1.3 三角函数的计算 课件(共38张PPT)-2025-2026学年北师大版数学九年级下册教学课件

(共38张PPT)
第 1 页：封面
标题：1.3 三角函数的计算
副标题：北师大版九年级数学下册
配图：左侧为科学计算器（标注三角函数键 sin、cos、tan），右侧为含特殊角与非特殊角的直角三角形计算题示例，中间用箭头连接 “工具 — 计算 — 应用”
落款：授课教师 / 日期
第 2 页：学习目标
知识与技能：
掌握科学计算器的三角函数计算功能，能准确计算任意锐角的正弦、余弦、正切值（精确到指定位数）
熟练进行含特殊角与非特殊角的三角函数混合运算，掌握运算顺序与技巧
能运用三角函数计算解决含非特殊角的直角三角形边长求解问题
过程与方法：
通过 “计算器操作 — 单一计算 — 混合运算 — 实际应用” 的递进过程，经历三角函数计算的完整流程，提升运算能力
借助对比练习（特殊角手动算 vs 非特殊角计算器算），明确不同角度的计算策略
情感态度：
感受计算器在三角函数计算中的工具价值，体会 “手动推导” 与 “工具辅助” 的互补性
在复杂运算与实际应用中，培养严谨的计算习惯与耐心，提升数学应用信心
第 3 页：情境引入 —— 非特殊角的计算需求
实例冲突：
回顾：上节课我们能快速计算 30°、45°、60° 等特殊角的三角函数值，但生活中更多的是非特殊角，如 “山坡倾斜角为 25°，如何计算垂直高度与坡面长度的比值？”
问题：已知 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A=25°，AB=10，求 BC 的长（BC=AB sin25°），但 sin25° 的值无法通过特殊三角形推导，该如何计算？
工具引入：
科学计算器能快速计算任意锐角的三角函数值，是解决非特殊角计算的核心工具，本节课将重点学习计算器的使用方法与三角函数的综合计算。
第 4 页：核心工具 —— 科学计算器的三角函数操作
计算器准备与模式设置：
工具要求：使用具备 sin、cos、tan 功能的科学计算器（如卡西欧 fx-82ES 系列）
模式设置：
步骤 1：按 “MODE” 键，选择 “DEG” 模式（角度模式，计算单位为 “度”，区别于 “RAD” 弧度模式）
步骤 2：按 “SHIFT” 键 +“MODE” 键，可设置计算结果的小数位数（如 “FIX 4” 表示保留 4 位小数，根据题目要求选择）
验证：输入 “sin30°”，若显示 “0.5”，则模式设置正确
三种三角函数的计算操作：
三角函数类型
操作步骤（以计算 sin25° 为例）
示例结果（保留 4 位小数）
正弦（sinα）
1. 按 “sin” 键；2. 输入角度 “25”；3. 按 “=” 键
sin25°≈0.4226
余弦（cosα）
1. 按 “cos” 键；2. 输入角度 “40”；3. 按 “=” 键
cos40°≈0.7660
正切（tanα）
1. 按 “tan” 键；2. 输入角度 “65”；3. 按 “=” 键
tan65°≈2.1445
注意事项：
角度含分、秒时（如 30°15′），需先转化为度（15′=0.25°，故 30°15′=30.25°），再输入计算
计算结果需按题目要求保留小数位数（未指定时，一般保留 3~4 位小数）
第 5 页：类型一 —— 单一三角函数值计算
非特殊角的直接计算：
例 1：用计算器计算下列各值（保留 4 位小数）：
（1）sin18° （2）cos52° （3）tan78°
解析：
（1）sin18°≈0.3090 （2）cos52°≈0.6157 （3）tan78°≈4.7046
含分、秒的角度计算：
例 2：计算 cos36°30′的值（保留 3 位小数）
转化步骤：30′=30÷60=0.5°，故 36°30′=36.5°
计算结果：cos36.5°≈0.8038≈0.804（保留 3 位小数）
由三角函数值求锐角（反三角函数）：
操作步骤：按 “SHIFT” 键 +“sin/cos/tan” 键，进入反三角函数模式（如 “arcsin”“arccos”“arctan”）
例 3：已知 sinα≈0.6，求锐角 α 的度数（精确到 0.1°）
解析：1. 按 “SHIFT”+“sin” 键；2. 输入 “0.6”；3. 按 “=” 键，得 α≈36.9°
