1.2 30°、45°、60°角的三角函数值 课件(共39张PPT)-2025-2026学年北师大版数学九年级下册教学课件

(共39张PPT)
第 1 页：封面
标题：1.2 30°、45°、60° 角的三角函数值
副标题：北师大版九年级数学下册
配图：左侧为含 30° 角的直角三角形（标注边长比 1:√3:2），右侧为等腰直角三角形（标注边长比 1:1:√2），中间用表格预览三个特殊角的三角函数值
落款：授课教师 / 日期
第 2 页：学习目标
知识与技能：
能结合含 30°、45°、60° 角的特殊直角三角形，推导并熟记三个角的正弦、余弦、正切值
能熟练运用特殊角的三角函数值进行计算，解决含特殊角的直角三角形边长求解问题
掌握特殊角三角函数值的记忆规律，避免混淆不同角的对应数值
过程与方法：
通过 “观察特殊三角形 — 推导比值 — 归纳数值” 的过程，经历从几何图形到代数数值的转化，提升数形结合能力
借助对比、分类等方法，总结特殊角三角函数值的规律，培养归纳总结能力
情感态度：
感受特殊角三角函数值的简洁性与实用性，体会数学中的 “特殊与一般” 关系
在推导与应用中，增强对三角函数的理解，激发学习兴趣与严谨的计算习惯
第 3 页：情境引入 —— 特殊三角形的边长秘密
回顾旧知：
含 30° 角的直角三角形：30° 角所对的直角边是斜边的一半，若最短直角边为 1，则斜边为 2，另一直角边为√3（勾股定理推导）
等腰直角三角形（含 45° 角）：两直角边相等，若直角边为 1，则斜边为√2（勾股定理推导）
思考提问：
这些特殊三角形的边长比是固定的，那么它们的锐角（30°、45°、60°）的正弦、余弦、正切值是否也固定？如何计算？
示例：在含 30° 角的直角三角形中，30° 角的对边与斜边的比是多少？这对应哪个三角函数值？
引入课题：今天我们将利用这两种特殊直角三角形，推导 30°、45°、60° 角的正弦、余弦、正切值，这些数值在三角函数计算中应用广泛，是解决特殊角问题的关键。
第 4 页：推导一 ——30° 角与 60° 角的三角函数值
构建特殊三角形：
如图，Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，∠B=60°，设 BC=1（30° 角对边，最短边）
由性质得：AB=2BC=2（斜边），AC=√(AB -BC )=√(2 -1 )=√3（60° 角对边）
计算 30° 角的三角函数值（以∠A=30° 为例）：
正弦：\(\sin 30 ° = \frac{ A è }{ è } = \frac{BC}{AB} = \frac{1}{2}\)
余弦：\(\cos 30 ° = \frac{ A é è }{ è } = \frac{AC}{AB} = \frac{\sqrt{3}}{2}\)
正切：\(\tan 30 ° = \frac{ A è }{ A é è } = \frac{BC}{AC} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}\)（分母有理化）
计算 60° 角的三角函数值（以∠B=60° 为例）：
正弦：\(\sin 60 ° = \frac{ B è }{ è } = \frac{AC}{AB} = \frac{\sqrt{3}}{2}\)
余弦：\(\cos 60 ° = \frac{ B é è }{ è } = \frac{BC}{AB} = \frac{1}{2}\)
正切：\(\tan 60 ° = \frac{ B è }{ B é è } = \frac{AC}{BC} = \frac{\sqrt{3}}{1} = \sqrt{3}\)
结论对比：
30° 与 60° 角的三角函数值呈 “对称” 关系：\(\sin 30 ° = \cos 60 °\)，\(\cos 30 ° = \sin 60 °\)，\(\tan 30 ° = \frac{1}{\tan 60 °}\)
第 5 页：推导二 ——45° 角的三角函数值
构建特殊三角形：
如图，Rt△DEF 中，∠F=90°，∠D=∠E=45°（等腰直角三角形），设 DF=EF=1（直角边）
由勾股定理得：DE=√(DF +EF )=√(1 +1 )=√2（斜边）
计算 45° 角的三角函数值（以∠D=45° 为例）：
正弦：\(\sin 45 ° = \frac{ D è }{ è } = \frac{EF}{DE} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}\)（分母有理化）
余弦：\(\cos 45 ° = \frac{ D é è }{ è } = \frac{DF}{DE} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}\)
正切：\(\tan 45 ° = \frac{ D è }{ D é è } = \frac{EF}{DF} = \frac{1}{1} = 1\)
结论特征：
45° 角的正弦值与余弦值相等（均为\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)），正切值为 1，这是等腰直角三角形 “两直角边相等” 的直接体现。
