2.5.1 二次函数与一元二次方程 课件(共32张PPT)-2025-2026学年北师大版数学九年级下册教学课件

(共32张PPT)
第 1 页：封面页
标题：2.5.1 二次函数与一元二次方程
副标题：北师大版九年级数学下册
配图：左侧展示三个不同二次函数图象（分别与 x 轴有两个交点、一个交点、无交点），右侧对应列出相关一元二次方程及根的情况，直观体现 “图象交点” 与 “方程根” 的关联
落款：授课教师 / 日期
第 2 页：学习目标
知识目标：理解二次函数 y=ax +bx+c（a≠0）的图象与 x 轴的交点坐标和一元二次方程 ax +bx+c=0（a≠0）的根的对应关系，掌握用判别式判断交点个数的方法，能通过函数图象求方程的近似根。
能力目标：通过分析图象与方程的联系，提升数形结合能力与逻辑推理能力，能灵活运用函数与方程的关系解决问题。
素养目标：建立 “数”（方程根）与 “形”（函数图象）的统一认知，深化转化思想，为后续学习二次函数与不等式的关系奠定基础。
第 3 页：回顾衔接 从函数值到方程根
知识回顾：
二次函数 y=ax +bx+c 中，当 x 取某个值时，对应的 y 值是函数值；若令 y=0，函数表达式就转化为一元二次方程 ax +bx+c=0。
一元二次方程 ax +bx+c=0 的根的情况由判别式 Δ=b -4ac 决定：Δ>0 时，有两个不相等的实数根；Δ=0 时，有两个相等的实数根；Δ<0 时，无实数根。
思考引入：二次函数 y=ax +bx+c 的图象与 x 轴的交点，其纵坐标有什么特点？这些交点的横坐标与一元二次方程 ax +bx+c=0 的根有什么关系？比如 y=x -2x-3 的图象与 x 轴交点的横坐标，是否就是方程 x -2x-3=0 的根？
第 4 页：核心关联 函数图象与方程根的对应关系
推导过程：
交点坐标的特征：x 轴上所有点的纵坐标为 0，因此二次函数 y=ax +bx+c 的图象与 x 轴的交点，其纵坐标 y=0，横坐标 x 满足方程 ax +bx+c=0。
对应关系总结：
若一元二次方程 ax +bx+c=0 有两个不相等的实数根 x 、x （Δ>0），则二次函数 y=ax +bx+c 的图象与 x 轴有两个交点，坐标为 (x ,0)、(x ,0)；
若一元二次方程 ax +bx+c=0 有两个相等的实数根 x =x （Δ=0），则二次函数 y=ax +bx+c 的图象与 x 轴有一个交点（即顶点在 x 轴上），坐标为 (x ,0)；
若一元二次方程 ax +bx+c=0无实数根（Δ<0），则二次函数 y=ax +bx+c 的图象与 x 轴无交点。
实例验证：
二次函数 y=x -2x-3：令 y=0，方程 x -2x-3=0 的根为 x =-1、x =3，图象与 x 轴的交点为 (-1,0)、(3,0)，横坐标与根完全一致；
二次函数 y=x -4x+4：令 y=0，方程 x -4x+4=0 的根为 x =x =2，图象与 x 轴的交点为 (2,0)，顶点在 x 轴上；
二次函数 y=x +2x+2：令 y=0，方程 x +2x+2=0 的 Δ=4-8=-4<0，无实根，图象与 x 轴无交点。
第 5 页：判别式的应用 判断图象与 x 轴的交点个数
判别式与交点个数的关系：
一元二次方程 ax +bx+c=0（a≠0）的根的情况
判别式 Δ=b -4ac
二次函数 y=ax +bx+c（a≠0）的图象与 x 轴的交点个数
两个不相等的实数根
Δ>0
2 个
两个相等的实数根
Δ=0
1 个（顶点在 x 轴上）
无实数根
Δ<0
0 个
例题：判断下列二次函数的图象与 x 轴的交点个数：
y=2x +3x-1：Δ=3 -4×2×(-1)=9+8=17>0，故有 2 个交点；
y=-x +2x-1：Δ=2 -4×(-1)×(-1)=4-4=0，故有 1 个交点；
y=3x +2x+2：Δ=2 -4×3×2=4-24=-20<0，故无交点。
关键提醒：判别式的符号仅与交点个数有关，与 a 的符号（开口方向）无关；a 的符号影响图象开口方向，但不改变交点的存在性。
第 6 页：逆向应用 由图象交点求方程参数
问题类型：已知二次函数图象与 x 轴的交点情况，求表达式中字母参数的取值范围。
解题思路：根据交点个数确定判别式 Δ 的符号，列不等式或方程求解参数。
例题 1：已知二次函数 y=(k-1) x +2x+1 的图象与 x 轴有两个交点，求 k 的取值范围。
解答：
图象与 x 轴有两个交点→方程 (k-1) x +2x+1=0 有两个不相等的实根；
