3.4.2圆周角和直径的关系及圆内接四边形 课件(共34张PPT)-2025-2026学年北师大版数学九年级下册教学课件

(共34张PPT)
第 1 页：封面页
标题：3.4.2 圆周角和直径的关系及圆内接四边形
副标题：北师大版九年级数学下册
配图：左侧为 “直径与直角圆周角” 示意图（AB 为直径，∠ACB=90°），右侧为 “圆内接四边形” 示意图（ABCD 内接于⊙O，标注对角∠A 与∠C、∠B 与∠D）
落款：授课教师 / 日期
第 2 页：学习目标
知识目标：熟练掌握 “直径所对的圆周角是直角” 及其逆定理的应用，理解圆内接四边形的定义与 “对角互补” 性质，明确圆内接四边形与圆周角的关联。
能力目标：能运用 “直径与直角圆周角” 的关系解决几何证明与计算，通过圆内接四边形性质推导角的数量关系，提升逻辑推理与几何综合分析能力。
素养目标：体会 “特殊与一般”“转化与化归” 的数学思想，感受圆内接四边形在实际场景中的应用价值，培养严谨的数学思维与数形结合意识。
第 3 页：回顾衔接 直径与圆周角的核心关系
知识回顾：
上节课推论：直径所对的圆周角是直角（如图，AB 为⊙O 直径，C 为圆上一点，则∠ACB=90°）；
逆定理：90° 的圆周角所对的弦是直径（若∠ACB=90° 且 C 在⊙O 上，则 AB 为⊙O 直径）。
思考引入：
若用直角三角板的直角顶点在圆上，两直角边与圆相交，斜边是否一定为圆的直径？
四个顶点都在圆上的四边形（如圆形钟面上的四个刻度点组成的四边形），其内角有什么特殊关系？
第 4 页：模块一 直径与圆周角关系的深化应用
1. 逆定理的几何证明
例题 1：如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，求证：A、B、C 三点在以 AB 为直径的圆上（即 “直角三角形的三个顶点共圆，斜边为直径”）。
证明：
取 AB 的中点 O，连接 OC（直角三角形斜边中线等于斜边一半）；
∵ ∠ACB=90°，∴ OC=OA=OB=AB/2；
∴ 点 A、B、C 到点 O 的距离均等于 AB/2，故三点在以 O 为圆心、AB 为直径的圆上。
结论：所有直角三角形的三个顶点都共圆，且斜边为外接圆的直径（直角三角形的外接圆性质）。
2. 综合计算（结合勾股定理）
例题 2：如图，AB 是⊙O 的直径，C、D 为圆上两点，∠ACD=45°，AB=8，求 AD 的长。
解答步骤：
∵ AB 是直径，∴ ∠ADB=90°（直径所对圆周角为直角）；
∠ACD 与∠ABD 所对的弧均为⌒AD，故∠ACD=∠ABD=45°（同弧所对圆周角相等）；
△ADB 为等腰直角三角形，AD=AB/√2=8/√2=4√2。
思路提炼：遇直径优先构造直角，结合 “同弧圆周角相等” 转化角度，再用特殊三角形性质（如等腰直角三角形）或勾股定理计算边长。
第 5 页：模块二 圆内接四边形的定义与性质
1. 定义
圆内接四边形：四个顶点都在同一个圆上的四边形，这个圆叫做四边形的外接圆。
（示例：矩形、正方形的四个顶点共圆，外接圆以对角线为直径；等腰梯形的四个顶点也共圆）
反例：平行四边形（非矩形）的四个顶点不共圆（因对角相等但不互补，无法满足圆内接四边形性质）。
2. 性质探究（动手操作 + 推理）
操作：在⊙O 上取四个点 A、B、C、D，连接形成四边形 ABCD，测量∠A 与∠C、∠B 与∠D 的度数。
观察：∠A + ∠C≈180°，∠B + ∠D≈180°（对角之和为 180°）。
证明（圆内接四边形对角互补）：
连接 OA、OC（半径）；
∠A 是圆周角，所对的弧为⌒BCD，故∠A=1/2⌒BCD 的度数；
∠C 是圆周角，所对的弧为⌒BAD，故∠C=1/2⌒BAD 的度数；
∵ ⌒BCD + ⌒BAD=⊙O 的周长（360°），∴ ∠A + ∠C=1/2 (360°)=180°；
同理可证∠B + ∠D=180°。
性质总结：圆内接四边形的对角互补（即对角之和为 180°）。
3. 推论（外角性质）
圆内接四边形的一个外角等于它的内对角（如图，四边形 ABCD 内接于⊙O，∠DCE 是外角，则∠DCE=∠A）。
证明：
∠DCE + ∠BCD=180°（平角定义）；
∠A + ∠BCD=180°（圆内接四边形对角互补）；
∴ ∠DCE=∠A。
第 6 页：模块三 圆内接四边形性质的应用
1. 角度计算
