2.2.5二次函数y=ax^2+bx+c的图象与性质 课件(共39张PPT)-2025-2026学年北师大版数学九年级下册教学课件

(共39张PPT)
第 1 页：封面页
标题：2.2.5 二次函数 y=ax +bx+c 的图象与性质
副标题：北师大版九年级数学下册
配图：标注二次函数 y=ax +bx+c 图象（抛物线）的顶点、对称轴、与坐标轴交点，旁注 a、b、c 参数，直观体现参数与图象的关联
落款：授课教师 / 日期
第 2 页：学习目标
知识目标：理解二次函数一般式 y=ax +bx+c（a≠0）中 a、b、c 对图象的影响，掌握通过配方法将一般式化为顶点式的技巧，熟练归纳该函数的图象特征与性质。
能力目标：能从一般式直接分析函数的开口、对称轴、顶点、最值及增减性，提升图象分析与代数转化能力，能解决与一般式相关的实际问题。
素养目标：构建二次函数 “一般式” 与 “顶点式” 的知识桥梁，深化数形结合思想，培养逻辑推理与综合应用能力，为二次函数的后续学习夯实基础。
第 3 页：回顾衔接 从顶点式到一般式
回顾：上节课学习的顶点式 y=a (x-h) +k 中，h=-b/(2a)、k=(4ac-b )/(4a)，这意味着一般式 y=ax +bx+c 可通过配方法转化为顶点式，两者本质是同一函数的不同表达形式。
思考：直接观察一般式 y=ax +bx+c，能否快速判断图象的开口方向？而对称轴、顶点坐标等特征，又该如何通过一般式中的 a、b、c 直接计算？
第 4 页：参数影响 a、b、c 对图象的作用
1. 二次项系数 a 的影响（与顶点式一致）：
开口方向：a>0 时，抛物线开口向上；a<0 时，开口向下。
开口大小：|a | 越大，抛物线开口越小；|a | 越小，开口越大。
例：y=2x +3x-1（a=2>0，开口向上，开口小）；y=-1/2x +2x+5（a=-1/2<0，开口向下，开口大）。
2. 一次项系数 b 的影响（与 a 共同决定对称轴）：
对称轴公式：x=-b/(2a)（由顶点式 h=-b/(2a) 推导而来）。
规律：当 a>0 时，b 与 a 同号（ab>0），对称轴在 y 轴左侧（x<0）；b 与 a 异号（ab<0），对称轴在 y 轴右侧（x>0）；b=0 时，对称轴为 y 轴（x=0）。
例：y=x +4x+3（a=1>0，b=4>0，ab>0，对称轴 x=-4/(2×1)=-2<0，在左侧）；y=2x -6x+1（a=2>0，b=-6<0，ab<0，对称轴 x=6/(2×2)=1.5>0，在右侧）。
3. 常数项 c 的影响（决定抛物线与 y 轴的交点）：
抛物线与 y 轴交点坐标为 (0,c)（令 x=0，得 y=c）。
例：y=3x +2x-5（c=-5，与 y 轴交于 (0,-5)）；y=-x +4（c=4，与 y 轴交于 (0,4)）。
第 5 页：图象特征 从一般式分析核心性质
核心分析步骤（以 y=ax +bx+c，a≠0 为例）：
定开口：根据 a 的符号（正向上，负向下）与 | a|（定开口大小）。
求对称轴：代入公式 x=-b/(2a) 计算。
找顶点坐标：
方法一：先求对称轴 x=-b/(2a)，再将其代入一般式，计算对应的 y 值（即 k=(4ac-b )/(4a)），顶点为 (-b/(2a)，(4ac-b )/(4a))。
方法二：通过配方法将一般式化为顶点式，直接提取顶点 (h,k)。
判最值：a>0 时，顶点为最低点，y 有最小值 k=(4ac-b )/(4a)；a<0 时，顶点为最高点，y 有最大值 k=(4ac-b )/(4a)。
析增减性：以对称轴 x=-b/(2a) 为界，分左右两段判断：
a>0：x<-b/(2a) 时，y 随 x 增大而减小；x>-b/(2a) 时，y 随 x 增大而增大。
a<0：x<-b/(2a) 时，y 随 x 增大而增大；x>-b/(2a) 时，y 随 x 增大而减小。
示例：分析 y=-2x +4x+1 的图象特征：
开口：a=-2<0，开口向下，开口小。
对称轴：x=-4/(2×(-2))=1。
顶点：x=1 时，y=-2×1 +4×1+1=3，顶点为 (1,3)。
最值：a<0，y 有最大值 3。
增减性：x<1 时，y 随 x 增大而增大；x>1 时，y 随 x 增大而减小。
第 6 页：配方法 一般式与顶点式的转化（复习巩固）
转化步骤（以 y=ax +bx+c 为例）：
提取二次项系数 a：y=a (x +(b/a) x)+c；
配方（补 “(b/(2a)) - (b/(2a)) ”）：y=a [(x +(b/a) x+(b/(2a)) ) - (b/(2a)) ]+c；
化为完全平方：y=a (x+b/(2a)) - a×(b /(4a ))+c；
