2.2.1 二次函数y＝±x^2的图象与性质 课件(共31张PPT)-2025-2026学年北师大版数学九年级下册教学课件

(共31张PPT)
第 1 页：封面页
标题：2.1 二次函数
副标题：北师大版九年级数学下册
配图：包含抛物线（如喷泉水流、拱桥轮廓）与函数图像的示意图
落款：授课教师 / 日期
第 2 页：学习目标
知识目标：理解二次函数的定义，掌握二次函数的一般形式，能识别二次函数。
能力目标：能根据实际问题列出二次函数表达式，提升数学建模与分析能力。
素养目标：感受二次函数在生活中的广泛应用，培养抽象概括与数形结合思想。
第 3 页：情境导入 生活中的二次函数
情境 1：喷水问题
一个喷水池的水流呈抛物线状，水流高度 h（单位：m）与水平距离 x（单位：m）的关系为 h = -x + 2x + 1，这个关系式有什么特点？
情境 2：面积问题
用长为 20m 的篱笆围一个矩形菜园，设矩形的一边长为 x m，面积为 y m ，试写出 y 与 x 的关系式（y = x (10 - x) = -x + 10x）。
情境 3：利润问题
某商品每件成本 10 元，售价 x 元时，每天销量为 (20 - x) 件，总利润 y 元与售价 x 的关系式为 y = (x - 10)(20 - x) = -x + 30x - 200。
思考：上述三个关系式有哪些共同特征？
第 4 页：核心概念 二次函数的定义
定义：一般地，形如y = ax + bx + c（a、b、c 是常数，a ≠ 0） 的函数，叫做二次函数。
关键点解读：
自变量：x 是自变量，取值范围通常为全体实数（实际问题需结合题意限定）。
二次项系数：a ≠ 0（若 a = 0，函数变为 y = bx + c，是一次函数或常数函数，不再是二次函数）。
项的组成：
二次项：ax （次数为 2，是函数的核心项）；
一次项：bx（次数为 1，b 可以为 0，此时函数为 y = ax + c）；
常数项：c（次数为 0，c 可以为 0，此时函数为 y = ax + bx）。
最简形式：当 b = 0 且 c = 0 时，二次函数可简化为 y = ax （如 y = 2x 、y = -3x ）。
第 5 页：二次函数的一般形式与辨析
一般形式：y = ax + bx + c（a ≠ 0），其中 a、b、c 分别为二次项系数、一次项系数、常数项。
实例辨析（判断下列函数是否为二次函数，若是，指出 a、b、c）：
y = 3x + 2x - 1
→ 是二次函数，a = 3，b = 2，c = -1。
y = 2x - 5
→ 不是，无二次项（a = 0），是一次函数。
y = x + √2x
→ 是二次函数，a = 1，b = √2，c = 0。
y = -x
→ 是二次函数，a = -1，b = 0，c = 0。
y = (x + 1) - x
→ 化简为 y = 2x + 1，不是二次函数（a = 0）。
总结：判断二次函数需先化简表达式，再看是否满足 “含二次项且二次项系数不为 0”。
第 6 页：典例精讲 列二次函数表达式
例题 1：几何图形类
已知一个直角三角形的一条直角边长为 x cm，另一条直角边长比它大 2 cm，设斜边长为 y cm，试写出 y 与 x 的函数表达式（不要求化简）。
解答：由勾股定理得 y = x + (x + 2) ，即 y = √[x + (x + 2) ]（x > 0，因边长为正）。
注意：虽含二次项，但因是无理函数，不属于二次函数，需强调二次函数的表达式为整式。
例题 2：实际应用类
某工厂要制作一个无盖的长方体铁盒，底面是边长为 x cm 的正方形，高为 5 cm，设铁盒的表面积为 y cm ，求 y 与 x 的函数表达式。
解答：表面积 = 底面积 + 4 个侧面积，即 y = x + 4×(x×5) = x + 20x（x > 0）。
验证：表达式为 y = x + 20x，a = 1 ≠ 0，是二次函数。
第 7 页：二次函数自变量的取值范围
基本原则：
解析式有意义：若函数表达式含分母，分母不为 0；含二次根式，被开方数非负（但二次函数本身是整式，仅需考虑实际意义）。
实际问题有意义：结合具体情境，自变量需满足 “非负性”“合理性”（如长度、面积、数量为正）。
实例分析：
情境 2 中 “矩形菜园面积 y 与边长 x”：x > 0 且 10 - x > 0，即 0 < x < 10。
情境 3 中 “商品利润 y 与售价 x”：x > 10（售价高于成本）且 20 - x > 0（销量为正），即 10 < x < 20。
函数 y = 2x ：自变量 x 可取全体实数（无实际限制时，整式函数自变量取值为全体实数）。
第 8 页：拓展延伸 二次函数与一次函数的区别
对比维度
二次函数（y = ax + bx + c，a ≠ 0）
一次函数（y = kx + b，k ≠ 0）
自变量最高次数
2 次
1 次
图像形状
抛物线（开口向上或向下）
