3.5 确定圆的条件 课件(共36张PPT)-2025-2026学年北师大版数学九年级下册教学课件
文档属性
| 名称 | 3.5 确定圆的条件 课件(共36张PPT)-2025-2026学年北师大版数学九年级下册教学课件 |
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| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 8.5MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-11-18 07:25:51 | ||
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文档简介
(共36张PPT)
第 1 页：封面页
标题：3.5 确定圆的条件
副标题：北师大版九年级数学下册
配图：左侧为 “过一点画圆”（无数个圆，圆心在以该点为半径的圆上）、“过两点画圆”（无数个圆，圆心在两点垂直平分线上）示意图，右侧为 “过不在同一直线上三点画圆”（唯一圆）示意图，直观对比不同条件下圆的数量差异
落款：授课教师 / 日期
第 2 页：学习目标
知识目标：理解点与圆的位置关系（点在圆内、圆上、圆外），掌握 “不在同一直线上的三点确定一个圆” 的定理，明确三角形外接圆、外心的定义与性质。
能力目标：通过动手作图（过一点、两点、三点画圆），提升几何作图能力；能根据定理解决 “找圆心、画三角形外接圆” 等问题，培养逻辑推理与空间想象能力。
素养目标：体会 “从特殊到一般” 的探究过程，感受几何定理的严谨性，培养用数学语言规范描述作图步骤与证明过程的习惯。
第 3 页：情境导入 点与圆的位置关系
生活情境（配图）：
钉在黑板上的一颗图钉（点），用不同长度的绳子绕图钉画圆，思考：图钉（点）与圆的位置关系？
体育课上，学生站在圆形跑道上（点在圆上）、跑道内（点在圆内）、跑道外（点在圆外），观察不同位置的特征。
位置关系定义（设⊙O 半径为 r，点 P 到圆心 O 的距离为 d）：
位置关系
数量关系
示例
点在圆内
d < r
跑道内的学生，d=3m，r=5m
点在圆上
d = r
跑道上的学生，d=5m，r=5m
点在圆外
d > r
跑道外的学生，d=6m，r=5m
思考引入：过一个点能画多少个圆？过两个点呢？过三个点又能画多少个圆？
第 4 页：探究一 过一点、两点画圆的条件
1. 过一个点画圆
动手操作：在纸上画一点 A，尝试用圆规以不同点为圆心、不同长度为半径画圆，使圆经过点 A。
观察结论：过一个点 A 可以画无数个圆（圆心可以是平面内任意一点，半径为圆心到 A 的距离）。
图示：以 A 为公共点，画出多个圆心不同、半径不同的圆，标注 “圆心 O 、O 、O …… 半径 r 、r 、r ……”。
2. 过两个点画圆
动手操作：在纸上画两点 A、B，尝试画圆使圆经过 A、B 两点。
分析关键：要使圆经过 A、B，圆心 O 到 A、B 的距离需相等（OA=OB=r），即圆心 O 在 AB 的垂直平分线上。
观察结论：过两个点 A、B 可以画无数个圆（圆心在 AB 的垂直平分线上任意一点，半径为圆心到 A 的距离）。
图示：画出 AB 的垂直平分线 l，在 l 上取不同点 O 、O 、O 为圆心，分别以 O A、O A、O A 为半径画圆，均经过 A、B 两点。
第 5 页：探究二 过三点画圆的条件（核心定理）
1. 分类讨论三点位置
情况 1：三点在同一直线上（如图，A、B、C 共线）：
假设存在⊙O 经过 A、B、C，则 OA=OB=OC，故 O 在 AB 的垂直平分线 l 和 BC 的垂直平分线 l 上；
但 A、B、C 共线，l 与 l 平行（均垂直于同一直线），无交点，故不存在这样的圆。
情况 2：三点不在同一直线上（如图，A、B、C 不共线）：
动手操作：
连接 AB、BC，分别作 AB 的垂直平分线 l 和 BC 的垂直平分线 l ，设 l 与 l 交于点 O；
以 O 为圆心、OA（或 OB、OC）为半径画圆，观察圆是否经过 A、B、C 三点。
逻辑证明：
∵ O 在 AB 的垂直平分线上，∴ OA=OB；
∵ O 在 BC 的垂直平分线上，∴ OB=OC；
∴ OA=OB=OC，故⊙O 经过 A、B、C 三点；
