3.6.1 直线和圆的位置关系及切线的性质 课件(共40张PPT)-2025-2026学年北师大版数学九年级下册教学课件
文档属性
| 名称 | 3.6.1 直线和圆的位置关系及切线的性质 课件(共40张PPT)-2025-2026学年北师大版数学九年级下册教学课件 |
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| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 10.2MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-11-18 07:25:29 | ||
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文档简介
(共40张PPT)
第 1 页：封面页
标题：3.6.1 直线和圆的位置关系及切线的性质
副标题：北师大版九年级数学下册
配图：左侧并列展示 “直线与圆相离、相切、相交” 三种示意图（分别标注 0 个、1 个、2 个公共点），右侧为 “切线垂直于过切点的半径” 特写图（标注直线 l 切⊙O 于 A，OA⊥l）
落款：授课教师 / 日期
第 2 页：学习目标
知识目标：理解直线与圆的三种位置关系（相离、相切、相交），掌握 “圆心到直线的距离 d 与半径 r” 的数量关系对应法则，熟记切线的性质定理（切线垂直于过切点的半径）及推论。
能力目标：能根据 d 与 r 的关系判断直线与圆的位置关系，通过切线性质解决 “线段计算”“角度证明” 等问题，提升几何分析与逻辑推理能力。
素养目标：体会 “形（公共点数量）与数（d、r 关系）” 的对应统一，感受切线性质的严谨性，培养数形结合与转化思想。
第 3 页：情境导入 直线与圆的位置关系
生活情境（配图）：
太阳升起时，太阳（圆）与地平线（直线）的位置变化：从 “圆在直线下方（相离）” 到 “圆与直线有一个交点（相切，日出瞬间）”，再到 “圆与直线有两个交点（相交，太阳升起后）”；
用直尺（直线）靠近圆形硬币（圆），观察两者公共点数量的变化。
思考引入：直线与圆的公共点数量有几种可能？不同公共点数量对应的 “圆心到直线的距离” 与 “圆的半径” 有什么关系？
第 4 页：核心概念 1 直线与圆的三种位置关系
1. 分类定义（按公共点数量）
位置关系
公共点数量
定义
图示特征
相离
0 个
直线与圆没有公共点，叫做直线与圆相离
直线在圆外，无交点
相切
1 个
直线与圆有唯一公共点，叫做直线与圆相切，这条直线叫做圆的切线，唯一公共点叫做切点
直线与圆 “刚好接触”，仅 1 个交点
相交
2 个
直线与圆有两个公共点，叫做直线与圆相交，这条直线叫做圆的割线，两个公共点间的线段叫做弦
直线穿过圆，有 2 个交点
2. 数量关系对应法则（核心判断依据）
设⊙O 的半径为 r，圆心 O 到直线 l 的距离为 d（即从 O 向 l 作垂线，垂足为 P，OP=d），则：
直线 l 与⊙O 相离 d > r；
直线 l 与⊙O 相切 d = r；
直线 l 与⊙O 相交 d < r。
3. 实例验证
例 1：⊙O 半径 r=3cm，圆心 O 到直线 l 的距离 d=4cm→d>r→直线 l 与⊙O 相离；
例 2：⊙O 半径 r=5cm，直线 l 过圆心 O→d=0例 3：⊙O 半径 r=2cm，直线 l 与⊙O 相切→d=r=2cm。
第 5 页：核心概念 2 切线的性质定理
1. 定理探究（动手操作 + 推理）
操作：
画⊙O，作切线 l 切⊙O 于点 A（确保 l 与⊙O 仅 1 个交点 A）；
连接 OA（过切点的半径），用三角板测量∠OAl 的度数。
观察：∠OAl=90°，即 OA⊥l。
2. 切线性质定理
圆的切线垂直于过切点的半径。
符号语言：如图，直线 l 是⊙O 的切线，切点为 A，则 OA⊥l（OA 是过切点的半径）。
证明（反证法）：
假设 OA 与 l 不垂直，过 O 作 OP⊥l 于 P，则 OP∵ OA=r，∴ OP故假设不成立，OA⊥l。
3. 推论（切线性质延伸）
经过圆心且垂直于切线的直线，必经过切点（若直线过 O 且⊥l，则直线过切点 A）；
经过切点且垂直于切线的直线，必经过圆心（若直线过 A 且⊥l，则直线过圆心 O）。
