2.5.2 利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根 课件(共33张PPT)-2025-2026学年北师大版数学九年级下册教学课件
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| 名称 | 2.5.2 利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根 课件(共33张PPT)-2025-2026学年北师大版数学九年级下册教学课件 |
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| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 8.4MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-11-18 00:00:00 | ||
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文档简介
(共33张PPT)
第 1 页：封面页
标题：2.5.2 利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根
副标题：北师大版九年级数学下册
配图：左侧展示二次函数 y=x -2x-2 的图象，标注与 x 轴交点附近的 x 取值区间（如 1落款：授课教师 / 日期
第 2 页：学习目标
知识目标：掌握利用二次函数图象求一元二次方程近似根的核心步骤（定位区间、缩小范围、验证精度），能根据要求的精度（如精确到 0.1、0.01）求出近似根，理解 “逐步逼近法” 的数学原理。
能力目标：通过动手画图、计算分析，提升数形结合能力与数据分析能力，能独立解决 “无理根” 的近似求解问题。
素养目标：体会 “从粗略到精确” 的数学探究过程，培养严谨的逻辑思维与耐心细致的计算习惯，为后续学习数值计算方法奠定基础。
第 3 页：回顾衔接 为何需要求近似根
知识回顾：
上节课我们知道：一元二次方程 ax +bx+c=0 的根，就是二次函数 y=ax +bx+c 图象与 x 轴交点的横坐标。
当方程的判别式 Δ=b -4ac 为完全平方数时，根为有理数，可直接求解；但当 Δ 不是完全平方数时，根为无理数，无法用精确值表示，需求近似根（如方程 x -2x-1=0 的根为 1±√2≈-0.414 或 2.414）。
思考引入：如何通过二次函数图象，将无理根的近似值精确到我们需要的程度？比如求方程 x -3x+1=0 的根，精确到 0.1，该从哪里入手？
第 4 页：核心原理 逐步逼近法
基本思想：
对于一元二次方程 ax +bx+c=0，设对应的二次函数为 y=ax +bx+c：
定位区间：找到两个实数 x 、x （x缩小范围：在区间 (x ,x ) 内取中间值 x ，计算 y ：
若 y =0，x 即为根；
若 y y <0，根在区间 (x ,x ) 内；
若 y y <0，根在区间 (x ,x ) 内；
验证精度：重复缩小范围，直到区间两端点的差值小于要求的精度（如精确到 0.1 时，差值 < 0.1），此时区间内任意值均可作为近似根（通常取端点或中间值）。
图示：以 y=x -3x+1 为例，标注 “x=0 时 y=1（正），x=1 时 y=-1（负）→根在 (0,1) 内；x=0.5 时 y=0.25-1.5+1=-0.25（负）→根在 (0,0.5) 内” 的逐步缩小过程。
第 5 页：实操步骤 以 “求方程 x -2x-2=0 的近似根（精确到 0.1）” 为例
步骤 1：转化为函数，确定大致区间
设 y=x -2x-2，计算不同 x 对应的 y 值，寻找函数值变号的区间：
x
-1
0
1
2
3
4
y
1
-2
-3
-2
1
6
观察发现：x=-1 时 y=1（正），x=0 时 y=-2（负）→根在 (-1,0) 内；
x=2 时 y=-2（负），x=3 时 y=1（正）→根在 (2,3) 内。
步骤 2：缩小第一个根的区间（精确到 0.1）
根在 (-1,0) 内，取中间值 x=-0.5：
x=-0.5 时，y=(-0.5) -2×(-0.5)-2=0.25+1-2=-0.75（负）；
因 x=-1 时 y=1（正），x=-0.5 时 y=-0.75（负）→根在 (-1,-0.5) 内；
再取中间值 x=-0.75：
x=-0.75 时，y=0.5625+1.5-2=0.0625（正）；
因 x=-0.75 时 y=0.0625（正），x=-0.5 时 y=-0.75（负）→根在 (-0.75,-0.5) 内；
再取中间值 x=-0.625：
x=-0.625 时，y≈0.3906+1.25-2=-0.3594（负）；
因 x=-0.75 时 y=0.0625（正），x=-0.625 时 y≈-0.3594（负）→根在 (-0.75,-0.625) 内；
区间 (-0.75,-0.625) 两端点差值为 0.125<0.2，继续取 x=-0.7：
x=-0.7 时，y=0.49+1.4-2=-0.11（负）；
因 x=-0.8 时 y=0.64+1.6-2=0.24（正），x=-0.7 时 y=-0.11（负）→根在 (-0.8,-0.7) 内；
区间 (-0.8,-0.7) 差值为 0.1，满足精确到 0.1 的要求，故第一个近似根为 - 0.7 或 - 0.8（通常取更接近 0 的 - 0.7）。
步骤 3：缩小第二个根的区间（精确到 0.1）
根在 (2,3) 内，取中间值 x=2.5：
x=2.5 时，y=6.25-5-2=-0.75（负）；
因 x=2.5 时 y=-0.75（负），x=3 时 y=1（正）→根在 (2.5,3) 内；
取 x=2.75：
x=2.75 时，y≈7.5625-5.5-2=0.0625（正）；
