3.3 垂径定理 课件(共36张PPT)-2025-2026学年北师大版数学九年级下册教学课件

(共36张PPT)
第 1 页：封面页
标题：3.3 垂径定理
副标题：北师大版九年级数学下册 | 定理深化 多场景应用
配图：左侧为 “垂径定理核心图形”（直径垂直弦，标注平分弦与弧），右侧为两个应用场景缩略图（两弦相交问题、桥拱计算问题）
落款：授课教师 / 日期
第 2 页：学习目标
知识目标：熟练掌握垂径定理的内容及 “知二推三” 推论体系，明确定理与逆定理的区别，能结合圆周角、勾股定理综合应用定理。
能力目标：能独立解决 “多弦相交”“圆弧形实际问题” 等复杂场景，通过辅助线构造直角三角形，提升几何推理与计算能力。
素养目标：体会 “定理 — 推论 — 应用” 的逻辑链，培养严谨的数学思维，感受几何定理在解决实际问题中的价值。
第 3 页：定理回顾 核心内容梳理
1. 垂径定理（核心）
文字表述：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
符号语言（如图，⊙O 中，CD 为直径，AB 为弦，CD⊥AB 于 E）：
∵ CD 是直径，CD⊥AB，∴ AE=BE，⌒AC=⌒BC，⌒AD=⌒BD。
关键要素：① 过圆心（直径）；② 垂直于弦；③ 平分弦；④ 平分劣弧；⑤ 平分优弧（“五要素”）。
2. 推论（知二推三）
核心规则：若一条直线满足 “五要素” 中的任意两个，则必满足其余三个（需注意：若涉及 “平分弦”，弦不能是直径）。
常见组合示例：
过圆心 + 平分弦（非直径）→ 垂直于弦 + 平分两条弧；
垂直于弦 + 平分劣弧 → 过圆心 + 平分弦 + 平分优弧。
3. 定理本质
垂径定理是圆轴对称性的直接体现，所有推论均围绕 “轴对称” 推导，即：对称轴（过圆心的直线）垂直平分对称点的连线（弦），且平分对应弧。
第 4 页：逆定理辨析 避免概念混淆
1. 常见易混命题（判断正误）
命题
正误
理由
垂直于弦的直线平分弦
×
未强调 “过圆心”，如任意一条垂直于弦但不过圆心的直线，无法平分弦
平分弦的直线垂直于弦
×
未强调 “过圆心” 和 “弦非直径”，如平分弦但不过圆心的直线，不垂直于弦
平分弧的直径垂直于弧所对的弦
√
满足 “过圆心”“平分弧”，符合 “知二推三”，故垂直于弦
2. 逆定理应用技巧
若题目条件为 “某直线平分弦且垂直于弦”，需先判断弦是否为直径：
若弦是直径：直线不一定过圆心（如两条相交的直径，互相垂直平分，但任意一条直径的垂线不一定过圆心）；
若弦非直径：直线必过圆心（符合 “知二推三”，过圆心是必然结论）。
第 5 页：典例精讲 基础场景应用（单弦问题）
例题 1：求圆心角
如图，⊙O 的半径 OA=5，弦 AB=8，OD⊥AB 于 D，求∠AOD 的度数。
解答步骤：
由垂径定理得 AD=AB/2=4（OD 垂直平分 AB）；
在 Rt△AOD 中，OA=5，AD=4，由勾股定理得 OD=3；
∵ AD=4，OA=5，∴ cos∠AOD=OD/OA=3/5？ 不对，应为 cos∠AOD=OD/OA=3/5？ 修正：在 Rt△AOD 中，AD=4，OA=5，OD=3，∴ sin∠OAD=OD/OA=3/5，∠AOD=arcsin (4/5)≈53.13°（或用勾股数 3-4-5，∠AOD≈53°）。
思路提炼：通过垂径定理将弦长转化为半弦长，结合半径构造直角三角形，利用三角函数求角度。
例题 2：证明线段相等
如图，⊙O 中，AB、CD 为弦，OE⊥AB 于 E，OF⊥CD 于 F，且 OE=OF，求证：AB=CD。
解答步骤：
连接 OA、OC（半径），∵ OE⊥AB，OF⊥CD，∴ AE=AB/2，CF=CD/2（垂径定理）；
