3.4.1 圆周角和圆心角的关系 课件(共36张PPT)-2025-2026学年北师大版数学九年级下册教学课件
文档属性
| 名称 | 3.4.1 圆周角和圆心角的关系 课件(共36张PPT)-2025-2026学年北师大版数学九年级下册教学课件 |
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| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 8.7MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-11-18 07:26:36 | ||
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文档简介
(共36张PPT)
第 1 页：封面页
标题：3.4.1 圆周角和圆心角的关系
副标题：北师大版九年级数学下册
配图：左侧为同弧所对的圆心角与圆周角示意图（标注∠AOB 为圆心角，∠ACB 为圆周角，弧 AB 为公共弧），右侧为生活中的圆周角场景（如自行车轮辐条形成的角）
落款：授课教师 / 日期
第 2 页：学习目标
知识目标：理解圆周角与圆心角的定义，掌握圆周角定理（同弧所对的圆周角等于圆心角的一半）及推论，明确两类角的区别与联系。
能力目标：能在圆的图形中识别圆周角与圆心角，通过定理证明培养逻辑推理能力，运用定理解决 “角度计算”“弧相等判定” 等问题，提升几何分析能力。
素养目标：体会 “从特殊到一般” 的定理推导思想，感受几何图形中角与弧的对应关系，培养严谨的数学思维与数形结合意识。
第 3 页：情境导入 认识圆周角与圆心角
复习旧知：
圆心角：顶点在圆心，两边与圆相交的角（如⊙O 中，∠AOB 的顶点 O 在圆心，OA、OB 为半径，∠AOB 为圆心角，它所对的弧为⌒AB）。
圆心角性质：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。
生活观察（配图）：
站在圆形广场边缘 A、B 两点，观察中心雕塑 O，形成的∠AOB 是圆心角；
站在广场边缘 C 点，观察 A、B 两点，形成的∠ACB，顶点 C 在圆上，两边 CA、CB 与圆相交，这类角是什么角？
引出概念：像∠ACB 这样，顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角，叫做圆周角。
第 4 页：核心概念 圆周角与圆心角的定义
1. 定义对比（结合图示）
角的类型
顶点位置
两边特征
示例（⊙O 中）
圆心角
圆心
两边均为半径（与圆相交）
∠AOB（顶点 O 在圆心，OA、OB 为半径）
圆周角
圆上
两边均与圆相交（不一定是半径）
∠ACB（顶点 C 在圆上，CA、CB 与圆交于 A、B）
2. 概念辨析（判断下列角是否为圆周角）
图 1：顶点在圆上，一边与圆相交，另一边在圆内→不是（两边需均与圆相交）；
图 2：顶点在圆内，两边与圆相交→不是（顶点需在圆上）；
图 3：顶点在圆上，两边均与圆相交→是（符合圆周角定义）；
图 4：顶点在圆上，一边为半径，另一边与圆相交→是（两边均与圆相交，满足定义）。
3. 关键提醒
圆周角的 “顶点在圆上” 和 “两边与圆相交” 两个条件缺一不可；
圆心角是圆周角的特殊情况吗？不是，两者顶点位置不同，圆心角顶点在圆心，圆周角在圆上。
第 5 页：探究活动 圆周角与圆心角的数量关系
1. 猜想提出（特殊情况）
情境 1：圆周角的一边经过圆心（如图，⊙O 中，∠ACB 为圆周角，OC 为半径，CB 为弦，∠AOB 为圆心角，均对⌒AB）。
分析：OA=OC（半径），故△AOC 为等腰三角形，∠OAC=∠OCA；
∠AOB 是△AOC 的外角，故∠AOB=∠OAC+∠OCA=2∠OCA，即∠ACB=1/2∠AOB。
猜想：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
2. 定理证明（分三种情况）
情况 1：圆心在圆周角的一边上（如上情境 1），已证∠ACB=1/2∠AOB；
情况 2：圆心在圆周角的内部（如图，⊙O 中，∠ACB 为圆周角，圆心 O 在∠ACB 内部，连接 CO 并延长交⊙O 于 D）：
