2.2.3 二次函数y＝a(x－h)^2和y＝a(x－h)^2＋k的图象与性质 课件(共39张PPT)-2025-2026学年北师大版数学九年级下册教学课件

(共39张PPT)
第 1 页：封面页
标题：2.2.2 二次函数 y＝ax 和 y＝ax ＋c 的图象与性质
副标题：北师大版九年级数学下册
配图：同坐标系下 y＝2x 、y＝(1/2) x 、y＝-2x （体现 a 的影响），及 y＝x 、y＝x ＋2、y＝x - 3（体现 c 的影响）的抛物线示意图，标注开口大小、平移方向
落款：授课教师 / 日期
第 2 页：学习目标
知识目标：理解二次项系数 a 的绝对值对 y＝ax 图象开口大小的影响，掌握 y＝ax ＋c 与 y＝ax 图象的平移关系，归纳两类函数的图象特征与性质。
能力目标：通过画图、对比、分析，提升数形结合能力与规律探究能力，能根据 a 和 c 的值判断函数图象的形状、位置及性质。
素养目标：感受函数图象的变换规律，培养逻辑推理与归纳总结意识，为后续学习更复杂二次函数图象奠定基础。
第 3 页：回顾衔接 上节课核心内容
回顾：上节课学习的 y＝x （a=1）和 y＝-x （a=-1）具有以下共同特征：
顶点坐标均为（0，0），对称轴为 y 轴（直线 x=0）；
a 的符号决定开口方向（a>0 向上，a<0 向下）；
图象为抛物线，关于 y 轴对称。
思考：若 a 的绝对值发生变化（如 a=2、a=1/2），y＝ax 的图象会如何变化？若在 y＝ax 基础上加上常数 c（如 y＝ax ＋2），图象又会怎样移动？
第 4 页：探究一 二次函数 y＝ax 的图象与性质（a≠0）
步骤 1：列表画图（对比 a 的不同取值）
选取 a=2、a=1/2、a=-2、a=-1/2，以 x=-2、-1、0、1、2 为例，计算 y 值并画图：
x
-2
-1
0
1
2
y=2x
8
2
0
2
8
y=(1/2)x
2
0.5
0
0.5
2
y=-2x
-8
-2
0
-2
-8
y=-(1/2)x
-2
-0.5
0
-0.5
-2
描点连线：在同一坐标系中描点，用不同颜色曲线连接，观察图象差异。
步骤 2：归纳 y＝ax 的性质
结合图象，从以下维度总结：
开口方向：a>0 时，开口向上；a<0 时，开口向下（与 a=±1 时一致）。
开口大小：|a | 越大，开口越小（如 y=2x 比 y=(1/2) x 开口小）；|a | 越小，开口越大。
顶点与对称轴：顶点坐标为（0，0），对称轴为y 轴（直线 x=0）（与 a=±1 时一致）。
最值：a>0 时，x=0 时 y 取最小值 0；a<0 时，x=0 时 y 取最大值 0。
增减性：
a>0：x<0 时 y 随 x 增大而减小，x>0 时 y 随 x 增大而增大；
a<0：x<0 时 y 随 x 增大而增大，x>0 时 y 随 x 增大而减小（与 a=±1 时一致）。
第 5 页：探究二 二次函数 y＝ax ＋c 的图象与性质（a≠0，c 为常数）
步骤 1：列表画图（对比 c 的不同取值，以 a=1 为例）
选取 c=2、c=-3，与 y=x 对比，计算 x=-2、-1、0、1、2 时的 y 值：
x
-2
-1
0
1
2
y=x
4
1
0
1
4
y=x ＋2
6
3
2
3
6
y=x - 3
1
-2
-3
-2
1
描点连线：在同一坐标系中描点连线，观察 y=x ＋2、y=x - 3 与 y=x 的位置关系。
步骤 2：归纳 y＝ax ＋c 与 y＝ax 的图象关系
平移规律：y＝ax ＋c 的图象是由 y＝ax 的图象上下平移 | c | 个单位得到的：
当 c>0 时，向上平移 c 个单位（如 y=x ＋2 是 y=x 向上移 2 个单位）；
当 c<0 时，向下平移 | c | 个单位（如 y=x - 3 是 y=x 向下移 3 个单位）。
不变特征：平移后，抛物线的开口方向、开口大小、对称轴均不变（因 a 未变）。
步骤 3：总结 y＝ax ＋c 的性质（以 a>0 为例）
开口方向：向上（a>0）。
开口大小：由 | a | 决定（|a | 越大，开口越小）。
顶点与对称轴：顶点坐标为（0，c），对称轴为y 轴（直线 x=0）。
最值：x=0 时，y 取最小值 c（a>0）；若 a<0，x=0 时 y 取最大值 c。
增减性：x<0 时 y 随 x 增大而减小，x>0 时 y 随 x 增大而增大（与 y=ax 一致）。
第 6 页：对比总结 三类二次函数图象与性质关系
函数形式
开口方向
开口大小
顶点坐标
对称轴
最值
与 y=x 的关系
y=x
向上
中等
（0，0）
y 轴
最小 = 0
基准图象
y=ax （a>0）
向上
a
越大越小
