1.4 解直角三角形 课件(共31张PPT)-2025-2026学年北师大版数学九年级下册教学课件

(共31张PPT)
第 1 页：封面页
标题：1.4 解直角三角形
副标题：北师大版九年级数学下册
配图：直角三角形与三角函数符号组合示意图
落款：授课教师 / 日期
第 2 页：学习目标
知识目标：掌握直角三角形中边、角之间的等量关系，理解解直角三角形的概念。
能力目标：能综合运用勾股定理、锐角三角函数及两锐角互余关系解直角三角形。
素养目标：渗透数形结合思想，提升几何直观与数学建模能力。
第 3 页：温故知新 情境导入
复习提问：在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C 的对边分别为 a、b、c，试写出三类等量关系：
两锐角关系：∠A + ∠B = 90°
三边关系（勾股定理）：a + b = c
边角关系（三角函数）：sinA=a/c、cosA=b/c、tanA=a/b
生活情境：测量树高时，已知测角仪距离树底 5m，测得树顶仰角 30°，如何求树高？（引出课题）
第 4 页：核心概念 解直角三角形
定义：由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形。
关键提醒：
已知元素需满足 “两个且至少一个是边”（仅知两角无法求解）。
未知元素包括剩余的边和角。
第 5 页：基本类型 分类解析
类型
已知条件
求解思路
类型一
一条边 + 一个锐角
1. 用 “两锐角互余” 求另一角；2. 选合适三角函数求未知边
类型二
两条边
1. 用勾股定理求第三边；2. 用三角函数求锐角
配图：两类已知条件对应的直角三角形图示
第 6 页：典例精讲 类型一（已知一边一角）
例题：在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A=50°，AB=3，求∠B、a、b（边长精确到 0.1）。
解答步骤：
求∠B：∠B = 90° - 50° = 40°
求 a（∠A 的对边）：由 sinA=a/AB 得，a=3×sin50°≈2.3
求 b（∠A 的邻边）：由 cosA=b/AB 得，b=3×cos50°≈1.9
方法小结：已知斜边和锐角，优先用正弦、余弦求解边长。
第 7 页：典例精讲 类型二（已知两边）
例题：Rt△ABC 中，∠C=90°，a=3，b=4，求∠A、∠B、c。
解答步骤：
求 c：c=√(3 +4 )=5
求∠A：tanA=3/4，∠A≈36.9°
求∠B：∠B=90°-36.9°=53.1°
方法小结：已知两直角边，先勾股求斜边，再用正切求锐角。
第 8 页：实际应用 坡屋顶问题
问题：平顶屋面宽 BC=10m，坡屋顶高度 AD=3.5m（AD⊥BC），求斜面 AB 长度及坡角∠B（精确到 0.1m、1°）。
建模分析：Rt△ABD 中，BD=5m，AD=3.5m
求解：AB=√(5 +3.5 )≈6.1m；tanB=3.5/5=0.7，∠B≈35°
思想提炼：将实际图形转化为直角三角形模型求解。
第 9 页：易错警示与方法技巧
易错点：
三角函数定义混淆（对边、邻边判断错误）。
计算器角度模式设置错误（度 / 弧度）。
技巧口诀：“有斜用弦，无斜用切；宁乘勿除，取原避中”。
第 10 页：课堂小结与作业布置
小结：
解直角三角形的核心：运用边、角关系转化未知量。
两类基本题型及求解流程。
数形结合与建模思想的应用。
作业：
教材习题 1.4 第 1、3、5 题（基础巩固）。
测量家中阳台护栏的倾斜角及高度（实践探究）。
2025-2026学年北师大版数学九年级下册【示范课精品课件】
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
1.4 解直角三角形
第一章 直角三角形的边角关系
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
A
C
B
c
b
a
(1) 三边之间的关系：a2 + b2 = _____；
(2) 锐角之间的关系：∠A+∠B=_____；
(3)边角之间的关系：sinA=_____，cosA=_____，
tanA=_____，sinB=_____，cosB=_____，tanB=____.