第 6 页：特殊角三角函数值汇总与规律
完整汇总表（清晰呈现数值与关系）：
锐角 α
正弦（\(\sin ±\)）
余弦（\(\cos ±\)）
正切（\(\tan ±\)）
30°
\(\frac{1}{2}\)（≈0.5）
\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)（≈0.866）
\(\frac{\sqrt{3}}{3}\)（≈0.577）
45°
\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)（≈0.707）
\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)（≈0.707）
1
60°
\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)（≈0.866）
\(\frac{1}{2}\)（≈0.5）
\(\sqrt{3}\)（≈1.732）
数值变化规律：
正弦值：随角度增大而增大（30°<45°<60°→\(\frac{1}{2}<\frac{\sqrt{2}}{2}<\frac{\sqrt{3}}{2}\)）
余弦值：随角度增大而减小（30°<45°<60°→\(\frac{\sqrt{3}}{2}>\frac{\sqrt{2}}{2}>\frac{1}{2}\)）
正切值：随角度增大而增大（30°<45°<60°→\(\frac{\sqrt{3}}{3}<1<\sqrt{3}\)）
互余角关系验证：
30° 与 60° 互余：\(\sin 30 ° = \cos 60 °\)，\(\cos 30 ° = \sin 60 °\)
45° 与 45° 互余：\(\sin 45 ° = \cos 45 °\)
结论：若 α+β=90°，则\(\sin ± = \cos \)，\(\cos ± = \sin \)，此规律对所有互余角均成立。
第 7 页：记忆技巧 —— 快速熟记特殊角三角函数值
“分母 2” 规律：
所有特殊角的正弦、余弦值分母均为 2，分子分别为：
正弦值分子：30°→1，45°→√2，60°→√3（对应 “1、√2、√3” 递增）
余弦值分子：30°→√3，45°→√2，60°→1（对应 “√3、√2、1” 递减）
巧记口诀：“正弦分增，余弦分减，分母都是 2”
正切值简化记：
30° 正切：\(\frac{\sqrt{3}}{3}\)（可记为 “√3 除以 3”）
45° 正切：1（最简单，直接记 “1”）
60° 正切：√3（直接记 “√3”）
关联记：30° 与 60° 正切值互为倒数（\(\frac{\sqrt{3}}{3} \sqrt{3}=1\)）
图形辅助记：
随身携带简单草图（含 30° 的直角三角形边长 1:√3:2，等腰直角三角形边长 1:1:√2），忘记时可快速推导，避免死记硬背出错。
第 8 页：基础应用 —— 特殊角三角函数值的直接计算
类型一：直接代入求值
例 1：计算下列各式的值：
（1）\(\sin 30 ° + \cos 60 °\) （2）\(\tan 45 ° - \sin 60 ° \cos 30 °\) （3）\(\frac{\tan 60 ° - \tan 30 °}{1 + \tan 60 ° \tan 30 °}\)
解析：
（1）\(\sin 30 ° + \cos 60 ° = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1\)
（2）\(\tan 45 ° - \sin 60 ° \cos 30 ° = 1 - \frac{\sqrt{3}}{2} \frac{\sqrt{3}}{2} = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}\)
（3）\(\frac{\sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + \sqrt{3} \frac{\sqrt{3}}{3}} = \frac{\frac{2\sqrt{3}}{3}}{1 + 1} = \frac{\sqrt{3}}{3}\)
类型二：已知三角函数值求角度
例 2：已知 α 为锐角，且\(\sin ± = \frac{\sqrt{2}}{2}\)，求 α 的度数；若\(\tan ± = \sqrt{3}\)，求 α 的度数。
解析：由特殊角值表可知，\(\sin 45 ° = \frac{\sqrt{2}}{2}\)，故 α=45°；\(\tan 60 ° = \sqrt{3}\)，故 α=60°。
计算注意事项：
代入数值时注意符号（特殊角三角函数值均为正数）
涉及根号计算时，注意分母有理化（如\(\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}\)）
结果可保留根号形式（如\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)）或取近似值（如 0.866），按题目要求选择