作用：推论可用于 “找圆心”（已知切线和切点，作切线的垂线即过圆心）或 “找切点”（已知圆心和切线，过圆心作切线的垂线即得切点）。
第 6 页：典例精讲 1 直线与圆位置关系的判断
例题 1：根据 d 与 r 判断位置关系
已知⊙O 的半径 r=5，圆心 O 到直线 l 的距离 d 分别为以下值，判断直线 l 与⊙O 的位置关系：
（1）d=3；（2）d=5；（3）d=6。
解答：
（1）∵ d=3（2）∵ d=5=r→直线 l 与⊙O 相切；
（3）∵ d=6>r=5→直线 l 与⊙O 相离。
例题 2：结合几何图形求 d 与 r
如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=3，BC=4，以 C 为圆心、r 为半径画圆，当 r 为何值时，⊙C 与 AB 相切？
解答步骤：
求圆心 C 到直线 AB 的距离 d（即 AB 边上的高）；
由勾股定理得 AB=√(AC +BC )=5；
由三角形面积公式：S△ABC=(1/2) AC×BC=(1/2) AB×d→d=(3×4)/5=12/5=2.4；
∵ 直线 AB 与⊙C 相切 d=r→r=2.4。
思路提炼：判断 “直线与圆是否相切”，关键是计算 “圆心到直线的距离 d”，再令 d=r 求解半径。
第 7 页：典例精讲 2 切线性质的应用
例题 3：线段计算（切线与半径垂直）
如图，直线 l 切⊙O 于点 A，OA=5cm，OB⊥l 于 B，OB=13cm，求 AB 的长。
解答步骤：
∵ l 是⊙O 的切线，A 是切点，∴ OA⊥l（切线性质定理）；
又∵ OB⊥l，∴ OA 与 OB 在同一条直线上（过一点有且只有一条直线与已知直线垂直）；
在 Rt△OAB 中，OA=5cm，OB=13cm，由勾股定理得 AB=√(OB -OA )=√(13 -5 )=12cm。
例题 4：角度证明（切线与半径垂直）
如图，AB 是⊙O 的直径，直线 l 切⊙O 于 A，且 l∥BC，求证：∠ABC=90°。
解答步骤：
∵ l 切⊙O 于 A，AB 是直径（过切点的半径），∴ AB⊥l（切线性质定理）；
∵ l∥BC，∴ AB⊥BC（若一条直线垂直于一组平行线中的一条，必垂直于另一条）；
∴ ∠ABC=90°。
思路提炼：遇切线问题，优先连接 “过切点的半径”，构造直角（90° 角），为计算或证明提供条件。
第 8 页：易错警示与避坑指南
常见易错点：
混淆 “切线的定义” 与 “切线的性质”：误将 “直线与圆有一个公共点” 当作切线性质（这是定义，性质是 “切线垂直于过切点的半径”）；
忽略 “过切点” 的条件：误说 “切线垂直于圆的任意半径”（仅垂直于 “过切点” 的半径，其他半径不垂直）；
计算 d 时出错：求 “圆心到直线的距离” 时，未作垂线直接用线段长度代替（如误将 “圆心到直线上某点的距离” 当作 d）。
避坑技巧：
记忆切线性质时，强调 “过切点” 三个字，可结合反例（如切线与非切点的半径不垂直）强化；
求 d 时，严格遵循 “过圆心作直线的垂线，垂线段长度即为 d” 的定义，必要时用勾股定理计算；
判断位置关系时，先明确 “已知条件是公共点数量还是 d、r 关系”，再对应法则判断。
第 9 页：课堂练习 分层巩固
基础题：
（1）⊙O 的半径 r=4cm，圆心 O 到直线 l 的距离 d=3cm，则直线 l 与⊙O 的位置关系是______，公共点数量为______个。（答案：相交，2）
（2）直线 l 切⊙O 于点 P，OP=6cm，则圆心 O 到直线 l 的距离为______cm。（答案：6，提示：OP 是过切点的半径，距离 d=OP=r）
中档题：
如图，AB 是⊙O 的切线，B 为切点，AO=10，OB=6，求 AB 的长。（答案：8，提示：OB⊥AB，用勾股定理）
提升题：
如图，⊙O 的直径 AB=10，直线 l 切⊙O 于 A，点 C 在 l 上，且 AC=AB，求∠ABC 的度数。（答案：45°，提示：AB⊥l，AC=AB=10，△ABC 为等腰直角三角形）
第 10 页：课堂小结与作业布置
小结：
直线与圆的位置关系：3 种（相离、相切、相交），核心是 “d 与 r 的数量关系”（d>r 相离，d=r 相切，d切线性质：切线垂直于过切点的半径（核心定理），推论可用于找圆心或切点；
应用关键：判断位置关系找 d 与 r，遇切线连 “过切点的半径” 构造直角。
作业：