因 x=2.5 时 y=-0.75（负），x=2.75 时 y≈0.0625（正）→根在 (2.5,2.75) 内；
取 x=2.7：
x=2.7 时，y=7.29-5.4-2=-0.11（负）；
因 x=2.7 时 y=-0.11（负），x=2.8 时 y=7.84-5.6-2=0.24（正）→根在 (2.7,2.8) 内；
区间差值 0.1，满足精度要求，故第二个近似根为 2.7 或 2.8（通常取 2.7）。
结论：方程 x -2x-2=0 的近似根（精确到 0.1）为 x ≈-0.7，x ≈2.7。
第 6 页：技巧总结 提高效率的方法
快速定位区间：
先计算 x=0、±1、±2 等整数对应的 y 值，快速找到函数值变号的区间，避免盲目取值。
若二次函数顶点在 x 轴下方（a>0）或上方（a<0），可结合对称轴 x=-b/(2a)，在对称轴两侧找区间（如 y=x -3x+1 的对称轴 x=1.5，可在 1.5 两侧找根）。
合理选择中间值：
缩小范围时，优先取 “0.5 倍区间长度” 的中间值（如区间 (2,3) 取 2.5，(2.5,3) 取 2.75），可快速缩小范围。
当区间接近精度要求时（如差值 0.2），可直接取 “精度单位的整数倍”（如精确到 0.1，取 x=2.7、2.8），减少计算量。
验证结果：
求出近似根后，代入原方程验证，若左右两边差值较小（如精确到 0.1 时，差值 < 0.1），则结果合理。
第 7 页：易错警示 避免常见错误
区间定位错误：
误将 “y 值同号” 的区间当作有根区间（如 x=1 时 y=-3，x=2 时 y=-2，均为负，根不在 (1,2) 内），需严格满足 “y y <0”。
忽略二次函数的开口方向，导致漏找根（如 a>0 且顶点 y<0 时，方程有两个根，需在对称轴两侧各找一个区间）。
精度判断错误：
误将 “区间内某点的 y 值接近 0” 当作满足精度，而非 “区间两端点差值小于精度”（如 x=-0.7 时 y=-0.11，虽接近 0，但需确认区间差值是否 < 0.1）。
计算失误：
代入 x 值计算 y 时，符号或平方运算错误（如 x=-0.7 时，误算 y=(-0.7) -2×(-0.7)-2=0.49-1.4-2=-2.91），建议计算后复查。
第 8 页：典例精讲 更高精度的求解（精确到 0.01）
例题：利用函数图象求方程 2x -5x+1=0 的近似根（精确到 0.01）。
解答步骤：
设函数：y=2x -5x+1，计算整数 x 的 y 值：
x
0
1
2
3
y
1
-2
-1
4
→ 根在 (0,1) 和 (2,3) 内。
求 (0,1) 内的根（精确到 0.01）：
区间 (0,1)，x=0.5 时 y=2×0.25-5×0.5+1=0.5-2.5+1=-1（负）→根在 (0,0.5)；
x=0.25 时 y=2×0.0625-5×0.25+1=0.125-1.25+1=-0.125（负）→根在 (0,0.25)；
x=0.2 时 y=2×0.04-5×0.2+1=0.08-1+1=0.08（正）→根在 (0.2,0.25)；
x=0.22 时 y=2×0.0484-5×0.22+1=0.0968-1.1+1=-0.0032（负）→根在 (0.2,0.22)；
x=0.21 时 y=2×0.0441-5×0.21+1=0.0882-1.05+1=0.0382（正）→根在 (0.21,0.22)；
区间差值 0.01，满足精度，故近似根≈0.21 或 0.22（取 0.21）。
求 (2,3) 内的根（精确到 0.01）：
类似步骤可得根在 (2.28,2.29) 内，近似根≈2.29。
结论：方程 2x -5x+1=0 的近似根（精确到 0.01）为 x ≈0.21，x ≈2.29。
第 9 页：课堂练习 分层提升
基础题：利用函数图象求方程 x -4x+2=0 的近似根（精确到 0.1）。（答案：x ≈0.6，x ≈3.4）
中档题：求方程 - 2x +3x+1=0 的近似根（精确到 0.1）。（提示：a=-1<0，先找函数值变号区间，答案：x ≈-0.3，x ≈1.8）
提升题：求方程 x -2x-4=0 的近似根（精确到 0.01）。（答案：x ≈-1.24，x ≈3.24）
第 10 页：课堂小结与作业布置
小结：
核心方法：利用二次函数图象求近似根的本质是 “逐步逼近法”，通过 “定位区间→缩小范围→验证精度” 三步实现。
关键要点：严格依据 “y y <0” 确定有根区间，计算时仔细核对符号与数值，确保精度达标。
思想价值：体现了 “数形结合” 与 “从近似到精确” 的数学思想，是解决无理根问题的重要工具。
作业：
基础作业：教材习题 2.5 第 4、5 题（求近似根，精确到 0.1）。
拓展作业：利用图象求方程 3x -6x+1=0 的近似根（精确到 0.01），并与同学交流不同的缩小区间策略。
实践作业：用计算器计算方程 x -2x-1=0 的精确根（1±√2≈-0.4142、2.4142），对比自己用图象法求得的近似根，分析误差原因。
2025-2026学年北师大版数学九年级下册【示范课精品课件】
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
2.5.2 利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根
第二章 二次函数
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象与 x 轴的
交点与一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 的根的关系
二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象与 x 轴交点 一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 的根 Δ = b2 - 4ac