需满足两个条件：①二次项系数≠0（k-1≠0→k≠1）；②Δ>0（2 -4×(k-1)×1>0→4-4k+4>0→k<2）；
故 k 的取值范围：k<2 且 k≠1。
例题 2：已知二次函数 y=x +bx+4 的图象顶点在 x 轴上，求 b 的值。
解答：
顶点在 x 轴上→图象与 x 轴有一个交点→方程 x +bx+4=0 有两个相等的实根；
Δ=b -4×1×4=0→b =16→b=±4。
第 7 页：拓展应用 用函数图象求方程的近似根
适用场景：当一元二次方程的根为无理数，无法直接求解时，可通过画二次函数图象，估算交点横坐标（即方程的近似根）。
解题步骤：
转化函数：将方程 ax +bx+c=0 转化为二次函数 y=ax +bx+c；
绘制图象：用描点法画出函数图象，重点标出图象与 x 轴的交点附近的点；
估算根值：观察交点横坐标的大致范围，通过计算区间内的函数值，缩小范围，得到近似根。
例题：用图象法求方程 x -3x-1=0 的近似根（精确到 0.1）。
解答：
设 y=x -3x-1，列表计算部分 x 对应的 y 值：
| x | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
|----|----|----|----|----|----|
| y | -1 | -3 | -3 | -1 | 3 |
描点连线，发现图象与 x 轴的交点在 x≈-0.3 和 x≈3.3 附近；
验证：x=-0.3 时 y=(-0.3) -3×(-0.3)-1≈0.09+0.9-1=-0.01≈0；x=3.3 时 y=3.3 -3×3.3-1≈10.89-9.9-1=-0.01≈0；
故方程的近似根为 x ≈-0.3，x ≈3.3。
第 8 页：方法总结 函数与方程关系的应用要点
正向应用（知方程根，判函数交点）：
先计算方程判别式 Δ，确定根的个数；
根据 Δ 的符号，对应判断函数图象与 x 轴的交点个数；
若有根，根即为交点横坐标。
逆向应用（知函数交点，求方程参数）：
根据交点个数确定 Δ 的符号（Δ>0→2 个交点，Δ=0→1 个交点，Δ<0→0 个交点）；
列关于参数的不等式或方程，求解参数（注意二次项系数≠0）；
图象法求近似根：
重点关注函数值由正变负或由负变正的区间，该区间内必有一个根；
通过缩小区间范围，提高近似根的精度。
第 9 页：课堂练习 分层提升
基础题：
（1）二次函数 y=-2x +5x-2 的图象与 x 轴的交点个数为______，对应的一元二次方程的根为______。（答案：2 个，x =1/2，x =2）
（2）若二次函数 y=x -2x+m 的图象与 x 轴无交点，则 m 的取值范围为______。（答案：m>1）
中档题：
已知二次函数 y=ax +bx+c 的图象过点 (1,0)、(2,0)，且与 y 轴交于 (0,2)，求该函数的表达式，并判断其图象与 x 轴的交点个数。（答案：y=x -3x+2，2 个交点）
提升题：
用图象法求方程 2x -5x+1=0 的近似根（精确到 0.1）。（答案：x ≈0.2，x ≈2.3）
第 10 页：课堂小结与作业布置
小结：
核心关系：二次函数图象与 x 轴的交点横坐标 = 对应一元二次方程的根，交点个数由判别式 Δ 决定。
关键方法：正向用 Δ 判交点个数，逆向用交点个数求参数，图象法估算无理根。
思想核心：数形结合，将 “方程根的问题” 转化为 “函数图象交点问题” 解决。
作业：
基础作业：教材习题 2.5 第 1、2、3 题（判断交点个数、求参数范围）。
拓展作业：已知二次函数 y=(m+2) x -(2m+4) x+(3m+3) 的图象与 x 轴只有一个交点，求 m 的值。
实践作业：尝试用描点法画出 y=2x -4x-1 的图象，估算方程 2x -4x-1=0 的近似根，并与同学交流估算方法。
2025-2026学年北师大版数学九年级下册【示范课精品课件】
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2.5.1 二次函数与一元二次方程
第二章 二次函数
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
竖直上抛物体的高度 h (m) 与运动时间 t (s) 的关系可以近似地用公式来表示：
一个小球从地面被以 40 m/s 的速度竖直向上抛起， 小球距离地面的高度 h (m) 与运动时间 t(s) 的关系如图所示.
