2.2.4二次函数 y = a(x-h)^2+k 的图象与性质 课件(共36张PPT)-2025-2026学年北师大版数学九年级下册教学课件
文档属性
| 名称 | 2.2.4二次函数 y = a(x-h)^2+k 的图象与性质 课件(共36张PPT)-2025-2026学年北师大版数学九年级下册教学课件 |
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| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 9.6MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-11-18 06:03:10 | ||
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文档简介
(共36张PPT)
第 1 页：封面页
标题：2.2.4 二次函数 y = a (x-h) +k 的图象与性质
副标题：北师大版九年级数学下册
配图：多组不同 a、h、k 值的抛物线示意图（如 a=1,h=2,k=3；a=-1,h=-1,k=-2），标注顶点、对称轴、开口方向，突出参数对图象的影响
落款：授课教师 / 日期
第 2 页：学习目标
知识目标：深化理解 a、h、k 对 y = a (x-h) +k 图象的综合影响，熟练掌握该函数的图象特征与性质，能实现与一般式 y = ax +bx+c 的互化。
能力目标：通过综合分析与实战解题，提升图象分析、公式转化及实际问题解决能力，能根据函数特征灵活选择表达式形式。
素养目标：构建二次函数 “顶点式” 的知识体系，培养数形结合与逻辑转化思维，为后续二次函数的综合应用奠定坚实基础。
第 3 页：回顾衔接 参数影响梳理
回顾：在 y = a (x-h) +k 中，a、h、k 分别从不同维度影响图象：
a 的作用：a 的符号决定开口方向（a>0 向上，a<0 向下），|a | 大小决定开口大小（|a | 越大，开口越小）。
h 的作用：h 决定图象左右平移（h>0 右移 h 个单位，h<0 左移 | h | 个单位），对称轴为直线 x=h。
k 的作用：k 决定图象上下平移（k>0 上移 k 个单位，k<0 下移 | k | 个单位），顶点纵坐标为 k，顶点坐标为 (h,k)。
思考：当 a、h、k 同时变化时，如何快速判断图象的整体特征？比如 y = -2 (x+3) -1，如何一步到位分析其开口、顶点、对称轴？
第 4 页：图象特征 综合分析方法
核心分析步骤（以 y = a (x-h) +k 为例）：
定开口：先看 a 的符号（正向上，负向下）与 | a|（定开口大小）。
例：y = 3 (x-2) +5 中，a=3>0，开口向上；|a|=3，开口较小；y = -1/2 (x+1) -3 中，a=-1/2<0，开口向下；|a|=1/2，开口较大。
找顶点与对称轴：直接提取顶点坐标 (h,k)，对称轴为直线 x=h（注意 h 的符号需与解析式统一，如 y = a (x+m) +k 中，h=-m）。
例：y = -2 (x+3) -1 可化为 y = -2 (x-(-3)) +(-1)，故顶点为 (-3,-1)，对称轴为 x=-3。
判平移：以 y = ax 为基准，先按 h 左右平移，再按 k 上下平移。
例：y = 2 (x-4) -6 是由 y = 2x 先向右平移 4 个单位，再向下平移 6 个单位得到。
图示：以 y = -2 (x+3) -1 为例，标注 “开口方向→顶点→对称轴→平移路径” 的分析流程示意图。
第 5 页：性质归纳 全面梳理
性质维度
分析方法与结论（以 y = a (x-h) +k 为例）
示例（y = -3 (x-1) +4）
开口方向
a>0 向上，a<0 向下
a=-3<0，开口向下
开口大小
a
顶点坐标
(h,k)（注意 h 的符号转化）
(1,4)
对称轴
直线 x=h
x=1
最值
a>0 时，x=h，y 最小 = k；a<0 时，x=h，y 最大 = k
a<0，x=1 时，y 最大 = 4
增减性
a>0：xh 时 y 随 x 增大而增大；a<0：xh 时 y 随 x 增大而减小
a<0：x<1 时 y 随 x 增大而增大，x>1 时 y 随 x 增大而减小
图象延伸方向
a>0 向 y 轴正方向延伸，a<0 向 y 轴负方向延伸
a<0，向 y 轴负方向延伸
关键提醒：增减性分析必须结合对称轴 x=h，分 “xh” 两段判断，不可直接套用 y=ax 的增减性规律。
第 6 页：核心转化 与一般式 y=ax +bx+c 的互化
1. 顶点式→一般式（展开整理）：
步骤：先展开 (x-h) ，再乘 a，最后加 k，合并同类项。
例：将 y = 2 (x-3) +1 化为一般式
解：y = 2 (x -6x+9)+1 = 2x -12x+18+1 = 2x -12x+19（此时 a=2，b=-12，c=19）。
2. 一般式→顶点式（配方法）：
步骤：
① 提取二次项与一次项的系数 a：y = a (x + (b/a) x) + c；
② 配方：在括号内加 “(b/(2a)) - (b/(2a)) ”，凑成完全平方：y = a [(x + b/(2a)) - (b /(4a ))] + c；
③ 整理：y = a (x + b/(2a)) - b /(4a) + c，即 y = a (x - h) + k（其中 h = -b/(2a)，k = (4ac - b )/(4a)，k 也为函数的最值）。
