3.2 圆的对称性 课件(共32张PPT)-2025-2026学年北师大版数学九年级下册教学课件

(共32张PPT)
第 1 页：封面页
标题：3.2 圆的对称性
副标题：北师大版九年级数学下册
配图：左侧为圆沿直径对折后完全重合的示意图（体现轴对称），右侧为圆绕圆心旋转 180° 后重合的示意图（体现中心对称），中间标注 “垂径定理” 核心条件与结论
落款：授课教师 / 日期
第 2 页：学习目标
知识目标：深化理解圆的轴对称性与中心对称性，掌握垂径定理及其推论的内容，明确定理的适用条件与结论之间的逻辑关系。
能力目标：能运用垂径定理解决 “求弦长、圆心距、半径” 等几何计算问题，通过定理证明培养逻辑推理能力，提升几何图形分析能力。
素养目标：体会 “从对称性推导定理” 的数学思想，感受几何定理的严谨性，培养用数学语言规范表达推理过程的习惯。
第 3 页：回顾衔接 圆的对称性再认识
回顾旧知：
圆是轴对称图形，任意一条经过圆心的直线（直径所在直线）都是对称轴，有无数条对称轴；
圆是中心对称图形，圆心是对称中心，绕圆心旋转任意角度都能与自身重合（旋转对称性）。
思考引入：若将圆的轴对称性与 “弦” 结合，过圆心的直线垂直于弦时，会产生哪些特殊的数量关系？比如：过圆心的直线垂直于弦，是否会平分这条弦？是否会平分弦所对的弧？
第 4 页：核心定理 垂径定理（探究与证明）
1. 定理探究（动手操作）
操作步骤：
画一个⊙O，在圆上取一条弦 AB（非直径）；
过圆心 O 作直线 CD⊥AB，垂足为 E；
沿直线 CD 对折⊙O，观察点 A 与点 B、弧 AC 与弧 BC、弧 AD 与弧 BD 的位置关系。
观察现象：点 A 与点 B 重合，弧 AC 与弧 BC 重合，弧 AD 与弧 BD 重合。
2. 垂径定理内容
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
符号语言（结合图示）：
已知⊙O 中，CD 是直径，AB 是弦，CD⊥AB 于 E，则：
① AE = BE（平分弦）；
② ⌒AC = ⌒BC（平分弦所对的劣弧）；
③ ⌒AD = ⌒BD（平分弦所对的优弧）。
3. 定理证明（逻辑推理）
已知：如图，⊙O 中，CD 是直径，AB 是弦，CD⊥AB 于 E。
求证：AE=BE，⌒AC=⌒BC，⌒AD=⌒BD。
证明：
连接 OA、OB，∵ OA=OB（同圆半径相等），∴ △OAB 是等腰三角形；
又∵ CD⊥AB，∴ AE=BE（等腰三角形三线合一）；
沿 CD 对折，点 A 与点 B 重合，故⌒AC 与⌒BC 重合，⌒AD 与⌒BD 重合，即⌒AC=⌒BC，⌒AD=⌒BD。
4. 关键提醒
定理中的 “直径” 可推广为 “过圆心的直线”（因直径是过圆心的特殊直线）；
若弦为 “直径”，过圆心的直线垂直于直径时，仍满足平分，但此时 “平分直径” 是必然结果，无特殊意义，故定理常针对 “非直径的弦” 讨论。
第 5 页：重要推论 垂径定理的逆用
1. 推论 1（平分弦的直径）
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
符号语言：
已知⊙O 中，CD 是直径，AB 是弦（非直径），AE=BE，则：
① CD⊥AB；② ⌒AC=⌒BC；③ ⌒AD=⌒BD。
易错提醒：必须强调 “弦不是直径”，若弦是直径，平分直径的直线不一定垂直于直径（如任意两条相交的直径，互相平分但不一定垂直）。
2. 推论 2（概括总结）
对于一个圆和一条直线，若直线满足以下五个条件中的任意两个，必满足其余三个（“知二推三”）：
① 过圆心；② 垂直于弦；③ 平分弦（非直径）；④ 平分弦所对的劣弧；⑤ 平分弦所对的优弧。