基础作业：教材习题 3.6 第 1、2、3 题（位置关系判断、切线性质计算）；
拓展作业：如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=8，BC=6，以 C 为圆心画圆，当⊙C 的半径 r 为何值时，⊙C 与 AB 相切？（答案：r=4.8）；
实践作业：观察生活中的切线现象（如车轮与地面、刀具与圆形工件），记录切线与半径的位置关系，下节课分享。
2025-2026学年北师大版数学九年级下册【示范课精品课件】
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
3.6.1 直线和圆的位置关系及切线的性质
第三章 圆
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
如图，在太阳升起的过程中，太阳和地平线会有几种位置关系 我们把太阳看作一个圆，地平线看作一条直线，由此你能得出直线和圆的位置关系吗
1
直线与圆的三种位置关系
问题1 如果我们把太阳看成一个圆，地平线看成一条直线，那你能根据直线和圆的公共点个数想象一下，直线和圆有几种位置关系吗？
作一个圆，将直尺的边缘看成一条直线. 固定圆，平移直尺，直线和圆有几种位置关系？
l
自主探究
l
l
相离
相切
相交
切线
割线
切点
交点
直线与圆的位置关系
公共交点个数
位置关系
无公共点
1 个公共点
2 个公共点
相离
相切
相交
归纳总结
除了公共点个数不同外，还可以用什么样的数量关系来描述直线和圆的位置关系
类比点和圆的位置关系.
相离 d＞r
相切 d = r
相交 d＜r
相离 d＞r
相切 d = r
相交 d＜r
合作探究
图形
直线与圆的 位置关系
公共点个数
圆心到直线的距离 d 与半径 r 的关系
2 个
1 个
0 个
相离
相切
相交
d＞r
d = r
d＜r
归纳总结
例1 已知圆的半径为 6 cm，设直线和圆心的距离为 d ：
（3）若 d = 8 cm ，则直线与圆______，直线与圆有____个公共点.
（2）若 d = 6 cm ，则直线与圆______，直线与圆有____个公共点.
（1）若 d = 4 cm ，则直线与圆 ，直线与圆有____个公共点.
相交
相切
相离
2
1
0
典例精析
(3) 若 AB 和 ⊙O 相交,则 .
1. 已知 ⊙O 的半径为 5 cm，圆心 O 与直线 AB 的距离为d，根据条件
填写 d 的范围:
(1) 若 AB 和 ⊙O 相离, 则 ；
(2) 若 AB 和 ⊙O 相切, 则 ；
d ＞ 5 cm
d = 5 cm
0 cm≤d ＜ 5 cm
练一练
1.(浙江)已知平面内有⊙O 和点 A，B，若⊙O 半径为 2 cm，线段 OA = 3 cm，OB = 2 cm，则直线 AB 与⊙O 的位置关系为 ( )
A. 相离 B. 相交
C. 相切 D. 相交或相切
D
链接中考
（1）请举出生活中直线与圆相交、相切、相离的实例.
议一议
2
圆的切线的性质
（2）下图中的三个图形是轴对称图形吗？如果是，你能画出它们的对称轴吗？
都是轴对称图形.
l
O
O
l
O
l
（3）如图，直线 CD 与⊙O 相切于点 A，直线 AB 与直线 CD 有怎样的位置关系？说一说你的理由.
O
C
B
D
A
∵ 图形是轴对称图形，AB 所在的直线是对称轴，
AB⊥CD .
∴沿 AB 对折图形时，AC 与 AD 重合，
因此∠BAC＝∠BAD＝90°.
小亮的理由是:直径 AB 与直线 CD 要么垂直，要么不垂直.
（1）假设 AB 与 CD 不垂直，过点 O 作一条
直径垂直于 CD，垂足为 M，
（2）则 OM离小于 ⊙O 的半径，因此，CD 与 ⊙O
相交.这与已知条件“直线与 ⊙O 相切”
相矛盾.
C
D
B
O
A
（3）所以 AB 与 CD 垂直.
M
证法：反证法.
圆的切线垂直于过切点的半径.
切线的性质定理
作过切点的半径是常用经验辅助线之一
归纳总结
O
C
B
D
A
∵ CD 是⊙O 的切线，A 是切点，OA 是⊙O 的半径，
∴CD⊥OA.
几何语言：
例2 已知 Rt△ABC 的斜边 AB = 8 cm，AC = 4 cm.
（1）以点 C 为圆心作圆，当半径为多长时，AB 与 ⊙C 相切？
C
A
B
D
∴ CD = AC sinA = 4 sin 60°
∴ ∠A = 60°.
