2.3 确定二次函数的表达式 课件(共40张PPT)-2025-2026学年北师大版数学九年级下册教学课件

(共40张PPT)
第 1 页：封面页
标题：2.3 确定二次函数的表达式
副标题：北师大版九年级数学下册
配图：展示三种表达式形式（一般式、顶点式、交点式）对应的抛物线示意图，标注关键条件（如顶点、与 x 轴交点、任意三点）
落款：授课教师 / 日期
第 2 页：学习目标
知识目标：掌握根据 “已知顶点与一点”“已知与 x 轴交点及一点”“已知任意三点” 三种条件，分别选择顶点式、交点式、一般式求二次函数表达式的方法。
能力目标：能根据题目给出的条件，灵活选择最优表达式形式，提升代数运算与问题分析能力，熟练求解二次函数解析式。
素养目标：体会 “数形结合” 与 “方程思想” 在求函数表达式中的应用，培养逻辑推理与灵活应变能力，为二次函数的综合应用奠定基础。
第 3 页：回顾衔接 二次函数的三种表达式形式
三种核心表达式：
一般式：y = ax + bx + c（a≠0），适用于已知函数图象上任意三点的情况（需列三元一次方程组求解 a、b、c）。
顶点式：y = a (x - h) + k（a≠0），适用于已知函数顶点坐标 (h,k) 及任意一点的情况（仅需求一个未知量 a）。
交点式（两根式）：y = a (x - x )(x - x )（a≠0），适用于已知函数图象与 x 轴两个交点坐标 (x ,0)、(x ,0) 及任意一点的情况（仅需求一个未知量 a）。
思考：已知二次函数的顶点为 (2,3)，且过点 (1,5)，应选择哪种表达式求解析式更简便？若已知函数过 (0,2)、(1,3)、(2,6) 三点，又该选哪种形式？
第 4 页：类型一 已知顶点与一点，用顶点式求表达式
适用条件：明确给出顶点坐标 (h,k)，且已知图象上另一个任意点的坐标。
解题步骤：
设二次函数的顶点式为 y = a (x - h) + k（将已知顶点 (h,k) 代入，表达式中仅 a 为未知量）；
将已知的另一个点的坐标 (x ,y ) 代入顶点式，得到关于 a 的一元一次方程；
解方程求出 a 的值；
将 a 的值代入顶点式，整理为最简形式（可根据需求化为一般式）。
例题：已知二次函数的顶点为 (1,-2)，且图象过点 (3,2)，求该函数的表达式。
解答：
设顶点式为 y = a (x - 1) - 2（h=1，k=-2）；
代入 (3,2)：2 = a (3 - 1) - 2 → 2 = 4a - 2；
解方程：4a = 4 → a=1；
表达式为 y = (x - 1) - 2，整理为一般式：y = x - 2x - 1。
小结：顶点式需先定 “顶点”，再用 “一点” 求 a，计算量最小，优先选择。
第 5 页：类型二 已知与 x 轴交点及一点，用交点式求表达式
适用条件：明确给出函数图象与 x 轴的两个交点坐标 (x ,0)、(x ,0)，且已知图象上另一个任意点的坐标。
解题步骤：
设二次函数的交点式为 y = a (x - x )(x - x )（将已知交点 x 、x 代入，表达式中仅 a 为未知量）；
将已知的另一个点的坐标 (x ,y ) 代入交点式，得到关于 a 的一元一次方程；
解方程求出 a 的值；
将 a 的值代入交点式，整理为最简形式（可根据需求化为一般式或顶点式）。
例题：已知二次函数的图象与 x 轴交于 (2,0) 和 (4,0)，且过点 (1,3)，求该函数的表达式。
解答：
设交点式为 y = a (x - 2)(x - 4)（x =2，x =4）；
代入 (1,3)：3 = a (1 - 2)(1 - 4) → 3 = a (-1)(-3) → 3 = 3a；
解方程：a=1；
表达式为 y = (x - 2)(x - 4)，整理为一般式：y = x - 6x + 8。
注意：若交点坐标为 (-m,0)，则交点式中写为 (x + m)（如交点 (-1,0)，对应 (x + 1)）。
第 6 页：类型三 已知任意三点，用一般式求表达式
适用条件：已知函数图象上三个不共线的任意点的坐标（无顶点、无交点信息）。
解题步骤：
设二次函数的一般式为 y = ax + bx + c（a≠0）；