例：将 y = x -4x+5 化为顶点式
解：y = (x -4x) + 5 = (x -4x+4 -4) + 5 = (x-2) -4 +5 = (x-2) +1（此时 h=2，k=1，顶点为 (2,1)）。
第 7 页：典例精讲 综合应用题
例题 1：利用性质求最值与取值范围
已知二次函数 y = -2 (x+1) +3，回答下列问题：
（1）当 x 取何值时，y 取得最值？最值是多少？
（2）当 - 2≤x≤1 时，求 y 的取值范围。
解答：
（1）a=-2<0，函数有最大值；当 x=-1（h=-1）时，y 最大 = 3。
（2）先分析 x 在 [-2,1] 内的增减性：对称轴 x=-1，x<-1 时 y 随 x 增大而增大，x>-1 时 y 随 x 增大而减小。
当 x=-1 时，y 最大 = 3；
当 x=-2 时，y=-2 (-2+1) +3=-2+3=1；
当 x=1 时，y=-2 (1+1) +3=-8+3=-5；
故 y 的取值范围为 - 5≤y≤3。
例题 2：结合图象与方程的关系
已知二次函数 y = a (x-h) +k 的图象过点 (0,2)，顶点为 (1,3)，求该函数的解析式（用顶点式与一般式两种形式表示）。
解答：
① 顶点式：顶点 (1,3)→h=1，k=3，故解析式为 y = a (x-1) +3；
代入 (0,2)：2 = a (0-1) +3→a+3=2→a=-1；
顶点式为 y = -(x-1) +3。
② 一般式：展开顶点式，y = -(x -2x+1)+3 = -x +2x-1+3 = -x +2x+2。
第 8 页：易错警示与避坑指南
常见易错点：
配方法出错：将一般式化为顶点式时，提取 a 后忘记将常数项也乘 a（如 y = 2x -4x+1，错误化为 y=2 (x -2x)+1=2 (x-1) +1，正确应为 y=2 (x-1) -1）。
h 的符号混淆：误将 y = a (x+m) +k 中的 h 记为 m（正确 h=-m，如 y = 3 (x+2) -5 中 h=-2，非 2）。
取值范围分析漏端点：求指定 x 范围内的 y 值时，忘记计算区间端点的函数值（如例题 1 中漏算 x=-2 或 x=1 的 y 值，导致取值范围错误）。
避坑技巧：
用顶点式计算时，先在草稿纸上标注 “a= ，h= ，k= ”，再逐一分析性质。
配方法每一步都检查 “等式是否成立”，尤其是提取 a 和补常数项时。
分析增减性与取值范围时，先画出简易函数图象，标注对称轴与区间端点，直观判断最值位置。
第 9 页：课堂练习 分层提升
基础题：
（1）二次函数 y = 1/2 (x-3) -2 的顶点坐标为______，对称轴为______，当 x=时，y 取得最______值，为。（答案：(3,-2)，x=3，3，小，-2）
（2）将 y = 2x -8x+5 化为顶点式：______。（答案：y=2 (x-2) -3）
中档题：
已知二次函数 y = a (x-h) +k 的图象开口向下，顶点在 (2,5)，且过点 (0,1)，求该函数的解析式。（解答：顶点 (2,5)→y=a (x-2) +5；代入 (0,1)：1=4a+5→a=-1；解析式为 y=-(x-2) +5）
提升题：
已知二次函数 y = - (x+2) +4，当 y<0 时，求 x 的取值范围。（解答：y<0→-(x+2) +4<0→(x+2) >4→x+2>2 或 x+2<-2→x>0 或 x<-4）
第 10 页：课堂小结与作业布置
小结：
y = a (x-h) +k 的核心：a 定开口（方向 + 大小），(h,k) 定顶点与对称轴，h、k 共同决定平移路径。
与一般式的互化：顶点式展开得一般式，一般式用配方法得顶点式（h=-b/(2a)，k=(4ac-b )/(4a)）。
应用关键：根据题目需求选择表达式（求最值、平移用顶点式；求与坐标轴交点用一般式）。
作业：
基础作业：教材习题 2.2 第 9、10 题（含性质分析、解析式互化）。
拓展作业：已知二次函数 y = ax +bx+c 的图象过点 (1,0)、(3,0)，且最大值为 2，分别用顶点式和一般式写出该函数解析式，并分析当 x 为何值时，y 随 x 的增大而减小。
2025-2026学年北师大版数学九年级下册【示范课精品课件】
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
2.2.4二次函数 y = a(x-h)2+k 的图象与性质
第二章 二次函数
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1. 说出下列函数图象的开口方向、对称轴、顶点、最值和增减变化情况:
(1) y = ax2
(2) y = ax2+c
(3) y = a(x -h)2
y
y
y
y
x
x
x
x
O
O
O
O
y
y
y
y
x
x
x
x
O
O
O
O
y
y
x
x
O
O
y = 2x2 -
2. 请说出二次函数 y = 2x2 的开口方向、顶点坐标、
对称轴及最值？
3. 把 y = 2x2 的图象
向下平移 个单位
向左平移3个单位
y = 2(x + 3)2
4. 请猜测一下，二次函数 y = 2(x + 3)2 - 的图象是否可以由 y = 2x2 平移得到？
例1 画出函数 y = 2(x + 3)2 - 的图象，并指出它的开口方向、对称轴、顶点坐标和增减性.
