第13章检测题
(时间：100分钟 满分：120分)
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．下列说法正确的是( C )
A．真命题的逆命题是真命题
B．原命题是假命题，则它的逆命题也是假命题
C．命题一定有逆命题
D．定理一定有逆定理
2．如图，四边形ABCD中，AC垂直平分BD，垂足为E，下列结论不一定成立的是( C )
A．AB＝AD B．AC平分∠BCD
C．AB＝BD D．△BEC≌△DEC
3．(2015·海南)如图，下列条件中，不能证明△ABC≌△DCB的是( D )
A．AB＝DC，AC＝DB B．AB＝DC，∠ABC＝∠DCB
C．BO＝CO，∠A＝∠D D．AB＝DC，∠DBC＝∠ACB
,第3题图) ,第4题图) ,第5题图)
4．如图，已知CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E，BE，CD相交于点O，且AO平分∠BAC，那么图中全等三角形共有( C )
A．2对 B．3对 C．4对 D．5对
5．(2015·内江)如图，在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC交AC于点D，AE∥BD交CB的延长线于点E.若∠E＝35°，则∠BAC的度数为( A )
A．40° B．45° C．60° D．70°
6．如图，△ABC是等边三角形，AD是角平分线，△ADE是等边三角形，DE交AB于点F，下列结论：①AD⊥BC；②EF＝FD；③BE＝CD；④∠ABE＝60°.其中正确的有( A )
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
,第6题图) ,第7题图) ,第8题图) ,第10题图)
7．如图，在公路l1同侧，l2异侧有两个村庄A，B，高速公路管理处要建一个服务区，按照设计要求，服务区到两个村庄A，B的距离必须相等，到两条公路l1，l2的距离也必须相等，符合条件的服务区C有( C )
A．4处 B．3处 C．2处 D．1处
8．如图，轮船从B处以每小时50海里的速度沿南偏东30°方向匀速航行，在B处观测灯塔A位于南偏东75°方向上，轮船航行半小时到达C处，在C处观测灯塔A位于北偏东60°方向上，则C处与灯塔A的距离是( D )
A．45海里 B．35海里 C．50海里 D．25海里
9．(2015·深圳)如图，已知△ABC，AB＜BC，用尺规作图的方法在BC上取一点P，使得PA＋PC＝BC，则下列选项正确的是( D )
10．如图，在等边三角形ABC中，AB＝2，D为△ABC内一点，且DA＝DB，E为△ABC外一点，BE＝AB，且∠EBD＝∠CBD，连结DE，CE，则下列结论：①∠DAC＝∠DBC；②BE⊥AC；③∠DEB＝30°；④若EC∥AD，则S△EBC＝1.其中正确的有( C )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题(每小题3分，共24分)
11．如图，已知BC＝EC，∠BCE＝∠ACD，要使△ABC≌△DEC，则应添加的一个条件为__AC＝DC__．(只需填一个)
,第11题图) ,第12题图) ,第13题图)
12．如图，△ABC是不等边三角形，DE＝BC，以D，E为两个顶点作位置不同的三角形，使所作的三角形与△ABC全等，这样的三角形最多可以作出__4__个．
13．如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交BC于点D，垂足为E.若∠B＝35°，则∠DAC的度数为__75°__．
14．已知底边a和底边上的高h，在用尺规作图作等腰△CDE，使DE＝a，CB＝h时，需用到的作法有：①在MN上截取BC＝h；②作线段DE＝a；③作线段DE的垂直平分线MN，与DE交于点B；④连结CD，CE，△CDE就是所求的等腰三角形．则正确作图步骤的序号是__②③①④__．
15．命题“等腰三角形两腰上的高相等”的逆命题是__有两边上的高相等的三角形是等腰三角形__，这个逆命题为__真命题__．(填“真命题”或“假命题”)
16．在△ABC中，AC＝BC，过A作△ABC的高AD，若∠ACD＝30°，则∠B＝__75°或15°__．
17．如图，在等边△ABC和等边△DBE中，点A在DE的延长线上，则∠AEC＝__60__度．
,第17题图) ,第18题图)
18．如图，任意画一个∠A＝60°的△ABC，再分别作△ABC的两条角平分线BE和CD，BE和CD交于点P，连结AP.有以下结论：①∠BPC＝120°；②AP平分∠BAC；③PD＝PE；④BD＋CE＝BC；⑤S△PBD＋S△PCE＝S△PBC.其中正确的序号是__①②③④⑤__．
点拨：在BC上截取BQ＝BD，连结PQ.∠BPC＝180°－(∠PBC＋∠PCB)＝180°－(∠ABC＋∠ACB)＝180°－(180°－60°)＝120°，∴∠BPD＝∠CPE＝60°，证△BPD≌△BPQ，△CPE≌△CPQ，可知③④⑤均成立
三、解答题(共66分)
19．(8分)如图，已知AB⊥DC于点B，AB＝DB，点E在AB上，BE＝BC，延长DE，交AC于点F.求证：DE＝AC，DE⊥AC.
解：证△ABC≌△DBE
20．(8分)如图，在△ABC中，AB＝AC，AD＝BD＝BC，求∠C的度数．
解：∠C＝72°
21．(8分)(2015·南充)如图，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，CE⊥AB，AE＝CE.求证：
(1)△AEF≌△CEB；
(2)AF＝2CD.
解：(1)∠EAF与∠ECB都与∠B互余，∴∠EAF＝∠ECB，又∠AEF＝∠CEB＝90°，AE＝CE，∴△AEF≌△CEB (2)∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BC＝2CD，由△AEF≌△CEB，得AF＝BC＝2CD
22．(10分)(2015·曲靖)如图，过∠AOB平分线上一点C作CD∥OB交OA于点D，E是线段OC的中点，过点E画直线分别交射线CD，OB于点M，N，探究线段OD，ON，DM之间的数量关系，并证明你的结论．
解：OD＝ON＋DM 证明：易证△CEM≌△OEN，∴ON＝CM，易证∠DOC＝∠BOC＝∠DCO，∴OD＝CD，∴OD＝CD＝DM＋CM＝DM＋ON
23．(10分)如图，△ACD和△BCE都是等腰直角三角形，∠ACD＝∠BCE＝90°，AE交CD于点F，BD分别交CE，AE于点G，H，试猜测线段AE和BD的数量和位置关系，并说明理由．
解：AE＝BD，AE⊥BD，证△ACE≌△DCB，∴AE＝BD，∠BDC＝∠EAC，∴∠AHB＝∠BDC＋∠DFH＝∠EAC＋∠AFC＝90°，∴AE⊥BD
24．(10分)(2015·铜仁)已知，如图，点D在等边三角形ABC的边AB上，点F在边AC上，连接DF并延长交BC的延长线于点E，EF＝FD.求证：AD＝CE.
解：证明：作DG∥BC交AC于G，则∠DGF＝∠ECF，∴△DFG≌△EFC(AAS)，∴GD＝CE，∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠B＝∠ACB＝60°，∵DG∥BC，∴∠ADG＝∠B，∠AGD＝∠ACB，∴∠A＝∠ADG＝∠AGD，∴△ADG是等边三角形，∴AD＝GD，∴AD＝CE
25．(12分)将两个全等的直角三角形ABC和DBE按图①方式摆放，其中∠ACB＝∠DEB＝90°，∠A＝∠D＝30°，点E落在AB上，DE所在直线交AC所在直线于点F.
(1)求证：AF＋EF＝DE；
(2)若将图①中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转角α，且0°＜α＜60°，其他条件不变，请在图②中画出变换后的图形，并直接写出你在(1)中猜想的结论是否仍然成立；
(3)若将图①中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转角β，且60°＜β＜180°，其他条件不变，如图③，你认为(1)中猜想的结论还成立吗？若成立，写出证明过程；若不成立，请写出AF，EF与DE之间的关系，并说明理由．
解：(1)连结BF，用“HL”证△BCF≌△BEF，∴CF＝EF，∴AF＋EF＝AF＋CF＝AC＝DE (2)仍然成立 (3)不成立．应为AF－EF＝DE，连结BF，用“HL”证△BCF≌△BEF，∴CF＝EF，∴AF－EF＝AF－CF＝AC＝DE
课件15张PPT。第十三章 全等三角形13.1.1 命题13.1.1 命题探 究 新 知活动1 知识准备√√×√×13.1.1 命题活动2 教材导学错误线段正确相等正确相等13.1.1 命题(4)“如果两个角相等，那么这两个角都是直角”是对相等的两个角是什么样的角(即角的类别、属性)作出判断，判断结果是这两个角都是____，这个判断是____(填“正确”或“错误”)的；
(5)“宇宙中有外星人”是对宇宙中有没有外星人作出判断，判断结果是____，这个判断你认为是正确的还是错误的？
你认为对一件事情的判断正确与否会出现几种情况？
◆知识链接——[新知梳理]知识点一直角错误有[答案] 无法确定13.1.1 命题2．命题的结构
把下列命题改写为“如果……，那么……”的形式，并判断真假性．然后想一想它们分别是对什么样的事项作出什么样的判断？
(1)两直线平行，内错角相等．如果 ，那么 ．是____命题．
(2)两个锐角的和是直角．如果 ，那么 ．是____命题．
(3)有一个角是锐角的三角形是锐角三角形．如果
，那么 ．是____命题．
你认为任何一个命题都是由哪部分组成的？
◆知识链接——[新知梳理]知识点二两条直线平行真内错角相等两个角都是锐角它们的和是直角假三角形有一个角是锐角这个三角形是锐角三角形假13.1.1 命题3．会举反例说明假命题
为什么说“你所在班级的学生都是男生”这个命题是假命题？因为 同学是____学生，但她是____生．
想一想：说明一个命题是假命题从哪几方面入手去说明？
◆知识链接——[新知梳理]知识点三本班女(答案不确定，只要是女生即可)新 知 梳 理13.1.1 命题? 知识点一 命题 表示判断的语句叫做 ．如果条件成立，那么结论一定成立．像这样的命题．称为 ．条件成立时，不能保证结论总是正确，也就是说结论不成立．像这样的命题，称为 ．命题真命题假命题13.1.1 命题? 知识点二 命题的结构 (1)命题由____和____两部分组成．条件是已知事项；结论是由已知事项推出的事项．
(2)命题可以写成“如果……，那么……”的形式，用“如果”开始的部分就是条件，而用“那么”开始的部分就是结论．条件结论13.1.1 命题? 知识点三 命题的真假 要判断一个命题是真命题，可以用演绎推理加以论证；而要判断一个命题是假命题，一般采用“举反例”的方法．重难互动探究13.1.1 命题探究问题一 命题的概念例1 [课本例1变式题] 把下列命题写成“如果……，那么……”的形式，并指出其条件和结论．
(1)等角的余角相等；
(2)小于直角的角是锐角；