例题 3：如图，四边形 ABCD 内接于⊙O，∠A=110°，∠B=80°，求∠C 和∠D 的度数。
解答：
由对角互补得：∠C=180°-∠A=180°-110°=70°；
∠D=180°-∠B=180°-80°=100°。
2. 几何证明
例题 4：如图，四边形 ABCD 内接于⊙O，延长 AB 至 E，若∠CBE=50°，求证：∠ADC=50°。
证明：
∠CBE 是圆内接四边形 ABCD 的外角，∠ADC 是∠CBE 的内对角；
由外角性质得：∠CBE=∠ADC；
∵ ∠CBE=50°，∴ ∠ADC=50°。
3. 实际场景（测量角度）
例题 5：如图，为测量圆形零件上 A、B 两点的夹角，工人师傅在圆上取点 C、D，组成四边形 ABCD，测得∠A=105°，∠B=75°，∠C=60°，求∠D 的度数，并判断 AB 是否为直径（提示：若 AB 为直径，∠ADB=90°）。
解答：
∠D=180°-∠B=180°-75°=105°；
若 AB 为直径，则∠ADB=90°，但题目未提及 D 的位置，需补充条件（如∠ADB=90°）方可判断；仅从现有角度无法直接确定 AB 为直径。
第 7 页：综合应用 跨模块融合题
例题 6：如图，AB 是⊙O 的直径，四边形 ABCD 内接于⊙O，∠BCD=130°，求∠ABD 的度数。
解答步骤：
∵ AB 是直径，∴ ∠ADB=90°（直径所对圆周角为直角）；
四边形 ABCD 内接于⊙O，∴ ∠A + ∠BCD=180°（对角互补），故∠A=180°-130°=50°；
在 Rt△ABD 中，∠ABD=90°-∠A=90°-50°=40°。
思路提炼：本题融合 “直径与直角圆周角” 和 “圆内接四边形对角互补”，需先通过四边形性质求∠A，再利用直角三角形内角和求目标角，体现知识的综合关联。
第 8 页：易错警示与避坑指南
常见易错点：
误用直径与圆周角关系：忽略 “圆周角的顶点在圆上”，如误将圆内任意直角的斜边当作直径（需强调顶点在圆上）；
混淆圆内接四边形的 “对角” 与 “邻角”：误认为邻角互补（实际是对角互补，邻角不一定互补）；
外角性质记错：将 “外角等于内对角” 记为 “外角等于邻角”（内对角是指与外角不相邻的对角）。
避坑技巧：
应用直径与圆周角关系时，先标注 “圆周角的顶点是否在圆上”，避免条件缺失；
分析圆内接四边形时，用 “对角标序号”（如∠1 与∠3、∠2 与∠4 为对角），直观区分对角与邻角；
遇到外角问题，先延长边明确外角位置，再找对应的内对角（不相邻的对角）。
第 9 页：课堂练习 分层巩固
基础题：
（1）直角三角形的斜边为 10cm，则其外接圆的半径为______cm。（答案：5）
（2）四边形 ABCD 内接于⊙O，∠A=85°，则∠C=°，若∠B=100°，则∠D=°。（答案：95，80）
中档题：
如图，AB 是⊙O 的直径，C 为圆上一点，∠ABC=30°，AC=4，求 AB 的长。（答案：8）
提升题：
如图，四边形 ABCD 内接于⊙O，延长 AD 至 E，若∠CDE=120°，∠B=70°，求∠A 和∠C 的度数。（答案：∠C=60°，∠A=110°）
第 10 页：课堂小结与作业布置
小结：
直径与圆周角：核心是 “直径对直角，直角对直径”，直角三角形外接圆以斜边为直径；
圆内接四边形：定义为 “四点共圆”，性质是 “对角互补”，推论是 “外角等于内对角”；
综合应用：需明确 “直径→直角”“四边形→对角互补” 的转化路径，结合圆周角定理关联知识。
作业：
基础作业：教材习题 3.4 第 4、5、6 题（直径与圆周角计算、圆内接四边形角度求解）；
拓展作业：如图，AB 是⊙O 的直径，四边形 ABCD 内接于⊙O，∠AOC=100°，求∠D 的度数（答案：130°）；
实践作业：用圆形纸片剪出一个圆内接四边形，测量四个内角的度数，验证 “对角互补” 性质，并记录测量结果。
2025-2026学年北师大版数学九年级下册【示范课精品课件】
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3.4.2圆周角和直径的关系及圆内接四边形
第三章 圆
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
问题 1 什么是圆周角？
特征：
① 角的顶点在圆上.