在 Rt△AOE 和 Rt△COF 中，OA=OC（同圆半径），OE=OF（已知），∴ Rt△AOE≌Rt△COF（HL）；
∴ AE=CF，故 AB=2AE=2CF=CD。
思路提炼：利用 “圆心到弦的距离相等，则弦长相等”（垂径定理推论的延伸），通过全等三角形证明半弦长相等。
第 6 页：典例精讲 复杂场景应用（多弦相交）
例题 3：两弦相交与垂径定理结合
如图，⊙O 中，弦 AB 与 CD 相交于点 P，且 AB⊥CD，AB=10，CD=8，OP=3，求⊙O 的半径。
分析难点：两弦相交且垂直，但均不过圆心，需通过辅助线构造 “圆心到弦的距离”，结合矩形性质求解。
解答步骤：
过 O 作 OE⊥AB 于 E，OF⊥CD 于 F，由垂径定理得 AE=AB/2=5，CF=CD/2=4；
∵ AB⊥CD，OE⊥AB，OF⊥CD，∴ 四边形 OEPF 是矩形（有三个直角），故 OE=PF，OF=PE；
设 OE=x，则 PF=x，在 Rt△AOE 中，OA =AE +OE =25+x ；
在 Rt△OPF 中，OP =OF +PF =OF +x =9，故 OF =9-x ；
在 Rt△COF 中，OC =CF +OF =16+(9-x )=25-x ；
∵ OA=OC（半径），∴ 25+x =25-x → x=0？ 修正：步骤 2 中，PF=|CF - CP|，实际应为 “设 OF=m，OE=n，矩形 OEPF 中 n=PF，m=PE”，则：
OA =5 +n =25+n ，OC =4 +m =16+m ，且 m +n =OP =9；
∴ OA =25+n =25+(9-m )=34-m ，又 OC =16+m ，故 34-m =16+m → m =9 → m=3，n=0？ 不对，正确辅助线：
重新分析：过 O 作 OE⊥AB 于 E，OF⊥CD 于 F，连接 OB、OD，设 OE=d ，OF=d ，∵ AB⊥CD，OE⊥AB，OF⊥CD，∴ 四边形 OEPF 是矩形，故 d + d = OP =9；
由垂径定理，BE=5，DF=4，在 Rt△OBE 中，r =5 + d =25 + d ；在 Rt△ODF 中，r =4 + d =16 + d ；
∴ 25 + d =16 + d → d - d =9，又 d + d =9，联立得 d =9，d =0 → d =0，d =3，故 r =25+0=25 → r=5。
思路提炼：多弦相交时，通过 “双垂线” 构造矩形，利用 “矩形对角线平方等于两边平方和” 和 “半径相等” 建立方程，求解半径。
第 7 页：典例精讲 实际场景应用（圆弧形建筑）
例题 4：桥拱半径计算（进阶）
某圆弧形石拱桥的跨度（拱下水面宽度）AB=24m，拱高（拱顶到水面的距离）CD=8m，若暴雨后水面上升 2m，求此时水面宽度 A'B'。
建模分析：
设桥拱圆心为 O，半径为 r，暴雨前水面 AB，拱顶 C，CD⊥AB 于 D（D 为 AB 中点），故 AD=12m，OD=r - 8（O 在 CD 延长线上）；
暴雨后水面 A'B'，距拱顶 C 的距离为 8 - 2=6m，故 OD'=r - 6（D' 为 A'B' 中点）。
解答步骤：
暴雨前：在 Rt△AOD 中，r =AD + OD =12 + (r - 8) → r =144 + r - 16r + 64 → 16r=208 → r=13m；
暴雨后：在 Rt△A'OD' 中，r =A'D' + OD' → 13 =A'D' + (13 - 6) → 169=A'D' + 49 → A'D'=10m；
故水面宽度 A'B'=2A'D'=20m。
关键：明确 “拱高” 与 “圆心到水面距离” 的关系（圆心到水面距离 = 半径 - 拱高），通过两次应用垂径定理求解。
