1.5 三角函数的应用 课件(共35张PPT)-2025-2026学年北师大版数学九年级下册教学课件
文档属性
| 名称 | 1.5 三角函数的应用 课件(共35张PPT)-2025-2026学年北师大版数学九年级下册教学课件 |
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| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 10.8MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-11-18 05:54:12 | ||
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文档简介
(共35张PPT)
第 1 页：封面页
标题：1.5 三角函数的应用
副标题：北师大版九年级数学下册
配图：包含仰角、俯角、坡角的生活场景示意图（如高楼测量、山坡修路）
落款：授课教师 / 日期
第 2 页：学习目标
知识目标：理解仰角、俯角、坡角、坡度的概念，掌握三角函数在实际测量、工程问题中的应用方法。
能力目标：能将实际问题转化为直角三角形模型，运用三角函数求解未知量，提升数学建模与运算能力。
素养目标：感受数学与生活的紧密联系，培养应用数学解决实际问题的意识，渗透转化与数形结合思想。
第 3 页：概念辨析 关键术语
核心概念（结合图示讲解）：
仰角：从低处观测高处目标时，视线与水平线所成的锐角（如测量树顶、山顶）。
俯角：从高处观测低处目标时，视线与水平线所成的锐角（如从楼顶看地面标志物）。
坡角：斜坡与水平面的夹角（用 α 表示）。
坡度（坡比）：斜坡的垂直高度与水平宽度的比（i=h/l=tanα，通常写成 1:m 的形式）。
易错提醒：仰角与俯角均为视线与水平线的夹角，而非与铅垂线的夹角。
第 4 页：情境导入 问题初探
生活问题：小明站在距离大楼底部 20m 的平地上，用测角仪测得大楼顶部的仰角为 60°，已知测角仪高度为 1.5m，求大楼的高度（结果保留根号）。
思考引导：
如何将该问题转化为直角三角形问题？
已知条件（20m、60°、1.5m）分别对应直角三角形的哪些元素？
过渡：带着这些问题，我们学习三角函数在实际中的具体应用。
第 5 页：类型一 仰角与俯角问题（测高度 / 距离）
例题：如图，为测量某山的高度 AB，在山底 C 处测得山顶 A 的仰角为 45°，沿坡度 i=1:√3 的斜坡 CD 向上走 100m 到达 D 处，在 D 处测得山顶 A 的仰角为 30°，求山高 AB（结果保留根号）。
解题步骤：
构建模型：过 D 作 DE⊥AB 于 E，DF⊥BC 于 F，形成 Rt△CDF、Rt△ADE、Rt△ABC。
求 DF 与 CF：由坡度 i=1:√3 得∠DCF=30°，DF=100×sin30°=50m，CF=100×cos30°=50√3 m。
设未知数列方程：设 AE=x，在 Rt△ADE 中，DE=AE/tan30°=√3 x；在 Rt△ABC 中，AB=BC，即 x+50=√3 x + 50√3，解得 x=50，故 AB=50+50=100m。
方法小结：遇仰角俯角问题，常作 “水平辅助线” 构建直角三角形，利用公共边或相等线段建立方程。
第 6 页：类型二 坡角与坡度问题（工程设计）
例题：某水利工程需要修建斜坡渠道，斜坡的坡度 i=1:2.4，渠道水平宽度为 12m，求斜坡的长度及坡角（精确到 0.1m、1°）。
解题步骤：
求垂直高度：由坡度 i=h/l=1/2.4，得 h=12×(1/2.4)=5m。
求斜坡长度：斜坡长度为√(12 +5 )=13.0m。
求坡角：tanα=5/12≈0.4167，α≈22.6°。
方法小结：坡度是垂直高度与水平宽度的比，对应直角三角形的对边与邻边，可结合勾股定理与三角函数求解。
第 7 页：类型三 方位角问题（确定位置）