② 角的两边都与圆相交.
顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫圆周角.
●O
B
A
C
D
E
问题 2 什么是圆周角定理？
圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的 .
即 ∠ABC = ∠AOC.
一半
C
A
B
O
C
A
B
O
C
A
B
O
直径所对应的圆周角
1
如图，BC 是⊙O 的直径，它所对的圆周角有什么特点？你能证明你的结论吗？
猜想：直径 BC 所对的圆周角∠BAC＝90°.
证明：∵BC 为直径，
∴
∴∠BOC＝180°，
A
B
O
C
如图，圆周角∠A = 90°，弦 BC 是直径吗？为什么？
解：弦 BC 是直径.
连接 OC、OB，
注意：此处不能直接连接BC，思路是先保证过点O，再证三点共线.
∴ BC 是⊙O 的一条直径.
∴ B、O、C 三点在同一直线上.
∴圆心角∠BOC＝2∠A＝180°.
∵圆周角∠A＝90°，
A
B
O
C
归纳总结
∵ BC 为直径，
∴∠BAC = 90°.
几何语句：
∵∠BAC = 90°，
∴ BC 为直径 .
几何语句：
推论 直径所对的圆周角是直角.
A
B
O
C
A
B
O
C
推论 90° 的圆周角所对的弦是直径.
AB 为直径
∠ADB = 90°
1. (济南)如图，AB、CD 是 ⊙O 的直径，∠ACD = 25°，求∠BAD 的度数.
∠ACD = 25°
∠B = 25°
∠BAD
= 90°-∠B
= 65°
链接中考
解：∵ AB 是 ⊙O 的直径，
∴∠ADB = 90°.
∵相同的弧所对应的圆周角相等，且∠ACD = 25°，
∴∠B = 25°.
∴∠BAD = 90°-∠B = 65°.
1. 如图，BD 是 ⊙O 的直径，∠CBD＝30°，则∠A 的度数为(　　)
A．30° B．45° C．60° D．75°
解析：∵BD 是 ⊙O 的直径，
∴∠BCD＝90°.
∵∠CBD＝30°，
∴∠D＝60°，∴∠A＝∠D＝60°.
故选 C.
C
A
B
O
C
练一练
(1) 如图，A，B，C，D 是 ⊙O 上的四点，AC 为⊙O 的直径，∠BAD 与 ∠BCD 之间有什么关系？为什么？
2
圆内接四边形及其性质
A
B
O
C
D
解：∠BAD 与∠BCD 互补.
∴∠BAD 与∠BCD 互补.
∴∠BAD +∠BCD = 180°.
∵∠ABC+∠BCD+∠ADC+∠BAD = 360°，
∵AC 为直径，
∴∠ABC = 90°，∠ADC = 90°.
(2) 如图，点 C 的位置发生了变化，∠BAD 与 ∠BCD 之间关系还成立吗？为什么？
A
B
O
C
D
解：∠BAD 与∠BCD 的关系仍然成立.
∴∠BAD 与∠BCD 互补.
∴∠BAD +∠BCD = 180°.
∵∠1 +∠2 = 360°，
连接 OB，OD，
则
1
2
归纳总结
四边形 ABCD 的四个顶点都在⊙O 上，像这样的四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆.
A
B
O
C
D
A
B
O
C
D
归纳总结
A
B
O
C
D
A
B
O
C
D
推论 圆内接四边形的对角互补.
根据以上讨论你能发现什么结论？
几何语句：
∵四边形 ABCD 为圆内接四边形，
∴∠BAD+∠BCD = 180°
（圆内接四边形的对角互补）.