(3)两点确定一条直线．13.1.1 命题13.1.1 命题13.1.1 命题13.1.1 命题13.1.1 命题探究问题二 判断命题的真与假课件11张PPT。第十三章 全等三角形13.1.2 定理与证明13.1.2 定理与证明探 究 新 知活动1 知识准备A 直角的补角仍是直角两个角都是直角这两个角相等假13.1.2 定理与证明活动2 教材导学13.1.2 定理与证明三角形内角和定理两直线平行，内错角相等13.1.2 定理与证明13.1.2 定理与证明∠2在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行两直线平行，同位角相等对顶角相等等量代换∠1新 知 梳 理13.1.2 定理与证明? 知识点一 定理 数学中，有些命题可以从基本事实或其他真命题出发，用逻辑推理的方法判断它们是正确的，并且可以作为进一步判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定理．? 知识点二 证明 根据条件、定义以及基本事实、定理等，经过演绎推理，来判断一个命题是否正确，这样的推理过程叫做证明．重难互动探究13.1.2 定理与证明探究问题一 证明几何命题13.1.2 定理与证明13.1.2 定理与证明探究问题二 证明文字叙述的真命题13.1.2 定理与证明课件14张PPT。第十三章 全等三角形13.2.1全等三角形
13.2.2全等三角形的判定条件13.2.1全等三角形
13.2.2全等三角形的判定条件探 究 新 知活动1 知识准备330°活动2 教材导学13.2.1全等三角形
13.2.2全等三角形的判定条件A3C3形状∠B2∠B3∠A3∠A2∠C2∠C3B2C2A3B3A2B2B3C3A2C213.2.1全等三角形
13.2.2全等三角形的判定条件不一定无数不一定无数13.2.1全等三角形
13.2.2全等三角形的判定条件是无数不一定无数不一定一新 知 梳 理? 知识点一 全等三角形 1．定义：能够完全____的两个三角形是全等三角形．
2．根据定义判定两个三角形全等
若两个三角形的三条边与三个角都分别____相等，那么这两个三角形一定可以互相重合，即全等．13.2.1全等三角形
13.2.2全等三角形的判定条件重合对应? 知识点二 证明 1．如果两个三角形有一组对应相等的元素(边或角)，这两个三角形__ __全等．
2．如果两个三角形有两组对应相等的元素，这两个三角形___ _全等．
3．如果两个三角形有三组对应相等的元素，这两个三角形是否全等需要逐一研究．
[点拨] 全等条件按边可分为三类：三边、两边一角、一边两角．全等条件当然也可以按角分类，但至少需要有一边．13.2.1全等三角形
13.2.2全等三角形的判定条件不一定不一定重难互动探究探究问题一 找全等三角形的对应边、对应角13.2.1全等三角形
13.2.2全等三角形的判定条件13.2.1全等三角形
13.2.2全等三角形的判定条件13.2.1全等三角形
13.2.2全等三角形的判定条件探究问题二 利用定义和图形变换说明两个三角形全等13.2.1全等三角形
13.2.2全等三角形的判定条件13.2.1全等三角形
13.2.2全等三角形的判定条件13.2.1全等三角形
13.2.2全等三角形的判定条件13.2.1全等三角形
13.2.2全等三角形的判定条件[归纳总结]课件13张PPT。第十三章 全等三角形13.2.3 边角边13.2.3 边角边探 究 新 知活动1 知识准备12810DE13.2.3 边角边活动2 教材导学∠A＝∠A′全等AB＝A′B′AC＝A′C′13.2.3 边角边不能ACAD∠C新 知 梳 理13.2.3 边角边? 知识点一 “S.A.S.”基本事实及运用 基本事实：____及其____分别相等的两个三角形全等．简记为S.A.S.(或边角边)．
[点拨] 运用“S.A.S.”定理的前提是找准对应元素(边或角)，关键是看两个三角形是否符合“边角边”结构(角是两边的夹角)．两边夹角13.2.3 边角边? 知识点二 “边边角”不能判定三角形全等不一定 重难互动探究13.2.3 边角边探究问题一 对“S.A.S.”的理解13.2.3 边角边13.2.3 边角边13.2.3 边角边13.2.3 边角边13.2.3 边角边探究问题二 “S.A.S.”的应用13.2.3 边角边课件9张PPT。第十三章 全等三角形13.2.4.1 角边角13.2.4.1 角边角探 究 新 知活动1 知识准备D 13.2.4.1 角边角活动2 教材导学全等 ∠A＝∠A′AB＝A′B′∠B＝∠B′新 知 梳 理13.2.4.1 角边角? 知识点一 “A.S.A..”基本事实及运用基本事实：____及其____分别相等的两个三角形全等．简记为A. S. A.(或角边角)．两角夹边13.2.4.1 角边角? 知识点二 全等三角形的对应元素对应相等重难互动探究13.2.4.1 角边角探究问题一 “A.S.A..”的运用13.2.4.1 角边角13.2.4 .1 角边角探究问题二 全等三角形对应角的平分线相等 13.2.4.1 角边角课件8张PPT。第十三章 全等三角形13.2.4.2 角角边13.2.4.2 角角边探 究 新 知活动1 知识准备13.2.4.2 角角边活动2 教材导学新 知 梳 理13.2.4.2 角角边? 知识点 “A.A.S.”定理两角 对边 重难互动探究13.2.4.2 角角边探究问题一 “A.A.S.”的运用 13.2.4.2 角角边13.2.4 .2 角角边探究问题二 三角形全等中的条件开放题 13.2.4.2 角角边课件12张PPT。第十三章 全等三角形13.2.5 边边边13.2.5 边边边探 究 新 知活动1 知识准备 AC＝AD(或∠ABC＝∠ABD或∠C＝∠D等，
答案不唯一) 13.2.5 边边边活动2 教材导学AC＝A′C′全等 AB＝A′B′BC＝B′C′新 知 梳 理13.2.5 边边边? 知识点一 “S.S.S.”基本事实及运用 基本事实：____分别相等的两个三角形全等．简记为S.S.S.(或边边边)．三边13.2.5 边边边? 知识点二 “角角角”不能判定三角形全等不一定 重难互动探究13.2.5 边边边探究问题一 “S.S.S.”的运用13.2.5 边边边13.2.5 边边边探究问题二 灵活运用三角形全等的判定方法证明三角形全等13.2.5 边边边13.2.5 边边边13.2.5 边边边13.2.5 边边边课件8张PPT。第十三章 全等三角形13.2.6 斜边直角边13.2.6 斜边直角边探 究 新 知活动1 知识准备ABS.A.S.A.S.A.A.A.S.S.S.S.BCAC13.2.6 斜边直角边活动2 教材导学∠C＝∠C′全等AB＝A′B′BC＝B′C′全等新 知 梳 理13.2.6 斜边直角边? 知识点 “H.L.”定理及其运用 “H.L.”定理：____和一条____ 分别相等的两个直角三角形全等．斜边直角边重难互动探究13.2.6 斜边直角边探究问题一 利用“H.L.”判定两个直角三角形全等13.2.6 斜边直角边13.2.6 斜边直角边探究问题二 “H.L.”在探究问题中的应用13.2.6 斜边直角边课件16张PPT。第十三章 全等三角形13.3.1 等腰三角形的性质13.3.1 等腰三角形的性质探 究 新 知活动1 知识准备D 17或16 5 13.3.1 等腰三角形的性质活动2 教材导学轴 底边上的高(中线)所在的直线或顶角的平分线所在的直线 13.3.1 等腰三角形的性质H.L. S.S.S. S.A.S. 底边上的中线 顶角的平分线 底边上的高 顶角的平分线 底边上的高 底边上的中线 13.3.1 等腰三角形的性质13.3.1 等腰三角形的性质60°底腰新 知 梳 理13.3.1 等腰三角形的性质? 知识点一 等腰三角形的概念 等腰三角形：有__ __相等的三角形叫做等腰三角形．
有关概念：等腰三角形中，相等的两边都叫做____，另一边叫做____，两腰的夹角叫做____，腰和底边的夹角叫做____．两条边腰底边顶角底角13.3.1 等腰三角形的性质? 知识点二 等腰三角形的性质 性质：(1)等腰三角形的两底角____．(简写成“等边对等角”)
(2)等腰三角形底边上的高、中线及顶角的平分线互相重合．(简称“三线合一”)
(3)等腰三角形是轴对称图形，底边的垂直平分线是它的对称轴．? 知识点二 等边三角形 定义：三条边都相等的三角形是等边三角形，也称为正三角形．
性质：(1)等边三角形的各个角都相等，并且每一个角都等于__．(2)等边三角形的三条边都相等．(3)等边三角形是轴对称图形，有____条对称轴．相等60°3重难互动探究13.3.1 等腰三角形的性质探究问题一 等腰三角形的边、角计算 C13.3.1 等腰三角形的性质35°，35°55°，55°或70°，40°13.3.1 等腰三角形的性质探究问题二 利用等腰三角形的性质进行证明13.3.1 等腰三角形的性质13.3.1 等腰三角形的性质13.3.1 等腰三角形的性质探究问题三 等边三角形的性质的运用13.3.1 等腰三角形的性质13.3.1 等腰三角形的性质[归纳总结] 课件12张PPT。第十三章 全等三角形13.3.2 等腰三角形的判定13.3.2 等腰三角形的判定探 究 新 知活动1 知识准备CD70°，70°或40°，100°∠ADC9013.3.2 等腰三角形的判定活动2 教材导学等腰∠B＝∠C∠ADB＝∠ADCAD＝ADA.A.S.AC13.3.2 等腰三角形的判定
等边BC等边60°60°等边60°等边45°45°新 知 梳 理13.3.2 等腰三角形的判定? 知识点一 等腰三角形的判定定理 等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角____，那么这两个角所对的边也____．(简写成“等角对____”)相等相等等边13.3.2 等腰三角形的判定? 知识点二 特殊的等腰三角形的判定 等边三角形的判定：(1)三条边都相等的三角形是等边三角形；(2)三个角都相等的三角形是等边三角形或有两个角等于60°的三角形是等边三角形；(3)有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形．
等腰直角三角形的判定：(1)有一个角等于90°的等腰三角形是等腰直角三角形；(2)有一个角等于45°的直角三角形是等腰直角三角形．重难互动探究13.3.2 等腰三角形的判定探究问题一 等腰三角形的判定13.3.2 等腰三角形的判定13.3.2 等腰三角形的判定13.3.2 等腰三角形的判定探究问题二 等边三角形判定与性质的综合13.3.2 等腰三角形的判定13.3.2 等腰三角形的判定[归纳总结]
课件12张PPT。第十三章 全等三角形13.4.1 作一条线段等于一直线段
13.4.2 作一个角等于已知角13.4.1 作一条线段等于已知线段 13.4.2 作一个角等于已知角探 究 新 知活动1 知识准备AD活动2 教材导学13.4.1 作一条线段等于已知线段 13.4.2 作一个角等于已知角
圆规无数直尺一直尺直尺新 知 梳 理? 知识点一 尺规作图的概念13.4.1 作一条线段等于已知线段 13.4.2 作一个角等于已知角直尺圆规? 知识点二 尺规作图的步骤及作图语言的规范 1．尺规作图的步骤
(1)已知：当作图题是用文字语言叙述的，要根据文字语言用数学语言写出题目中的条件；
(2)求作：根据题目写出要求作出的图形及此图形应满足的条件；
(3)作法：根据作图的过程写出每一步的操作过程．当不要求写作法时，要保留作图痕迹．对于较复杂的作图，可先画出草图，使它同所要作的图形大致相同，然后借助草图寻找作法．
2．作图语言的规范叙述
用直尺作图时的规范语言主要有：(1)过点×作直线××，作线段××，以点×为端点作射线××；(2)连结××，以点×为端点作线段××，延长线段××到点×；延长线段××到点×，使××＝××.