有两个交点
有两个不相等的实数根
Δ＞0
有一个交点
有两个相等的实数根
Δ = 0
没有交点
没有实数根
Δ＜0
你能利用二次函数的图象估计一元二次方程 x2 + 2x - 10 = 0 的根吗
由图象可知，方程 x2 + 2x - 10 = 0
_____根，一个根在____和____之间，另一个根在____和____(填两个整数）.
两个
－5
－4
2
3
1
利用图象法求一元二次方程的近似根
（1）先求－5 和－4 之间的根.
利用计算器进行探索：
x ... ...
y ... ...
－4.1
-1.39
－4.2
-0.76
－4.3
-0.11
－4.4
0.56
y 对应的值由负变为正
因此，x =－4.3 是方程的一个近似根.
y 值更接近 0
x
y
（2）另一个根可以类似地求出:
2.1
2.2
2.3
2.4
－1.39
－0.76
－0.11
0.56
因此，x = 2.3是方程的另一个近似根.
利用二次函数求一元二次方程的近似根的一般步骤：
① 画出二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象；
② 确定抛物线与 x 轴的交点的横坐标在哪两个数之间；
③ 列表，在②中的连个数之间取值，进行估计.
近似根就出现在对应 y 值正负交换的位置.
归纳总结
做一做
利用二次函数的图象求一元二次方程 x2 + 2x - 10 = 3 的近似根.
x2 + 2x - 13 = 0
由图象可知方程有两根，一个在－5和－4 之间，另一个在 2 和 3 之间.
x
y
－4.9
1.21
－4.8
0.44
－4.7
－0.31
近似根：－4.7
2.9
2.8
2.7
近似根：2.7
你还能利用二次函数 y = x2 + 2x - 10 的图象求一元二次方程 x2 + 2x - 10 = 3 的近似根吗？
做一做
y = x2 + 2x - 10 和直线 y = 3 交点和横坐标就是方程 x2 + 2x - 10 = 3 的根
y = 3
利用二次函数求一元二次方程的近似根的一般方法：
①直接作出二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象；图象与 x 轴交点的横坐标就是一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 的根.
②先将一元二次方程变形为 ax2 + bx =－c，再在同一直角坐标系中画出抛物线 y = ax2 + bx 和直线 y =－c；两图象的交点的横坐标就是方程 ax2 + bx + c = 0 的根.
归纳总结
练一练
1. 已知二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象如图所示，则一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 的近似根为 ( )
A. x1≈－2.1，x2≈0.1 B. x1≈－2.5，x2≈0.5
C. x1≈－2.9，x2≈0.9 D. x1≈－3， x2≈1
B
解析：由图象可得该抛物线的对称轴为
x＝－1，而对称轴右侧图象与 x 轴交点
到原点的距离约为 0.5，∴ x2≈0.5. 又
∵ 对称轴为 x＝－1，∴ ＝－1.
∴ x1≈2×(－1)－0.5＝－2.5. 故 x1≈－2.5，x2≈0.5.
问题1：函数 y = ax2 + bx+ c 的图象如图，
那么方程 ax2 + bx + c = 0 的根是______________；
不等式 ax2 + bx + c > 0 的解集是______________；
不等式 ax2 + bx + c < 0 的解集是____________.
3
-1
O
x
y
x1 = 1，x2 = 3
x < 1 或 x > 3
1 < x < 3
*利用函数的图象求一元二次不等式的解集
2
合作探究
拓广探索：
函数 y = ax2 + bx + c 的图象如图，
那么方程 ax2 + bx + c = 2 的根是______________；
不等式 ax2 + bx + c > 2 的解集是______________；
不等式 ax2 + bx + c < 2 的解集是____________.
3
1
O
x
2
(4，2)
( 2，2)
x1 = 2，x2 = 4
x < 2 或 x > 4
2 < x < 4
y
2
4
问题2：如果不等式 ax2 + bx + c＞0 (a ≠ 0) 的解集是 x ≠ 2 的一切实数，那么函数 y = ax2 + bx + c 的图象与 x 轴有____ 个公共点，坐标是 ；方程 ax2 + bx + c = 0 的根是 .
