2.1 二次函数 课件(共29张PPT)-2025-2026学年北师大版数学九年级下册教学课件

(共29张PPT)
第 1 页：封面页
标题：2.1 二次函数
副标题：北师大版九年级数学下册
配图：包含抛物线（如喷泉水流、拱桥轮廓）与函数图像的示意图
落款：授课教师 / 日期
第 2 页：学习目标
知识目标：理解二次函数的定义，掌握二次函数的一般形式，能识别二次函数。
能力目标：能根据实际问题列出二次函数表达式，提升数学建模与分析能力。
素养目标：感受二次函数在生活中的广泛应用，培养抽象概括与数形结合思想。
第 3 页：情境导入 生活中的二次函数
情境 1：喷水问题
一个喷水池的水流呈抛物线状，水流高度 h（单位：m）与水平距离 x（单位：m）的关系为 h = -x + 2x + 1，这个关系式有什么特点？
情境 2：面积问题
用长为 20m 的篱笆围一个矩形菜园，设矩形的一边长为 x m，面积为 y m ，试写出 y 与 x 的关系式（y = x (10 - x) = -x + 10x）。
情境 3：利润问题
某商品每件成本 10 元，售价 x 元时，每天销量为 (20 - x) 件，总利润 y 元与售价 x 的关系式为 y = (x - 10)(20 - x) = -x + 30x - 200。
思考：上述三个关系式有哪些共同特征？
第 4 页：核心概念 二次函数的定义
定义：一般地，形如y = ax + bx + c（a、b、c 是常数，a ≠ 0） 的函数，叫做二次函数。
关键点解读：
自变量：x 是自变量，取值范围通常为全体实数（实际问题需结合题意限定）。
二次项系数：a ≠ 0（若 a = 0，函数变为 y = bx + c，是一次函数或常数函数，不再是二次函数）。
项的组成：
二次项：ax （次数为 2，是函数的核心项）；
一次项：bx（次数为 1，b 可以为 0，此时函数为 y = ax + c）；
常数项：c（次数为 0，c 可以为 0，此时函数为 y = ax + bx）。
最简形式：当 b = 0 且 c = 0 时，二次函数可简化为 y = ax （如 y = 2x 、y = -3x ）。
第 5 页：二次函数的一般形式与辨析
一般形式：y = ax + bx + c（a ≠ 0），其中 a、b、c 分别为二次项系数、一次项系数、常数项。
实例辨析（判断下列函数是否为二次函数，若是，指出 a、b、c）：
y = 3x + 2x - 1
→ 是二次函数，a = 3，b = 2，c = -1。
y = 2x - 5
→ 不是，无二次项（a = 0），是一次函数。
y = x + √2x
→ 是二次函数，a = 1，b = √2，c = 0。
y = -x
→ 是二次函数，a = -1，b = 0，c = 0。
y = (x + 1) - x
→ 化简为 y = 2x + 1，不是二次函数（a = 0）。
总结：判断二次函数需先化简表达式，再看是否满足 “含二次项且二次项系数不为 0”。
第 6 页：典例精讲 列二次函数表达式
例题 1：几何图形类
已知一个直角三角形的一条直角边长为 x cm，另一条直角边长比它大 2 cm，设斜边长为 y cm，试写出 y 与 x 的函数表达式（不要求化简）。
解答：由勾股定理得 y = x + (x + 2) ，即 y = √[x + (x + 2) ]（x > 0，因边长为正）。
注意：虽含二次项，但因是无理函数，不属于二次函数，需强调二次函数的表达式为整式。
例题 2：实际应用类
某工厂要制作一个无盖的长方体铁盒，底面是边长为 x cm 的正方形，高为 5 cm，设铁盒的表面积为 y cm ，求 y 与 x 的函数表达式。
解答：表面积 = 底面积 + 4 个侧面积，即 y = x + 4×(x×5) = x + 20x（x > 0）。
验证：表达式为 y = x + 20x，a = 1 ≠ 0，是二次函数。
第 7 页：二次函数自变量的取值范围
基本原则：
解析式有意义：若函数表达式含分母，分母不为 0；含二次根式，被开方数非负（但二次函数本身是整式，仅需考虑实际意义）。