由情况 1 得：∠ACD=1/2∠AOD，∠BCD=1/2∠BOD；
故∠ACB=∠ACD+∠BCD=1/2 (∠AOD+∠BOD)=1/2∠AOB；
情况 3：圆心在圆周角的外部（如图，⊙O 中，∠ACB 为圆周角，圆心 O 在∠ACB 外部，连接 CO 并延长交⊙O 于 D）：
由情况 1 得：∠ACD=1/2∠AOD，∠BCD=1/2∠BOD；
故∠ACB=∠ACD-∠BCD=1/2 (∠AOD-∠BOD)=1/2∠AOB；
3. 圆周角定理
同弧或等弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
符号语言：在⊙O 中，若∠ACB 是圆周角，∠AOB 是圆心角，且两者都对⌒AB，则∠ACB=1/2∠AOB。
延伸：同弧或等弧所对的圆周角相等（因它们都等于同圆心角的一半）。
第 6 页：定理推论 拓展应用
1. 推论 1（直径所对的圆周角）
直径所对的圆周角是直角。
推导：直径所对的圆心角为 180°（平角），故圆周角 = 1/2×180°=90°；
符号语言：在⊙O 中，AB 为直径，∠ACB 为圆周角（对⌒AB），则∠ACB=90°；
逆用：90° 的圆周角所对的弦是直径（若圆周角为 90°，则它所对的圆心角为 180°，弦为直径）。
2. 推论 2（同圆或等圆中）
若两个圆周角相等，则它们所对的弧相等；
若两个圆周角所对的弦相等，则它们所对的弧相等（需结合圆的对称性）。
第 7 页：典例精讲 定理应用（角度计算）
例题 1：基础计算
如图，⊙O 中，⌒AB 所对的圆心角∠AOB=100°，求⌒AB 所对的圆周角∠ACB 的度数。
解答：由圆周角定理，∠ACB=1/2∠AOB=1/2×100°=50°。
思路提炼：直接应用 “同弧所对的圆周角 = 圆心角的一半”，明确角所对的弧是关键。
例题 2：结合直径的计算
如图，AB 是⊙O 的直径，C、D 是⊙O 上的点，∠ACD=30°，求∠BAD 的度数。
解答步骤：
∵ AB 是直径，∴ ∠ADB=90°（直径所对的圆周角是直角）；
∠ACD 与∠ABD 所对的弧均为⌒AD，故∠ACD=∠ABD=30°（同弧所对的圆周角相等）；
在 Rt△ABD 中，∠BAD=90°-∠ABD=90°-30°=60°。
思路提炼：先利用直径得直角，再通过 “同弧圆周角相等” 转化角度，结合直角三角形内角和求解。
第 8 页：典例精讲 定理应用（证明与实际场景）
例题 3：证明弧相等
如图，在⊙O 中，AB=AC，求证：⌒AB=⌒AC。
解答步骤：
连接 OB、OC（半径），则 OB=OC（同圆半径相等）；
∵ AB=AC，OA=OA，∴ △OAB≌△OAC（SSS）；
∴ ∠AOB=∠AOC（全等三角形对应角相等）；
或用圆周角：取圆上一点 D，连接 AD、BD、CD，∵ AB=AC，∴ ∠ADB=∠ADC（同弦所对的圆周角相等），故⌒AB=⌒AC。
思路提炼：证明弧相等可转化为证明所对的圆心角或圆周角相等，结合全等或等腰三角形性质。
例题 4：实际场景（测直径）
如图，用测角仪在点 C 测得圆形工件上 A、B 两点的夹角∠ACB=90°，若 AC=6cm，BC=8cm，求圆形工件的直径 AB 的长。
解答：
∵ ∠ACB=90°，且 A、B、C 在圆上，∴ AB 是圆的直径（90° 圆周角所对的弦是直径）；
在 Rt△ABC 中，AB=√(AC +BC )=√(6 +8 )=10cm。
思路提炼：利用 “90° 圆周角对直径” 的逆用，将实际测角问题转化为直角三角形计算。
第 9 页：易错警示与避坑指南
常见易错点：
混淆 “所对的弧”：误将不同弧所对的圆周角与圆心角套用定理（如∠ACB 对⌒AB，∠AOB 对⌒AB，才能用定理）；
忽略 “同圆或等圆” 条件：在不同圆中，即使圆心角相等，圆周角也不一定相等（因半径不同，弧长不同）；
逆用推论错误：误将 “直径所对的角是直角” 记为 “直角所对的弦是直径”，需强调 “直角是圆周角”。
避坑技巧：
解题时先标注角所对的弧，确保圆周角与圆心角对应同一条弧；
遇到直径相关问题，优先联想到 “90° 圆周角”，遇到 90° 圆周角，优先联想到 “直径”；
不同圆中比较角的大小，需先判断是否为同弧或等弧。