1
(2 ，0)
x1 = x2 = 2
2
O
x
y
问题3：如果方程 ax2 + bx + c = 0 (a≠0) 没有实数根，那么函数 y = ax2 + bx + c 的图象与 x 轴有______个公共点；不等式 ax2 + bx + c ＜ 0 的解集是什么？
0
解：(1) 当 a＞0 时，ax2 + bx + c＜0 无解.
(2) 当 a＜0 时，ax2 + bx + c＜0的解集是全体实数.
O
x
y
x
y
O
2
O
x
y
-1
2
x
y
O
y = -x2+x+2
试一试：利用函数图象解下列方程和不等式：
(1)① -x2+x+2=0；
② -x2+x+2>0；
③ -x2+x+2<0.
(2)① x2-4x+4=0；
② x2-4x+4>0；
③ x2-4x+4<0.
(3)① -x2+x-2=0；
② -x2+x-2>0；
③ -x2+x-2<0.
y = x2-4x+4
y = - x2+x -2
①x1 = -1，x2 = 2
③x＜-1或 x＞2
① x1 = x2 = 2
② x ≠ 2
③ 无解
① 无解
② 无解
③ x 为全体实数
②-1＜x＜2
x2
x1
O
x
y
a＞0
二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与 x 轴公共点的坐标与一元二次不等式的关系
归纳总结
y＜0，x1＜x＜x2；
y＞0，x＜x1 或 x＞x2.
x0
O
x
y
y＞0，x0 之外的所有实数；
y＜0，无解.
O
x
y
y＞0，所有实数；y＜0，无解.
x2
x1
O
x
y
a＜0
归纳总结
x0
O
x
y
O
x
y
y＞0，x1＜x＜x2；
y＜0，x＜x1或 x＞x2.
y＜0，x0 之外的所有实数；
y＞0，无解.
y＜0，全体实数；y＞0，无解.
1. 二次函数 y = x2 - x - 2 的图象如图所示，则函数值 y＞0 时，x 的取值范围是( )
链接中考
x
y
O
2
1
3
-1
2
3
1
-1
A．x＜-1
B．x＞2
C．-1＜x＜2 D．x＜-1 或 x＞2
D
判断方程 ax2 + bx + c = 0 (a≠0,a,b,c 为常数)一个解 x 的范围是（ ）
x 3.23 3.24 3.25 3.26
y = ax2 + bx + c -0.06 -0.02 0.03 0.09
C
1. 根据下列表格的对应值:
A. 3< x < 3.23 B. 3.23 < x < 3.24
C. 3.242. 小颖用计算器探索方程 ax2+bx+c=0 的根，作出如图所示的图象，并求得一个近似根 x=-3.4，则方程的另一个近似根（精确到 0.1）为（ ）
A．4.4 B．3.4
C．2.4 D．1.4
D
3.已知二次函数 的图象，利用图象回答问题：
（1）方程 的解是什么？
（2）x 取什么值时，y > 0 ？
（3）x 取什么值时，y < 0 ？
x
y
O
2
4
8
解：（1）x1=2，x2=4；
（2）x < 2 或 x > 4；
（3）2 < x < 4.
返回
C
1.
如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象，图象上有两点分别为A(1.66，－0.48)，B(1.87，0.4)，则方程
ax2＋bx＋c＝0的一个根可能是( )
A．1.62
B．1.87
C．1.75
D．2.13
返回
2.
C
根据下面表格中的对应值，判断方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，a，b，c为常数)的一个解x的取值范围是( )
A．3.22C．3.24x 3.23 3.24 3.25 3.26
ax2＋bx＋c －0.06 －0.02 0.03 0.09
返回
3.
C
二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，其对称轴为直线x＝1，且与x轴的负半轴交于点A，则关于x的方程ax2＋bx＋c＝0的正数解的取值范围是( )
A．2＜x＜3
B．3＜x＜4
C．4＜x＜5
D．5＜x＜6
返回
4.
解：在同一平面直角坐标系中分别作出函数y＝2x2与y＝x＋2的图象，如图所示．可得一元二次方程2x2＝x＋2的近似根为
x1＝1.3，x2＝－0.8.
(4分)[教材P57“习题2.11”第1题变式]利用二次函数
y＝2x2与一次函数y＝x＋2的图象，求一元二次方程
2x2＝x＋2的近似根.
返回
5.
D
如图，以(2，5)为顶点的抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴负半轴交于点A，则方程ax2＋bx＋c＝0的正数解可能是(精确到0.1)( )
A．x≈0.5
B．x≈2.5
C．x≈3.5
D．x≈5.5
返回
6.