…
…
…
…
2
1
0
-1
-2
-3
-4
x
1.5
-0.5
1.5
7.5
17.5
31.5
49.5
解：先列表：
y=2(x+3)2 -
二次函数 y = a(x - h)2 + k 的图象和性质
1
2
4
x
-2
4
y
O
-2
-4
6
8
开口方向： ；
对称轴： ；
顶点坐标是 ；
增减性：___________
___________________
__________________________.
再描点、连线.
向上
直线 x = -3
( 3， 0.5)
当 x＜-3 时，
y 随 x 增大而减小；
当 x＞-3 时，y 随 x 增大而增大
想一想：函数 y = a(x - h)2 + k
(a＜0) 的性质是什么？
y=2(x+3)2 -
试一试 画出二次函数 的图象，并填空.
开口方向： ；
对称轴： ；
顶点坐标是 ；
增减性：___________
___________________
______________________________.
2
4
x
-2
-4
-6
y
O
-2
-4
向下
直线 x = -1
( 1， 1)
当 x＜-1 时，
y 随 x 增大而增大；
当 x＞-1 时，y 随 x 增大而减小
想一想：函数 y = a(x - h)2 + k (a＜0) 的性质是什么？
归纳总结
y=a(x-h)2+k a＞0 a＜0
开口方向
对称轴
顶点坐标
最值
增减性
向上
向下
直线 x = h
直线 x = h
(h，k)
(h，k)
当 x = h 时，y最小值 = k
当 x = h 时，y最大值 = k
当 x＜h 时，y 随 x 的 增大而减小；x＞h 时，y 随 x 的增大而增大
当 x＜h 时，y 随 x 的 增大而增大；x＞h 时，y 随 x 的增大而减小
例2 已知抛物线 y＝a(x 3)2 + 2 经过点 (1， 2)．
(1) 指出抛物线的对称轴；
(2) 求 a 的值；
解：(1) 由 y＝a(x﹣3)2 + 2 可知其顶点为 (3，2)，
对称轴为直线 x＝3.
(2) ∵ 抛物线 y＝a(x﹣3)2 + 2 经过点(1，-2)，
∴ -2＝a(1 - 3)2 + 2，
∴ a＝-1.
典例精析
(3) 若点 A(m，y1)、B(n，y2) (m＜n＜3) 都在该抛物线上，
试比较 y1 与 y2 的大小．
∴ y1＜y2.
解：∵ y＝﹣(x﹣3)2 + 2，
∴ 此函数的图象开口向下，
当 x＜3 时，y 随 x 的增大而增大.
∵ 点 A(m，y1)，B(n，y2) (m＜n＜3) 都在该抛物线上，
2
二次函数 y=a(x + h)2+k 与 y=ax2(a≠0) 的关系
y=2x2怎样移动可以得到y=2(x + 3)2- ？
画一画，填出下表：
开口方向
对称轴
顶点坐标
y = 2x2
函数
y = 2x2-
y = 2(x+3)2
y=2(x+3)2-
向上
向上
向上
向上
x = 0
x = 0
x = -3
x = -3
(0,0)
(0,-)
(-3,0)
(-3,-)
2
4
x
-1
2
y
O
-2
-4
6
y = 2x2
y = 2x2-
y = 2(x+3)2
y=2(x+3)2-
平移方法1
向左平移3个单位长度
个单位长度
向下平移
例3 怎样移动抛物线 y = 2x2 就可以得到抛物线
y = 2(x + 3)2 - ？
y = 2x2
y = 2x2-
y=2(x+3)2-
2
4
x
-1
2
y
O
-2
-4
6
8
平移方法2
向下平移 个单位长度
例3 怎样移动抛物线 y = 2x2 就可以得到抛物线
y = 2(x + 3)2 - ？
y = 2x2
y =2(x+3)2
y=2(x+3)2-
向左平移
3 个单位
2
4
x
-1
2
y
O
-2
-4
6
8
归纳总结
y = ax2
y = ax2±k
y = a(x±h)2
y = a( x±h )2±k
上下
平移
左右
平移
上下
平移
左右
平移
平移规律(设 h＞0，k＞0)：
简记为：
上下平移，
常数项上加下减；
左右平移，
自变量左加右减.
二次项系数 a 不变.
二次函数 y = ax2 与 y = a(x±h)2±k 的关系
链接中考
1. (哈尔滨)将抛物线 y =﹣5x2 + 1 向左平移 1 个单位长度，再向下平移 2 个单位长度，所得到的抛物线为 ( )
A．y =﹣5(x + 1)2﹣1 B．y =﹣5(x﹣1)2﹣1
C．y =﹣5(x + 1)2 + 3 D．y =﹣5(x﹣1)2 + 3
A
试着画出二次函数 y = a(x - h)2 + k 不同情况下的大致图象. ( 按 a，h，k 的正负分类 )
a＞0，
h＜0
a＞0，
h＞0
a＜0，
h＜0
a＜0，
h＞0
例4 已知二次函数 y＝a(x－1)2－k 的图象如图所示，则一次函数 y＝ax＋k 的大致图象是 ( )
解析：根据二次函数开口向上得 a＞0，根据 －k 是二次函数顶点坐标的纵坐标，得出 k＞0，故一次函数 y＝ax＋k 的图象经过第一、二、三象限．故选 A.
A
归纳总结
结论：① a 决定开口方向. ② (h，k) 决定顶点坐标.
h 决定对称轴 (直线 x = h). h＜0，对称轴在 y 轴的左侧；h＞0，对称轴在 y 轴的右侧；
k＞0，顶点在 x 轴的上侧；k＜0，顶点在 x 轴的下侧.
