北京版初中数学九年级上册期中测试卷（困难难度含详细答案解析）

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北京版初中数学九年级上册期中测试卷
考试范围：第18，19，20章；考试时间：120分钟；命题人：
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如果，且，那么的值为( )
A. B. C. D.
2.如图，在 中，的平分线交于点，是线段上的一点，，连接，交于点若，则的长为( )
A. B. C. D.
3.如图，若被击打的小球飞行高度单位：与飞行时间单位：具有函数关系为，则小球从飞出到落地的所用时间为( )
A. B. C. D.
4.如图，是抛物线形拱桥的剖面图，拱顶离水面，水面宽水位上升，则水面宽度变为．
A. B. C. D.
5.在中，，，则的值为( )
A. B. C. D.
6.如图，是放置在正方形网格中的一个角，、、都是格点，则的值为( )
A. B. C. D.
7.已知直线与直线同时经过点，点是以为圆心，为半径的圆上的一个动点，则线段的最小值为( )
A. B. C. D.
8.将矩形如图放置，为原点．若点，点的纵坐标是，则点的坐标是( )
A. B. C. D.
9.如图，，是双曲线上的两点，过点作轴，交于点，垂足为，若的面积为，为的中点，则的值为．
A. B. C. D.
10.二次函数，对称轴为直线，若关于的一元二次方程为实数在的范围内有解，则的取值范围是 ．
A. B. C. D.
11.如图，在中，，，延长到点，使得，连结，过点作的垂线交的延长线于点，则的值为( )
A. B. C. D.
12.如图，在正方形纸片中，是边的中点，将正方形纸片沿折叠，点落在点处，延长交于点，连结并延长交于点．
给出以下结论：；：：．
其中正确结论是 填序号．
A. 错误，正确； B. 正确，错误；
C. 和都错误； D. 和都正确．
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.如图，在 中，延长至点，使，连接与于点，则的值是 ．
14.如图，要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端点安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落地处离池中心距离为，则水管的长度是______
15.若点在二次函数的图象上，且点到轴的距离小于，则的取值范围是 ．
16.我们给出定义：如果两个锐角的和为，那么称这两个角互为半余角．如图，在中，，互为半余角，且，则 ．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
如图，某数学活动小组测量观测塔的高度，在点处测得塔顶的仰角为，从点移动到点三点共线，米，在点处测得塔顶的仰角为，测角仪且垂直于地面若，，求观测塔的高结果精确到参考数据：，，
18.本小题分
先化简，再求值：，其中．
19.本小题分
已知二次函数的解析式为．
若点在该二次函数的图象上，求的值；
若该二次函数图象的顶点在轴上，求该二次函数的解析式；
当时，函数有最大值和最小值，求证：．
20.本小题分
已知点在二次函数的图象上，且当时，函数有最小值．
求这个二次函数的表达式
如果两个不同的点，也在这个函数的图象上，求的值．
21.本小题分
如图，在中，，，点从点出发，沿折线向终点运动，在上以每秒个单位长度的速度运动，在上以每秒个单位长度的速度运动点从点出发，沿方向以每秒个单位长度的速度运动，两点同时出发，当点停止时，点也随之停止设点运动的时间为秒．
求线段的长用含的代数式表示
当与的一边平行时，求的值．
22.本小题分
如图，在中，点是边的四等分点，，，，，求四边形的周长．
23.本小题分
已知：如图，在中，，，，点是边延长线上的一点，，垂足为点，的延长线交的平行线于点，联结交于点．
求证：；
求证：∽
的值是否随线段长度的改变而变化，如果不变，求出的值；如果变化，请说明理由；
24.本小题分
某兴趣小组开展了测量电线塔高度的实践活动．如图所示，斜坡的坡度，，在处测得电线塔顶部的仰角为，在处测得电线塔顶部的仰角为．
求点离水平地面的高度．
求电线塔的高度结果保留根号．
25.本小题分
如图，已知抛物线与坐标轴分别交于点，，，点是线段上方抛物线上的一个动点．
求直线的解析式
求抛物线的解析式
当点运动到什么位置时，的面积最大
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
此题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．设，得出，，，再根据，求出的值，从而得出，，的值，最后代入要求的式子进行计算即可得出答案．
【解答】
解：设，则，，，
，
，
，
，，，
；
故选：．
2.【答案】
【解析】解：四边形都是平行四边形，
，，
：：：，
设，则，
，
，
，
，
平分，
，
．
故选：．
利用平行线分线段成比例定理证明，设，则，构建方程求出，再证明可得结论．
本题考查平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，解题的关键是掌握相关知识解决问题．
3.【答案】
【解析】本题考查了二次函数图象的运用，掌握二次函数图象的性质，理解小球从飞出到落地的含义是解题的关键．
根据题意，小球从飞出到落地，则高度，代入计算，结合题意即可求解．
【详解】解：小球从飞出到落地，
高度，
，即，
不符合题意，舍去，，
小球从飞出到落地的所用时间为，
故选：．
4.【答案】
【解析】解：如图，建立平面直角坐标系，
拱顶离水面，水面宽，
该拱形的顶点为，与轴的交点坐标为，，
设抛物线的解析式为，
把点代入，得，
解得，
抛物线的解析式为，
当时，则有，
解得，
此时水面宽为，
故选：．
根据题意构建平面直角坐标系，然后求出抛物线的解析式，进而求解即可．
本题主要考查二次函数的应用，待定系数法求函数解析式，熟练掌握二次函数的应用是解题的关键．
5.【答案】
【解析】解：由条件可知，
设，则，
，
．
故选：．
在直角三角形中根据锐角三角函数的定义即可求解．
