3.6.2 切线的判定与三角形的内切圆 课件(共38张PPT)-2025-2026学年北师大版数学九年级下册教学课件

(共38张PPT)
第 1 页：封面页
标题：3.6.2 切线的判定与三角形的内切圆
副标题：北师大版九年级数学下册
配图：左侧为 “切线判定定理” 示意图（直线 l 垂直于⊙O 半径 OA 外端 A，标注 l 是⊙O 切线），右侧为 “三角形内切圆” 示意图（⊙I 内切于△ABC，标注圆心 I、切点 D、E、F 及半径 r）
落款：授课教师 / 日期
第 2 页：学习目标
知识目标：掌握切线的两种判定方法（距离法、垂直法），理解三角形内切圆、内心的定义与性质，熟记内心是三角形三条角平分线的交点，能计算简单三角形的内切圆半径。
能力目标：能运用切线判定定理证明直线是圆的切线，通过内心性质解决 “角度计算”“半径求解” 等问题，提升几何推理与综合分析能力。
素养目标：体会 “判定与性质” 的逻辑对应，感受内切圆与三角形的位置关联，培养数形结合与转化思想，规范几何证明的语言表达。
第 3 页：回顾衔接 切线的性质与判定的关联
知识回顾：
上节课切线性质：圆的切线垂直于过切点的半径（已知 “是切线”，推 “垂直关系”）；
直线与圆相切的数量关系：圆心到直线的距离 d = 半径 r（可用于判断位置关系）。
思考引入：
反过来，若 “圆心到直线的距离 d=r”，能否判定直线是圆的切线？
若 “直线垂直于圆的半径，且垂足在圆上”，能否判定直线是圆的切线？
第 4 页：核心模块 1 切线的判定定理
1. 判定方法一：距离法（从位置关系逆推）
判定依据：若圆心到直线的距离 d 等于圆的半径 r，则这条直线是圆的切线。
符号语言：设⊙O 半径为 r，圆心 O 到直线 l 的距离为 d，若 d=r，则 l 是⊙O 的切线。
应用场景：已知或可计算 “圆心到直线的距离” 时，优先用此方法。
例题 1：如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=6，BC=8，以 C 为圆心、r=4.8 为半径画圆，求证：AB 是⊙C 的切线。
证明：
过 C 作 CD⊥AB 于 D，计算 CD 的长（即圆心 C 到 AB 的距离 d）；
由勾股定理得 AB=10，由面积公式得 S△ABC=(1/2) AC×BC=(1/2) AB×CD→CD=(6×8)/10=4.8；
∵ CD=r=4.8，即 d=r，∴ AB 是⊙C 的切线。
2. 判定方法二：垂直法（切线判定定理）
定理内容：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
关键词解析：
“经过半径外端”：直线与半径的垂足在圆上（排除 “垂足在圆内” 的情况）；
“垂直于这条半径”：直线与半径的夹角为 90°。
符号语言：如图，OA 是⊙O 的半径，直线 l 经过 A 点（OA 外端），且 l⊥OA，则 l 是⊙O 的切线。
证明（反证法）：
假设 l 不是⊙O 的切线，则 l 与⊙O 有两个交点或无交点；
若有两个交点，A 为其中一点，OA=r，过 O 作 OP⊥l 于 P，则 OP若无交点，则 OP>r，也与 OP=OA=r 矛盾；故假设不成立，l 是⊙O 的切线。
例题 2：如图，AB 是⊙O 的直径，点 C 在⊙O 上，过 C 作 CD⊥AB 于 D，延长 CD 至 E，使 DE=CD，求证：BE 是⊙O 的切线。
证明：
连接 OB、OC，∵ OA=OB，CD=DE，∴ OD 是△ABE 的中位线（三角形中位线定理）；
∴ OD∥BE，又∵ CD⊥AB，即 OD⊥CE，∴ BE⊥CE；
∵ OC=OB（半径），CD=DE，∴ △OCD≌△OED（SSS），∴ ∠OED=∠OCD=90°；
即 BE⊥OE，且 OE 是半径（E 在⊙O 上），∴ BE 是⊙O 的切线。
3. 判定方法总结
判定方法
适用场景
关键步骤