第 10 页：课堂练习 分层巩固
基础题：
（1）⊙O 中，圆心角∠AOB=120°，则⌒AB 所对的圆周角为______°。（答案：60）
（2）如图，AB 是⊙O 的直径，∠CAB=30°，则∠ABC=______°。（答案：60）
中档题：
如图，⊙O 中，⌒AB=⌒CD，∠AOB=50°，求∠COD 和∠CED 的度数（E 为圆上一点）。（答案：∠COD=50°，∠CED=25°）
提升题：
如图，四边形 ABCD 内接于⊙O，∠A=100°，求∠C 的度数（提示：圆内接四边形对角互补，结合圆周角定理，答案：80°）。
第 11 页：课堂小结与作业布置
小结：
核心定理：同弧或等弧所对的圆周角 = 圆心角的一半，本质是 “角与弧的对应关系”；
关键推论：直径对直角，直角对直径；同圆中，等圆周角对等弧；
应用技巧：计算时找 “同弧的圆心角与圆周角”，证明时转化 “弧相等→角相等” 或 “角相等→弧相等”。
作业：
基础作业：教材习题 3.4 第 1、2、3 题（角度计算与证明）；
拓展作业：如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是弦，∠BCD=30°，若 AB=10，求 CD 的长（答案：5）；
实践作业：观察生活中的圆形物体（如井盖、圆桌），尝试用 “直径对直角” 的原理测量其直径。
2025-2026学年北师大版数学九年级下册【示范课精品课件】
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
3.4.1 圆周角和圆心角的关系
第三章 圆
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
问题1 什么叫圆心角？指出图中的圆心角.
顶点在圆心，角的两边与圆相交的角叫圆心角， 如∠BOC.
A
在射门过程中，球员射中球门的难易与它所处的位置 B 对球门 AC 的张角（ ∠ABC ）有关.
问题2 图中的三个张角∠ABC、∠ADC 和∠AEC 的顶点各在圆的什么位置？它们的两边和圆是什么关系？
顶点在☉O上，角的两边分别与 ☉O 相交.
A
B
D
E
C
O
圆周角的定义
1
（两个条件必须同时具备，缺一不可）
总结
顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.
例如：∠ACB.
A
B
O
C
·
C
O
A
B
·
C
O
B
·
C
O
B
A
A
·
C
O
A
B
·
C
O
B
·
C
O
B
A
A
1.下列各图中的∠BAC是否为圆周角？简述理由.
顶点 A 不在圆上
顶点 A 不在圆上
边 AC 没有和圆相交
√
√
√
做一做
2
圆周角定理及其推论
当球员在 B，D，E 处射门时，他所处的位置对球门 AC 分别形成三个张角∠ABC，∠ADC，∠AEC . 这三个角的大小有什么关系？
A
B
D
E
C
O
如图，∠AOB = 80°.
（1）请你画出几个 所
对的圆周角，这几个圆周角有
什么关系？与同伴进行交流.
提示：思考圆周角和圆心角有几种不同的位置关系？
做一做
A
B
O
C
A
B
O
C
A
B
O
C
A
B
O
圆心 O 在∠C 的内部
圆心 O 在∠C 的一边上
圆心 O 在∠C 的外部
(2) 这些圆周角与圆心角∠AOB 的大小有什么关系
猜想：
∠ACB＝ ∠AOB＝40°
改变圆心角∠AOB 的度数，上述结论还成立吗？
议一议
C
A
B
O
C
A
B
O
C
A
B
O
圆心 O 在∠C 的内部
圆心 O 在∠C 的一边上
圆心 O 在∠C 的外部
∠ACB＝ ∠AOB
证明：(1) 圆心 O 在∠C 的一条边上，如图.
情况一：圆心 O 在∠C 的一边上 (特殊情形)
已知：如图，∠C 是 所对的圆周角，∠AOB 是 所对的圆心角.
求证：
C
A
B
O
∴ ∠AOB = 2∠C，
∵ OA = OC，∴ ∠A =∠C.
∵ ∠AOB 是△AOC 的外角，
∴ ∠AOB = ∠A +∠C.
C
A
B
O
C
A
B
O
圆心 O 在∠C 的内部
圆心 O 在∠C 的外部
试一试：你能完成另两种情况的证明吗？
合作探究
已知：如图，∠C 是 所对的圆周角，∠AOB 是 所对的圆心角.
