1.1.1 正切 课件(共31张PPT)-2025-2026学年北师大版数学九年级下册教学课件
文档属性
| 名称 | 1.1.1 正切 课件(共31张PPT)-2025-2026学年北师大版数学九年级下册教学课件 |
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| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 8.6MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-11-18 05:56:28 | ||
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文档简介
(共31张PPT)
第 1 页：封面
标题：1.1.1 正切
副标题：北师大版九年级数学下册
配图：左侧为楼梯斜面示意图（标注垂直高度、水平宽度），右侧为直角三角形（标注锐角、对边、邻边），中间用箭头连接 “生活场景→数学模型”
落款：授课教师 / 日期
第 2 页：学习目标
知识与技能：
结合生活实例（如楼梯坡度），理解正切的实际意义，掌握直角三角形中锐角正切的定义
能准确识别直角三角形中锐角的 “对边” 与 “邻边”，熟练写出锐角正切的表达式
会计算直角三角形中指定锐角的正切值，能利用正切值解决简单的边长计算问题
过程与方法：
通过观察、对比、计算等活动，经历 “实际问题 — 数学抽象 — 定义推导” 的过程，提升数形结合能力
借助特殊直角三角形（含 30°、45°、60°）探究正切值，培养逻辑推理与归纳总结能力
情感态度：
感受正切在解决实际问题（如坡度计算）中的工具价值，体会数学与生活的紧密联系
在概念探究中，激发学习兴趣，培养严谨的数学思维习惯
第 3 页：情境引入 —— 生活中的 “倾斜程度”
实例展示（配图呈现）：
实例 1：两个不同倾斜度的楼梯 —— 楼梯 A（垂直高度 2m，水平宽度 4m），楼梯 B（垂直高度 3m，水平宽度 3m），提问：“哪个楼梯更陡？”
实例 2：两个不同倾斜度的斜坡 —— 斜坡 C（垂直高度 1.5m，水平宽度 3m），斜坡 D（垂直高度 2m，水平宽度 5m），提问：“如何量化比较斜坡的倾斜程度？”
思考与讨论：
问题 1：仅看垂直高度或水平宽度，能否判断倾斜程度？（如楼梯 A 垂直高度小于 B，但水平宽度大于 B，无法单独判断）
问题 2：用 “垂直高度与水平宽度的比” 来描述倾斜程度，是否合理？（计算楼梯 A 的比为 2:4=0.5，楼梯 B 为 3:3=1，比值越大，楼梯越陡，符合直观感受）
引入课题：“垂直高度与水平宽度的比” 是描述倾斜程度的关键量，在数学中，这个比对应直角三角形中锐角的 “正切”，这是我们今天要学习的三角函数。
第 4 页：正切的定义（直角三角形中的锐角）
定义推导：
如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A 是一个锐角：
定义：∠A 的对边（与∠A 相对的直角边 BC）与邻边（与∠A 相邻的直角边 AC）的比，叫做∠A 的正切，记作\(\tan A\)
数学表达式：\(\tan A = \frac{ A è }{ A é è } = \frac{BC}{AC}\)
关键强调：
“对边” 与 “邻边” 是相对指定锐角而言的，随锐角变化而变化（如∠B 的对边是 AC，邻边是 BC）
正切的本质是 “直角三角形中锐角的对边与邻边的比值”，仅与锐角的大小有关，与三角形的大小无关（相似三角形中，同一锐角的正切值相等）
概念辨析（互动环节）：
在 Rt△DEF 中，∠F=90°，∠D=50°，DE=10，DF=6，EF=8，求\(\tan D\)和\(\tan E\)
解析：先确定对边与邻边 ——∠D 的对边是 EF=8，邻边是 DF=6，故\(\tan D = \frac{EF}{DF} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}\)；∠E 的对边是 DF=6，邻边是 EF=8，故\(\tan E = \frac{DF}{EF} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}\)
结论：在同一直角三角形中，∠D + ∠E=90°，\(\tan D\)与\(\tan E\)互为倒数
第 5 页：正切的性质 —— 与锐角大小的关系
探究活动：用计算器计算特殊锐角的正切值（确保计算器处于 “DEG” 模式）：