将三个点的坐标分别代入一般式，得到关于 a、b、c 的三元一次方程组；
解三元一次方程组，求出 a、b、c 的值；
将 a、b、c 的值代入一般式，得到函数表达式。
例题：已知二次函数的图象过 (0,1)、(1,2)、(2,5) 三点，求该函数的表达式。
解答：
设一般式为 y = ax + bx + c；
代入三点得方程组：
当 x=0，y=1：c=1；
当 x=1，y=2：a + b + c = 2；
当 x=2，y=5：4a + 2b + c = 5；
解方程组：
由 c=1，代入第二个方程：a + b = 1；
代入第三个方程：4a + 2b = 4 → 2a + b = 2；
联立：2a + b - (a + b) = 2 - 1 → a=1，代入 a + b=1 得 b=0；
表达式为 y = x + 1。
小结：一般式需解三元方程组，计算量较大，仅在无顶点、无交点信息时使用。
第 7 页：典例精讲 灵活选择表达式形式
例题 1：条件含顶点与交点
已知二次函数的顶点为 (3,4)，且图象与 x 轴交于 (1,0)，求该函数的表达式。
分析：已知顶点，优先选顶点式。
解答：
设顶点式为 y = a (x - 3) + 4；
代入 (1,0)：0 = a (1 - 3) + 4 → 0 = 4a + 4 → a=-1；
表达式为 y = -(x - 3) + 4，整理为一般式：y = -x + 6x - 5。
例题 2：条件模糊，需先推导关键信息
已知二次函数的图象过点 (2,0)，且对称轴为 x=1，过点 (3,5)，求该函数的表达式。
分析：对称轴 x=1，可推导顶点横坐标 h=1，选顶点式；或由对称轴 x=1 及交点 (2,0)，推导另一个交点为 (0,0)（对称点），选交点式。
解答（顶点式）：
设顶点式为 y = a (x - 1) + k；
代入 (2,0)：0 = a (2 - 1) + k → a + k = 0；
代入 (3,5)：5 = a (3 - 1) + k → 4a + k = 5；
联立解得：a=5/3，k=-5/3；
表达式为 y = (5/3)(x - 1) - 5/3，整理为一般式：y = (5/3) x - (10/3) x。
第 8 页：方法总结 表达式选择口诀与注意事项
选择口诀：
有顶点，选顶点（已知顶点或可求顶点，优先用顶点式）；
有交点，选交点（已知与 x 轴两个交点，用交点式）；
三点乱，选一般（已知任意三点，无特殊信息，用一般式）。
注意事项：
无论选择哪种形式，最后需根据题目要求判断是否需要化为一般式（若无要求，保留所选形式即可）；
用交点式时，需注意交点坐标的符号（如交点 (-2,0) 对应 (x + 2)，而非 (x - 2)）；
解方程组时，可先利用特殊点（如与 y 轴交点，x=0 时 y=c）简化计算，减少运算量。
第 9 页：课堂练习 分层提升
基础题：
（1）已知二次函数顶点为 (0,-3)，且过点 (1,2)，求表达式（答案：y = 5x - 3）。
（2）已知二次函数与 x 轴交于 (3,0) 和 (-1,0)，且过点 (0,-3)，求表达式（答案：y = x - 2x - 3）。
中档题：
已知二次函数过 (1,1)、(2,4)、(3,9) 三点，求表达式（提示：观察三点特征，可简化计算，答案：y = x ）。
提升题：
已知二次函数的图象过点 (1,3)，且当 x=2 时，y 取得最大值 5，求该函数的表达式（答案：y = -2 (x - 2) + 5 或 y = -2x + 8x - 3）。
第 10 页：课堂小结与作业布置
小结：
三种表达式的适用条件：顶点式（顶点 + 一点）、交点式（两交点 + 一点）、一般式（任意三点）。
核心解题思路：设表达式→代入已知点→解方程（组）→求参数→写解析式。
关键技巧：根据条件灵活选形式，利用特殊点简化计算。
作业：
基础作业：教材习题 2.3 第 1、2、4 题（分别用三种形式求表达式）。
拓展作业：已知二次函数的图象与 x 轴交于 A (-2,0)、B (4,0)，且过点 C (1,-9)，分别用交点式和一般式求表达式，并比较两种方法的优劣。