第 6 页：类型二 —— 三角函数的混合运算
运算顺序规则：
与代数混合运算一致：先算三角函数值，再算乘除，最后算加减；有括号时，先算括号内的运算
含特殊角与非特殊角的混合运算：
例 4：计算下列各式的值（保留 3 位小数）：
（1）sin30° + tan45°×cos20° （2）(sin60° - cos45°)÷tan35°
解析：
（1）第一步：计算特殊角值（sin30°=0.5，tan45°=1）；第二步：计算非特殊角值（cos20°≈0.9397）；第三步：混合运算→0.5 + 1×0.9397≈1.4397≈1.440
（2）第一步：计算特殊角值（sin60°≈0.8660，cos45°≈0.7071）；第二步：计算非特殊角值（tan35°≈0.7002）；第三步：混合运算→(0.8660 - 0.7071)÷0.7002≈0.1589÷0.7002≈0.227
易错点警示：
避免未转化角度单位直接计算（如将 30′当作 30° 输入，导致结果错误）
混合运算中，三角函数值需先计算并保留足够小数位数（建议多保留 1 位，避免后续误差）
第 7 页：类型三 —— 含非特殊角的直角三角形边长计算
解题思路：
第一步：明确直角三角形中的已知角（非特殊角）、已知边（对边 / 邻边 / 斜边）与所求边
第二步：根据边角关系，选择对应的三角函数（sinα= 对边 / 斜边，cosα= 邻边 / 斜边，tanα= 对边 / 邻边）
第三步：用计算器计算三角函数值，代入关系式求解
示例解析：
例 5：在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A=38°，AB=15，求 BC（对边）和 AC（邻边）的长（保留 2 位小数）。
解析：
求 BC：sinA=BC/AB→BC=AB sinA=15×sin38°≈15×0.6157≈9.24
求 AC：cosA=AC/AB→AC=AB cosA=15×cos38°≈15×0.7880≈11.82
例 6：在 Rt△DEF 中，∠F=90°，∠E=52°，DE=8（斜边），求 DF（邻边）的长（保留 1 位小数）。
解析：
确定边角关系：∠E 的邻边是 DF，斜边是 DE，故用 cosE=DF/DE
计算：DF=DE cosE=8×cos52°≈8×0.6157≈4.9
第 8 页：类型四 —— 三角函数计算的实际应用
应用场景：测量高度与距离：
例 7：小明在地面 A 处，用测角仪测得楼顶 B 的仰角为 42°，测角仪高度 AC=1.6m，A 到楼底 D 的水平距离 AD=20m，求楼高 BD（保留 1 位小数）。
建模与解析：
过 C 作 CE⊥BD 于 E，得矩形 ACDE（CE=AD=20m，DE=AC=1.6m）
在 Rt△CEB 中，∠BCE=42°，tan42°=BE/CE→BE=CE tan42°≈20×0.9004≈18.008m
楼高 BD=BE+DE≈18.008+1.6≈19.6m
应用场景：坡度与坡角计算：
例 8：某斜坡的坡度为 1:3（垂直高度：水平宽度），求斜坡的坡角 α（精确到 0.1°）及坡面长度（已知垂直高度为 5m）。
解析：
求坡角 α：坡度 = tanα=1/3→α=arctan (1/3)≈18.4°
求水平宽度：水平宽度 = 3×5=15m
求坡面长度：坡面长度 =√(5 +15 )=√250≈15.8m
第 9 页：易错点警示与计算技巧
高频易错点：
模式错误：误用 “RAD” 弧度模式计算角度，导致结果偏差（如 sin30° 在 RAD 模式下≈-0.9880，而非 0.5）
单位未转化：直接输入含分、秒的角度（如 30°15′输入 “3015”），导致计算错误
运算顺序混乱：先算加减，后算乘除（如 sin30°+cos40°×tan20°，误算为 (sin30°+cos40°)×tan20°）
计算技巧：
分步计算：先将每个三角函数值单独算出并记录，再进行混合运算，减少操作失误
结果验证：用勾股定理验证直角三角形的边长计算结果（如例 5 中，BC +AC ≈9.24 +11.82 ≈85.38+139.71≈225=15 ，验证正确）
近似值保留：中间结果多保留 1 位小数（如最终需保留 3 位，中间保留 4 位），减少误差累积
第 10 页：巩固练习