实际问题有意义：结合具体情境，自变量需满足 “非负性”“合理性”（如长度、面积、数量为正）。
实例分析：
情境 2 中 “矩形菜园面积 y 与边长 x”：x > 0 且 10 - x > 0，即 0 < x < 10。
情境 3 中 “商品利润 y 与售价 x”：x > 10（售价高于成本）且 20 - x > 0（销量为正），即 10 < x < 20。
函数 y = 2x ：自变量 x 可取全体实数（无实际限制时，整式函数自变量取值为全体实数）。
第 8 页：拓展延伸 二次函数与一次函数的区别
对比维度
二次函数（y = ax + bx + c，a ≠ 0）
一次函数（y = kx + b，k ≠ 0）
自变量最高次数
2 次
1 次
图像形状
抛物线（开口向上或向下）
直线（倾斜的或水平的）
表达式形式
含二次项（核心项），一次项、常数项可选
含一次项（核心项），常数项可选
取值范围影响
实际问题中常有限制，解析式无额外限制
实际问题中常有限制，解析式无额外限制
图示：并列展示二次函数 y = x 与一次函数 y = x 的图像，直观对比差异。
第 9 页：课堂练习 巩固提升
基础题：下列函数中，是二次函数的有（ ）
① y = -x + 2x；② y = 2x - 1；③ y = x + ；④ y = (x - 1) - x 。
A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个（答案：A，仅①是）
中档题：一个长方形的长是宽的 2 倍，设宽为 x，面积为 y，求 y 与 x 的函数表达式，并写出自变量 x 的取值范围（答案：y = 2x ，x > 0）。
提升题：某小区要建一个圆形喷水池，喷水池的周长为 C，面积为 S，试写出 S 与 C 的函数表达式，并判断是否为二次函数（答案：S = C /(4π)，是二次函数，a = 1/(4π)，b = 0，c = 0）。
第 10 页：课堂小结与作业布置
小结：
二次函数的定义：y = ax + bx + c（a、b、c 为常数，a ≠ 0），核心是 “二次项系数不为 0”。
能根据实际问题列二次函数表达式，明确自变量的取值范围（结合实际意义）。
区分二次函数与一次函数的关键：自变量最高次数是否为 2。
作业：
教材习题 2.1 第 1、2、4 题（基础巩固）。
实践任务：观察生活中与二次函数相关的场景（如投篮轨迹、吊灯曲线），尝试描述其变量关系，下节课分享。
2025-2026学年北师大版数学九年级下册【示范课精品课件】
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2.1 二次函数
第二章 二次函数
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1.下列函数中哪些是一次函数？为什么？(x 是自变量)
(4) y = kx + 1； (5) y2 = x； (6) y = 2x + 1.
不是，是反比例函数.
不是，x 最高次数是二次.
不一定是，缺少 k ≠ 0 的条件.
不是，函数是每个唯一的 x 都有唯一对应的 y 值.
y = kx + b ( k≠0 )
；
问题1：某果园有 100 棵橙子树，每一棵树平均结 600 个橙子.现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结 5 个橙子.
(1) 问题中有那些变量？其中哪些是自变量？哪些是因变量？
二次函数的定义
1
(2) 假设果园增种 x 棵橙子树，那么果园共有多少棵橙子树？这时平均每棵树结多少个橙子？
(3) 如果果园橙子的总产量为 y 个，那么请你写出 y 与 x之间的关系式.
果园共有(100+x)棵树，平均每棵树结(600-5x)个橙子.
y = (100 + x)(600 - 5x)
= -5x + 100x + 60000.
对于 x 的每一个值，y 都有唯一的一个对应值，即 y 是 x 的函数.