∵ AC = 4 cm，AB = 8 cm，
解：(1) 如图，过点 C 作 AB 的垂线，垂足为 D.
你还有其他解法吗？
例2 已知 Rt△ABC 的斜边 AB = 8 cm，AC = 4 cm.
（2）以点 C 为圆心，分别以 2 cm 和 4 cm 的长为半径作两个圆，这两个圆与 AB 分别有怎样的位置关系？
C
A
B
D
所以 当 r = 2 cm 时，d > r，⊙C 与 AB 相离；
（2）由（1）可知，圆心 C 到 AB 的距离 ，
当 r = 4 cm 时，d < r，
⊙C 与 AB 相交.
.O
.
O
.O
.O
.O
1. 看图判断直线 l 与 ⊙O 的位置关系？
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
相离
相交
相切
相交
注意：直线是可以无限延伸的．
相交
3. ⊙O 的最大弦长为 8，若圆心 O 到直线 l 的距离为 d = 5，则直线 l 与⊙O .
2．直线和圆相交，圆的半径为 r，且圆心到直线的距离为 5，则有（ ）
A. r＜ 5 B. r ＞ 5 C. r = 5 D. r ≥ 5
B
相离
4. 如图，在 ⊙O 的内接四边形 ABCD 中，AB 是直径，∠BCD=120°，过 D 点的切线 PD 与直线 AB 交于点 P，则 ∠ADP 的度数为（ ）
A．40° B．35°
C．30° D．45°
C
第5题
P
O
D
A
B
C
5. 如图，已知 AB 是 ⊙O 的切线，半径 OC 的延长线与 AB 相交于点 B，且 OC = BC.
（1）求证： AC = OB.
（2）求 ∠B 的度数.
(1) 证明：∵AB 是 ⊙O 的切线，OA 为半径，
∴∠OAB = 90°，
在 Rt△OAB 中，∵OC = CB，
∴AC = OC = OB.
(2) 解：由 (1) 可知 OA = OC = AC，
∴△OAC 为等边三角形，
∴∠AOB = 60°，
∴在 Rt△OAB 中，
∠B = 90°-60° = 30°.
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B
1.
如图是日出美景，图中太阳与海天交界处可看成圆与直线，它们的位置关系是( )
A．相切
B．相交
C．相离
D．无法确定
返回
2.
A
已知直线l与⊙O相离，圆心O到直线l的距离为5 cm，则⊙O的半径可能为( )
A．4 cm
B．5 cm
C．6 cm
D．7 cm
返回
3.
C
如图，∠AOB＝30°，C为OB上一点，且OC＝3，以点C为圆心，1.5为半径的圆与OA的公共点有( )
A．3个
B．2个
C．1个
D．0个
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4.
相切
平面直角坐标系中，以点A(3，4)为圆心，4为半径的圆一定与x轴________，与y轴________．(填“相交”“相切”或“相离”)
相交
5.
(12分)[教材P91“习题3.7”第1题变式]在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，AB＝13，以点C为圆心作⊙C．
(1)若⊙C与AB相切，求⊙C的半径r；
(2)若⊙C与直线AB相交，求⊙C的半径r的取值范围；
(3)若⊙C与直线AB没有公共点，求⊙C的半径r的取值范围.
返回
返回
6.
40°
[2024浙江中考] 如图，AB是⊙O的直径，AC与⊙O相切，A为切点，连接BC．已知∠ACB＝50°，则∠B的度数为________.
返回
7.
C
如图，已知PA与⊙O相切于点A，⊙O的半径为3，
OP＝5，则PA为( )
返回
8.
D
如图，已知△ABC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，与AC相切于点A，连接OD．若∠AOD＝80°，则∠C的度数为( )
A．30°
B．40°
C．45°
D．50°
返回
9.
A
如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD是⊙O的切线，D为切点，若∠A＝35°，则∠C的度数为( )
A．20°
B．30°
C．40°
D．50°
返回
10.
D
已知⊙O的半径为2，点P在直线l上，OP＝2，则直线l与⊙O的位置关系为( )
A．相切
B．相离
C．相离或相切
D．相切或相交
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11.
A
返回
12.