计算：\(\tan 30 ° 0.577\)，\(\tan 45 °=1\)，\(\tan 60 ° 1.732\)，\(\tan 80 ° 5.671\)
性质归纳：
当锐角在 0°~90° 之间变化时，正切值随锐角的增大而增大（如 30°<45°<60°，则\(\tan 30 °<\tan 45 °<\tan 60 °\)）
锐角为 0° 时，正切值为 0（\(\tan 0 °=0\)）；锐角趋近于 90° 时，正切值趋近于无穷大（\(\tan 90 °\)无意义，因邻边趋近于 0）
应用验证：结合之前的楼梯实例，楼梯 B 的倾斜角更大，其正切值（1）大于楼梯 A 的正切值（0.5），验证 “正切值越大，锐角越大，倾斜程度越陡”
第 6 页：特殊角的正切值（重点记忆）
推导特殊角正切值（结合特殊直角三角形）：
（1）30° 角的正切值：
如图，Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，设 BC=1（对边），则 AC=\(\sqrt{3}\)（邻边），AB=2
\(\tan 30 ° = \frac{BC}{AC} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3} 0.577\)
（2）45° 角的正切值：
如图，Rt△DEF 中，∠F=90°，∠D=45°，设 DF=EF=1（对边 = 邻边）
\(\tan 45 ° = \frac{EF}{DF} = \frac{1}{1} = 1\)
（3）60° 角的正切值：
沿用 30° 角的 Rt△ABC，∠B=60°，对边 AC=\(\sqrt{3}\)，邻边 BC=1
\(\tan 60 ° = \frac{AC}{BC} = \frac{\sqrt{3}}{1} = \sqrt{3} 1.732\)
特殊角正切值汇总表：
锐角 α
30°
45°
60°
\(\tan ±\)
\(\frac{\sqrt{3}}{3}\)（≈0.577）
1
\(\sqrt{3}\)（≈1.732）
记忆技巧：结合直角三角形边长比（30° 角对边：邻边 = 1:\(\sqrt{3}\)，45° 角对边：邻边 = 1:1，60° 角对边：邻边 =\(\sqrt{3}\):1），直接推导正切值，避免死记硬背
第 7 页：正切的基础应用 —— 求边长
例 1：已知锐角和邻边，求对边
问题：在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A=60°，AC=5，求 BC 的长（结果保留根号）。
解析：
步骤 1：确定已知量与未知量 ——∠A 的邻边 AC=5，求对边 BC，已知∠A=60°，可用正切定义
步骤 2：列表达式 ——\(\tan A = \frac{BC}{AC}\)
步骤 3：代入计算 ——\(\tan 60 ° = \frac{BC}{5}\)，因\(\tan 60 ° = \sqrt{3}\)，故\(BC = 5 \sqrt{3} = 5\sqrt{3}\)
例 2：已知锐角和对边，求邻边
问题：在 Rt△DEF 中，∠F=90°，∠E=45°，EF=8，求 DF 的长。
解析：
步骤 1：识别∠E 的对边是 DF，邻边是 EF（注意：∠E 的对边是与∠E 相对的边，即 DF）
步骤 2：列表达式 ——\(\tan E = \frac{DF}{EF}\)
步骤 3：代入计算 ——\(\tan 45 ° = \frac{DF}{8}\)，因\(\tan 45 °=1\)，故\(DF = 8 1 = 8\)
方法总结：在直角三角形中，已知一个锐角和一条直角边（对边或邻边），求另一条直角边，可直接用正切定义：对边 = 邻边 ×\(\tan\)锐角，邻边 = 对边 ÷\(\tan\)锐角。
第 8 页：正切的实际应用 —— 坡度计算
坡度的定义：
生活中，坡度（或坡比）是描述斜面倾斜程度的量，定义为 “斜面的垂直高度（h）与水平宽度（l）的比”，即坡度\(i = \frac{h}{l}\)
关键关联：坡度\(i = \frac{h}{l}\)恰好等于斜面与水平面夹角（坡角 α）的正切值，即\(i = \tan ±\)
例 3：坡度与坡角的计算
问题：某山坡的坡度为 1:2（即垂直高度：水平宽度 = 1:2），求山坡的坡角 α（精确到 0.1°）及垂直高度为 5m 时的水平宽度。
解析：
（1）求坡角 α：坡度\(i = \frac{1}{2} = \tan ±\)，用计算器计算\( ± = \arctan \frac{1}{2} 26.6 °\)