又∵ l 与 l 交于唯一一点 O，∴ 这样的圆只有一个。
2. 核心定理
不在同一直线上的三个点确定一个圆。
关键条件：“不在同一直线上”（若共线则无法确定圆）；“确定一个圆” 指 “有且只有一个圆”（存在性 + 唯一性）。
第 6 页：延伸概念 三角形的外接圆与外心
1. 定义
三角形的外接圆：经过三角形三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形。
外心的性质：
外心是三角形三条边垂直平分线的交点；
外心到三角形三个顶点的距离相等（均等于外接圆半径）。
2. 不同三角形外心的位置（配图对比）
三角形类型
外心位置
示例（以△ABC 为例）
锐角三角形
三角形内部
外心 O 在△ABC 内部，到 A、B、C 距离相等
直角三角形
斜边的中点
外心 O 是斜边 AB 的中点，外接圆半径 = AB/2（呼应上节课 “直角三角形外接圆以斜边为直径”）
钝角三角形
三角形外部
外心 O 在△ABC 外部，到 A、B、C 距离相等
3. 作图步骤（画三角形的外接圆）
画△ABC（锐角、直角、钝角均可）；
分别作 AB、BC 的垂直平分线，交于外心 O；
以 O 为圆心、OA 为半径画圆，即为△ABC 的外接圆。
第 7 页：典例精讲 定理应用
例题 1：找圆心
如图，一块圆形玻璃被打碎，只剩下一段圆弧，如何确定原圆形玻璃的圆心和半径？
解答步骤：
在圆弧上任意取三点 A、B、C（不在同一直线上）；
连接 AB、BC，分别作 AB、BC 的垂直平分线 l 、l ，交于点 O；
点 O 即为原圆形玻璃的圆心，OA（或 OB、OC）即为半径。
思路提炼：利用 “不在同一直线上三点确定一个圆”，通过找圆弧上三点的垂直平分线交点确定圆心。
例题 2：画三角形外接圆并求半径
已知△ABC 中，AB=AC=5cm，BC=6cm，求画△ABC 的外接圆，并计算外接圆半径。
解答步骤：
画△ABC：作 BC=6cm，分别以 B、C 为圆心、5cm 为半径画弧，交于 A 点；
找外心：作 AB 的垂直平分线 l 和 BC 的垂直平分线 l ，交于 O（O 在△ABC 内部，因△ABC 为锐角三角形）；
计算半径：设 BC 的中点为 D，连接 AD、AO，AD⊥BC（等腰三角形三线合一），AD=√(AB - BD )=√(25 - 9)=4cm；设 OA=r，OD=4 - r，在 Rt△BOD 中，OB =OD + BD →r =(4 - r) + 3 →r =16 - 8r + r + 9→8r=25→r=25/8=3.125cm。
思路提炼：结合等腰三角形性质与勾股定理，通过外心到顶点的距离（半径）建立方程求解。
第 8 页：易错警示与避坑指南
常见易错点：
忽略 “不在同一直线上” 的条件：误说 “三点确定一个圆”，未强调 “不共线”（共线三点无法确定圆）；
外心位置判断错误：误认为所有三角形的外心都在内部（钝角三角形外心在外部，直角三角形外心在斜边中点）；
作图步骤错误：找外心时仅作一条边的垂直平分线，或未用尺规规范作垂直平分线，导致圆心位置偏差。
避坑技巧：
表述定理时必须补充 “不在同一直线上”，可结合 “共线三点无圆” 的反例强化记忆；
判断外心位置前，先确定三角形类型（锐角、直角、钝角），再对应位置特征；
作垂直平分线时，严格遵循 “以线段两端为圆心、大于线段一半为半径画弧，找交点连线” 的尺规作图步骤。
第 9 页：课堂练习 分层巩固
基础题：
（1）过平面内一点 P 可以画______个圆；过两点 A、B 可以画______个圆，圆心在______上。（答案：无数，无数，AB 的垂直平分线）
（2）直角三角形的斜边为 8cm，则其外接圆的半径为______cm，外心在______。（答案：4，斜边中点）
中档题：
如图，△ABC 中，∠C=90°，AC=3，BC=4，求△ABC 外接圆的半径及外心到 AC 的距离。（答案：半径 2.5，距离 2）
提升题：
已知△ABC 的外心在△ABC 的外部，判断△ABC 的形状，并说明理由。（答案：钝角三角形，理由：锐角三角形外心在内部，直角三角形外心在斜边中点，仅钝角三角形外心在外部）
第 10 页：课堂小结与作业布置
小结：
点与圆的位置关系：由 “点到圆心的距离 d” 与 “半径 r” 的大小决定（dr 外）；
确定圆的条件：过一点 / 两点有无数个圆，过不在同一直线上的三点有且只有一个圆；