用圆规作图时的规范语言主要有：(1)以点×为圆心，××为半径作圆；(2)以点×为圆心，××为半径作弧交××于点×；(3)在××上截取一点×，使××＝××.13.4.1 作一条线段等于已知线段 13.4.2 作一个角等于已知角? 知识点三 作一条线段等于已知线段13.4.1 作一条线段等于已知线段 13.4.2 作一个角等于已知角AC射线圆规MN? 知识点四 作一个角等于已知角13.4.1 作一条线段等于已知线段 13.4.2 作一个角等于已知角
O适当OAOBO′OCO′A′C′CD前一条D′重难互动探究探究问题一 由已知线段作特定要求的线段13.4.1 作一条线段等于已知线段 13.4.2 作一个角等于已知角13.4.1 作一条线段等于已知线段 13.4.2 作一个角等于已知角探究问题二 作一个角等于已知角13.4.1 作一条线段等于已知线段 13.4.2 作一个角等于已知角13.4.1 作一条线段等于已知线段 13.4.2 作一个角等于已知角13.4.1 作一条线段等于已知线段 13.4.2 作一个角等于已知角课件8张PPT。第十三章 全等三角形13.4.3 作已知角的平分线13.4.3 作已知角的平分线探 究 新 知活动1 知识准备∠BOC22活动2 教材导学13.4.3 作已知角的平分线
新 知 梳 理? 知识点 作已知角的平分线13.4.3 作已知角的平分线OCODOEDE大于内重难互动探究 探究问题 作已知角的平分线及其运用13.4.3 作已知角的平分线13.4.3 作已知角的平分线13.4.3 作已知角的平分线13.4.3 作已知角的平分线课件16张PPT。第十三章 全等三角形13.4.4 经过一已知点作已知直线的垂线
13.4.5 作已知线段的垂直平分线
13.4.4 经过一已知点作已知直线的垂线
13.4.5 作已知线段的垂直平分线探 究 新 知活动1 知识准备[答案] 如图中虚线所示．活动2 教材导学PN⊥AB 13.4.4 经过一已知点作已知直线的垂线
13.4.5 作已知线段的垂直平分线PN⊥AB 13.4.4 经过一已知点作已知直线的垂线
13.4.5 作已知线段的垂直平分线13.4.4 经过一已知点作已知直线的垂线
13.4.5 作已知线段的垂直平分线ACBC△ABC13.4.4 经过一已知点作已知直线的垂线
13.4.5 作已知线段的垂直平分线新 知 梳 理? 知识点一 经过一已知点作已知直线的垂线反向平角平分线13.4.4 经过一已知点作已知直线的垂线
13.4.5 作已知线段的垂直平分线反向CABDE平分线13.4.4 经过一已知点作已知直线的垂线
13.4.5 作已知线段的垂直平分线13.4.4 经过一已知点作已知直线的垂线
13.4.5 作已知线段的垂直平分线? 知识点二 作已知线段的垂直平分线 大于 重难互动探究探究问题一 经过已知点作已知直线的垂线及其运用13.4.4 经过一已知点作已知直线的垂线
13.4.5 作已知线段的垂直平分线13.4.4 经过一已知点作已知直线的垂线
13.4.5 作已知线段的垂直平分线13.4.4 经过一已知点作已知直线的垂线
13.4.5 作已知线段的垂直平分线13.4.4 经过一已知点作已知直线的垂线
13.4.5 作已知线段的垂直平分线13.4.4 经过一已知点作已知直线的垂线
13.4.5 作已知线段的垂直平分线13.4.4 经过一已知点作已知直线的垂线
13.4.5 作已知线段的垂直平分线探究问题二 作线段的垂直平分线 13.4.4 经过一已知点作已知直线的垂线
13.4.5 作已知线段的垂直平分线课件13张PPT。第十三章 全等三角形13.4.5 作已知线段的垂直平分线13.4.5 作已知线段的垂直平分线探 究 新 知活动1 知识准备D 13.4.5 作已知线段的垂直平分线[答案] 如图中虚线所示．活动2 教材导学13.4.5 作已知线段的垂直平分线
ACBC△ABC13.4.5 作已知线段的垂直平分线
CD垂直平分AB 新 知 梳 理? 知识点 作已知线段的垂直平分线13.4.5 作已知线段的垂直平分线DAB大于C重难互动探究探究问题一 作线段的垂直平分线13.4.5 作已知线段的垂直平分线13.4.5 作已知线段的垂直平分线13.4.5 作已知线段的垂直平分线13.4.5 作已知线段的垂直平分线13.4.5 作已知线段的垂直平分线探究问题二 作线段的垂直平分线的实际应用13.4.5 作已知线段的垂直平分线13.4.5 作已知线段的垂直平分线课件10张PPT。第十三章 全等三角形13.5.1 互逆命题与互逆定理13.5.1 互逆命题与互逆定理探 究 新 知活动1 知识准备等腰三角形 两底角相等 活动2 教材导学13.5.1 互逆命题与互逆定理
真真一个三角形的两边相等这两边所对的角相等一个三角形的两边相等这两边所对的角相等等角对等边13.5.1 互逆命题与互逆定理
内错角相等，两直线平行 新 知 梳 理? 知识点一 互逆命题13.5.1 互逆命题与互逆定理逆命题条件结论结论条件互逆命题? 知识点二 互逆定理13.5.1 互逆命题与互逆定理逆定理逆命题定理互逆定理重难互动探究探究问题一 命题与逆命题13.5.1 互逆命题与互逆定理13.5.1 互逆命题与互逆定理13.5.1 互逆命题与互逆定理探究问题二 逆定理13.5.1 互逆命题与互逆定理课件14张PPT。第十三章 全等三角形13.5.2 线段垂直平分线13.5.2 线段垂直平分线探 究 新 知活动1 知识准备40°4cm活动2 教材导学13.5.2 线段垂直平分线
线段的垂直平分线中心对称13.5.2 线段垂直平分线
相等S.A.S.PAO13.5.2 线段垂直平分线
到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上MN新 知 梳 理? 知识点一 线段垂直平分线的性质定理13.5.2 线段垂直平分线距离相等? 知识点二 线段垂直平分线的性质定理的逆定理垂直平分线距离相等13.5.2 线段垂直平分线 ? 知识点三 三角形三边的垂直平分线交于一点，且到三个顶点的距离相等重难互动探究探究问题一 线段垂直平分线的性质定理的应用13.5.2 线段垂直平分线13.5.2 线段垂直平分线13.5.2 线段垂直平分线探究问题二 线段垂直平分线的判定定理的应用13.5.2 线段垂直平分线13.5.2 线段垂直平分线13.5.2 线段垂直平分线13.5.2 线段垂直平分线课件16张PPT。第十三章 全等三角形13.5.3 角平分线13.5.3 角平分线探 究 新 知活动1 知识准备A 活动2 教材导学13.5.3 角平分线
线段的垂直平分线 13.5.3 角平分线
△AOPA.A.S. PA⊥OAPB⊥OB13.5.3 角平分线
PA＝PB角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上新 知 梳 理? 知识点一 角平分线的性质定理13.5.3 角平分线? 知识点二 线段垂直平分线的性质定理的逆定理距离相等 13.5.3 角平分线? 知识点三 三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等重难互动探究探究问题一 角平分线的性质定理的应用13.5.3 角平分线13.5.3 角平分线探究问题二 角平分线的判定定理的应用13.5.3 角平分线13.5.3 角平分线13.5.3 角平分线探究问题三 角平分线的应用 13.5.3 角平分线13.5.3 角平分线13.5.3 角平分线13.5.3 角平分线课件8张PPT。13．1 命题、定理与证明第13章 全等三角形第1课时 命题 知识点? 命题
1．下列语句中，不是命题的是( )
A．两点之间线段最短
B．对顶角相等
C．不是对顶角不相等
D．过直线AB外一点P作直线AB的垂线
2．下列语句中是命题的有( )
①两条直线相交，有且只有一个交点；②π不是有理数；③明天会下雨吗？④对顶角不相等；⑤延长线段AB；⑥啊，祖国！
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个DB知识点? 命题的结构
3．(习题2变式)把下列命题改写成“如果……那么……”的形式：
(1)直角三角形的两个锐角互余：_________________________________________________________；
(2)邻补角的平分线互相垂直：__________________________________________________________；
(3)正数有两个平方根：________________________________________；
(4)平移或旋转不改变图形的形状和大小：_____________________________________________________________．
4．(例题1变式)命题“两锐角的和是钝角”的条件是__________________，结论是_____________．
命题“若a＞b，则a2＞b2”的条件是_________
结论是___________．如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余如果两个角是邻补角，那么这两个角的平分线互相垂直如果一个数是正数，那么这个数有两个平方根如果将一个图形平移或旋转，那么这种图形变换不改变图形的形状和大小两个锐角的和和是钝角a＞ba2＞b2知识点? 真命题与假命题
5．(习题1变式)命题“无限小数是无理数”是____命题．(填“真”或“假”)
6．已知四个命题：①如果一个数的相反数等于它本身，则这个数是0；②一个数的倒数等于它本身，则这个数是1；③一个数的算术平方根等于它本身，则这个数是1或0；④如果一个数的绝对值等于它本身，则这个数是正数．其中真命题有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
点拨：①③是真命题假B知识点? 用举反例的方法判断假命题
7．下列各数中，可以用来证明命题“任何偶数都是8的整数倍”是假命题的反例是( )
A．17 B．16 C．8 D．4
8．“若x是实数，则x2＞0”，能证明此命题是假命题的反例是( )
A．02＝0 B．12＞0 C．22＞0 D．32＞0DA9．(例题1变式)把下列命题改写成“如果……，那么……”的形式，并指出是真命题还是假命题．
(1)一个非0数的立方根与这个数同号；
(2)同旁内角的角平分线互相垂直；
(3)在平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行；
(4)两个无理数的和仍是无理数．
解：(1)如果一个数是非0数，那么这个数的立方根与这个数同号，是真命题 (2)如果两个角是同旁内角，那么这两个角的角平分线互相垂直，是假命题 (3)在平面内，如果两条直线都与第三条直线垂直，那么这两条直线互相平行，是真命题 (4)如果两个数是无理数，那么这两个数的和是无理数，是假命题10．试举反例说明下列命题是假命题．
(1)如果a＋b＞0，那么ab＞0；
(2)如果一个整数能被5整除，那么这个整数的个位数是5.
解：(1)当a＝3，b＝－2，a＋b＞0，但ab＜0 (2)若这个整数是10，它能被5整除，但它的个位数不是5方法技能：
要判断一个命题是真命题，必须判断所有符合命题条件的情况，结论都成立；要判断一个命题是假命题，只要举出一个符合该命题的条件但不符合该命题结论的例子就可以了，这种方法称为“举反例”．
易错提示：
1．改写命题时，没能保证语句通顺、意义完整而出错；
2．对于缩写形式的命题，不要混淆命题的条件与结论．课件6张PPT。13．1 命题、定理与证明第13章 全等三角形第2课时 定理与证明知识点? 基本事实与定理
1．对于以下说法：①不正确的判断就不是命题；②真命题都是定理；③基本事实是由基本定义出发，通过推理判断为正确的命题；④“同位角相等”是定理，其中正确的说法有( )
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
2．下列说法正确的是( )
A．每个命题都是由条件和结论两部分组成的
B．命题是正确的判断
C．假命题不是命题
D．定理和基本事实才是命题AA知识点? 证明
3．下面关于基本事实和定理的联系说法不正确的是( )
A．基本事实和定理都是真命题
B．基本事实就是定理，定理也是基本事实
C．基本事实和定理都可以作为推理论证的依据
D．基本事实的正确性不需证明，定理的正确性需证明
4．下列说法正确的是( )
A．定理包括基本事实
B．基本事实包括定理
C．真命题不是定理，就是基本事实
D．证明不是命题BD5．对同一平面内的三条直线a，b，c，给出下列五个论断：①a∥b；②b∥c；③a⊥b；④a∥c；⑤a⊥c.以其中两个论断为条件，另一个论断为结论，组成一个你认为正确的命题，并说明理由．已知：_______，结论：____．(填序号)
6．如图，请把下面的证明过程补充完整．
已知：∠1＋∠2＝180°，求证：a∥b.
证明：∵∠1＝∠3(___________)，
∠1＋∠2＝________(已知)，
∴∠3＋∠2＝180°(_________)，
∴a∥b(________________________________)．①②④对顶角相等180°等量代换同旁内角互补，两直线平行7．如图，有三个论断：①∠1＝∠2；②∠B＝∠D；③∠A＝∠C，请从中任选两个作为条件，另一个作为结论构成一个命题，并证明该命题的正确性．解：真命题有①②?③，①③?②，②③?，①.选一个证明即可．方法技能：
证明过程的基本结构是：“∵……( )，∴……( )．”其中“∵”后面写推理的“因”，“∴”后面写推理的“果”，“( )”里面写出条件的由来或由因到果的依据(理由)，由此可见，每一步推理应包括“因”、“果”、“理由”三部分，而且因果关系必须合理．证明就是由一步步的“推理”构成的．
易错提示：
1．定理是真命题，真命题不一定是定理；
2．证明必须做到“言必有据”，每步推理都要有依据，切不可凭主观“想当然”强加“因果关系”．课件7张PPT。13．2 三角形全等的判定第13章 全等三角形第1课时 全等三角形及其判定条件知识点 全等三角形的对应边、对应角
1．如图所示，图中两个三角形能完全重合，下列写法正确的是( )
A．△ABE≌△AFB B．△ABE≌△ABF
C．△ABE≌△FBA D．△ABE≌△FABB2．如图所示，△ABC和△CDA是全等三角形，下列各组中，不是对应边的是( )
A．AB和CD B．AC和CA
C．AD和CB D．BC和DCD3．如图，F，C，D，B在同一直线上，且△ABC≌△EFD.那么下列结论错误的是( )
A．FC＝BD B．EF∥AB
C．ED＝BD D．AC∥DEC4．(2016·成都)如图，△ABC≌△A′B′C′，其中∠A＝36°，∠C＝24°，则∠B＝____°.1205．如图，△ACB≌△A′CB′，∠BCB′＝30°，则∠ACA′的度数为( )
A．20° B．30° C．35° D．40°B6．如图，△ABC≌△AEF，则下列结论不一定成立的是( )
A．∠1＝∠2 B．∠3＝∠4
C．∠2＝∠3 D．AC＝AFB7．(习题3变式)如图△ABC≌△DEF，BD＝7，AE＝1，求DE的长．解：DE＝48．(习题2变式)如图，已知△ABC≌△ADE，∠CAD＝10°，∠B＝25°，∠EAB＝120°.
求∠DFB和∠DGB的度数．方法技能：
找全等三角形的对应元素的方法：(1)最长边对最长边，最短边对最短边，最大角对最大角，最小角对最小角；(2)对应角的对边是对应边，对应边的对角是对应角；(3)重合的边(角)是对应边(角)，公共边(角)是对应边(角)，对顶角是对应角．
易错提示：
如图，已知△ABD≌△CDB，写出对应边和对应角时不要出错． 课件13张PPT。13．2 三角形全等的判定第13章 全等三角形第2课时 边角边知识点? 用“边角边”判定三角形全等
1．下列三角形与△ABC全等的是( )BA．甲 B．乙
C．丙 D．甲和丙2．下图中全等三角形是( )A．Ⅰ和Ⅱ B．Ⅱ和Ⅳ
C．Ⅱ和Ⅲ D．Ⅰ和ⅢD3．(2015·黔东南)如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，连接BD，请添加一个适当的条件____________，使△ABD≌△CDB.(只需写一个)
4．(2015·泸州)如图，AC＝AE，∠1＝∠2，AB＝AD.求证：BC＝DE.AB＝CD解：证△ABC≌△ADE(SAS)知识点? 用“边边角”不能判定两个三角形全等
5．下列四组条件中，能判定△ABC≌△DEF的是( )
A．AB＝DE，∠A＝∠D，BC＝EF
B．AC＝DF，∠B＝∠E，BC＝EF
C．BC＝EF，∠C＝∠F，AB＝DE
D．AC＝DF，∠C＝∠F，BC＝EFD6．如图，已知点A，D，C，F在同一条直线上，AB＝DE，BC＝EF，要使△ABC≌△DEF，还需要添加一个条件，这个条件可以是( )
A．∠BCA＝∠F B．∠B＝∠E
C．BC∥EF D．∠A＝∠EDFB7．如图，AB＝AD，AC平分∠BAD，点E在AC上，则图中全等三角形共有( )
A．1对 B．2对
C．3对 D．4对C8．如图，AB∥CD，AB＝CD，E，F是AC上两点且AE＝CF，那么图中有全等三角形( )
A．1对 B．2对
C．3对 D．4对C9．(习题3变式)如图所示，AA′，BB′表示两根长度相同的木条，若O是AA′，BB′的中点，经测量AB＝9 cm，则容器的内径A′B′的长是____cm.910．如图，已知AB⊥BD于B，ED⊥BD于D，AB＝CD，BC＝ED，则∠ACE＝____度．9011．(2015·怀化)如图，在正方形ABCD中，如果AF＝BE，那么∠AOD的度数是_______．90°12．(2015·重庆)如图，在△ADB和△FEC中，点B，C，D，E在同一直线上，且AB＝FE，BC＝DE，∠B＝∠E.求证：∠ADB＝∠FCE.解：证△ABD≌△FEC(SAS)13．(例题1变式)如图所示，A，F，C，D四点同在一直线上，AF＝CD，AB∥DE，且AB＝DE.求证：
(1)△ABC≌△DEF；
(2)∠CBF＝∠FEC.解：(1)∵AB∥DE，∴∠A＝∠D.又∵AF＝CD，∴AF＋FC＝CD＋FC，∴AC＝DF.∵AB＝DE.∴△ABC≌△DEF(SAS) (2)∵△ABC≌△DEF，∴BC＝EF，∠ACB＝∠DFE.∴△FBC≌△CEF(SAS)．∴∠CBF＝∠FEC14．(2015·恩施)如图，四边形ABCD，BEFG均为正方形，连结AG，CE.