（2）求水平宽度：已知垂直高度 h=5m，坡度\(i = \frac{h}{l} = \frac{1}{2}\)，故水平宽度\(l = 2h = 2 5 = 10\)m
例 4：楼梯倾斜度计算
问题：某居民楼楼梯的垂直高度为 3m，水平宽度为 4m，求楼梯的倾斜角（精确到 1°），判断是否符合安全标准（一般楼梯倾斜角建议不超过 45°）。
解析：
步骤 1：计算正切值 ——\(\tan ± = \frac{ é }{ ° } = \frac{3}{4} = 0.75\)
步骤 2：求倾斜角 —— 用计算器得\( ± = \arctan 0.75 37 °\)
步骤 3：判断标准 ——37°<45°，符合安全标准
第 9 页：巩固练习
选择题：
（1）在 Rt△ABC 中，∠C=90°，若∠A=30°，BC=2，则 AC 的长为（ ）
A. 2\(\sqrt{3}\) B. \(\sqrt{3}\) C. 2 D. 4
（2）下列关于正切的说法，正确的是（ ）
A. 锐角越大，正切值越小 B. \(\tan 45 °<\tan 30 °\) C. 直角三角形中，锐角的正切值是对边与邻边的比 D. \(\tan 60 ° = \frac{1}{\sqrt{3}}\)
填空题：
（1）在 Rt△DEF 中，∠F=90°，∠D=60°，DF=2，则 EF=______；
（2）某斜坡的坡角为 45°，则坡度为______，若斜坡长度为 10m，则垂直高度为______m。
解答题：
如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠B=30°，AB=8，求\(\tan A\)的值及 BC 的长。
第 10 页：课堂小结
知识梳理：
正切定义：Rt△中，锐角的对边与邻边的比（\(\tan A = \frac{ è }{é è }\)）
核心性质：锐角越大，正切值越大；\(\tan 30 °=\frac{\sqrt{3}}{3}\)，\(\tan 45 °=1\)，\(\tan 60 °=\sqrt{3}\)
实际应用：坡度 = 正切值（\(i = \tan ±\)），用于计算倾斜程度、边长
思想方法：
数形结合：通过直角三角形图形，明确对边、邻边，辅助正切计算
转化思想：将生活中的 “倾斜程度” 转化为数学中的 “正切值”
易错点回顾：
混淆 “对边” 与 “邻边”，导致正切表达式错误（需先确定指定锐角）
特殊角正切值记忆错误（如将\(\tan 30 °\)记为\(\sqrt{3}\)）
忽略坡度的定义（垂直高度：水平宽度），颠倒比例关系
第 11 页：布置作业
基础作业：教材对应习题，完成 3 道正切定义计算题、2 道特殊角正切应用题
提升作业：
（1）在 Rt△ABC 中，∠C=90°，\(\tan A = \frac{\sqrt{3}}{3}\)，BC=2，求 AC 和 AB 的长；
（2）某水坝的斜坡坡度为 1:3，若某人沿斜坡向上走了 100m，求此人上升的垂直高度（结果保留根号）。
实践作业：观察家中的楼梯或小区的斜坡，测量其垂直高度和水平宽度，计算坡度与坡角，判断是否符合安全使用标准（可参考相关建筑规范）
2025-2026学年北师大版数学九年级下册【示范课精品课件】
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
1.1.1 正切
第一章 直角三角形的边角关系
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
知识点
正切
1
正切的概念
如图1-1-1，在Rt△ABC中，如果锐
角A确定，那么∠A的对边与邻边的比便
随之确定，这个比叫做∠A的正切，记
作tan A，即tan A= . 如果用a，b分别表示∠A的对边与邻边，那么tan A=.
知1－讲
特别提醒
● tan A不表示“tan”乘“A”.tan A是一个完整的符号，它表示∠A的正切.
● tan A＞0且没有单位，它表示一个比值，tan A的大小只与∠A的大小有关.
知1－练
例 1
[中考·桂林] 如图1-1-2，在Rt△ABC中，∠ACB= 90°，AC=8，BC=6，CD⊥AB，垂足为D，则
tan ∠BCD=________.
知1－练
解题秘方：紧扣正切的定义，找出该锐角所在的直角三角形的两直角边的比值，或与之相等的锐角所在直角三角形的两直角边的比值.
解：∵∠BCD+ ∠ACD=90°，∠CAB+ ∠ACD=90°，
∴∠BCD= ∠CAB，
∴ tan ∠BCD=tan ∠CAB= = = .
