3.1 圆 课件(共37张PPT)-2025-2026学年北师大版数学九年级下册教学课件

(共37张PPT)
第 1 页：封面页
标题：3.1 圆
副标题：北师大版九年级数学下册
配图：左侧为生活中的圆（摩天轮、时钟、光盘）示意图，右侧为标准圆的几何图形（标注圆心、半径）
落款：授课教师 / 日期
第 2 页：学习目标
知识目标：理解圆的两种定义（动态、静态），掌握圆心、半径、弦、直径、弧（优弧、劣弧）、等圆、等弧的概念，明确各概念间的区别与联系。
能力目标：能在圆的图形中识别并标注相关概念，通过动手画圆、折叠圆，探究圆的对称性（轴对称、中心对称），提升几何直观与动手操作能力。
素养目标：感受圆在生活中的广泛应用，体会 “抽象几何图形” 与 “实际物体” 的联系，渗透数形结合与从具体到抽象的数学思想。
第 3 页：情境导入 生活中的圆
生活实例展示（配图）：
自然中的圆：太阳、露珠的轮廓、树干横截面；
人造的圆：自行车轮、圆形餐桌、圆形跑道、罗盘。
思考提问：
这些物体的形状有什么共同特征？
如何用数学语言描述 “圆”？用圆规画圆时，哪些要素决定了圆的大小和位置？
第 4 页：核心概念 1 圆的定义
定义 1：动态定义（发生式定义）
在平面内，将一个动点绕着一个定点（圆心）按一定的距离（半径）旋转一周，动点所经过的封闭曲线叫做圆。
关键要素：定点（圆心，用字母 O 表示）、定距离（半径，用字母 r 表示）；
图示：动态旋转轨迹示意图，标注 “动点 P→圆心 O→半径 OP=r”。
定义 2：静态定义（集合式定义）
在平面内，到定点（圆心）的距离等于定长（半径）的所有点的集合叫做圆。
补充：圆心 O 确定圆的位置，半径 r 确定圆的大小；
符号表示：以 O 为圆心、r 为半径的圆，记作 “⊙O”，读作 “圆 O”。
易错提醒：圆是 “封闭曲线”，而非 “曲线及其内部的区域”（曲线及其内部称为 “圆面”）。
第 5 页：核心概念 2 圆的相关要素与性质
1. 基本要素（结合图示标注）
概念
定义
表示与注意事项
圆心
圆的中心定点
用字母 O 表示，决定圆的位置
半径
连接圆心与圆上任意一点的线段
用字母 r 表示，决定圆的大小；同一圆的半径都相等
直径
经过圆心且两端都在圆上的线段
用字母 d 表示，d=2r；同一圆的直径都相等
2. 圆的基本性质（基于定义推导）
同圆或等圆的半径相等：若⊙O 与⊙O 是等圆（半径相等），则 r =r ；同一圆内，任意两条半径长度相等。
直径是圆中最长的弦：在圆内任意画一条非直径的弦（如弦 AB），连接圆心 O 与 A、B，由三角形三边关系 OA+OB>AB，且 OA+OB=d（直径），故 d>AB。
第 6 页：核心概念 3 弦、弧与等弧
1. 弦的概念
定义：连接圆上任意两点的线段叫做弦（如弦 CD、弦 AB）；
特殊弦：直径是经过圆心的弦，是圆中最长的弦；
图示：圆内标注 “非直径弦 CD” 与 “直径 AB”，对比两者与圆心的位置关系。
2. 弧的概念
定义：圆上任意两点间的部分叫做弧，用符号 “⌒” 表示（如弧 CD 记作 “⌒CD”）；
分类（按长度）：
劣弧：小于半圆的弧（如⌒CD，直接用两点表示）；
优弧：大于半圆的弧（如⌒CAD，需用三点表示，标注 “C→A→D” 的路径）；
半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成的两条弧，半圆是特殊的弧（既不是优弧也不是劣弧）。
3. 等弧的概念
定义：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧；
关键条件：①“同圆或等圆”（半径相等）；②“能重合”（长度相等且弯曲程度相同）；
易错提醒：仅长度相等的弧不一定是等弧（如半径不同的圆中，长度相等的弧弯曲程度不同，无法重合）。
第 7 页：探究活动 圆的对称性
1. 轴对称性（动手操作）
操作步骤：①用圆规画一个⊙O，剪下圆面；②将圆面沿任意一条经过圆心的直线对折；