③ a，h(对称轴) 决定函数的增减性.
说一说，对于二次函数 y = a(x - h)2 + k (a≠0)
图象性质中，字母 a，h，k 所起的作用.
二次函数 开口方向 对称轴 顶点坐标
y = 2(x + 3)2 + 5
向上
( 1, －2 )
向下
向下
( 3 , 7)
( 2 , －6 )
向上
直线 x=－3
直线 x = 1
直线 x = 3
直线 x = 2
(－3, 5 )
y =－3(x－1)2－2
y = 4(x－3)2＋7
y =－5(2－x)2－6
1. 完成下列表格:
2. 已知函数 y＝﹣(x﹣4)2﹣1.
(3) 怎样移动抛物线 y＝﹣x2，就可以得到抛物线
y＝﹣(x﹣4)2﹣1
(1) 指出函数图象的开口方向是 ，对称轴是
，顶点坐标为 ；
(2) 当 x 时，y 随 x 的增大而减小；
向下
直线 x＝4
(4，﹣1)
＞4
解：将抛物线 y＝﹣x2 向右平移 4 个单位，再向下平移 1 个单位就可以得到抛物线 y＝﹣(x﹣4)2﹣1.
3. 已知二次函数 y＝a(x－1)2－4 的图象经过点 (3，0)．
(1) 求 a 的值；
(2) 若 A(m，y1)、B(m＋n，y2) (n＞0) 是该函数图象上的两点，当 y1＝y 2 时，求 m、n 之间的数量关系．
(1) 将 (3，0) 代入 y＝a(x－1)2－4， 得 0＝4a－4，
(2) 方法一:根据题意，得 y1＝(m－1)2－4，y2＝(m＋n－1)2－4，
∵ y1＝y2，
∴ (m－1)2－4＝(m＋n－1)2－4，即 (m－1)2＝(m＋n－1)2.
∵ n＞0，∴m－1＝－(m＋n－1)，化简，得 2m＋n＝2.
解：
解得 a＝1.
方法二：
∵ 抛物线 y＝a(x－1)2－4 的对称轴是直线 x = 1，
∴ 当 y1＝y 2 时，A、B 两点关于直线 x = 1 对称.
∴ ，化简，得 2m＋n＝2.
要点归纳：对于抛物线 y＝a(x－h)2 + k(a≠0) 上的两个不同点 M(x1，y1)，N(x2，y2)，若 y1 = y2，则必有
，即 x1 + x2 = 2h.
返回
10.
左
2
下
5
返回
11.
A
已知二次函数y＝a(x－h)2＋k(a<0)的图象经过A(0，4)，B(20，3)两点，则h的值可能为( )
A．9
B．10
C．11
D．12
返回
12.
B
返回
13.
0
已知二次函数y＝－(x－h)2(h是常数)，且－2≤x≤3.
(1)当h＝－1时，函数的最大值为________；
(2)若函数的最大值为－1，则h的值为________．
4或－3
返回
14.
15.
(－3，0)
(12分)如图是二次函数y＝a(x＋1)2＋2图象的一部分，根据图象回答下列问题：
(1)抛物线与x轴的一个交点A的坐标是________，则抛物线与x轴的另一个交点B的坐标是________；
(1，0)
(2) a的值为________；
(3)设抛物线的顶点是P，试求△PAB的面积.
返回
16.
(12分) 如图，点P(a，－3)在抛物线C：y＝(x－3)2－4上，且在抛物线C的对称轴的右侧，抛物线与y轴交于点B．
(1)写出抛物线C的对称轴和y的最小值，并求a的值．
解：因为抛物线C：y＝(x－3)2－4，
所以对称轴为直线x＝3，抛物线开口向上，
顶点坐标为(3，－4)．
所以y的最小值为－4.
将点P(a，－3)的坐标代入y＝(x－3)2－4，得(a－3)2－4＝－3，
解得a＝4或a＝2.
因为点P在抛物线C的对称轴的右侧，
所以a＝4.
解：如图，过点D作DE⊥x轴于点E.
令x＝0，则(0－3)2－4＝5，
所以B(0，5)．所以OB＝5.
由旋转可得MB＝MD，∠BMO＋∠EMD＝∠BMD＝90°.
易知∠BMO＋∠OBM＝90°，
所以∠OBM＝∠EMD.
(2)M为x轴上一动点，连接MB，将MB绕点M顺时针旋转90°得到MD，当点D落在抛物线C上时，求出点M的坐标．
因为DE⊥x轴，所以∠BOM＝∠MED＝90°.
所以△BOM≌△MED(AAS)．
所以OM＝DE，ME＝OB＝5.
设M(t，0)，则D(5＋t，t)．
因为点D落在抛物线C上，所以(5＋t－3)2－4＝t，
解得t＝0或t＝－3.
所以点M的坐标为(0，0)或(－3，0)．
(3)在坐标平面上放置一透明胶片，并在胶片上描画出点P及抛物线C的一段，分别记为P′，C′，平移该胶片，使C′所在抛物线对应的函数表达式恰为y＝x2＋2.直接写出点P′移动的最短距离.
返回
一般地，抛物线 y = a( x - h )2 + k (a≠0)
与 y = ax2 (a≠0) 的形状相同，位置不同.