知1－练
1-1. [中考·连云港] 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E为AD的中点，AC=4，OE=2．求OD的长及tan ∠EDO的值.
知1－练
知2－讲
知识点
正切与梯子的倾斜程度的关系
2
正切与梯子的倾斜程度的关系
(1)当梯子与地面所成的角为锐角A 时 ，tan A的值越大，梯子越陡. 因此，可用梯子的倾斜角的正切值来描述梯子的倾斜程度.
tan A=
知2－讲
(2)当倾斜角确定时，其对边与邻边的比值随之确定，这一比值只与倾斜角的大小有关，而与物体的长度无关.
(3)对“倾斜程度”的理解：
①倾斜程度，其本意指倾斜角的大小，一般来说，倾斜角越大的物体，就说它放得越“陡”.
②通过计算物体与地面夹角的正切值来判断物体的倾斜程度，夹角的正切值越大，物体放置得越“陡”.
知2－讲
特别提醒
●在很多实际问题中，人们无法测量倾斜角(如梯子与地面的夹角)，这时通常采用倾斜角的正切值来刻画倾斜程度.
●一个锐角的正切值随角度的增大(减小)而增大(减小).
知2－练
如图1-1-3，李佳怡和王慧珍将两根木棒分别斜靠在墙上，其中AB=10 cm，CD=6 cm，BE=6 cm，DE= 2 cm.你能判断出哪根木棒更陡吗？说明理由.
例 2
解题秘方：紧扣倾斜程度与正切值的关系以及正切值的求法解决问题.
知2－练
解：木棒CD更陡. 理由如下：
在Rt△ABE中，AE = = = 8(cm)，
∴ tan ∠ABE = = = .
在Rt△CDE中，CE = = = 4(cm)，
∴ tan ∠CDE = = = 2.
∵ tan ∠CDE ＞ tan ∠ABE，∴木棒CD更陡.
知2－练
2-1. 如图，梯子AB和EF中，更陡的是( )
A. 一样陡
B. 梯子AB
C. 梯子EF
D. 不能确定
C
知3－讲
知识点
坡度与坡角
3
名称 定义 表示方法 关系 举例
坡度 坡面的铅直高度h与水平宽度l的比称为坡度(或坡比)，记作i i = 坡度是坡角的正切值， 坡度越大，坡角越大， 坡面就越陡
当h=1，l=时， 坡度i= 1∶，坡角α 为30°
坡角 坡面与水平面的夹角叫做坡角(或倾斜角)，记作∠α tanα =
知3－讲
特别提醒
●坡度是一个比，坡角是一个角.
●坡度一般写成1∶m的形式，比的前项为1，后项m可以是小数，也可以是带根号的数.
知3－练
如图1-1-4， 拦水坝的横截面为梯形ABCD，BC∥AD，斜坡AB的坡度为1∶3，坝顶宽BC=3 m，坝高为4 m，斜坡CD=5 m .
例 3
解题秘方：紧扣坡度与坡面的倾斜程度之间的关系解决问题.
知3－练
(1)试比较斜坡AB和CD哪个更陡；
解：如图1-1-4，过点C作CF⊥AD，垂足为F，
则CF=4 m.
在Rt△CFD中，根据勾股定理，
得FD = = = 3(m)，
∴ tan D = = . ∵ tan A= ，∴ tan D＞ tan A，
∴斜坡CD更陡.
知3－练
(2)求坝底AD的长.
解：如图1-1-4，过点B作BE⊥AD，垂足为E，易知BE=4 m，EF=BC=3 m. 在Rt△AEB中，∵ tan A= = ，∴ AE=3BE=3×4=12(m).
∴ AD=AE+EF+FD=12+3+3=18(m)，
即坝底AD的长为18 m.
知3－练
3-1. [中考· 深圳] 爬坡时坡面与水平面夹角为α ，则每爬 1 m 耗能(1.025－cosα )J， 如图，若某人爬了1 000 m，该坡角为30°，则他耗能(参考数据： ≈1.732，≈ 1.414)( )
A. 58 J B. 159 J
C. 1 025 J D. 1 732 J
B
返回
B
返回
2. [2024常州新北区月考]如果某人沿坡度为3∶4的斜坡前进10 m，那么他所在的位置比原来的位置升高了( )
A．6 m B．8 m
C．10 m D．12 m
A
返回
A
返回
C
返回
75 m
6. [教材P3例1]如图①②表示两个自动扶梯，则自动扶梯________比较陡(填“①”或“②”).