整理常数项：y=a (x+b/(2a)) + (4ac-b )/(4a)，即 y=a (x-h) +k（h=-b/(2a)，k=(4ac-b )/(4a)）。
实例：将 y=3x -6x+2 化为顶点式：
y=3(x -2x)+2；
y=3[(x -2x+1)-1]+2；
y=3(x-1) - 3 + 2；
y=3 (x-1) -1（顶点为 (1,-1)，与直接计算结果一致）。
第 7 页：典例精讲 一般式性质应用
例题 1：直接分析函数性质
已知二次函数 y=-x +2x+3，回答下列问题：
（1）该函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标分别是什么？
（2）当 x 取何值时，y 取得最值？最值是多少？
（3）当 x 为何值时，y 随 x 的增大而减小？
解答：
（1）a=-1<0，开口向下；对称轴 x=-2/(2×(-1))=1；顶点 x=1 时，y=-1+2+3=4，顶点为 (1,4)。
（2）a<0，x=1 时，y 取得最大值 4。
（3）a<0，对称轴 x=1，故 x>1 时，y 随 x 增大而减小。
例题 2：结合与坐标轴交点的问题
已知二次函数 y=x -3x+2，求该函数图象与 x 轴、y 轴的交点坐标，并求出顶点坐标，画出简易图象。
解答：
与 y 轴交点：令 x=0，y=2，交点为 (0,2)。
与 x 轴交点：令 y=0，x -3x+2=0→(x-1)(x-2)=0→x=1 或 x=2，交点为 (1,0)、(2,0)。
顶点：对称轴 x=3/(2×1)=1.5，y=1.5 -3×1.5+2=-0.25，顶点为 (1.5,-0.25)。
简易图象：标注三个交点与顶点，根据开口向上画出抛物线。
第 8 页：易错警示与避坑指南
常见易错点：
对称轴公式记错：误将 x=-b/(2a) 记为 x=b/(2a) 或 x=-2b/a，导致对称轴计算错误。
顶点纵坐标计算错误：代入对称轴 x 值求 y 时，粗心算错结果（如 y=2x -4x+1，x=1 时，误算 y=2-4+1=-2，正确为 y=2-4+1=-1）。
增减性判断忽略 a 的符号：无论 a 正负，均认为 x 越大 y 越大，未结合对称轴与 a 的符号分析。
避坑技巧：
牢记对称轴公式 “x=-b/(2a)”，计算时先标注 a、b 的符号，避免符号错误。
求顶点纵坐标时，可同时用 “代入法” 和 “公式法（k=(4ac-b )/(4a)）” 验证，确保结果正确。
分析增减性前，先明确 “a 的符号” 和 “对称轴位置”，画出简易对称轴，分两段判断。
第 9 页：课堂练习 分层提升
基础题：
（1）二次函数 y=2x -4x+3 中，a=，b=，c=，开口向，对称轴为______，顶点坐标为______，当 x=时，y 取得最______值，为。（答案：2，-4，3，上，x=1，(1,1)，1，小，1）
（2）若二次函数 y=ax +bx+c 的图象开口向下，对称轴在 y 轴左侧，则 a______0，b______0（填 “>”“<” 或 “=”）。（答案：<，<）
中档题：
已知二次函数 y=x -2mx+m +1（m 为常数），求该函数图象的对称轴与顶点坐标，并判断当 x 为何值时，y 随 x 的增大而增大。（解答：对称轴 x=-(-2m)/(2×1)=m；顶点 x=m 时，y=m -2m×m+m +1=1，顶点为 (m,1)；a=1>0，故 x>m 时，y 随 x 增大而增大）
提升题：
已知二次函数 y=ax +bx+c 的图象过点 (0,1)、(1,3)、(2,3)，求该函数的解析式，并求出当 y>1 时 x 的取值范围。（解答：代入三点得 c=1，a+b+1=3，4a+2b+1=3→a=-1，b=3，解析式为 y=-x +3x+1；y>1→-x +3x+1>1→-x +3x>0→x (-x+3)>0→0第 10 页：课堂小结与作业布置
小结：
一般式 y=ax +bx+c 中，a 定开口（方向 + 大小），a、b 定对称轴（x=-b/(2a)），a、b、c 定顶点（(-b/(2a)，(4ac-b )/(4a))）与最值。
性质分析核心：先看 a 的符号，再算对称轴，找顶点，分两段判增减性。
与顶点式的关联：通过配方法可互化，根据题目需求选择合适形式（求交点用一般式，求最值用顶点式）。
作业：
基础作业：教材习题 2.2 第 11、12 题（含性质分析、解析式求解）。
拓展作业：已知二次函数 y=ax +bx+c 的图象与 x 轴交于 (1,0)、(3,0)，与 y 轴交于 (0,3)，求该函数的解析式，并分析当 1≤x≤4 时，y 的取值范围。
