2.4.1图形面积的最大值 课件(共37张PPT)-2025-2026学年北师大版数学九年级下册教学课件
文档属性
| 名称 | 2.4.1图形面积的最大值 课件(共37张PPT)-2025-2026学年北师大版数学九年级下册教学课件 |
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| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 8.5MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-11-18 06:02:11 | ||
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文档简介
(共37张PPT)
第 1 页：封面页
标题：2.4.1 图形面积的最大值
副标题：北师大版九年级数学下册
配图：左侧展示 “定周长矩形” 面积随边长变化的动态抛物线示意图，右侧标注 “顶点即最大值点”，直观关联几何图形与二次函数
落款：授课教师 / 日期
第 2 页：学习目标
知识目标：掌握将图形面积问题转化为二次函数模型的方法，能利用二次函数顶点坐标求图形面积的最大值，理解自变量取值范围对最值的影响。
能力目标：通过分析几何图形的边长关系，提升数学建模能力；熟练运用顶点式或顶点坐标公式求最值，强化代数运算与几何分析的结合能力。
素养目标：体会 “实际问题 — 数学模型 — 求解应用” 的转化过程，深化数形结合与函数思想，培养用数学知识解决几何优化问题的意识。
第 3 页：回顾衔接 从函数到面积最值
知识回顾：
二次函数 y=ax +bx+c（a≠0）中，当 a<0 时，抛物线开口向下，顶点为最高点，此时函数有最大值，最大值为顶点纵坐标 k=(4ac-b )/(4a)。
顶点式 y=a (x-h) +k（a<0）中，最大值直接为 k，对应 x=h 时取得。
思考引入：用一根长 20cm 的铁丝围成矩形，如何围能使矩形面积最大？这个问题中，面积与边长存在函数关系吗？能否用二次函数求最大值？
第 4 页：核心模型 定周长矩形的面积最大值
问题情境：用长为 30m 的篱笆围成一个矩形菜园，菜园的面积能达到多少平方米？最大面积是多少？
建模步骤：
设变量：设矩形的一边长为 x m（自变量），则邻边长为 (30÷2 - x)=(15 - x) m，面积为 S m （因变量）。
列函数关系式：根据矩形面积公式 S = 长 × 宽，得 S=x (15 - x)= -x + 15x。
定自变量范围：边长为正数，故 x>0 且 15 - x>0，即 0求最大值：
方法一（公式法）：a=-1<0，最大值在顶点处，x=-b/(2a)=-15/(2×(-1))=7.5，S 最大值 =(4ac-b )/(4a)=(0 - 225)/(4×(-1))=56.25。
方法二（顶点式）：S=-x + 15x=-(x - 7.5) + 56.25，当 x=7.5 时，S 最大值 = 56.25。
结论：当矩形为正方形（边长 7.5m）时，面积最大，最大面积为 56.25m 。
第 5 页：拓展模型一 三角形的面积最大值
问题情境：在平面直角坐标系中，点 A (0,3)、B (4,0)，点 P 在 x 轴上（不与 B 重合），连接 AP，求△APB 面积的最大值。
建模步骤：
设变量：设点 P 坐标为 (x,0)，△APB 的面积为 S。
列函数关系式：底边 PB=|x - 4|，高为 A 到 x 轴的距离 = 3，故 S=(1/2)×|x - 4|×3。
简化关系式：若点 P 在 x 轴上任意移动，去掉绝对值需分类讨论；若限定点 P 在 x 轴正半轴上，则 x>0，PB=4 - x（x<4）或 x - 4（x>4），当 x<4 时，S=(3/2)(4 - x)= - (3/2) x + 6（一次函数，无最大值）；当 x>4 时，S=(3/2)(x - 4)= (3/2) x - 6（一次函数，无最大值）。
调整条件求最值：若限定点 P 在抛物线 y=-x + 2x + 3 上，求△APB 的面积最大值。
设 P (x, -x + 2x + 3)，底边 AB 长度 = 5，高为 P 到直线 AB 的距离。
直线 AB 解析式：3x + 4y - 12=0，距离 d=|3x + 4 (-x + 2x + 3) - 12|/5=| -4x + 11x |/5。
S=(1/2)×5×| -4x + 11x |/5=| -4x + 11x |/2，当 - 4x + 11x>0 时，S=(-4x + 11x)/2=-2x + (11/2) x。
顶点横坐标 x=11/8，此时 S 最大值 =(4×(-2)×0 - (121/4))/(4×(-2))=121/32。