①
返回
返回
返回
D
返回
9. 如图，网格中的四个格点组成菱形ABCD，则tan∠DBC的值为________.
3
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！
第 1 页：封面
标题：1.1.1 正切
副标题：北师大版九年级数学下册
配图：左侧为楼梯斜面示意图（标注垂直高度、水平宽度），右侧为直角三角形（标注锐角、对边、邻边），中间用箭头连接 “生活场景→数学模型”
落款：授课教师 / 日期
第 2 页：学习目标
知识与技能：
结合生活实例（如楼梯坡度），理解正切的实际意义，掌握直角三角形中锐角正切的定义
能准确识别直角三角形中锐角的 “对边” 与 “邻边”，熟练写出锐角正切的表达式
会计算直角三角形中指定锐角的正切值，能利用正切值解决简单的边长计算问题
过程与方法：
通过观察、对比、计算等活动，经历 “实际问题 — 数学抽象 — 定义推导” 的过程，提升数形结合能力
借助特殊直角三角形（含 30°、45°、60°）探究正切值，培养逻辑推理与归纳总结能力
情感态度：
感受正切在解决实际问题（如坡度计算）中的工具价值，体会数学与生活的紧密联系
在概念探究中，激发学习兴趣，培养严谨的数学思维习惯
第 3 页：情境引入 —— 生活中的 “倾斜程度”
实例展示（配图呈现）：
实例 1：两个不同倾斜度的楼梯 —— 楼梯 A（垂直高度 2m，水平宽度 4m），楼梯 B（垂直高度 3m，水平宽度 3m），提问：“哪个楼梯更陡？”
实例 2：两个不同倾斜度的斜坡 —— 斜坡 C（垂直高度 1.5m，水平宽度 3m），斜坡 D（垂直高度 2m，水平宽度 5m），提问：“如何量化比较斜坡的倾斜程度？”
思考与讨论：
问题 1：仅看垂直高度或水平宽度，能否判断倾斜程度？（如楼梯 A 垂直高度小于 B，但水平宽度大于 B，无法单独判断）
问题 2：用 “垂直高度与水平宽度的比” 来描述倾斜程度，是否合理？（计算楼梯 A 的比为 2:4=0.5，楼梯 B 为 3:3=1，比值越大，楼梯越陡，符合直观感受）
引入课题：“垂直高度与水平宽度的比” 是描述倾斜程度的关键量，在数学中，这个比对应直角三角形中锐角的 “正切”，这是我们今天要学习的三角函数。
第 4 页：正切的定义（直角三角形中的锐角）
定义推导：
如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A 是一个锐角：
定义：∠A 的对边（与∠A 相对的直角边 BC）与邻边（与∠A 相邻的直角边 AC）的比，叫做∠A 的正切，记作\(\tan A\)
数学表达式：\(\tan A = \frac{ A è }{ A é è } = \frac{BC}{AC}\)
关键强调：
“对边” 与 “邻边” 是相对指定锐角而言的，随锐角变化而变化（如∠B 的对边是 AC，邻边是 BC）
正切的本质是 “直角三角形中锐角的对边与邻边的比值”，仅与锐角的大小有关，与三角形的大小无关（相似三角形中，同一锐角的正切值相等）
概念辨析（互动环节）：
在 Rt△DEF 中，∠F=90°，∠D=50°，DE=10，DF=6，EF=8，求\(\tan D\)和\(\tan E\)
解析：先确定对边与邻边 ——∠D 的对边是 EF=8，邻边是 DF=6，故\(\tan D = \frac{EF}{DF} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}\)；∠E 的对边是 DF=6，邻边是 EF=8，故\(\tan E = \frac{DF}{EF} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}\)
结论：在同一直角三角形中，∠D + ∠E=90°，\(\tan D\)与\(\tan E\)互为倒数
第 5 页：正切的性质 —— 与锐角大小的关系
探究活动：用计算器计算特殊锐角的正切值（确保计算器处于 “DEG” 模式）：
计算：\(\tan 30 ° 0.577\)，\(\tan 45 °=1\)，\(\tan 60 ° 1.732\)，\(\tan 80 ° 5.671\)
性质归纳：
当锐角在 0°~90° 之间变化时，正切值随锐角的增大而增大（如 30°<45°<60°，则\(\tan 30 °<\tan 45 °<\tan 60 °\)）