三角形外接圆与外心：外心是三边垂直平分线的交点，到三顶点距离相等，位置由三角形类型决定。
作业：
基础作业：教材习题 3.5 第 1、2、3 题（作图与外心位置判断）；
拓展作业：画一个钝角三角形，作出其外接圆，测量外心到三个顶点的距离，验证 “外心到三顶点距离相等”；
实践作业：寻找生活中 “确定圆” 的实例（如修复破损圆形物件），记录确定圆心和半径的方法，下节课分享。
2025-2026学年北师大版数学九年级下册【示范课精品课件】
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
3.5 确定圆的条件
第三章 圆
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1. 过一点可以作几条直线？
● A
无数条
2. 过几点可确定一条直线？
● A
●
B
两点
如何解决“破镜重圆”问题呢？
合作探究
解题关键是什么？
破镜重圆问题
几点确定圆心
转化
问题 1 如何过一个点 A 作一个圆？过点 A 可以作多少个圆？
·
·
·
·
·
以不与 A 点重合的任意一点为圆心，以这个点到 A 点的距离为半径画圆即可；
可作无数个圆.
A
探索确定圆的条件
1
合作探究
问题 2 如何过两点 A、B 作一个圆？过两点可以作多少个圆？
·
·
·
·
A
B
追问1：其圆心的位置有什么特点？
O
O
O
O
可作无数个圆.
它们的圆心在线段 AB 的垂直平分线上.
以线段 AB 的垂直平分线上的任意一点为圆心，这点到 A 或 B 的距离为半径作圆.
追问2：与线段 AB 有什么关系？为什么？
问题 3 作圆，使它经过已知点 A，B，C (A，B，C 三点不在同一条直线上).
你是如何做的 你能作出几个这样的圆
B
A
C
过三点的圆的圆心
过两点的圆的圆心
转化
如何确定过这三点的圆的圆心呢？
作法：
B
A
C
(1) 连接 AB，BC.
(2) 分别作线段 AB，BC 的垂直平分线 DE 和 FG，DE 与 FG 相交于点 O.
E
D
F
G
O
(3) 以 O 为圆心，以 OB 的长为半径作圆.
⊙O 就是所要求作的圆.
不在同一直线上的三个点确定一个 圆.
有且只有
位置关系
归纳总结
B
A
C
E
D
F
G
O
1. 将如图所示的破损的镜子复原.
A
B
C
O
方法：(1) 在圆弧上任取三点 A、B、C，连接 AB、BC；
回顾导入
则⊙O 即为所求.
(3) 以点 O 为圆心，OA 长为半径
作圆.
(2) 作线段 AB、BC 的垂直平分线，
其交点 O 即为圆心；
例1 小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是（ ）
A．第①块 B．第②块
C．第③块 D．第④块
B
典例精析
A
B
C
问题 4 过同一直线上三点能不能作圆
不能.
试一试：已知 △ABC，用直尺与圆规作出过 A、B、C 三点的圆.
A
B
C
O
三角形的外接圆及外心
2
1. 外接圆
三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫作这个三角形的外接圆. 这个三角形叫作这个圆的内接三角形.
三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等.
2. 三角形的外心：
定义：
三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心.
作图：
三角形三条边的垂直平分线的交点.
性质：
知识要点
B
A
C
E
O
判一判：
下列说法是否正确
(1) 任意的一个三角形一定有一个外接圆( )
(2) 任意一个圆有且只有一个内接三角形( )
(3) 经过三点一定可以确定一个圆( )
(4) 三角形的外心到三角形各顶点的距离相等( )
√
×
×
√
分别画一个锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，再画出它们的外接圆，观察并叙述各三角形与它的外心的位置关系.
A
B
C
A
B
C
C
A
B
┐
想一想
O
O
O
锐角三角形的外心位于三角形内；
直角三角形的外心位于直角三角形斜边的中点；
钝角三角形的外心位于三角形外.