在 Rt△ABC 中，共有六个元素(三条边，三个角)，其中∠C = 90°，那么其余五个元素之间有怎样的关系呢？
c2
90°
问题 直角三角形中，除直角外，至少需要几个元素就可以求出其它元素
A
C
B
c
b
a
探究1 如果已知 Rt△ABC 中两边的长，你能求出这个三角形其他的元素吗？
已知两边解直角三角形
1
A
C
B
c
b
a
例1 如图，在 Rt△ABC 中，∠C ＝ 90°，∠A，∠B，∠C 所对的边分别为 a，b，c，且 ，求这个直角三角形的其他元素.
解：在 Rt△ABC 中，a2 + b2 = c2， ， .
A
B
C
在 Rt△ABC 中，
典例精析
则∠B = 30°，∠A=60°.
1.在如图的 Rt△ABC 中，根据 AC ＝ 2.4，斜边 AB＝ 6，你能求出这个直角三角形的其他元素吗？
A
B
C
6
2.4
解：
练一练
由直角三角形中已知的元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形．
归纳总结
探究2 如果已知 Rt△ABC 中一边和一锐角，你能求出这个三角形其他的元素吗？
已知一边及一锐角解直角三角形
2
A
C
B
c
b
a
例2 如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C 所对的边分别为 a，b，c，且 b = 30，∠B＝ 25°，求这个直角三角形的其他元素(边长精确到1).
A
B
C
b
30
c
a
25°
解：
在Rt △ABC 中，∠C = 90°，∠B = 25°，
∴∠A = 65°.
2. 在图中的 Rt△ABC 中，根据 ∠A＝75°，斜边 AB＝6，你能求出这个直角三角形的其他元素吗？
A
B
C
6
75°
）
解：
练一练
在Rt△ABC中，如果已知∠A = 60°，∠B = 30°，你能求出这个三角形的其他元素吗？
两角
不能
两边
一角一边
合作探究
事实上，在直角三角形的六个元素中，除直角外，如果再知道两个元素（其中至少有一个是边），这个三角形就可以确定下来，这样就可以由已知的两个元素求出其余的三个元素．
A
B
a
b
c
C
归纳总结
构造直角三角形解决问题
3
解：过点 A 作 AD⊥BC 于点 D.
例3 如图，在△ABC 中，∠B = 30°，∠C = 45°，
AC = 2，求 BC 的长.
D
A
B
C
在△ACD 中，∠C = 45°，AC = 2，
∴ CD = AD = sinC · AC = 2sin45° = .
∴ BC = CD + BD =
∴ BD =
在△ABD 中，∠B = 30°，
3. 如图，某人想沿着梯子爬上高 4 米的房顶，梯子的倾斜角（梯子与地面的夹角）不能大于 60°，否则就有危险，那么梯子的长至少为多少米
解：如图所示，依题意可知，当 ∠B = 60° 时，
答：梯子的长至少 4.62 米.
C
A
B
练一练
1. 如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，∠B = 30°，
AB = 8，则 BC 的长是（　　）
D
2. 在 △ABC 中，AB = AC = 3，BC = 4，则 cosB 的值是_________.
A
C
B

3. 如图，已知 Rt△ABC 中，斜边 BC 上的高AD = 3，cosB = ，则 AC 的长为（　　）
A．3 B．3.75
C．4.8 D．5
B
4. 如图，在 Rt△ABC 中，∠C ＝ 90°，AC = 6， ∠BAC 的平分线 ，解这个直角三角形.
D
A
B
C
6
解：
∵AD 平分 ∠BAC，
∴∠CAB = 60°，∠B = 30°.
返回
C
1.
如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝4，欲求∠A的度数，最适宜的做法是(　　)
A．根据tan A的值求出∠A
B．根据sin A的值求出∠A
C．根据cos A的值求出∠A
D．根据sin B的值求出∠B，再利用90°－∠B求出∠A
返回
2.
C
返回
3.
30°
10
返回
4.
返回
5.
A
在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝α，BC＝2，那么AB的长等于(　　)
返回
6.
A
返回
7.
A
返回
8.
D
[2024自贡中考] 如图，等边三角形ABC钢架的立柱CD⊥AB于点D，AB长12 m．现将钢架立柱缩短成DE，∠BED＝60°，则新钢架减少用钢(含立柱)(　　)
9.
(8分)(1)在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC ＝3，∠B＝45°，求AB和AC的长；
返回
返回
10.
B
解直角三角形
依据
解法：只要知道五个元素中的两个元素（至少有一个是边），就可以求出余下的三个未知元素.
勾股定理
两锐角互余
锐角的三角函数
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！