第 8 页：辅助线技巧 构造直角三角形
1. 核心辅助线策略
“三要素” 构造：遇到垂径定理相关问题，优先构造 “半径、半弦长、圆心距” 组成的直角三角形（简称 “垂径三角”），其中：
半径 = 半弦长 + 圆心距 （勾股定理核心公式）。
常见辅助线类型：
已知弦长和半径，作 “圆心到弦的垂线”，求圆心距；
已知弦长和圆心距，作 “圆心到弦的垂线”，求半径；
多弦问题，作 “双垂线”，结合矩形或勾股定理建立方程。
2. 辅助线口诀
“遇弦作垂线，连半径构直角；知二可求一，多弦用矩形。”
第 9 页：课堂练习 分层提升
基础题：
（1）⊙O 中，弦 AB=6，圆心 O 到 AB 的距离为 4，则⊙O 的半径为______。（答案：5）
（2）已知⊙O 的半径为 10，弦 CD⊥直径 AB 于 E，且 CE=6，则 AE 的长为______（提示：分 E 在 OA 或 OB 上，答案：16 或 4）。
中档题：
如图，⊙O 中，AB 为弦，OD⊥AB 于 D，延长 OD 交⊙O 于 E，若 AB=8，DE=2，求⊙O 的半径。（答案：5）
提升题：
某圆柱形油桶的横截面是⊙O，油面宽度 AB=16cm，油面到桶顶的距离为 4cm，求油桶的半径。（答案：10cm）
第 10 页：课堂小结与作业布置
小结：
垂径定理核心：“五要素，知二推三”，所有应用均围绕 “轴对称性” 和 “直角三角形构造”；
关键技巧：单弦问题用 “垂径三角”，多弦问题用 “双垂线 + 矩形”，实际问题先建模；
易错点：忽略 “弦非直径” 的限制，辅助线添加不完整导致无法构造直角三角形。
作业：
基础作业：教材习题 3.3 第 1、3、5 题（定理应用与计算）；
拓展作业：如图，⊙O 中，弦 AB 与 CD 交于点 E，AE=3，EB=4，CE=2，且 AB⊥CD，求⊙O 的半径（答案：√(65)/2）；
实践作业：测量家中圆形碗的直径（用直尺和纸条模拟 “弦长”，结合垂径定理计算）。
2025-2026学年北师大版数学九年级下册【示范课精品课件】
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3.3 垂径定理
第三章 圆
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
问题:赵州桥是我国隋代建造的石拱桥，距今约有 1400 年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为 37 m，拱高（弧的中点到弦的距离）为 7.23 m，求赵州桥主桥拱的半径（结果保留
小数点后一位）.
探究一 如图，AB 是⊙O 的一条弦，作直径 CD，使CD⊥AB，垂足为 M.
1
垂径定理及其推论
A
B
O
C
D
M
(1) 右图是轴对称图形吗？
如果是，其对称轴是什么？
圆的对称性：
圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线，圆的对称轴有无穷多条.
连接 OA，OB，则OA = OB.
在Rt△OAM 和Rt△OBM 中，
∵OA = OB，OM = OM，
∴Rt△OAM≌Rt△OBM.
∴AM = BM.
∴点 A 和点 B 关于 CD 对称.
A
B
O
C
D
M
合作证明
圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴.
(2) 你能发现图中有哪些等量关系？说一说你的理由.
A
B
O
C
D
M
证明：连接 OA，OB，则OA = OB.
在Rt△OAM 和Rt△OBM 中，
∵OA = OB，OM = OM，
∴Rt△OAM≌Rt△OBM.