二次函数
y = a(x - h)2 + k (a ≠ 0) 的图象和性质
图象特点
当a＞0，开口向上；当a＜0，开口向下.
对称轴是 x = h，
顶点坐标是 (h，k)
平移规律
左右平移：自变量左加右减；
上下平移：常数项上加下减.
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！
第 1 页：封面页
标题：2.2.4 二次函数 y = a (x-h) +k 的图象与性质
副标题：北师大版九年级数学下册
配图：多组不同 a、h、k 值的抛物线示意图（如 a=1,h=2,k=3；a=-1,h=-1,k=-2），标注顶点、对称轴、开口方向，突出参数对图象的影响
落款：授课教师 / 日期
第 2 页：学习目标
知识目标：深化理解 a、h、k 对 y = a (x-h) +k 图象的综合影响，熟练掌握该函数的图象特征与性质，能实现与一般式 y = ax +bx+c 的互化。
能力目标：通过综合分析与实战解题，提升图象分析、公式转化及实际问题解决能力，能根据函数特征灵活选择表达式形式。
素养目标：构建二次函数 “顶点式” 的知识体系，培养数形结合与逻辑转化思维，为后续二次函数的综合应用奠定坚实基础。
第 3 页：回顾衔接 参数影响梳理
回顾：在 y = a (x-h) +k 中，a、h、k 分别从不同维度影响图象：
a 的作用：a 的符号决定开口方向（a>0 向上，a<0 向下），|a | 大小决定开口大小（|a | 越大，开口越小）。
h 的作用：h 决定图象左右平移（h>0 右移 h 个单位，h<0 左移 | h | 个单位），对称轴为直线 x=h。
k 的作用：k 决定图象上下平移（k>0 上移 k 个单位，k<0 下移 | k | 个单位），顶点纵坐标为 k，顶点坐标为 (h,k)。
思考：当 a、h、k 同时变化时，如何快速判断图象的整体特征？比如 y = -2 (x+3) -1，如何一步到位分析其开口、顶点、对称轴？
第 4 页：图象特征 综合分析方法
核心分析步骤（以 y = a (x-h) +k 为例）：
定开口：先看 a 的符号（正向上，负向下）与 | a|（定开口大小）。
例：y = 3 (x-2) +5 中，a=3>0，开口向上；|a|=3，开口较小；y = -1/2 (x+1) -3 中，a=-1/2<0，开口向下；|a|=1/2，开口较大。
找顶点与对称轴：直接提取顶点坐标 (h,k)，对称轴为直线 x=h（注意 h 的符号需与解析式统一，如 y = a (x+m) +k 中，h=-m）。
例：y = -2 (x+3) -1 可化为 y = -2 (x-(-3)) +(-1)，故顶点为 (-3,-1)，对称轴为 x=-3。
判平移：以 y = ax 为基准，先按 h 左右平移，再按 k 上下平移。
例：y = 2 (x-4) -6 是由 y = 2x 先向右平移 4 个单位，再向下平移 6 个单位得到。
图示：以 y = -2 (x+3) -1 为例，标注 “开口方向→顶点→对称轴→平移路径” 的分析流程示意图。
第 5 页：性质归纳 全面梳理
性质维度
分析方法与结论（以 y = a (x-h) +k 为例）
示例（y = -3 (x-1) +4）
开口方向
a>0 向上，a<0 向下
a=-3<0，开口向下
开口大小
a
顶点坐标
(h,k)（注意 h 的符号转化）
(1,4)
对称轴
直线 x=h
x=1
最值
a>0 时，x=h，y 最小 = k；a<0 时，x=h，y 最大 = k
a<0，x=1 时，y 最大 = 4
增减性
a>0：x
a<0：x<1 时 y 随 x 增大而增大，x>1 时 y 随 x 增大而减小
图象延伸方向
a>0 向 y 轴正方向延伸，a<0 向 y 轴负方向延伸
a<0，向 y 轴负方向延伸
关键提醒：增减性分析必须结合对称轴 x=h，分 “x
第 6 页：核心转化 与一般式 y=ax +bx+c 的互化
1. 顶点式→一般式（展开整理）：
步骤：先展开 (x-h) ，再乘 a，最后加 k，合并同类项。
例：将 y = 2 (x-3) +1 化为一般式
解：y = 2 (x -6x+9)+1 = 2x -12x+18+1 = 2x -12x+19（此时 a=2，b=-12，c=19）。
2. 一般式→顶点式（配方法）：
步骤：
① 提取二次项与一次项的系数 a：y = a (x + (b/a) x) + c；
② 配方：在括号内加 “(b/(2a)) - (b/(2a)) ”，凑成完全平方：y = a [(x + b/(2a)) - (b /(4a ))] + c；
③ 整理：y = a (x + b/(2a)) - b /(4a) + c，即 y = a (x - h) + k（其中 h = -b/(2a)，k = (4ac - b )/(4a)，k 也为函数的最值）。
例：将 y = x -4x+5 化为顶点式
解：y = (x -4x) + 5 = (x -4x+4 -4) + 5 = (x-2) -4 +5 = (x-2) +1（此时 h=2，k=1，顶点为 (2,1)）。
第 7 页：典例精讲 综合应用题
例题 1：利用性质求最值与取值范围
已知二次函数 y = -2 (x+1) +3，回答下列问题：
（1）当 x 取何值时，y 取得最值？最值是多少？
（2）当 - 2≤x≤1 时，求 y 的取值范围。
解答：