(1)求证：AG＝CE；
(2)求证：AG⊥CE.解：(1)∵四边形ABCD，BEFG均为正方形，∴AB＝CB，∠ABC＝∠GBE＝90°，BG＝BE，∴∠ABG＝∠CBE，∴△ABG≌△CBE(SAS)，∴AG＝CE (2)∵△ABG≌△CBE，∴∠BAG＝∠BCE，∵∠ABC＝90°，∴∠BAG＋∠AMB＝90°，∵∠AMB＝∠CMN，∴∠BCE＋∠CMN＝90°，∴∠CNM＝90°，∴AG⊥CE15．两个大小不同的等腰直角三角板如图①放置，图②是由它抽象出的几何图形，B，C，E在同一条直线上，连结DC.
(1)请找出图②中的全等三角形，并给予证明；(说明：结论中不得含有未标识的字母)
(2)证明：DC⊥BE.解：(1)图②中△ABE≌△ACD，证明：∵△ABC与△AED均为等腰直角三角形，∴AB＝AC，AE＝AD，∠BAC＝∠EAD＝90°，∴∠BAC＋∠CAE＝∠EAD＋∠CAE，即∠BAE＝∠CAD，∴△ABE≌△ACD (2)由(1)△ABE≌△ACD，∴∠ACD＝∠ABE＝45°，又∠ACB＝45°，∴∠BCD＝∠ACB＋∠ACD＝90°，∴DC⊥BE方法技能：
1．证明线段或角相等往往考虑两个三角形全等，然后找全等条件，注意图形隐含的条件．
2．运用SAS判定两个三角形全等时，一定要按边→角→边的顺序排列这三个条件．注意属于一个三角形的边和角写在等号的同一边．如：在△ABC和△A′B′C′中，将等号左边都写△ABC的边和角，右边都写△A′B′C′的边和角．
易错提示：
不能用“SSA”判定两个三角形全等，因为满足“SSA”即有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等．课件12张PPT。13．2 三角形全等的判定第13章 全等三角形第3课时 角边角和角角边知识点? 用“角边角”判定三角形全等
1．下列各组条件中能确定△ABC≌△DEF的是( )
A．AB＝DE，BC＝EF，∠A＝∠D
B．∠A＝∠D，∠C＝∠F，AC＝EF
C．∠B＝∠E，∠A＝∠D，AB＝DE
D．∠A＝∠D，∠B＝∠E，∠C＝∠F
2．如图，AB＝AC，∠B＝∠C，BE，CD相交于点O，则直接判定△ABE≌△ACD的依据是( )
A．SAS B．ASA
C．SSA D．AAA CB3．(例题3变式)已知：如图，点C，D在AB上，且AC＝BD，AE∥BF，DE∥CF.
求证：AE＝BF.解：证△ADE≌△BCF知识点? 用“角角边”判定三角形全等
4．(2015·六盘水)如图，已知∠ABC＝∠DCB，下列所给条件不能证明△ABC≌△DCB的是( )
A．∠A＝∠D B．AB＝DC
C．∠ACB＝∠DBC D．AC＝BD D5．如图①，已知△ABC的六个元素，则图②中甲、乙、丙三个三角形中和△ABC全等的是( ).BA．甲和乙 B．乙和丙
C．只有乙 D．只有丙6．如图，AB＝AE，∠1＝∠2，∠C＝∠D.
求证：△ABC≌△AED.7．如图，∠1＝∠2，∠C＝∠D，AC，BD交于点E，下列结论：①∠DAE＝∠CBE，②AD＝BC，③△DEA≌△CEB，其中正确的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3D8．如图，某同学把一个三角形玻璃打碎成三块，现在要到玻璃店去配一块大小完全一样的玻璃，那么最省事的办法是( )
A．带①和②去 B．带①去
C．带②去 D．带③去D9．(2015·齐齐哈尔)如图，点B，A，D，E在同一直线上，BD＝AE，BC∥EF，要使△ABC≌△DEF，则只需添加一个适当的条件是________________________．(只填一个即可)BC＝EF或∠BAC＝∠EDF10．如图，有一块边长为4的正方形塑料模板ABCD，将一块足够大的直角三角板的直角顶点放在A点，两条直角边分别与CD交于点F，与CB的延长线交于点E，则四边形AECF的面积是____．1611．(例题4变式)如图，在△ABC中，AD是中线，分别过点B，C作AD的延长线及AD的垂线BE，CF，垂足分别为E，F.求证：BE＝CF.
解：证△BDE≌△CDF(AAS) 12．(习题5变式)如图，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D，E，AD，CE交于点H，已知EH＝EB＝3，AE＝4，求CH的长．解：∠EAH与∠ECB都与∠B互余，从而∠EAH＝∠ECB，易证△EAH≌△ECB(AAS)，∴CE＝AE＝4，∴CH＝CE－EH＝113．如图，直线a经过正方形ABCD的顶点A，分别过正方形的顶点B，D作BF⊥a于点F，DE⊥a于点E，若DE＝8，BF＝5，则EF的长为____．1314．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AE是△ABC的中线，过C作CF⊥AE，垂足为F，过B作BD⊥BC，交CF的延长线于点D.
(1)求证：AE＝CD；
(2)若AC＝12 cm，求BD的长．方法技能：
证明三角形全等的“三类条件”：(1)直接条件：即已知中直接给出的三角形的对应边(角)相等；(2)隐含条件：即已知没有给出，但通过读图得到的条件，如公共边(角)、对顶角；(3)间接条件：即已知中所给条件不是所证全等三角形的对应边(角)，需要进一步推理．
易错提示：
“有两个角和一边分别相等的两个三角形全等”是假命题，因为条件没有“对应”二字．课件12张PPT。13．2 三角形全等的判定第13章 全等三角形第4课时 边边边知识点? 用“边边边”判定三角形全等
1．在△ABC与△A′B′C′中，如果AB＝A′C′，BC＝A′B′，CA＝B′C′，那么( )
A．△ABC≌△A′B′C′ B．△ABC≌△C′A′B′
C．△ABC≌△C′B′A′ D．这两个三角形不全等
2．(2015·苏州)如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC中点，∠BAD＝35°，则∠C的度数为( )
A．35° B．45°
C．55° D．60° BC3．有下列说法：①所有的等边三角形都全等；②有一边相等的两个等边三角形全等；③有两边对应相等的两个等腰三角形全等；④有一腰和底边对应相等的两个等腰三角形全等．其中正确的说法是( )
A．①② B．②③ C．②④ D．③④
4．(习题2变式)一个平分角的仪器如图所示，其中AB＝AD，BC＝DC.求证：∠BAC＝∠DAC.C解：证△ABC≌△ADC(SSS)，∴∠BAC＝∠DAC知识点? 全等三角形判定方法的综合运用
5．给出下列四组条件：①AB＝DE，BC＝EF，AC＝DF；②AB＝DE，∠B＝∠E，BC＝EF；③∠B＝∠E，BC＝EF，∠C＝∠F；④AB＝DE，AC＝DF，∠B＝∠E.其中能使△ABC≌△DEF的条件共有( )
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组C6．如图，AB＝DC，BF＝CE，需要补充一个条件，就能使△ABE≌△DCF，小明给出了下面四个答案：①AE＝DF；②AE∥DF；③AB∥DC；④∠A＝∠D.其中正确的是( )
A．①②③④ B．①②③
C．①② D．①③D7．(2015·娄底)如图，已知AB＝BC，要使△ABD≌△CBD，还需添加一个条件，你添加的条件是______________________________．(只需写一个，不添加辅助线)∠ABD＝∠CBD或AD＝CD8．(例题6变式)如图，已知AB＝CD，BC＝AD，E，F是AC上两点，且AE＝CF.求证：BF＝DE.解：先证：△ABC≌△CDA(SSS)，再证△ABF≌△CDE或△BCF≌△DAE9．如图，在△ABC中，AB＝AC，E，D，F是BC边的四等分点，则图中全等三角形共有( )
A．2对 B．3对 C．4对 D．5对C10．(2015·宜昌)如图，在方格纸中，以AB为一边作△ABP，使之与△ABC全等，从P1，P2，P3，P4四个点中找出符合条件的点P，则点P有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个C11．(2015·绍兴)如图，小敏做了一个角平分仪ABCD，其中AB＝AD，BC＝DC.将仪器上的点A与∠PRQ的顶点R重合，调整AB和AD，使它们分别落在角的两边上，过点A，C画一条射线AE，AE就是∠PRQ的平分线，此角平分仪的画图原理是：根据仪器结构，可得△ABC≌△ADC，这样就有∠QAE＝∠PAE.则说明这两个三角形全等的依据是( )
A．SAS B．ASA C．AAS D．SSSD12．如图，在△ABD和△ACE中，有下列4个论断：①AB＝AC，②AD＝AE，③∠B＝∠C，④BD＝CE，以其中3个论断为条件，余下一个论断为结论，构成的真命题是：__________________________．(用序号?????的形式表示出所有真命题)①②④?③和①③④?②13．如图，AD＝AE，BD＝CE，AF⊥BC，且F是BC的中点，求证：∠D＝∠E.解：证明：连结AB，AC，先证△ABF≌△ACF，再证△ABD≌△ACE 14．(习题5变式)如图，AB与CD相交于点O，M，N在AB上，且AC＝BD，AM＝BN，DM＝CN.求证：AB与CD互相平分．解：证明：∵BM＝AB－AM，AN＝AB－BN，AM＝BN，∴BM＝AN，又BD＝AC，DM＝CN，∴△ACN≌△BDM，∴∠A＝∠B，又∠AOC＝∠BOD，AC＝BD，∴△AOC≌△BOD，∴AO＝BO，CO＝DO，即AB与CD互相平分15．如图，在Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，CE⊥BD交BD的延长线于点E.求证：BD＝2CE.解：证明：延长CE交BA的延长线于点M，易证△BCE≌△BME，∴CE＝ME，∴CM＝2CE，再证△ABD≌△ACM，∴BD＝CM＝2CE方法技能：
证三角形全等选择哪种判定方法，要根据具体已知条件而定，见下表：课件15张PPT。13．2 三角形全等的判定第13章 全等三角形第5课时 斜边直角边知识点? 用“斜边、直角边”判定直角三角形全等
1．如图，在△ABC中，AB＝AC，若AD⊥BC，则判定△ABD≌△ACD的方法是( )
A．SAS B．ASA C．SSS D．HLD2．使两个直角三角形全等的条件是( )
A．一个锐角对应相等 B．两个锐角对应相等
C．一条边对应相等 D．两条边对应相等D3．如图，已知AB⊥AC，CD⊥BD，若用HL证明△ABC≌△DCB，则还应添加条件__________________________________；若用AAS证明△ABC≌△DCB，则还应添加条件____________________________________________________．AB＝DC或AC＝DB∠ABC＝∠DCB或∠ACB＝∠DBC4．如图，点C，E，B，F在一条直线上，AB⊥CF于点B，DE⊥CF于点E，AC＝DF，AB＝DE.求证：CE＝BF.解：∵AB⊥CF，DE⊥CF，∴∠ABC＝∠DEF＝90°.在Rt△ABC和Rt△DEF中，∵AC＝DF，AB＝DE，∴Rt△ABC≌Rt△DEF(HL)，∴BC＝EF，∴BC－BE＝EF－BE，即CE＝BF知识点? 直角三角形全等的综合判定
5．如图，已知AB＝AD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△ADC的是( )
A．CB＝CD B．∠BAC＝∠DAC
C．∠BCA＝∠DCA D．∠B＝∠D＝90°C6．如图，AD，A′D′分别是锐角三角形ABC和锐角三角形A′B′C′的BC，B′C′边上的高，且AB＝A′B′，AD＝A′D′，若使△ABC≌△A′B′C′，请你补充条件_________________________________________________________________．(填一个你认为适当的条件)AC＝A′C′或BC＝B′C′或∠C＝∠C′或∠DAC＝∠D′A′C′7．下列命题：①两直角边对应相等的两个直角三角形全等；②两锐角对应相等的两个直角三角形全等；③斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等；④一锐角和一直角边对应相等的两个直角三角形全等；⑤一锐角和斜边对应相等的两个直角三角形全等．其中正确的命题有________________________．(填序号)①③④⑤8．如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E，BE与CD相交于点O，且AD＝AE.有下列结论：①∠B＝∠C；②△ADO≌△AEO；③△BOD≌△COE；④图中有四组三角形全等．其中正确的结论有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个D9．如图，BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别是E，F，BE，CF相交于点O，若BE＝CF，则图中共有____对全等三角形．310．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝7，BC＝3，一条线段PQ＝AB，P，Q两点分别在AC和与AC垂直的射线AX上移动，当AP＝________时，才能使△ABC与△QPA全等．3或711．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D在AC上，E在BA的延长线上，BD＝CE，BD的延长线交CE于点F，求证：BF⊥CE.解：∵BD＝CE，AB＝AC，∴Rt△BAD≌Rt△CAE(HL)，∴∠ADB＝∠E，∵∠BAC＝90°，∴∠EBF＋∠ADB＝90°，∴∠EBF＋∠E＝90°，∴∠BFE＝90°，即BF⊥CE12．(习题2变式)如图，已知AE⊥BC，DF⊥BC，E，F是垂足，AE＝DF，AB＝DC，求证：AC＝DB.解：证明：先证△ABE≌△DCF(HL)，再证△ABC≌△DCB13．(习题1变式)如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC.垂足分别为E，F，且DE＝DF.求证：AB＝AC.解：证明：连结AD，先证Rt△BDE≌Rt△CDF，得BE＝CF，再证Rt△ADE≌Rt△ADF，得AE＝AF，∴BE＋AE＝CF＋AF，即AB＝AC14．(例题7变式)如图，AB＝AC，点D，E分别在AC，AB上，AG⊥BD于G，AF⊥CE于F，且AG＝AF.求证：BD＝CE.解：证明：先证Rt△ABG≌Rt△ACF，得∠B＝∠C，再证△ABD≌△ACE15．如图①，A，E，F，C在一条直线上，AE＝CF，过E，F分别作DE⊥AC，BF⊥AC.