锐角为 0° 时，正切值为 0（\(\tan 0 °=0\)）；锐角趋近于 90° 时，正切值趋近于无穷大（\(\tan 90 °\)无意义，因邻边趋近于 0）
应用验证：结合之前的楼梯实例，楼梯 B 的倾斜角更大，其正切值（1）大于楼梯 A 的正切值（0.5），验证 “正切值越大，锐角越大，倾斜程度越陡”
第 6 页：特殊角的正切值（重点记忆）
推导特殊角正切值（结合特殊直角三角形）：
（1）30° 角的正切值：
如图，Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，设 BC=1（对边），则 AC=\(\sqrt{3}\)（邻边），AB=2
\(\tan 30 ° = \frac{BC}{AC} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3} 0.577\)
（2）45° 角的正切值：
如图，Rt△DEF 中，∠F=90°，∠D=45°，设 DF=EF=1（对边 = 邻边）
\(\tan 45 ° = \frac{EF}{DF} = \frac{1}{1} = 1\)
（3）60° 角的正切值：
沿用 30° 角的 Rt△ABC，∠B=60°，对边 AC=\(\sqrt{3}\)，邻边 BC=1
\(\tan 60 ° = \frac{AC}{BC} = \frac{\sqrt{3}}{1} = \sqrt{3} 1.732\)
特殊角正切值汇总表：
锐角 α
30°
45°
60°
\(\tan ±\)
\(\frac{\sqrt{3}}{3}\)（≈0.577）
1
\(\sqrt{3}\)（≈1.732）
记忆技巧：结合直角三角形边长比（30° 角对边：邻边 = 1:\(\sqrt{3}\)，45° 角对边：邻边 = 1:1，60° 角对边：邻边 =\(\sqrt{3}\):1），直接推导正切值，避免死记硬背
第 7 页：正切的基础应用 —— 求边长
例 1：已知锐角和邻边，求对边
问题：在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A=60°，AC=5，求 BC 的长（结果保留根号）。
解析：
步骤 1：确定已知量与未知量 ——∠A 的邻边 AC=5，求对边 BC，已知∠A=60°，可用正切定义
步骤 2：列表达式 ——\(\tan A = \frac{BC}{AC}\)
步骤 3：代入计算 ——\(\tan 60 ° = \frac{BC}{5}\)，因\(\tan 60 ° = \sqrt{3}\)，故\(BC = 5 \sqrt{3} = 5\sqrt{3}\)
例 2：已知锐角和对边，求邻边
问题：在 Rt△DEF 中，∠F=90°，∠E=45°，EF=8，求 DF 的长。
解析：
步骤 1：识别∠E 的对边是 DF，邻边是 EF（注意：∠E 的对边是与∠E 相对的边，即 DF）
步骤 2：列表达式 ——\(\tan E = \frac{DF}{EF}\)
步骤 3：代入计算 ——\(\tan 45 ° = \frac{DF}{8}\)，因\(\tan 45 °=1\)，故\(DF = 8 1 = 8\)
方法总结：在直角三角形中，已知一个锐角和一条直角边（对边或邻边），求另一条直角边，可直接用正切定义：对边 = 邻边 ×\(\tan\)锐角，邻边 = 对边 ÷\(\tan\)锐角。
第 8 页：正切的实际应用 —— 坡度计算
坡度的定义：
生活中，坡度（或坡比）是描述斜面倾斜程度的量，定义为 “斜面的垂直高度（h）与水平宽度（l）的比”，即坡度\(i = \frac{h}{l}\)
关键关联：坡度\(i = \frac{h}{l}\)恰好等于斜面与水平面夹角（坡角 α）的正切值，即\(i = \tan ±\)
例 3：坡度与坡角的计算
问题：某山坡的坡度为 1:2（即垂直高度：水平宽度 = 1:2），求山坡的坡角 α（精确到 0.1°）及垂直高度为 5m 时的水平宽度。
解析：
（1）求坡角 α：坡度\(i = \frac{1}{2} = \tan ±\)，用计算器计算\( ± = \arctan \frac{1}{2} 26.6 °\)
（2）求水平宽度：已知垂直高度 h=5m，坡度\(i = \frac{h}{l} = \frac{1}{2}\)，故水平宽度\(l = 2h = 2 5 = 10\)m
例 4：楼梯倾斜度计算
问题：某居民楼楼梯的垂直高度为 3m，水平宽度为 4m，求楼梯的倾斜角（精确到 1°），判断是否符合安全标准（一般楼梯倾斜角建议不超过 45°）。