求证：
情况二：圆心 O 在∠C 的内部
提示：能否转化为前一种已证明的情况
D
过点 C 作直径 CD. 由已证可得：
C
A
B
O
情况三：圆心 O 在∠C 的外部
提示：能否也转化为第一种已证明的情况
D
过点 C 作直径 CD. 由已证可得:
已知：如图，∠C 是 所对的圆周角，∠AOB 是 所对的圆心角.
求证：
C
A
B
O
圆周角定理：
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
归纳总结
C
A
B
O
C
A
B
O
C
A
B
O
∠ACB＝ ∠AOB
在上面的射门游戏中，当球员在 B，D，E 处射门时，所形成三个张角∠ABC，∠ADC，∠AEC 的大小有什么关系？你能用圆周角定理证明你的结论吗？
●
O
所以 ∠ABC = ∠ADC = ∠AEC .
根据圆周角定理，
想一想
归纳总结
●
O
推论：
同弧所对的圆周角相等.
1. 如图，点 A、B、C、D 在☉O 上，点 A 与点 D 在点 B、C 所在直线的同侧，∠BAC = 35°.
(1) ∠BOC = °，理由
是 ;
(2) ∠BDC= °，理由是 .
70
35
同弧所对的圆周角相等
一条弧所对的圆周角等于该弧所对的圆心角的一半
练一练
例1 如图，OA、OB、OC 都是 ⊙O 的半径，
∠AOB = 50°， ∠BOC = 70°.求∠ACB 和 ∠BAC 度数.
B
C
O
.
70°
A
∴∠ACB = ∠AOB = 25°.
同理∠BAC = ∠BOC = 35°.
解：∵圆心角∠AOB 与圆周角∠ACB
所对的弧为 ，
典例精析
1. 判断
（1）同一个圆中等弧所对的圆周角相等 （ ）
（2）相等的弦所对的圆周角也相等 （ ）
（3）同弦所对的圆周角相等 （ ）
√
×
×
2. 已知 △ABC 的三个顶点在 ⊙O 上，∠BAC = 50°，∠ABC = 47°， 则 ∠AOB = ．
B
A
C
O
166°
3. 如图，已知圆心角∠AOB = 100°，则圆周角∠ADB = .
D
A
O
C
B
50°
4.如图，△ABC 的顶点 A、B、C都在 ⊙O 上，∠C＝30°，AB＝2，则 ⊙O 的半径是 .
C
A
B
O
解：连接 OA、OB.
∵∠C = 30° ，
∴∠AOB = 60°
又∵OA = OB ，
∴△AOB 是等边三角形.
∴OA = OB = AB = 2，即半径为 2.
2
返回
C
1.
下图中，∠α为圆周角的是( )
返回
2.
∠BAC
∠D和∠C
返回
3.
B
[2025重庆中考]如图，点A，B，C在⊙O上，∠AOB＝100°，∠C的度数是( )
A．40°
B．50°
C．80°
D．100°
返回
4.
B
如图，AB是⊙O的直径，位于AB两侧的点C，D均在⊙O上，∠BOC＝30°，则∠ADC的度数为( )
A．60°
B．75°
C．80°
D．90°
返回
5.
C
[教材P104“复习题”第5题变式]如图，点A，B，C在⊙O上，AO∥BC，∠AOB＝52°，则∠OAC的度数为( )
A．52°
B．45°
C．26°
D．20°
返回
6.
B
如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB交⊙O于点C，点D是⊙O上一点，连接BD，CD．若∠D＝28°，则∠OAB的度数为( )
A．28° B．34°
C．56° D．62°
返回
7.
5
如图，⊙O的直径是10，点A，B，C在⊙O上，∠A＝30°，则BC＝________.
返回
8.
D
[教材P80“随堂练习”第2题变式]如图，A，B，C，D是⊙O上的点，则图中与∠A相等的角是( )
A．∠B
B．∠C
C．∠DEB
D．∠D
返回
9.
28°
返回
10.
55
[2024北京中考]如图，⊙O的直径AB平分弦CD(不是直径)．若∠D＝35°，则∠C＝________°.
11.
(4分)如图，点A，B，C，D在⊙O上，CB＝CD，∠CAD＝30°，∠ACD＝47°，求∠ADB的度数.