B
已知⊙O的半径是一元二次方程x2－3x－4＝0的一个根，圆心O到直线l的距离d＝6，则直线l与⊙O的位置关系是( )
A．相切
B．相离
C．相交
D．相切或相交
直线与圆有唯一公共点
相离
相切
相交
直线与圆的位置关系
直线和圆相交
d< r
直线和圆相切
d= r
直线和圆相离
d> r
用圆心 O 到直线的距离 d 与圆的半径 r 的关系来区分:
直线与圆没有公共点
直线与圆有两个公共点
切线的
性质
有1个公共点
d=r
圆的切线垂直于经过切点的半径
有切线时常用辅助线添加方法：
见切线，连切点，得垂直.
性质定理
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！
第 1 页：封面页
标题：3.6.1 直线和圆的位置关系及切线的性质
副标题：北师大版九年级数学下册
配图：左侧并列展示 “直线与圆相离、相切、相交” 三种示意图（分别标注 0 个、1 个、2 个公共点），右侧为 “切线垂直于过切点的半径” 特写图（标注直线 l 切⊙O 于 A，OA⊥l）
落款：授课教师 / 日期
第 2 页：学习目标
知识目标：理解直线与圆的三种位置关系（相离、相切、相交），掌握 “圆心到直线的距离 d 与半径 r” 的数量关系对应法则，熟记切线的性质定理（切线垂直于过切点的半径）及推论。
能力目标：能根据 d 与 r 的关系判断直线与圆的位置关系，通过切线性质解决 “线段计算”“角度证明” 等问题，提升几何分析与逻辑推理能力。
素养目标：体会 “形（公共点数量）与数（d、r 关系）” 的对应统一，感受切线性质的严谨性，培养数形结合与转化思想。
第 3 页：情境导入 直线与圆的位置关系
生活情境（配图）：
太阳升起时，太阳（圆）与地平线（直线）的位置变化：从 “圆在直线下方（相离）” 到 “圆与直线有一个交点（相切，日出瞬间）”，再到 “圆与直线有两个交点（相交，太阳升起后）”；
用直尺（直线）靠近圆形硬币（圆），观察两者公共点数量的变化。
思考引入：直线与圆的公共点数量有几种可能？不同公共点数量对应的 “圆心到直线的距离” 与 “圆的半径” 有什么关系？
第 4 页：核心概念 1 直线与圆的三种位置关系
1. 分类定义（按公共点数量）
位置关系
公共点数量
定义
图示特征
相离
0 个
直线与圆没有公共点，叫做直线与圆相离
直线在圆外，无交点
相切
1 个
直线与圆有唯一公共点，叫做直线与圆相切，这条直线叫做圆的切线，唯一公共点叫做切点
直线与圆 “刚好接触”，仅 1 个交点
相交
2 个
直线与圆有两个公共点，叫做直线与圆相交，这条直线叫做圆的割线，两个公共点间的线段叫做弦
直线穿过圆，有 2 个交点
2. 数量关系对应法则（核心判断依据）
设⊙O 的半径为 r，圆心 O 到直线 l 的距离为 d（即从 O 向 l 作垂线，垂足为 P，OP=d），则：
直线 l 与⊙O 相离 d > r；
直线 l 与⊙O 相切 d = r；
直线 l 与⊙O 相交 d < r。
3. 实例验证
例 1：⊙O 半径 r=3cm，圆心 O 到直线 l 的距离 d=4cm→d>r→直线 l 与⊙O 相离；
例 2：⊙O 半径 r=5cm，直线 l 过圆心 O→d=0
第 5 页：核心概念 2 切线的性质定理
1. 定理探究（动手操作 + 推理）
操作：
画⊙O，作切线 l 切⊙O 于点 A（确保 l 与⊙O 仅 1 个交点 A）；
连接 OA（过切点的半径），用三角板测量∠OAl 的度数。
观察：∠OAl=90°，即 OA⊥l。
2. 切线性质定理
圆的切线垂直于过切点的半径。
符号语言：如图，直线 l 是⊙O 的切线，切点为 A，则 OA⊥l（OA 是过切点的半径）。
证明（反证法）：
假设 OA 与 l 不垂直，过 O 作 OP⊥l 于 P，则 OP
3. 推论（切线性质延伸）
经过圆心且垂直于切线的直线，必经过切点（若直线过 O 且⊥l，则直线过切点 A）；
经过切点且垂直于切线的直线，必经过圆心（若直线过 A 且⊥l，则直线过圆心 O）。
作用：推论可用于 “找圆心”（已知切线和切点，作切线的垂线即过圆心）或 “找切点”（已知圆心和切线，过圆心作切线的垂线即得切点）。
第 6 页：典例精讲 1 直线与圆位置关系的判断
例题 1：根据 d 与 r 判断位置关系
已知⊙O 的半径 r=5，圆心 O 到直线 l 的距离 d 分别为以下值，判断直线 l 与⊙O 的位置关系：
（1）d=3；（2）d=5；（3）d=6。
解答：
（1）∵ d=3
（3）∵ d=6>r=5→直线 l 与⊙O 相离。
例题 2：结合几何图形求 d 与 r
如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=3，BC=4，以 C 为圆心、r 为半径画圆，当 r 为何值时，⊙C 与 AB 相切？
解答步骤：
求圆心 C 到直线 AB 的距离 d（即 AB 边上的高）；
由勾股定理得 AB=√(AC +BC )=5；