解析：
步骤 1：计算正切值 ——\(\tan ± = \frac{ é }{ ° } = \frac{3}{4} = 0.75\)
步骤 2：求倾斜角 —— 用计算器得\( ± = \arctan 0.75 37 °\)
步骤 3：判断标准 ——37°<45°，符合安全标准
第 9 页：巩固练习
选择题：
（1）在 Rt△ABC 中，∠C=90°，若∠A=30°，BC=2，则 AC 的长为（ ）
A. 2\(\sqrt{3}\) B. \(\sqrt{3}\) C. 2 D. 4
（2）下列关于正切的说法，正确的是（ ）
A. 锐角越大，正切值越小 B. \(\tan 45 °<\tan 30 °\) C. 直角三角形中，锐角的正切值是对边与邻边的比 D. \(\tan 60 ° = \frac{1}{\sqrt{3}}\)
填空题：
（1）在 Rt△DEF 中，∠F=90°，∠D=60°，DF=2，则 EF=______；
（2）某斜坡的坡角为 45°，则坡度为______，若斜坡长度为 10m，则垂直高度为______m。
解答题：
如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠B=30°，AB=8，求\(\tan A\)的值及 BC 的长。
第 10 页：课堂小结
知识梳理：
正切定义：Rt△中，锐角的对边与邻边的比（\(\tan A = \frac{ è }{é è }\)）
核心性质：锐角越大，正切值越大；\(\tan 30 °=\frac{\sqrt{3}}{3}\)，\(\tan 45 °=1\)，\(\tan 60 °=\sqrt{3}\)
实际应用：坡度 = 正切值（\(i = \tan ±\)），用于计算倾斜程度、边长
思想方法：
数形结合：通过直角三角形图形，明确对边、邻边，辅助正切计算
转化思想：将生活中的 “倾斜程度” 转化为数学中的 “正切值”
易错点回顾：
混淆 “对边” 与 “邻边”，导致正切表达式错误（需先确定指定锐角）
特殊角正切值记忆错误（如将\(\tan 30 °\)记为\(\sqrt{3}\)）
忽略坡度的定义（垂直高度：水平宽度），颠倒比例关系
第 11 页：布置作业
基础作业：教材对应习题，完成 3 道正切定义计算题、2 道特殊角正切应用题
提升作业：
（1）在 Rt△ABC 中，∠C=90°，\(\tan A = \frac{\sqrt{3}}{3}\)，BC=2，求 AC 和 AB 的长；
（2）某水坝的斜坡坡度为 1:3，若某人沿斜坡向上走了 100m，求此人上升的垂直高度（结果保留根号）。
实践作业：观察家中的楼梯或小区的斜坡，测量其垂直高度和水平宽度，计算坡度与坡角，判断是否符合安全使用标准（可参考相关建筑规范）
2025-2026学年北师大版数学九年级下册【示范课精品课件】
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1.1.1 正切
第一章 直角三角形的边角关系
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
知识点
正切
1
正切的概念
如图1-1-1，在Rt△ABC中，如果锐
角A确定，那么∠A的对边与邻边的比便
随之确定，这个比叫做∠A的正切，记
作tan A，即tan A= . 如果用a，b分别表示∠A的对边与邻边，那么tan A=.
知1－讲
特别提醒
● tan A不表示“tan”乘“A”.tan A是一个完整的符号，它表示∠A的正切.
● tan A＞0且没有单位，它表示一个比值，tan A的大小只与∠A的大小有关.
知1－练
例 1
[中考·桂林] 如图1-1-2，在Rt△ABC中，∠ACB= 90°，AC=8，BC=6，CD⊥AB，垂足为D，则
tan ∠BCD=________.
知1－练
解题秘方：紧扣正切的定义，找出该锐角所在的直角三角形的两直角边的比值，或与之相等的锐角所在直角三角形的两直角边的比值.
解：∵∠BCD+ ∠ACD=90°，∠CAB+ ∠ACD=90°，
∴∠BCD= ∠CAB，
∴ tan ∠BCD=tan ∠CAB= = = .
知1－练
1-1. [中考·连云港] 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E为AD的中点，AC=4，OE=2．求OD的长及tan ∠EDO的值.