B
若关于x的一元二次方程ax2＋2x－5＝0的两根中有且仅有一根在0和1之间(不含0和1)，则a的取值范围是( )
A．a＜3
B．a＞3
C．a＜－3
D．a＞－3
7.
x2－3
(8分)在平面直角坐标系中画出抛物线y＝x2和直线y＝－x＋3，其交点的横坐标就是一元二次方程x2＋x－3＝0的解．
(1)利用图象法解一元二次方程x2＋x－3＝0，也可以这样求解：在平面直角坐标系中画出抛物线y＝________和直线y＝－x，其交点的横坐标就是该方程的解．
返回
二次函数图象
由图象与 x 轴的交点位置，判断方程根的近似值
一元二次方程的根
一元二次不等式的解集
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！
第 1 页：封面页
标题：2.5.2 利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根
副标题：北师大版九年级数学下册
配图：左侧展示二次函数 y=x -2x-2 的图象，标注与 x 轴交点附近的 x 取值区间（如 1
第 2 页：学习目标
知识目标：掌握利用二次函数图象求一元二次方程近似根的核心步骤（定位区间、缩小范围、验证精度），能根据要求的精度（如精确到 0.1、0.01）求出近似根，理解 “逐步逼近法” 的数学原理。
能力目标：通过动手画图、计算分析，提升数形结合能力与数据分析能力，能独立解决 “无理根” 的近似求解问题。
素养目标：体会 “从粗略到精确” 的数学探究过程，培养严谨的逻辑思维与耐心细致的计算习惯，为后续学习数值计算方法奠定基础。
第 3 页：回顾衔接 为何需要求近似根
知识回顾：
上节课我们知道：一元二次方程 ax +bx+c=0 的根，就是二次函数 y=ax +bx+c 图象与 x 轴交点的横坐标。
当方程的判别式 Δ=b -4ac 为完全平方数时，根为有理数，可直接求解；但当 Δ 不是完全平方数时，根为无理数，无法用精确值表示，需求近似根（如方程 x -2x-1=0 的根为 1±√2≈-0.414 或 2.414）。
思考引入：如何通过二次函数图象，将无理根的近似值精确到我们需要的程度？比如求方程 x -3x+1=0 的根，精确到 0.1，该从哪里入手？
第 4 页：核心原理 逐步逼近法
基本思想：
对于一元二次方程 ax +bx+c=0，设对应的二次函数为 y=ax +bx+c：
定位区间：找到两个实数 x 、x （x
若 y =0，x 即为根；
若 y y <0，根在区间 (x ,x ) 内；
若 y y <0，根在区间 (x ,x ) 内；
验证精度：重复缩小范围，直到区间两端点的差值小于要求的精度（如精确到 0.1 时，差值 < 0.1），此时区间内任意值均可作为近似根（通常取端点或中间值）。
图示：以 y=x -3x+1 为例，标注 “x=0 时 y=1（正），x=1 时 y=-1（负）→根在 (0,1) 内；x=0.5 时 y=0.25-1.5+1=-0.25（负）→根在 (0,0.5) 内” 的逐步缩小过程。
第 5 页：实操步骤 以 “求方程 x -2x-2=0 的近似根（精确到 0.1）” 为例
步骤 1：转化为函数，确定大致区间
设 y=x -2x-2，计算不同 x 对应的 y 值，寻找函数值变号的区间：
x
-1
0
1
2
3
4
y
1
-2
-3
-2
1
6
观察发现：x=-1 时 y=1（正），x=0 时 y=-2（负）→根在 (-1,0) 内；
x=2 时 y=-2（负），x=3 时 y=1（正）→根在 (2,3) 内。
步骤 2：缩小第一个根的区间（精确到 0.1）
根在 (-1,0) 内，取中间值 x=-0.5：
x=-0.5 时，y=(-0.5) -2×(-0.5)-2=0.25+1-2=-0.75（负）；
因 x=-1 时 y=1（正），x=-0.5 时 y=-0.75（负）→根在 (-1,-0.5) 内；
再取中间值 x=-0.75：
x=-0.75 时，y=0.5625+1.5-2=0.0625（正）；
因 x=-0.75 时 y=0.0625（正），x=-0.5 时 y=-0.75（负）→根在 (-0.75,-0.5) 内；
再取中间值 x=-0.625：
x=-0.625 时，y≈0.3906+1.25-2=-0.3594（负）；
因 x=-0.75 时 y=0.0625（正），x=-0.625 时 y≈-0.3594（负）→根在 (-0.75,-0.625) 内；
区间 (-0.75,-0.625) 两端点差值为 0.125<0.2，继续取 x=-0.7：
x=-0.7 时，y=0.49+1.4-2=-0.11（负）；
因 x=-0.8 时 y=0.64+1.6-2=0.24（正），x=-0.7 时 y=-0.11（负）→根在 (-0.8,-0.7) 内；
区间 (-0.8,-0.7) 差值为 0.1，满足精确到 0.1 的要求，故第一个近似根为 - 0.7 或 - 0.8（通常取更接近 0 的 - 0.7）。
步骤 3：缩小第二个根的区间（精确到 0.1）
根在 (2,3) 内，取中间值 x=2.5：
x=2.5 时，y=6.25-5-2=-0.75（负）；
因 x=2.5 时 y=-0.75（负），x=3 时 y=1（正）→根在 (2.5,3) 内；
取 x=2.75：
x=2.75 时，y≈7.5625-5.5-2=0.0625（正）；
因 x=2.5 时 y=-0.75（负），x=2.75 时 y≈0.0625（正）→根在 (2.5,2.75) 内；
取 x=2.7：
x=2.7 时，y=7.29-5.4-2=-0.11（负）；