这个关系式是函数关系式吗？
做一做
银行的储蓄利率是随时间变化的，也就是说，利率是一个变量.在我国，利率的调整是由中国人民银行根据国民经济发展的情况而决定的.
设人民币一年定期储蓄的年利率是 x，一年到期后，银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存.如果存款额是 100 元，那么请你写出两年后的本息和 y (元)的表达式.
一年后本息
年利率 x
100(1 + x)
100(1 + x)2
再过一年后本息
年利率 x
存款额是 100
分析：
两年后
答：y = 100x2 + 200x + 100.
y 是 x 的函数
想一想
(1) 两数的和是 20，设其中一个数是 x，你能写出这两数之积 y 的表达式吗
y = x(20 - x) = -x2 + 20x
(2) 已知矩形的周长为 40 cm，它的面积可能是 100 cm2 吗 可能是 75 cm2 吗 还可能是多少 你能表示这个矩形的面积与其一边长的关系吗
S = x(20 - x) = -x2 + 20x
当 S = 100 时，-x2 + 20x = 100.
设矩形的其中一边长为 x，面积为 S.
解得 x = 10.
当 S = 75 时，-x2 + 20x = 75.
解得 x1 = 5，x2 = 15.
同学们，以小组的形式讨论，并由每组代表总结.
问题 1~3 中函数关系式有什么共同点
温馨提示：类比一次函数 y = kx + b (k≠0)的特征.
合作探究
y = -5x + 100x + 60000
y = 100x2 + 200x + 100
y = -x2 + 20x
二次函数的定义：
a 为二次项系数，ax2 叫做二次项；
b 为一次项系数，bx 叫做一次项；c为常数项.
一般地，若两个自变量 x，y 之间的对应关系可以表示成 y = ax + bx + c( a，b，c 是常数，a≠0)的形式，则称 y 是 x 的二次函数.
知识要点
同学们，可以自己举出具体的二次函数吗？
例1 下列函数中哪些是二次函数 为什么 (x 是自变量)
①y = (x + 3) x ； ② y = 3 2x ； ③ y = x2 ；
④ ； ⑤ y = x + x + 25； ⑥ y = ax2 + bx + c.
不一定是，缺少 a ≠ 0 的条件.
不是，等式右边是分式.
不是，x 的最高次数是 3.
典例精析
y = 6x + 9
方法归纳
(1) 将函数解析式右边整理为含自变量的代数式，左边是因变量的形式；
(2) a，b，c 为常数，且 a≠0；
(3) 等号左边是因变量 y，右边是关于自变量 x 的整式；
(4) 等式的右边自变量的最高次数为 2.
判断一个函数是否为二次函数的步骤：
归纳总结
y = x2
y = -5x + 100x + 60000
y = ax + bx + c (a≠0)
y = 3 2x
y = ax + c (a≠0)
y = ax (a≠0)
y = ax + bx (a≠0)
y = x(20 - x)
b = 0
c = 0
b = 0，c = 0
二次函数的一般形式：
特殊形式
成立条件
函数解析式
合作探究
链接中考
1. (西湖区月考) 已知 ( m 为常数)，根据下列条件求 m 的值：
(1) y 是 x 的一次函数； (2) y 是 x 的二次函数；
∴ m = 1.
(2) y 是 x 的二次函数，只须 m2 - m≠0.
∴ m≠1 且 m≠0.
解：
(1) 由题意得
问题：上述问题中的三个函数的自变量的取值范
围是什么？
① y = -5x + 100x + 60000
② y = 100x2 + 200x + 100
①∵600-5x＞0，x≥0，∴0≤x＜120，且 x 为整数.
② x＞0. ③∵20-x＞0，∴0＜x＜20.
③y = -x2 + 20x
2
二次函数的自变量取值范围
二次函数的自变量的取值范围是所有实数，但在实际问题中，它的自变量的取值范围会有一些限制.
