1.1.2 正弦与余弦 课件(共34张PPT)-2025-2026学年北师大版数学九年级下册教学课件

(共34张PPT)
第 1 页：封面
标题：1.1.2 正弦与余弦
副标题：北师大版九年级数学下册
配图：左侧为山坡示意图（标注垂直高度、水平宽度、坡面长度），右侧为直角三角形（标注锐角、对边、邻边、斜边），用不同颜色区分正弦（对边 - 斜边）、余弦（邻边 - 斜边）的对应关系
落款：授课教师 / 日期
第 2 页：学习目标
知识与技能：
结合山坡坡面长度的实际问题，理解正弦、余弦的实际意义，掌握直角三角形中锐角正弦、余弦的定义
能准确识别直角三角形中锐角的 “对边、邻边、斜边”，熟练写出锐角正弦、余弦的表达式
会计算直角三角形中指定锐角的正弦、余弦值，能利用正弦、余弦值解决简单的边长计算问题，对比正切的应用场景
过程与方法：
通过 “实际问题 — 定义推导 — 对比分析” 的流程，经历正弦、余弦的概念形成过程，提升数形结合与归纳对比能力
借助特殊直角三角形探究正弦、余弦值，建立与正切的关联，构建三角函数的初步认知体系
情感态度：
感受正弦、余弦在解决 “坡面长度” 等实际问题中的作用，体会三角函数的工具性价值
在对比学习中培养严谨的思维习惯，激发对三角函数系列知识的探索兴趣
第 3 页：情境引入 —— 从 “倾斜程度” 到 “坡面长度”
实例延续与升级（配图呈现）：
回顾：上节课用 “垂直高度与水平宽度的比（正切）” 描述楼梯、斜坡的倾斜程度，如斜坡 A（垂直高度 3m，水平宽度 4m），倾斜角 α 的\(\tan ± = \frac{3}{4}\)
新问题：若要计算斜坡 A 的坡面长度（即直角三角形的斜边），仅用正切值足够吗？（正切仅关联对边与邻边，无法直接求斜边，需引入新的边角关系）
实例 2：登山时，已知山峰垂直高度为 1000m，测得登山路线（坡面）与水平面的夹角为 30°，如何计算登山路线的长度？
思考与讨论：
问题 1：直角三角形中，除了 “对边与邻边的比”，还有哪些边的比值能描述锐角的特征？（对边与斜边的比、邻边与斜边的比）
问题 2：这些比值是否仅与锐角大小有关，与三角形大小无关？（结合相似三角形性质，相似三角形对应边成比例，故比值恒定）
引入课题：直角三角形中，“对边与斜边的比” 称为锐角的正弦，“邻边与斜边的比” 称为锐角的余弦，它们与正切共同构成描述锐角特征的三角函数。
第 4 页：正弦与余弦的定义（直角三角形中的锐角）
定义推导（结合 Rt△ABC，∠C=90°，∠A 为锐角）：
正弦的定义：
概念：∠A 的对边（BC）与斜边（AB）的比，叫做∠A 的正弦，记作\(\sin A\)
表达式：\(\sin A = \frac{ A è }{ è } = \frac{BC}{AB}\)
余弦的定义：
概念：∠A 的邻边（AC）与斜边（AB）的比，叫做∠A 的余弦，记作\(\cos A\)
表达式：\(\cos A = \frac{ A é è }{ è } = \frac{AC}{AB}\)
关键强调与对比：
三角函数
边的比值关系
核心区别（与正切对比）
取值范围（0°<α<90°）
\(\sin ±\)
对边：斜边
关联对边与斜边，用于求斜边或对边
0<\(\sin ±\)<1（对边 < 斜边）
\(\cos ±\)
邻边：斜边
关联邻边与斜边，用于求斜边或邻边
0<\(\cos ±\)<1（邻边 < 斜边）
\(\tan ±\)
对边：邻边
关联对边与邻边，用于求对边或邻边
\(\tan ±\)>0（无上限）
概念辨析（互动环节）：
在 Rt△DEF 中，∠F=90°，DE=10（斜边），DF=6（∠E 的对边），EF=8（∠E 的邻边），求\(\sin E\)、\(\cos E\)、\(\tan E\)
解析：先定位∠E 的三边 —— 对边 DF=6，邻边 EF=8，斜边 DE=10\(\sin E = \frac{DF}{DE} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}\)，\(\cos E = \frac{EF}{DE} = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}\)，\(\tan E = \frac{DF}{EF} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}\)
结论：同一锐角的正弦、余弦、正切值相互关联，且均为正数
第 5 页：正弦与余弦的性质 —— 与锐角大小的关系
探究活动（用计算器计算特殊锐角的正弦、余弦值，DEG 模式）：
锐角 α
30°
45°
60°
80°
\(\sin ±\)
≈0.5
≈0.707
≈0.866
≈0.985
\(\cos ±\)
≈0.866
≈0.707
≈0.5
≈0.174
性质归纳：
正弦的性质：当锐角在 0°~90° 之间变化时，\(\sin ±\)随锐角的增大而增大（30°<45°<60°→\(\sin 30 °<\sin 45 °<\sin 60 °\)）；α=0° 时\(\sin 0 °=0\)，α=90° 时\(\sin 90 °=1\)