因 x=2.7 时 y=-0.11（负），x=2.8 时 y=7.84-5.6-2=0.24（正）→根在 (2.7,2.8) 内；
区间差值 0.1，满足精度要求，故第二个近似根为 2.7 或 2.8（通常取 2.7）。
结论：方程 x -2x-2=0 的近似根（精确到 0.1）为 x ≈-0.7，x ≈2.7。
第 6 页：技巧总结 提高效率的方法
快速定位区间：
先计算 x=0、±1、±2 等整数对应的 y 值，快速找到函数值变号的区间，避免盲目取值。
若二次函数顶点在 x 轴下方（a>0）或上方（a<0），可结合对称轴 x=-b/(2a)，在对称轴两侧找区间（如 y=x -3x+1 的对称轴 x=1.5，可在 1.5 两侧找根）。
合理选择中间值：
缩小范围时，优先取 “0.5 倍区间长度” 的中间值（如区间 (2,3) 取 2.5，(2.5,3) 取 2.75），可快速缩小范围。
当区间接近精度要求时（如差值 0.2），可直接取 “精度单位的整数倍”（如精确到 0.1，取 x=2.7、2.8），减少计算量。
验证结果：
求出近似根后，代入原方程验证，若左右两边差值较小（如精确到 0.1 时，差值 < 0.1），则结果合理。
第 7 页：易错警示 避免常见错误
区间定位错误：
误将 “y 值同号” 的区间当作有根区间（如 x=1 时 y=-3，x=2 时 y=-2，均为负，根不在 (1,2) 内），需严格满足 “y y <0”。
忽略二次函数的开口方向，导致漏找根（如 a>0 且顶点 y<0 时，方程有两个根，需在对称轴两侧各找一个区间）。
精度判断错误：
误将 “区间内某点的 y 值接近 0” 当作满足精度，而非 “区间两端点差值小于精度”（如 x=-0.7 时 y=-0.11，虽接近 0，但需确认区间差值是否 < 0.1）。
计算失误：
代入 x 值计算 y 时，符号或平方运算错误（如 x=-0.7 时，误算 y=(-0.7) -2×(-0.7)-2=0.49-1.4-2=-2.91），建议计算后复查。
第 8 页：典例精讲 更高精度的求解（精确到 0.01）
例题：利用函数图象求方程 2x -5x+1=0 的近似根（精确到 0.01）。
解答步骤：
设函数：y=2x -5x+1，计算整数 x 的 y 值：
x
0
1
2
3
y
1
-2
-1
4
→ 根在 (0,1) 和 (2,3) 内。
求 (0,1) 内的根（精确到 0.01）：
区间 (0,1)，x=0.5 时 y=2×0.25-5×0.5+1=0.5-2.5+1=-1（负）→根在 (0,0.5)；
x=0.25 时 y=2×0.0625-5×0.25+1=0.125-1.25+1=-0.125（负）→根在 (0,0.25)；
x=0.2 时 y=2×0.04-5×0.2+1=0.08-1+1=0.08（正）→根在 (0.2,0.25)；
x=0.22 时 y=2×0.0484-5×0.22+1=0.0968-1.1+1=-0.0032（负）→根在 (0.2,0.22)；
x=0.21 时 y=2×0.0441-5×0.21+1=0.0882-1.05+1=0.0382（正）→根在 (0.21,0.22)；
区间差值 0.01，满足精度，故近似根≈0.21 或 0.22（取 0.21）。
求 (2,3) 内的根（精确到 0.01）：
类似步骤可得根在 (2.28,2.29) 内，近似根≈2.29。
结论：方程 2x -5x+1=0 的近似根（精确到 0.01）为 x ≈0.21，x ≈2.29。
第 9 页：课堂练习 分层提升
基础题：利用函数图象求方程 x -4x+2=0 的近似根（精确到 0.1）。（答案：x ≈0.6，x ≈3.4）
中档题：求方程 - 2x +3x+1=0 的近似根（精确到 0.1）。（提示：a=-1<0，先找函数值变号区间，答案：x ≈-0.3，x ≈1.8）
提升题：求方程 x -2x-4=0 的近似根（精确到 0.01）。（答案：x ≈-1.24，x ≈3.24）
第 10 页：课堂小结与作业布置
小结：
核心方法：利用二次函数图象求近似根的本质是 “逐步逼近法”，通过 “定位区间→缩小范围→验证精度” 三步实现。
关键要点：严格依据 “y y <0” 确定有根区间，计算时仔细核对符号与数值，确保精度达标。
思想价值：体现了 “数形结合” 与 “从近似到精确” 的数学思想，是解决无理根问题的重要工具。
作业：
基础作业：教材习题 2.5 第 4、5 题（求近似根，精确到 0.1）。
拓展作业：利用图象求方程 3x -6x+1=0 的近似根（精确到 0.01），并与同学交流不同的缩小区间策略。
实践作业：用计算器计算方程 x -2x-1=0 的精确根（1±√2≈-0.4142、2.4142），对比自己用图象法求得的近似根，分析误差原因。
2025-2026学年北师大版数学九年级下册【示范课精品课件】
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
2.5.2 利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根
第二章 二次函数
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象与 x 轴的
交点与一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 的根的关系
二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象与 x 轴交点 一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 的根 Δ = b2 - 4ac