距离法
已知或可求圆心到直线的距离 d
1. 计算 d；2. 比较 d 与 r；3. 若 d=r，判定为切线
垂直法
已知直线过圆上一点（可连接半径）
1. 连接过该点的半径；2. 证明直线与半径垂直；3. 判定为切线
第 5 页：核心模块 2 三角形的内切圆与内心
1. 定义
三角形的内切圆：与三角形的三条边都相切的圆，叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形。
作图步骤（以△ABC 为例）：
作∠A、∠B 的角平分线，交于点 I（内心）；
过 I 作 ID⊥AB 于 D（ID 为内切圆半径 r）；
以 I 为圆心、ID 为半径画圆，即为△ABC 的内切圆（与 AB、BC、AC 分别切于 D、E、F）。
2. 内心的性质
内心是三角形三条角平分线的交点；
内心到三角形三条边的距离相等（均等于内切圆半径 r）；
内心一定在三角形内部（与外心位置不同，外心可能在外部）。
3. 内切圆半径的计算（面积法）
公式推导：设△ABC 的三边为 a、b、c，内切圆半径为 r，面积为 S，则：
S = S△IAB + S△IBC + S△IAC = (1/2) cr + (1/2) ar + (1/2) br = (1/2)(a+b+c) r；
故 r = 2S/(a+b+c)（a+b+c 为三角形周长）。
例题 3：在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=3，BC=4，AB=5，求其内切圆半径 r。
解答：
计算面积 S=(1/2)×3×4=6；
周长 a+b+c=3+4+5=12；
由公式得 r=2×6/12=1。
第 6 页：典例精讲 综合应用
例题 4：切线判定与内心结合
如图，△ABC 的内切圆⊙I 与 AB、BC、AC 分别切于 D、E、F，连接 IE、IF，∠A=60°，求证：四边形 AEDI 是矩形？（修正：应为 “四边形 IFCE 是正方形”，需调整条件）
调整例题：如图，△ABC 中，∠C=90°，内切圆⊙I 与 AB、BC、AC 分别切于 D、E、F，求证：四边形 IFCE 是正方形。
证明：
∵ ⊙I 切 AC 于 F，切 BC 于 E，∴ IF⊥AC，IE⊥BC（切线性质定理）；
∵ ∠C=90°，∴ 四边形 IFCE 是矩形（有三个直角）；
∵ IF=IE（内心到三边距离相等，均为半径 r），∴ 矩形 IFCE 是正方形。
例题 5：内切圆半径与角度计算
如图，△ABC 的内切圆⊙I 与三边切于 D、E、F，∠BIC=120°，求∠A 的度数。
解答步骤：
∵ I 是内心，∴ IB 平分∠ABC，IC 平分∠ACB（内心性质）；
∴ ∠IBC=(1/2)∠ABC，∠ICB=(1/2)∠ACB；
在△BIC 中，∠BIC=180°-(∠IBC+∠ICB)=180°-(1/2)(∠ABC+∠ACB)=120°；
∴ (1/2)(∠ABC+∠ACB)=60°→∠ABC+∠ACB=120°；
在△ABC 中，∠A=180°-(∠ABC+∠ACB)=60°。
第 7 页：易错警示与避坑指南
常见易错点：
切线判定定理条件缺失：仅证明 “直线垂直于半径”，忽略 “经过半径外端”（如直线垂直于半径但垂足在圆内，不是切线）；
混淆 “内心” 与 “外心”：误将内心（角平分线交点）当作外心（垂直平分线交点），或误记内心到顶点的距离为半径（内心到边的距离为半径）；
内切圆半径公式误用：将 “r=2S/(a+b+c)” 记为 “r=S/(a+b+c)”，忽略系数 2。
避坑技巧：
用垂直法判定切线时，在步骤中明确标注 “经过半径外端” 和 “垂直于半径” 两个条件，缺一不可；
用 “位置 + 距离” 区分内心与外心：内心在三角形内部，到边的距离相等；外心位置不确定，到顶点的距离相等；
推导内切圆半径公式时，结合 “三个小三角形面积之和等于大三角形面积”，强化对公式系数 2 的记忆。