例题：如图，一艘轮船从 A 港出发，沿北偏东 30° 方向航行至 B 港，再沿南偏东 60° 方向航行至 C 港，若 A 港到 B 港的距离为 20nmile，B 港到 C 港的距离为 10√3 nmile，求 A 港到 C 港的距离（结果保留根号）。
解题步骤：
分析方位角：由题意得∠ABC=30°+60°=90°，△ABC 为直角三角形。
求 AC 长度：AC=√(AB +BC )=√(20 +(10√3) )=√(400+300)=√700=10√7 nmile。
方法小结：方位角问题需先根据方向描述确定三角形内角，判断是否为直角三角形，再选择合适方法求解。
第 8 页：解题流程 通用模板
审题意：明确已知条件（角度、长度）与所求问题，标注关键术语（仰角、坡度等）。
画图形：根据题意画出示意图，构建直角三角形（若非直角三角形，通过作辅助线转化）。
标元素：在图中标注已知边、角及未知量，明确直角三角形的边角对应关系。
选公式：根据已知元素类型，选择勾股定理或三角函数（sin、cos、tan）列方程。
算结果：代入数据计算，注意单位统一与结果精度要求（如保留根号、精确到指定位数）。
验答案：检查计算过程是否正确，结果是否符合实际情境（如长度为正、角度在 0°-90° 之间）。
第 9 页：易错警示与拓展延伸
易错点：
混淆方位角描述（如 “北偏东” 与 “东偏北”）。
忽略测角仪高度、堤坝顶部宽度等实际细节，导致模型构建错误。
计算时未统一单位（如米与千米、海里与公里）。
拓展延伸：当实际问题涉及非直角三角形时，可通过作高将其分割为两个直角三角形，再分别求解（如测量不可到达的两点距离）。
第 10 页：课堂小结与作业布置
小结：
三类实际问题（仰角俯角、坡角坡度、方位角）的模型构建方法。
三角函数应用的核心：“转化实际问题为直角三角形问题”。
解题流程：审 — 画 — 标 — 选 — 算 — 验。
作业：
教材习题 1.5 第 2、4、6 题（基础巩固）。
实践任务：用测角仪（或自制工具）测量学校旗杆高度，记录测量数据并计算（写出完整解题过程）。
2025-2026学年北师大版数学九年级下册【示范课精品课件】
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
1.5 三角函数的应用
第一章 直角三角形的边角关系
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
我们已经知道轮船在海中航行时，可以用方位角准确描述它的航行方向.
那你知道如何结合方位角等数据进行计算，帮助轮船在航行中远离危险吗？
引例 如图，海中有一个小岛 A，该岛四周 10 n mile 内有暗礁.今有货轮由西向东航行，开始在 A 岛南偏西 55° 的 B 处，往东行驶 20 n mile 后到达该岛的南偏西 25° 的 C 处. 之后，货轮继续向东航行. 货轮继续航行会有触礁的危险吗？
B
A
C
60°
D
【分析】这船继续向东航行是否安全，取决于灯塔 C 到 AB 航线的距离是否大于 10 n mile.
北
东
与方位角有关的实际问题
1
解：由点 A 作 AD⊥BC 于点 D，
设 AD = x ，
则在 Rt△ABD 中，
在 Rt△ACD 中，
解得
所以，这船继续向东航行是安全的.
B
A
C
D
25°
55°
北
东
由 BC = BD - CD，得
链接中考
1. [贺州中考]如图，在 A 处的正东方向有一港口B. 某巡逻艇从 A 处沿着北偏东 60° 方向巡逻，到达 C 处时接到命令，立刻在 C 处沿东南方向以 20 n mile/h 的速度行驶 3 h 到达港口 B. 求 A，B 间的距离.
（ ，结果精确到 0.1 n mile ）
北
东
A
B
C
60°
解：如图所示，过点 C 作 CD⊥AB，垂足为 D，则∠ACD = 60°，∠BCD = 45°.
在Rt△BCD 中，
D
D
在Rt△ACD 中，
即 A，B 间的距离约为 114.7 n mile.