本题考查了锐角三角函数的定义，已知一个锐角的三角函数，求它的余角的三角函数；熟练掌握以上知识点是关键．
6.【答案】
【解析】本题考查勾股定理，锐角三角函数等知识，解题的关键是根据网格的性质，求出，，的长，根据勾股定理的逆定理，可得是直角三角形，且，根据余弦定义进行解答，即可．
【详解】解：连接，
由网格可得，，，，
，
是直角三角形，且，
．
故选：．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．也考查了一次函数的性质和相似三角形的判定与性质．先解方程组得点坐标为，则可确定点为直线上一动点，设直线与坐标的交点为、，如图，则，，利用勾股定理计算出，过点作直线于，交于，此时线段的值最小，证∽，利用相似比计算出，则，即线段的最小值为．
【解答】
解：解方程组
得
点坐标为，
设，，
，
即点为直线上一动点，
设直线与坐标的交点为、，如图，
则，，
，
过点作直线于，交于，此时线段的值最小，
，
∽，
：：，即：：，
，
，
即线段的最小值为．
故选C．
8.【答案】
【解析】解：过点作轴于点，过点作轴于点，过点作于点，过点作轴于点，
，，
，
又，
∽，
，
，，
，
在和中
，
≌，
，
点，点的纵坐标是，
，
，
即
，
点的坐标是：
故选：．
首先构造直角三角形，利用相似三角形的判定与性质以及结合全等三角形的判定与性质得出，，进而得出答案．
此题主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质以及结合全等三角形的判定与性质等知识，正确得出和的长是解题关键．
9.【答案】
【解析】【分析】
本题考查的是反比例函数系数的几何意义，熟知反比例函数图象中任取一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是，且保持不变是解答此题的关键．过点作轴于点，根据为的中点可知是的中位线，即，设，则，，，再由的面积为，求出的值即可得出结论．
【解答】
解：过点作轴于点，
为的中点，
是的中位线，即，，
设，则，，，
，，
的面积为，
，，
解得，
故选B．
10.【答案】
【解析】本题考查了二次函数图象与轴的交点问题，二次函数的性质，先根据对称轴计算公式得到，进而得到二次函数解析式为，再由二次函数的性质得到当时，；根据关于的一元二次方程为实数在的范围内有解，得到二次函数与直线在的范围内有交点，据此可得答案．
【详解】解：二次函数的对称轴是直线，
，
，
二次函数解析式为，
当时，二次函数有最大值，在对称轴右侧，随增大而减小，在对称轴左侧，随增大而增大，
当时，，当时，，
当时，，
关于的一元二次方程为实数在的范围内有解，
二次函数与直线在的范围内有交点，
．
故选：．
11.【答案】
【解析】解：分别过点、点作垂直于，垂直于，
，，
令，则，
由勾股定理得：，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在中，由由勾股定理得：，
，，
，
，
，
，即，
，，
又，
，
，
．
12.【答案】
【解析】【分析】
本题以正方形为背景考查了折叠的性质，正方形的性质，勾股定理，平行线的判定，全等三角形判定和性质，等腰三角形的判定等知识点，综合性强，掌握以上知识并正确作出辅助线是解题关键．
利用翻折的性质，证明，利用证明≌，过点作于点，过点作于点，设，然后求出，，再计算即可判断；证明出，再在中，利用勾股定理求出，，根据三角函数定义即可判断．
【解答】
解：是边的中点，
，
将正方形纸片沿折叠，点落在点处，
，
，
，
，
，
，
四边形是正方形，
，，，
，
，
在和中，
≌，
，
，
过点作于点，过点作 于点，
，
，
，
设，则，
，
，
，
，
，
，
，
：：：，故正确；
，，
，
，
正方形的边长为，
，，，
在中，
由勾股定理，得，
即，
解得，
，
，
故不正确．
13.【答案】
【解析】【分析】在 中，，，根据，可得，再由，可得∽，对应边成比例即可求得结论．
本题考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质，解决本题的关键是掌握相似三角形的判定与性质．
【解析】解：在 中，，，
，
，
，
∽，
．
故答案为：．
14.【答案】
【解析】解：设抛物线解析式为，
由题意可知抛物线的顶点为，与轴的一个交点为，
，
解得：，
抛物线解析式为：，
令得：
，
水管的长度是
故答案为：．
设抛物线解析式为，将与代入解析式，求得的值，再令，求得的值，即可得出答案．
本题考查了二次函数在实际问题中的应用，数形结合并熟练掌握待定系数法是解题的关键．
15.【答案】
【解析】先判断，再根据二次函数的性质可得：，再利用二次函数的性质求解的范围即可．
【详解】解：点到轴的距离小于，
，
点在二次函数的图象上，
，
当时，有最小值为．
当时，，
的取值范围为．
故答案为：
16.【答案】
【解析】略
17.【答案】观测塔的高约为米．
【解析】解：由题意得：米，
设米，
米，
米，
在中，，
米，
在中，，
米，
，
解得：，
米，
米，
观测塔的高约为米．
根据题意可得：米，然后设米，则米，分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而列出关于的方程，进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，准确熟练地进行计算是解题的关键．
18.【答案】，．
【解析】解：原式
，
当时，
原式．
先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再利用特殊锐角的三角函数值得出的值，代入计算可得．
本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
19.【答案】【小题】
解：点在该二次函数的图象上，
将代入，
得：，
解得：或；
【小题】
解：，
二次函数的顶点坐标为，
该二次函数图象的顶点在轴上，
，
解得：，
该二次函数的解析式为；
【小题】
解：，
其中，对称轴为直线，
在时，随的增大而减小；在时，随的增大而增大；
当时函数取得最小值；
当时函数取得最大值；
，
即．