（1）a=-2<0，函数有最大值；当 x=-1（h=-1）时，y 最大 = 3。
（2）先分析 x 在 [-2,1] 内的增减性：对称轴 x=-1，x<-1 时 y 随 x 增大而增大，x>-1 时 y 随 x 增大而减小。
当 x=-1 时，y 最大 = 3；
当 x=-2 时，y=-2 (-2+1) +3=-2+3=1；
当 x=1 时，y=-2 (1+1) +3=-8+3=-5；
故 y 的取值范围为 - 5≤y≤3。
例题 2：结合图象与方程的关系
已知二次函数 y = a (x-h) +k 的图象过点 (0,2)，顶点为 (1,3)，求该函数的解析式（用顶点式与一般式两种形式表示）。
解答：
① 顶点式：顶点 (1,3)→h=1，k=3，故解析式为 y = a (x-1) +3；
代入 (0,2)：2 = a (0-1) +3→a+3=2→a=-1；
顶点式为 y = -(x-1) +3。
② 一般式：展开顶点式，y = -(x -2x+1)+3 = -x +2x-1+3 = -x +2x+2。
第 8 页：易错警示与避坑指南
常见易错点：
配方法出错：将一般式化为顶点式时，提取 a 后忘记将常数项也乘 a（如 y = 2x -4x+1，错误化为 y=2 (x -2x)+1=2 (x-1) +1，正确应为 y=2 (x-1) -1）。
h 的符号混淆：误将 y = a (x+m) +k 中的 h 记为 m（正确 h=-m，如 y = 3 (x+2) -5 中 h=-2，非 2）。
取值范围分析漏端点：求指定 x 范围内的 y 值时，忘记计算区间端点的函数值（如例题 1 中漏算 x=-2 或 x=1 的 y 值，导致取值范围错误）。
避坑技巧：
用顶点式计算时，先在草稿纸上标注 “a= ，h= ，k= ”，再逐一分析性质。
配方法每一步都检查 “等式是否成立”，尤其是提取 a 和补常数项时。
分析增减性与取值范围时，先画出简易函数图象，标注对称轴与区间端点，直观判断最值位置。
第 9 页：课堂练习 分层提升
基础题：
（1）二次函数 y = 1/2 (x-3) -2 的顶点坐标为______，对称轴为______，当 x=时，y 取得最______值，为。（答案：(3,-2)，x=3，3，小，-2）
（2）将 y = 2x -8x+5 化为顶点式：______。（答案：y=2 (x-2) -3）
中档题：
已知二次函数 y = a (x-h) +k 的图象开口向下，顶点在 (2,5)，且过点 (0,1)，求该函数的解析式。（解答：顶点 (2,5)→y=a (x-2) +5；代入 (0,1)：1=4a+5→a=-1；解析式为 y=-(x-2) +5）
提升题：
已知二次函数 y = - (x+2) +4，当 y<0 时，求 x 的取值范围。（解答：y<0→-(x+2) +4<0→(x+2) >4→x+2>2 或 x+2<-2→x>0 或 x<-4）
第 10 页：课堂小结与作业布置
小结：
y = a (x-h) +k 的核心：a 定开口（方向 + 大小），(h,k) 定顶点与对称轴，h、k 共同决定平移路径。
与一般式的互化：顶点式展开得一般式，一般式用配方法得顶点式（h=-b/(2a)，k=(4ac-b )/(4a)）。
应用关键：根据题目需求选择表达式（求最值、平移用顶点式；求与坐标轴交点用一般式）。
作业：
基础作业：教材习题 2.2 第 9、10 题（含性质分析、解析式互化）。
拓展作业：已知二次函数 y = ax +bx+c 的图象过点 (1,0)、(3,0)，且最大值为 2，分别用顶点式和一般式写出该函数解析式，并分析当 x 为何值时，y 随 x 的增大而减小。
2025-2026学年北师大版数学九年级下册【示范课精品课件】
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
2.2.4二次函数 y = a(x-h)2+k 的图象与性质
第二章 二次函数
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1. 说出下列函数图象的开口方向、对称轴、顶点、最值和增减变化情况:
(1) y = ax2
(2) y = ax2+c
(3) y = a(x -h)2
y
y
y
y
x
x
x
x
O
O
O
O
y
y
y
y
x
x
x
x
O
O
O
O
y
y
x
x
O
O
y = 2x2 -
2. 请说出二次函数 y = 2x2 的开口方向、顶点坐标、
对称轴及最值？
3. 把 y = 2x2 的图象
向下平移 个单位
向左平移3个单位
y = 2(x + 3)2
4. 请猜测一下，二次函数 y = 2(x + 3)2 - 的图象是否可以由 y = 2x2 平移得到？
例1 画出函数 y = 2(x + 3)2 - 的图象，并指出它的开口方向、对称轴、顶点坐标和增减性.
…
…
…
…
2
1
0
-1
-2
-3
-4
x
1.5
-0.5
1.5
7.5
17.5
31.5
49.5
解：先列表：
y=2(x+3)2 -
二次函数 y = a(x - h)2 + k 的图象和性质
1
2
4
x
-2
4
y
O
-2
-4
6
8
开口方向： ；
对称轴： ；
顶点坐标是 ；
增减性：___________
___________________
__________________________.
再描点、连线.