C
O
D
B
A
∵∠A＋∠DCB＝180°，
E
∠DCB＋∠DCE＝180°.
∴∠A＝∠DCE.
如图，∠DCE 是圆内接四边形 ABCD 的一个外角，∠A 与 ∠DCE 的大小有何关系？
想一想
链接中考
2.(长春) 如图，四边形 ABCD 为⊙O 的内接四边形,若∠BCD = 121° ，则 ∠BOD 的度数为 ( )
A. 138°
B. 121°
C. 118°
D. 112°
C
基础练习
1. (泗阳县期末)如图，AB 是 ⊙O 的直径，弦 CD 交AB 与点 E，∠ADC = 26°，求∠CAB 的度数.
解：连接 BC.
∵AB 是 ⊙O 直径，
∴∠ACB = 90°.
∴∠B = ∠D = 26°.
∴∠CAB = 90° - 26° = 64°.
3. (肥城)如图，四边形 ABCD 内接⊙O ，
∠ABC = 135°，AC = 4，则⊙O 的半径为( )
A. 4 B.
C. D.
2. (阜宁县期末)如图，AB 是⊙O 的直径， C、D 是 ⊙O 的两点，且 AD = DC ，∠DAC = 25°，
求∠BAC 的度数 ( )
A. 30° B. 35°
C. 40° D. 50°
C
B
4. (武汉)如图，以 AB 为直径的⊙O 经过△ABC 的顶点 C，AE，BE 分别平分 ∠BAC 和 ∠ABC，AE 的延长线交⊙O 于点 D. 连接 BD. 判断△BDE 的形状，并证明你的结论.
能力提升
解：△BDE 为等腰直角三角形.
证明：∵ AE 平分∠BAC，BE 平分∠ABC.
∴ ∠BAE = ∠CAD = ∠CBD，∠ABE = ∠EBC.
∵ ∠BED =∠BAE +∠ABE，
∠DBE =∠DBC +∠CBE，
∴ ∠BED =∠DBE.
∴ BD = ED.
∵ AB 为直径，
∴ ∠ADB = 90°.
∴ △BDE 是等腰直角三角形.
返回
C
1.
如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，若∠A＝40°，则∠B的度数为(　　)
A．80°
B．60°
C．50°
D．40°
返回
2.
A
如图，AB是⊙O的直径，若∠CDB＝60°，则∠ABC的度数等于(　　)
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
返回
3.
B
[教材P83“随堂练习”第2题变式]用直角钢尺检查某一工件是否恰好是半圆环形，在下面四种情形中，可判断工件是半圆环形的是(　　)
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4.
A
如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上两点，BA平分∠CBD，若∠AOD＝50°，则∠A的度数为(　　)
A．65°
B．55°
C．50°
D．75°
5.
解：∵∠ACB＝90°，
∴AB是⊙O的直径．由圆周角定理，
得∠ABC＝∠ADC＝30°，∵AC＝5，∴AB＝2AC＝10.
即⊙O的直径长为10.
(8分)如图，已知点A，B，C，D在⊙O上，∠ACB＝90°，∠ADC＝30°，AC＝5.
(1)求⊙O的直径长；
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6.
C
如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，若∠ADC＝80°，则∠ABC的度数为(　　)
A．50°
B．80°
C．100°
D．160°
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7.
D
[教材P82“想一想”变式]如图，⊙O是四边形ABCD的外接圆，点E是AB延长线上一点，若∠CBE＝65°，则∠ADC的度数为(　　)
A．115°
B．130°
C．50°
D．65°
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8.
C
如图，四边形ABCD内接于⊙O，过点B作BE∥AD，交CD于点E.若∠BEC＝50°，则∠ABC的度数是(　　)
A．50°
B．100°
C．130°
D．150°
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9.
60°
[2024滨州中考]如图，四边形ABCD内接于⊙O，若四边形OABC是菱形，则∠D的度数是________.
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10.
D
[2025西安高新一中一模]如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠ADC＝116°，点E在⊙O上，则∠BEC的度数是(　　)
A．28°
B．56°
C．46°
D．26°
返回
11.
圆周角定理
推论2
推论3
圆内接四边形的对角互补.
直径所所对的圆周角是直角；
90°的圆周角所对的弦是直径.
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！