(1)若AB＝CD，试证明BD与EF互相平分；
(2)若将△DEC的边EC沿AC方向移动变为图②时，其余条件不变，(1)中结论是否仍成立？请说明理由．方法技能：
判定直角三角形全等的思路：(1)已知一对直角边和一对斜边分别相等，用“HL”判定；(2)已知两对直角边分别相等，用“SAS”判定；(3)已知一对锐角和斜边分别相等，用“AAS”判定；(4)已知一对锐角和一对直角边分别相等．用“AAS”或“ASA”判定．
易错提示：
“HL”只适用于判定两个直角三角形全等，其他三角形不能运用该判定定理．课件12张PPT。13．3 等腰三角形第13章 全等三角形第1课时 等腰三角形的性质 知识点? 等边对等角
1．(2015·盐城)若等腰三角形的顶角为40°，则它的底角度数为( )
A．40° B．50° C．60° D．70°
2．已知等腰三角形的一个内角为70°，则另外两个内角的度数分别是
( )
A．55°，55° B．70°，40°
C．55°，55°或70°，40° D．以上都不对DC3．(2015·湘西)如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC，∠A＝36°，则∠1的度数为( )
A．36° B．60°
C．72° D．108°C4．(例题1变式)如图，在△ABC中，D在BC上，若AD＝BD，AB＝AC＝CD，求∠BAC的度数．解：∵AD＝BD，∴∠B＝∠BAD，∵AB＝AC＝CD，∴∠B＝∠C，∠ADC＝∠DAC，设∠B＝∠BAD＝∠C＝x°，则∠ADC＝∠DAC＝2x°，在△ACD中，有2x＋2x＋x＝180，∴x＝36，∴∠BAC＝3x°＝108°知识点? 等腰三角形的“三线合一”
5．如图，△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，则下列结论中：①AD⊥BC；②AD＝BC；③∠B＝∠C；④BD＝CD.正确的有( )
A．①②③
B．②③④
C．①②④
D．①③④ D6．(2015·北京)如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC于点E.求证：∠CBE＝∠BAD.解：证明：∵AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD(等腰三角形的“三线合一”)，∵BE⊥AC，AD⊥BC，∴∠CBE＋∠C＝90°，∠CAD＋∠C＝90°，∴∠CBE＝∠CAD，∴∠CBE＝∠BAD知识点? 等边三角形的性质
7．如图，△ABC是等边三角形，点D在AC边上，∠DBC＝35°，则∠ADB的度数为( )
A．25° B．60° C．85° D．95°D8．如图，等边△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，CD，BE交于点O，则∠BOC的度数是__________．120°9．(2015·毕节)如图，已知D为△ABC边AB的中点，E在AC上，将△ABC沿着DE折叠，使A点落在BC上的F处．若∠B＝65°，则∠BDF等于( )
A．65° B．50° C．60° D．57.5°B10．如图，一钢架NAM中，∠A＝15°，现要在角的内部焊上等长的钢条(相邻钢条首尾相接)来加固钢架．若AP1＝P1P2，则这样的钢条最多只能焊上( )
A．4根 B．5根 C．6根 D．7根B20 45° 13．如图，△ABC是等边三角形，点B，C，D，E在同一条直线上，且CG＝CD，DF＝DE，则∠E＝____度．1514．如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠A＝20°.线段AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，连结BE，求∠EBC的度数．解：∵AB＝AC，∠A＝20°，∴∠ABC＝∠C＝80°.又∵DE是AB的垂直平分线，∴EA＝EB，∴∠A＝∠ABE.∴∠EBC＝∠ABC－∠ABE＝80°－20°＝60°15．(练习题3变式)如图，点D，E在△ABC的边BC上，AB＝AC，AD＝AE.求证：BD＝CE.解：证明：过点A作AM⊥BC于M，由三线合一得BM＝CM，DM＝EM，∴BM－DM＝CM－EM，即BD＝CE16．如图，△ABC为等边三角形，P为BC上一点，△APQ为等边三角形．
(1)求证：AB∥CQ；
(2)是否存在点P，使得AQ⊥CQ？若存在，指出点P的位置并证明你的结论；若不存在，请说明理由．解：(1)证△ABP≌△ACQ，得∠ACQ＝∠B＝60°，又∠BAC＝60°，∴∠ACQ＝∠BAC，∴AB∥CQ (2)当点P为BC的中点时，AQ⊥CQ，∵AB＝AC，P为BC的中点，∴AP⊥BC，∴∠APB＝90°，由(1)知△ABP≌△ACQ，∴∠AQC＝∠APB＝90°，∴AQ⊥CQ方法技能：
等腰三角形的“三线合一”包含三个结论：(1)若已知等腰三角形底边上的中线，则它平分顶角，且垂直于底边；(2)若已知等腰三角形顶角的平分线，则它垂直平分底边；(3)若已知等腰三角形底边上的高，则它平分底边，且平分顶角．
易错提示：
“等边对等角”是针对同一个三角形而言的，若在两个三角形中，这个结论不成立．课件13张PPT。13．3 等腰三角形第13章 全等三角形第2课时 等腰三角形的判定知识点? 等角对等边
1．(例题3变式)在△ABC中，∠A和∠B的度数如下，不能判定△ABC是等腰三角形的是( )
A．∠A＝20°，∠B＝80°
B．∠A＝36°，∠B＝108°
C．∠A＝30°，∠B＝120°
D．∠A＝80°，∠B＝60°
2．(2016·陕西)如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD是△ABC的角平分线，若在边AB上截取BE＝BC，连结DE，则图中等腰三角形共有( )
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个DD3．如图，在△ABC中，BC＝5 cm，BP，CP分别是∠ABC和∠ACB的平分线，且PD∥AB，PE∥AC，则△PDE的周长是_______．
4．(例题5变式)如图，在△ABC中，AB＝AC，D是AB上一点，过D作DE⊥BC于E，并与CA的延长线相交于F，试判断△ADF的形状，并说明理由．5cm解：△ADF是等腰三角形，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵DE⊥BC，∴∠F＋∠C＝90°，∠BDE＋∠B＝90°，∴∠F＝∠BDE＝∠ADF，∴AF＝AD，即△ADF是等腰三角形知识点? 等边三角形的判定
5．下列三角形：①有两个角等于60°；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个外角(每个顶点处各取一个外角)都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中是等边三角形的有( )
A．①②③ B．①②④
C．①③ D．①②③④
6．在△ABC中，∠A＝60°，BD⊥AC，CE⊥AB，垂足分别为D，E，且BD＝CE，则△ABC是( )
A．不等边三角形 B．等腰三角形
C．等边三角形 D．直角三角形DC7．已知∠AOB＝30°，点P在∠AOB内部，P1与P关于OB对称，P2与P关于OA对称，则P1，O，P2三点所构成的三角形是( )
A．直角三角形 B．钝角三角形
C．等腰三角形 D．等边三角形D8．如图，已知△ABC中，BD平分∠ABC，CE＝CD，DB＝DE，∠E＝30°.
求证：△ABC是等边三角形．解：∵DB＝DE，∴∠DBC＝∠E＝30°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABC＝2∠DBC＝60°，∵CE＝CD，∴∠CDE＝∠E＝30°，∴∠BCD＝∠CDE＋∠E＝60°，∴∠A＝180°－∠ABC－∠ACB＝60°，∠A＝∠ABC＝∠ACB，∴△ABC是等边三角形9．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM＋CN＝9，则线段MN的长为( )
A．6 B．7 C．8 D．9D10．如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点，已知A，B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则点C的个数是( )
A．6 B．7 C．8 D．9C11．如图，木工师傅从边长为90 cm的正三角形木板上锯出一个正六边形木板，那么正六边形木板的边长为( )
A．34 cm B．32 cm C．30 cm D．28 cmC12．如图，将长方形纸片ABCD沿EF折叠，使点B与点D重合，已知AE＝4 cm，AB＝9 cm，则DF＝_______．5cm13．如图，在△ABC中，点E在AB上，点D在BC上，BD＝BE，∠BAD＝∠BCE，AD与CE相交于点F，试判断△ACF的形状，并说明理由．解：先证△ABD≌△CBE得AB＝BC，∴∠BAC＝∠BCA，∵∠BAD＝∠BCE，∴∠BAC－∠BAD＝∠BCA－∠BCE，即∠FAC＝∠FCA，∴AF＝CF，∴△ACF是等腰三角形14．如图，已知点D是等边三角形ABC的边BC延长线上的一点，∠EBC＝∠DAC，CE∥AB.求证：△CDE是等边三角形．解：证△BCE≌△ACD，∴CE＝CD，∵CE∥AB，∴∠DCE＝∠ABC＝60°，∴△CDE是等边三角形15．如图，下列三角形中，若AB＝AC，则能被一条直线分成两个小等腰三角形的是( )DA．①②③ B．①②④
C．②③④ D．①③④方法技能：
利用等腰三角形可以证明线段相等或角相等，因此在解几何题时，若能从图形中很快发现有等腰三角形，则对我们解决问题很有帮助，常见的模式有：若题目中有角平分线和平行线的条件，则图形中一般有等腰三角形，即“角平分线＋平行线?等腰三角形”；同样有“角平分线＋垂线?等腰三角形”．
易错提示：
不要混淆“等角对等边”与“等边对等角”．前者是已知一个三角形的两个角相等，结论是角所对的边相等；后者是已知一个三角形的两条边相等，结论是边所对的角相等．课件13张PPT。13．4 尺规作图第13章 全等三角形第1课时 作一条线段等于已知线段与作一个角等于已知角知识点? 尺规作图
1．尺规作图是指( )
A．用直尺规范作图
B．用刻度尺和圆规作图
C．用没有刻度的直尺和圆规作图
D．直尺和圆规是作图工具
知识点? 作一条线段等于已知线段
2．如图，点B，C，D依次在射线AP上，线段长度错误的是( )CCA．AD＝2a B．BC＝a－b
C．BD＝a－b D．AC＝2a－b3．(练习题1变式)如图，已知线段AB，CD，且AB＞CD，求作线段EF，使EF＝2(AB－CD)．解：作法：(1)作射线OM；(2)在OM上顺次截取OH＝HF＝AB；(3)在线段OF上顺次截取OG＝GE＝CD，则线段EF就是所要求作的线段知识点? 作一个角等于已知角
4．用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出△C′O′D′≌△COD的依据是( )AA．SSS B．SAS C．ASA D．AAS5．(习题2变式)如图所示，已知∠α，∠β，求作∠POQ＝2∠α－∠β.解：作法：(1)作∠AOQ＝∠α；(2)以O为顶点，OA为一边，在∠AOQ外部作∠BOA＝∠α；(3)以O顶点，OB为一边，在∠BOQ内部作∠BOP＝∠β，则∠POQ就是所要求作的角6．下列作图语言表述正确的是( )
A．延长线段AB至点C，使AC＝AB
B．以点O为圆心作弧
C．以点O为圆心，以AC长为半径作弧
D．在射线OA上截取OB＝a，BC＝b，则有OC＝a＋bC7．如图，已知线段a，b(a＞b)，作一条线段AD，使它等于2a－b，正确的作法是( )C8．如图，点C在∠AOB的OB边上，用尺规作出了CN∥OA，作图痕迹中，弧FG是( )
A．以点C为圆心，OD为半径的弧
B．以点C为圆心，OM为半径的弧
C．以点E为圆心，OD为半径的弧
D．以点E为圆心，DM为半径的弧 D9．如图，使用直尺作图，看图填空：(1)过点____和____作直线AB；
(2)连结____；
(3)以点____为端点，过____点作射线____；
(4)延长线段____到____，使BC＝2AB.