北
东
A
B
C
60°
利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：
实际问题
画出平面图形
生活问题数学化
数学问题
（作辅助线，构造直角三角形）
设未知量
建立方程
（构造三角函数模型）
（代入数据求解）
求解方程
解答问题
归纳总结
仰角和俯角问题
2
如图，小明想测量塔 CD 的高度. 他在 A 处仰望塔顶，测得仰角为 30°，再往塔的方向前进 50 m 至 B 处.测得仰角为 60°，那么该塔有多高
（小明的身高忽略不计，结果精确到 1 m ）
想一想
解：如图∠DAC = 30°，∠DBC = 60°，AB = 50 m，设塔高 DC = x m.
Rt△ADC 中， .
Rt△BDC 中， .
∴ x = ≈43 ( m ).
∴ AB = AC－BC = .
30°
60°
50 m
如图，在进行测量时，从下往上看，视线与水平线上方的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线下方的夹角叫做俯角.
知识要点
2.[内江中考]如图，有两座建筑物 DA 与 CB，其中 CB的高为 120 m，从 DA 的顶点 A 测得 CB 顶部 B 的仰角为 30°，测得其底部 C 的俯角为 45°，这两座建筑物
的地面距离 DC 为多少米？（结果保留根号）
E
解：如图所示，过点 A 作 AE⊥BC，垂足为 E.
则四边形 ADCE 为矩形，∴ AE = DC.
设 BE = x .
在Rt△ABE中，∠BAE = 30°，
链接中考
答：这两座建筑物的地面距离
DC 为 .
E
利用坡角解决实际问题
3
某商场准备改善原有楼梯的安全性能，把倾斜角由 40° 减至 35°，已知原楼梯长为 4 m，调整后的楼梯会加长多少？楼梯多占多长一段地面？(结果精确到 0.01 m).
A
D
C
B
40°
35°
4 m
？
A
D
C
B
40
35
4 m
？
解：如图∠ACD = 40°，∠ABD = 35°，AC = 4m.
Rt△ACD 中，
∴ AD = 4sin40°.
A
B
C
坡角
铅直高度h
水平宽度l
α
坡度或坡比
坡角越大，斜坡越陡
坡度越大，斜坡越陡
知识要点
链接中考
3. [十堰中考]如图，拦水坝的横断面为梯形 ABCD ，AD = 3 m，坝高 AE = DF = 6 m，坡角∠α = 45°，
∠β = 30°，求 BC 的长.
解：∵AD∥BC，且 AE⊥BC，DF⊥BC，
∴四边形 AEFD 是矩形.
∴AE = DF = 6m，AD = EF = 3m.
∵∠α = 45°，∠β = 30°，
∴BE = AE = 6m，
利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：
（1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转
化为解直角三角形的问题）；
（2）根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解
直角三角形；
（3）得到数学问题的答案；
（4）得到实际问题的答案．
1. 课外活动小组测量学校旗杆的高度. 当太阳光线与
地面成 30° 角时，测得旗杆在地面上的影长为 24
米，那么旗杆的高度约是 ( )
A. 12 米 B. 米 C. 24 米 D. 米
B
2. 如图，C 岛在 A 岛的北偏东 50° 方向，C 岛在 B 岛
的北偏西 40° 方向，则从 C 岛
看 A，B 两岛的视角∠ACB 等于 °．
90
3. 如图，为测量松树 AB 的高度，一个人站在距松树
15 米的 E 处，测得仰角∠ACD = 52°，已知人的高
度是 1.72 米，则树高 (精确到 0.1 米).