直线（倾斜的或水平的）
表达式形式
含二次项（核心项），一次项、常数项可选
含一次项（核心项），常数项可选
取值范围影响
实际问题中常有限制，解析式无额外限制
实际问题中常有限制，解析式无额外限制
图示：并列展示二次函数 y = x 与一次函数 y = x 的图像，直观对比差异。
第 9 页：课堂练习 巩固提升
基础题：下列函数中，是二次函数的有（ ）
① y = -x + 2x；② y = 2x - 1；③ y = x + ；④ y = (x - 1) - x 。
A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个（答案：A，仅①是）
中档题：一个长方形的长是宽的 2 倍，设宽为 x，面积为 y，求 y 与 x 的函数表达式，并写出自变量 x 的取值范围（答案：y = 2x ，x > 0）。
提升题：某小区要建一个圆形喷水池，喷水池的周长为 C，面积为 S，试写出 S 与 C 的函数表达式，并判断是否为二次函数（答案：S = C /(4π)，是二次函数，a = 1/(4π)，b = 0，c = 0）。
第 10 页：课堂小结与作业布置
小结：
二次函数的定义：y = ax + bx + c（a、b、c 为常数，a ≠ 0），核心是 “二次项系数不为 0”。
能根据实际问题列二次函数表达式，明确自变量的取值范围（结合实际意义）。
区分二次函数与一次函数的关键：自变量最高次数是否为 2。
作业：
教材习题 2.1 第 1、2、4 题（基础巩固）。
实践任务：观察生活中与二次函数相关的场景（如投篮轨迹、吊灯曲线），尝试描述其变量关系，下节课分享。
2025-2026学年北师大版数学九年级下册【示范课精品课件】
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2.2.1 二次函数y＝±x 的图象与性质
第二章 二次函数
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
① 一次函数 y = kx + b (k≠0)
x
y
o
b<0
b>0
b=0
x
y
o
b<0
b>0
b=0
1.你还记得一次函数与反比例函数的图象吗？
② 反比例函数
O
x
y
2. 通常怎样画一个函数的图象？
列表、描点、连线.
3. 那么二次函数 y = x2 的图象是什么样的呢？你能动手画出它吗？
你会用描点法画二次函数 y = x2 的图象吗
1. 列表：在 y = x2 中自变量 x 可以是任意实数，列表表示几组对应值：
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y = x2 … 　 　 　 　 　 　 　 …　
9
4
1
0
1
9
4
二次函数 y=x2 和 y= -x2 的图象和性质
1
合作探究
2
4
-2
-4
O
3
6
9
x
y
函数图象画法
列表
描点
连线
2. 描点：根据表中 x， y 的数值在坐标平面中描点(x，y)
3. 连线：如图，再用光滑的曲线顺次连接各点，就得到 y = x2 的图象．
2
4
-2
-4
O
3
6
9
x
y
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y=x2 … 9　 4　 1　 0　 1　 4　 9　 …　
问题1 你能描述图象的形状吗？
二次函数 y = x2 的图象是一条抛物线，并且抛物线开口向上.
观察思考
当 x < 0 时，y 随 x 的增大而减小；当 x > 0 时，y 随 x 的增大而增大.
2
4
-2
-4
O
3
6
9
x
y
问题2 图象与 x 轴有交点吗？如果有，交点坐标是什么？
有，(0，0).
问题3 当 x < 0 时，随着 x 值的增大，y 值如何变化？
当 x > 0 时呢？
问题4 当 x 取何值时，y 的值最小？
最小值是什么？
x = 0 时，ymin= 0.
－3
3
o
3
6
9
x
y
对称轴与抛物线的交
点叫做抛物线的顶点，
它是图象的最低点，
为 (0，0).
问题5 图象是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴
是什么？
这条抛物线于 y轴对称，y 轴就是它的对称轴.
y
2
4
-2
-4
O
-3
-6
-9
x
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y=-x2 … -9　 -4　 -1　 0　 -1　 -4　 -9　 …　
做一做：画出函数 y = －x2 的图象，并仿照 y = x2 的性
质说出 y = －x2 有哪些性质？
合作探究
抛物线关于 y 轴对称.
顶点坐标是（0，0）；是抛物线上的最高点.
2
4
-2
-4
O
-3
-6
-9
x
图象是一条开口向下的抛物线.