基础题：
（1）用计算器计算下列值（保留 4 位小数）：sin32°、cos55°、tan72°；
（2）已知 tanα≈1.5，求锐角 α 的度数（精确到 0.1°）；
（3）计算：sin45° + cos30°×tan60°（保留 3 位小数，特殊角手动计算，非特殊角用计算器）。
中档题：
（4）在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠B=28°，AC=7，求 AB 和 BC 的长（保留 2 位小数）；
（5）某山坡的坡角为 35°，若某人沿坡面向上走了 15m，求上升的垂直高度（保留 1 位小数）。
提升题：
（6）如图，在高楼 AB 上，测得远处山顶 P 的仰角为 36°，测得山底 Q 的俯角为 48°，高楼 AB=60m，且 B、Q 在同一水平线上，求山的高度 PQ（保留 2 位小数）。
第 11 页：课堂小结
知识梳理：
计算器操作：设置 DEG 模式，掌握 sin、cos、tan 及反三角函数的计算方法
计算类型：单一值计算、混合运算、直角三角形边长计算、实际应用计算
核心原则：先算三角函数值，再按代数运算顺序计算；结果按要求保留小数位数
能力提升：
能熟练使用计算器解决非特殊角的三角函数计算问题
能结合三角函数计算，解决含非特殊角的直角三角形与实际应用问题
工具价值：
计算器是解决非特殊角三角函数计算的高效工具，但需正确操作；特殊角的三角函数值仍需手动记忆，提高计算效率
第 12 页：布置作业
基础作业：教材对应习题，完成 3 道单一三角函数计算、2 道混合运算题
提升作业：
（1）在 Rt△DEF 中，∠F=90°，∠D=53°，DF=12，求 EF 和 DE 的长（保留 2 位小数）；
（2）一艘轮船从 A 港出发，沿北偏东 60° 方向航行，速度为 25 海里 / 时，航行 2 小时后到达 B 港，此时测得灯塔 C 在北偏西 30° 方向，且 BC=30 海里，求灯塔 C 到航线 AB 的距离（保留 1 位小数）。
实践作业：
用测角仪（或手机下载测角 APP）和卷尺，测量学校内一棵大树的高度：
测量观测点到树底的水平距离；
测量观测点到树顶的仰角；
测量观测者的身高；
用三角函数计算树高，并记录计算过程与结果。
2025-2026学年北师大版数学九年级下册【示范课精品课件】
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
1.3 三角函数的计算
第一章 直角三角形的边角关系
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切值如下表：
锐角α 30° 45° 60°
sin α
cos α
tan α
三角
函数
问题: 如图，当登山缆车的吊箱经过点 A 到达点 B 时，它走过了 200 m.已知缆车行驶的路线与水平面的夹角为 ∠α = 16°，那么缆车垂直上升的距离是多少？（结果精确到 0.01 m ）
问题：如图，当登山缆车的吊箱经过点 A 到达点 B 时，它走过了 200 m.已知缆车行驶的路线与水平面的夹角为∠α = 16°，那么缆车垂直上升的距离是多少？(结果精确到 0.01 m)
在 Rt△ABC 中，∠ABC = 90°，
BC = ABsin∠α = 200sin16°
你知道 sin16° 是多少吗？
用计算器求三角函数值
1
sin
sin-1 D
cos
cos-1 E
tan
tan-1 F
用科学计算器求锐角的三角函数值，要用到以下按键：
例如，求 sin16° 的按键顺序：
sin
sin1
sin16
0.275 637 355 8
求 cos72°38′25″ 的按键顺序：
cos
cos7
cos72
cos72°
cos72°3
cos72°38
cos72°38′
cos72°38′2
cos72°38′25
cos72°38′25″
0.298 369 906 7
求 tan85° 的按键顺序：
tan
tan8
tan85
11.430 052 3
按键顺序 显示结果
sin16°
cos72°38′25″
tan85°
0.275 637 355 8
0.298 369 906 7
11.430 052 3
计算器的型号与功能可能不同，请按相应的说明书使用.