A
D
B
E
C
20.9 米
4. 如图，一艘海轮位于灯塔 P 的北偏东65° 方向，距离灯塔 80 海里的 A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔 P 的南偏东 34° 方向上的 B处，这时，海轮所在的 B 处距离灯塔 P 有多远（精确到0.01海里）？
65°
34°
P
B
C
A
解：如图 ，在 Rt△APC 中，
PC ＝ PA·cos（90°－65°）
＝80×cos25°
≈ 80×0.91
= 72.8
在Rt△BPC 中，∠B＝34°
当海轮到达位于灯塔 P 的南偏东 34° 方向时，它距离灯塔 P 大约 130.19 海里．
65°
34°
P
B
C
A
45°
30°
O
B
A
200 米
5. 如图，直升飞机悬停在高为 200 米的大楼 AB 上方 P
点处，从大楼的顶部和底部测得飞机的仰角为 30° 和
45°，求飞机的高度 PO.
P
解：如图，过点 P 作 PC⊥BA 交 BA 的延长线于点 C.
C
则∠PBO =∠CPB = 45°，∠CPA = 30°．
∴ PC = BC = 200 + AC，tan30° =
∴ AC = 米．∴ PO = BC = 米.
6. 一段路基的横断面是梯形，高为 4 米，上底的宽是 12 米，路基的坡面与地面的倾角分别是 45° 和 30°，求路基下底的宽 ( 精确到 0.1， ).
45°
30°
4米
12米
A
B
C
D
在 Rt△BCF 中，同理可得
因此 AB ＝ AE＋EF＋BF=4＋12＋6.93 ≈ 22.93（米）．
解：作 DE⊥AB，CF⊥AB，垂足分别为 E、F．
由题意可知 DE＝CF＝4(米)，
CD＝EF＝12(米)．
在 Rt△ADE 中，
45°
30°
4米
12米
A
B
C
E
F
D
答： 路基下底的宽约为 22.93 米．
返回
D
1.
如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东37°方向，距离灯塔35 n mile的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的正东方向上的B处，这时，B处与灯塔P的距离PB的长可以表示为( )
A．35 n mile
B．35cos 37° n mile
C．35tan 37° n mile
D．35sin 37° n mile
返回
2.
[教材P19”想一想 “变式]如图，海中有一个小岛A，一艘轮船由西向东航行，它在B处测得小岛A在北偏东60°方向上，航行20 n mile到达C处，这时测得小岛A在北偏东30°方向上，则小岛A到航线BC的距离为____________.
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3.
82.0
如图，小明在家里楼顶上的点A处，测量建在与小明家楼房同一水平线上相邻的电梯楼的高，在点A处看电梯楼顶部点B处的仰角为60°，在点A处看电梯楼底部点C处的俯角为45°，两栋楼之间的距离为30 m，则电梯楼的高BC约为________m．
4.
(4分)如图，小明家在公寓楼AB中，小区中新修了高为19 m的活动中心楼CD，小明测得公寓楼与活动中心楼的距离AC为50 m，站在点M处测得活动中心楼CD的顶端D的仰角为42°，公寓楼AB的顶端B的仰角为53°，小明的观测点N距地面1 m．求公寓楼AB的高度．(结果精确到0.1 m，参考数据：sin 42°≈0.67，
cos 42°≈0.74，tan 42°≈0.90，sin 53°≈0.80，
cos 53°≈0.60，tan 53°≈1.33)
返回
5.
[教材P20“随堂练习”第2题变式] 如图，某市在建高速路的某段路基的横断面为梯形ABCD，DC∥AB，斜坡AD长为8 m，坡角α为30°，斜坡BC的坡角β为45°，则斜坡BC的长为________.
返回
返回
6.
30°
8
返回
7.
[2025西安交大附中期中]如图，小红想利用所学知识来测量小雁塔的高度，已知测角仪和塔底A在同一水平面，她先在C处测得塔顶B的仰角为57°，然后沿直线AC向远离塔的方向前进24 m到达D处，在D处测得塔顶B的仰角为40°，则小雁塔的高度约为________．(结果精确到1 m．参考数据：sin 40°≈0.64，cos 40°≈0.77，tan 40°≈0.84，sin 57°≈0.84，cos 57°≈0.54，tan 57°≈1.54)
44 m
返回
8.