∴AM = BM，∠AOC = ∠BOC.
∴∠AOD = 180°－∠AOC，
∠BOD = 180°－∠BOC.
∴∠AOD = ∠BOD.
A
B
O
C
D
M
垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧.
∵ CD 是⊙O 的直径，CD⊥AB，(条件)
推导格式：
你能用几何语言表示吗？
定义总结
∴AM = BM， ， .
(结论)
例1 如图，OE⊥AB 于 E，若⊙O 的半径为 10 cm，OE = 6 cm，则 AB = cm.
·
O
A
B
E
解析：连接 OA.
∴ AB = 2AE = 16 (cm).
16
∵ OE⊥AB，
典例精析
想一想：下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什么？
是
不是，因为没有垂直.
是
不是，因为 AB，CD 都不是直径.
O
A
B
C
A
B
O
E
A
B
D
C
O
E
A
B
O
C
D
E
一条直线：
⑤平分弦所对的劣弧
①过圆心
②垂直于弦
③平分弦
④平分弦所对的优弧
思考探索
上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论吗？
垂径定理
A
B
O
C
D
M
探究二 如图，AB 是⊙O 的弦（不是直径），作一条平分 AB 的直径 CD，交 AB 于点 M ．
A
B
O
C
D
M
(1) 这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？
(2) 你能发现图中有哪些等量关系？说一说你的理由.
A
B
O
C
D
M
解：(1) 连接 AO、BO，则 AO = BO.
又∵ AM = BM，
∴∠AMO =∠BMO = 90°.
∴ CD⊥AB.
∴△AOM≌△BOM(SSS).
证明举例
由垂径定理可得
归纳总结
垂径定理的逆定理
平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧.
·
O
A
B
C
D
“不是直径”这个条件能去掉吗？
如果不能，请举出反例.
圆的两条直径是互相平分的.
特别说明：
垂径定理的本质是：
满足其中任两条，必定同时满足另三条
（1）一条直线过圆心
（2）这条直线垂直于弦
（3）这条直线平分不是直径的弦
（4）这条直线平分不是直径的弦所
对的优弧
（5）这条直线平分不是直径的弦所
对的劣弧
知二推三
A
B
C
D
O
h
r
d
赵州桥中，弦长 a，弦心距 d，弓形高 h，半径 r 之间有以下关系：
指圆心 O 到弦的距离
d + h = r
数量关系
总结
垂径定理往往转化成应用勾股定理解直角三角形
回顾导入
解得 R ≈ 27.3.
即赵州桥主桥拱的半径约为 27.3 m.
∴ R2 = (R - 7.23)2 + 18.52，
解：如图，过桥拱所在圆的圆心 O 作 AB 的垂线，交 于点 C，交弦 AB 于点 D，则 CD = 7.23.
由垂径定理，得 AD = AB = 18.5 ，
设⊙O 的半径为 R m.
在 Rt△AOD 中，AO = R，
OD = R - 7.23，AD = 18.5.
由勾股定理，得
例2 如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中弧 CD，点 O 是弧 CD 的圆心)，其中 CD=600 m，E 为弧 CD 上的一点，且 OE⊥CD，垂足为 F，EF = 90 m.求这段弯路的半径.
解:连接 OC.
●
O
C
D
E
F
┗
设这段弯路的半径为 R m,则 OF=(R-90)m.
根据勾股定理，得
解得 R = 545.
∴这段弯路的半径约为 545 m.
1. 如图 a、b，一弓形弦长为 　 cm，弓形所在的圆的半径为 7 cm，则弓形的高为＿_＿＿____cm.
C
图 b
D
C
B
O
A
D
O
A
B
图 a
2 或 12
指弦中点到弦所对的弧中点的距离
练一练
1. 已知⊙O 中，弦 AB = 8 cm，圆心到 AB 的距离为
3 cm，则此圆的半径为 cm.