余弦的性质：当锐角在 0°~90° 之间变化时，\(\cos ±\)随锐角的增大而减小（30°<45°<60°→\(\cos 30 °>\cos 45 °>\cos 60 °\)）；α=0° 时\(\cos 0 °=1\)，α=90° 时\(\cos 90 °=0\)
互余角的关系：若 α+β=90°，则\(\sin ± = \cos \)，\(\cos ± = \sin \)（如 α=30°，β=60°，\(\sin 30 °=\cos 60 °=0.5\)，\(\cos 30 °=\sin 60 ° 0.866\)）
应用验证：结合登山实例，α=30°，垂直高度（对边）=1000m，\(\sin 30 ° = \frac{ è }{ è } = 0.5\)，故斜边（登山路线长度）=1000÷0.5=2000m，验证正弦的实用性
第 6 页：特殊角的正弦与余弦值（重点记忆）
推导特殊角的值（结合特殊直角三角形）：
（1）30° 角与 60° 角（Rt△ABC，∠C=90°，∠A=30°，设 BC=1，AB=2，AC=\(\sqrt{3}\)）：
\(\sin 30 ° = \frac{BC}{AB} = \frac{1}{2}\)，\(\cos 30 ° = \frac{AC}{AB} = \frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(\sin 60 ° = \frac{AC}{AB} = \frac{\sqrt{3}}{2}\)，\(\cos 60 ° = \frac{BC}{AB} = \frac{1}{2}\)（利用互余角关系验证）
（2）45° 角（Rt△DEF，∠F=90°，∠D=45°，设 DF=EF=1，DE=\(\sqrt{2}\)）：
\(\sin 45 ° = \frac{EF}{DE} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}\)，\(\cos 45 ° = \frac{DF}{DE} = \frac{\sqrt{2}}{2}\)
特殊角三角函数值汇总表（整合正切，强化关联）：
锐角 α
\(\sin ±\)
\(\cos ±\)
\(\tan ±\)（回顾）
30°
\(\frac{1}{2}\)（≈0.5）
\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)（≈0.866）
\(\frac{\sqrt{3}}{3}\)（≈0.577）
45°
\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)（≈0.707）
\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)（≈0.707）
1
60°
\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)（≈0.866）
\(\frac{1}{2}\)（≈0.5）
\(\sqrt{3}\)（≈1.732）
记忆技巧：
正弦值：30°→45°→60°，分子为 1→\(\sqrt{2}\)→\(\sqrt{3}\)，分母均为 2（“正弦增，分子增”）
余弦值：与正弦值 “倒序”（30°→60°，余弦值从\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)→\(\frac{1}{2}\)，“余弦增，分子减”）
结合直角三角形边长比，随时推导，避免混淆
第 7 页：正弦与余弦的基础应用 —— 求边长
例 1：已知锐角和斜边，求对边 / 邻边
问题：在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，AB=10（斜边），求 BC（对边）和 AC（邻边）的长。
解析：
求对边 BC：用正弦定义 ——\(\sin A = \frac{BC}{AB}\)→\(BC = AB ·\sin A = 10 \sin 30 ° = 10 \frac{1}{2} = 5\)
求邻边 AC：用余弦定义 ——\(\cos A = \frac{AC}{AB}\)→\(AC = AB ·\cos A = 10 \cos 30 ° = 10 \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3}\)
例 2：已知锐角和对边，求斜边
问题：在 Rt△DEF 中，∠F=90°，∠E=45°，EF=6（∠E 的对边），求斜边 DE 的长。
解析：
步骤 1：确定三角函数 —— 已知对边和斜边，用正弦定义（\(\sin E = \frac{EF}{DE}\)）
步骤 2：变形求解 ——\(DE = \frac{EF}{\sin E} = \frac{6}{\sin 45 °} = \frac{6}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 6\sqrt{2}\)