如图，斜坡CD的坡度i＝1∶2，在斜坡上有一棵垂直于水平面的大树AB，当太阳光与水平面的夹角为60°时，大树在斜坡上的影子BE长为10 m，则大树AB的高为______________m.
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！
第 1 页：封面页
标题：1.5 三角函数的应用
副标题：北师大版九年级数学下册
配图：包含仰角、俯角、坡角的生活场景示意图（如高楼测量、山坡修路）
落款：授课教师 / 日期
第 2 页：学习目标
知识目标：理解仰角、俯角、坡角、坡度的概念，掌握三角函数在实际测量、工程问题中的应用方法。
能力目标：能将实际问题转化为直角三角形模型，运用三角函数求解未知量，提升数学建模与运算能力。
素养目标：感受数学与生活的紧密联系，培养应用数学解决实际问题的意识，渗透转化与数形结合思想。
第 3 页：概念辨析 关键术语
核心概念（结合图示讲解）：
仰角：从低处观测高处目标时，视线与水平线所成的锐角（如测量树顶、山顶）。
俯角：从高处观测低处目标时，视线与水平线所成的锐角（如从楼顶看地面标志物）。
坡角：斜坡与水平面的夹角（用 α 表示）。
坡度（坡比）：斜坡的垂直高度与水平宽度的比（i=h/l=tanα，通常写成 1:m 的形式）。
易错提醒：仰角与俯角均为视线与水平线的夹角，而非与铅垂线的夹角。
第 4 页：情境导入 问题初探
生活问题：小明站在距离大楼底部 20m 的平地上，用测角仪测得大楼顶部的仰角为 60°，已知测角仪高度为 1.5m，求大楼的高度（结果保留根号）。
思考引导：
如何将该问题转化为直角三角形问题？
已知条件（20m、60°、1.5m）分别对应直角三角形的哪些元素？
过渡：带着这些问题，我们学习三角函数在实际中的具体应用。
第 5 页：类型一 仰角与俯角问题（测高度 / 距离）
例题：如图，为测量某山的高度 AB，在山底 C 处测得山顶 A 的仰角为 45°，沿坡度 i=1:√3 的斜坡 CD 向上走 100m 到达 D 处，在 D 处测得山顶 A 的仰角为 30°，求山高 AB（结果保留根号）。
解题步骤：
构建模型：过 D 作 DE⊥AB 于 E，DF⊥BC 于 F，形成 Rt△CDF、Rt△ADE、Rt△ABC。
求 DF 与 CF：由坡度 i=1:√3 得∠DCF=30°，DF=100×sin30°=50m，CF=100×cos30°=50√3 m。
设未知数列方程：设 AE=x，在 Rt△ADE 中，DE=AE/tan30°=√3 x；在 Rt△ABC 中，AB=BC，即 x+50=√3 x + 50√3，解得 x=50，故 AB=50+50=100m。
方法小结：遇仰角俯角问题，常作 “水平辅助线” 构建直角三角形，利用公共边或相等线段建立方程。
第 6 页：类型二 坡角与坡度问题（工程设计）
例题：某水利工程需要修建斜坡渠道，斜坡的坡度 i=1:2.4，渠道水平宽度为 12m，求斜坡的长度及坡角（精确到 0.1m、1°）。
解题步骤：
求垂直高度：由坡度 i=h/l=1/2.4，得 h=12×(1/2.4)=5m。
求斜坡长度：斜坡长度为√(12 +5 )=13.0m。
求坡角：tanα=5/12≈0.4167，α≈22.6°。
方法小结：坡度是垂直高度与水平宽度的比，对应直角三角形的对边与邻边，可结合勾股定理与三角函数求解。
第 7 页：类型三 方位角问题（确定位置）
例题：如图，一艘轮船从 A 港出发，沿北偏东 30° 方向航行至 B 港，再沿南偏东 60° 方向航行至 C 港，若 A 港到 B 港的距离为 20nmile，B 港到 C 港的距离为 10√3 nmile，求 A 港到 C 港的距离（结果保留根号）。