第 6 页：拓展模型二 靠墙围矩形的面积最大值
问题情境：用长为 24m 的篱笆，一面靠墙围成一个矩形养鸡场（墙长 10m），怎样围能使养鸡场面积最大？
建模步骤：
设变量：设垂直于墙的边长为 x m，则平行于墙的边长为 (24 - 2x) m，面积为 S m 。
列函数关系式：S=x(24 - 2x)= -2x + 24x。
定自变量范围：平行于墙的边长≤墙长 10m，且边长 > 0，故 24 - 2x≤10 且 24 - 2x>0，解得 7≤x<12。
求最大值：
顶点横坐标 x=-24/(2×(-2))=6，但 6 不在自变量范围 [7,12) 内。
抛物线开口向下，在 x≥6 时，y 随 x 增大而减小，故当 x=7 时，S 最大 = 7×(24 - 14)=70m 。
警示：求最值时必须结合自变量实际取值范围，顶点不在范围内时，需在边界处求最值。
第 7 页：方法总结 图形面积最大值的求解流程
建模三步法：
第一步：设变量：选择合适的几何量（如边长、坐标）作为自变量 x，明确面积 S 为因变量。
第二步：列关系式：根据图形面积公式，结合几何约束条件（如周长、边长关系），建立 S 关于 x 的二次函数关系式 S=ax +bx+c。
第三步：定范围：根据几何量的实际意义（如边长为正、线段长度限制），确定自变量 x 的取值范围。
求最值两步法：
第一步：找顶点：计算二次函数顶点横坐标 x=-b/(2a)。
第二步：判最值：
若顶点横坐标在自变量范围内：当 a<0 时，S 最大值为顶点纵坐标。
若顶点横坐标不在范围内：根据函数增减性，在自变量边界处求 S 的最大值。
核心技巧：优先建立函数关系式，优先使用顶点式或顶点坐标公式求最值，时刻关注自变量实际意义。
第 8 页：典例精讲 综合应用
例题：在平面直角坐标系中，抛物线 y=-x + 2x + 3 与 x 轴交于 A (-1,0)、B (3,0) 两点，与 y 轴交于点 C (0,3)。点 D 是抛物线上一动点，求△BCD 面积的最大值。
解答步骤：
设变量：设点 D 坐标为 (x, -x + 2x + 3)。
列面积关系式：
方法一（割补法）：△BCD 面积 = 梯形 OCDB 面积 - △OBC 面积。
梯形 OCDB 面积 =(OC + BD_y)×OB/2=(3 + | -x + 2x + 3 |)×3/2，△OBC 面积 =(3×3)/2=4.5。
当 D 在 x 轴上方时，S=(3 + (-x + 2x + 3))×3/2 - 4.5=(-x + 2x + 6)×1.5 - 4.5= -1.5x + 3x + 9 - 4.5= -1.5x + 3x + 4.5。
定自变量范围：抛物线 x 取值为全体实数，但结合图形，x 可在实数范围内取值。
求最大值：a=-1.5<0，顶点横坐标 x=-3/(2×(-1.5))=1，代入得 S 最大值 =-1.5×1 + 3×1 + 4.5=6。
结论：当点 D 坐标为 (1,4) 时，△BCD 面积最大，最大值为 6。
第 9 页：课堂练习 分层提升
基础题：用长 16cm 的铁丝围成等腰三角形，设底边长为 x cm，面积为 S cm ，求 S 的最大值。（答案：当 x=8 时，S 最大值 = 16√3 cm ）
中档题：在△ABC 中，AB=AC=5，BC=6，点 P 在 BC 上移动，求△ABP 面积的最大值。（答案：当 P 为 BC 中点时，S 最大值 = 12）
提升题：已知抛物线 y=x - 4x + 3 与 x 轴交于 A、B 两点，点 M 是抛物线上一动点，求△ABM 面积的最大值。（答案：当 M 为顶点 (2,-1) 时，S 最大值 = 2）
第 10 页：课堂小结与作业布置
小结：
核心思路：几何面积最值问题→转化为二次函数模型→利用二次函数顶点性质求最值。
关键提醒：建立关系式时紧扣面积公式，求最值时必须验证顶点是否在自变量实际范围内。
思想方法：数学建模思想、数形结合思想、转化与化归思想。
作业：
基础作业：教材习题 2.4 第 1、3 题（定周长图形面积最值）。
拓展作业：用长为 30m 的篱笆，靠墙围成一个矩形（墙长 15m），另在矩形中间加一道篱笆分隔，求围成的最大面积及对应的边长。
实践作业：观察生活中 “求面积最大” 的实例（如菜地围栏、广告牌设计），尝试用本节课方法建立模型并求解。
2025-2026学年北师大版数学九年级下册【示范课精品课件】
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
2.4.1图形面积的最大值
第二章 二次函数
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标.
(1) y = x2 - 4x - 5； (2) y = -x2 - 3x + 4.