返回
圆心角
类比
圆周角
圆周角定义
圆周角定理
圆周角定理的推论1
圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半.
同弧或等弧所对的圆周角相等.
1.顶点在圆上；2.两边都与圆相交的角.
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！
第 1 页：封面页
标题：3.4.1 圆周角和圆心角的关系
副标题：北师大版九年级数学下册
配图：左侧为同弧所对的圆心角与圆周角示意图（标注∠AOB 为圆心角，∠ACB 为圆周角，弧 AB 为公共弧），右侧为生活中的圆周角场景（如自行车轮辐条形成的角）
落款：授课教师 / 日期
第 2 页：学习目标
知识目标：理解圆周角与圆心角的定义，掌握圆周角定理（同弧所对的圆周角等于圆心角的一半）及推论，明确两类角的区别与联系。
能力目标：能在圆的图形中识别圆周角与圆心角，通过定理证明培养逻辑推理能力，运用定理解决 “角度计算”“弧相等判定” 等问题，提升几何分析能力。
素养目标：体会 “从特殊到一般” 的定理推导思想，感受几何图形中角与弧的对应关系，培养严谨的数学思维与数形结合意识。
第 3 页：情境导入 认识圆周角与圆心角
复习旧知：
圆心角：顶点在圆心，两边与圆相交的角（如⊙O 中，∠AOB 的顶点 O 在圆心，OA、OB 为半径，∠AOB 为圆心角，它所对的弧为⌒AB）。
圆心角性质：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。
生活观察（配图）：
站在圆形广场边缘 A、B 两点，观察中心雕塑 O，形成的∠AOB 是圆心角；
站在广场边缘 C 点，观察 A、B 两点，形成的∠ACB，顶点 C 在圆上，两边 CA、CB 与圆相交，这类角是什么角？
引出概念：像∠ACB 这样，顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角，叫做圆周角。
第 4 页：核心概念 圆周角与圆心角的定义
1. 定义对比（结合图示）
角的类型
顶点位置
两边特征
示例（⊙O 中）
圆心角
圆心
两边均为半径（与圆相交）
∠AOB（顶点 O 在圆心，OA、OB 为半径）
圆周角
圆上
两边均与圆相交（不一定是半径）
∠ACB（顶点 C 在圆上，CA、CB 与圆交于 A、B）
2. 概念辨析（判断下列角是否为圆周角）
图 1：顶点在圆上，一边与圆相交，另一边在圆内→不是（两边需均与圆相交）；
图 2：顶点在圆内，两边与圆相交→不是（顶点需在圆上）；
图 3：顶点在圆上，两边均与圆相交→是（符合圆周角定义）；
图 4：顶点在圆上，一边为半径，另一边与圆相交→是（两边均与圆相交，满足定义）。
3. 关键提醒
圆周角的 “顶点在圆上” 和 “两边与圆相交” 两个条件缺一不可；
圆心角是圆周角的特殊情况吗？不是，两者顶点位置不同，圆心角顶点在圆心，圆周角在圆上。
第 5 页：探究活动 圆周角与圆心角的数量关系
1. 猜想提出（特殊情况）
情境 1：圆周角的一边经过圆心（如图，⊙O 中，∠ACB 为圆周角，OC 为半径，CB 为弦，∠AOB 为圆心角，均对⌒AB）。
分析：OA=OC（半径），故△AOC 为等腰三角形，∠OAC=∠OCA；
∠AOB 是△AOC 的外角，故∠AOB=∠OAC+∠OCA=2∠OCA，即∠ACB=1/2∠AOB。
猜想：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
2. 定理证明（分三种情况）
情况 1：圆心在圆周角的一边上（如上情境 1），已证∠ACB=1/2∠AOB；
情况 2：圆心在圆周角的内部（如图，⊙O 中，∠ACB 为圆周角，圆心 O 在∠ACB 内部，连接 CO 并延长交⊙O 于 D）：
由情况 1 得：∠ACD=1/2∠AOD，∠BCD=1/2∠BOD；
故∠ACB=∠ACD+∠BCD=1/2 (∠AOD+∠BOD)=1/2∠AOB；
情况 3：圆心在圆周角的外部（如图，⊙O 中，∠ACB 为圆周角，圆心 O 在∠ACB 外部，连接 CO 并延长交⊙O 于 D）：