2025-2026学年北师大版数学九年级下册【示范课精品课件】
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2.3 确定二次函数的表达式
第二章 二次函数
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1. 一次函数 y = kx + b (k≠0)，反比例函数 (k≠0) 分别有几个待定系数？通常需要已知几个点的坐标求出它的表达式？
2. 求一次函数表达式的方法是什么？它的一般步骤是什么？
待定系数法
(1) 设：表达式 (2) 代：坐标代入
(3) 解：方程(组)
(4) 还原：写出解析式
2 个待定系数，需要 2 个点坐标
1 个待定系数，需要 1 个点坐标
想一想 二次函数的表达式有几种形式？类比猜想每一种需要几个点坐标可以确定表达式？
二次函数
y＝ax2＋bx
y＝ax2
y＝ax2＋c
y＝ax2＋bx＋c
y = a(x - h)2 + k
顶点坐标 + 另一点坐标
两个点坐标
两个点坐标
一个点坐标
三个点坐标
一名学生推铅球时，铅球行进高度 y (m) 与水平距离 x (m)之间的关系如图所示，其中 (4，3) 为图象的顶点，你能求出 y 与 x 之间的关系式吗
1
顶点法求二次函数的表达式
合作探究
分析：观察图象，已知顶点坐标为(4，3)，则设抛物线为顶点式 y = a(x - h)2 + k .
再在图象找一点坐标(10，0).
1.设：表达式
2.代：
坐标代入
3.解：方程
4.还原：
写出表达式
解：设这个二次函数的表达式是
y = a(x - h)2 + k，
把顶点 (4，3) 代入 y = a(x - h)2 + k 得
y = a(x - 4)2 + 3，
再把点 (10，0) 代入上式得
a(10 - 4)2 + 3 = 0，
解得 a = -.
∴二次函数的表达式是 y = -(x - 4)2 + 3或 y = - x2 + x + .
1. 一个二次函数的图象经点 (0, 1)，它的顶点坐标为(8，9)，求这个二次函数的表达式.
解： 因为这个二次函数的图象的顶点坐标为(8,9)，因此，可以设函数表达式为 y = a(x - 8)2 + 9.
又由于它的图象经过点(0 ,1)，可得 1= a(0-8)2+9.
解得
∴所求的二次函数的表达式是
针对训练
∴
　　例1 已知二次函数 y＝ax2 ＋ c 的图象经过点 (2，3)
和 (－1，－3)，求这个二次函数的表达式．
解：∵该图象经过点 (2，3) 和 (－1，－3)，
3 = 4a + c，
－3 = a + c，
∴所求二次函数表达式为 y = 2x2－5.
a = 2，
c=－5.
解得
{
关于 y 轴对称
{
特殊条件的二次函数的表达式
2
　　2. 已知二次函数 y＝ax2 ＋ bx 的图象经过点(－2，8)
和(－1，5)，求这个二次函数的表达式．
解：∵该图象经过点 (-2，8) 和 (-1，5)，
图象经过
原点
8 = 4a - 2b，
5 = a - b.
∴
解得
∴ y = -x2 - 6x.
{
{
a = -1，
b = -6.
针对训练
做一做
已知二次函数的图象与 y 轴交点的纵坐标为 1，且经过点 (2， 5) 和(-2，13)，求这个二次函数的表达式.
解： 因为二次函数的图象与 y 轴交点的纵坐标为 1，因此，可以设函数表达式为 y = ax2 + bx + 1.
∵该图象经过点 (2， 5) 和 (-2，13)，
13 = 4a - 2b + 1.
5 = 4a + 2b + 1，
a = 2，
解得
b = -2，
∴所求二次函数表达式为 y = 2x2－2x + 1.
想一想
在什么情况下，已知二次函数图象上两点的坐标就可以确定它的表达式
二次函数 y = ax2+ bx + c 可化成：y = a(x - h)2 + k，顶点是 (h，k). 如果已知顶点坐标，那么再知道图象上另一点的坐标，就可以确定这个二次函数的表达式.
已知二次函数 y = ax2+ bx + c 中一项系数，再知道图象上两点的坐标，也可以确定这个二次函数的表达式.