h＝－5t2 +v0t + h0
抛出时的高度
抛出时的速度
那么：(1) h 与 t 的关系式是什么？
h=－5t2＋40t
(2)小球经过多少秒后落地？ 你有几种求解方法？与同伴进行交流.
① 由图象可知 8 秒后小球落地.
②将 h = 0 代入二次函数解得 t = 0 或 t = 8
t = 0 为开始时间，t = 8 为结束时间.
二次函数 y = x2 + 2x，y = x2 - 2x + 1，y = x2 - 2x + 2的图象如图所示.
与同伴交流并回答问题.
(1)
(2)
(3)
1
二次函数与一元二次方程的关系
二次函数 y = x2 + 2x 的图象与x轴有几个交点？
两个交点
一元二次方程 x2 + 2x = 0
有几个根？
两个根
解：x2 + 2x = 0
x(x + 2) = 0
∴ x(x + 2) = 0.
∴ x1 = 0，x2 = -2.
二次函数 y = x2 - 2x + 1 的图象与 x 轴有几个交点？
一个交点
一元二次方程
x2 - 2x + 1 = 0 有几个根？
两个相同的根
解：x2 - 2x + 1 = 0
(x - 1)2 = 0
∴ x - 1 = 0.
∴ x1 = x2 = 1.
二次函数 y = x2 - 2x + 2的图象与 x 轴有几个交点？
没有交点
一元二次方程
x2 - 2x + 2 = 0 有几个根？
没有根
解：∵ Δ = b2 - 4ac
= (-2)2 - 4×1×2
= - 4＜0
∴ 原方程无实数根.
二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象与 x 轴的
交点与一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 的根的关系
归纳总结
二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象与 x 轴交点 一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 的根 Δ = b2 - 4ac
有两个交点
有两个不相等的实数根
Δ＞0
有一个交点
有两个相等的实数根
Δ = 0
没有交点
没有实数根
Δ＜0
二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象与 x 轴的交点的横坐标就是一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 的根.
二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象与 x 轴交点的坐标和一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 的根有什么关系
议一议
链接中考
1. (崂山区) 若二次函数 y = ax2 - 2x - 1 的图象和 x 轴有交点，则 a 的取值范围为________________.
a≥-1 且 a≠0
分析：二次函数 y = ax2 - 2x - 1 的图象和 x 轴有交点，
Δ = 4 + 4a≥0
a≠0
a≥-1且 a≠0
总结
若抛物线 y = ax2 + bx + c 与 x 轴有交点，则 b2 - 4ac≥0.
在本节一开始的小球上抛问题中，何时小球离地面的高度是 60 m？你是如何知道的？
想一想
h=－5t2＋40t
解：令 h = 60，
-5t2 + 40t = 60
t2 - 8t + 12 = 0
(t - 2)(t - 6) = 0
t1 = 2，t2 = 6
所以二次函数与一元二次方程关系密切．
例如，已知二次函数 y = －x2＋4x 的值为 3，求自变量 x 的值，可以看作解一元二次方程－x2＋4x = 3（即 x2－4x＋3 = 0）；
反过来，解方程 x2－4x＋3 = 0，又可以看作已知二次函数 y = x2－4x＋3 的值为 0，求自变量 x 的值．
1. 若二次函数 y = -x2 + 2x + k 的部分图象如图所示，且关于 x 的一元二次方程
-x2 + 2x + k = 0 的一个解 x1 = 3，则另一个解 x2 = ；
-1
y
O
x
1
3
2. 一元二次方程 3x2 + x－10 = 0 的两个根是 x1 = －2 ，x2= ，那么二次函数 y = 3x2 + x－10 与 x 轴的交点坐标是 .