观察现象：直线两侧的部分能完全重合；
结论：圆是轴对称图形，任意一条经过圆心的直线（直径所在的直线）都是它的对称轴，圆有无数条对称轴。
2. 中心对称性（动手操作）
操作步骤：①在⊙O 上取一点 A，连接 OA；②将圆面绕圆心 O 旋转 180°；
观察现象：点 A 旋转后与圆上另一点 A' 重合，且 OA=OA'；
结论：圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心，绕圆心旋转任意角度都能与自身重合（旋转对称性）。
应用：利用对称性可快速解决 “找圆上对称点”“平分弦（非直径）” 等问题。
第 8 页：典例精讲 概念辨析与应用
例题 1：概念辨析（判断正误）
直径是弦，但弦不一定是直径；（√，直径是特殊的弦，需经过圆心）
半圆是弧，弧也是半圆；（×，弧包括优弧、劣弧和半圆，半圆只是弧的一种）
同圆中，半径都相等，直径也都相等；（√，同圆半径、直径均相等）
长度相等的弧是等弧。（×，需在同圆或等圆中）
例题 2：图形应用
如图，在⊙O 中，AB 是直径，CD 是弦，OA=5cm，CD=8cm，求圆心 O 到弦 CD 的距离。
解答步骤：
过 O 作 OE⊥CD 于 E（垂径定理预备，后续将学），则 CE=CD/2=4cm；
连接 OC，OC=OA=5cm（同圆半径相等）；
在 Rt△OEC 中，由勾股定理得 OE=√(OC -CE )=√(5 -4 )=3cm；
结论：圆心 O 到弦 CD 的距离为 3cm。
第 9 页：课堂练习 分层巩固
基础题：
（1）已知⊙O 的半径为 6cm，则它的直径为______cm，圆上任意一点到圆心的距离为______cm。（答案：12，6）
（2）在⊙O 中，若弦 AB 的长度为 8cm，且 AB 是直径，则⊙O 的半径为______cm。（答案：4）
中档题：
如图，⊙O 中，优弧⌒ABC 对应的劣弧是______，若∠AOB=60°（O 为圆心），则劣弧⌒AB 的度数为______（提示：弧的度数等于所对圆心角的度数）。（答案：⌒AC，60°）
提升题：
已知⊙O 与⊙O 是等圆，若⊙O 的半径为 3cm，⊙O 的直径为 d，求 d 的值，并说明理由。（答案：d=6cm，等圆半径相等，故⊙O 半径 = 3cm，直径 = 6cm）
第 10 页：课堂小结与作业布置
小结：
圆的两种定义：动态（旋转）、静态（点的集合），核心要素是圆心（定位置）和半径（定大小）；
关键概念：弦（直径是特殊弦）、弧（优弧、劣弧、半圆）、等弧（同圆 / 等圆中能重合）；
圆的对称性：轴对称（无数条对称轴，过圆心的直线）、中心对称（对称中心是圆心）。
作业：
基础作业：教材习题 3.1 第 1、2、3 题（识别概念、计算半径直径）；
实践作业：用圆规画一个半径为 4cm 的圆，在圆内标注圆心 O、一条直径 AB、一条非直径弦 CD、一条优弧⌒CAD 和一条劣弧⌒CD；
拓展作业：思考 “为什么自行车轮要设计成圆形，而不是方形或椭圆形？”，结合圆的性质下节课分享。
2025-2026学年北师大版数学九年级下册【示范课精品课件】
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3.1 圆
第三章 圆
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
如图，一些学生正在做投圈游戏，他们的投圈目标都是图中的花瓶. 如果他们呈“一”字排开，这样的队形对每个人都公平吗 你认为他们应当排成什么样的队形才公平
·
r
O
A
问题 观察画圆的过程，你能说出圆是如何画出来的吗？
1
探究圆的概念
合作探究
圆的定义
平面上，一条线段 OA 绕它固定的一个端点 O 旋转一周，另一个端点 A 形成的图形叫做圆．
以点 O 为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆 O”.