归纳总结
例1：用计算器求下列各式的值(精确到 0.0001 )：
(1) sin47°；　　　 (2) sin12°30′；
(3) cos25°18′；　　(4) sin18°＋cos55°－tan59°.
解：根据题意用计算器求出：
(1) sin47°≈0.7314；
(2) sin12°30′≈0.2164；
(3) cos25°18′≈0.9041；
(4) sin18°＋cos55°－tan59°≈－0.7817.
典例精析
回顾导入
BC = 200sin16°
当缆车继续由点 B 到达点 D 时，它又走过了200 m，缆车由点 B 到点 D 的行驶路线与水平面的夹角为∠β = 42 °，
由此你还能计算什么
≈55.12（米）
议一议
在 Rt△BDE 中，∠BED = 90°，
DE = BDsin∠β = 200sin42°
DE≈133.82（米）
E
为了方便行人推自行车过某天桥，市政府在 10 m 高的天桥两端修建了 40 m 长的斜道（如图）.这条斜道的倾斜角是多少？
在 Rt△ABC 中，sin∠A = .
那么 ∠A 是多少度呢？
利用计算器由三角函数值求角度
2
已知三角函数值求角度，要用到 键的第二功能“sin- ，cos- ，tan- ”和
键。
例如，已知 sinA = 0.9816，
求∠A 的度数的按键顺序.
sin-1
sin-10
sin-10.
sin-10.9
sin-10.98
sin-10.981
sin-10.9816
78.991 840 39
已知 cosB = 0.8607，
求∠B 的度数的按键顺序.
cos-1
cos-10
cos-10.
cos-10.8
cos-10.86
cos-10.860
cos-10.8607
30.604 730 07
已知 tanC = 56.78，
求∠C 的度数的按键顺序.
tan-1
tan-15
tan-156
tan-156.
tan-156.7
tan-156.78
88.991 020 49
按键顺序 显示结果
sinA=0.9816
cosB=0.8607
tanC=56.78
78.991 840 39
30.604 730 07
88.991 020 49
以“度”为单位
再按 键即可显示以“度、分、秒”为单位的结果.
归纳总结
你能求出∠A 的度数了吗
如图，在Rt△ABC中，sinA=
∴∠A
≈14.4775°.
cos55°=
cos70°=
cos74°28 '=
sin20°=
sin35°=
sin15°32 ' =
0.3420
0.3420
0.5736
0.5736
0.2678
0.2678
角度增大
正弦值增大
余弦值减小
比一比，你能得出什么结论？
拓展探究
tan3°8 ' =
tan80°25'43″=
5.930
0.0547
正切值增大
角度增大
正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）
余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）
正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）
归纳总结
1. 已知下列锐角三角函数值，用计算器求其相应的锐角：
(1) sinA=0.627 5，sinB＝0.6175；
(2) cosA＝0.625 2，cosB＝0.165 9；
(3) tanA＝4.842 8，tanB＝0.881 6.