向上
直线 x = -3
( 3， 0.5)
当 x＜-3 时，
y 随 x 增大而减小；
当 x＞-3 时，y 随 x 增大而增大
想一想：函数 y = a(x - h)2 + k
(a＜0) 的性质是什么？
y=2(x+3)2 -
试一试 画出二次函数 的图象，并填空.
开口方向： ；
对称轴： ；
顶点坐标是 ；
增减性：___________
___________________
______________________________.
2
4
x
-2
-4
-6
y
O
-2
-4
向下
直线 x = -1
( 1， 1)
当 x＜-1 时，
y 随 x 增大而增大；
当 x＞-1 时，y 随 x 增大而减小
想一想：函数 y = a(x - h)2 + k (a＜0) 的性质是什么？
归纳总结
y=a(x-h)2+k a＞0 a＜0
开口方向
对称轴
顶点坐标
最值
增减性
向上
向下
直线 x = h
直线 x = h
(h，k)
(h，k)
当 x = h 时，y最小值 = k
当 x = h 时，y最大值 = k
当 x＜h 时，y 随 x 的 增大而减小；x＞h 时，y 随 x 的增大而增大
当 x＜h 时，y 随 x 的 增大而增大；x＞h 时，y 随 x 的增大而减小
例2 已知抛物线 y＝a(x 3)2 + 2 经过点 (1， 2)．
(1) 指出抛物线的对称轴；
(2) 求 a 的值；
解：(1) 由 y＝a(x﹣3)2 + 2 可知其顶点为 (3，2)，
对称轴为直线 x＝3.
(2) ∵ 抛物线 y＝a(x﹣3)2 + 2 经过点(1，-2)，
∴ -2＝a(1 - 3)2 + 2，
∴ a＝-1.
典例精析
(3) 若点 A(m，y1)、B(n，y2) (m＜n＜3) 都在该抛物线上，
试比较 y1 与 y2 的大小．
∴ y1＜y2.
解：∵ y＝﹣(x﹣3)2 + 2，
∴ 此函数的图象开口向下，
当 x＜3 时，y 随 x 的增大而增大.
∵ 点 A(m，y1)，B(n，y2) (m＜n＜3) 都在该抛物线上，
2
二次函数 y=a(x + h)2+k 与 y=ax2(a≠0) 的关系
y=2x2怎样移动可以得到y=2(x + 3)2- ？
画一画，填出下表：
开口方向
对称轴
顶点坐标
y = 2x2
函数
y = 2x2-
y = 2(x+3)2
y=2(x+3)2-
向上
向上
向上
向上
x = 0
x = 0
x = -3
x = -3
(0,0)
(0,-)
(-3,0)
(-3,-)
2
4
x
-1
2
y
O
-2
-4
6
y = 2x2
y = 2x2-
y = 2(x+3)2
y=2(x+3)2-
平移方法1
向左平移3个单位长度
个单位长度
向下平移
例3 怎样移动抛物线 y = 2x2 就可以得到抛物线
y = 2(x + 3)2 - ？
y = 2x2
y = 2x2-
y=2(x+3)2-
2
4
x
-1
2
y
O
-2
-4
6
8
平移方法2
向下平移 个单位长度
例3 怎样移动抛物线 y = 2x2 就可以得到抛物线
y = 2(x + 3)2 - ？
y = 2x2
y =2(x+3)2
y=2(x+3)2-
向左平移
3 个单位
2
4
x
-1
2
y
O
-2
-4
6
8
归纳总结
y = ax2
y = ax2±k
y = a(x±h)2
y = a( x±h )2±k
上下
平移
左右
平移
上下
平移
左右
平移
平移规律(设 h＞0，k＞0)：
简记为：
上下平移，
常数项上加下减；
左右平移，
自变量左加右减.
二次项系数 a 不变.
二次函数 y = ax2 与 y = a(x±h)2±k 的关系
链接中考
1. (哈尔滨)将抛物线 y =﹣5x2 + 1 向左平移 1 个单位长度，再向下平移 2 个单位长度，所得到的抛物线为 ( )
A．y =﹣5(x + 1)2﹣1 B．y =﹣5(x﹣1)2﹣1
C．y =﹣5(x + 1)2 + 3 D．y =﹣5(x﹣1)2 + 3
A
试着画出二次函数 y = a(x - h)2 + k 不同情况下的大致图象. ( 按 a，h，k 的正负分类 )
a＞0，
h＜0
a＞0，
h＞0
a＜0，
h＜0
a＜0，
h＞0
例4 已知二次函数 y＝a(x－1)2－k 的图象如图所示，则一次函数 y＝ax＋k 的大致图象是 ( )
解析：根据二次函数开口向上得 a＞0，根据 －k 是二次函数顶点坐标的纵坐标，得出 k＞0，故一次函数 y＝ax＋k 的图象经过第一、二、三象限．故选 A.
A
归纳总结
结论：① a 决定开口方向. ② (h，k) 决定顶点坐标.
h 决定对称轴 (直线 x = h). h＜0，对称轴在 y 轴的左侧；h＞0，对称轴在 y 轴的右侧；
k＞0，顶点在 x 轴的上侧；k＜0，顶点在 x 轴的下侧.
③ a，h(对称轴) 决定函数的增减性.
说一说，对于二次函数 y = a(x - h)2 + k (a≠0)
图象性质中，字母 a，h，k 所起的作用.