2025-2026学年北师大版数学九年级下册【示范课精品课件】
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
2.2.5二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质
第二章 二次函数
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
顶点坐标 对称轴 最值
y = -2x2
y = -2x2 - 5
y = -2(x + 2)2
y = -2(x + 2)2 - 4
y = (x - 4)2 + 3
y = -x2 + 2x
y = 3x2 + x - 6
(0，0)
y 轴
0
(0，-5)
y 轴
-5
(-2，0)
直线 x = -2
0
(-2，-4)
直线 x = -2
-4
(4，3)
直线 x = 4
3






二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象和性质
1
猜想：通过组合平移 y = ax (a≠0) 的图像能否得到
y = ax + bx + c (a≠0) 的图像？
y = ax
通过上下左右平移
y = a(x h)2+k
y = ax +bx+c
是否有关系？
相互转化
(1) x2 12x + 36 = (x____)2；
填一填
(2) x2 12x = (x____)2 ____.
6
36
6
合作探究
问题1 怎样将 y=2x - 4x + 5化成 y = a(x h)2 + k 的形式？
想一想：配方的方法及步骤是什么？
y = 2x - 4x + 5
(1)“提”：提出二次项系数；
(2)“配”：括号内配成完全平方；
(3)“化”：化成顶点式.
提示：配方后的解析式通常称为顶点式.
= 2(x - 2x) + 5
= 2(x - 2x + 1 - 1 ) + 5
= 2(x - 1) + 3
问题2 你能说出 y = 2(x - 1) + 3 的对称轴及顶点坐标吗？
答：对称轴是直线 x = 1，顶点坐标是 (1，3).
问题3 二次函数 y = 2(x - 1) + 3 可以看作是由 y = 2x 怎样平移得到的？
答：平移方法 1：先向上平移 3 个单位，再向右平移 1 个单位得到的；
平移方法 2：先向右平移 1 个单位，再向上平移 3 个单位得到的.
问题4 如何用描点法画二次函数 y = 2x - 4x + 5 的图象？
3
2
1
0
-1
x
解：先利用图形的对称性列表；
11
5
3
5
11
然后描点画图，得到图象
如右图.
y=2(x-1) +3
1
2
x
1
y
O
-1
-1
3
6
2
5
3
4
7
8
9
10
11
问题5 结合二次函数 y = 2x - 4x + 5 的图象，说出其增减性.
当 x＜1 时，y 随 x 的增大而减小；
当 x＞1 时，y 随 x 的增大而增大.
试一试
你能用上面的方法讨论二次函数
y = 2x2 - 8x + 7 的图象和性质吗？
1
2
x
1
y
O
-1
-1
3
6
2
5
3
4
7
8
9
10
11
因此，二次函数 y = 2x2 - 8x + 7 图象的对称轴是直线 x = 2，顶点坐标为 (2,-1)，当 x＜2 时，y 随 x 的增大而减小，当 x＞2 时，y 随 x 的增大而增大.
解：
例1 求二次函数 y = 2x2 - 8x + 7 图象的对称轴、顶点坐标和增减性.
典例精析
y = 2x2 - 8x + 7 = 2(x2 - 4x) + 7
= 2(x2 - 4x + 4) - 8 + 7 = 2(x - 2)2 - 1
做一做
确定下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标：
(1) y = 3x2 - 6x + 7； (2) y = 2x2 - 12x + 8.
y = 3x2 - 6x + 7
= 3(x2 - 2x) + 7
= 3(x2 - 2x + 1 - 1) + 7
= 3(x - 1)2 + 4
y = 2x2 - 12x + 8
对称轴：x = 1
顶点坐标：(1，4)
= 2(x2 - 6x) + 8
= 2(x2 - 6x + 9 - 9) + 8
= 2(x - 3)2 - 10
对称轴：x = 3
顶点坐标：(3，-10)
我们如何用配方法将二次函数的一般式 y = ax2 + bx + c (a ≠ 0) 化成顶点式 y = a(x - h)2 + k？
y = ax + bx + c
归纳总结
因此，抛物线 y = ax2 + bx + c 的顶点坐标是
对称轴是直线
，
.