知识要点
A
B
C
A
B
C
C
A
B
┐
O
O
O
1. 判断：
（1）经过三点一定可以作圆 （ ）
（2）三角形的外心就是这个三角形两边垂直平分线的交点 （ ）
（3）三角形的外心到三边的距离相等 （ ）
（4）等腰三角形的外心一定在这个三角形内 （ ）
√
×
×
×
3. 如图，在 5×5 正方形网格中，一条圆弧经过 A，B，C 三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是（ ）
A．点 P B．点 Q
C．点 R D．点 M
B
2. 三角形的外心具有的性质是（ ）
A. 到三边的距离相等. B. 到三个顶点的距离相等.
C. 外心在三角形的外. D. 外心在三角形内.
B
4. 如图，已知 Rt△ABC 中 ，∠C = 90°，若 AC = 12 cm，
BC = 5 cm，求△ABC 的外接圆半径.
C
B
A
O
解：设 Rt△ABC 的斜边 AB 的中点为 O，连接 OC，则 OA = OB = OC.
故点 O 是△ABC 的外心.
∴ AB = 13 cm. 则 OA = 6.5 cm，
即 △ABC 的外接圆半径为 6.5 cm.
∵∠C = 90°，AC = 12 cm，BC = 5 cm，
返回
C
1.
下列条件中，不能确定一个圆的是( )
A．圆心和半径
B．直径和圆心
C．平面上的三个点
D．三角形的三个顶点
返回
2.
C
[教材P88“习题3.6”第3题变式]如图，点A，B，C均在直线l上，点P在直线l外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
返回
3.
①
小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中三块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的一块碎片应该是________．(填序号)
4.
解：这样的圆能画2个．
作AB的垂直平分线l，再以点A为圆心，2 cm为半径画弧交l于点O1和O2，然后分别以点O1和O2为圆心，以
2 cm为半径作圆，则⊙O1和⊙O2即为所求．图略．
(12分)[教材P88“习题3.6”第2题变式]已知线段AB＝3 cm.
(1)画半径为2 cm的圆，使它经过A，B两点，这样的圆能画几个？
这样的圆能画1个．
作AB的垂直平分线l，交AB于点O，然后以点O为圆心，以1.5 cm为半径作圆，则⊙O即为所求．图略．
(2)画半径为1.5 cm的圆，使它经过A，B两点，这样的圆能画几个？
返回
这样的圆不存在．
(3)画半径为1 cm的圆，使它经过A，B两点，这样的圆能画几个？
返回
5.
D
下列说法中，正确的是( )
A．一个三角形有无数个外接圆
B．钝角三角形的外心在三角形内部
C．三角形的外心是到三角形三边的距离相等的点
D．三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点
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6.
C
如图，AC，BE是⊙O的直径，下列三角形中，外心是点O的是( )
A．△ABF
B．△ACF
C．△ABE
D．△AEF
返回
7.
C
在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，则△ABC外接圆的半径为( )
A．3
B．4
C．5
D．不确定
返回
8.
A
[2025泰州月考]如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A，B，C，D，E，F，G在小正方形的顶点上，则△ABC的外心是( )
A．点D
B．点E
C．点F
D．点G
返回
9.
解：如图，点P即为所求．
(4分)[教材P87“习题3.6”第1题变式]如图，一只猫观察到三个老鼠洞口A，B，C，这三个老鼠洞口不在同一条直线上，请问这只猫应该在什么地方才能同时顾及三个老鼠洞口(即猫到三个老鼠洞口的距离相等)？作出这个位置.
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10.
C
平面上有四个点，过其中任意三个点一共能确定圆的个数是( )
A．0或3或4
B．0或1或3
C．0或1或3或4
D．0或1或4
返回
11.
C
点O是△ABC的外心，若∠BOC＝80°，则∠BAC的度数是( )
A．40°
B．100°
C．40°或140°
D．40°或100°
返回
12.
(－2，－1)
如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(0，3)，点B(2，1)，点C(2，－3)，则△ABC的外接圆的圆心坐标是____________.
返回
13.
16
如图，点O为△ABC的外心，过点O作OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为点D，E，连接DE，若DE＝
8 cm，则BC＝________cm.