示例：若直线过圆心且平分弦所对的劣弧，则直线必垂直于弦且平分弦、平分弦所对的优弧。
第 6 页：典例精讲 垂径定理的应用（计算类）
例题 1：求弦长
已知⊙O 的半径为 5cm，圆心 O 到弦 AB 的距离为 3cm，求弦 AB 的长。
解答步骤：
过 O 作 OE⊥AB 于 E，由垂径定理得 AE=BE（E 为 AB 中点）；
在 Rt△OAE 中，OA=5cm（半径），OE=3cm（圆心距）；
由勾股定理得 AE=√(OA - OE )=√(5 - 3 )=4cm；
故 AB=2AE=8cm。
方法总结：“连半径，作垂线，构直角三角形” 是垂径定理计算的常用辅助线策略，利用勾股定理（半径 = 圆心距 + 半弦长 ）求解。
例题 2：求半径
如图，在⊙O 中，弦 CD 的长为 8cm，圆心 O 到 CD 的距离为 3cm，求⊙O 的半径。
解答步骤：
过 O 作 OE⊥CD 于 E，由垂径定理得 CE=CD/2=4cm；
在 Rt△OCE 中，OE=3cm，CE=4cm；
由勾股定理得 OC=√(OE + CE )=√(3 + 4 )=5cm；
故⊙O 的半径为 5cm。
第 7 页：典例精讲 垂径定理的应用（实际场景）
例题 3：水管截面问题
某圆柱形水管的横截面如图所示，水管内水的深度为 8cm，水面宽度 AB 为 12cm，求水管的直径。
分析建模：
设水管横截面圆心为 O，半径为 r，过 O 作 OE⊥AB 于 E，延长 OE 交⊙O 于 C、D（CD 为直径）；
由垂径定理得 AE=AB/2=6cm，OE=OC - CE=r - (r - 8)=8？（需分情况：若水面在圆心下方，OE=r - 8；若在上方，OE=8 - r，此处水深度 8cm，假设半径 r>8，故 OE=r - 8）。
解答步骤：
在 Rt△OAE 中，OA=r，AE=6cm，OE=r - 8；
由勾股定理得 r =6 + (r - 8) ；
展开：r =36 + r - 16r + 64 → 16r=100 → r=6.25cm；
故水管直径为 2r=12.5cm。
关键：将实际圆柱形截面转化为圆的几何问题，明确 “水深” 与 “圆心距” 的关系，建立方程求解。
第 8 页：易错警示与避坑指南
常见易错点：
忽略垂径定理推论中的 “弦非直径” 条件：误将 “平分直径的直线垂直于直径” 当作真命题，导致推理错误；
辅助线添加错误：计算时未作 “圆心到弦的垂线”，无法构造直角三角形，导致无法使用勾股定理；
实际场景建模偏差：如水管问题中，误将 “水深” 直接当作 “圆心距”，未结合半径分析两者关系。
避坑技巧：
应用推论时，先判断弦是否为直径，若未明确，需补充说明 “弦非直径”；
遇到 “弦长、半径、圆心距” 相关计算，优先作 “过圆心垂直于弦的垂线”，形成 “半径、半弦长、圆心距” 的直角三角形；
实际问题中，先画出圆的示意图，标注已知条件（如弦长、水深），明确各线段间的数量关系后再列方程。
第 9 页：课堂练习 分层巩固
基础题：
（1）在⊙O 中，直径为 10cm，弦 AB 的长为 8cm，则圆心 O 到 AB 的距离为______cm。（答案：3）
（2）已知⊙O 中，弦 CD 垂直于直径 AB，垂足为 E，若 CE=3cm，则 CD=______cm。（答案：6）
中档题：
如图，⊙O 的弦 AB 与 CD 相交于点 E，且 AB⊥CD，若 AE=2，EB=6，CE=3，求 CD 的长。（提示：过 O 作 OM⊥AB 于 M，ON⊥CD 于 N，利用垂径定理与矩形性质，答案：8）
提升题：