二次函数 开口方向 对称轴 顶点坐标
y = 2(x + 3)2 + 5
向上
( 1, －2 )
向下
向下
( 3 , 7)
( 2 , －6 )
向上
直线 x=－3
直线 x = 1
直线 x = 3
直线 x = 2
(－3, 5 )
y =－3(x－1)2－2
y = 4(x－3)2＋7
y =－5(2－x)2－6
1. 完成下列表格:
2. 已知函数 y＝﹣(x﹣4)2﹣1.
(3) 怎样移动抛物线 y＝﹣x2，就可以得到抛物线
y＝﹣(x﹣4)2﹣1
(1) 指出函数图象的开口方向是 ，对称轴是
，顶点坐标为 ；
(2) 当 x 时，y 随 x 的增大而减小；
向下
直线 x＝4
(4，﹣1)
＞4
解：将抛物线 y＝﹣x2 向右平移 4 个单位，再向下平移 1 个单位就可以得到抛物线 y＝﹣(x﹣4)2﹣1.
3. 已知二次函数 y＝a(x－1)2－4 的图象经过点 (3，0)．
(1) 求 a 的值；
(2) 若 A(m，y1)、B(m＋n，y2) (n＞0) 是该函数图象上的两点，当 y1＝y 2 时，求 m、n 之间的数量关系．
(1) 将 (3，0) 代入 y＝a(x－1)2－4， 得 0＝4a－4，
(2) 方法一:根据题意，得 y1＝(m－1)2－4，y2＝(m＋n－1)2－4，
∵ y1＝y2，
∴ (m－1)2－4＝(m＋n－1)2－4，即 (m－1)2＝(m＋n－1)2.
∵ n＞0，∴m－1＝－(m＋n－1)，化简，得 2m＋n＝2.
解：
解得 a＝1.
方法二：
∵ 抛物线 y＝a(x－1)2－4 的对称轴是直线 x = 1，
∴ 当 y1＝y 2 时，A、B 两点关于直线 x = 1 对称.
∴ ，化简，得 2m＋n＝2.
要点归纳：对于抛物线 y＝a(x－h)2 + k(a≠0) 上的两个不同点 M(x1，y1)，N(x2，y2)，若 y1 = y2，则必有
，即 x1 + x2 = 2h.
返回
10.
左
2
下
5
返回
11.
A
已知二次函数y＝a(x－h)2＋k(a<0)的图象经过A(0，4)，B(20，3)两点，则h的值可能为( )
A．9
B．10
C．11
D．12
返回
12.
B
返回
13.
0
已知二次函数y＝－(x－h)2(h是常数)，且－2≤x≤3.
(1)当h＝－1时，函数的最大值为________；
(2)若函数的最大值为－1，则h的值为________．
4或－3
返回
14.
15.
(－3，0)
(12分)如图是二次函数y＝a(x＋1)2＋2图象的一部分，根据图象回答下列问题：
(1)抛物线与x轴的一个交点A的坐标是________，则抛物线与x轴的另一个交点B的坐标是________；
(1，0)
(2) a的值为________；
(3)设抛物线的顶点是P，试求△PAB的面积.
返回
16.
(12分) 如图，点P(a，－3)在抛物线C：y＝(x－3)2－4上，且在抛物线C的对称轴的右侧，抛物线与y轴交于点B．
(1)写出抛物线C的对称轴和y的最小值，并求a的值．
解：因为抛物线C：y＝(x－3)2－4，
所以对称轴为直线x＝3，抛物线开口向上，
顶点坐标为(3，－4)．
所以y的最小值为－4.
将点P(a，－3)的坐标代入y＝(x－3)2－4，得(a－3)2－4＝－3，
解得a＝4或a＝2.
因为点P在抛物线C的对称轴的右侧，
所以a＝4.
解：如图，过点D作DE⊥x轴于点E.
令x＝0，则(0－3)2－4＝5，
所以B(0，5)．所以OB＝5.
由旋转可得MB＝MD，∠BMO＋∠EMD＝∠BMD＝90°.
易知∠BMO＋∠OBM＝90°，
所以∠OBM＝∠EMD.
(2)M为x轴上一动点，连接MB，将MB绕点M顺时针旋转90°得到MD，当点D落在抛物线C上时，求出点M的坐标．
因为DE⊥x轴，所以∠BOM＝∠MED＝90°.
所以△BOM≌△MED(AAS)．
所以OM＝DE，ME＝OB＝5.
设M(t，0)，则D(5＋t，t)．
因为点D落在抛物线C上，所以(5＋t－3)2－4＝t，
解得t＝0或t＝－3.
所以点M的坐标为(0，0)或(－3，0)．
(3)在坐标平面上放置一透明胶片，并在胶片上描画出点P及抛物线C的一段，分别记为P′，C′，平移该胶片，使C′所在抛物线对应的函数表达式恰为y＝x2＋2.直接写出点P′移动的最短距离.
返回
一般地，抛物线 y = a( x - h )2 + k (a≠0)
与 y = ax2 (a≠0) 的形状相同，位置不同.
二次函数
y = a(x - h)2 + k (a ≠ 0) 的图象和性质
图象特点
当a＞0，开口向上；当a＜0，开口向下.
对称轴是 x = h，
顶点坐标是 (h，k)
平移规律
左右平移：自变量左加右减；
上下平移：常数项上加下减.
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！