解：（1）开口方向：向上；对称轴：x = 2；
顶点坐标：（2，-9）；
（2）开口方向：向下；对称轴：x = ；
顶点坐标：（ ， ）；
想一想
思考 二次函数 y = ax2 + bx + c 的最值由什么决定？
最小值
最大值
二次函数 y = ax2 + bx + c 的最值由 a 的符号、对称轴的位置及自变量的取值范围决定.
x
y
O
x
y
O
例1 写出下列抛物线的最值.
（1）y = x2 - 4x - 5;
解：(1)∵a=1＞0，对称轴为 x=2，顶点坐标为(2，-9),
∴当x=2时，y 取最小值，最小值为-9;
(2) y = -x2 - 3x + 4.
(2)∵a= -1＜0，对称轴为 x= ，顶点坐标为( ， ),
∴当x= 时，y 取最大值，最大值为 ;
求二次函数的最大(或最小)值
1
例2 已知二次函数 y＝ax2＋4x＋a－1 的最小值为 2，则 a 的值为( )
A．3 B．－1 C．4 D．4或－1
解析：∵二次函数 y＝ax2＋4x＋a－1 有最小值 2，
∴a＞0，y最小值＝ ＝ ＝2，
整理，得 a2－3a－4＝0，解得 a＝－1或4.
∵a＞0，∴a＝4. 故选 C.
C
引例 如图，在一个直角三角形的内部作一个矩形 ABCD，其中 AB 和 AD 分别在两直角边上.
(1) 如果设矩形的一边 AB = x m，那么 AD 边的长度如何表示
2
几何图形面积的最大面积
解：(1) 设 AD = h，
由图可知 Rt△EDC∽Rt△CBF.
∴
∴
E
F
G
E
F
在上面的问题中，如果把矩形改为如图所示的位置，其他条件不变，那么矩形的最大面积是多少？你是怎样知道的？
解：如下图所示，过点 G 作 GM⊥EF，交 DA 于点 N，交 CB 于点 M.
∵ DA//CB，∴GN⊥DA.
∵DA//EF，
M
N
议一议
(2)设矩形的面积为 y m， 当 x 取何值时，y 的值最大 最大值是多少
（2）由题意可得
∴当 x = 20 时， y 有最大值 300.
(0＜x＜40)
E
F
在Rt△EGF中，
由
得 GM = 24（m）
∴当 x = 12 时，y 有最大值 300.
(0＜x＜40)
G
E
F
M
N
例3 如图，用一段长为 60 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园.
(1) 当墙长 32 m 时，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？
思考 这个问题研究的是哪两个变量之间的关系？
矩形面积与一边长的关系.
60 - 2x
x
x
① 设未知数，用含未知数的代数式表示相关量
解：设垂直于墙的一边长为 x m，则平行于墙的边长为 (60 2x) m.
∴ S = x(60 2x) = 2x2＋60x .
② 根据题意，求出自变量的取值范围
∴14≤x＜30.
60 2x≤32，
x＞0
60 2x＞0
③ 写出二次函数解析式，并化为顶点式
60 - 2x
x
x
∵ S = 2x2＋60x = 2(x 15)2 + 450，
④ 结合自变量的取值范围可知，该二次函数在其顶点处取得最大值
∴ 当 x = 15 m 时，S 取最大值，此时 S最大值 = 450 m2.
(2) 当墙长 18 m 时，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？
60 - 2x
x
x
解：设垂直于墙的一边长为 x m，
由 (1) 知 S = 2x2＋60x = 2(x2 30x)
= 2(x 15)2 + 450.
∴21≤x＜30.
60 2x≤18，
x＞0
60 2x＞0
想一想：当墙长发生改变时，根据问题(1)，什么会发什么改变，什么不变？
观察取值范围，你有什么发现？
O
x
y
30
21
∵ 15＜21，
x = 15
∴ 当 21≤ x＜30 时，
S 随 x 的增大而减小，
故当 x = 21 时，S 取得最大值，
此时 S最大值 = 2×(21 15)2 + 450
= 378 (m2).
归纳总结
二次函数解决几何面积最值问题的方法
1. 求出函数解析式和自变量的取值范围；
2. 当自变量的取值范围没有限制时，可直接利用公式
求它的最大值或最小值；
3. 当自变量的取值范围有所限制时，可先配成顶点式，
然后画出函数图象的草图，再结合图象和自变量的
范围求函数最值.
例4 用某建筑物的窗户如图所示，它的上半部分是半圆，下半部分是矩形，制造窗框的材料总长(图中所有黑线的长度和)为 15 m. 当 x 等于多少时，窗户通过的光线最多？(结果精确到 0.01 m)此时，窗户的面积是多少？(结果精确到 0.01 m2)
x
x
y
典例精析
解：∵ 7x + 4y + πx = 15，
∵0＜x＜15，且0＜ ＜15，
∴0＜x＜1.48.