（0，0）
y 轴
y=ax ＋c（a>0）
向上
a
越大越小
（0，c）
y 轴
补充：当 a<0 时，开口方向变为向下，最值变为最大值，增减性反向，其余规律（开口大小、平移关系）不变。
第 7 页：典例精讲 图象与性质应用
例题 1：根据函数解析式判断图象特征
已知二次函数 y＝-3x ＋4，回答下列问题：
该函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标分别是什么？
当 x 为何值时，y 取得最值？最值是多少？
该函数图象是由 y＝-3x 的图象如何平移得到的？
解答：
开口方向：向下（a=-3<0）；对称轴：y 轴（直线 x=0）；顶点坐标：（0，4）。
x=0 时，y 取得最大值，最大值为 4（a<0，顶点为最高点）。
向上平移 4 个单位（c=4>0）。
例题 2：根据图象特征求函数解析式
已知二次函数的图象是由 y＝2x 的图象向下平移 3 个单位得到的，求该函数的解析式，并写出其顶点坐标与最值。
解答：
平移规律：向下平移 3 个单位，c=-3，故解析式为 y＝2x - 3。
顶点坐标：（0，-3）；因 a=2>0，x=0 时 y 取得最小值，最小值为 - 3。
第 8 页：易错警示与解题技巧
常见易错点：
混淆 “a 的符号” 与 “开口大小”：误将 | a | 大小与开口方向关联（实际 a 的符号决定方向，|a | 决定大小）。
平移方向判断错误：误将 y＝ax ＋c 中 c 的正负与平移方向反向（如 c=-2 时，误判为向上平移）。
最值计算错误：忽略 c 的影响，将 y＝ax ＋c 的最值仍记为 0（实际最值为 c）。
解题技巧：
分析 y＝ax 时，先看 a 的符号（定方向），再看 | a | 大小（定开口）。
分析 y＝ax ＋c 时，先找 “基准图象” y＝ax ，再根据 c 的正负确定平移方向（c 正上移，c 负下移）。
求最值时，直接根据顶点坐标（0，c）和 a 的符号判断（a>0 最小为 c，a<0 最大为 c）。
第 9 页：课堂练习 巩固提升
基础题：
（1）二次函数 y＝(1/2) x - 5 的图象开口向______，顶点坐标为______，对称轴为______，当 x=时，y 取得最______值，为。（答案：上，（0，-5），y 轴，0，小，-5）
（2）将 y＝-4x 的图象向上平移 2 个单位，得到的函数解析式为______，其顶点坐标为______。（答案：y＝-4x ＋2，（0，2））
中档题：
已知二次函数 y＝ax ＋c 的图象过点（0，3）和（1，-1），求该函数的解析式，并判断其开口方向与增减性。（解答：代入点得 c=3，a+3=-1→a=-4，解析式为 y＝-4x ＋3；开口向下；x<0 时 y 随 x 增大而增大，x>0 时 y 随 x 增大而减小）
提升题：
比较二次函数 y＝2x ＋1 与 y＝(1/3) x ＋1 的图象，哪个开口更大？当 x=2 时，哪个函数的函数值更大？（解答：|2|>|1/3|，故 y＝(1/3) x ＋1 开口更大；x=2 时，y=2×4＋1=9，y=(1/3)×4＋1=7/3，故 y＝2x ＋1 的函数值更大）
第 10 页：课堂小结与作业布置
小结：
y＝ax 的核心特征：a 的符号定开口方向，|a | 大小定开口大小，顶点（0，0），对称轴 y 轴。
y＝ax ＋c 的核心特征：由 y＝ax 上下平移 | c | 个单位得到，开口方向、大小不变，顶点变为（0，c），最值为 c。
关键规律：“a 定形（方向、大小），c 定位（上下平移）”。
作业：
基础作业：教材习题 2.2 第 3、5 题（根据解析式分析图象特征，根据平移关系写解析式）。
拓展作业：在同一坐标系中画出 y＝-2x 、y＝-2x ＋3、y＝-2x - 1 的图象，观察并记录它们的开口方向、顶点坐标及平移关系，尝试总结当 a<0 时 y＝ax ＋c 的性质规律。
2025-2026学年北师大版数学九年级下册【示范课精品课件】
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
2.2.3 二次函数y＝a(x－h) 和y＝a(x－h) ＋k的图象与性质
第二章 二次函数
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
a,c 的符号 a>0,c>0 a>0,c<0 a<0,c>0 a<0,c<0
图象
开口方向 对称轴 顶点坐标 函数的增减性 最值 向上
向下
y轴（直线 x = 0）
y轴（直线 x = 0）
（0，c）
（0，c）
当x<0时，y随x增大而减小；当x>0时，y随x增大而增大.