由情况 1 得：∠ACD=1/2∠AOD，∠BCD=1/2∠BOD；
故∠ACB=∠ACD-∠BCD=1/2 (∠AOD-∠BOD)=1/2∠AOB；
3. 圆周角定理
同弧或等弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
符号语言：在⊙O 中，若∠ACB 是圆周角，∠AOB 是圆心角，且两者都对⌒AB，则∠ACB=1/2∠AOB。
延伸：同弧或等弧所对的圆周角相等（因它们都等于同圆心角的一半）。
第 6 页：定理推论 拓展应用
1. 推论 1（直径所对的圆周角）
直径所对的圆周角是直角。
推导：直径所对的圆心角为 180°（平角），故圆周角 = 1/2×180°=90°；
符号语言：在⊙O 中，AB 为直径，∠ACB 为圆周角（对⌒AB），则∠ACB=90°；
逆用：90° 的圆周角所对的弦是直径（若圆周角为 90°，则它所对的圆心角为 180°，弦为直径）。
2. 推论 2（同圆或等圆中）
若两个圆周角相等，则它们所对的弧相等；
若两个圆周角所对的弦相等，则它们所对的弧相等（需结合圆的对称性）。
第 7 页：典例精讲 定理应用（角度计算）
例题 1：基础计算
如图，⊙O 中，⌒AB 所对的圆心角∠AOB=100°，求⌒AB 所对的圆周角∠ACB 的度数。
解答：由圆周角定理，∠ACB=1/2∠AOB=1/2×100°=50°。
思路提炼：直接应用 “同弧所对的圆周角 = 圆心角的一半”，明确角所对的弧是关键。
例题 2：结合直径的计算
如图，AB 是⊙O 的直径，C、D 是⊙O 上的点，∠ACD=30°，求∠BAD 的度数。
解答步骤：
∵ AB 是直径，∴ ∠ADB=90°（直径所对的圆周角是直角）；
∠ACD 与∠ABD 所对的弧均为⌒AD，故∠ACD=∠ABD=30°（同弧所对的圆周角相等）；
在 Rt△ABD 中，∠BAD=90°-∠ABD=90°-30°=60°。
思路提炼：先利用直径得直角，再通过 “同弧圆周角相等” 转化角度，结合直角三角形内角和求解。
第 8 页：典例精讲 定理应用（证明与实际场景）
例题 3：证明弧相等
如图，在⊙O 中，AB=AC，求证：⌒AB=⌒AC。
解答步骤：
连接 OB、OC（半径），则 OB=OC（同圆半径相等）；
∵ AB=AC，OA=OA，∴ △OAB≌△OAC（SSS）；
∴ ∠AOB=∠AOC（全等三角形对应角相等）；
或用圆周角：取圆上一点 D，连接 AD、BD、CD，∵ AB=AC，∴ ∠ADB=∠ADC（同弦所对的圆周角相等），故⌒AB=⌒AC。
思路提炼：证明弧相等可转化为证明所对的圆心角或圆周角相等，结合全等或等腰三角形性质。
例题 4：实际场景（测直径）
如图，用测角仪在点 C 测得圆形工件上 A、B 两点的夹角∠ACB=90°，若 AC=6cm，BC=8cm，求圆形工件的直径 AB 的长。
解答：
∵ ∠ACB=90°，且 A、B、C 在圆上，∴ AB 是圆的直径（90° 圆周角所对的弦是直径）；
在 Rt△ABC 中，AB=√(AC +BC )=√(6 +8 )=10cm。
思路提炼：利用 “90° 圆周角对直径” 的逆用，将实际测角问题转化为直角三角形计算。
第 9 页：易错警示与避坑指南
常见易错点：
混淆 “所对的弧”：误将不同弧所对的圆周角与圆心角套用定理（如∠ACB 对⌒AB，∠AOB 对⌒AB，才能用定理）；
忽略 “同圆或等圆” 条件：在不同圆中，即使圆心角相等，圆周角也不一定相等（因半径不同，弧长不同）；
逆用推论错误：误将 “直径所对的角是直角” 记为 “直角所对的弦是直径”，需强调 “直角是圆周角”。
避坑技巧：
解题时先标注角所对的弧，确保圆周角与圆心角对应同一条弧；
遇到直径相关问题，优先联想到 “90° 圆周角”，遇到 90° 圆周角，优先联想到 “直径”；
不同圆中比较角的大小，需先判断是否为同弧或等弧。
第 10 页：课堂练习 分层巩固
基础题：
（1）⊙O 中，圆心角∠AOB=120°，则⌒AB 所对的圆周角为______°。（答案：60）