解题步骤：
分析方位角：由题意得∠ABC=30°+60°=90°，△ABC 为直角三角形。
求 AC 长度：AC=√(AB +BC )=√(20 +(10√3) )=√(400+300)=√700=10√7 nmile。
方法小结：方位角问题需先根据方向描述确定三角形内角，判断是否为直角三角形，再选择合适方法求解。
第 8 页：解题流程 通用模板
审题意：明确已知条件（角度、长度）与所求问题，标注关键术语（仰角、坡度等）。
画图形：根据题意画出示意图，构建直角三角形（若非直角三角形，通过作辅助线转化）。
标元素：在图中标注已知边、角及未知量，明确直角三角形的边角对应关系。
选公式：根据已知元素类型，选择勾股定理或三角函数（sin、cos、tan）列方程。
算结果：代入数据计算，注意单位统一与结果精度要求（如保留根号、精确到指定位数）。
验答案：检查计算过程是否正确，结果是否符合实际情境（如长度为正、角度在 0°-90° 之间）。
第 9 页：易错警示与拓展延伸
易错点：
混淆方位角描述（如 “北偏东” 与 “东偏北”）。
忽略测角仪高度、堤坝顶部宽度等实际细节，导致模型构建错误。
计算时未统一单位（如米与千米、海里与公里）。
拓展延伸：当实际问题涉及非直角三角形时，可通过作高将其分割为两个直角三角形，再分别求解（如测量不可到达的两点距离）。
第 10 页：课堂小结与作业布置
小结：
三类实际问题（仰角俯角、坡角坡度、方位角）的模型构建方法。
三角函数应用的核心：“转化实际问题为直角三角形问题”。
解题流程：审 — 画 — 标 — 选 — 算 — 验。
作业：
教材习题 1.5 第 2、4、6 题（基础巩固）。
实践任务：用测角仪（或自制工具）测量学校旗杆高度，记录测量数据并计算（写出完整解题过程）。
2025-2026学年北师大版数学九年级下册【示范课精品课件】
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1.5 三角函数的应用
第一章 直角三角形的边角关系
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
我们已经知道轮船在海中航行时，可以用方位角准确描述它的航行方向.
那你知道如何结合方位角等数据进行计算，帮助轮船在航行中远离危险吗？
引例 如图，海中有一个小岛 A，该岛四周 10 n mile 内有暗礁.今有货轮由西向东航行，开始在 A 岛南偏西 55° 的 B 处，往东行驶 20 n mile 后到达该岛的南偏西 25° 的 C 处. 之后，货轮继续向东航行. 货轮继续航行会有触礁的危险吗？
B
A
C
60°
D
【分析】这船继续向东航行是否安全，取决于灯塔 C 到 AB 航线的距离是否大于 10 n mile.
北
东
与方位角有关的实际问题
1
解：由点 A 作 AD⊥BC 于点 D，
设 AD = x ，
则在 Rt△ABD 中，
在 Rt△ACD 中，
解得
所以，这船继续向东航行是安全的.
B
A
C
D
25°
55°
北
东
由 BC = BD - CD，得
链接中考
1. [贺州中考]如图，在 A 处的正东方向有一港口B. 某巡逻艇从 A 处沿着北偏东 60° 方向巡逻，到达 C 处时接到命令，立刻在 C 处沿东南方向以 20 n mile/h 的速度行驶 3 h 到达港口 B. 求 A，B 间的距离.
（ ，结果精确到 0.1 n mile ）
北
东
A
B
C
60°
解：如图所示，过点 C 作 CD⊥AB，垂足为 D，则∠ACD = 60°，∠BCD = 45°.
在Rt△BCD 中，
D
D
在Rt△ACD 中，
即 A，B 间的距离约为 114.7 n mile.