由三角形面积公式：S△ABC=(1/2) AC×BC=(1/2) AB×d→d=(3×4)/5=12/5=2.4；
∵ 直线 AB 与⊙C 相切 d=r→r=2.4。
思路提炼：判断 “直线与圆是否相切”，关键是计算 “圆心到直线的距离 d”，再令 d=r 求解半径。
第 7 页：典例精讲 2 切线性质的应用
例题 3：线段计算（切线与半径垂直）
如图，直线 l 切⊙O 于点 A，OA=5cm，OB⊥l 于 B，OB=13cm，求 AB 的长。
解答步骤：
∵ l 是⊙O 的切线，A 是切点，∴ OA⊥l（切线性质定理）；
又∵ OB⊥l，∴ OA 与 OB 在同一条直线上（过一点有且只有一条直线与已知直线垂直）；
在 Rt△OAB 中，OA=5cm，OB=13cm，由勾股定理得 AB=√(OB -OA )=√(13 -5 )=12cm。
例题 4：角度证明（切线与半径垂直）
如图，AB 是⊙O 的直径，直线 l 切⊙O 于 A，且 l∥BC，求证：∠ABC=90°。
解答步骤：
∵ l 切⊙O 于 A，AB 是直径（过切点的半径），∴ AB⊥l（切线性质定理）；
∵ l∥BC，∴ AB⊥BC（若一条直线垂直于一组平行线中的一条，必垂直于另一条）；
∴ ∠ABC=90°。
思路提炼：遇切线问题，优先连接 “过切点的半径”，构造直角（90° 角），为计算或证明提供条件。
第 8 页：易错警示与避坑指南
常见易错点：
混淆 “切线的定义” 与 “切线的性质”：误将 “直线与圆有一个公共点” 当作切线性质（这是定义，性质是 “切线垂直于过切点的半径”）；
忽略 “过切点” 的条件：误说 “切线垂直于圆的任意半径”（仅垂直于 “过切点” 的半径，其他半径不垂直）；
计算 d 时出错：求 “圆心到直线的距离” 时，未作垂线直接用线段长度代替（如误将 “圆心到直线上某点的距离” 当作 d）。
避坑技巧：
记忆切线性质时，强调 “过切点” 三个字，可结合反例（如切线与非切点的半径不垂直）强化；
求 d 时，严格遵循 “过圆心作直线的垂线，垂线段长度即为 d” 的定义，必要时用勾股定理计算；
判断位置关系时，先明确 “已知条件是公共点数量还是 d、r 关系”，再对应法则判断。
第 9 页：课堂练习 分层巩固
基础题：
（1）⊙O 的半径 r=4cm，圆心 O 到直线 l 的距离 d=3cm，则直线 l 与⊙O 的位置关系是______，公共点数量为______个。（答案：相交，2）
（2）直线 l 切⊙O 于点 P，OP=6cm，则圆心 O 到直线 l 的距离为______cm。（答案：6，提示：OP 是过切点的半径，距离 d=OP=r）
中档题：
如图，AB 是⊙O 的切线，B 为切点，AO=10，OB=6，求 AB 的长。（答案：8，提示：OB⊥AB，用勾股定理）
提升题：
如图，⊙O 的直径 AB=10，直线 l 切⊙O 于 A，点 C 在 l 上，且 AC=AB，求∠ABC 的度数。（答案：45°，提示：AB⊥l，AC=AB=10，△ABC 为等腰直角三角形）
第 10 页：课堂小结与作业布置
小结：
直线与圆的位置关系：3 种（相离、相切、相交），核心是 “d 与 r 的数量关系”（d>r 相离，d=r 相切，d
应用关键：判断位置关系找 d 与 r，遇切线连 “过切点的半径” 构造直角。
作业：
基础作业：教材习题 3.6 第 1、2、3 题（位置关系判断、切线性质计算）；
拓展作业：如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=8，BC=6，以 C 为圆心画圆，当⊙C 的半径 r 为何值时，⊙C 与 AB 相切？（答案：r=4.8）；
实践作业：观察生活中的切线现象（如车轮与地面、刀具与圆形工件），记录切线与半径的位置关系，下节课分享。
2025-2026学年北师大版数学九年级下册【示范课精品课件】
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
3.6.1 直线和圆的位置关系及切线的性质
第三章 圆
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
如图，在太阳升起的过程中，太阳和地平线会有几种位置关系 我们把太阳看作一个圆，地平线看作一条直线，由此你能得出直线和圆的位置关系吗
1
直线与圆的三种位置关系
问题1 如果我们把太阳看成一个圆，地平线看成一条直线，那你能根据直线和圆的公共点个数想象一下，直线和圆有几种位置关系吗？
作一个圆，将直尺的边缘看成一条直线. 固定圆，平移直尺，直线和圆有几种位置关系？
l
自主探究
l
l
相离
相切
相交
切线
割线
切点
交点
直线与圆的位置关系
公共交点个数
位置关系
无公共点
1 个公共点
2 个公共点
相离
相切
相交
归纳总结
除了公共点个数不同外，还可以用什么样的数量关系来描述直线和圆的位置关系
类比点和圆的位置关系.
