2.2.2 二次函数y＝ax^2和y＝ax^2＋c的图象与性质 课件(共46张PPT)-2025-2026学年北师大版数学九年级下册教学课件

(共46张PPT)
第 1 页：封面页
标题：2.2.2 二次函数 y＝ax 和 y＝ax ＋c 的图象与性质
副标题：北师大版九年级数学下册
配图：同坐标系下 y＝2x 、y＝(1/2) x 、y＝-2x （体现 a 的影响），及 y＝x 、y＝x ＋2、y＝x - 3（体现 c 的影响）的抛物线示意图，标注开口大小、平移方向
落款：授课教师 / 日期
第 2 页：学习目标
知识目标：理解二次项系数 a 的绝对值对 y＝ax 图象开口大小的影响，掌握 y＝ax ＋c 与 y＝ax 图象的平移关系，归纳两类函数的图象特征与性质。
能力目标：通过画图、对比、分析，提升数形结合能力与规律探究能力，能根据 a 和 c 的值判断函数图象的形状、位置及性质。
素养目标：感受函数图象的变换规律，培养逻辑推理与归纳总结意识，为后续学习更复杂二次函数图象奠定基础。
第 3 页：回顾衔接 上节课核心内容
回顾：上节课学习的 y＝x （a=1）和 y＝-x （a=-1）具有以下共同特征：
顶点坐标均为（0，0），对称轴为 y 轴（直线 x=0）；
a 的符号决定开口方向（a>0 向上，a<0 向下）；
图象为抛物线，关于 y 轴对称。
思考：若 a 的绝对值发生变化（如 a=2、a=1/2），y＝ax 的图象会如何变化？若在 y＝ax 基础上加上常数 c（如 y＝ax ＋2），图象又会怎样移动？
第 4 页：探究一 二次函数 y＝ax 的图象与性质（a≠0）
步骤 1：列表画图（对比 a 的不同取值）
选取 a=2、a=1/2、a=-2、a=-1/2，以 x=-2、-1、0、1、2 为例，计算 y 值并画图：
x
-2
-1
0
1
2
y=2x
8
2
0
2
8
y=(1/2)x
2
0.5
0
0.5
2
y=-2x
-8
-2
0
-2
-8
y=-(1/2)x
-2
-0.5
0
-0.5
-2
描点连线：在同一坐标系中描点，用不同颜色曲线连接，观察图象差异。
步骤 2：归纳 y＝ax 的性质
结合图象，从以下维度总结：
开口方向：a>0 时，开口向上；a<0 时，开口向下（与 a=±1 时一致）。
开口大小：|a | 越大，开口越小（如 y=2x 比 y=(1/2) x 开口小）；|a | 越小，开口越大。
顶点与对称轴：顶点坐标为（0，0），对称轴为y 轴（直线 x=0）（与 a=±1 时一致）。
最值：a>0 时，x=0 时 y 取最小值 0；a<0 时，x=0 时 y 取最大值 0。
增减性：
a>0：x<0 时 y 随 x 增大而减小，x>0 时 y 随 x 增大而增大；
a<0：x<0 时 y 随 x 增大而增大，x>0 时 y 随 x 增大而减小（与 a=±1 时一致）。
第 5 页：探究二 二次函数 y＝ax ＋c 的图象与性质（a≠0，c 为常数）
步骤 1：列表画图（对比 c 的不同取值，以 a=1 为例）
选取 c=2、c=-3，与 y=x 对比，计算 x=-2、-1、0、1、2 时的 y 值：
x
-2
-1
0
1
2
y=x
4
1
0
1
4
y=x ＋2
6
3
2
3
6
y=x - 3
1
-2
-3
-2
1
描点连线：在同一坐标系中描点连线，观察 y=x ＋2、y=x - 3 与 y=x 的位置关系。
步骤 2：归纳 y＝ax ＋c 与 y＝ax 的图象关系
平移规律：y＝ax ＋c 的图象是由 y＝ax 的图象上下平移 | c | 个单位得到的：
当 c>0 时，向上平移 c 个单位（如 y=x ＋2 是 y=x 向上移 2 个单位）；
当 c<0 时，向下平移 | c | 个单位（如 y=x - 3 是 y=x 向下移 3 个单位）。
不变特征：平移后，抛物线的开口方向、开口大小、对称轴均不变（因 a 未变）。
步骤 3：总结 y＝ax ＋c 的性质（以 a>0 为例）
开口方向：向上（a>0）。
开口大小：由 | a | 决定（|a | 越大，开口越小）。
顶点与对称轴：顶点坐标为（0，c），对称轴为y 轴（直线 x=0）。
最值：x=0 时，y 取最小值 c（a>0）；若 a<0，x=0 时 y 取最大值 c。
增减性：x<0 时 y 随 x 增大而减小，x>0 时 y 随 x 增大而增大（与 y=ax 一致）。
第 6 页：对比总结 三类二次函数图象与性质关系
函数形式
开口方向
开口大小
顶点坐标
对称轴
最值
与 y=x 的关系
y=x
向上
中等
（0，0）
y 轴
最小 = 0
基准图象
y=ax （a>0）
向上
a
越大越小