(-2，0) ( ，0)
3. 已知函数 y＝(k－3)x2＋2x＋1 的图象与 x 轴有交点，求 k 的取值范围．
综上所述，k的取值范围是k≤4.
∴－4k＋16≥0.∴k≤4且k≠3.
∵b2－4ac＝22－4(k－3)＝－4k＋16，
∴Δ＝b2－4ac≥0.
∵二次函数 y＝(k－3)x2＋2x＋1 的图象与 x 轴有交点，
当 k≠3 时，y＝(k－3)x2＋2x＋1 是二次函数．
∵一次函数 y＝2x＋1 与 x 轴有一个交点， ∴k＝3；
解：当 k＝3 时，函数 y＝2x＋1 是一次函数．
4. 如图，某学生推铅球，铅球出手（点 A 处）的高度是 0.6 m，出手后的铅球沿一段抛物线运行，当运行到最高 3 m 时，水平距离 x = 4 m．
(1) 求这个二次函数的解析式；
(2) 该同学把铅球推出去多远？
解：(1) 设二次函数的解析式为 y = a(x - 4)2 + 3，
解得
把 (0，0.6) 代入得 0.6 = a(0 - 4)2 + 3，
(2) 当 y = 0 时，
解得
（舍）
答：该男同学把铅球推出去 (4 + 2 )m 远．
返回
C
1.
[教材P53“习题2.10”第2题变式]二次函数y＝x2＋2x－2的图象与x轴的交点个数是(　　)
A．0
B．1
C．2
D．3
返回
2.
C
下列函数的图象与x轴没有交点的是(　　)
A．y＝x2＋2x－3
B．y＝－x2＋2x＋3
C．y＝x2－2x＋3
D．y＝x2－2x＋1
返回
3.
若抛物线y＝x2－x＋c(c是常数)与x轴有交点，则c的取值范围是________.
返回
4.
二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴有一个交点，则对应的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的情况是(　　)
A．没有实数根
B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根
D．无法确定
B
返回
5.
(－1，0)和(－5，0)
一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0的两根分别是x1＝－1，x2＝－5，则二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴的交点坐标是__________________.
返回
6.
x1＝－1，x2＝3
抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴及部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根为________________.
返回
7.
A
已知抛物线y＝x2＋2x－4与x轴交于点A(a，0)和B(b，0)，则(a＋1)(b＋1)的值为(　　)
A．－5
B．－1
C．3
D．7
8.
x1＝－1，x2＝3
(20分)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，利用图象解答下列各题：
(1)方程ax2＋bx＋c＝0的根是_____________；
(2)方程ax2＋bx＋c＝－3的根是___________；
(3)方程ax2＋bx＋c＝5的根是______________；
(4)方程ax2＋bx＋c＝－4的根是__________；
x1＝0，x2＝2
x1＝－2，x2＝4
x1＝x2＝1
解：此方程无实数根．
(5)方程ax2＋bx＋c＝－6的根的情况是什么？
返回
9.
证明：因为(－m)2－4×2×(－m2)＝9m2≥0，
所以对于任意实数m，
该二次函数图象与x轴总有公共点．
(8分) [教材P53“习题2.10”第4题变式]已知二次函数
y＝2x2－mx－m2.
(1)求证：对于任意实数m，该二次函数图象与x轴总有公共点；
解：把(1，0)代入二次函数表达式，得0＝2－m－m2，
解得m1＝－2，m2＝1，
当m＝－2时，二次函数表达式为y＝2x2＋2x－4，
令y＝0，则2x2＋2x－4＝0，解得x1＝1，x2＝－2，
(2)若该二次函数图象与x轴有两个公共点A，B，且点A的坐标为(1，0)，求点B的坐标.
返回
二次函数与一元二次方程紧密地联系起来了.
Δ = b2 - 4ac
二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象
一元二次方程ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的根
x2
x1
x
y
O
O
x1= x2
x
y
O
y
x
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
x1，x2
x2
x1
x
y
O
x1= x2
x
y
O
x
y
O
没有实数根
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
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