相离 d＞r
相切 d = r
相交 d＜r
相离 d＞r
相切 d = r
相交 d＜r
合作探究
图形
直线与圆的 位置关系
公共点个数
圆心到直线的距离 d 与半径 r 的关系
2 个
1 个
0 个
相离
相切
相交
d＞r
d = r
d＜r
归纳总结
例1 已知圆的半径为 6 cm，设直线和圆心的距离为 d ：
（3）若 d = 8 cm ，则直线与圆______，直线与圆有____个公共点.
（2）若 d = 6 cm ，则直线与圆______，直线与圆有____个公共点.
（1）若 d = 4 cm ，则直线与圆 ，直线与圆有____个公共点.
相交
相切
相离
2
1
0
典例精析
(3) 若 AB 和 ⊙O 相交,则 .
1. 已知 ⊙O 的半径为 5 cm，圆心 O 与直线 AB 的距离为d，根据条件
填写 d 的范围:
(1) 若 AB 和 ⊙O 相离, 则 ；
(2) 若 AB 和 ⊙O 相切, 则 ；
d ＞ 5 cm
d = 5 cm
0 cm≤d ＜ 5 cm
练一练
1.(浙江)已知平面内有⊙O 和点 A，B，若⊙O 半径为 2 cm，线段 OA = 3 cm，OB = 2 cm，则直线 AB 与⊙O 的位置关系为 ( )
A. 相离 B. 相交
C. 相切 D. 相交或相切
D
链接中考
（1）请举出生活中直线与圆相交、相切、相离的实例.
议一议
2
圆的切线的性质
（2）下图中的三个图形是轴对称图形吗？如果是，你能画出它们的对称轴吗？
都是轴对称图形.
l
O
O
l
O
l
（3）如图，直线 CD 与⊙O 相切于点 A，直线 AB 与直线 CD 有怎样的位置关系？说一说你的理由.
O
C
B
D
A
∵ 图形是轴对称图形，AB 所在的直线是对称轴，
AB⊥CD .
∴沿 AB 对折图形时，AC 与 AD 重合，
因此∠BAC＝∠BAD＝90°.
小亮的理由是:直径 AB 与直线 CD 要么垂直，要么不垂直.
（1）假设 AB 与 CD 不垂直，过点 O 作一条
直径垂直于 CD，垂足为 M，
（2）则 OM
相交.这与已知条件“直线与 ⊙O 相切”
相矛盾.
C
D
B
O
A
（3）所以 AB 与 CD 垂直.
M
证法：反证法.
圆的切线垂直于过切点的半径.
切线的性质定理
作过切点的半径是常用经验辅助线之一
归纳总结
O
C
B
D
A
∵ CD 是⊙O 的切线，A 是切点，OA 是⊙O 的半径，
∴CD⊥OA.
几何语言：
例2 已知 Rt△ABC 的斜边 AB = 8 cm，AC = 4 cm.
（1）以点 C 为圆心作圆，当半径为多长时，AB 与 ⊙C 相切？
C
A
B
D
∴ CD = AC sinA = 4 sin 60°
∴ ∠A = 60°.
∵ AC = 4 cm，AB = 8 cm，
解：(1) 如图，过点 C 作 AB 的垂线，垂足为 D.
你还有其他解法吗？
例2 已知 Rt△ABC 的斜边 AB = 8 cm，AC = 4 cm.