【解析】
本题考查二次函数的图象与性质，配方法的应用，解一元二次方程，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
代入，求解一元二次方程即可；

先得出顶点式，求出顶点坐标，当顶点坐标的纵坐标为零时即在轴上，求解即可；

先利用二次函数的增减性求出最大值和最小值，再利用配方法判定即可．
20.【答案】解：对于，当时，有最小值，
点为抛物线的顶点，
设抛物线的解析式为，
把代入得，，，
抛物线的表达式为，即．
点，都在抛物线上，
点、关于直线对称，
，
．

【解析】见答案
21.【答案】解：在中，
，，，
，
，
当点在上，时，
，即．
解得．
当点在上，时，
，即．
解得．
综上所述，的值为或．

【解析】本题考查平行线分线段成比例定理，勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
利用勾股定理求出即可解决问题．
分两种情形分别讨论即可解决问题．
22.【答案】
【解析】略
23.【答案】解：证明：，，
，
，
，
，
，
；
证明：由问知，，，
∽，
，
，
∽；
的值不变；
理由如下：由问知，∽，
，
由问知，，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
，，，
在中，根据勾股定理得，，
，
的值为．
【解析】详细解答和解析过程见【答案】
24.【答案】解：由题意得：，
斜坡的坡度，
，
在中，，
，
，
，，
点离水平地面的高度为；
过点作，垂足为，
由题意得：，，
设米，
米，
米，
在中，，
米，
在中，，
米，
，
，
解得：，
米，
电线塔的高度为米．
【解析】此题考查解直角三角形的应用，根据题意作出辅助线得出需要的直角三角形是解题关键．
根据题意可得：，再根据已知易得：在中，，从而可得，然后在中，利用含度角的直角三角形的性质进行计算，即可解答；
过点作，垂足为，根据题意可得：，，然后设米，则米，分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，从而列出关于的方程，进行计算即可解答．
25.【答案】解：设直线的解析式为，
将点，代入，得
则直线的解析式为．
抛物线过点，，
抛物线的解析式为，
将代入，得，解得，
抛物线的解析式为．
如图，过点作轴，交于，
设点坐标为，则，
．
，
当，即点的坐标为时，的面积最大．

【解析】见答案
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