某拱桥的桥拱是圆弧形（如图），测得桥拱下水面宽度 AB 为 16m，拱顶 C 到水面的距离为 4m，求桥拱的半径。（答案：10m）
第 10 页：课堂小结与作业布置
小结：
垂径定理核心：“垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧”，本质是圆的轴对称性的体现；
推论关键：“知二推三”，但需注意 “弦非直径” 的限制条件；
应用方法：计算时通过 “连半径、作垂线” 构造直角三角形，利用勾股定理建立关系；实际问题中先建模，再用定理求解。
作业：
基础作业：教材习题 3.2 第 1、2、4 题（垂径定理计算与证明）；
拓展作业：如图，在⊙O 中，AB 是弦，半径 OC⊥AB 于 D，若 AB=8，OD=3，求 CD 的长（提示：先求 OC，再算 CD=OC - OD，答案：2）；
实践作业：观察生活中的圆弧形建筑（如拱门、桥拱），尝试测量相关数据（如跨度、拱高），用垂径定理估算其半径。
2025-2026学年北师大版数学九年级下册【示范课精品课件】
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3.2 圆的对称性
第三章 圆
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
熊宝宝要过生日了！要把蛋糕平均分成四块，你会分吗？
问题1 圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是
什么？你能找到多少条对称轴？
问题2 你是怎么得出结论的？
圆的对称性：
圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线.
用折叠的方法
●O
圆的对称性
1
探究归纳
.
O
问题3 将圆绕圆心旋转 180° 后，得到的图形与原图形重合吗？由此你得到什么结论呢？
圆的对称性：
圆是中心对称图形，对称中心为圆心.
探究归纳
A
B
180°
问题4 把圆绕圆心旋转任意一个角度呢？
仍与原来的圆重合吗？
O
α
圆是旋转对称图形，具有旋转不变性.
·
探究归纳
在同圆中探究
圆心角、弧、弦之间的关系
2
A
B
A′
B′
O
在⊙O 中，如果∠AOB = ∠A′OB′，那么， 与 ，弦 AB 与弦 A′B′ 有怎样的数量关系？
由圆的旋转不变性，我们发现：
在 ⊙O 中，如果∠AOB= ∠A′OB′，
那么， ，弦AB = 弦A′B′
在等圆 ⊙O 和⊙O′ 中，分别作相等的圆心角 ∠AOB 和∠A′O′B′，将两圆重叠，并固定圆心，然后把其中的一个圆旋转一个角度，使得 OA 与 O′A′ 重合.
A
B
O
O′
O（O′）
A′
B′
A′
B′
A
B
你能发现哪些等量关系？说一说你的理由.
小红认为
在等圆中探究
A
B
A′
B′
O（O′）
她是这样想的：
∵ 半径 OA 与 O′A′ 重合，∠AOB = ∠A′O′B′，
∴ 半径 OB 与 O′B′ 重合.
∵ 点 A 与点 A′ 重合，点 B 与 点B′ 重合，
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
①∠AOB =∠A′OB′
③AB = A′B′
弧、弦与圆心角的关系定理
知识要点
A
B
A′
B′
O
②
总结
圆心角相等
弧相等
弦相等
在同圆或等圆中：
知一得二
“同圆或等圆”这个前提可以去掉吗？
知识要点
想一想：定理“在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．”中，可否把条件“在同圆或等圆中”去掉？为什么？
不可以，如图.