3
已知二次函数 y = ax2+ bx + c 图象上的三个点，可以确定这个二次函数的表达式吗
一般式法求二次函数的表达式
例2 已知二次函数的图象经过点(－1，10)，(1，4)，(2，7) 三点，求这个二次函数的表达式，并写出它的对称轴和顶点坐标．
合作探究
1.设：一般式
2.代：
坐标代入
3.解：
方程(组)
解： 设这个二次函数的表达式是
y = ax2 + bx + c，
把 (－1，10)，(1，4)，(2，7) 代入
y = ax2 + bx + c 得
a = 2，
c = 5.
解得
b = -3，
10 = a - b + c，
7 = 4a + 2b + c.
4 = a + b + c，
∴二次函数图像对称轴为直线 ，
顶点坐标为 .
∴所求二次函数表达式为
4.还原：
写出解析式
小聪探究发现运动距离 y 与随运动时间 t 之间成二次函数关系.
链接中考
1.(武汉)在一条笔直的滑道上有黑、红两个小球同向运动，黑球在 A 处开始减速，此时红球在黑球前面 70 cm.
小聪测量黑球减速后的运动距离 y (单位：cm) 随运动时间 t (单位：s) 变化的数据，整理得下表.
A
运动时间 t/s 0 1 2 3 4
运动距离 y/cm 0 9.75 19 27.75 36
运动时间 t/s 0 1 2 3 4
运动距离 y/cm 0 9.75 19 27.75 36
求 y 关于 t 的函数解析式(不用写出自变量的取值范围).
解：设所求二次函数的解析式为 y = at2 + bt + c.
将 (0，0 )，(2，19)，(4，36) 三点代入解析式中，得
注意：
取点取整数点.
故所求二次函数解析式为
求二次函数 y = x2 + 2x - 3 的图象与 x 轴的交点坐标？
x2 + 2x - 3 = 0
(x - 1)(x + 3) = 0
x1 = 1，
x2 = -3
y = x2 + 2x - 3
y = (x - 1)(x + 3)
因式分解
因式分解
令 y = 0
x
y
O
x1
x2
·
·
4
交点法求二次函数的表达式
y = ax2 + bx + c (a≠0)
因式分解
y = a(x - x1)(x - x2)
交点式
图象与 x 轴的两个交点
例2 选取(-3，0)，(-1，0)，(0，-3)，试求出这个二次函数的表达式.
x
y
O
1
2
-1
-2
-3
-4
-2
-4
1
x
y
O
1
2
-1
-2
-3
-4
-2
-4
1
分析：(-3，0)，(-1，0) 是抛物线 y = ax2 + bx + c 与 x 轴的交点.
1.设：交点式
设这个抛物线表达式为 y = a(x + 3)(x + 1).
2.代：坐标代入
再把点 (0，-3) 代入上式得
∴ a(0 + 3)(0 + 1) = -3，
3.解：方程(组)
解得 a = -1.
4.还原：写出表达式
∴ 二次函数的表达式是
y = -(x+3)(x+1)，即 y = -x2-4x-3.
2. 分别求出满足下列条件的二次函数的表达式．
图象经过点 A(1，0)，B(0，-3)，对称轴是直线 x = 2.
解：∵ 图象经过点 A(1，0)，对称轴是直线 x = 2，
∴ 图象经过另一点 (3，0).
故可设该二次函数的表达式为 y = a(x 1)(x 3).
将点 (0， 3)代入，得
3 = a(0 1)(0 3)，
解得
a = 1.
∴ 该二次函数的表达式为
y = (x 1)(x 3) = x2 + 4x 3.
练一练
5
知识点5(补充)：关于对称轴对称的两点坐标求二次函数的解析式
例3 一个二次函数的图象经过点 A(0，1)，B(1，2) ， C (2，1)，求这个二次函数的解析式.
分析：A(0，1)，C(2，1) 两点纵坐标
相同，为 1，
∴这个二次函数可以看作与 x 轴交于
(0，0)，(2，0) 两点的二次函数
y = a(x-0)(x-2)，向上平移 1 个单位得 y = a(x-0)(x-2)+1.
x
y
O
4
5
2
1
3
-1
2
3
1
4
1.设：解析式
设这个抛物线解析式为 y = a(x - 0)(x - 2) + 1.