设窗户的面积是Sm2，则
∴当 x = ≈1.07 时，S最大= ≈4.02.
因此，当 x 约为 1.07m 时，窗户通过的光线最多.
此时，窗户的面积约为 4.02 m2.
1. 如图 1，用长 8 m 的铝合金条制成如图的矩形窗框，那么最大的透光面积是 .
图1
2. 如图1，在 △ABC 中，∠B = 90 °，B = 12 cm，BC = 24 cm，动点 P 从点 A 开始沿 AB 向 B 以 2 cm/s 的速度移动（不与点 B 重合），动点 Q 从点 B 开始沿 BC以 4 cm/s 的速度移动（不与点 C 重合）.如果 P、Q 分别从 A、B 同时出发，那么经过 s，
四边形 APQC 的面积最小.
3
A
B
C
P
Q
图1
链接中考
3. (河北期末) 如图，嘉嘉欲借助院子里的一面长 15 m 的墙，想用长为 40 m 的网绳围成一个矩形 ABCD 给奶奶养鸡，怎样使矩形 ABCD 的面积最大呢 同学淇淇帮她解决了这个问题，淇淇的思路是：设 BC 的边长为 x m. 矩形 ABCD 的面积为 S m2 不考虑其他因素，请帮他们回答下列问题：
(1) 求 S 与 x 的函数关系式.
直接写出 x 的取值范围；
(2) x 为何值时，矩形 ABCD 的面积最大
A
B
C
D
15m
解：设 BC 的边长为 x m，
(1) 由题意得，
(0＜x≤15).
(2)
∴ 当 x＜20 时，S 随 x 的增大而增大，
而 0＜x≤15.
∴ 当 x = 15 时，S 有最大值，
即矩形 ABCD 的面积最大.
A
B
C
D
15m
x
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C
1.
游览关中乡村，发现一个如图所示的长20 m、宽16 m的矩形花园，为打造更美的打卡点，计划长缩短x m、宽增加x m，要想使修改后的花园面积达到最大，则x应为( )
A．1
B．1.5
C．2
D．4
2.
(4分)逛陕南古镇手工作坊，有一块三角形材料如图所示，∠A＝30°，∠C＝90°，AB＝12.用这块材料剪出一个矩形CDEF，其中点D，E，F分别在BC，AB，AC上．设EF＝x，当EF取何值时，剪出的矩形CDEF的面积最大，最大面积为多少？
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3.
B
[教材P47“习题2.8”第2题变式]如图，陕北窑洞某民宿想用长为60 m的栅栏，再借助长40 m的房屋外墙围成一个矩形的菜园，则可围成的菜园的最大面积是( )
A．420 m2
B．450 m2
C．480 m2
D．500 m2
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4.
A
如图，在西安某景区长为20 m、宽为14 m的矩形花圃里建有等宽的十字形小路，若小路的宽不超过1 m，则花圃中阴影部分的面积( )
A．有最小值247 m2
B．有最小值266 m2
C．有最大值247 m2
D．有最大值266 m2
5.
(1)用含x的代数式表示AC＝________cm，x的取值范围为________；
(2)求y与x的函数表达式；
(200－x)
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6.
80
旅游团参观碑林博物馆，馆方计划用总长700 cm的木板制作矩形展柜ABCD(图中外框和内部三条分割线的长度和为700 cm)．已知四边形ABFE是正方形，其余四边形均是矩形，DG＝60 cm.为了便于放置物品，EG的长不小于20 cm，当矩形ABCD的面积最大时，AB的长为________cm.
7.
(8分)旅游团游览西安城墙外的护城河，相关部门计划对护城河进行改造．如图，利用135°的墙角修建一个横截面是梯形ABCD的护城河，其中AD∥BC，且∠C＝90°.新建的两道墙BC，CD总长15 m．设横截面面积为S m2，DC的长为x m.
(1)求S与x的函数关系式；
解：由题意可得BC的长为(15－x)m，
如图，过A作AH⊥BC于点H.
因为AD∥BC，所以AH⊥AD. 因为∠C＝90°，
所以四边形AHCD是矩形，所以AD＝HC，AH＝DC＝x m.