（2）如图，AB 是⊙O 的直径，∠CAB=30°，则∠ABC=______°。（答案：60）
中档题：
如图，⊙O 中，⌒AB=⌒CD，∠AOB=50°，求∠COD 和∠CED 的度数（E 为圆上一点）。（答案：∠COD=50°，∠CED=25°）
提升题：
如图，四边形 ABCD 内接于⊙O，∠A=100°，求∠C 的度数（提示：圆内接四边形对角互补，结合圆周角定理，答案：80°）。
第 11 页：课堂小结与作业布置
小结：
核心定理：同弧或等弧所对的圆周角 = 圆心角的一半，本质是 “角与弧的对应关系”；
关键推论：直径对直角，直角对直径；同圆中，等圆周角对等弧；
应用技巧：计算时找 “同弧的圆心角与圆周角”，证明时转化 “弧相等→角相等” 或 “角相等→弧相等”。
作业：
基础作业：教材习题 3.4 第 1、2、3 题（角度计算与证明）；
拓展作业：如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是弦，∠BCD=30°，若 AB=10，求 CD 的长（答案：5）；
实践作业：观察生活中的圆形物体（如井盖、圆桌），尝试用 “直径对直角” 的原理测量其直径。
2025-2026学年北师大版数学九年级下册【示范课精品课件】
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
3.4.1 圆周角和圆心角的关系
第三章 圆
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
问题1 什么叫圆心角？指出图中的圆心角.
顶点在圆心，角的两边与圆相交的角叫圆心角， 如∠BOC.
A
在射门过程中，球员射中球门的难易与它所处的位置 B 对球门 AC 的张角（ ∠ABC ）有关.
问题2 图中的三个张角∠ABC、∠ADC 和∠AEC 的顶点各在圆的什么位置？它们的两边和圆是什么关系？
顶点在☉O上，角的两边分别与 ☉O 相交.
A
B
D
E
C
O
圆周角的定义
1
（两个条件必须同时具备，缺一不可）
总结
顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.
例如：∠ACB.
A
B
O
C
·
C
O
A
B
·
C
O
B
·
C
O
B
A
A
·
C
O
A
B
·
C
O
B
·
C
O
B
A
A
1.下列各图中的∠BAC是否为圆周角？简述理由.
顶点 A 不在圆上
顶点 A 不在圆上
边 AC 没有和圆相交
√
√
√
做一做
2
圆周角定理及其推论
当球员在 B，D，E 处射门时，他所处的位置对球门 AC 分别形成三个张角∠ABC，∠ADC，∠AEC . 这三个角的大小有什么关系？
A
B
D
E
C
O
如图，∠AOB = 80°.
（1）请你画出几个 所
对的圆周角，这几个圆周角有
什么关系？与同伴进行交流.
提示：思考圆周角和圆心角有几种不同的位置关系？
做一做
A
B
O
C
A
B
O
C
A
B
O
C
A
B
O
圆心 O 在∠C 的内部
圆心 O 在∠C 的一边上
圆心 O 在∠C 的外部
(2) 这些圆周角与圆心角∠AOB 的大小有什么关系
猜想：
∠ACB＝ ∠AOB＝40°
改变圆心角∠AOB 的度数，上述结论还成立吗？
议一议
C
A
B
O
C
A
B
O
C
A
B
O
圆心 O 在∠C 的内部
圆心 O 在∠C 的一边上
圆心 O 在∠C 的外部
∠ACB＝ ∠AOB
证明：(1) 圆心 O 在∠C 的一条边上，如图.
情况一：圆心 O 在∠C 的一边上 (特殊情形)
已知：如图，∠C 是 所对的圆周角，∠AOB 是 所对的圆心角.
求证：
C
A
B
O
∴ ∠AOB = 2∠C，
∵ OA = OC，∴ ∠A =∠C.
∵ ∠AOB 是△AOC 的外角，
∴ ∠AOB = ∠A +∠C.
C
A
B
O
C
A
B
O
圆心 O 在∠C 的内部
圆心 O 在∠C 的外部
试一试：你能完成另两种情况的证明吗？
合作探究
已知：如图，∠C 是 所对的圆周角，∠AOB 是 所对的圆心角.