作圆
过一点可以作无数个圆
过两点可以作无数个圆
不在同一直线上的三个点确定一个圆
注意：同一直线上的三个点不能作圆
三角形外接圆
概念
性质
三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等
经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆
外心
外接圆的圆心叫三角形的外心
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！
第 1 页：封面页
标题：3.5 确定圆的条件
副标题：北师大版九年级数学下册
配图：左侧为 “过一点画圆”（无数个圆，圆心在以该点为半径的圆上）、“过两点画圆”（无数个圆，圆心在两点垂直平分线上）示意图，右侧为 “过不在同一直线上三点画圆”（唯一圆）示意图，直观对比不同条件下圆的数量差异
落款：授课教师 / 日期
第 2 页：学习目标
知识目标：理解点与圆的位置关系（点在圆内、圆上、圆外），掌握 “不在同一直线上的三点确定一个圆” 的定理，明确三角形外接圆、外心的定义与性质。
能力目标：通过动手作图（过一点、两点、三点画圆），提升几何作图能力；能根据定理解决 “找圆心、画三角形外接圆” 等问题，培养逻辑推理与空间想象能力。
素养目标：体会 “从特殊到一般” 的探究过程，感受几何定理的严谨性，培养用数学语言规范描述作图步骤与证明过程的习惯。
第 3 页：情境导入 点与圆的位置关系
生活情境（配图）：
钉在黑板上的一颗图钉（点），用不同长度的绳子绕图钉画圆，思考：图钉（点）与圆的位置关系？
体育课上，学生站在圆形跑道上（点在圆上）、跑道内（点在圆内）、跑道外（点在圆外），观察不同位置的特征。
位置关系定义（设⊙O 半径为 r，点 P 到圆心 O 的距离为 d）：
位置关系
数量关系
示例
点在圆内
d < r
跑道内的学生，d=3m，r=5m
点在圆上
d = r
跑道上的学生，d=5m，r=5m
点在圆外
d > r
跑道外的学生，d=6m，r=5m
思考引入：过一个点能画多少个圆？过两个点呢？过三个点又能画多少个圆？
第 4 页：探究一 过一点、两点画圆的条件
1. 过一个点画圆
动手操作：在纸上画一点 A，尝试用圆规以不同点为圆心、不同长度为半径画圆，使圆经过点 A。
观察结论：过一个点 A 可以画无数个圆（圆心可以是平面内任意一点，半径为圆心到 A 的距离）。
图示：以 A 为公共点，画出多个圆心不同、半径不同的圆，标注 “圆心 O 、O 、O …… 半径 r 、r 、r ……”。
2. 过两个点画圆
动手操作：在纸上画两点 A、B，尝试画圆使圆经过 A、B 两点。
分析关键：要使圆经过 A、B，圆心 O 到 A、B 的距离需相等（OA=OB=r），即圆心 O 在 AB 的垂直平分线上。
观察结论：过两个点 A、B 可以画无数个圆（圆心在 AB 的垂直平分线上任意一点，半径为圆心到 A 的距离）。
图示：画出 AB 的垂直平分线 l，在 l 上取不同点 O 、O 、O 为圆心，分别以 O A、O A、O A 为半径画圆，均经过 A、B 两点。
第 5 页：探究二 过三点画圆的条件（核心定理）
1. 分类讨论三点位置
情况 1：三点在同一直线上（如图，A、B、C 共线）：
假设存在⊙O 经过 A、B、C，则 OA=OB=OC，故 O 在 AB 的垂直平分线 l 和 BC 的垂直平分线 l 上；
但 A、B、C 共线，l 与 l 平行（均垂直于同一直线），无交点，故不存在这样的圆。
情况 2：三点不在同一直线上（如图，A、B、C 不共线）：
动手操作：
连接 AB、BC，分别作 AB 的垂直平分线 l 和 BC 的垂直平分线 l ，设 l 与 l 交于点 O；
以 O 为圆心、OA（或 OB、OC）为半径画圆，观察圆是否经过 A、B、C 三点。
逻辑证明：
∵ O 在 AB 的垂直平分线上，∴ OA=OB；
∵ O 在 BC 的垂直平分线上，∴ OB=OC；
∴ OA=OB=OC，故⊙O 经过 A、B、C 三点；
又∵ l 与 l 交于唯一一点 O，∴ 这样的圆只有一个。
2. 核心定理
不在同一直线上的三个点确定一个圆。