有两个交点
有两个不相等的实数根
Δ＞0
有一个交点
有两个相等的实数根
Δ = 0
没有交点
没有实数根
Δ＜0
你能利用二次函数的图象估计一元二次方程 x2 + 2x - 10 = 0 的根吗
由图象可知，方程 x2 + 2x - 10 = 0
_____根，一个根在____和____之间，另一个根在____和____(填两个整数）.
两个
－5
－4
2
3
1
利用图象法求一元二次方程的近似根
（1）先求－5 和－4 之间的根.
利用计算器进行探索：
x ... ...
y ... ...
－4.1
-1.39
－4.2
-0.76
－4.3
-0.11
－4.4
0.56
y 对应的值由负变为正
因此，x =－4.3 是方程的一个近似根.
y 值更接近 0
x
y
（2）另一个根可以类似地求出:
2.1
2.2
2.3
2.4
－1.39
－0.76
－0.11
0.56
因此，x = 2.3是方程的另一个近似根.
利用二次函数求一元二次方程的近似根的一般步骤：
① 画出二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象；
② 确定抛物线与 x 轴的交点的横坐标在哪两个数之间；
③ 列表，在②中的连个数之间取值，进行估计.
近似根就出现在对应 y 值正负交换的位置.
归纳总结
做一做
利用二次函数的图象求一元二次方程 x2 + 2x - 10 = 3 的近似根.
x2 + 2x - 13 = 0
由图象可知方程有两根，一个在－5和－4 之间，另一个在 2 和 3 之间.
x
y
－4.9
1.21
－4.8
0.44
－4.7
－0.31
近似根：－4.7
2.9
2.8
2.7
近似根：2.7
你还能利用二次函数 y = x2 + 2x - 10 的图象求一元二次方程 x2 + 2x - 10 = 3 的近似根吗？
做一做
y = x2 + 2x - 10 和直线 y = 3 交点和横坐标就是方程 x2 + 2x - 10 = 3 的根
y = 3
利用二次函数求一元二次方程的近似根的一般方法：
①直接作出二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象；图象与 x 轴交点的横坐标就是一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 的根.
②先将一元二次方程变形为 ax2 + bx =－c，再在同一直角坐标系中画出抛物线 y = ax2 + bx 和直线 y =－c；两图象的交点的横坐标就是方程 ax2 + bx + c = 0 的根.
归纳总结
练一练
1. 已知二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象如图所示，则一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 的近似根为 ( )
A. x1≈－2.1，x2≈0.1 B. x1≈－2.5，x2≈0.5
C. x1≈－2.9，x2≈0.9 D. x1≈－3， x2≈1
B
解析：由图象可得该抛物线的对称轴为
x＝－1，而对称轴右侧图象与 x 轴交点
到原点的距离约为 0.5，∴ x2≈0.5. 又
∵ 对称轴为 x＝－1，∴ ＝－1.
∴ x1≈2×(－1)－0.5＝－2.5. 故 x1≈－2.5，x2≈0.5.
问题1：函数 y = ax2 + bx+ c 的图象如图，
那么方程 ax2 + bx + c = 0 的根是______________；
不等式 ax2 + bx + c > 0 的解集是______________；
不等式 ax2 + bx + c < 0 的解集是____________.
3
-1
O
x
y
x1 = 1，x2 = 3
x < 1 或 x > 3
1 < x < 3
*利用函数的图象求一元二次不等式的解集
2
合作探究
拓广探索：
函数 y = ax2 + bx + c 的图象如图，
那么方程 ax2 + bx + c = 2 的根是______________；
不等式 ax2 + bx + c > 2 的解集是______________；
不等式 ax2 + bx + c < 2 的解集是____________.
3
1
O
x
2
(4，2)
( 2，2)
x1 = 2，x2 = 4
x < 2 或 x > 4
2 < x < 4
y
2
4
问题2：如果不等式 ax2 + bx + c＞0 (a ≠ 0) 的解集是 x ≠ 2 的一切实数，那么函数 y = ax2 + bx + c 的图象与 x 轴有____ 个公共点，坐标是 ；方程 ax2 + bx + c = 0 的根是 .