（0，0）
y 轴
y=ax ＋c（a>0）
向上
a
越大越小
（0，c）
y 轴
补充：当 a<0 时，开口方向变为向下，最值变为最大值，增减性反向，其余规律（开口大小、平移关系）不变。
第 7 页：典例精讲 图象与性质应用
例题 1：根据函数解析式判断图象特征
已知二次函数 y＝-3x ＋4，回答下列问题：
该函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标分别是什么？
当 x 为何值时，y 取得最值？最值是多少？
该函数图象是由 y＝-3x 的图象如何平移得到的？
解答：
开口方向：向下（a=-3<0）；对称轴：y 轴（直线 x=0）；顶点坐标：（0，4）。
x=0 时，y 取得最大值，最大值为 4（a<0，顶点为最高点）。
向上平移 4 个单位（c=4>0）。
例题 2：根据图象特征求函数解析式
已知二次函数的图象是由 y＝2x 的图象向下平移 3 个单位得到的，求该函数的解析式，并写出其顶点坐标与最值。
解答：
平移规律：向下平移 3 个单位，c=-3，故解析式为 y＝2x - 3。
顶点坐标：（0，-3）；因 a=2>0，x=0 时 y 取得最小值，最小值为 - 3。
第 8 页：易错警示与解题技巧
常见易错点：
混淆 “a 的符号” 与 “开口大小”：误将 | a | 大小与开口方向关联（实际 a 的符号决定方向，|a | 决定大小）。
平移方向判断错误：误将 y＝ax ＋c 中 c 的正负与平移方向反向（如 c=-2 时，误判为向上平移）。
最值计算错误：忽略 c 的影响，将 y＝ax ＋c 的最值仍记为 0（实际最值为 c）。
解题技巧：
分析 y＝ax 时，先看 a 的符号（定方向），再看 | a | 大小（定开口）。
分析 y＝ax ＋c 时，先找 “基准图象” y＝ax ，再根据 c 的正负确定平移方向（c 正上移，c 负下移）。
求最值时，直接根据顶点坐标（0，c）和 a 的符号判断（a>0 最小为 c，a<0 最大为 c）。
第 9 页：课堂练习 巩固提升
基础题：
（1）二次函数 y＝(1/2) x - 5 的图象开口向______，顶点坐标为______，对称轴为______，当 x=时，y 取得最______值，为。（答案：上，（0，-5），y 轴，0，小，-5）
（2）将 y＝-4x 的图象向上平移 2 个单位，得到的函数解析式为______，其顶点坐标为______。（答案：y＝-4x ＋2，（0，2））
中档题：
已知二次函数 y＝ax ＋c 的图象过点（0，3）和（1，-1），求该函数的解析式，并判断其开口方向与增减性。（解答：代入点得 c=3，a+3=-1→a=-4，解析式为 y＝-4x ＋3；开口向下；x<0 时 y 随 x 增大而增大，x>0 时 y 随 x 增大而减小）
提升题：
比较二次函数 y＝2x ＋1 与 y＝(1/3) x ＋1 的图象，哪个开口更大？当 x=2 时，哪个函数的函数值更大？（解答：|2|>|1/3|，故 y＝(1/3) x ＋1 开口更大；x=2 时，y=2×4＋1=9，y=(1/3)×4＋1=7/3，故 y＝2x ＋1 的函数值更大）
第 10 页：课堂小结与作业布置
小结：
y＝ax 的核心特征：a 的符号定开口方向，|a | 大小定开口大小，顶点（0，0），对称轴 y 轴。
y＝ax ＋c 的核心特征：由 y＝ax 上下平移 | c | 个单位得到，开口方向、大小不变，顶点变为（0，c），最值为 c。
关键规律：“a 定形（方向、大小），c 定位（上下平移）”。
作业：
基础作业：教材习题 2.2 第 3、5 题（根据解析式分析图象特征，根据平移关系写解析式）。
拓展作业：在同一坐标系中画出 y＝-2x 、y＝-2x ＋3、y＝-2x - 1 的图象，观察并记录它们的开口方向、顶点坐标及平移关系，尝试总结当 a<0 时 y＝ax ＋c 的性质规律。
2025-2026学年北师大版数学九年级下册【示范课精品课件】
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
2.2.2 二次函数y＝ax 和y＝ax ＋c的图象与性质
第二章 二次函数
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
门禁反映了图形的平移，大家还记得平移的要点吗？
羽毛球的运动轨迹可以用y = ax2 的图象刻画,大家能回忆出二次函数 y = x2 的性质吗？
如果二次函数 y = ax2 的图象与平移碰撞在一起,会擦出怎样的火花呢？让我们拭目以待吧！
画出函数 y = 2x2 的图象.