2.代：坐标代入
再把点 (1，2) 代入上式得
∴ a(1 - 0)(1 - 2) + 1 = 2，
3.解：方程(组)
解得 a = -1.
4.还原：写出解析式
∴ 二次函数的解析式是 y = -x(x - 3) + 1，
即 y = -x2 + 3x + 1.
还有其他的方法吗？
解：如图所示，点A、点C 纵坐标相同，
抛物线的对称轴为 x = = 1.
将 A(0，1)代入解析式中，得
解得 a = -1.
顶点式方法
∴ 二次函数的解析式是 y = -x2 + 3x + 1.
x
y
O
4
5
2
1
3
-1
2
3
1
4
A
B
C
设抛物线为 y = a(x - 1)2 + 2
1 = a(0 - 1)2 + 2
则顶点为 B(1，2).
1. 如图，平面直角坐标系中，函数图象的解析式应是
分析：y = ax2、y = ax2 +k、y = a(x -h)2 与 y = a(x -h)2 + k 一样都是顶点式，只不过前三者是顶点式的特殊形式.
x
y
O
1
2
-1
-2
-3
-4
2
1
-1
3
4
5
.
2. 过点（2，4），且当 x=1 时，y 有最值为 6，则其表达式是 .
顶点坐标是（1，6）
y = -2(x-1)2+6
返回
C
1.
已知二次函数y＝x2＋bx－2的图象与x轴的一个交点坐标是(1，0)，那么二次函数的表达式为(　　)
A．y＝x2－2x
B．y＝x2＋x－1
C．y＝x2＋x－2
D．y＝x2－x－2
返回
2.
B
[教材P43“随堂练习”第2题变式]已知二次函数
y＝ax2＋bx＋1，当x＝1时，y＝0；当x＝－1时，y＝4，则a，b的值分别为(　　)
A．1，2
B．1，－2
C．－1，2
D．－1，－2
返回
3.
－1
已知二次函数y＝ax2＋2x＋c的函数值y和自变量x的部分对应取值如下表，则m的值为________.
x … 1 2 3 …
y … －6 m 6 …
4.
(0，1)
(1)点C的坐标为______，点D的坐标为______；
(3，3)
(2)求抛物线的函数表达式.
返回
返回
5.
y＝3x2
返回
6.
y＝－3(x－1)2＋3
已知某二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的表达式为________________.
返回
7.
D
与抛物线y＝2x2＋5形状相同、开口方向相反，且顶点坐标为(－1，2)的抛物线是(　　)
A．y＝－2(x＋1)2－2
B．y＝－2(x－1)2＋2
C．y＝2(x＋1)2＋2
D．y＝－2(x＋1)2＋2
返回
8.
解：由题意可得，二次函数图象的顶点坐标为(－1，－2)，
所以设该二次函数的表达式为y＝a(x＋1)2－2，
将点(1，10)的坐标代入表达式，
得4a－2＝10，解得a＝3，
所以该二次函数的表达式为y＝3(x＋1)2－2＝3x2＋6x＋1.
(4分)已知二次函数的图象经过点(1，10)，且当x＝－1时，y有最小值－2，求该二次函数的表达式.
返回
9.
2
已知抛物线与x轴交点的横坐标为－2和1，且经过点C(2，8)，则可设该抛物线的函数表达式为y＝a(x＋______)(x－______)，将点C(2，8)的坐标代入，得方程______________，解得a＝____，故该抛物线的函数表达式为____________.
1
4a＝8
2
y＝2x2＋2x－4
10.
(4分)如图，已知抛物线交x轴于A(－1，0)，B两点，交y轴于点C，且OB∶OC∶OA＝3∶2∶1.求抛物线的函数表达式和BC的长.
返回
归纳总结
合适的函数解析式
坐标代入
写出解析式
解含参方程组
求二次函数解析式的方法：
思维轴
1
设
2
代
3
解
已知条件
4
还原
②已知三点坐标
①已知顶点坐标或对称轴或最值
③已知抛物线与 x轴的两个交点
已知条件
选择适当的方法
用一般式法：y = ax2+bx+c
用顶点法：y = a(x - h)2 +k
用交点法：y = a(x -x1)(x -x2)
(x1，x2为与x轴交点的横坐标)
待定系数法
求二次函数解析式
④已知抛物线上纵坐标相同的两点
顶点法或交点法平移纵坐标
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
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