知识回顾
O
r
A
·
圆心
半径
问题1：(1) 圆上各点到定点(圆心 O )的距离有什么特点？(2) 到定点的距离等于定长的点又有什么特点？
O
r
A
·
圆上各点到定点(圆心 O )的距离都等于定长(半径 r )；
O
r
A
·
到定点的距离都等于定长的点都在同一个圆上.
甲
丙
乙
丁
为了使游戏公平，
在目标周围围成一个圆排队，
因为圆上各点到圆心的
距离都等于半径.
问题2：现在你能回答本课最开始的问题了吗？
问题3：观察下图，刚才的投圈游戏设计中，已经站了4 人同时游戏，还可以站更多的人吗？站在哪里？
可以，站在以 O 点为圆心的圆上.
追问1 在公平游戏的前提下，花瓶不动，平面有多少个点可供站位游戏？
O
无数个.
追问2 这些站位点的都满足什么关系？
到花瓶的距离相等.
11111
圆的集合定义
圆心为 O、半径为 r 的圆可以看成是平面内所有到定点 O 的距离等于定长 r 的点的集合．
追问3 我们曾经学习过点动成线，那么圆作为曲线，是由怎样特性的点形成的呢？
O
一是圆心，确定其位置；二是半径，确定其大小．
确定一个圆的要素
典例精析
例1 矩形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O.
求证：A、B、C、D 四个点在以 O 为圆心的同一圆上.
A
B
C
D
O
证明：∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∴ AO = OC，OB = OD.
又∵ AC = BD，
∴ OA = OB = OC = OD.
∴ A、B、C、D 在以 O 为圆心， OA 为半径的圆上.
圆的有关概念
2
探究一 连接圆上任意两点，尝试画出不同的线段.说说这些线段有什么区别？
部分过圆心...
有最长的线段...
总结
·
C
O
A
B
弦：连接圆上任意两点的______.
例如：AB、AC.
直径：经过_______的______. 例如：AB.
直径是_____的弦.
线段
圆心
弦
最长
半径是否是弦？
知识要点
探究二 用弦将圆分成两部分，请动手画画有几种情况.
A
B
B
A
弦将圆分成两个______的圆弧.
直径将圆分成两个____的圆弧.
相等
不相等
合作探究
总结
弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧. 以 A、B 为端点的弧记作 ，读作“圆弧 AB”或“弧 AB”.
半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆.
·
C
O
A
B
知识要点
总结
优弧：大于半圆的弧，例 .
劣弧：小于半圆的弧，例 .
·
C
O
A
B
探究三 已知 r = 5cm，请分别画两个圆，绘制过程中观察两个圆是否能够重合.
重合
总结
等圆：能够完全重合的两个圆.
等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧.
合作探究
不可能完全重合，
这两条弧弯曲程度不同.
“等弧”≠“长度相等的弧”
如图，如果 AB 和 CD 的拉直长度都是 10 cm，移动并调整小圆的位置，是否能使这两条弧完全重合？
︵
︵
D
C
A
B
想一想：长度相等的弧是等弧吗？
独立思考
例2 如图，回答下列问题：
(1) 请写出以点 A 为端点的劣弧及优弧；
(2) 请写出以点 A 为端点的弦及直径；
弦 AF，AB，AC. 其中弦 AB 是直径.