当x<0时，y随x增大而增大；当x>0时，y随x增大而减小.
x = 0 时，y最小值 = c
x = 0 时，y最大值 = c
问题1 说说二次函数 y = ax2+c (a≠0) 的图象的特征.
y = ax2
y = ax2 + c
上下平移
想一想：抛物线 y = ax2 还可以怎样平移，平移后会得到新的抛物线吗？
例1 画出二次函数 y = 2(x - 1)2 的图象，并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点．
解：列表如下：
x 4 3 2 1 0 1 2 3 4
2x2
2(x - 1)2
8
0
8
18
0
2
18
32
18
8
2
8
2
0
32
50
32
18
二次函数 y = a(x - h)2 的图象和性质
1
你能发现 2(x - 1)2 与 2x2 的值有什么关系？
描点、连线，如图所示：
y = 2x2
y = 2(x - 1)2
根据图象回答下列问题:
(1) 图象的形状都是 ；
(2) 图形的开口方向 ；
(3) 从左到右对称轴分别是都
是 ；
(4) 从左到右顶点坐标分别是
_________________；
抛物线
向上
x = 0，x = 1
(1，0)
(0，0)，
(5) 顶点都是最____点，函数都有最____值，都为_______；
(6) 函数 y = 2(x - 1)2 的增减性 ：
___________________________
___________________________.
低
小
y = 0
当 x＜1 时，y 随 x 增大而减小，
当 x＞1 时，y 随 x 增大而增大
想一想：函数 y = a(x - h)2 (a＞0) 的性质是什么？
y = 2x2
y = 2(x - 1)2
x ··· 3 2 1 0 1 2 3 ···
··· ···
··· ···
2
4.5
2
0
0
2
2
4.5
8
8
解：列表如下：
例2 画出二次函数 的图象，并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点．
x
y
O
－2
2
－2
－4
－6
4
－4
抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标
向下
直线 x = -1
(-1 , 0 )
直线 x = 0
直线 x = 1
向下
向下
( 0 , 0 )
( 1, 0 )
(1) 顶点都是最____点，函数都
有最____值，都为_______；
(2) 函数的增减性：
根据图象回答下列问题:
做一做
高
大
y = 0
当 x＞-1 时，y 随 x 增大而减小
想一想：函数 y = a(x - h)2 (a＜0) 的性质是什么？
当 x＜-1 时，y 随 x 增大而增大
当 x＞1 时，y 随 x 增大而减小
当 x＜1 时，y 随 x 增大而增大
-2
2
-2
-4
4
-4
O
x
y
归纳总结
y=a(x-h)2 a＞0 a＜0
开口方向
对称轴
顶点坐标
最值
增减性
向上
向下
直线 x = h
直线 x = h
(h，0)
(h，0)
当 x = h 时，y最小值 = 0
当 x = h 时，y最大值 = 0
当 x＜h 时，y 随 x 的
增大而减小；x＞h 时，y 随 x 的增大而增大.
当 x＜h 时，y 随 x 的
增大而增大；x＞h 时，y随 x 的增大而减小.
典例精析
例1 在函数 y＝(x－5)2 中，当 x＞5 时，y 随 x 的增大而________(填“增大”或“减小”)．
例1变式 在二次函数 y＝－(x－m)2 (m 为常数)中，
当 x＞3 时，y 随 x 的增大而减小；
当 x＜3 时，y 随 x 的增大而增大，则 m＝ .
3
增大
想一想 抛物线 y = 2(x + 1)2，
y = 2(x - 1)2 与抛物线 y = 2x2
有什么样的关系？
形状、大小、开口方向都相同，只是位置不同.