例3 一个正方形的边长是 12 cm，若从中挖去一个长为 2x cm，宽为 (x + 1) cm的小长方形．剩余部分的面积为 y cm2. 写出 y 与 x 之间的函数关系式，并指出 y 是 x 的什么函数？
解：由题意得y＝122－2x(x+1)，
又∵x+1<2x≤12，∴1即 y＝－2x2－2x＋144(1∴ y 是 x 的二次函数.
分析：本题中的数量关系是：
剩余面积=正方形面积-长方形面积.
列二次函数关系式
3
2. 已知函数 y = 3x2m-1－5
① 当m =＿＿时，y 是关于 x 的一次函数；
② 当 m =＿＿时，y 是关于 x 的二次函数.
1
1. (武汉)下列函数中，是二次函数的是( )
A. y = 8x2 + 1
B. y = 8x + 1
D.
A
3. 矩形的周长为 16 cm，它的一边长为 x cm，面积为 y cm2.
求 (1) y 与 x 之间的函数解析式及自变量 x 的取值范围；
(2) 当 x = 3 时矩形的面积.
解：(1) y＝(8－x)x＝－x2＋8x (0＜x＜8)；
(2) 当 x＝3 时，y＝－32＋8×3＝15 (cm2 ).
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D
1.
下列函数是二次函数的是(　　)
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2.
C
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3.
判断下列函数是否为二次函数，若是二次函数，分别写出它的二次项系数、一次项系数和常数项.
函数表达式 是否为二次函数 二次项 系数 一次项 系数 常数项
y＝－4x2＋2x－3
s＝－2t2－7
y＝x(x－1)
y＝x4＋2x2－1
是 －4 2 －3
是 －2 0 －7
是 1 －1 0
不是 \ \ \
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4.
C
进入夏季后，某电器商场为减少库存，对电热取暖器连续进行两次降价．若设平均每次降价的百分率是x，降价后的价格为y元，原价为a元，则y与x之间的关系式为(　　)
A．y＝a(1－2x) B．y＝2a(1－x)
C．y＝a(1－x)2 D．y＝a(1－x2)
5.
y＝x2＋2x.
[教材P30“随堂练习”第2题变式]一个正方形的边长为 1 cm，假设边长增加x cm时，正方形的面积增加y cm2.
(1)写出y与x之间的关系式为_____________
3 cm2，8 cm2，15 cm2
(2)当正方形的边长增加1 cm，2 cm，3 cm时，正方形的面积各增加_____________________.
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6.
C
对于关于x的函数y＝(m＋1)xm －m＋3x，下列说法错误的是(　　)
A．当m＝－1时，该函数为正比例函数
B．当m2－m＝1时，该函数为一次函数
C．当该函数为二次函数时，m＝2或m＝－1
D．当该函数为二次函数时，m＝2
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7.
－x2＋90x－1 800
[教材P31“习题2.1”第4题变式]某商店经销一种学生用的双肩包，已知这种双肩包的成本价为每个30元．经市场调查发现，这种双肩包每天的销售量y(个)与销售单价x(元/个)有如下关系：y＝－x＋60(30≤x≤60，且x为整数)．设这种双肩包每天的销售利润为w元．则w与x之间的函数表达式为w＝________________.
8.
(12分)如图，在一面靠墙的空地上用长为24 m的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃ABCD(中间的篱笆垂直于墙)，设花圃的边AB的长为x m，面积为S m2.
(1)若墙足够长，求S与x之间的函数表达式及自变量x的取值范围；
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(2)当x＝4时，矩形花圃的面积最大，此时的面积为________m2；
(3)若墙的最大可用长度为9m，求此时自变量x的取值范围.
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因为24－3x≤9，所以x≥5.结合(1)得5≤x＜8.
二次函数
定 义
y=ax2+bx+c(a ≠0，a,b,c是常数)
一般形式
右边是整式；
自变量的指数是2；
二次项系数a ≠0.
特殊形式
y=ax2；
y=ax2+bx；
y=ax2+c(a ≠0，a,b,c是常数).
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！