第 9 页：进阶应用 —— 含特殊角的直角三角形边长求解
例 3：已知斜边和特殊角，求直角边
问题：在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AB=8（斜边），∠A=30°，求 BC 和 AC 的长。
解析：
求 BC（30° 角对边）：\(\sin 30 ° = \frac{BC}{AB}\)→\(BC = AB ·\sin 30 ° = 8 \frac{1}{2} = 4\)
求 AC（30° 角邻边）：\(\cos 30 ° = \frac{AC}{AB}\)→\(AC = AB ·\cos 30 ° = 8 \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}\)
例 4：已知直角边和特殊角，求斜边与另一直角边
问题：在 Rt△DEF 中，∠F=90°，EF=5（45° 角对边），∠E=45°，求 DF 和 DE 的长。
解析：
∠E=45°，故△DEF 为等腰直角三角形，DF=EF=5（45° 角邻边 = 对边）
求 DE（斜边）：\(\sin 45 ° = \frac{EF}{DE}\)→\(DE = \frac{EF}{\sin 45 °} = \frac{5}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 5\sqrt{2}\)
解题思路总结：
第一步：明确直角三角形中的特殊角及已知边（对边、邻边、斜边）
第二步：根据已知边与所求边的关系，选择对应的三角函数（正弦、余弦、正切）
第三步：代入特殊角的三角函数值，列关系式求解
第四步：验证结果（可通过勾股定理检验边长是否合理）
第 10 页：巩固练习
选择题：
（1）下列计算正确的是（ ）
A. \(\sin 30 ° = \cos 30 °\) B. \(\tan 45 ° = 1\) C. \(\sin 60 ° = \frac{1}{2}\) D. \(\cos 60 ° = \sqrt{3}\)
（2）已知 α 为锐角，\(\cos ± = \frac{\sqrt{3}}{2}\)，则 α 的度数为（ ）
A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°
填空题：
（1）\(\sin 45 ° \tan 60 ° = \)；\(\frac{\sin 60 °}{\cos 30 °} = \)；
（2）在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠B=60°，AC=6，则 AB=，BC=。
解答题：
如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A=45°，AB=10√2，求△ABC 的周长和面积（结果保留根号）。
第 11 页：课堂小结
知识梳理：
特殊角三角函数值：30°、45°、60° 角的正弦、余弦、正切值（汇总表核心内容）
推导依据：含特殊角的直角三角形边长比（30° 角：1:√3:2；45° 角：1:1:√2）
核心规律：正弦值随角度增大而增大，余弦值随角度增大而减小，互余角的正弦与余弦值相等
能力提升：
能直接代入特殊角值进行计算，解决含特殊角的直角三角形边长问题
掌握记忆技巧，避免数值混淆，能在忘记时通过特殊三角形快速推导
易错点回顾：
混淆 60° 与 30° 的正弦、余弦值（如将\(\sin 60 °\)记为\(\frac{1}{2}\)）
正切值分母有理化错误（如\(\tan 30 °\)未转化为 (
2025-2026学年北师大版数学九年级下册【示范课精品课件】
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
1.2 30°、45°、60°角的三角函数值
第一章 直角三角形的边角关系
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
猜谜语
一对双胞胎，一个高，一个胖，
3个头，尖尖角，我们学习少不了.
思考：你能说说伴随你九个学年的这副三角尺所具有的特点和功能吗？
45°
45°
90°
60°
30°
90°
思考：你能用所学知识，算出图中各角度的三角函数值吗？
下图两块三角尺中有几个不同的锐角？分别求出这几个锐角的正弦值、余弦值和正切值．
30°
60°
45°
45°
30°、45°、60° 角的三角函数值
1
设 30° 所对的直角边长为 a ，那么斜边长为 2a
另一条直角边长＝
30°
设两条直角边长为 a ，则斜边长＝
60°
45°
30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切值如下表：
30° 45° 60°
sin a
cos a
tan a
三角
函数
锐角
a
归纳总结
1.通过特殊角的三角函数值，进一步巩固锐角三角函数之间的关系.（互余关系、倒数关系、相除关系、平方关系）
2. 观察特殊三角函数值表，你能得出三角函数的增减性规律吗？
锐角三角函数的增减性：
当角度在 0°～90° 之间变化时，正弦值和正切值随着角度的增大（或减小）而 ；
余弦值随着角度的增大（或减小）而 .