二次函数y=ax2的图象与 y=a(x-h)2 的图象的关系
2
y = 2(x + 1)2
y = 2(x - 1)2
y = 2(x + 1)2
y = 2(x - 1)2
y = 2x2
向右平移
1 个单位
向左平移
1 个单位
向 x 轴正方向平移
向 x 轴负方向平移
从形的角度探究
y = 2x2
向左平移
1 个单位
形状、大小、开口方向都相同，只是位置不同.
想一想
抛物线 ， 与抛物线 有什么关系？
向右平移
1 个单位
O
2
2
-2
-4
-6
4
4
x
y
归纳总结
y = ax2
向右平移
h 个单位
y = a(x - h)2
向左平移
h 个单位
y = a(x + h)2
左右平移规律：
自变量左加右减，括号外不变.
当 h > 0：
链接中考
1. (武汉) 将二次函数 y＝－2x2 的图象平移后，可得到二次函数 y＝－2(x＋1)2 的图象，平移的方法是 (　　)
A. 向上平移 1 个单位长度 B. 向下平移 1 个单位长度
C. 向左平移 1 个单位长度　 D. 向右平移 1 个单位长度
C
2. 二次函数 y = 2(x - )2 图象的对称轴是直线_______，顶点坐标是________.
1. 把抛物线 y = -x2 沿着 x 轴方向平移 3 个单位长度，那么平移后抛物线的表达式是 .
y = -(x + 3)2 或 y = -(x - 3)2
3. 指出下列函数图象的开口方向,对称轴和顶点坐标.
抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标
向上
直线 x = 3
( 3, 0 )
直线 x = 2
直线 x = 1
向下
向上
(2, 0 )
( 1, 0)
4. 若（- ，y1）（- ，y2）（ ，y3）为二次函数y = (x-2)2 图象上的三点，则 y1 ，y2 ，y3 的大小关系为_______________.
y1 ＞y2 ＞ y3
5. 在同一坐标系中，画出函数 y＝2x2 与 y＝2(x-2)2的图象，分别指出两个图象之间的相互关系．
解：图象如图.
函数 y= 2(x-2)2的图象由函数 y= 2x2 的图象向右平移 2 个单位得到.
y
O
x
y = 2x2
2
解：图略．
1.
(8分)(1)在如图所示的平面直角坐标系中画出函数
y＝x2，y＝(x＋2)2，y＝(x－2)2的图象．
向上 y轴 (0，0)
向上 直线x＝－2 (－2，0)
向上 直线x＝2 (2，0)
(2)观察(1)中所画的图象，填表：
抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标
y＝x2
y＝(x＋2)2
y＝(x－2)2
返回
返回
2.
B
二次函数y＝－2(x－1)2的图象大致是(　　)
返回
3.
C
A．开口向下
B．对称轴是直线x＝3
C．当x<－3时，y随x的增大而减小
D．顶点坐标为(3，3)
返回
4.
＜
返回
5.
1
(答案不唯一)
已知二次函数y＝－3(x－h)2，当x>1时，y随x的增大而减小，则h的值可以是________(写出一个即可).
返回
6.
D
[2025北京东城区月考]抛物线y＝(x－4)2－5的顶点坐标是(　　)
A．(4，5)
B．(－4，5)
C．(－4，－5)
D．(4，－5)
返回
7.
C
8.
向下
(1)函数图象的开口方向是________，对称轴是________，顶点坐标为________．
(2)在图中画出这个函数的图象；
(3)当x________时，y随x的增大而减小；
直线x＝4
(4，－1)
>4
图略．
(4)当x取__________时函数能取到最值，是最________(填“大”或“小”)值，函数的最值是________.
返回
4
大
－1
返回
9.
B
将二次函数y＝x2的图象向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度所得抛物线的函数表达式是(　　)
A．y＝(x－1)2＋1
B．y＝(x＋1)2＋1
C．y＝x2＋1
D．y＝x2－1
返回
10.
左
2
下
5
返回
11.
A
已知二次函数y＝a(x－h)2＋k(a<0)的图象经过A(0，4)，B(20，3)两点，则h的值可能为(　　)
A．9
B．10
C．11
D．12
返回
12.
B
返回
13.
0
已知二次函数y＝－(x－h)2(h是常数)，且－2≤x≤3.
(1)当h＝－1时，函数的最大值为________；
(2)若函数的最大值为－1，则h的值为________．
4或－3
返回
14.
a > 0，开口向上
a < 0，开口向下
a 的符号和 h 的值决定增减性
探索 y =a(x±h)2的图象及性质
开口方向及增减性
对称轴
直线 x = h
(h，0)
y = ax2
左右平移
h 个单位
顶点坐标
平移规律：
自变量
左加右减，
括号外
保持不变.
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！