因为∠BAD＝135°，
所以∠BAH＝∠BAD－∠DAH＝45°，
所以∠ABH＝45°＝∠BAH，
所以BH＝AH＝x m，
(2)当x取何值时，横截面的面积最大？
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几何面积最值问题
一个关键
一个注意
建立函数关系式
常见几何图形的面积公式
依 据
最值有时不在顶点处，则要利用函数的增减性来确定
（二次函数的图象和性质）
实际问题
数学模型
转化
回归
（实物中的抛物线形问题）
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！
第 1 页：封面页
标题：2.4.1 图形面积的最大值
副标题：北师大版九年级数学下册
配图：左侧展示 “定周长矩形” 面积随边长变化的动态抛物线示意图，右侧标注 “顶点即最大值点”，直观关联几何图形与二次函数
落款：授课教师 / 日期
第 2 页：学习目标
知识目标：掌握将图形面积问题转化为二次函数模型的方法，能利用二次函数顶点坐标求图形面积的最大值，理解自变量取值范围对最值的影响。
能力目标：通过分析几何图形的边长关系，提升数学建模能力；熟练运用顶点式或顶点坐标公式求最值，强化代数运算与几何分析的结合能力。
素养目标：体会 “实际问题 — 数学模型 — 求解应用” 的转化过程，深化数形结合与函数思想，培养用数学知识解决几何优化问题的意识。
第 3 页：回顾衔接 从函数到面积最值
知识回顾：
二次函数 y=ax +bx+c（a≠0）中，当 a<0 时，抛物线开口向下，顶点为最高点，此时函数有最大值，最大值为顶点纵坐标 k=(4ac-b )/(4a)。
顶点式 y=a (x-h) +k（a<0）中，最大值直接为 k，对应 x=h 时取得。
思考引入：用一根长 20cm 的铁丝围成矩形，如何围能使矩形面积最大？这个问题中，面积与边长存在函数关系吗？能否用二次函数求最大值？
第 4 页：核心模型 定周长矩形的面积最大值
问题情境：用长为 30m 的篱笆围成一个矩形菜园，菜园的面积能达到多少平方米？最大面积是多少？
建模步骤：
设变量：设矩形的一边长为 x m（自变量），则邻边长为 (30÷2 - x)=(15 - x) m，面积为 S m （因变量）。
列函数关系式：根据矩形面积公式 S = 长 × 宽，得 S=x (15 - x)= -x + 15x。
定自变量范围：边长为正数，故 x>0 且 15 - x>0，即 0
方法一（公式法）：a=-1<0，最大值在顶点处，x=-b/(2a)=-15/(2×(-1))=7.5，S 最大值 =(4ac-b )/(4a)=(0 - 225)/(4×(-1))=56.25。
方法二（顶点式）：S=-x + 15x=-(x - 7.5) + 56.25，当 x=7.5 时，S 最大值 = 56.25。
结论：当矩形为正方形（边长 7.5m）时，面积最大，最大面积为 56.25m 。
第 5 页：拓展模型一 三角形的面积最大值
问题情境：在平面直角坐标系中，点 A (0,3)、B (4,0)，点 P 在 x 轴上（不与 B 重合），连接 AP，求△APB 面积的最大值。
建模步骤：
设变量：设点 P 坐标为 (x,0)，△APB 的面积为 S。
列函数关系式：底边 PB=|x - 4|，高为 A 到 x 轴的距离 = 3，故 S=(1/2)×|x - 4|×3。
简化关系式：若点 P 在 x 轴上任意移动，去掉绝对值需分类讨论；若限定点 P 在 x 轴正半轴上，则 x>0，PB=4 - x（x<4）或 x - 4（x>4），当 x<4 时，S=(3/2)(4 - x)= - (3/2) x + 6（一次函数，无最大值）；当 x>4 时，S=(3/2)(x - 4)= (3/2) x - 6（一次函数，无最大值）。
调整条件求最值：若限定点 P 在抛物线 y=-x + 2x + 3 上，求△APB 的面积最大值。
设 P (x, -x + 2x + 3)，底边 AB 长度 = 5，高为 P 到直线 AB 的距离。
直线 AB 解析式：3x + 4y - 12=0，距离 d=|3x + 4 (-x + 2x + 3) - 12|/5=| -4x + 11x |/5。
S=(1/2)×5×| -4x + 11x |/5=| -4x + 11x |/2，当 - 4x + 11x>0 时，S=(-4x + 11x)/2=-2x + (11/2) x。
顶点横坐标 x=11/8，此时 S 最大值 =(4×(-2)×0 - (121/4))/(4×(-2))=121/32。
第 6 页：拓展模型二 靠墙围矩形的面积最大值