A
B
O
D
C
×
×
√
抢答题
1. 等弦所对的弧相等. （ ）
2. 等弧所对的弦相等. （ ）
3. 圆心角相等，所对的弦相等. ( )
针对训练
例1 如图，AB，DE 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上的一点，
且AD=CE.BE 和 CE 的大小有什么关系？为什么？
·
E
B
C
O
A
D
解：BE = CE. 理由是：
∵∠AOD=∠BOE，
⌒ ⌒
又∵
∴
关系定理及推论的运用
2
典例精析
∴BE = CE.
∴
解：
∵
例2 如图，AB是⊙O 的直径，
∠COD=35°，求∠AOE 的度数．
·
A
O
B
C
D
E
填一填： 如图，AB、CD是 ⊙O 的两条弦．
（1）如果 AB=CD，那么_________，______________．
（2）如果 ，那么_________，_____________．
（3）如果∠AOB=∠COD，
那么__________，_________．
·
C
A
B
D
E
F
O
AB = CD
AB = CD
∠AOB =∠COD
∠AOB =∠COD
针对训练
（4）如果 AB=CD，OE⊥AB 于 E，OF⊥CD 于 F，OE 与 OF 相等吗？为什么？
解：OE = OF.
理由如下：
∵△OAB 和 △OCD 均为等腰三角形
OE⊥AB，OF⊥CD，
∴AE = AB，CF = CD.
又∵AB = CD，
∴AE = CF.
又∵OA = OC，
∴Rt△AOE≌Rt△COF(HL)
∴OE = OF.
·
C
A
B
D
E
F
O
A.
B.
C.
D. 不能确定
1．如果两个圆心角相等，那么 （ ）
A．这两个圆心角所对的弦相等
B．这两个圆心角所对的弧相等
C．这两个圆心角所对的弦的弦心距相等
D．以上说法都不对
2．弦长等于半径的弦所对的圆心角等于 　.
D
60°
A
3．在同圆中，圆心角∠AOB = 2∠COD，则 与
的关系是（ ）
4. 如图，已知AB、CD为 ⊙O 的两条弦，
求证：AB＝CD.
.
C
A
B
D
O
解：CD = 2AB 不成立.理由如下：
A
B
C
D
E
O
能力提升：
我们已经知道在 ⊙O 中，如果 2∠AOB=∠COD，那么
，那么 CD = 2AB 也成立吗？若成立，请说明理由；若不成立，则它们之间的关系又是什么？
在 △CDE 中，CE + DE ＞CD，即 CD＜2AB.
所以弦 AB = CE = DE.
那么∠AOB =∠COE =∠DOE，
取 的中点 E,连接 OE，CE，DE.
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C
1.
下列说法中，不正确的是(　　)
A．圆是轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是它的对称轴
B．圆既是轴对称图形，又是中心对称图形
C．当圆绕它的圆心旋转89°57′时，不会与原来的圆重合
D．圆的对称轴有无数条，对称中心只有一个
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2.
π
我国古代铜钱蕴含“天地合一”的哲学思想，现将铜钱抽象成如图所示的几何图形，已知AC，BD为⊙O的直径，AC⊥BD，四边形EFGH是正方形，若⊙O的面积为4π cm2，则图中阴影部分的面积是________cm2.
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3.
CD
如图，AB，CD是⊙O的两条弦，连接OA，OB，OC，OD．
∠COD
CD
∠COD
返回
4.
B
返回
5.
A
返回
6.
54°
如图，已知AB是⊙O的直径，BC＝CD＝DE，
∠BOC＝42°，那么∠AOE的度数等于________.
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7.
返回
8.
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9.
D
如图，已知A，B，C，D是⊙O上的点，∠1＝∠2，则下列结论中正确的有(　　)
返回
10.
B
如图，AB是⊙O的直径，BC，CD，DA是⊙O的弦，且BC＝CD＝DA，则∠BCD＝(　　)
A．105°
B．120°
C．135°
D．150°
弦、弧、圆心角的关系定理
在同圆或等圆中
应用提醒
①要注意前提条件；
②要灵活转化.
圆
圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线；
圆是中心对称图形，对称中心为圆心.
圆心角相等
弧相等
弦相等
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！