1.一般地，二次函数 y = ax2 + bx + c 可以通过配方化成 y = a(x - h)2 + k 的形式，即
.
二次函数 y = ax2 + bx + c 的顶点式
y = ax2 + bx + c =
如果 a＜0，当 x＜ 时，y 随 x 的增大而增大；
当x＞ 时，y 随 x 的增大而减小.
如果 a＞0，当 x＜ 时，y 随 x 的增大而减小；
当 x＞ 时，y 随 x 的增大而增大.
(1)
(2)
x
y
O
x
y
O
归纳总结
典例精析
例1 已知二次函数 y＝x2﹣6x + 5．
(1) 将 y＝x2﹣6x + 5 化成 y＝a(x﹣h)2 + k 的形式；
(2) 求该二次函数的图象的对称轴和顶点坐标；
(3) 当 x 取何值时，y 随 x 的增大而减小？
(3) ∵ 抛物线的开口向上，对称轴是 x＝3，
∴ 当 x≤3 时，y 随 x 的增大而减小．
解：(1) y＝x2﹣6x + 5＝(x﹣3)2﹣4.
(2) 二次函数的图象的对称轴是 x＝3，顶点坐标是 (3，-4).
2
二次函数的图象与系数的关系
想一想，对于二次函数 y = ax2 + bx + c (a≠0)
图象性质中，字母 a，b，c 所起的作用.
开口方向
一般研究哪几种性质？
顶点坐标
对称轴
增减性
a 决定
a，b 共同决定
开口方向，对称轴
a，b 共同决定
c 决定什么？
合作探究
x
y
O
问题 二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象如下图所示，请根据二次函数的性质填空：
a1 ___0
b1 ___0
c1 ___0
a2 ___0
b2 ___0
c2 ___0
＞
＞
＞
＞
＜
＝
x = 0 时
y = c.
y2 = a2x2 + b2x + c2
y1=a1x2+b1x+c1
x
y
O
a3 ___ 0
b3 ___ 0
c3 ___ 0
a4 ___ 0
b4 ___ 0
c4 ___ 0
＜
＝
＞
＜
＞
＜
x = 0时
y = c.
y4 = a4x2 + b4x + c4
y3 = a3x2 + b3x + c3
字母符号 图象的特征
a＞0 开口___________
a＜0 开口___________
b = 0 对称轴为_____轴
a、b 同号(ab＞0) 对称轴在 y 轴的____侧
a、b 异号(ab＜0) 对称轴在 y 轴的____侧
c = 0 经过原点
c ＞ 0 与 y 轴交于_____半轴
c ＜ 0 与 y 轴交于_____半轴
向上
向下
y
左
右
正
负
二次函数图象与 a、b、c 的关系
归纳总结
链接中考
1. (浙江)如图，已知二次函数 y＝ax2＋bx＋c 图象的对称轴为直线 x＝-1，下列结论： ①abc＜0；②3a＜-c；
③若 m 为任意实数，则有 a - bm＜am2 + b；
④若图象经过点(-3，-2)，方程 a2 + bx + c + 2 = 0
的两根为 x1，x2 ( | x1 |＜| x2 | )，则 2x1－x2 = 5.
其中正确的结论的个数是 (　　)
A．1　　　B．2　　　
　C．3　　　D．4
O
x = -1
1
x
y
【解析】解：①：由图象可知：a＜0，c＞0， ，
∴ b = 2a＜0，∴ abc＞0，故 ① 错误；
②：当 x = 1 时，y = a + b + c = a + 2a + c = 3a + c＜0，
∴3a＜-c，故 ② 正确；
③：∵ x = -1 时，y 有最大值，
∴ a - b + c≥am2 + bm + c ( m 为任意实数)，
即 a - b≥am2 + bm，即 a - bm≥am2 + b.
故 ③ 错误；
O
x = -1
1
x
y
④：∵二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a≠0) 图象经过点
(-3，-2)，方程 ax2＋bx＋c＋2 = 0 的两根
为 x1，x2 ( | x1 |＜| x2 | )，
∴二次函数 y＝ax2＋bx＋c 与直线 y = -2 的一个交点
为 (-3，-2).