关键条件：“不在同一直线上”（若共线则无法确定圆）；“确定一个圆” 指 “有且只有一个圆”（存在性 + 唯一性）。
第 6 页：延伸概念 三角形的外接圆与外心
1. 定义
三角形的外接圆：经过三角形三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形。
外心的性质：
外心是三角形三条边垂直平分线的交点；
外心到三角形三个顶点的距离相等（均等于外接圆半径）。
2. 不同三角形外心的位置（配图对比）
三角形类型
外心位置
示例（以△ABC 为例）
锐角三角形
三角形内部
外心 O 在△ABC 内部，到 A、B、C 距离相等
直角三角形
斜边的中点
外心 O 是斜边 AB 的中点，外接圆半径 = AB/2（呼应上节课 “直角三角形外接圆以斜边为直径”）
钝角三角形
三角形外部
外心 O 在△ABC 外部，到 A、B、C 距离相等
3. 作图步骤（画三角形的外接圆）
画△ABC（锐角、直角、钝角均可）；
分别作 AB、BC 的垂直平分线，交于外心 O；
以 O 为圆心、OA 为半径画圆，即为△ABC 的外接圆。
第 7 页：典例精讲 定理应用
例题 1：找圆心
如图，一块圆形玻璃被打碎，只剩下一段圆弧，如何确定原圆形玻璃的圆心和半径？
解答步骤：
在圆弧上任意取三点 A、B、C（不在同一直线上）；
连接 AB、BC，分别作 AB、BC 的垂直平分线 l 、l ，交于点 O；
点 O 即为原圆形玻璃的圆心，OA（或 OB、OC）即为半径。
思路提炼：利用 “不在同一直线上三点确定一个圆”，通过找圆弧上三点的垂直平分线交点确定圆心。
例题 2：画三角形外接圆并求半径
已知△ABC 中，AB=AC=5cm，BC=6cm，求画△ABC 的外接圆，并计算外接圆半径。
解答步骤：
画△ABC：作 BC=6cm，分别以 B、C 为圆心、5cm 为半径画弧，交于 A 点；
找外心：作 AB 的垂直平分线 l 和 BC 的垂直平分线 l ，交于 O（O 在△ABC 内部，因△ABC 为锐角三角形）；
计算半径：设 BC 的中点为 D，连接 AD、AO，AD⊥BC（等腰三角形三线合一），AD=√(AB - BD )=√(25 - 9)=4cm；设 OA=r，OD=4 - r，在 Rt△BOD 中，OB =OD + BD →r =(4 - r) + 3 →r =16 - 8r + r + 9→8r=25→r=25/8=3.125cm。
思路提炼：结合等腰三角形性质与勾股定理，通过外心到顶点的距离（半径）建立方程求解。
第 8 页：易错警示与避坑指南
常见易错点：
忽略 “不在同一直线上” 的条件：误说 “三点确定一个圆”，未强调 “不共线”（共线三点无法确定圆）；
外心位置判断错误：误认为所有三角形的外心都在内部（钝角三角形外心在外部，直角三角形外心在斜边中点）；
作图步骤错误：找外心时仅作一条边的垂直平分线，或未用尺规规范作垂直平分线，导致圆心位置偏差。
避坑技巧：
表述定理时必须补充 “不在同一直线上”，可结合 “共线三点无圆” 的反例强化记忆；
判断外心位置前，先确定三角形类型（锐角、直角、钝角），再对应位置特征；
作垂直平分线时，严格遵循 “以线段两端为圆心、大于线段一半为半径画弧，找交点连线” 的尺规作图步骤。
第 9 页：课堂练习 分层巩固
基础题：
（1）过平面内一点 P 可以画______个圆；过两点 A、B 可以画______个圆，圆心在______上。（答案：无数，无数，AB 的垂直平分线）
（2）直角三角形的斜边为 8cm，则其外接圆的半径为______cm，外心在______。（答案：4，斜边中点）
中档题：
如图，△ABC 中，∠C=90°，AC=3，BC=4，求△ABC 外接圆的半径及外心到 AC 的距离。（答案：半径 2.5，距离 2）
提升题：
已知△ABC 的外心在△ABC 的外部，判断△ABC 的形状，并说明理由。（答案：钝角三角形，理由：锐角三角形外心在内部，直角三角形外心在斜边中点，仅钝角三角形外心在外部）
第 10 页：课堂小结与作业布置
小结：
点与圆的位置关系：由 “点到圆心的距离 d” 与 “半径 r” 的大小决定（d
确定圆的条件：过一点 / 两点有无数个圆，过不在同一直线上的三点有且只有一个圆；
三角形外接圆与外心：外心是三边垂直平分线的交点，到三顶点距离相等，位置由三角形类型决定。