第 8 页：课堂练习 分层巩固
基础题：
（1）在△ABC 中，∠C=90°，AC=5，BC=12，AB=13，其内切圆半径 r=。（答案：2，提示：r=2S/(a+b+c)=2×30/30=2）
（2）如图，OA 是⊙O 的半径，直线 l⊥OA 于 A，则 l 是⊙O 的，依据是______。（答案：切线，切线判定定理）
中档题：
如图，AB 是⊙O 的直径，点 D 在⊙O 上，过 D 作⊙O 的切线交 BC 于 E，且 DE⊥BC，求证：AB=BC。（提示：连接 OD，证 OD∥BC，OD=OB=AB/2，得 BC=AB）
提升题：
如图，△ABC 的内切圆⊙I 与 AB、BC、AC 分别切于 D、E、F，若 AB=5，BC=6，AC=7，求 AD 的长。（答案：3，提示：设 AD=AF=x，BD=BE=y，CE=CF=z，列方程组 x+y=5，y+z=6，x+z=7，解得 x=3）
第 9 页：课堂小结与作业布置
小结：
切线判定：两种方法（距离法 d=r，垂直法 “过半径外端且垂直半径”），需根据已知条件灵活选择；
三角形内切圆与内心：内心是角平分线交点，到三边距离相等（为半径 r），半径公式 r=2S/(a+b+c)；
核心关联：切线的判定与性质是 “互逆” 关系，内心与外心分别对应 “角平分线” 和 “垂直平分线” 的交点。
作业：
基础作业：教材习题 3.6 第 4、5、6 题（切线判定证明、内切圆半径计算）；
拓展作业：如图，在△ABC 中，AB=AC=10，BC=12，求其内切圆半径 r 及内心到 A 点的距离（答案：r=3，距离 = 5）；
实践作业：用尺规作图法作出一个锐角三角形的内切圆，测量并验证 “内心到三边距离相等”。
2025-2026学年北师大版数学九年级下册【示范课精品课件】
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3.6.2 切线的判定与三角形的内切圆
第三章 圆
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
转动雨伞时飞出的雨滴，用砂轮磨刀时擦出的火花，都是沿着什么方向飞出的？
都是沿切线方向飞出的.
生活中常看到切线的实例，如何判断一条直线是否为切线呢？
如图，AB 是 ⊙O 的直径，直线 l 与 AB 的夹角为∠α. 当 l 绕点 A 旋转时，
（1）随着∠α 的变化，点 O 到 l 的距离 d 如何变化？直线 l 与 ⊙O 的位置关系如何变化？
圆的切线的判定
1
合作探究
l
O
A
B
α
d
l
l
l
O
A
B
α
d
l
l
直线 l 与 ⊙O 先 ，再 ，最后又 .
合作探究
r
∠α 从 90° 变小到 0°，再由 0° 变大到 90°，点 O 到 l 的距离 d 先由 r 变小到 0，再由 0 变大到 r.
相切
相交
相切
（2）当∠α 等于多少度时，点 O 到 l 的距离 d 等于半径 r ？此时，直线 l 与 ⊙O 有怎样的位置关系？为什么？
O
A
B
α
d
l
O
A
B
α
d
l
l
O
A
B
r
图1
图2
图3
r
r
当∠α = 90° 时，点 O 到 l 的距离 d 等于半径 r . 此时，直线 l 与 ⊙O 相切.
合作探究
知识要点
过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
切线的判定定理
几何语言：
∵ OA 为⊙O 的半径，
BC⊥OA 于A，
∴BC 为⊙O 的切线.
O
C
B
D
A
例1 判断：
(1) 过半径的外端的直线是圆的切线 ( )
(2) 与半径垂直的的直线是圆的切线 ( )
(3) 过半径的端点与半径垂直的直线是圆的切线 ( )
×
×
×
典例精析
利用判定定理时，要注意直线须具备以下两个条件：
(1) 直线经过半径的外端；
(2) 直线与这半径垂直.