问题情境：用长为 24m 的篱笆，一面靠墙围成一个矩形养鸡场（墙长 10m），怎样围能使养鸡场面积最大？
建模步骤：
设变量：设垂直于墙的边长为 x m，则平行于墙的边长为 (24 - 2x) m，面积为 S m 。
列函数关系式：S=x(24 - 2x)= -2x + 24x。
定自变量范围：平行于墙的边长≤墙长 10m，且边长 > 0，故 24 - 2x≤10 且 24 - 2x>0，解得 7≤x<12。
求最大值：
顶点横坐标 x=-24/(2×(-2))=6，但 6 不在自变量范围 [7,12) 内。
抛物线开口向下，在 x≥6 时，y 随 x 增大而减小，故当 x=7 时，S 最大 = 7×(24 - 14)=70m 。
警示：求最值时必须结合自变量实际取值范围，顶点不在范围内时，需在边界处求最值。
第 7 页：方法总结 图形面积最大值的求解流程
建模三步法：
第一步：设变量：选择合适的几何量（如边长、坐标）作为自变量 x，明确面积 S 为因变量。
第二步：列关系式：根据图形面积公式，结合几何约束条件（如周长、边长关系），建立 S 关于 x 的二次函数关系式 S=ax +bx+c。
第三步：定范围：根据几何量的实际意义（如边长为正、线段长度限制），确定自变量 x 的取值范围。
求最值两步法：
第一步：找顶点：计算二次函数顶点横坐标 x=-b/(2a)。
第二步：判最值：
若顶点横坐标在自变量范围内：当 a<0 时，S 最大值为顶点纵坐标。
若顶点横坐标不在范围内：根据函数增减性，在自变量边界处求 S 的最大值。
核心技巧：优先建立函数关系式，优先使用顶点式或顶点坐标公式求最值，时刻关注自变量实际意义。
第 8 页：典例精讲 综合应用
例题：在平面直角坐标系中，抛物线 y=-x + 2x + 3 与 x 轴交于 A (-1,0)、B (3,0) 两点，与 y 轴交于点 C (0,3)。点 D 是抛物线上一动点，求△BCD 面积的最大值。
解答步骤：
设变量：设点 D 坐标为 (x, -x + 2x + 3)。
列面积关系式：
方法一（割补法）：△BCD 面积 = 梯形 OCDB 面积 - △OBC 面积。
梯形 OCDB 面积 =(OC + BD_y)×OB/2=(3 + | -x + 2x + 3 |)×3/2，△OBC 面积 =(3×3)/2=4.5。
当 D 在 x 轴上方时，S=(3 + (-x + 2x + 3))×3/2 - 4.5=(-x + 2x + 6)×1.5 - 4.5= -1.5x + 3x + 9 - 4.5= -1.5x + 3x + 4.5。
定自变量范围：抛物线 x 取值为全体实数，但结合图形，x 可在实数范围内取值。
求最大值：a=-1.5<0，顶点横坐标 x=-3/(2×(-1.5))=1，代入得 S 最大值 =-1.5×1 + 3×1 + 4.5=6。
结论：当点 D 坐标为 (1,4) 时，△BCD 面积最大，最大值为 6。
第 9 页：课堂练习 分层提升
基础题：用长 16cm 的铁丝围成等腰三角形，设底边长为 x cm，面积为 S cm ，求 S 的最大值。（答案：当 x=8 时，S 最大值 = 16√3 cm ）
中档题：在△ABC 中，AB=AC=5，BC=6，点 P 在 BC 上移动，求△ABP 面积的最大值。（答案：当 P 为 BC 中点时，S 最大值 = 12）
提升题：已知抛物线 y=x - 4x + 3 与 x 轴交于 A、B 两点，点 M 是抛物线上一动点，求△ABM 面积的最大值。（答案：当 M 为顶点 (2,-1) 时，S 最大值 = 2）
第 10 页：课堂小结与作业布置
小结：
核心思路：几何面积最值问题→转化为二次函数模型→利用二次函数顶点性质求最值。
关键提醒：建立关系式时紧扣面积公式，求最值时必须验证顶点是否在自变量实际范围内。
思想方法：数学建模思想、数形结合思想、转化与化归思想。
作业：
基础作业：教材习题 2.4 第 1、3 题（定周长图形面积最值）。
拓展作业：用长为 30m 的篱笆，靠墙围成一个矩形（墙长 15m），另在矩形中间加一道篱笆分隔，求围成的最大面积及对应的边长。
实践作业：观察生活中 “求面积最大” 的实例（如菜地围栏、广告牌设计），尝试用本节课方法建立模型并求解。
2025-2026学年北师大版数学九年级下册【示范课精品课件】
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
2.4.1图形面积的最大值
第二章 二次函数
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标.
(1) y = x2 - 4x - 5； (2) y = -x2 - 3x + 4.