当 x < 0 时，y 随 x 的增大而增大；
当 x > 0 时，y 随 x 的增大而减小；
当 x = 0 时，ymax = 0.
y
y＝x2 y＝－x2
图象
位置开
口方向
对称性
顶点
最值
增减性
开口向上,在 x 轴上方
开口向下,在 x 轴下方
关于 y 轴对称，对称轴方程是直线 x ＝ 0
顶点坐标是原点（0，0）
当 x=0 时，y最小值 = 0
当 x=0 时，y最大值 = 0
在对称轴左侧递减
在对称轴右侧递增
在对称轴左侧递增
在对称轴右侧递减
要点归纳
y
O
x
y
O
x
例1 若点 A(-3，y1)，B(-2，y2) 是二次函数 y = -x2图象上的两点，那么 y1 与 y2 的大小关系是________.
y2＞y1
例1变式 若点 A(-1，y1)， B(2，y2) 是二次函数 y = -x2 图象上的两点，那么 y1 与 y2 的大小关系是__________.
y1 ＞ y2
典例精析
例2 已知：如图，直线 y＝3x＋4 与抛物线 y＝x2 交于A、B 两点，求出 A、B 两点的坐标，并求出两交点与原点所围成的三角形的面积．
解：由题意得
解得
所以两函数的交点坐标为 A(4，16)
和 B(－1，1)．
∵直线 y＝3x＋4与 y 轴相交于点C(0，4)，即 CO ＝ 4.
∴S△ACO＝ ·CO·4＝8，S△BOC＝ ×4×1＝2，
∴S△ABO＝S△ACO＋S△BOC＝10.
1. 两条抛物线 y = x2 与 y = -x2 在同一坐标系内，下列说法中不正确的是（　　）
A. 顶点坐标均为 (0，0) B. 对称轴均为 x = 0
C. 开口都向上 D. 都有 (0，0) 处取最值
C
2．若点 A(2，m) 在抛物线 y = x2 上，则点 A 关于 y 轴对称点的坐标是 　 　　．
(-2，4)
a
S
-1
-2
-3
O
1
2
3
3
2
1
6
5
4
9
8
7
3．设正方形的边长为 a，面积为 S，试作出 S 随 a 的变化而变化的图象．
解：
S = a2 (a>0)
列表：
a 0 1 2 3 …
S …
0
1
4
9
描点并连线．
S=a2
4. 已知二次函数 y = x2，若 x≥m 时，y 最小值为 0，求实数 m 的取值范围．
解：∵二次函数 y = x2，
∴ m≤0．
∵当 x≥m 时，y最小值 = 0，
∴当 x = 0 时，y 有最小值，且 y最小值 = 0，
5. 已知 是二次函数，且当 x ＞ 0时，y 随 x 的增大而减小，则 a =________.
解析：由题意可知
3
∴a = 3.
又∵当 x ＞ 0 时，y 随 x 的增大而减小，
解得 a = 3 或 a = -3.
∴ y = -x2 或 y = 5x2.
返回
(0，0)
1.
如图为二次函数y＝x2的图象，它与x轴的交点坐标是________，当x＞0时，y的值随x值的增大而________(填“增大”或“减小”)，当x＜0时，y的值随x值的增大而______(填“增大”或“减小”)；抛物线的顶点坐标是______； 当x＝____时，函数取得最小值，为______；抛物线的对称轴是______；抛物线的开口向______(填“上”或“下”).
增大
减小
(0，0)
0
0
y轴
上
返回
2.
<
返回
3.
D
二次函数y＝－x2的图象大致是(　　)
返回
4.
－1
高
返回
5.
③
抛物线y＝x2与y＝－x2相同的性质是_______．(填序号)
①开口向上；②有最高点；③顶点是原点；
④当x<0时，y随x的增大而增大．
返回
6.
x
函数y＝x2与y＝－x2的图象关于________轴对称，也可以认为函数y＝x2的图象是由函数y＝－x2的图象绕________旋转________得到的.
原点
180°
返回
7.
D
如图，A，B为抛物线y＝x2上两点，且线段AB⊥y轴．若AB＝6，则点A的坐标为(　　)
返回
8.
4
关于抛物线y＝－x2，给出下列说法：
①抛物线开口向下，顶点是原点；
②当x>1时，y随x的增大而减小；
③当－1≤x≤2时，－4≤y≤0；
④若点(m，p)，(n，p)是该抛物线上的两点，则m＋n＝0；
⑤若点(x1，y1)，(x2，y2)在抛物线上，且x1<0其中正确的有________个.
返回
9.
2π
如图，圆的半径为2，C1是函数y＝x2的图象，C2是函数y＝－x2的图象，则阴影部分的面积是________.
10.
解：当r＝1时，V＝1，即圆柱的体积为1.
(2)根据图象，求出当r＝1时，圆柱的体积；
由图象可知当r≥2时，V≥4.
(3)根据图象，求出当r为何值时，V≥4.
返回
二次函数
y = x2 和y=－x2
图象与性质
画法
描点法
以对称轴为中心对称取点
图象
抛物线
轴对称图形
性质
重点关注4个方面
开口方向
对称轴
顶点坐标
增减性
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！