总结
缺一不可
方法总结
做一做
已知 ⊙O 上有一点 A，过点 A 画 ⊙O 的切线.
O
A
l
总结
证明切线的方法 ：
(1) 定义法(交点个数)；
(2) 数量关系法(证明 d = r)；
(3) 判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
方法总结
例2 如图，已知：直线 AB 经过⊙O 上的点 C 并且OA = OB，CA = CB.
求证：直线 AB 是⊙O 的切线.
证明：连接 OC (如图).
∵ OA = OB，CA = CB，
∴ AB ⊥ OC.
∴ OC 是⊙O 的半径.
∴ AB 是⊙O 的切线.
典例精析
例3 如图，在 Rt△ABC 中，∠ABC = 90°，∠BAC 的平分线交 BC 于 D，以 D 为圆心，DB 长为半径作⊙D．
求证：AC 是⊙O 的切线．
E
证明：如图，过 D 作 DE⊥AC 于 E.
∵∠ABC = 90°，∴ DB⊥AB.
又∵ AD 平分∠BAC，DE⊥AC，
∴ DE = DB.
∴ AC 是⊙O 的切线.
有交点，连半径，证垂直；
无交点，作垂直，证相等(证明 d = r ).
方法总结
常见证切线作辅助线的方法：
思考 观察例 2 和例 3，说说这两种证明方法有什么不同.
E
合作探究
2
三角形的内切圆及内心
探究：小明在一家木料厂上班，工作之余想对厂里的三角形废料进行加工：裁下一块圆形用料，怎样才能最大化利用三角形废料呢？
最大化利用
里圆面积最大
里圆与三边相切
如图，已知△ABC.求作：和△ABC 的各边都相切的圆 I.
与三角形三边都相切
三个内角的平分线的交点
圆心到三边距离都相等
M
N
I
动手操作
例4 已知：△ABC.
求作：⊙I ，使它与△ABC 的三边都相切.
作法：
1. 分别作∠B，∠C 的平分线 BE 和 CF，交点为 I .
2. 过 I 作 BC 的垂线，垂足为D .
3. 以 I 为圆心，以 ID 的长为半径作⊙I .
⊙I 就是所求的圆.
与三角形三边都相切
M
N
I
D
这样的圆可以作出几个 为什么
∵直线 BM 和 CN 只有一个交点 I，并且点 I 到△ABC 三边的距离相等.
∴和△ABC三边都相切的圆可以作出一个，并且只能作一个.
知识要点
M
N
I
D
1. 与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆.
2. 三角形内切圆的圆心叫做这个三角形的内心.
3. 这个三角形叫做这个圆的外切三角形.
B
A
C
I
☉I 是△ABC 的内切圆，
点 I 是△ABC 的内心，
△ABC 是☉I 的外切三角形.
知识要点
例5 △ABC 中，⊙O 是 △ABC 的内切圆，∠A=70°，
求 ∠BOC 的度数.
A
B
C
O
解：∵∠A = 70°
∴∠ABC +∠ACB =180° -∠A=110°
∵⊙O 是 △ABC 的内切圆
∴BO，CO 分别是 ∠ABC 和 ∠ACB 的平分线
即∠OBC= ∠ABC ，∠OCB= ∠ACB
典例精析
∴∠BOC=180°-(∠OBC+∠OCB)
=180°- (∠ABC +∠ACB)
=180°- ×110°
= 125°.
A
B
C
O
（ √ ）
1. 判断下列命题是否正确.
(1) 经过半径外端的直线是圆的切线.
(2) 垂直于半径的直线是圆的切线.
(3) 过直径的外端并且垂直于这条直径的直线
是圆的切线.
(5) 和圆只有一个公共点的直线是圆的切线.
(6) 三角形的内心是三角形三个角平分线的交点.
(7) 三角形的内心到三角形各边的距离相等.
(8) 三角形的内心一定在三角形的内部.
（×）
（×）
（√ ）
（√ ）
（ √ ）
（ √ ）
2. 如图，⊙O 内切于△ABC，切点 D、E、F 分别在BC、AB、AC 上．已知∠B＝50°，∠C＝60°，连接 OE，OF，DE，DF，那么∠EDF 等于(　　)
A．40° B．55°
C．65° D．70°
解析：∵∠B＝50°，∠C＝60°，
∴∠A＝70°.