(3) 请任选一条弦，写出这条弦所对的弧.
A
B
C
E
F
D
O
劣弧：
优弧：
答案不唯一，如：弦 AF，它所对的弧是 和 .
典例精析
3
点和圆的位置关系
问题1 观察下图中点和圆的位置关系有哪几种？
点和圆的位置关系有三种：
点在圆内，点在圆上，
点在圆外.
问题2 设点到圆心的距离为 d，圆的半径为 r，量一量在三种不同的位置关系下，d 与 r 有怎样的数量关系？
问题3 反过来，由 d 与 r 的数量关系，怎样判定点与圆的位置关系呢？
总结
点 P 在⊙O 内
点 P 在⊙O 上
点 P 在⊙O 外
d＜r
d = r
d＞r
设⊙O 的半径为 r，点到圆心的距离 OP = d ，则有：
符号“ ”读作“等价于”，它表示符号“ ”的左右两端可以互相推出.
数形结合：
位置关系
数量关系
知识要点
设 AB = 3 cm，画图说明满足下列要求的图形：
(1) 到点 A 和点 B 的距离都等于 2 cm 的所有点组成的图形.
(2) 到点 A 和点 B 的距离都小于 2 cm 的所有点组成的图形.
做一做
P
Q
P
Q
1.(青海 )点 P 是非圆上一点，若点 P 到⊙O 上的点的最小距离是 4 cm，最大距离是 9 cm，则⊙O的半径是_____________cm.
① 点在圆内
② 点在圆外
6.5 或 2.5
链接中考
返回
C
1.
下列条件中，能确定一个圆的是(　　)
A．以点O为圆心
B．以3 cm长为半径
C．以点A为圆心，3 cm长为半径
D．经过已知点M
返回
2.
O
到点O的距离等于8 cm的点所组成的图形是以点________为圆心，________cm长为半径的圆.
8
返回
3.
D
下列说法正确的是(　　)
A．半圆是弧，弧也是半圆
B．长度相等的弧是等弧
C．弦是直径
D．能够重合的两个圆是等圆
返回
4.
D
已知AB是半径为6的圆的一条弦，则AB的长不可能是(　　)
A．8
B．10
C．12
D．14
返回
5.
1
[教材P65“图3－2”变式]如图，点A，O，D，点C，D，E以及点B，O，C分别在一条直线上， 则图中共有________条直径，________条弦，以点B为端点的劣弧有________，优弧有____________.
2
返回
6.
A
已知⊙O的半径OA长为1，若OB＝1.3，则正确的图形可能是(　　)
返回
7.
D
已知⊙O的半径为3，点P在⊙O内，则OP的长可能是(　　)
A．5
B．4
C．3
D．2
返回
8.
B
A．点P在⊙O内　
B．点P在⊙O上
C．点P在⊙O外　
D．不能确定
9.
(12分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，CD⊥AB于点D，以点C为圆心作圆．
(1)若以4为半径，判断A，B两点与⊙C的位置关系；
(2)若以3为半径，判断A，B两点与⊙C的位置关系；
(3)若以2.4为半径，判断B，D两点与⊙C的位置关系.
返回
返回
10.
B
如图，AB是⊙O的直径，点D，C在⊙O上，AD∥OC，∠DAB＝60°，连接AC，则∠DAC的度数为(　　)
A．15°
B．30°
C．45°
D．60°
圆
定义
旋转定义
要画一个确定的圆，关键是
确定圆心和半径
集合定义
同圆半径相等
有关
概念
弦（直径）
直径是圆中最长的弦
弧
半圆是特殊的弧
劣弧
半圆
优弧
同心圆
等圆
同圆
等弧
能够互相重合的两段弧
点与圆的位置关系
点在圆外
点在圆上
点在圆内
d>r
d=r
d位置关系数量化
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！