北
东
A
B
C
60°
利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：
实际问题
画出平面图形
生活问题数学化
数学问题
（作辅助线，构造直角三角形）
设未知量
建立方程
（构造三角函数模型）
（代入数据求解）
求解方程
解答问题
归纳总结
仰角和俯角问题
2
如图，小明想测量塔 CD 的高度. 他在 A 处仰望塔顶，测得仰角为 30°，再往塔的方向前进 50 m 至 B 处.测得仰角为 60°，那么该塔有多高
（小明的身高忽略不计，结果精确到 1 m ）
想一想
解：如图∠DAC = 30°，∠DBC = 60°，AB = 50 m，设塔高 DC = x m.
Rt△ADC 中， .
Rt△BDC 中， .
∴ x = ≈43 ( m ).
∴ AB = AC－BC = .
30°
60°
50 m
如图，在进行测量时，从下往上看，视线与水平线上方的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线下方的夹角叫做俯角.
知识要点
2.[内江中考]如图，有两座建筑物 DA 与 CB，其中 CB的高为 120 m，从 DA 的顶点 A 测得 CB 顶部 B 的仰角为 30°，测得其底部 C 的俯角为 45°，这两座建筑物
的地面距离 DC 为多少米？（结果保留根号）
E
解：如图所示，过点 A 作 AE⊥BC，垂足为 E.
则四边形 ADCE 为矩形，∴ AE = DC.
设 BE = x .
在Rt△ABE中，∠BAE = 30°，
链接中考
答：这两座建筑物的地面距离
DC 为 .
E
利用坡角解决实际问题
3
某商场准备改善原有楼梯的安全性能，把倾斜角由 40° 减至 35°，已知原楼梯长为 4 m，调整后的楼梯会加长多少？楼梯多占多长一段地面？(结果精确到 0.01 m).
A
D
C
B
40°
35°
4 m
？
A
D
C
B
40
35
4 m
？
解：如图∠ACD = 40°，∠ABD = 35°，AC = 4m.
Rt△ACD 中，
∴ AD = 4sin40°.
A
B
C
坡角
铅直高度h
水平宽度l
α
坡度或坡比
坡角越大，斜坡越陡
坡度越大，斜坡越陡
知识要点
链接中考
3. [十堰中考]如图，拦水坝的横断面为梯形 ABCD ，AD = 3 m，坝高 AE = DF = 6 m，坡角∠α = 45°，
∠β = 30°，求 BC 的长.
解：∵AD∥BC，且 AE⊥BC，DF⊥BC，
∴四边形 AEFD 是矩形.
∴AE = DF = 6m，AD = EF = 3m.
∵∠α = 45°，∠β = 30°，
∴BE = AE = 6m，
利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：
（1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转
化为解直角三角形的问题）；
（2）根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解
直角三角形；
（3）得到数学问题的答案；
（4）得到实际问题的答案．
1. 课外活动小组测量学校旗杆的高度. 当太阳光线与
地面成 30° 角时，测得旗杆在地面上的影长为 24
米，那么旗杆的高度约是 ( )
A. 12 米 B. 米 C. 24 米 D. 米
B
2. 如图，C 岛在 A 岛的北偏东 50° 方向，C 岛在 B 岛
的北偏西 40° 方向，则从 C 岛
看 A，B 两岛的视角∠ACB 等于 °．
90
3. 如图，为测量松树 AB 的高度，一个人站在距松树
15 米的 E 处，测得仰角∠ACD = 52°，已知人的高
度是 1.72 米，则树高 (精确到 0.1 米).
A
D
B
E
C
20.9 米
4. 如图，一艘海轮位于灯塔 P 的北偏东65° 方向，距离灯塔 80 海里的 A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔 P 的南偏东 34° 方向上的 B处，这时，海轮所在的 B 处距离灯塔 P 有多远（精确到0.01海里）？
65°
34°
P
B
C
A
解：如图 ，在 Rt△APC 中，
PC ＝ PA·cos（90°－65°）
＝80×cos25°
≈ 80×0.91
= 72.8
在Rt△BPC 中，∠B＝34°
当海轮到达位于灯塔 P 的南偏东 34° 方向时，它距离灯塔 P 大约 130.19 海里．
65°
34°
P
B
C
A
45°
30°
O
B
A
200 米
5. 如图，直升飞机悬停在高为 200 米的大楼 AB 上方 P
点处，从大楼的顶部和底部测得飞机的仰角为 30° 和
45°，求飞机的高度 PO.