方法总结：
已知斜边和锐角：对边 = 斜边 ×\(\sin\)锐角，邻边 = 斜边 ×\(\cos\)锐角
已知对边和锐角：斜边 = 对边 ÷\(\sin\)锐角，邻边 = 对边 ÷\(\tan\)锐角（或邻边 = 斜边 ×\(\cos\)锐角）
已知邻边和锐角：斜边 = 邻边 ÷\(\cos\)锐角，对边 = 邻边 ×\(\tan\)锐角（或对边 = 斜边 ×\(\sin\)锐角）
第 8 页：正弦与余弦的实际应用 —— 坡面长度与高度计算
应用场景 1：登山路线长度计算
问题：某登山队从山脚 A 出发，沿与水平面成 50° 角的坡面攀登，到达山顶 B 时，上升的垂直高度为 800m，求登山路线 AB 的长度（精确到 1m，参考数据：\(\sin 50 ° 0.766\)）。
解析：
建模：Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A=50°，BC=800m（对边），AB 为坡面长度（斜边）
计算：\(\sin 50 ° = \frac{BC}{AB}\)→\(AB = \frac{BC}{\sin 50 °} \frac{800}{0.766} 1044\)m
应用场景 2：斜坡水平宽度计算
问题：某高速公路的护坡斜坡，坡面长度为 12m，倾斜角为 60°，求斜坡的水平宽度（精确到 0.1m，参考数据：\(\cos 60 °=0.5\)）。
解析：
建模：Rt△DEF 中，∠F=90°，∠D=60°，DE=12m（斜边），DF 为水平宽度（邻边）
计算：\(\cos 60 ° = \frac{DF}{DE}\)→\(DF = DE ·\cos 60 ° = 12 0.5 = 6.0\)m
对比应用（正弦、余弦、正切的选择）：
求垂直高度 / 坡面长度：优先用正弦（对边 - 斜边）
求水平宽度 / 坡面长度：优先用余弦（邻边 - 斜边）
求垂直高度 / 水平宽度：优先用正切（对边 - 邻边）
第 9 页：巩固练习
选择题：
（1）在 Rt△ABC 中，∠C=90°，若∠B=60°，AB=8，则 AC 的长为（ ）
A. 4 B. 4\(\sqrt{3}\) C. 8\(\sqrt{3}\) D. 16
（2）下列关于正弦、余弦的说法，错误的是（ ）
A. \(\sin 30 ° = \cos 60 °\) B. \(\sin 45 ° = \cos 45 °\) C. 锐角越大，正弦值越大，余弦值越小 D. \(\cos 30 ° = \frac{1}{2}\)
填空题：
（1）在 Rt△DEF 中，∠F=90°，∠D=30°，DE=12，则 EF=，DF=；
（2）若 α 为锐角，\(\sin ± = \frac{\sqrt{3}}{2}\)，则 α=°，\(\cos ± = \frac{1}{2}\)对应的锐角为°。
解答题：
如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，BC=6，\(\sin A = \frac{3}{5}\)，求 AC 的长和\(\cos B\)的值。
第 10 页：课堂小结
知识梳理（三角函数三位一体）：
三角函数
定义（Rt△中，∠A 为锐角）
特殊角值（30°/45°/60°）
主要应用
正弦（\(\sin A\)）
\(\frac{ è }{ è }\)
(
2025-2026学年北师大版数学九年级下册【示范课精品课件】
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
1.1.2 正弦与余弦
第一章 直角三角形的边角关系
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
知4－讲
知识点
正弦、余弦
4
1. 正弦、余弦的定义
名称 定义 数学语言 图示
正弦 在Rt△ABC中，锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sin A，即sin A= 在Rt△ABC中，∠ C= 90°，BC=a，AB=c ，则 sin A=
知4－讲
续表
名称 定义 数学语言 图示
余弦 在Rt△ABC中，锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cos A，即cos A= 在Rt△ABC 中，∠ C= 90°，AC=b，AB=c ， 则cos A=
2. 正弦、余弦与梯子的倾斜程度的关系
(1)sin A 的值越大，梯子越陡；
(2)cos A 的值越小，梯子越陡.
知4－讲
知4－讲
特别提醒
1. sin A，cos A都是一个完整的符号，注意事项与正切类似.
2. sin A，cos A没有单位，其值与锐角A的大小有关，与所在直角三角形的边长无关.
知4－练
在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的对边分别用a，b，c表示，其中a=5，b=12，求∠A的正弦值和∠B的余弦值.
例 4
解题秘方：紧扣正弦、余弦的定义，结合直角三角形的边长解决问题.