求证：
情况二：圆心 O 在∠C 的内部
提示：能否转化为前一种已证明的情况
D
过点 C 作直径 CD. 由已证可得：
C
A
B
O
情况三：圆心 O 在∠C 的外部
提示：能否也转化为第一种已证明的情况
D
过点 C 作直径 CD. 由已证可得:
已知：如图，∠C 是 所对的圆周角，∠AOB 是 所对的圆心角.
求证：
C
A
B
O
圆周角定理：
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
归纳总结
C
A
B
O
C
A
B
O
C
A
B
O
∠ACB＝ ∠AOB
在上面的射门游戏中，当球员在 B，D，E 处射门时，所形成三个张角∠ABC，∠ADC，∠AEC 的大小有什么关系？你能用圆周角定理证明你的结论吗？
●
O
所以 ∠ABC = ∠ADC = ∠AEC .
根据圆周角定理，
想一想
归纳总结
●
O
推论：
同弧所对的圆周角相等.
1. 如图，点 A、B、C、D 在☉O 上，点 A 与点 D 在点 B、C 所在直线的同侧，∠BAC = 35°.
(1) ∠BOC = °，理由
是 ;
(2) ∠BDC= °，理由是 .
70
35
同弧所对的圆周角相等
一条弧所对的圆周角等于该弧所对的圆心角的一半
练一练
例1 如图，OA、OB、OC 都是 ⊙O 的半径，
∠AOB = 50°， ∠BOC = 70°.求∠ACB 和 ∠BAC 度数.
B
C
O
.
70°
A
∴∠ACB = ∠AOB = 25°.
同理∠BAC = ∠BOC = 35°.
解：∵圆心角∠AOB 与圆周角∠ACB
所对的弧为 ，
典例精析
1. 判断
（1）同一个圆中等弧所对的圆周角相等 （ ）
（2）相等的弦所对的圆周角也相等 （ ）
（3）同弦所对的圆周角相等 （ ）
√
×
×
2. 已知 △ABC 的三个顶点在 ⊙O 上，∠BAC = 50°，∠ABC = 47°， 则 ∠AOB = ．
B
A
C
O
166°
3. 如图，已知圆心角∠AOB = 100°，则圆周角∠ADB = .
D
A
O
C
B
50°
4.如图，△ABC 的顶点 A、B、C都在 ⊙O 上，∠C＝30°，AB＝2，则 ⊙O 的半径是 .
C
A
B
O
解：连接 OA、OB.
∵∠C = 30° ，
∴∠AOB = 60°
又∵OA = OB ，
∴△AOB 是等边三角形.
∴OA = OB = AB = 2，即半径为 2.
2
返回
C
1.
下图中，∠α为圆周角的是( )
返回
2.
∠BAC
∠D和∠C
返回
3.
B
[2025重庆中考]如图，点A，B，C在⊙O上，∠AOB＝100°，∠C的度数是( )
A．40°
B．50°
C．80°
D．100°
返回
4.
B
如图，AB是⊙O的直径，位于AB两侧的点C，D均在⊙O上，∠BOC＝30°，则∠ADC的度数为( )
A．60°
B．75°
C．80°
D．90°
返回
5.
C
[教材P104“复习题”第5题变式]如图，点A，B，C在⊙O上，AO∥BC，∠AOB＝52°，则∠OAC的度数为( )
A．52°
B．45°
C．26°
D．20°
返回
6.
B
如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB交⊙O于点C，点D是⊙O上一点，连接BD，CD．若∠D＝28°，则∠OAB的度数为( )
A．28° B．34°
C．56° D．62°
返回
7.
5
如图，⊙O的直径是10，点A，B，C在⊙O上，∠A＝30°，则BC＝________.
返回
8.
D
[教材P80“随堂练习”第2题变式]如图，A，B，C，D是⊙O上的点，则图中与∠A相等的角是( )
A．∠B
B．∠C
C．∠DEB
D．∠D
返回
9.
28°
返回
10.
55
[2024北京中考]如图，⊙O的直径AB平分弦CD(不是直径)．若∠D＝35°，则∠C＝________°.
11.
(4分)如图，点A，B，C，D在⊙O上，CB＝CD，∠CAD＝30°，∠ACD＝47°，求∠ADB的度数.
返回
圆心角
类比
圆周角
圆周角定义
圆周角定理
圆周角定理的推论1
圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半.
同弧或等弧所对的圆周角相等.
1.顶点在圆上；2.两边都与圆相交的角.
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
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