10．已知线段a，作一条线段AB＝a的步骤是：
(1)________________，
(2)________________________________，
则AB就是所要求作的线段．ABABOAOAAB点C作射线AM在射线AM上截取线段AB＝a11．如图，已知线段a，c和∠α，求作：△ABC，使BC＝a，AB＝c，∠ABC＝∠α，根据作图在下面空格填上适当的文字或字母．(1)如图①所示，作∠MBN＝____；
(2)如图②所示，在射线BM上截取BC＝____，在射线BN上截取BA＝____；
(3)连结AC，如图③所示，△ABC就是_________________________．∠αac所要求作的三角形12．(习题1变式)用尺规作出下列图形：已知a，b，c(a＜b)，求作线段AB，使AB＝2c－b＋a.(不写作法)解：作图略13．(习题3变式)如图，已知线段a，用尺规作出△ABC，使AB＝a，BC＝AC＝2a.解：作法：(1)作线段AB＝a；(2)分别以A，B为圆心，以2a为半径作弧，两弧相交于点C；(3)连结AC，BC，则△ABC就是所要求作的三角形14．如图，已知线段a及∠O，只用直尺和圆规，求作△ABC，使BC＝a，∠B＝∠O，∠C＝2∠B.(保留作图痕迹，不写作法)解： 方法技能：
1．作一个角等于已知角，依据是基本事实“边边边”．
2．要记住作图题中作法的常见句型，如“以×为圆心，以×的长为半径作弧，交前弧于×点”等．只有熟记作法中的常见句型，才能规范使用作图语言．
易错提示：
作已知两角的和是以一个角的一边为公共边，在这个角的外部作一个角等于另一个已知角；作已知两角的差是以较大角的一边为公共边，在这个角的内部作一个角等于较小已知角．课件8张PPT。13．4 尺规作图第13章 全等三角形第2课时 作已知角的平分线C 65° 3．(2015·玉林)根据图中尺规作图的痕迹，先判断得出结论：_____________________，然后证明你的结论(不要求写已知、求证)OM平分∠BOA解：证明：连结CM，DM，证△COM≌△DOM(SSS)4．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝72°.
(1)用直尺和圆规作∠ABC的平分线BD交AC于点D(保留作图痕迹，不要求写作法)；
(2)在(1)中作出∠ABC的平分线BD后，求∠BDC的度数．解：(1)作图略 (2)∠BDC＝72°解： 解： 方法技能：
1．在角的平分线的作法中，“以适当长为半径”要求美观，不能太大或太小；
2．“以大于线段DE长的一半为半径作弧”是因为小于或等于线段DE长的一半为半径时作出的两弧不能形成交点；
3．两弧的交点应在角的内部找，因为要作的是角的平分线．
易错提示：
作角的平分线第三步“作射线OC”不能叙述为“连结OC”，因为连结OC得到线段，而角的平分线是射线．课件7张PPT。13．4 尺规作图第13章 全等三角形第3课时 经过一已知点作已知直线的垂线知识点? 经过已知直线上一点作已知直线的垂线
1．(例题1变式)如图，求作已知锐角∠α的余角．解：作法：(1)作∠AOB＝∠α (2)延长BO至点C，作平角∠BOC的平分线OD，使OD，OA在直线BC的同侧，则∠AOD就是所要求作的角2．(习题4变式)如图，已知线段a，b(a＜b)，求作一个直角三角形，使它的一条直角边等a，斜边等于b.解：作法：(1)作直线MN并在MN上截取AB＝a；(2)过点A作MN的垂线AD；(3)以点B为圆心，线段b为半径作弧，交AD于点C，连结BC，则△ABC就是所要求作的直角三角形知识点? 经过已知直线外一点作已知直线的垂线
3．(练习题1变式)如图，已知点P和直线l，求作点P关于直线l的对称点P′.解：作法：(1)过点P作直线l的垂线，垂足为点O；(2)在线段PO的延长线上截取OP′＝OP，则点P′就是所要求作的点4．(练习题2变式)如图，在△ABC中，尺规作图，作出BC边上的高AH.(不写作法，保留作图痕迹)解： 5．(2015·青岛)用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
已知：线段c，直线l及l外一点A.
求作：Rt△ABC，使直角边为AC(AC⊥l，垂足为C)，斜边AB＝c.解：如图，△ABC为所求方法技能：
过已知直线上一点作已知直线的垂线，实质上是作一个平角的平分线，并反向延长；过已知直线外一点作已知直线的垂线，实质上是作等腰三角形顶角的平分线所在的直线．
易错提示：
用尺规作图作直角时，易直接用三角尺上的直角作出而出错．课件8张PPT。13．4 尺规作图第13章 全等三角形第4课时 作已知线段的垂直平分线知识点 作已知线段的垂直平分线
1．图中的尺规作图是作( A )
A．线段的垂直平分线
B．一条线段等于已知线段
C．一个角等于已知角
D．角的平分线2．如图，已知线段a，h，作等腰△ABC，使AB＝AC，且BC＝a，BC边上的高AD＝h，张佳的作法是：(1)作线段BC＝a；(2)作线段BC的垂直平分线MN，MN与BC相交于点D；(3)在直线MN上截取线段h；(4)连结AB，AC，△ABC为所求的等腰三角形．上述作法的四个步骤中，有错误的一步是( )
A．(1) B．(2) C．(3) D．(4)C3．如图，已知△ABC，请用尺规过点A作一条直线，使其将△ABC分成面积相等的两部分．(保留作图痕迹，不写作法)解：如图，直线AD即为所求：4．(练习题2变式)如图，在△ABC中，作∠ABC的平分线BD，交AC于D，作线段BD的垂直平分线EF，分别交AB于E，BC于F，垂足为O，连结DF.在所作图中，找出所有的全等三角形．(不写作法，保留作图痕迹)解：作图略，△BOE≌△BOF，△BOE≌△DOF，△BOF≌△DOF5．已知：线段a，m(如图)．
求作：等腰△ABC，使底边BC＝a，底边上的中线AD＝m.解：作法：(1)作线段BC＝a；(2)作线段BC的垂直平分线l，垂足为D；(3)在l上截取DA＝m，连结AB，AC，则△ABC就是所要求作的三角形6．如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝60°.
(1)作∠B的平分线BD，交AC于点D；作AB的中点E；(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明)
(2)连结DE，求证：△ADE≌△BDE.方法技能：
作一条线段的中点是通过作这条线段的垂直平分线实现的，用这种方法也可以作出任意三角形的三条中线．
易错提示：
作线段的垂直平分线不要与作垂线相混淆．课件8张PPT。13．5 逆命题与逆定理 第十三章 全等三角形第1课时 互逆命题与互逆定理D知识点? 互逆命题
1．下列命题的逆命题正确的是( )
A．全等三角形的面积相等
B．全等三角形的对应角相等
C．如果a＝b，那么a2＝b2
D．等边三角形的三个角都等于60°
2．判断下列命题：①等腰三角形是轴对称图形；②若a＞1且b＞1，则a＋b＞2；③等角的补角相等；④直角三角形的两锐角互余．其中逆命题正确的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．0个
点拨：③④的逆命题正确B3．写出下列命题的逆命题：
(1)如果一个数是偶数，那么这个数能被2整除．
如果一个数能被2整除，那么这个数是偶数；
(2)和为180°的两个角互为补角．
互补的两个角的和为180°；
(3)等腰三角形的两个底角相等．
有两个角相等的三角形是等腰三角形；
(4)等腰三角形两底角的角平分线相等．
有两个角的角平分线相等的三角形是等腰三角形．知识点? 互逆定理
4．下列定理有逆定理的是( )
A．直角都相等
B．同旁内角互补，两直线平行
C．对顶角相等
D．全等三角形的对应角相等
5．下列说法，正确的是( )
A．每个定理都有逆定理
B．真命题的逆命题都是真命题
C．每个命题都有逆命题
D．假命题的逆命题都是假命题BC6．定理“等边三角形的三个角都相等”的逆定理是_______________________________．三个角都相等的三角形是等边三角形7．“邻补角的角平分线互相垂直”的逆命题是_________________________________，这是一个____(填“真”或“假”)命题．
8．(练习题1变式)写出下列命题的逆命题，并判断真假．
(1)在一个三角形中，等角对等边；
(2)四边形的内角和等于360°.
解：(1)在一个三角形中，等边对等角，真命题 (2)内角和等于360°的多边形是四边形，真命题角平分线互相垂直的两个角是邻补角假9．(练习题2变式)写出下列各命题的逆命题，并判断其逆命题是真命题还是假命题，若是假命题，请举出一个反例说明：
(1)相等的角是内错角；
(2)等腰三角形底边上的高与底边上的中线重合；
(3)在平面内，垂直于同一条直线的两直线平行；
(4)有一个角是60°的三角形是等边三角形．解：(1)内错角相等．假命题，如图： (2)一边上的高与
这边上的中线重合的三角形是等腰三角形．真命题 (3)在平面内，两条平行线垂直于同一条直线，假命题，如图： (4)等边三角形有一个角是60°，真命题方法技能：
写出一个命题的逆命题，并不只是简单的交换条件和结论，还要重新组织加工语言，使语句通顺，条理清晰．
易错提示：
每个命题都有逆命题，但是，每一个定理不一定都有逆定理．因为原命题正确的逆命题不一定正确．课件15张PPT。13．5 逆命题与逆定理 第十三章 全等三角形第2课时 线段垂直平分线知识点? 线段垂直平分线的性质
1．如图，四边形ABCD中，AC垂直平分BD，垂足为E.下列结论不一定成立的是( )
A．AB＝AD B．AC平分∠BCD
C．AB＝BD D．△BEC≌△DEC
2．(2015·遂宁)如图，在△ABC中，AC＝4 cm，线段AB的垂直平分线交AC于点N，△BCN的周长是7 cm，则BC的长为( )
A．1 cm B．2 cm C．3 cm D．4 cmCC知识点? 线段垂直平分线的判定
4．下列说法中错误的是( )
A．若直线CD为线段AB的垂直平分线，则CA＝CB，DA＝DB
B．若CA＝CB，DA＝DB，则直线CD垂直平分线段AB
C．若CA＝CB，则C在线段AB的垂直平分线上
D．若DA＝DB，则经过点D的直线为线段AB的垂直平分线
5．以线段BC为底边的等腰△ABC的顶点A在______________________． D线段BC的垂直平分线上6．如图，AC＝AD，BC＝BD，AB与CD相交于点O，则AB与CD的关系是__________________．AB垂直平分CD7．(习题3变式)如图，△ABC中，AD平分∠BAC.DE⊥AB于E，DC⊥AC于C.
求证：直线AD是CE的垂直平分线．
解：证明：易证△ADE≌△ADC，∴AE＝AC，DE＝DC，∴点A，D均在线段CE的垂直平分线上，又∵两点确定一条直线，∴直线AD是CE的垂直平分线8．平面内到三角形三个顶点距离相等的点是( )
A．三角形三条角平分线的交点
B．三角形的三条中线的交点
C．三角形三边垂直平分线的交点
D．三角形三条高线的交点
9．如图，在长方形ABCD的对称轴l上找点P，使得△PAB，△PBC均为等腰三角形，则满足条件的点P有( )
A．1个 B．3个
C．5个 D．无数多个CC10．(2015·荆州)如图，△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交边AB于D点，交边AC于E点，若△ABC与△EBC的周长分别是40 cm，24 cm，则AB＝____cm.
11．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BD平分∠ABC交AC于D，则点D在___________________上．16线段AB的垂直平分线12．(练习题3变式)如图，在△ABC中，AD垂直平分BC，点E在BC的延长线上，且满足AB＋BD＝DE，求证：点C在线段AE的垂直平分线上．
解：证明：∵AD是BC的垂直平分线，∴AB＝AC，BD＝CD，∵AB＋BD＝DE，∴AC＋CD＝DE，∴AC＝DE－CD＝CE，∴点C在线段AE的垂直平分线上13．如图，在△ABC中，AB＝AC，O是△ABC内一点，且OB＝OC，点P是直线OA上的动点，求证：PB＝PC.