5
2.（分类讨论题）已知⊙O 的半径为 10 cm，
弦 MN ∥EF，且 MN = 12 cm，EF = 16 cm，则弦 MN 和 EF 之间的距离为 cm.
14 或 2
3.(朝阳区期末) 圆管涵是公路路基排水中常用的涵洞结构类型，它不仅力学性能好，且构造简单、施工方便.某水平放置的圆管涵圆柱形排水管道的截面是直径为 1 m 的圆，如图所示，若水面宽 AB = 0.8 m，求水的最大深度.
A
B
0.8
解：如图，作 OC⊥AB 于点 C，连接 OA，
∴∠ACO = 90°， AC = AB.
A
B
0.8
∴ 水深的最大深度为 0.8 m.
∴ 0.3 + 0.5 = 0.8 (m).
在 Rt△AOC 中，根据勾股定理，得
∵ 直径为 1 m，∴ OA = 0.5 m.
∵ AB = 0.8 m，
∴ AC = 0.4 m.
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C
1.
如图，AB是⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB于点E，则下列结论中不一定成立的是(　　)
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2.
B
[2024长沙中考]如图，在⊙O中，弦AB的长为8，圆心O到AB的距离OE为4，则⊙O的半径OA的长为(　　)
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3.
D
如图，已知⊙O的半径为5，弦PQ＝6，R是弦PQ上任意一点，则线段OR的长可能是(　　)
A．1
B．2
C．3
D．4
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4.
D
唐代李皋发明了“桨轮船”，这种船是原始形态的轮船，是近代明轮航行模式之先导．如图，某桨轮船的轮子被水面截得的弦AB长8 m，轮子的吃水深度CD为2 m，则该浆轮船的轮子的半径为(　　)
A．10 m B．8 m
C．6 m D．5 m
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5.
[教材P103“复习题”第2题变式]如图，AB是⊙O的弦，当半径OA＝4，∠AOB＝120°时，弦AB的长为________.
返回
6.
(4分)[教材P76“习题3.3”第2题变式]如图，已知AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB⊥CD于点E，若AB＝26，CD＝24，求∠OCE的正弦值.
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7.
B
如图，点A，B，C在⊙O上，AC，OB交于点D．
若AD＝CD＝3，OD＝4，则BD的长为(　　)
A．4
B．1
C．3
D．2
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8.
A
如图，AB是⊙O的直径，∠BAC＝42°，D是弦AC的中点，则∠DOC的度数是(　　)
A．48°
B．45°
C．42°
D．36°
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9.
D
下列说法正确的是(　　)
A．过弦的中点的直径平分弦所对的两条弧
B．弦的垂直平分线平分它所对的两条弧，但不一定过圆心
C．过弦的中点的直径垂直于弦
D．平分弦所对的两条弧的直径平分弦
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10.
1.3 m
如图，圆形拱门最下端AB在地面上，D为AB的中点，C为拱门最高点，线段CD经过拱门所在圆的圆心O，若AB＝1 m，CD＝2.5 m，则拱门所在圆的半径为__________.
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11.
A
返回
12.
D
[教材P77“习题3.3”第3题变式]如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D，
AB＝10 cm，CD＝6 cm，则AC的长为(　　)
A．0.5 cm
B．1 cm
C．1.5 cm
D．2 cm
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13.
如图，点M(0，－3)，N(0，－9)，半径为5的⊙A(点A在第三象限)经过点M，N，则点A的坐标为(　　)
A．(－5，－6)　
B．(4，－6)
C．(－6，－4)　
D．(－4，－6)
D
垂径定理
内容
推论
辅助线
一条直线满足:①过圆心;②垂直于弦; ③平分弦（不是直径）; ④平分弦所对的优弧;⑤平分弦所对的劣弧.满足其中两个条件就可以推出其它三个结论（“知二推三”）
垂直于弦的直径平分这条弦,
并且平分弦所对的弧.
两条辅助线：连半径，作弦心距
构造 Rt△ 利用勾股定理计算或建立方程.
基本图形及变式图形
圆心到弦的距离
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
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