∠B ≈ 38°8′2″
∠A ≈ 38°51′57″
∠A ≈ 51°18′11″
∠B ≈ 80°27′2″
∠A ≈ 78°19′58″
∠B ≈ 41°23′58″
2. sin70°，cos70°，tan70° 的大小关系是 ( 　)
A．tan70°＜cos70°＜sin70° B．cos70°＜tan70°＜sin70°
C．sin70°＜cos70°＜tan70° D．cos70°＜sin70°＜tan70°
解析：根据锐角三角函数的概念，知 sin70°＜1，cos70°＜1，tan70°＞1.又 cos70°＝sin20°，锐角的正弦值随着角的增大而增大，∴ sin70°＞sin20°＝cos70°.故选 D.
【方法总结】
当角度在 0° < ∠A < 90° 间变化时，
0 < sinA < 1，1 > cosA > 0.
当角度在 45° ＜ ∠A ＜ 90° 间变化时，tanA ＞1.
D
3. 如图所示，电视塔高 AB 为 610 米，远处有一栋大楼，某人在楼底 C 处测得塔顶 B 的仰角为45°，在楼顶 D 处测得塔顶 B 的仰角为39°.
(1)求大楼与电视塔之间的距离 AC；
(2)求大楼的高度 CD (精确到 1 米)．
(2) DE＝AC＝610，在 Rt△BDE 中，tan∠BDE＝ ，
∴BE＝DE·tan39°.
∴CD＝AB－DE·tan39°＝610－610×tan39°
≈116 (米)．
答：大楼的高度 CD 约为 116 米．
解析 (1) 利用 △ABC 是等腰直角三角形易得 AC 的长；
(2) 在 Rt△BDE 中，运用直角三角形的边角关系
即可求出 BE 的长，用 AB 的长减去 BE 的长度即可．
解： (1) 由题意得 ∠ACB ＝ 45°，∠A ＝ 90°，
∴ △ABC 是等腰直角三角形，∴AC＝AB＝ 610 (米)．
∵CD ＝ AE，
返回
D
1.
若用我们数学课本上采用的科学计算器计算sin 36°18′，按键顺序正确的是(　　)
返回
2.
C
计算tan 20°－cos 20°的值约是(精确到0.000 1)(　　)
A．－0.575 8　
B．0.575 8
C．－0.575 7　
D．0.575 7
返回
3.
B
[教材P14“随堂练习”第2题变式]已知tan A＝0.384，则锐角∠A的度数大约为(　　)
A．20°
B．21°
C．22°
D．23°
返回
4.
65.6°
返回
5.
23.4°
返回
6.
27
[教材P25“复习题”第10题变式]如图，在山坡上的A点测得塔底B的仰角∠BAC＝13°，塔顶D的仰角∠DAC＝38°，斜坡AB＝50 m，则宝塔BD的高约为________m(精确到1 m).
返回
7.
5.7°
[教材P15“习题1.4”第5题变式]一辆汽车沿着山坡行驶了100 m，其竖直高度上升了10 m，则该山坡与水平面所成的锐角约为________(结果精确到0.1°).
返回
8.
A
如图，一座厂房屋顶人字架的跨度AC＝12 m，上弦AB＝BC，∠BAC＝25°.若用科学计算器求上弦AB的长，则下列按键顺序正确的是(　　)
9.
(4分) 如图，某超市计划将门前的部分楼梯改造成无障碍通道．已知楼梯共有五级均匀分布的台阶，高AB＝0.75 m，斜坡AC的坡比为1∶2，将要铺设的通道前方有一井盖，井盖边缘离楼梯底部的最短距离ED＝2.55 m．为防止通道遮盖井盖，所铺设通道的坡角不得小于多少度？(结果精确到1°)
返回
三角函数的计算
用计算器求锐角的三角函数值或角的度数
不同的计算器操作步骤可能有所不同
利用计算器探索锐角三角函数的新知
正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；
余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；
正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）.
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！