列表.
x ··· －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 ···
y ··· ···
4.5
2
0.5
0
4.5
2
0.5
二次函数 y = ax2 的图象与性质
1
合作探究
描点，连线.
x
y
O
－2
2
2
4
6
4
－4
8
问题1 二次函数 y = 2x2 的图象是什么形状？
二次函数 y = 2x2 的图象是一条抛物线，
并且抛物线开口向上.
问题2 图象的对称轴是什么？
y 轴就是它的对称轴.
x
y
O
－2
2
2
4
6
4
－4
8
观察思考
问题3 图象的顶点坐标是什么？
原点 (0，0).
问题4 当 x 取何值时，y 的值最小？
最小值是什么？
当 x = 0 时，ymin= 0.
x
y
O
－2
2
2
4
6
4
－4
8
当 x < 0 时，y 随 x 的增大而减小；当 x > 0 时，y 随 x 的增大而增大.
问题5 当 x < 0 时，随着 x 值的增大，y 值如何变化？当 x > 0 时呢？
y＝ax2 a > 0 a < 0
图象
位置开
口方向
对称性
顶点最值
增减性
开口向上，在 x 轴上方
开口向下，在 x 轴下方
关于 y 轴对称，对称轴方程是直线 x＝0
当 x = 0 时，y最小值=0
当 x = 0 时，y最大值=0
在对称轴左侧递减
在对称轴右侧递增
在对称轴左侧递增
在对称轴右侧递减
要点归纳
y
O
x
y
O
x
顶点坐标是原点（0，0）
3. 函数 y = x2 的图象的开口 ，对称轴是 ，顶点是 ；顶点是抛物线的最____点.
2. 函数 y = －3x2 的图象的开口 ，对称轴是 ，顶点是_____ 顶点是抛物线的最____点.
1. 函数 y = 4x2 的图象的开口 ，对称轴是 ，顶点是 ；
向上
向下
y轴
y 轴
(0,0)
(0,0)
4. 函数 y = －0.2x2 的图象的开口 ，对称轴是
，顶点是 .
向上
y轴
(0,0)
向下
y轴
(0,0)
高
低
练一练
当 a > 0 时，a 的绝对值越大，开口越小.
问题 在同一直角坐标系中画出二次函数
的图象如图，观察其开口大小与 a 的绝对值有什么关系？
x
y
O
－2
2
2
4
6
4
－4
8
合作探究
x
y
O
－2
2
－2
－4
－6
4
－4
－8
当a<0时，a的绝对值越大，开口越小.
问题 在同一直角坐标系中画出二次函数
的图象如图，观察其开口大小与 a 的绝对值有什么关系？
在二次函数 y = ax2 中，a 的绝对值越大，开口越小.
5.把图中图象的号码，填在它的函数式后面：(填序号)
（1）y = 3x2 的图象是_______；
（2）y = x2 的图象是_______；
（3）y = -x2 的图象是_______；
（4）y = x2 的图象是_______．
③
①
④
②
o
练一练
做一做：在同一直角坐标系中，画出二函数 y = 2x2 + 1 与 y = 2x2 - 1 的图象．
解：先列表：
x ··· －2 －1.5 －1 0 1 1.5 2 ···
y = 2x2＋1 ··· ···
y = 2x2－1 ··· ···
9
5.5
3
1
3
5.5
9
7
3.5
1
－1
1
3.5
7
再描点，连线.