增大（或减小）
减小（或增大）
归纳总结
1. 如果∠α 是等边三角形的一个内角，则 cosα = ____.
2. 在 △ABC 中，∠C = 90°，若∠B = 2∠A，则 tanA =____.
练一练
例1 计算：
(1) sin30°+ cos45°； (2) sin260° + cos260° - tan45°.
注意事项:
sin260° 表示 (sin60°)2， cos260° 表示 (cos60°)2
解：(1) sin30° + cos45°
(2) sin260°+ cos260° - tan45°
典例精析
1.求下列各式的值：
(1) cos260°＋sin260° (2)
解： (1) cos260°＋sin260°
＝1
(2)
＝0
练一练
∠A= ∠A= ∠A=
∠A= ∠A= ∠A=
∠A= ∠A= ∠A=
逆向思维
由特殊三角函数值确定锐角度数
填一填
2
例2： 如图，在 Rt△ABC 中，∠C ＝ 90°，
， 求∠A 的度数．
解： 如图，
A
B
C
典例精析
1. 如图，已知圆锥的高 AO 等于圆锥的底面半径 OB 的
倍，求 α .
解： 在图中，
A
B
O
2. sinα＜cosα，则锐角 α 取值范围（ ）
A. 30°＜α ＜45° B. 0°＜α ＜ 45°
C. 45°＜α ＜ 60° D. 0°＜α ＜ 90°
B
练一练
例3 一个小孩荡秋千，秋千链子的长度为 2.5 m ，当秋千向两边摆动时，摆角恰好为 60°，且两边摆动的角度相同，求它摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差(结果精确到 0.01m ).
特殊三角函数值的运用
3
∴最高位置与最低位置的高度差约为 0.34 m.
A
C
O
B
D
解：如图，根据题意可知，
∴ AC = 2.5 - 2.165 ≈ 0.34 (m).
2. 在 △ABC 中，若 ，则 ∠C =（　　）
A．30° B．60° C．90° D．120°
1. tan(α + 20°)＝1，锐角 α 的度数应是（　　）
A．40° B．30° C．20° D．10°
D
D
3. 求下列各式的值：
（1）1－2 sin30°cos30° （2）3tan30°－tan45°+2sin60°
解：
(1)1－2 sin30°cos30°
(2) 3tan30°－tan45° + 2sin60°
4. 如图，在 △ABC 中，∠A = 30°，
求 AB.
A
B
C
D
解：过点 C 作 CD⊥AB 于点 D，
∠A = 30°，
返回
C
1.
tan 30°的值等于(　　)
返回
2.
A
如图，这是一块三角尺ABC，其中∠B＝30°，∠C＝90°，则sin A的值为(　　)
返回
3.
A
返回
4.
如图，已知线段AB，分别以点A、点B为圆心，AB的长为半径画弧，两弧交于点C，连接AC，BC，则tan ∠ABC＝________.
返回
5.
(12分)计算：
(1)tan 45° cos 45°－cos 30° sin 45°；

(2)sin 230°＋sin 260°＋1－tan 60°；
原式＝3－1－1＝1.
返回
6.
A
返回
7.
30°
返回
8.
等腰直角
返回
9.
[教材P10“习题1.3”第2题变式]如图，某学习小组为测量学校A与河对岸公园B之间的距离，在学校附近选一点C，测量出AC＝3 km，利用测量仪器测得∠A＝30°，
∠C＝90°，则学校与公园之间的直线距离AB等于________.
10.
(8分)如图，彩旗旗杆AB用AC，AD两根钢丝固定在地面上，点A，B，C，D在同一平面内，AB⊥CD，
BC＝2 m，∠C＝45°，∠BAD＝60°.
(1)求旗杆AB部分的长；
(2)求钢丝的总长度．(结果保留根号)
返回
返回
11.
B
返回
12.
D
返回
13.
[2025山西中考]如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(6，0)，将线段OA绕点O逆时针旋转45°，则点A对应点的坐标为______________.
14.
返回
30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切值如下表：
30° 45° 60°
sin α
cos α
tan α
在0°～90°内：对于 sinα 与 tanα ，角度越大，函数值也越大；对于 cosα ，角度越大，函数值越小.
锐角α
三角
函数
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
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