解：证明：∵AB＝AC，OB＝OC，∴点A，O均在线段BC的垂直平分线上，∵两点确定一条直线，∴直线OA垂直平分线段BC，∴PB＝PC14．已知△ABC中，∠BAC＝140°，AB，AC的垂直平分线分别交BC于E，F.求∠EAF的度数．
解：∠EAF＝100°15．如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝54°，点D为AB的中点，且OD⊥AB，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O，将∠C沿EF(E在BC上，F在AC上)折叠，点C与点O恰好重合，则∠OEC为______度．10816．如图，在△ABC中，∠B＝22.5°，边AB的垂直平分线l交BC于D，DF⊥AC于F，并与BC边上的高AE交于G.求证：EG＝EC.
解：连结AD，∵l垂直平分AB，∴AD＝BD，∴∠BAD＝∠B＝22.5°，∴∠ADE＝∠BAD＋∠B＝45°，∵AE⊥BC，∴∠DAE＝90°－45°＝45°，∴∠ADE＝∠DAE，∴AE＝DE，∵DF⊥AC，AE⊥BC，∴∠EDG＋∠C＝90°，∠EAC＋∠C＝90°，∴∠EDG＝∠EAC，又∠DEG＝∠AEC＝90°，∴△DEG≌△AEC(ASA)，∴EG＝EC方法技能：
1．已知线段的垂直平分线时，通常连结线段垂直平分线上一点与线段的两个端点．
2．三角形三边垂直平分线的交点：(1)位置：锐角三角形：在三角形内部；直角三角形：为斜边的中点；钝角三角形：在三角形外部．(2)性质：交点到三角形三个顶点的距离相等．
易错提示：
当某一点到某条线段两个端点的距离相等时，不能说明过该点的是这条线段的垂直平分线．课件14张PPT。13．5 逆命题与逆定理 第十三章 全等三角形第3课时 角平分线知识点? 角平分线的性质
1．如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C，D，下列结论中错误的是( )
A．PC＝PD B．OC＝OD
C．∠CPO＝∠DPO D．OC＝PC
2．(2015·湖州)如图，在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝5，DE＝2，则△BCE的面积等于( )
A．10 B．7 C．5 D．4DC3．(2015·广西)如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，且BC＝4, DE＝2，则△BCD的面积是__ __．
4．(2015·南昌)如图，OP平分∠MON，PE⊥OM于E，PF⊥ON于F，OA＝OB，则图中有__ __对全等三角形．435．(2015·孝感)我们把两组邻边相等的四边形叫做“筝形”，如图，四边形ABCD是一个筝形，其中AB＝CB，AD＝CD.对角线AC，BD相交于点O，OE⊥AB，OF⊥CB，垂足分别是E，F.求证OE＝OF.
解：证明：易证△ABD≌△CBD，∴∠ABD＝∠CBD，∵OE⊥AB，OF⊥CB，∴OE＝OF知识点? 角平分线的判定
6．如图，已知点P到BE，BD，AC的距离恰好相等，则点P的位置：①在∠B的平分线上；②在∠DAC的平分线上；③在∠ECA的平分线上；④恰是∠B，∠DAC，∠ECA三个角平分线的交点．上述结论中，正确的有( )
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
7．在平面内，到三角形三边距离相等的点是( )
A．三角形两边垂直平分线的交点
B．三角形两内角平分线的交点
C．三角形两边中线的交点
D．三角形两边高线的交点AB8．如图，l1，l2，l3是三条两两相交的笔直公路，现欲修建一个加油站，使它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有( )
A．1处 B．2处 C．3处 D．4处D9．如图，在△ABC中，D是BC上一点，BD＝CD，∠BAD＝∠CAD.
求证：AB＝AC.
解：过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F.∵∠BAD＝∠CAD，∴AD是∠BAC的平分线，又∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF，∴在Rt△BED和Rt△CFD中，DE＝DF，BD＝CD，∴Rt△BED≌Rt△CFD(HL)，∴∠B＝∠C，∴AB＝AC10．如图，已知△ABC，求作一点P，使P到∠A的两边的距离相等，且PA＝PB，下列确定P点的方法正确的是( )
A．P是∠A与∠B两角平分线的交点
B．P为∠A的角平分线与AB的垂直平分线的交点
C．P为AC，AB两边上的高的交点
D．P为AC，AB两边的垂直平分线的交点B11．如图，点A为∠MON的角平分线上一点，过A任作一直线分别与∠MON的两边交于B，C，P为BC的中点，过P作BC的垂线交OA于点D，∠MON＝60°，则∠BDC＝( )
A．120° B．130° C．140° D．150°
点拨：过点D作DE⊥OM于E，DF⊥ON于F，则DE＝DF，又DP是线段BC的垂直平分线，∴DB＝DC，易证△DBE≌△DCF，∴∠BDE＝∠CDF，∴∠BDC＝∠EDF＝360°－60°－90°－90°＝120°A12．如图，OP平分∠MON，点C为OP上的任意一点，CA⊥ON，垂足为A，线段OA的垂直平分线BG交OM于点B，交OA于点G，已知AB＝6，AC＝3，则△OBC的面积为____．913．(练习题1变式)如图，l1和l2是相交于点O的两条公路，A，B是两个加油站，现准备在∠AOB的内部建一个油库，要求油库的位置点P既到A，B两个加油站的距离相等，又到两条公路l1，l2的距离相等．试用尺规作图作出点P.解：如图 15．如图，已知△ABC的BC边的垂直平分线DE与∠BAC的平分线交于点E，EF⊥AB的延长线于点F，EG⊥AC于点G.求证：
(1)BF＝CG；
(2)AB＋AC＝2AG.
解：(1)连结BE，EC，∵DE垂直平分BC，∴BE＝EC，∵AE平分∠BAC，EF⊥AB，EG⊥AC，∴EF＝EG，∴Rt△EBF≌Rt△ECG(HL)，∴BF＝GC (2)证△AFE≌△AGE(AAS)，∴AF＝AG，∴AB＋AC＝AF－BF＋AG＋GC＝2AG方法技能：
逆用角的平分线的性质是证明角相等的一个方法．应用时要注意两点：一是指明垂线段；二是由垂线段相等直接得到角相等，不必再去证明三角形全等．
易错提示：
运用角平分线性质定理时，角平分线、角平分线上的点到角两边的距离三个条件缺一不可，不能错用为角平分线上的点到角两边任意点间的距离相等．课件13张PPT。专题课堂(三) 全等三角形 第13章 全等三角形一、运用全等三角形证线段(角)相等
类型 (1)运用全等三角形证线段相等；
(2)运用全等三角形证角相等；
(3)运用全等三角形证垂直；
(4)运用全等三角形证平行．例1 如图，点E在△ABC外部，点D在边BC上，DE交AC于F.若∠1＝∠2＝∠3，AC＝AE，求证：AB＝AD.分析：从结论“求证：AB＝AD”入手，由AB，AD找一对三角形△ABC和△ADE，证△ABC≌△ADE即可，这里A，F，C，D，F，E，A构成“8字形”，因为“8字形”有一对对顶角相等，所以在“8字形”里，只要除对顶角外的一对角相等，则另一对角必相等．因此，△ABC≌△ADE的三个条件就够了．
解：证明：∵∠1＝∠2，∴∠1＋∠CAD＝∠2＋∠CAD，即∠BAC＝∠DAE，∵∠2＋∠E＝∠AFD，∠3＋∠C＝∠AFD，∴∠2＋∠E＝∠3＋∠C.又∵∠2＝∠3，∴∠E＝∠C，在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE，AC＝AE，∠C＝∠E，∴△ABC≌△ADE(ASA)，∴AB＝AD【对应训练】
1．如图，点A，B，C，D在同一条直线上，EA⊥AD，FD⊥AD，AE＝DF，AB＝DC.
试说明：∠ACE＝∠DBF.2．已知：如图，在△ABC，△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，点C，D，E三点在同一直线上，试猜想BD，CE有何特殊位置关系，并证明．解：BD⊥CE 先证△ABD≌△ACE(SAS)，得∠ABD＝∠ACE，再利用“8字形”D，C，A，B，D，得∠BDC＋∠ACE＝∠BAC＋∠ABD＝∠BOC(O为AC与BD的交点)，∴∠BDC＝∠BAC＝90°，∴BD⊥CE二、中线倍长法
类型 (1)已知三角形的中线，利用中线倍长法，求中线的取值范围；
(2)已知线段的中点，利用中线倍长法，以中点为公共顶点构造全等三角形．
例2 如图，AD为△ABC的中线，求证：AB＋AC＞2AD.分析：延长AD至点M，使DM＝AD，连结BM，易证△ADC≌△MDB，得BM＝AC，在△ABM中，AB＋BM＞AM，即AB＋AC＞2AD.
解：证明：延长AD至点M，使DM＝AD，连结BM，在△ADC和△MDB中，CD＝BD，∠ADC＝∠MDB，AD＝MD，∴△ADC≌△MDB(SAS)，∴BM＝AC，在△ABM中，AB＋BM＞AM，即AB＋AC＞2AD【对应训练】
3．在△ABC中，AB＝5，AC＝3，求中线AD的取值范围．
解：1＜AD＜4三、截长补短法证线段和差问题
类型 (1)截长法；
(2)补短法．
例3 如图，已知AD∥BC，∠ABC和∠BAD的平分线相交于点E，过点E的直线分别交AD，BC于D，C.求证：AB＝AD＋BC.分析：在AB上截取AM＝AD，连结EM，可得△AME≌△ADE，再想办法证△BME≌△BCE，得BC＝BM，即得AB＝AM＋BM＝AD＋BC.
解：证明：在AB上截取AM＝AD，连结EM，∵AE，BE分别平分∠BAD和∠ABC，∴∠MAE＝∠DAE，∠MBE＝∠CBE，在△AME和△ADE中，AM＝AD，∠MAE＝∠DAE，AE＝AE，∴△AME≌△ADE(SAS)，∴∠AME＝∠D，∵AD∥BC，∴∠C＋∠D＝180°，∵∠BME＋∠AME＝180°，∴∠C＝∠BME，又BE＝BE，∴△BME≌△BCE(AAS)，∴BC＝BM，∵AB＝AM＋BM，∴AB＝AD＋BC【对应训练】
4．如图，在△ABC中，∠B＝60°，∠BAC与∠BCA的平分线AD，CE分别交BC和AB于点D，E，AD与CE相交于点F.求证：AC＝AE＋CD.5．如图①，四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，∠D＝60°，AB＝BC，E，F分别在AD，CD上，且∠EBF＝60°.
(1)求证：EF＝AE＋CF；
(2)如图②，若F，F分别在AD，DC的延长线上，其他条件不变，求证：EF＝AE－CF.解：证明：(1)延长EA至点M，使AM＝CF，连结BM，∠ABC＝360°－∠A－∠C－∠D＝120°，易证△ABM≌△CBF(SAS)，∴BM＝BF，∠ABM＝∠CBF，∴∠EBM＝∠ABE＋∠ABM＝∠ABE＋∠CBF＝∠ABC－∠EBF＝120°－60°＝60°＝∠EBF，易证△BEM≌△BEF(SAS)，∴EF＝EM＝AE＋AM＝AE＋CF (2)在AE上截取AN＝CF，连结BN，易证△ABN≌△CBF(SAS)，∴BN＝BF，∠ABN＝∠CBF，∴∠EBN＝∠ABC－(∠EBC＋∠ABN)＝∠ABC－(∠EBC＋∠CBF)＝∠ABC－∠EBF＝120°－60°＝60°＝∠EBF，易证△BEN≌△BEF(SAS)，∴EF＝EN＝AE－AN＝AE－CF课件13张PPT。专题课堂(四) 等腰三角形 第13章 全等三角形一、方程思想在等腰三角形中的应用
类型 (1)利用方程求角的度数；
(2)利用方程(组)求边的长度．
例1 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAD＝20°，AD＝AE.求∠CDE的度数．分析：由已知易得∠B＝∠C，∠ADE＝∠AED，设∠CDE＝x，∠B＝∠C＝y，则∠AED＝x＋y，∴∠ADE＝x＋y，由∠ADC＝∠B＋∠BAD，得x＋y＋x＝y＋20°，∴x＝10°.