二次函数 y = ax2+c 的图象与性质
2
合作探究
4
x
y
O
－2
2
2
4
6
－4
8
10
－2
y = 2x2＋1
y = 2x2－1
问题：抛物线 y=2x2+1, y=2x2-1与抛物线 y=2x2 有什么关系？
可以发现，把抛物线 y = 2x2 向 平移1个单位长度，就得到抛物线 ；把抛物线 y = 2x2 向 平移1个单位长度，就得到抛物线 y = 2x2-1.
下
y = 2x2 + 1
上
二次函数 y = ax2+c 的图象可以由 y = ax2 的图象平移得到：
当c > 0 时,向上平移 c 个单位长度得到.
当c < 0 时,向下平移 -c 个单位长度得到.
二次函数 y = ax2 与 y = ax2+c（a ≠ 0）的图象的关系
上下平移规律：
平方项不变，常数项上加下减.
要点归纳
6. (湖州中考)将抛物线 y＝x2 向上平移 3 个单位，所得抛物线的解析式(　　)
A．y＝x2＋3 B．y＝x2－3
C．y＝(x＋3)2 D．y＝(x－3)2
A
练一练
4
x
y
O
－2
2
2
4
6
－4
8
10
－2
y = 2x2＋1
y = 2x2－1
问题 抛物线 y = 2x2+1， y = 2x2-1的开口方向、对称轴和顶点各是什么？
y =2x2
y =2x2＋1
y = 2x2－1
二次函数
开口方向
顶点
坐标
对称
轴
向上
向上
(0，1)
(0，-1)
y 轴
y 轴
向上
(0,0)
y 轴
合作探究
问题 抛物线 y = 2x2+1, y = 2x2-1 的增减性又如何？
4
x
y
O
－2
2
2
4
6
－4
8
10
－2
y = 2x2＋1
y = 2x2－1
当 x < 0 时，y 随 x 的增大而减小；当 x > 0 时，y 随 x 的增大而增大.
根据图象回答下列问题：
(1) 图象的形状都是 ；
(2) 图形的开口方向 ；
(3) 对称轴都是 ；
(4) 从上而下顶点坐标分别是
_________________；
抛物线
向下
y 轴
(0，1)，
(0， 1)
想一想
1
O
-1
1
x
y
-1
-2
y = -2x2 + 1
y = -2x2 - 1
(5)顶点都是最____点，函数都有最____值，从上而下最大值分别为_______、________.
(6) 函数的增减性都相同： __________________________
___________________________.
高
大
y = 1
y = 1
对称轴左侧 y 随 x 增大而增大，
对称轴右侧 y 随 x 增大而减小
1
O
-1
1
x
y
-1
-2
y = -2x2 + 1
y = -2x2 - 1
想一想：通过上述例子，函数 y = ax2 + k 的性质是什么？
二次函数 y = ax2 + c 的性质
y = ax2+c a ＞ 0 a ＜ 0
开口方向
对称轴
顶点坐标
最值
增减性
向上
向下
直线 x = 0
直线 x = 0
(0,c)
当 x = 0 时，y最小值 = c
当 x = 0 时，y最大值 = c
当 x ＜0 时，y 随 x 的增大而减小；x＞0 时，y 随 x 的增大而增大.
当 x＞0 时，y 随 x 的增大而减小；x＜0时，y随 x 的增大而增大.
(0,c)
要点归纳
想一想
1. 画抛物线 y = ax2+c 的图象有些方法？
2. 抛物线 y = ax2 + c 中的 a 决定什么？c 决定什么？它的对称轴是什么？顶点坐标怎样表示？
第一种方法：平移法，两步即第一步画 y = ax2的图象，再向上（或向下）平移︱c ︱单位.
第二种方法：描点法，三步即列表、描点和连线.
a 决定开口方向和大小；c 决定顶点的纵坐标.
对称轴为 y 轴；顶点坐标为(0,c).
