2.4.2利用二次函数求最大利润问题 课件(共34张PPT)-2025-2026学年北师大版数学九年级下册教学课件

(共34张PPT)
第 1 页：封面页
标题：2.4.2 利用二次函数求最大利润问题
副标题：北师大版九年级数学下册
配图：左侧展示 “售价与利润关系” 的抛物线示意图（标注 “顶点即最大利润点”），右侧列出核心公式 “利润 = 总售价 - 总成本”，直观关联经济问题与二次函数
落款：授课教师 / 日期
第 2 页：学习目标
知识目标：掌握 “利润 =（售价 - 成本）× 销量” 的核心公式，能根据实际销售场景建立利润与自变量的二次函数模型，熟练利用顶点性质求最大利润，明确自变量取值范围的实际约束。
能力目标：通过分析售价、成本、销量的数量关系，提升数学建模能力；能结合函数增减性与自变量范围判断最值，强化代数运算与实际问题的结合能力。
素养目标：体会 “经济问题 — 函数模型 — 优化决策” 的转化逻辑，深化函数思想与建模思想，培养用数学知识解决实际经济优化问题的意识。
第 3 页：回顾衔接 从面积最值到利润最值
知识回顾：
二次函数最值核心：当 a<0 时，抛物线开口向下，顶点为最高点，函数有最大值，可通过顶点式或公式法求解。
建模关键步骤：设变量→列关系式→定范围→求最值，且自变量取值范围直接影响最值有效性。
利润核心公式：
基本关系式：总利润 = 总售价 - 总成本 =（单件售价 - 单件成本）× 销售数量。
变量关联：售价变化往往影响销量（如售价升高，销量降低），需通过题目条件建立销量与售价的函数关系。
思考引入：某商品进价 10 元，售价 20 元时销量 100 件，若售价每涨 1 元，销量少 5 件，如何定价能获最大利润？利润与售价存在二次函数关系吗？
第 4 页：核心模型一 单变量定价的最大利润（售价影响销量）
问题情境：某商店销售一批服装，每件进价 150 元，原售价 200 元时，每天可售 20 件。经市场调查发现，售价每降低 5 元，日销量增加 10 件。设每件服装降价 x 元，每天的总利润为 y 元，求最大利润及对应的售价。
建模步骤：
设变量：自变量为降价金额 x 元，因变量为总利润 y 元。
列利润关系式：
单件利润 = 原售价 - 降价 - 进价 = 200 - x - 150=50 - x；
日销量 = 原销量 + 增加销量 = 20 + (x÷5)×10=20 + 2x；
总利润 y = 单件利润 × 销量 =(50 - x)(20 + 2x)= -2x + 80x + 1000。
定自变量范围：
单件利润≥0：50 - x≥0→x≤50；
销量≥0：20 + 2x≥0→x≥-10（结合实际，x≥0）；
故自变量范围：0≤x≤50。
求最大利润：
函数 y=-2x + 80x + 1000 中，a=-2<0，顶点为最高点；
顶点横坐标 x=-b/(2a)=-80/(2×(-2))=20（在 0≤x≤50 范围内）；
代入得 y 最大值 =-2×20 + 80×20 + 1000=1800 元；
对应售价 = 200 - 20=180 元。
结论：每件降价 20 元（售价 180 元）时，最大利润为 1800 元。
第 5 页：核心模型二 成本变化的最大利润（成本与销量相关）
问题情境：某水产品养殖企业销售一种水产品，每千克售价 y （元）与销量 x（千克）满足 y =-0.1x + 50，每千克成本 y （元）为 10 元，求销售多少千克时利润最大？最大利润是多少？
建模步骤：
设变量：自变量为销量 x 千克，因变量为总利润 W 元。
列利润关系式：
单件利润 = y - y =(-0.1x + 50) - 10=-0.1x + 40；
总利润 W=x×(-0.1x + 40)= -0.1x + 40x。
定自变量范围：
售价≥成本：-0.1x + 50≥10→x≤400；
销量 x>0，故 0求最大利润：
顶点横坐标 x=-40/(2×(-0.1))=200（在 0W 最大值 =-0.1×200 + 40×200=4000 元。
结论：销售 200 千克时，最大利润为 4000 元。
第 6 页：拓展模型 含限定条件的最大利润（自变量范围影响最值）
问题情境：某网店销售某种文具，进价 2 元，当售价为 3 元时，日销量 200 件，售价每涨 0.1 元，日销量减少 5 件。若每日进货成本不超过 300 元，求最大日利润及对应售价。
建模步骤：
设变量：设售价上涨 x 元（x≥0），则售价为 (3 + x) 元，日利润为 L 元。
列利润关系式：
单件利润 =(3 + x) - 2=1 + x；
日销量 = 200 - (x÷0.1)×5=200 - 50x；
总利润 L=(1 + x)(200 - 50x)= -50x + 150x + 200。
定自变量范围：
进货成本 = 进价 × 销量 = 2×(200 - 50x)≤300→200 - 50x≤150→x≥1；
销量≥0：200 - 50x≥0→x≤4；
故自变量范围：1≤x≤4。
求最大利润：