作业：
基础作业：教材习题 3.5 第 1、2、3 题（作图与外心位置判断）；
拓展作业：画一个钝角三角形，作出其外接圆，测量外心到三个顶点的距离，验证 “外心到三顶点距离相等”；
实践作业：寻找生活中 “确定圆” 的实例（如修复破损圆形物件），记录确定圆心和半径的方法，下节课分享。
2025-2026学年北师大版数学九年级下册【示范课精品课件】
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
3.5 确定圆的条件
第三章 圆
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1. 过一点可以作几条直线？
● A
无数条
2. 过几点可确定一条直线？
● A
●
B
两点
如何解决“破镜重圆”问题呢？
合作探究
解题关键是什么？
破镜重圆问题
几点确定圆心
转化
问题 1 如何过一个点 A 作一个圆？过点 A 可以作多少个圆？
·
·
·
·
·
以不与 A 点重合的任意一点为圆心，以这个点到 A 点的距离为半径画圆即可；
可作无数个圆.
A
探索确定圆的条件
1
合作探究
问题 2 如何过两点 A、B 作一个圆？过两点可以作多少个圆？
·
·
·
·
A
B
追问1：其圆心的位置有什么特点？
O
O
O
O
可作无数个圆.
它们的圆心在线段 AB 的垂直平分线上.
以线段 AB 的垂直平分线上的任意一点为圆心，这点到 A 或 B 的距离为半径作圆.
追问2：与线段 AB 有什么关系？为什么？
问题 3 作圆，使它经过已知点 A，B，C (A，B，C 三点不在同一条直线上).
你是如何做的 你能作出几个这样的圆
B
A
C
过三点的圆的圆心
过两点的圆的圆心
转化
如何确定过这三点的圆的圆心呢？
作法：
B
A
C
(1) 连接 AB，BC.
(2) 分别作线段 AB，BC 的垂直平分线 DE 和 FG，DE 与 FG 相交于点 O.
E
D
F
G
O
(3) 以 O 为圆心，以 OB 的长为半径作圆.
⊙O 就是所要求作的圆.
不在同一直线上的三个点确定一个 圆.
有且只有
位置关系
归纳总结
B
A
C
E
D
F
G
O
1. 将如图所示的破损的镜子复原.
A
B
C
O
方法：(1) 在圆弧上任取三点 A、B、C，连接 AB、BC；
回顾导入
则⊙O 即为所求.
(3) 以点 O 为圆心，OA 长为半径
作圆.
(2) 作线段 AB、BC 的垂直平分线，
其交点 O 即为圆心；
例1 小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是（ ）
A．第①块 B．第②块
C．第③块 D．第④块
B
典例精析
A
B
C
问题 4 过同一直线上三点能不能作圆
不能.
试一试：已知 △ABC，用直尺与圆规作出过 A、B、C 三点的圆.
A
B
C
O
三角形的外接圆及外心
2
1. 外接圆
三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫作这个三角形的外接圆. 这个三角形叫作这个圆的内接三角形.
三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等.
2. 三角形的外心：
定义：
三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心.
作图：
三角形三条边的垂直平分线的交点.
性质：
知识要点
B
A
C
E
O
判一判：
下列说法是否正确
(1) 任意的一个三角形一定有一个外接圆( )
(2) 任意一个圆有且只有一个内接三角形( )
(3) 经过三点一定可以确定一个圆( )
(4) 三角形的外心到三角形各顶点的距离相等( )
√
×
×
√
分别画一个锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，再画出它们的外接圆，观察并叙述各三角形与它的外心的位置关系.
A
B
C
A
B
C
C
A
B
┐
想一想
O
O
O
锐角三角形的外心位于三角形内；
直角三角形的外心位于直角三角形斜边的中点；
钝角三角形的外心位于三角形外.