解：在Rt△ABC中，
由勾股定理得c = = =13，
∴ sin A = = ，cos B = = .
知4－练
知4－练
4-1. 如图，在Rt△ABC中， ∠C=90 °，AC = 2BC，求 ∠B的正弦值、余弦值和正切值.
知4－练
知5－讲
知识点
锐角三角函数
5
1. 锐角三角函数的定义
锐角A的正弦、余弦和正切都是∠A的三角函数. 锐角三角函数sin A(或cos A或tan A)是以锐角A为自变量的函数. 对于锐角A的每一个确定的值，sin A(或cos A或tan A)都有唯一确定的值与其对应.
∠ABC的正弦表示为sin ∠ABC，∠1的余弦表示为cos ∠1，其中“∠”不能省略.
知5－讲
深度理解
1. 锐角三角函数之间的关系都可用定义推导得出.
2. 三角函数定义速记口诀：
正弦等于对比斜，余弦等于邻比斜，
正切等于对比邻，函数特点要牢记.
知5－讲
2. 锐角三角函数之间的关系
(1)同一锐角的三角函数之间的关系
①平方关系：sin2A+cos2A=1. ②商除关系：= tan A.
(2)互余两角的三角函数之间的关系
sin A = cos(90°－∠A)；cos A=sin(90 ° －∠A).
知5－练
在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c. 已知a=6，b=8，求出∠A的三个三角函数值.
例 5
解题秘方：紧扣“锐角三角函数的定义”求解.
解：如图1-1-5，在Rt△ABC中，
∵∠C=90°，a=6，b=8，
∴ c = = =10.
∴ sin A = = ，cos A = = ，tan A = = .
知5－练
知5－练
5-1. [中考· 滨州] 在Rt△ABC中，若∠C=90°，AC=5，BC=12， 则sin A的值为________.
5-2. [中考· 扬州] 在△ABC中，∠C=90°，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边. 若b2=ac，则sin A的值为_______.
知5－练
在△ABC中，∠C=90°，sin A = ，则tan B = ( )
A. B. C. D.
例 6
解题秘方：当三角形出现边与边的比时，可引入参数，用这个参数表示出三角形的三边长，再用定义求解.
知5－练
解：由sin A = = ，可设BC=4k(k>0)，则AB=5k，根据勾股定理，得AC=3k，∴ tan B = = = .
答案：B
知5－练
6-1. 已知sin α = ，α为锐角， 求cos α和tan α的值.
知5－练
如图1-1-6，在等腰三角形ABC中，AB=AC，如果2AB=3BC，求∠B的三个三角函数值.
例 7
解题秘方：紧扣“求锐角三角函数值的前提是在直角三角形中”这一特征，用“构造直角三角形法”求解.
知5－练
解：过点A作AD⊥BC于点D，如图1-1-6，
∵ AB=AC，∴ BD=DC.
又∵ 2AB=3BC，∴ = .
设AB=AC=3k(k>0)，则BC=2k.
∴ BD=CD=k，∴ AD=2k.
∴ sin B = = ，cos B = = ，tan B = = 2.
知5－练
如图1-1-7， 在△ABC中， ∠ACB=90 °，AC=BC=4，将△ABC折叠，使点A落在BC边上的点D处，EF是折痕，若AE=3，则sin ∠BFD的值为( )
A. B.
C. D.
例 8
知5－练
解：∵在△ABC中，AC=BC=4，∴∠A = ∠B.
由折叠得∠EDF = ∠A= ∠B，AE=DE=3.
∵∠CDF = ∠CDE + ∠EDF = ∠B + ∠BFD，
∴∠CDE = ∠BFD.
∵ CE=AC－AE=1，∴ sin ∠BFD=sin ∠CDE= = .
答案：A
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A
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C
A
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返回
C
返回
5. △ABC在网格中的位置如图所示(每个小正方形的边长为1)，AD⊥BC于D，下列四个选项中，错误的是(　　)
A. sin α＝cos α
B. tan C＝2
C. sin β＝cos β
D. tan α＝1
C
返回
6. 如图，学过三角函数之后，小明同学明白了梯子的倾斜程度和∠BAC的三角函数值有关. 请你用∠BAC的余弦(或正弦)的大小来描述梯子的倾斜程度：_________________________________________.
∠BAC的余弦值越小，梯子越陡(答案不唯一)
(1)BC的长；
返回
(2)∠ADC的正弦值和余弦值.
锐角三角函数
锐角
三角
函数
正切
正弦
余弦
与倾斜程
度之间的
关系
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！