顶点横坐标 x=-150/(2×(-50))=1.5（在 1≤x≤4 范围内）；
L 最大值 =-50×1.5 + 150×1.5 + 200=312.5 元；
对应售价 = 3 + 1.5=4.5 元。
警示：若顶点横坐标不在范围外，需根据函数增减性取边界值。如本例若 x 范围为 2≤4，因 a<0，函数在 x≥1.5 时递减，故 x=2 时 L 最大。
第 7 页：方法总结 最大利润问题的求解流程
建模四步法：
第一步：辨变量：选择 “售价涨幅 / 降幅” 或 “销量” 作为自变量 x，明确总利润 P 为因变量。
第二步：建关系：
用 x 表示：单件利润 =（原售价 ±x）- 单件成本；
用 x 表示：销量 = 原销量 ±（x÷ 单位变化量）× 销量变化量；
列函数式：P = 单件利润 × 销量，整理为二次函数 P=ax +bx+c。
第三步：定范围：根据 “单件利润≥0、销量≥0、成本限制” 等实际条件，列不等式求 x 的取值范围。
第四步：求最值：
若顶点横坐标在范围内：P 最大值为顶点纵坐标；
若顶点横坐标不在范围内：根据 a 的符号判断增减性，在边界处求最值。
核心技巧：优先用 “售价变化量” 设自变量，简化销量表达式；列关系式时紧扣 “利润 = 单件利润 × 销量”，避免遗漏成本项。
第 8 页：典例精讲 综合应用（结合月份的利润问题）
例题：某水产品每千克售价 y =-3/8 x + 36（x 为月份，1≤x≤12），每千克成本 y 与月份 x 的关系为二次函数，且 x=3 时 y =29，x=6 时 y =32，x=9 时 y =29。求 “五一” 前（x≤4）几月份出售利润最大？最大利润是多少？
解答步骤：
求成本函数 y ：
设 y =ax +bx+c，代入三点得：
9a+3b+c=29；36a+6b+c=32；81a+9b+c=29；
解得 a=-1/3，b=4，c=20，故 y =-1/3 x + 4x + 20。
列利润函数 W：
W=y - y =(-3/8 x + 36) - (-1/3 x + 4x + 20)=1/3 x - 35/8 x + 16。
定范围：1≤x≤4。
求最值：
顶点横坐标 x=(35/8)/(2×1/3)=105/16≈6.56（不在 1≤x≤4 范围内）；
a=1/3>0，抛物线开口向上，在 x≤6.56 时 W 随 x 增大而减小；
故 x=1 时 W 最大，W 最大值 = 1/3 - 35/8 + 16≈12.04 元。
结论：1 月份出售每千克利润最大，约为 12.04 元。
第 9 页：课堂练习 分层提升
基础题：某商品进价 8 元，售价 12 元时销量 100 件，售价每降 1 元销量增 20 件，求最大利润及对应售价。（答案：售价 11 元时，最大利润 450 元）
中档题：某玩具进价 50 元，售价 80 元时月售 200 件，售价每涨 5 元月售减 10 件，且月进货量不超过 150 件，求最大月利润。（答案：售价 95 元时，最大利润 6750 元）
提升题：某水果进价 4 元 / 斤，售价 6 元时售 100 斤，售价每涨 0.5 元售减 10 斤，每日房租等固定成本 50 元，求最大净利润及对应售价。（答案：售价 7 元时，最大净利润 150 元）
第 10 页：课堂小结与作业布置
小结：
核心公式：总利润 =（单件售价 - 单件成本）× 销量，这是建立模型的 “桥梁”。
关键步骤：设变量→表利润与销量→列函数→定范围→求最值，其中范围验证是避免错解的关键。
思想方法：数学建模思想、转化思想、优化思想。
作业：
基础作业：教材习题 2.4 第 5、7 题（单变量定价利润问题）。
拓展作业：某书店销售教辅书，进价 15 元，售价 25 元时周售 100 本，售价每涨 2 元周售减 5 本，若周预算成本不超过 1800 元，求最大周利润及对应售价。
实践作业：调查家中或社区商店的某商品定价与销量关系，尝试建立利润模型并计算理论最大利润，与店主交流实际决策因素。
2025-2026学年北师大版数学九年级下册【示范课精品课件】
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2.4.2利用二次函数求最大利润问题
第二章 二次函数
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
最值问题
几何面积最大问题
面积 S = ax2 + bx + c
利润最大问题
利润 y = ax2 + bx + c
利润 = 收入 - 成本
总收入 = 销售单价×销量
总成本 = 进货单价×销量
总利润 = 销售单价×销量 - 进货单价×销量
= (销售单价 - 进货单价)×销量 = 单利润×销量
求最大值
类比几何问题求最值，想一想如何求利润问题的最大值？
1
利润最大问题
例1 服装厂生产某品牌的 T 恤衫成本是每件 10 元.根据市场调查，以单价 13 元批发给经销商，经销商愿意经销 5000 件 ，并且表示单价每降价 0.1 元，愿意多经销 500 件.