∵D、E、F 为⊙O 的切点，
∴∠OEA＝∠OFA＝90°.
∴∠EOF＝360°－∠A－∠OEA
－∠OFA
＝110°.
∴∠EDF＝ ∠EOF＝55°.
B
3.(宁夏)如图，以线段 AB 为直径作 ⊙O ，交射线 AC于点 C， AD 平分∠CAB 交 ⊙O 于点 D 作直线 DE⊥AC 于点 E，交 AB 的延长线于点 F.连接 BD 并延长交 AC 于点 M. 求证：直线 DE 是⊙O 的切线.
连接 OD
OD∥AC
∠ODF = ∠AED = 90°
AD 平分∠CAB
∠ODA =∠OAD
= ∠DAC
链接中考
证明：连接 OD.
∵AD 平分∠CAB，OA = OD，
∴∠ODA =∠OAD =∠DAC.
∴ OD∥AC.
又∵ DE⊥AC ，
∴∠ODF =∠AED = 90°，
即直线 DE 是⊙O 的切线.
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C
1.
下列直线中，一定是圆的切线的是(　　)
A．与圆有公共点的直线
B．垂直于圆的半径的直线
C．与圆心的距离等于半径的直线
D．经过圆的直径一端的直线
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2.
D
如图，点A在⊙O上，下列条件不能说明PA是⊙O的切线的是(　　)
A．OA2＋PA2＝OP2 　　
B．PA⊥OA
C．∠P＝30°，∠O＝60° 　　
D．OP＝2OA
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3.
60
如图，A，B是⊙O上的两点，AC是过点A的一条直线，如果∠AOB＝120°，那么当∠CAB＝______°时，AC与⊙O相切.
4.
(4分)如图，AB为⊙O的直径，如果圆上的点D恰好使∠ADC＝∠B，求证：直线CD与⊙O相切.
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证明：连接OD.∵OA＝OD，
∴∠A＝∠ODA，∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，∴∠A＋∠B＝90°.
又∵∠ADC＝∠B，∴∠ODA＋∠ADC＝90°，
即∠CDO＝90°，∴CD⊥OD.
又∵OD是⊙O的半径，∴直线CD与⊙O相切．
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5.
B
已知⊙O是△ABC的内切圆，则点O是△ABC的(　　)
A．三条边的垂直平分线的交点
B．三条角平分线的交点
C．三条中线的交点
D．三条高线的交点
返回
6.
D
如图，已知⊙O是△ABC的内切圆，D为⊙O与BC的切点，∠ABC＝40°，则∠BOD的度数是(　　)
A．40°
B．50°
C．60°
D．70°
返回
7.
115°
[教材P93“习题3.8”第2题变式]如图，点O是△ABC内切圆的圆心，已知∠ABC＝50°，∠ACB＝80°，则∠BOC的度数是________.
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8.
15
如图，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，O为△ABC的内心．若△ABO的面积为20，则△ACO的面积为________.
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9.
解：面积最大的圆即为△ABC的内切圆，分别作∠ACB，∠ABC的平分线，交点为点O，过点O作BC的垂线，垂足为点E.以点O为圆心，以OE为半径作⊙O.⊙O就是所求作的圆．图略．
(4分)[教材P92“例2”变式]如图，有一块三角形材料(△ABC)，请在这块材料上作一个面积最大的圆.
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10.
C
如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆上(不与A，B重合)，DE⊥AB于点D，交BC于点F，下列条件中能判定CE是半圆O的切线的是(　　)
A．∠E＝∠CFE
B．∠E＝∠ECF
C．∠ECF＝∠EFC
D．∠ECF＝60°
切线的
判定方法
定义法
数量关系法
判定定理
1个公共点，则相切
d = r，则相切
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
证切线时常用辅助线添加方法：
①有公共点，连半径，证垂直；
②无公共点，作垂直，证半径.
三角形内切圆
有关概念
内心概念及性质
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！