分
已知点在二次函数的图象上，且当时，函数有最小值．
求这个二次函数的表达式
如果两个不同的点，也在这个函数的图象上，求的值．
22.本小题分
如图，在中，已知，，若、是边的两个黄金分割点，求的面积．
23.本小题分
如图，在平行四边形中，为边上一点，连接，为线段上一点，且B.
求证：∽
若，，，求的长．
24.本小题分
已知二次函数．
将二次函数化为一般形式，并指出相应的，，的值
当时，求的值
当时，求的值．
25.本小题分
我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做底角的邻对，如图，在中，，底角的邻对记作，这时容易知道一个角的大小与这个角的邻对值是一一对应的，根据上述角的邻对的定义，解答下列问题：
，若，则
如图，在中，，，，求的周长．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：为的黄金分割点，
，
，故选项D符合题意．
2.【答案】
【解析】，，
∽，
，
，，
，
，
故选B．
3.【答案】
【解析】解：抛物线的开口向下，对称轴为轴，有最高点，顶点坐标为
抛物线的开口向上，对称轴为轴，有最低点，顶点坐标为
抛物线的开口向上，对称轴为轴，有最低点，顶点坐标为，
三条抛物线共有的性质是对称轴为轴．
故选B．
本题考查了二次函数的性质，根据函数解析式写出每个函数的开口方向、对称轴、顶点坐标，然后比较解答即可．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了二次函数的性质，属于基础题．
由二次函数，当时，随的增大而增大，可得，解之即可．
【解答】解：二次函数，当时，随的增大而增大，
，
，
故选B．
5.【答案】
【解析】【分析】
略
【解答】
在中，，
，
，，
，，故选D．
6.【答案】
【解析】【分析】
略
【解答】
略
7.【答案】
【解析】【分析】
此题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．设，得出，，，再根据，求出的值，从而得出，，的值，最后代入要求的式子进行计算即可得出答案．
【解答】
解：设，则，，，
，
，
，
，，，
；
故选：．
8.【答案】
【解析】略
9.【答案】
【解析】【分析】
略
【解答】
解：设反比例函数关系式为，将代入，得，
，将代入，得．
水温从降到所用的时间是分钟．
10.【答案】
【解析】解：某定弦抛物线的对称轴为直线，
该定弦抛物线过点、，
该抛物线的解析式为，
则将此抛物线向左平移个单位，再向下平移个单位，
得到新抛物线的解析式为，
对于，当时，，
得到的新抛物线过点．
故选B．
本题考查二次函数图象与几何变换．
11.【答案】
【解析】解：中，，
米，
米．
故选：．
直接根据的正弦可得结论．
本题考查了解直角三角形的应用，掌握正弦的定义是解本题的关键．
12.【答案】
【解析】【分析】
略
【解答】
略
13.【答案】或
【解析】【分析】
略
【解答】
解：作边上的高，中，，，
，
在中，，
，
是钝角三角形时，，
是锐角三角形时，，
．
综上所述，的面积为或．
14.【答案】或
【解析】【分析】
本题考查了二次函数与不等式有关知识．
观察两函数图象的上下位置关系，即可得出结论．
【解答】
解：抛物线与直线交于，两点，
观察函数图象可知：当或时，直线在抛物线的下方，
的解集为或．
故答案为或．
15.【答案】
【解析】【分析】
略
【解答】
解：正方形的面积为，
正方形的边长为，
正方形的顶点在反比例函数的图象上，
点坐标为，，
设正方形的边长为，，
正方形的顶点在反比例函数的图象上，
将代入反比例函数得，解得，
又，．
点的坐标为
16.【答案】或
【解析】【分析】
本题考查的是相似三角形的性质、勾股定理和矩形的性质，掌握相似三角形的性质定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．
根据勾股定理求出，分、两种情况，根据相似三角形的性质计算．
【解答】
解：四边形为矩形，
，
，
当时，，
∽，
，即，
解得：，
当时，点为的中点，
，
∽，
，即，
解得，
故答案为：或．
17.【答案】解：或．
【解析】见答案
18.【答案】解：是等腰三角形的高，
，
，
．
【解析】根据等腰三角形的性质得到，，然后根据三角函数的定义即可得到结论．
本题考查了等腰三角形的三线合一的性质和特殊角的锐角三角函数值，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
19.【答案】证明：，
，
即：，
，
，
∽．
【解析】本题考查了三角形相似的判定，掌握判定方法是解题的关键根据相似三角形判定方法解答即可．
根据已知条件可证，由得到，即可求证．
20.【答案】解：如图，，，．
，，
，
．
．
因此，这栋楼高约为．

【解析】我们知道，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的是仰角，视线在水平线下方的是俯角因此，在图中，，．
在中，，，所以可以利用解直角三角形的知识求出，类似地可以求出，进而求出．
21.【答案】解：对于，当时，有最小值，
点为抛物线的顶点，
设抛物线的解析式为，
把代入得，，，
抛物线的表达式为，即．
点，都在抛物线上，
点、关于直线对称，
，
．

【解析】见答案
22.【答案】解：过点作于点．
，，
．
在中， ．
D、是边的两个黄金分割点，
．
．
同理可求．
．
．
【解析】见答案
23.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，，
，
∽．
四边形是平行四边形，
，
∽，
，
．
【解析】见答案
24.【答案】．
其中，，．
当时，．
当时，，解得或．

【解析】【分析】
本题主要考查二次函数的表达式，一元二次方程的解法以及求函数值，掌握代数式求值以及解一元二次方程的方法是解题的关键．
二次函数一般形式为，将题目按照其形式进行转化；
将代入表达式中，进行计算；
将代入表达式中，解一元二次方程即可．
25.【答案】解：如图，，过点作，垂足为，
，，，
，
，
，
，
若，则，
，
，
，
是等边三角形，
故答案为．
如图，过点作，垂足为，
，，
设，，
，，
，
，
，
，即，
，，
，，
的周长为．

【解析】见答案
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