P
解：如图，过点 P 作 PC⊥BA 交 BA 的延长线于点 C.
C
则∠PBO =∠CPB = 45°，∠CPA = 30°．
∴ PC = BC = 200 + AC，tan30° =
∴ AC = 米．∴ PO = BC = 米.
6. 一段路基的横断面是梯形，高为 4 米，上底的宽是 12 米，路基的坡面与地面的倾角分别是 45° 和 30°，求路基下底的宽 ( 精确到 0.1， ).
45°
30°
4米
12米
A
B
C
D
在 Rt△BCF 中，同理可得
因此 AB ＝ AE＋EF＋BF=4＋12＋6.93 ≈ 22.93（米）．
解：作 DE⊥AB，CF⊥AB，垂足分别为 E、F．
由题意可知 DE＝CF＝4(米)，
CD＝EF＝12(米)．
在 Rt△ADE 中，
45°
30°
4米
12米
A
B
C
E
F
D
答： 路基下底的宽约为 22.93 米．
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D
1.
如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东37°方向，距离灯塔35 n mile的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的正东方向上的B处，这时，B处与灯塔P的距离PB的长可以表示为( )
A．35 n mile
B．35cos 37° n mile
C．35tan 37° n mile
D．35sin 37° n mile
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2.
[教材P19”想一想 “变式]如图，海中有一个小岛A，一艘轮船由西向东航行，它在B处测得小岛A在北偏东60°方向上，航行20 n mile到达C处，这时测得小岛A在北偏东30°方向上，则小岛A到航线BC的距离为____________.
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3.
82.0
如图，小明在家里楼顶上的点A处，测量建在与小明家楼房同一水平线上相邻的电梯楼的高，在点A处看电梯楼顶部点B处的仰角为60°，在点A处看电梯楼底部点C处的俯角为45°，两栋楼之间的距离为30 m，则电梯楼的高BC约为________m．
4.
(4分)如图，小明家在公寓楼AB中，小区中新修了高为19 m的活动中心楼CD，小明测得公寓楼与活动中心楼的距离AC为50 m，站在点M处测得活动中心楼CD的顶端D的仰角为42°，公寓楼AB的顶端B的仰角为53°，小明的观测点N距地面1 m．求公寓楼AB的高度．(结果精确到0.1 m，参考数据：sin 42°≈0.67，
cos 42°≈0.74，tan 42°≈0.90，sin 53°≈0.80，
cos 53°≈0.60，tan 53°≈1.33)
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5.
[教材P20“随堂练习”第2题变式] 如图，某市在建高速路的某段路基的横断面为梯形ABCD，DC∥AB，斜坡AD长为8 m，坡角α为30°，斜坡BC的坡角β为45°，则斜坡BC的长为________.
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6.
30°
8
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7.
[2025西安交大附中期中]如图，小红想利用所学知识来测量小雁塔的高度，已知测角仪和塔底A在同一水平面，她先在C处测得塔顶B的仰角为57°，然后沿直线AC向远离塔的方向前进24 m到达D处，在D处测得塔顶B的仰角为40°，则小雁塔的高度约为________．(结果精确到1 m．参考数据：sin 40°≈0.64，cos 40°≈0.77，tan 40°≈0.84，sin 57°≈0.84，cos 57°≈0.54，tan 57°≈1.54)
44 m
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8.
如图，斜坡CD的坡度i＝1∶2，在斜坡上有一棵垂直于水平面的大树AB，当太阳光与水平面的夹角为60°时，大树在斜坡上的影子BE长为10 m，则大树AB的高为______________m.
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
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