（2）以点 C 为圆心，分别以 2 cm 和 4 cm 的长为半径作两个圆，这两个圆与 AB 分别有怎样的位置关系？
C
A
B
D
所以 当 r = 2 cm 时，d > r，⊙C 与 AB 相离；
（2）由（1）可知，圆心 C 到 AB 的距离 ，
当 r = 4 cm 时，d < r，
⊙C 与 AB 相交.
.O
.
O
.O
.O
.O
1. 看图判断直线 l 与 ⊙O 的位置关系？
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
相离
相交
相切
相交
注意：直线是可以无限延伸的．
相交
3. ⊙O 的最大弦长为 8，若圆心 O 到直线 l 的距离为 d = 5，则直线 l 与⊙O .
2．直线和圆相交，圆的半径为 r，且圆心到直线的距离为 5，则有（ ）
A. r＜ 5 B. r ＞ 5 C. r = 5 D. r ≥ 5
B
相离
4. 如图，在 ⊙O 的内接四边形 ABCD 中，AB 是直径，∠BCD=120°，过 D 点的切线 PD 与直线 AB 交于点 P，则 ∠ADP 的度数为（ ）
A．40° B．35°
C．30° D．45°
C
第5题
P
O
D
A
B
C
5. 如图，已知 AB 是 ⊙O 的切线，半径 OC 的延长线与 AB 相交于点 B，且 OC = BC.
（1）求证： AC = OB.
（2）求 ∠B 的度数.
(1) 证明：∵AB 是 ⊙O 的切线，OA 为半径，
∴∠OAB = 90°，
在 Rt△OAB 中，∵OC = CB，
∴AC = OC = OB.
(2) 解：由 (1) 可知 OA = OC = AC，
∴△OAC 为等边三角形，
∴∠AOB = 60°，
∴在 Rt△OAB 中，
∠B = 90°-60° = 30°.
返回
B
1.
如图是日出美景，图中太阳与海天交界处可看成圆与直线，它们的位置关系是( )
A．相切
B．相交
C．相离
D．无法确定
返回
2.
A
已知直线l与⊙O相离，圆心O到直线l的距离为5 cm，则⊙O的半径可能为( )
A．4 cm
B．5 cm
C．6 cm
D．7 cm
返回
3.
C
如图，∠AOB＝30°，C为OB上一点，且OC＝3，以点C为圆心，1.5为半径的圆与OA的公共点有( )
A．3个
B．2个
C．1个
D．0个
返回
4.
相切
平面直角坐标系中，以点A(3，4)为圆心，4为半径的圆一定与x轴________，与y轴________．(填“相交”“相切”或“相离”)
相交
5.
(12分)[教材P91“习题3.7”第1题变式]在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，AB＝13，以点C为圆心作⊙C．
(1)若⊙C与AB相切，求⊙C的半径r；
(2)若⊙C与直线AB相交，求⊙C的半径r的取值范围；
(3)若⊙C与直线AB没有公共点，求⊙C的半径r的取值范围.
返回
返回
6.
40°
[2024浙江中考] 如图，AB是⊙O的直径，AC与⊙O相切，A为切点，连接BC．已知∠ACB＝50°，则∠B的度数为________.
返回
7.
C
如图，已知PA与⊙O相切于点A，⊙O的半径为3，
OP＝5，则PA为( )
返回
8.
D
如图，已知△ABC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，与AC相切于点A，连接OD．若∠AOD＝80°，则∠C的度数为( )
A．30°
B．40°
C．45°
D．50°
返回
9.
A
如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD是⊙O的切线，D为切点，若∠A＝35°，则∠C的度数为( )
A．20°
B．30°
C．40°
D．50°
返回
10.
D
已知⊙O的半径为2，点P在直线l上，OP＝2，则直线l与⊙O的位置关系为( )
A．相切
B．相离
C．相离或相切
D．相切或相交
返回
11.
A
返回
12.
B
已知⊙O的半径是一元二次方程x2－3x－4＝0的一个根，圆心O到直线l的距离d＝6，则直线l与⊙O的位置关系是( )
A．相切
B．相离
C．相交
D．相切或相交
直线与圆有唯一公共点
相离
相切
相交
直线与圆的位置关系
直线和圆相交
d< r
直线和圆相切
d= r
直线和圆相离
d> r
用圆心 O 到直线的距离 d 与圆的半径 r 的关系来区分:
直线与圆没有公共点
直线与圆有两个公共点
切线的
性质
有1个公共点
d=r
圆的切线垂直于经过切点的半径
有切线时常用辅助线添加方法：
见切线，连切点，得垂直.
性质定理
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
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