1
(2 ，0)
x1 = x2 = 2
2
O
x
y
问题3：如果方程 ax2 + bx + c = 0 (a≠0) 没有实数根，那么函数 y = ax2 + bx + c 的图象与 x 轴有______个公共点；不等式 ax2 + bx + c ＜ 0 的解集是什么？
0
解：(1) 当 a＞0 时，ax2 + bx + c＜0 无解.
(2) 当 a＜0 时，ax2 + bx + c＜0的解集是全体实数.
O
x
y
x
y
O
2
O
x
y
-1
2
x
y
O
y = -x2+x+2
试一试：利用函数图象解下列方程和不等式：
(1)① -x2+x+2=0；
② -x2+x+2>0；
③ -x2+x+2<0.
(2)① x2-4x+4=0；
② x2-4x+4>0；
③ x2-4x+4<0.
(3)① -x2+x-2=0；
② -x2+x-2>0；
③ -x2+x-2<0.
y = x2-4x+4
y = - x2+x -2
①x1 = -1，x2 = 2
③x＜-1或 x＞2
① x1 = x2 = 2
② x ≠ 2
③ 无解
① 无解
② 无解
③ x 为全体实数
②-1＜x＜2
x2
x1
O
x
y
a＞0
二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与 x 轴公共点的坐标与一元二次不等式的关系
归纳总结
y＜0，x1＜x＜x2；
y＞0，x＜x1 或 x＞x2.
x0
O
x
y
y＞0，x0 之外的所有实数；
y＜0，无解.
O
x
y
y＞0，所有实数；y＜0，无解.
x2
x1
O
x
y
a＜0
归纳总结
x0
O
x
y
O
x
y
y＞0，x1＜x＜x2；
y＜0，x＜x1或 x＞x2.
y＜0，x0 之外的所有实数；
y＞0，无解.
y＜0，全体实数；y＞0，无解.
1. 二次函数 y = x2 - x - 2 的图象如图所示，则函数值 y＞0 时，x 的取值范围是( )
链接中考
x
y
O
2
1
3
-1
2
3
1
-1
A．x＜-1
B．x＞2
C．-1＜x＜2 D．x＜-1 或 x＞2
D
判断方程 ax2 + bx + c = 0 (a≠0,a,b,c 为常数)一个解 x 的范围是（ ）
x 3.23 3.24 3.25 3.26
y = ax2 + bx + c -0.06 -0.02 0.03 0.09
C
1. 根据下列表格的对应值:
A. 3< x < 3.23 B. 3.23 < x < 3.24
C. 3.24
A．4.4 B．3.4
C．2.4 D．1.4
D
3.已知二次函数 的图象，利用图象回答问题：
（1）方程 的解是什么？
（2）x 取什么值时，y > 0 ？
（3）x 取什么值时，y < 0 ？
x
y
O
2
4
8
解：（1）x1=2，x2=4；
（2）x < 2 或 x > 4；
（3）2 < x < 4.
返回
C
1.
如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象，图象上有两点分别为A(1.66，－0.48)，B(1.87，0.4)，则方程
ax2＋bx＋c＝0的一个根可能是( )
A．1.62
B．1.87
C．1.75
D．2.13
返回
2.
C
根据下面表格中的对应值，判断方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，a，b，c为常数)的一个解x的取值范围是( )
A．3.22
ax2＋bx＋c －0.06 －0.02 0.03 0.09
返回
3.
C
二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，其对称轴为直线x＝1，且与x轴的负半轴交于点A，则关于x的方程ax2＋bx＋c＝0的正数解的取值范围是( )
A．2＜x＜3
B．3＜x＜4
C．4＜x＜5
D．5＜x＜6
返回
4.
解：在同一平面直角坐标系中分别作出函数y＝2x2与y＝x＋2的图象，如图所示．可得一元二次方程2x2＝x＋2的近似根为
x1＝1.3，x2＝－0.8.
(4分)[教材P57“习题2.11”第1题变式]利用二次函数
y＝2x2与一次函数y＝x＋2的图象，求一元二次方程
2x2＝x＋2的近似根.
返回
5.
D
如图，以(2，5)为顶点的抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴负半轴交于点A，则方程ax2＋bx＋c＝0的正数解可能是(精确到0.1)( )
A．x≈0.5
B．x≈2.5
C．x≈3.5
D．x≈5.5
返回
6.
B
若关于x的一元二次方程ax2＋2x－5＝0的两根中有且仅有一根在0和1之间(不含0和1)，则a的取值范围是( )
A．a＜3
B．a＞3
C．a＜－3
D．a＞－3
7.
x2－3
(8分)在平面直角坐标系中画出抛物线y＝x2和直线y＝－x＋3，其交点的横坐标就是一元二次方程x2＋x－3＝0的解．
(1)利用图象法解一元二次方程x2＋x－3＝0，也可以这样求解：在平面直角坐标系中画出抛物线y＝________和直线y＝－x，其交点的横坐标就是该方程的解．
返回
二次函数图象
由图象与 x 轴的交点位置，判断方程根的近似值
一元二次方程的根
一元二次不等式的解集
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！