解：（1）开口方向：向上；对称轴：x = 2；
顶点坐标：（2，-9）；
（2）开口方向：向下；对称轴：x = ；
顶点坐标：（ ， ）；
想一想
思考 二次函数 y = ax2 + bx + c 的最值由什么决定？
最小值
最大值
二次函数 y = ax2 + bx + c 的最值由 a 的符号、对称轴的位置及自变量的取值范围决定.
x
y
O
x
y
O
例1 写出下列抛物线的最值.
（1）y = x2 - 4x - 5;
解：(1)∵a=1＞0，对称轴为 x=2，顶点坐标为(2，-9),
∴当x=2时，y 取最小值，最小值为-9;
(2) y = -x2 - 3x + 4.
(2)∵a= -1＜0，对称轴为 x= ，顶点坐标为( ， ),
∴当x= 时，y 取最大值，最大值为 ;
求二次函数的最大(或最小)值
1
例2 已知二次函数 y＝ax2＋4x＋a－1 的最小值为 2，则 a 的值为( )
A．3 B．－1 C．4 D．4或－1
解析：∵二次函数 y＝ax2＋4x＋a－1 有最小值 2，
∴a＞0，y最小值＝ ＝ ＝2，
整理，得 a2－3a－4＝0，解得 a＝－1或4.
∵a＞0，∴a＝4. 故选 C.
C
引例 如图，在一个直角三角形的内部作一个矩形 ABCD，其中 AB 和 AD 分别在两直角边上.
(1) 如果设矩形的一边 AB = x m，那么 AD 边的长度如何表示
2
几何图形面积的最大面积
解：(1) 设 AD = h，
由图可知 Rt△EDC∽Rt△CBF.
∴
∴
E
F
G
E
F
在上面的问题中，如果把矩形改为如图所示的位置，其他条件不变，那么矩形的最大面积是多少？你是怎样知道的？
解：如下图所示，过点 G 作 GM⊥EF，交 DA 于点 N，交 CB 于点 M.
∵ DA//CB，∴GN⊥DA.
∵DA//EF，
M
N
议一议
(2)设矩形的面积为 y m， 当 x 取何值时，y 的值最大 最大值是多少
（2）由题意可得
∴当 x = 20 时， y 有最大值 300.
(0＜x＜40)
E
F
在Rt△EGF中，
由
得 GM = 24（m）
∴当 x = 12 时，y 有最大值 300.
(0＜x＜40)
G
E
F
M
N
例3 如图，用一段长为 60 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园.
(1) 当墙长 32 m 时，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？
思考 这个问题研究的是哪两个变量之间的关系？
矩形面积与一边长的关系.
60 - 2x
x
x
① 设未知数，用含未知数的代数式表示相关量
解：设垂直于墙的一边长为 x m，则平行于墙的边长为 (60 2x) m.
∴ S = x(60 2x) = 2x2＋60x .
② 根据题意，求出自变量的取值范围
∴14≤x＜30.
60 2x≤32，
x＞0
60 2x＞0
③ 写出二次函数解析式，并化为顶点式
60 - 2x
x
x
∵ S = 2x2＋60x = 2(x 15)2 + 450，
④ 结合自变量的取值范围可知，该二次函数在其顶点处取得最大值
∴ 当 x = 15 m 时，S 取最大值，此时 S最大值 = 450 m2.
(2) 当墙长 18 m 时，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？
60 - 2x
x
x
解：设垂直于墙的一边长为 x m，
由 (1) 知 S = 2x2＋60x = 2(x2 30x)
= 2(x 15)2 + 450.
∴21≤x＜30.
60 2x≤18，
x＞0
60 2x＞0
想一想：当墙长发生改变时，根据问题(1)，什么会发什么改变，什么不变？
观察取值范围，你有什么发现？
O
x
y
30
21
∵ 15＜21，
x = 15
∴ 当 21≤ x＜30 时，
S 随 x 的增大而减小，
故当 x = 21 时，S 取得最大值，
此时 S最大值 = 2×(21 15)2 + 450
= 378 (m2).
归纳总结
二次函数解决几何面积最值问题的方法
1. 求出函数解析式和自变量的取值范围；
2. 当自变量的取值范围没有限制时，可直接利用公式
求它的最大值或最小值；
3. 当自变量的取值范围有所限制时，可先配成顶点式，
然后画出函数图象的草图，再结合图象和自变量的
范围求函数最值.
例4 用某建筑物的窗户如图所示，它的上半部分是半圆，下半部分是矩形，制造窗框的材料总长(图中所有黑线的长度和)为 15 m. 当 x 等于多少时，窗户通过的光线最多？(结果精确到 0.01 m)此时，窗户的面积是多少？(结果精确到 0.01 m2)
x
x
y
典例精析
解：∵ 7x + 4y + πx = 15，
∵0＜x＜15，且0＜ ＜15，
∴0＜x＜1.48.