请你帮助分析，厂家批发单价是多少时可以获利最多
总利润 = (销售单价 - 成本单价)×销量 = 单利润×销量
10
13
5000
3
假设批发单价12.8
12.8 - 10
5000 + 500×
=－5000(x－12)2 + 20000
① 设未知数，用含未知数的代数式表示相关量
解：设厂家批发单价是为 x 元，获利 y 元.
② 根据题意，求出自变量的取值范围
③ 将二次函数解析式化为顶点式
∵ 13 x≥0，且 x＞10，∴ 10＜x≤13.
故厂家批发单价为 12 元时，获利最多，为20000元.
还有其他的设未知数方法吗？
解：设每件降价 a 元，获利 y 元.
∵ a＜13 10，且 a≥0，∴ 0≤a＜3.
=－5000(a－1)2 + 20000
故厂家批发单价为 12 元时，获利最多，为 20000 元.
∴批发单价为 13－1 = 12(元).
方法二：
解决了上述关于服装销售的问题，请你谈一谈怎样设因变量更好？
∴当 a = 1 时， y最大=20000.
例2 某旅馆有客房 120 间，每间房的日租金为 160 元时，每天都客满. 经市场调查发现，如果每间客房的日租金增加 10 元，那么客房每天出租数会减少 6 间.不考虑其他因素，旅馆将每间客房的日租金提高到多少元时，客房日租金的总收入最高 最高总收入是多少
日租金(元) 出租数(间) 总收入(元)
正常销售
涨价销售
160
120
160 + 10x
120 - 6x
y=(160+10x)(120-6x)
19200
设每间客房的日租金提高 x 个 10 元.
解：设每间客房的日租金提高 10x 元，则每天客房出租数会减少 6x 间. 设客房日租金总收入为 y 元，则
∵ x≥0，且120－6x＞0，∴ 0≤x＜20.
当 x = 2 时， y最大=19440.
这时每间客房的日租金为 160 + 10×2 = 180 (元)
因此，每间客房的日租金提高到 180 元时，客房总收入最高, 最高收入为 19440 元.
y = (160 + 10x)(120 - 6x)
= -60(x - 2)2 + 19440
归纳总结
求解最大利润问题的一般步骤
(1) 建立利润与价格之间的函数关系式：
运用“总利润 = 单件利润×总销量”
或“总利润 = 总售价 - 总成本”；
(2) 结合实际意义，确定自变量的取值范围；
(3) 在自变量的取值范围内确定最大利润：
可以利用配方法或公式求出最大利润；
也可以画出函数的简图，利用简图和性质求出.
议一议
还记得本章一开始的“种多少棵橙子树”的问题吗？我们得到表示增种橙子树的数量 x (棵) 与橙子总产量 y (个) 的二次函数表达式
y = (100 + x)(600 - 5x)
= -5x + 100x + 60000.
（1）利用函数图象描述橙子的总产量与增种橙子树的棵树之间的关系.
（1）利用函数图象描述橙子的总产量与增种橙子树的棵树之间的关系.
（2）增种多少棵橙子树，可以使橙子的总产量在60400个以上？
∴ 增种 6~14 棵橙子树可以使橙子的总产量在60400个以上.
链接中考
1. (泰兴市期末) 一水果店售卖一种水果，以 8 元/千克的价格进货，经过往年销售经验可知：以 12 元/千克售 卖，每天可卖 60 千克：若每千克涨价 0.5 元，每天要少卖 2 千克；若每千克降价 0.5 元，每天要多卖 2 千克，但不低于成本价. 设该商品的价格为 x 元/千克时，一天销售总质量为 y 千克.
(1) 求 y 与 x 的函数关系式.
解：(1) 由题意可得，
(2) 若水果店货源充足，每天以固定价格 x 元/千克销售 ( x > 8 )，试求出水果店每天利润 W 与单价 x 的函数关系式，并求出当 x 为何值时，利润达到最大.
(2) 由题意可得，
w = y(x 8) = ( 4x + 108)(x 8)
= 4x2 + 140x 864
∴当 时，利润 w 有最大值，最大值为 361.
答：当 时，利润最大.
1.某种商品每件的进价为 20 元，调查表明：在某段时间内若以每件 x 元（20 ≤x≤30)出售，可卖出（600－20x）件，为使利润最大，则每件售价应定为 元.