例1 关于抛物线 y = x2 + 1 与 y = x2 1，下列说法正确的是（　　）
A．开口方向相同
B．顶点相同
C．对称轴相同
D．当 x＞0 时，
y 随 x 的增大而增大
C
分析： y = x2 + 1 y = x2 1
开口方向：
顶点：
对称轴：
增减性：
向下
向上
(0，1)
(0， 1)
y 轴
y 轴
当 x＞0 时，y 随 x 的增大而减小
当 x＞0 时，y 随 x 的增大而增大
1. 填表：
函数 开口方向 顶点 对称轴 有最高(低)点
y = 3x2
y = 3x2＋1
y = -4x2－5
向上
向上
向下
(0，0)
(0，1)
(0，-5)
y 轴
y 轴
y 轴
有最低点
有最低点
有最高点
2. 不画函数 y = -x2 和 y= -x2+1 的图象回答下面的问题：
(1) 抛物线 y = -x2 + 1 经过怎样的平移才能得到抛物线 y = -x2.
(2) 函数 y = -x2 + 1，当 x 时， y 随 x 的增大而减小；当 x 时，函数 y 有最大值，最大值 y是 ，其图象与 y 轴的交点坐标是 ，与 x 轴的交点坐标是 .
(3) 试说出抛物线 y = x2-3的开口方向、对称轴和顶点坐标.
向下平移 1 个单位.
＞0
= 0
1
(0，1)
(-1，0)，(1，0)
开口方向向上，对称轴是 y 轴，顶点坐标(0，-3).
3. 在平面直角坐标系 xOy 中，函数 y = 2x2 的图象经过点 M（x1，y1），N（x2，y2）两点，若 -4＜x1＜-2，0＜x2＜2，则 y1 与 y2 的大小关系是__________.
y1＞y2
4. 在同一直角坐标系中，一次函数 y＝ax＋c和二次函数 y＝ax2＋c 的图象大致为(　　)
方法总结：熟记一次函数 y＝kx＋b 在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质(开口方向、对称轴、顶点坐标等)是解决问题的关键．
D
返回
上
1.
抛物线y＝2x2的开口向______，顶点坐标为______，对称轴是______．当x______时，y随x增大而减小；当x______时，y随x增大而增大；当x＝______时，y有最______值，是______.
(0，0)
y轴
＜0
＞0
0
小
0
返回
2.
B
如图，杜老师在黑板上画出了二次函数y＝(2－a)x2的图象，则a的取值范围是(　　)
A．a<2
B．a>2
C．a>0
D．a<0
返回
3.
A
返回
4.
C
返回
5.
B
已知点A(－4，y1)，B(－2，y2)，C(3，y3)都在二次函数y＝－4x2的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为(　　)
A．y3B．y1C．y3D．y2返回
6.
D
在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2＋2的图象可能是(　　)
返回
7.
C
关于二次函数y＝2x2＋1，下列说法错误的是(　　)
A．函数的最大值为1
B．图象与y轴的交点坐标为(0，1)
C．当x<0时，y的值随x值的增大而减小
D．图象的对称轴是y轴
返回
8.
＜
已知抛物线y＝2x2－2经过点(x1，y1)，(x2，y2)，且0”“＝”或“<”)
返回
9.
y＝－x2－2
(答案不唯一)
一个二次函数的图象只在第三、四象限，则这个二次函数的表达式可以为__________．(写一个即可)
返回
10.
y＝x2－1
与抛物线y＝－x2－1顶点相同，形状也相同，而开口方向相反的抛物线的函数表达式是____________.
返回
11.
y＝3x2－2
[2025上海中考]将函数y＝3x2的图象向下平移2个单位后，得到的新图象对应的函数表达式为____________.
12.
解：如图．
(1)分别指出它们的开口方向、对称轴以及顶点坐标；
上
1
返回
返回
13.
C
返回
14.
D
二次函数y＝ax2与一次函数y＝ax＋a在同一平面直角坐标系中的图象可能是(　　)
返回
15.
B
[2025北京海淀区月考]如图是四个二次函数的图象，则a，b，c，d的大小关系为(　　)
A．d＜c＜a＜b
B．d＜c＜b＜a
C．c＜d＜a＜b
D．c＜d＜b＜a
二次函数 y = ax2+c (a≠0) 的图象和性质
图象
性质
与 y = ax2的关系
1. 开口方向由 a 的符号决定；
2. c 决定顶点位置；
3.对称轴是 y 轴.
增减性结合开口方向和对称轴才能确定.
平移规律：
c 正向上；
c 负向下.
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！