设窗户的面积是Sm2，则
∴当 x = ≈1.07 时，S最大= ≈4.02.
因此，当 x 约为 1.07m 时，窗户通过的光线最多.
此时，窗户的面积约为 4.02 m2.
1. 如图 1，用长 8 m 的铝合金条制成如图的矩形窗框，那么最大的透光面积是 .
图1
2. 如图1，在 △ABC 中，∠B = 90 °，B = 12 cm，BC = 24 cm，动点 P 从点 A 开始沿 AB 向 B 以 2 cm/s 的速度移动（不与点 B 重合），动点 Q 从点 B 开始沿 BC以 4 cm/s 的速度移动（不与点 C 重合）.如果 P、Q 分别从 A、B 同时出发，那么经过 s，
四边形 APQC 的面积最小.
3
A
B
C
P
Q
图1
链接中考
3. (河北期末) 如图，嘉嘉欲借助院子里的一面长 15 m 的墙，想用长为 40 m 的网绳围成一个矩形 ABCD 给奶奶养鸡，怎样使矩形 ABCD 的面积最大呢 同学淇淇帮她解决了这个问题，淇淇的思路是：设 BC 的边长为 x m. 矩形 ABCD 的面积为 S m2 不考虑其他因素，请帮他们回答下列问题：
(1) 求 S 与 x 的函数关系式.
直接写出 x 的取值范围；
(2) x 为何值时，矩形 ABCD 的面积最大
A
B
C
D
15m
解：设 BC 的边长为 x m，
(1) 由题意得，
(0＜x≤15).
(2)
∴ 当 x＜20 时，S 随 x 的增大而增大，
而 0＜x≤15.
∴ 当 x = 15 时，S 有最大值，
即矩形 ABCD 的面积最大.
A
B
C
D
15m
x
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C
1.
游览关中乡村，发现一个如图所示的长20 m、宽16 m的矩形花园，为打造更美的打卡点，计划长缩短x m、宽增加x m，要想使修改后的花园面积达到最大，则x应为( )
A．1
B．1.5
C．2
D．4
2.
(4分)逛陕南古镇手工作坊，有一块三角形材料如图所示，∠A＝30°，∠C＝90°，AB＝12.用这块材料剪出一个矩形CDEF，其中点D，E，F分别在BC，AB，AC上．设EF＝x，当EF取何值时，剪出的矩形CDEF的面积最大，最大面积为多少？
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3.
B
[教材P47“习题2.8”第2题变式]如图，陕北窑洞某民宿想用长为60 m的栅栏，再借助长40 m的房屋外墙围成一个矩形的菜园，则可围成的菜园的最大面积是( )
A．420 m2
B．450 m2
C．480 m2
D．500 m2
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4.
A
如图，在西安某景区长为20 m、宽为14 m的矩形花圃里建有等宽的十字形小路，若小路的宽不超过1 m，则花圃中阴影部分的面积( )
A．有最小值247 m2
B．有最小值266 m2
C．有最大值247 m2
D．有最大值266 m2
5.
(1)用含x的代数式表示AC＝________cm，x的取值范围为________；
(2)求y与x的函数表达式；
(200－x)
0
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6.
80
旅游团参观碑林博物馆，馆方计划用总长700 cm的木板制作矩形展柜ABCD(图中外框和内部三条分割线的长度和为700 cm)．已知四边形ABFE是正方形，其余四边形均是矩形，DG＝60 cm.为了便于放置物品，EG的长不小于20 cm，当矩形ABCD的面积最大时，AB的长为________cm.
7.
(8分)旅游团游览西安城墙外的护城河，相关部门计划对护城河进行改造．如图，利用135°的墙角修建一个横截面是梯形ABCD的护城河，其中AD∥BC，且∠C＝90°.新建的两道墙BC，CD总长15 m．设横截面面积为S m2，DC的长为x m.
(1)求S与x的函数关系式；
解：由题意可得BC的长为(15－x)m，
如图，过A作AH⊥BC于点H.
因为AD∥BC，所以AH⊥AD. 因为∠C＝90°，
所以四边形AHCD是矩形，所以AD＝HC，AH＝DC＝x m.
因为∠BAD＝135°，
所以∠BAH＝∠BAD－∠DAH＝45°，
所以∠ABH＝45°＝∠BAH，
所以BH＝AH＝x m，
(2)当x取何值时，横截面的面积最大？
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几何面积最值问题
一个关键
一个注意
建立函数关系式
常见几何图形的面积公式
依 据
最值有时不在顶点处，则要利用函数的增减性来确定
（二次函数的图象和性质）
实际问题
数学模型
转化
回归
（实物中的抛物线形问题）
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！