25
2. 某种商品的成本是 120 元，试销阶段每件商品的售价 x（元）与产品的销售量 y（件）满足当 x=130 时，y=70，当 x=150 时，y=50，且 y 是 x 的一次函数，为了获得最大利润 S（元），每件产品的销售价应定为
（　　）
A．160元 B．180元 C．140元 D．200元
A
3. 某种商品每天的销售利润 y（元）与销售单价 x (元）之间满足关系：y = ax2+bx-75.其图象如图.
（1）销售单价为多少元时，该种商品每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
解：(1) 由题中条件可求 y = -x2+20x-75
∵-1 < 0，对称轴 x = 10，
∴当x=10时，y值最大，最大值为25.
即销售单价定为10元时，销售利润最
大，为25元；
7
x
y
5
16
O
（2）销售单价在什么范围时，该种商品每天的销售利润不低于 16 元？
(2)由对称性知 y=16 时，x = 7和13.
故销售单价在 7 ≤x ≤13 时，利润不低于16元.
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D
1.
某商场降价销售一批名牌衬衫，已知所获利润y(元)与降价x(元)之间的关系式是y＝－2x2＋60x＋800，则获得的利润最大为(　　)
A．15元
B．400元
C．800元
D．1 250元
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2.
B
某种商品每件进价为20元，调查发现：在某段时间内若以每件x元(20≤x≤30，且x为整数)出售，可卖出(30－x)件，要使利润最大，每件的售价应为(　　)
A．24元
B．25元
C．28元
D．30元
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3.
0.5
某果商以每吨2万元的价格收购早熟荔枝，销往国外．若按每吨5万元出售，平均每天可售出100 t．市场调查反映：如果每吨降价1万元，平均每天销售量相应增加50 t．该果商每吨降价________万元才能使每天的“利润”最大.
4.
(8分)端午节前夕，某商店购入一批进价为8元/袋的粽子，销售过程中发现：日销售量y(袋)与售价x(元/袋)满足如图所示的一次函数关系．
(1)求y与x之间的函数表达式；
解：设日销售利润为w元，由题意得w＝(x－8)y＝(x－8)(－40x＋680)＝－40x2＋1 000x－5 440＝－40(x－12.5)2＋810，
因为－40＜0，所以当x＝12.5时，w有最大值，最大值为810，所以当售价定为12.5元/袋时，日销售利润最大，最大日销售利润是810元．
(2)当售价定为每袋多少元时，日销售利润最大？最大日销售利润是多少元？
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5.
D
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6.
－1
科学家为了推测最适合某种珍奇植物生长的温度，将这种植物分别放在不同温度的环境中，经过一定时间后，测试出这种植物高度的增长情况，部分数据如下表：

科学家经过猜想、推测出l与t之间是二次函数关系．由此可以推测最适合这种植物生长的温度为________℃.
温度t/℃ －4 0 1 4
植物高度增长量l/mm 41 49 46 25
7.
解：y＝－0.1x2＋2.6x＋43＝－0.1(x－13)2＋59.9.
(8分)有心理学家研究发现，学生对某类概念的接受能力y与讲授概念所用时间x(min)之间满足二次函数关系y＝－0.1x2＋2.6x＋43(0≤x≤30)．y值越大，表示接受能力越强．根据这一结论回答下列问题：
(1)将二次函数关系式化成顶点式；
当0≤x≤13时，学生的接受能力逐渐增强；
当13(2)x在什么范围内，学生的接受能力逐渐增强？x在什么范围内，学生的接受能力逐渐降低？
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8.
60
小区一水果店购进一种新型蟠桃，蟠桃进价为每千克40元．若按每千克65元销售，每月可销售100 kg.水果店老板发现销售单价每降低10元，可多销售40 kg.想要在让利于顾客的情况下每月获得2 400元的利润，那么销售单价应定为________元.
9.
(12分)某村民在网上直播推销某种农副产品，在试销售的30天中，第x天(1≤x≤30且x为整数)的售价为y(元/千克)．当1≤x≤20时，y＝kx＋b(k≠0)；当20＜x≤30时，y＝15.销量z(千克)与x的函数关系式为z＝x＋10，已知该产品第10天的售价为20元/千克，第15天的售价为
15元/千克，设第x天的销售额为M(元)．
－1
(1)k＝________，b＝________；
(2)写出第x天的销售额M与x之间的函数关系式；
30
(3)求在试销售的30天中，共有多少天销售额超过500元.
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最大利润问题
建立函数关系式
总利润=单件利润×销售量或总销量=总售价-总成本.
确定自变量的取值范围
涨价:要保证销售量≥0；
降价：要保证单件利润≥0.
确定最大利润
利用配方法或公式求最大值或利用函数简图和性质求出.
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
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