知1－练
知2－讲
知识点
正切与梯子的倾斜程度的关系
2
正切与梯子的倾斜程度的关系
(1)当梯子与地面所成的角为锐角A 时 ，tan A的值越大，梯子越陡. 因此，可用梯子的倾斜角的正切值来描述梯子的倾斜程度.
tan A=
知2－讲
(2)当倾斜角确定时，其对边与邻边的比值随之确定，这一比值只与倾斜角的大小有关，而与物体的长度无关.
(3)对“倾斜程度”的理解：
①倾斜程度，其本意指倾斜角的大小，一般来说，倾斜角越大的物体，就说它放得越“陡”.
②通过计算物体与地面夹角的正切值来判断物体的倾斜程度，夹角的正切值越大，物体放置得越“陡”.
知2－讲
特别提醒
●在很多实际问题中，人们无法测量倾斜角(如梯子与地面的夹角)，这时通常采用倾斜角的正切值来刻画倾斜程度.
●一个锐角的正切值随角度的增大(减小)而增大(减小).
知2－练
如图1-1-3，李佳怡和王慧珍将两根木棒分别斜靠在墙上，其中AB=10 cm，CD=6 cm，BE=6 cm，DE= 2 cm.你能判断出哪根木棒更陡吗？说明理由.
例 2
解题秘方：紧扣倾斜程度与正切值的关系以及正切值的求法解决问题.
知2－练
解：木棒CD更陡. 理由如下：
在Rt△ABE中，AE = = = 8(cm)，
∴ tan ∠ABE = = = .
在Rt△CDE中，CE = = = 4(cm)，
∴ tan ∠CDE = = = 2.
∵ tan ∠CDE ＞ tan ∠ABE，∴木棒CD更陡.
知2－练
2-1. 如图，梯子AB和EF中，更陡的是( )
A. 一样陡
B. 梯子AB
C. 梯子EF
D. 不能确定
C
知3－讲
知识点
坡度与坡角
3
名称 定义 表示方法 关系 举例
坡度 坡面的铅直高度h与水平宽度l的比称为坡度(或坡比)，记作i i = 坡度是坡角的正切值， 坡度越大，坡角越大， 坡面就越陡
当h=1，l=时， 坡度i= 1∶，坡角α 为30°
坡角 坡面与水平面的夹角叫做坡角(或倾斜角)，记作∠α tanα =
知3－讲
特别提醒
●坡度是一个比，坡角是一个角.
●坡度一般写成1∶m的形式，比的前项为1，后项m可以是小数，也可以是带根号的数.
知3－练
如图1-1-4， 拦水坝的横截面为梯形ABCD，BC∥AD，斜坡AB的坡度为1∶3，坝顶宽BC=3 m，坝高为4 m，斜坡CD=5 m .
例 3
解题秘方：紧扣坡度与坡面的倾斜程度之间的关系解决问题.
知3－练
(1)试比较斜坡AB和CD哪个更陡；
解：如图1-1-4，过点C作CF⊥AD，垂足为F，
则CF=4 m.
在Rt△CFD中，根据勾股定理，
得FD = = = 3(m)，
∴ tan D = = . ∵ tan A= ，∴ tan D＞ tan A，
∴斜坡CD更陡.
知3－练
(2)求坝底AD的长.
解：如图1-1-4，过点B作BE⊥AD，垂足为E，易知BE=4 m，EF=BC=3 m. 在Rt△AEB中，∵ tan A= = ，∴ AE=3BE=3×4=12(m).
∴ AD=AE+EF+FD=12+3+3=18(m)，
即坝底AD的长为18 m.
知3－练
3-1. [中考· 深圳] 爬坡时坡面与水平面夹角为α ，则每爬 1 m 耗能(1.025－cosα )J， 如图，若某人爬了1 000 m，该坡角为30°，则他耗能(参考数据： ≈1.732，≈ 1.414)( )
A. 58 J B. 159 J
C. 1 025 J D. 1 732 J
B
返回
B
返回
2. [2024常州新北区月考]如果某人沿坡度为3∶4的斜坡前进10 m，那么他所在的位置比原来的位置升高了( )
A．6 m B．8 m
C．10 m D．12 m
A
返回
A
返回
C
返回
75 m
6. [教材P3例1]如图①②表示两个自动扶梯，则自动扶梯________比较陡(填“①”或“②”).
①
返回
返回
返回
D
返回
9. 如图，网格中的四个格点组成菱形ABCD，则tan∠DBC的值为________.
3
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
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