解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED，设∠CDE＝x，∠B＝∠C＝y，则∠AED＝x＋y，∴∠ADE＝x＋y，∵∠ADC＝∠B＋∠BAD，∴x＋y＋x＝y＋20°，解得x＝10°，∴∠CDE＝10°【对应训练】
1．等腰△ABC中，一腰上的中线把三角形的周长分为12 cm和6 cm两部分，求此三角形各边的长．
解：各边长为8 cm，8 cm，2 cm二、分类讨论在等腰三角形中的应用
类型 (1)与边有关的问题；
(2)与角有关的问题；
(3)与中线有关的问题；
(4)与高有关的问题；
(5)与垂直平分线有关的问题．
例2 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为20°，则这个等腰三角形的底角为_________________________________．
分析：根据高在三角形内部或外部两种情况画出图形，再求解．55°，55°或35°，35°【对应训练】
2．一个等腰三角形的两边长分别为6 cm和13 cm，则它的周长为_____．
3．已知等腰三角形的周长是24 cm，一腰上的中线把等腰三角形分成两个三角形，这两个三角形周长的差是3 cm，则等腰三角形各边的长是________________________________________________．
4．已知等腰△ABC，CA＝CB，过A作△ABC的高AD，若∠ACD＝30°，则∠B＝______________．
5．已知等腰三角形一腰的垂直平分线与另一腰所在的直线相交所成的锐角为40°，求这个等腰三角形底角的大小．
解：65°，65°或25°，25°32cm9cm，9cm，6cm或7cm，7cm，10cm75°或15°三、等腰三角形的判定
类型 (1)角平分线＋平行线＝等腰三角形；
(2)角平分线＋垂线＝等腰三角形．
例3 如图，AD是△ABC的角平分线，过点D作直线DF∥BA，交△ABC的外角平分线AF于点F，DF与AC交于点E.求证：DE＝EF.分析：题目中有角平分线和平行线的条件，据此可确定△AED与△AEF均为等腰三角形，从而使问题很快得到解决．
解：证明：∵AD，AF分别平分∠BAC和∠GAC，∴∠BAD＝∠EAD，∠GAF＝∠EAF，∵DF∥BA，∴∠EDA＝∠BAD，∠EFA＝∠GAF，∴∠EAD＝∠EDA，∠EAF＝∠EFA，∴DE＝AE，EF＝AE，∴DE＝EF【对应训练】
6．如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，BF平分∠ABC交AD于E，交AC于F.求证：△AEF是等腰三角形．解：证明：易知∠BAD与∠C都与∠ABC互余，∴∠BAD＝∠C，∵BF平分∠ABC，∴∠ABF＝∠CBF，∵∠AEF＝∠ABF＋∠BAD，∠AFE＝∠CBF＋∠C，∴∠AEF＝∠AFE，∴AE＝AF，即△AEF是等腰三角形四、巧用等腰三角形的三线合一解题
类型 (1)已知等腰三角形，可作底边上的中线、高，或顶角的平分线；
(2)若题目中没有等腰三角形，可作辅助线构造等腰三角形，再利用三线合一解决问题．
例4 如图，在△ABC中，AB＝AC，E在AC上，D在BA的延长线上，且AD＝AE，连结DE，求证：DE⊥BC.
分析：过点A作AM⊥BC于M，只需证DE∥AM就可证DE⊥BC.解：证明：过点A作AM⊥BC于M，∵AB＝AC，AM⊥BC，∴∠BAC＝2∠BAM(等腰三角形的三线合一)，∵AD＝AE，∴∠D＝∠AED，∴∠BAC＝∠D＋∠AED＝2∠D，∴2∠BAM＝2∠D，∴∠BAM＝∠D，∴AM∥DE，∴DE⊥BC【对应训练】
7．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E，F分别在BC，AB，AC上，且BD＝CF，BE＝CD，G是EF的中点．求证：DG⊥EF.解：连结ED，FD，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，又∵BD＝CF，BE＝CD，∴△BDE≌△CFD(SAS)，∴DE＝DF，∵EG＝GF，∴DG⊥EF(三线合一)8．如图，在△ABC中，AC＝2AB，AD平分∠BAC交BC于D，E是AD上一点，且EA＝EC.求证：EB⊥AB.解：过E作EF⊥AC于F，∵AE＝CE，EF⊥AC，∴AF＝FC，又∵AC＝2AB，∴AB＝AF ，∵AD平分∠BAC，∴∠BAE＝∠FAE，∴△ABE≌△AFE(SAS)，∴∠ABE＝∠AFE＝90°，∴EB⊥AB课件16张PPT。单元复习(三) 全等三角形第十三章 全等三角形一、选择题
1．下列判断正确的是( )
A．有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等
B．有两边对应相等，且有一角为30°的两个等腰三角形全等
C．有一角和一边对应相等的两个直角三角形全等
D．有两角和一边对应相等的两个三角形全等
2．如图，已知∠1＝∠2，AC＝AD，增加下列条件：①AB＝AE；②BC＝ED；③∠C＝∠D；④∠B＝∠E.其中能使△ABC≌△AED的条件有( )
A．4个 B．3个
C．2个 D．1个DB3．如图，AC平分∠BAD，CM⊥AB于点M，CN⊥AN，且BM＝DN，则∠ADC与∠ABC的关系是( )
A．相等 B．互补
C．和为150° D．和为165°
4．如图，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，下列结论：①∠BAD＝∠CAD；②AD上任意一点到AB，AC的距离相等；③BD＝CD；④若点P在直线AD上，则PB＝PC.其中正确的是( )
A．① B．①②
C．①②③ D．①②③④BD5．如图，在正方形网格的格点(即最小正方形的顶点)中找一点C，使得△ABC是等腰三角形，且AB为其中一腰，这样的C点有( )
A．7个 B．8个 C．9个 D．10个
6．(2015·泰安)如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，垂足为E，BF∥AC交ED的延长线于点F，若BC恰好平分∠ABF, AE＝2BF.给出下列四个结论：①DE＝DF；②DB＝DC；③AD⊥BC；④AC＝3BF，其中正确的结论共有( )
A．4个 B．3个
C．2个 D．1个CA7．(2015·荆门)如图，点A，B，C在一条直线上，△ABD，△BCE均为等边三角形，连结AE和CD，AE分别交CD，BD于点M，P，CD交BE于点Q，连结PQ，BM，下面结论：①△ABE≌△DBC；②∠DMA＝60°；③△BPQ为等边三角形；④MB平分∠AMC.其中结论正确的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个D二、填空题
8．命题“如果三角形有一个内角是钝角，则其余两个内角都是锐角”的逆命题是___________________________________________________，它是____(填“真”或“假”)命题．
9．(2015·徐州)如图，在△ABC中，∠C＝31°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，如果DE垂直平分BC，那么∠A＝_______．如果一个三角形有两个内角是锐角，那么另一个内角是钝角假87°10．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2 cm，CD⊥AB，在AC上取一点E，使EC＝BC，过点E作EF⊥AC交CD的延长线于点F，若EF＝5 cm，则AE＝__ __ cm.
11．已知∠α和线段m，n，求作△ABC，使BC＝m，AB＝n，∠ABC＝∠α，作法的合理顺序为__________．(填序号)
①在射线BD上截取线段BA＝n；②作一条线段BC＝m；③以B为顶点，以BC为一边，作∠DBC＝∠α；④连结AC，△ABC就是所求作的三角形．3②③①④12．如图，AC＝BC，DC＝EC，∠ACB＝∠ECD＝90°，且∠EBD＝42°，则∠AEB＝________．
点拨：易证△ACE≌△BCD，∴∠CAE＝∠CBD，∵∠EBD＝∠CBD＋∠CBE＝42°，∴∠EAB＋∠EBA＝48°，∴∠AEB＝180°－48°＝132°132°13．(2015·河北)如图，∠BOC＝9°，点A在OB上，且OA＝1，按下列要求画图：以A为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A1，得第1条线段AA1；再以A为圆心，1为半径向右画弧交OB于点A2，得第2条线段A1A2；再以A2为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A3，得第3条线段A2A3；…这样画下去，直到得第n条线段，之后就不能再画出符合要求的线段了，则n＝__ __．9三、解答题
14．(2015·河池)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝AD.
(1)作∠A的平分线交CD于E；
(2)过B作CD的垂线，垂足为F；
(3)请写出图中两对全等三角形(不添加任何字母)，并选择其中一对加以证明．
解：(1)略 (2)略 (3)△ACE≌△ADE，△ACE≌△CFB 证明略15．如图，D是∠EAF平分线上的一点，若∠ACD＋∠ABD＝180°，求证：CD＝DB.
解：证明：过点D作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N，证△BDM≌△CDN，即可得CD＝DB16．如图，点C在线段AB上，AD∥EB，AC＝BE，AD＝BC，CF平分∠DCE.求证：CF⊥DE.
解：证明：证△ACD≌△BEC，得CD＝CE，由三线合一得CF⊥DE18．如图，△ABC中，AD⊥BC于D，若AB＋BD＝CD.求证：∠B＝2∠C.
解：证明：在DC上截取DM＝BD，连结AM，∵AD⊥BC，∴AB＝AM，∴∠B＝∠AMB，∵AB＋BD＝CD，∴AM＋DM＝DM＋CM，∴AM＝CM，∴∠C＝∠CAM，∴∠B＝∠AMB＝∠CAM＋∠C＝2∠C19．如图，△ABC中，AC>AB，D是BA延长线上一点，点E是∠CAD平分线上一点，EB＝EC，过点E作EF⊥AC于点F，EG⊥AD于点G.
(1)请你在不添加辅助线的情况下找出一对你认为全等的三角形，并加以证明；
(2)若AB＝3，AC＝5，求AF的长．
解：(1)△AEF≌△AEG，△BEG≌△CEF 证明略 (2)由△AEF≌△AEG，得AF＝AG，设AF＝AG＝x，则BG＝3＋x，由△BEG≌△CEF，得CF＝BG＝3＋x，∵AC＝5，∴x＋3＋x＝5，∴x＝1，即AF＝120．如图①，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，点D是AC上一动点，点E在BD的延长线上，且AB＝AE，AF平分∠CAE交DE于点F，连结CF.
(1)求证：∠ABE＝∠ACF；
(2)如图②当∠ABC＝60°，其他条件不变时，求证：AF＋EF＝BF.
解：证明：(1)证△ACF≌△AEF，得∠ACF＝∠E＝∠ABE 证明略 (2)在BE上截取BM＝EF，连结AM，易证△ABM≌△AEF，∴AM＝AF，∠BAM＝∠EAF，由(1)知△ACF≌△AEF，∴∠EAF＝∠CAF，∴∠BAM＝∠CAF，易证△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°，∴∠MAF＝∠CAM＋∠CAF＝∠CAM＋∠BAM＝∠BAC＝60°，∴△AMF是等边三角形，∴AF＝MF，∴AF＋EF＝MF＋BM＝BF课件7张PPT。易错课堂(三) 全等三角形第十三章 全等三角形与三角形的高相关的问题易出错
例? 判断命题“有两边及第三边上的高对应相等的两个三角形全等”是真命题还是假命题，是假命题请举一个反例说明．
错因分析：三角形的高不一定在三角形内部，错在只考虑高在三角形内部这一种情况.
解：是假命题，如图
AB＝A′B′，AC＝A′C′，AD⊥BC于D，A′D′⊥B′C′于D′，且AD＝A′D′，但△ABC与△A′B′C′不全等．【对应训练】
1．△ABC中，AB＝AC，CD为AB上的高，且△ADC为等腰三角形，则∠BCD的度数为_______________．
2．判断命题“有两边及其中一边上的高对应相等的两个三角形全等”是真命题还是假命题，是假命题请举一个反例说明．
解：
假命题，反例如图所示，△ABD与△ACD符合条件，但不全等22.5°或67.5°对象不明确时没有分类讨论而出错
例? 等腰三角形的一个外角等于100°，则这个等腰三角形的顶角是_______________．
错因分析：易错在认为100°的外角是与等腰三角形顶角相邻的外角，漏掉这个外角也可能是与底角相邻的外角．
【对应训练】
3．已知一个等腰三角形的两内角的度数之比为1∶4，则这个等腰三角形顶角的度数为____________．80°或20°20°或120°运用角平分线的性质定理及其逆定理不书写两个垂直条件而出错
例? 如图，AE∥CF，AG，CG分别平分∠EAC和∠FCA，过点G的直线BD⊥AE，交AE于点B，交CF于点D，求证：BG＝DG.
错因分析：易错在只由条件“AG平分∠EAC”，推出“BG＝GM”，应该再加上两个条件“GM⊥AC于M，BD⊥AE于B.”
解：过点G作GM⊥AC于M，∵AG平分∠EAC，GM⊥AC于M，BD⊥AE于B，∴BG＝MG，∵AE∥CF，BD⊥AE，∴BD⊥CF.∵CG平分∠FCA，GM⊥AC于M，BD⊥CF于D，∴DG＝MG，∴BG＝DG.【对应训练】
4．如图，已知BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，且交BE于E.求证：AE平分∠FAC.
解：证明：作EM⊥AB于M，EN⊥BC于N，EK⊥AC于K，证EM＝EN＝EK即可得AE平分∠FAC.没有给出图形的题(即无图题)易出错
例? 在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得的锐角为50°，则∠B等于___________．
错因分析：错在只考虑交点在AC边上，漏掉交点可能在CA的延长线上这种情况．
【对应训练】
5．已知△ABC中，∠A＝50°，两条高BD，CE所在的直线相交于点H，则∠BHC的度数为____________．70°或20°130°或50°