知识要点
A
B
C
A
B
C
C
A
B
┐
O
O
O
1. 判断：
（1）经过三点一定可以作圆 （ ）
（2）三角形的外心就是这个三角形两边垂直平分线的交点 （ ）
（3）三角形的外心到三边的距离相等 （ ）
（4）等腰三角形的外心一定在这个三角形内 （ ）
√
×
×
×
3. 如图，在 5×5 正方形网格中，一条圆弧经过 A，B，C 三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是（ ）
A．点 P B．点 Q
C．点 R D．点 M
B
2. 三角形的外心具有的性质是（ ）
A. 到三边的距离相等. B. 到三个顶点的距离相等.
C. 外心在三角形的外. D. 外心在三角形内.
B
4. 如图，已知 Rt△ABC 中 ，∠C = 90°，若 AC = 12 cm，
BC = 5 cm，求△ABC 的外接圆半径.
C
B
A
O
解：设 Rt△ABC 的斜边 AB 的中点为 O，连接 OC，则 OA = OB = OC.
故点 O 是△ABC 的外心.
∴ AB = 13 cm. 则 OA = 6.5 cm，
即 △ABC 的外接圆半径为 6.5 cm.
∵∠C = 90°，AC = 12 cm，BC = 5 cm，
返回
C
1.
下列条件中，不能确定一个圆的是( )
A．圆心和半径
B．直径和圆心
C．平面上的三个点
D．三角形的三个顶点
返回
2.
C
[教材P88“习题3.6”第3题变式]如图，点A，B，C均在直线l上，点P在直线l外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
返回
3.
①
小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中三块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的一块碎片应该是________．(填序号)
4.
解：这样的圆能画2个．
作AB的垂直平分线l，再以点A为圆心，2 cm为半径画弧交l于点O1和O2，然后分别以点O1和O2为圆心，以
2 cm为半径作圆，则⊙O1和⊙O2即为所求．图略．
(12分)[教材P88“习题3.6”第2题变式]已知线段AB＝3 cm.
(1)画半径为2 cm的圆，使它经过A，B两点，这样的圆能画几个？
这样的圆能画1个．
作AB的垂直平分线l，交AB于点O，然后以点O为圆心，以1.5 cm为半径作圆，则⊙O即为所求．图略．
(2)画半径为1.5 cm的圆，使它经过A，B两点，这样的圆能画几个？
返回
这样的圆不存在．
(3)画半径为1 cm的圆，使它经过A，B两点，这样的圆能画几个？
返回
5.
D
下列说法中，正确的是( )
A．一个三角形有无数个外接圆
B．钝角三角形的外心在三角形内部
C．三角形的外心是到三角形三边的距离相等的点
D．三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点
返回
6.
C
如图，AC，BE是⊙O的直径，下列三角形中，外心是点O的是( )
A．△ABF
B．△ACF
C．△ABE
D．△AEF
返回
7.
C
在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，则△ABC外接圆的半径为( )
A．3
B．4
C．5
D．不确定
返回
8.
A
[2025泰州月考]如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A，B，C，D，E，F，G在小正方形的顶点上，则△ABC的外心是( )
A．点D
B．点E
C．点F
D．点G
返回
9.
解：如图，点P即为所求．
(4分)[教材P87“习题3.6”第1题变式]如图，一只猫观察到三个老鼠洞口A，B，C，这三个老鼠洞口不在同一条直线上，请问这只猫应该在什么地方才能同时顾及三个老鼠洞口(即猫到三个老鼠洞口的距离相等)？作出这个位置.
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10.
C
平面上有四个点，过其中任意三个点一共能确定圆的个数是( )
A．0或3或4
B．0或1或3
C．0或1或3或4
D．0或1或4
返回
11.
C
点O是△ABC的外心，若∠BOC＝80°，则∠BAC的度数是( )
A．40°
B．100°
C．40°或140°
D．40°或100°
返回
12.
(－2，－1)
如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(0，3)，点B(2，1)，点C(2，－3)，则△ABC的外接圆的圆心坐标是____________.
返回
13.
16
如图，点O为△ABC的外心，过点O作OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为点D，E，连接DE，若DE＝
8 cm，则BC＝________cm.
作圆
过一点可以作无数个圆
过两点可以作无数个圆
不在同一直线上的三个点确定一个圆
注意：同一直线上的三个点不能作圆
三角形外接圆
概念
性质
三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等
经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆
外心
外接圆的圆心叫三角形的外心
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
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