∵抛物线的对称轴为直线 x＝-1，
∴二次函数 y＝ax2＋bx＋c 与直线 y = -2 的
另一个交点为 (1，-2)，即 x1 = 1，x2 = -3.
∴2x1－x2 = 2－(-3) = 5，故 ④ 正确．
所以正确的是 ②④.
O
x = -1
1
x
y
做一做
如图所示，桥梁的两条钢缆具有相同的抛物线形状，而且左、右两条抛物线关于 y 轴对称. 按照图中的直角坐标系，左面的一条抛物线可以 表示.
(1) 钢缆的最低点到桥面的距离是多少
(2) 两条钢缆最低点之间的距离是多少
顶点坐标(-20，1)
(1) 1 m.
(2) 40 m.
1.已知二次函数 y = ax2+bx+c 的 x、y 的部分对应值如下表：
x -1 0 1 2 3
y 5 1 -1 -1 1
A. y轴 B. 直线 x=
C. 直线 x=2 D. 直线 x=
则该二次函数图象的对称轴为( )
D
2. 根据公式确定下列二次函数图象的对称轴、顶点坐标和最值：
直线 x=3
直线 x=8
直线 x=1.25
直线 x= 0.5
最小值-5
最大值1
最小值
最大值
O
y
x
–1
–2
3
3.已知二次函数 y = ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则下列结论：
（1）a、b 同号；
（2）当 x = –1和 x = 3 时，函数值相等；
（3） 4a+b = 0；
（4）当 y = –2 时，x 的值只能取 0；
其中正确的是 .
直线x=1
（2）
返回
1.
把y＝x2－4x＋5化为y＝a(x－h)2＋k的形式为(　　)
A．y＝(x－2)2＋5
B．y＝(x－2)2＋1
C．y＝(x＋2)2＋1
D．y＝(x＋2)2＋5
B
2.
抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴是直线________，
顶点坐标是________________.　　　
返回
3.
x＝－3
抛物线y＝x2＋6x－8的对称轴为直线________，顶点坐标为_______________.
(－3，－17)
(8分)[教材P41“随堂练习”变式]写出下列二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标.
(1)y＝1－6x－x2；
(2)y＝2(x＋1)(x－3)．
返回
4.
解：y＝1－6x－x2＝－(x＋3)2＋10，故抛物线的开口向下，
对称轴为直线x＝－3，顶点坐标为(－3，10)．
y＝2(x＋1)(x－3)＝2x2－4x－6＝2(x－1)2－8，故抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，顶点坐标为(1，－8)．
返回
5.
B
二次函数y＝x2＋2x＋1的图象大致是(　　)
返回
6.
A
已知二次函数y＝－2x2＋4x＋5，当函数值y随x的增大而增大时，x的取值范围是(　　)
A．x＜1
B．x＞1
C．x＜2
D．x＞2
返回
7.
D
关于二次函数y＝3x2＋6x－4，下列说法正确的是(　　)
A．图象的对称轴在y轴右侧
B．图象与y轴的交点坐标为(0，4)
C．函数有最小值－4
D．当x＞0时，y随x的增大而增大
返回
8.
D
若点(2，5)，(6，5)是抛物线y＝ax2＋bx＋c上的两个点，则它的对称轴是(　　)
A．直线x＝1
B．直线x＝2
C．直线x＝3
D．直线x＝4
9.
解：因为y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，所以该抛物线的对称轴为直线x＝1.
当x＝0时，y＝3，则该抛物线与y轴的交点坐标为(0，3)．
当y＝0时，－x2＋2x＋3＝0，解得x1＝3，x2＝－1.
所以该抛物线与x轴的交点坐标为(－1，0)，(3，0)．
(16分) 已知抛物线y＝－x2＋2x＋2.
(1)求该抛物线的对称轴和与x轴、y轴的交点坐标；
解：当x＝1时，该函数有最大值，最大值为4.
(2)当x取何值时，该函数有最大值，并求出最大值；
图象如图．
由图象可知，当x>1时，
y随x的增大而减小．
(3)画出该函数图象，根据图象指出x为何值时，y随着x的增大而减小；
－5(4)当－1返回
返回
10.
D
[2024南通中考]将抛物线y＝x2＋2x－1向右平移3个单位长度后得到新抛物线的顶点坐标为(　　)
A．(－4，－1)
B．(－4，2)
C．(2，1)
D．(2，－2)
顶点：
对称轴：
y = ax2+bx+c ( a ≠ 0 )
(一般式)
配方法
公式法
(顶点式)
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！