3.7 切线长定理 课件(共33张PPT)-2025-2026学年北师大版数学九年级下册教学课件

(共33张PPT)
第 1 页：封面页
标题：3.7 切线长定理
副标题：北师大版九年级数学下册
配图：左侧为 “切线长定理核心图形”（点 P 在⊙O 外，PA、PB 分别切⊙O 于 A、B，标注 PA=PB、∠APO=∠BPO），右侧为 “定理应用场景”（三角形内切圆中，从顶点引内切圆的两条切线长相等）
落款：授课教师 / 日期
第 2 页：学习目标
知识目标：理解切线长的定义，掌握切线长定理（从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角），能结合定理解决 “线段相等”“角度平分” 等问题。
能力目标：通过定理推导培养逻辑推理能力，运用切线长定理与三角形内切圆知识结合，解决 “切线长计算”“三角形周长与内切圆半径关联” 等综合问题，提升几何分析能力。
素养目标：体会 “从具体图形到抽象定理” 的推导过程，感受几何定理的严谨性，培养数形结合与转化思想，规范几何证明的语言表达。
第 3 页：情境导入 切线长的定义
生活情境（配图）：
用两根等长的绳子，一端固定在圆形桌面外的同一点 P，另一端分别系在桌面边缘的 A、B 两点，拉直绳子后，绳子与桌面边缘 “刚好接触”（形成切线）；
从圆外一点 P，用圆规和直尺画出圆的两条切线 PA、PB，观察 PA 与 PB 的长度关系。
切线长定义：
从圆外一点引圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。
（示例：点 P 在⊙O 外，PA 切⊙O 于 A，PB 切⊙O 于 B，则线段 PA、PB 的长均为点 P 到⊙O 的切线长）
思考引入：从圆外同一点引圆的两条切线，它们的切线长有什么关系？圆心与这一点的连线，对两条切线有什么作用？
第 4 页：核心定理 切线长定理（探究与证明）
1. 定理探究（动手操作 + 测量）
操作步骤：
画⊙O，在⊙O 外取一点 P；
用尺规作⊙O 的两条切线 PA、PB，切点分别为 A、B；
用刻度尺测量 PA、PB 的长度，用量角器测量∠APO、∠BPO 的度数（O 为圆心）。
观察结论：PA=PB，∠APO=∠BPO（圆心和圆外一点的连线平分两条切线的夹角）。
2. 切线长定理内容
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。
符号语言（如图，P 在⊙O 外，PA、PB 切⊙O 于 A、B）：
PA = PB（切线长相等）；
PO 平分∠APB（即∠APO = ∠BPO）。
3. 定理证明（逻辑推理）
已知：如图，点 P 在⊙O 外，PA、PB 分别切⊙O 于 A、B，连接 OA、OB、OP。
求证：PA=PB，OP 平分∠APB。
证明：
∵ PA、PB 是⊙O 的切线，OA、OB 是⊙O 的半径，∴ OA⊥PA，OB⊥PB（切线性质定理），即∠OAP=∠OBP=90°；
在 Rt△OAP 和 Rt△OBP 中，OA=OB（同圆半径相等），OP=OP（公共边）；
∴ Rt△OAP ≌ Rt△OBP（HL 全等判定）；
∴ PA=PB（全等三角形对应边相等），∠APO=∠BPO（全等三角形对应角相等）。
4. 定理延伸（结合圆的对称性）
由定理可知，OP 不仅平分∠APB，还垂直平分 AB（∵ Rt△OAP≌Rt△OBP，∴ ∠AOP=∠BOP，又 OA=OB，∴ OP 垂直平分 AB）；
结论：从圆外一点到圆的两条切线，其连线（AB）被圆心与该点的连线（OP）垂直平分。
第 5 页：典例精讲 1 切线长定理的基础应用
例题 1：求切线长与角度
如图，PA、PB 分别切⊙O 于 A、B，∠APB=60°，OP=10cm，求 PA 的长及⊙O 的半径 OA。
解答步骤：
由切线长定理得 PA=PB，OP 平分∠APB，∴ ∠APO=∠APB/2=30°；
∵ OA⊥PA（切线性质），∴ △OAP 是直角三角形（∠OAP=90°）；
在 Rt△OAP 中，∠APO=30°，OP=10cm，∴ OA=OP/2=5cm（30° 角所对的直角边等于斜边的一半）；
由勾股定理得 PA=√(OP - OA )=√(10 - 5 )=5√3 cm。
思路提炼：遇切线长问题，优先连接 “圆心与切点”（构造直角）和 “圆心与圆外点”（利用定理平分夹角），结合直角三角形性质求解。
例题 2：证明线段关系
如图，PA、PB 切⊙O 于 A、B，CD 切⊙O 于 E，分别交 PA、PB 于 C、D，求证：PC + PD = CD。
证明：
由切线长定理得：CA=CE（点 C 到⊙O 的两条切线长），DB=DE（点 D 到⊙O 的两条切线长）；
∵ CD=CE + DE，∴ CD=CA + DB；
又∵ PA=PB（点 P 到⊙O 的两条切线长），PA=PC + CA，PB=PD + DB；
∴ PC + CA = PD + DB → PC + CE = PD + DE → PC + PD = CE + DE + PC + PD - (CE + DE)？ 修正：直接代入 CD=CE+DE=CA+DB，而 PC + PD = (PA - CA) + (PB - DB) = PA + PB - (CA + DB) = 2PA - CD（此为周长相关结论），本题目标证 PC + PD = CD？ 实际应为证 “△PCD 的周长 = 2PA”，修正题目：求证 “△PCD 的周长 = PA + PB”。
修正证明：
由切线长定理：CA=CE，DB=DE，PA=PB；
△PCD 的周长 = PC + CD + PD=PC + (CE + DE) + PD=PC + CA + DB + PD=(PC + CA) + (PD + DB)=PA + PB；
故△PCD 的周长 = PA + PB（因 PA=PB，也可表示为 2PA）。
第 6 页：典例精讲 2 切线长定理与三角形内切圆的结合
例题 3：求三角形边长与内切圆半径
如图，△ABC 的内切圆⊙I 与三边 AB、BC、AC 分别切于 D、E、F，已知 AB=5，BC=6，AC=7，求 AD、BE、CF 的长及内切圆半径 r。
解答步骤：
设 AD=AF=x，BD=BE=y，CE=CF=z（切线长定理：从顶点到内切圆的两条切线长相等）；
根据三边长度列方程组：
x + y = AB = 5；
y + z = BC = 6；
x + z = AC = 7；
解方程组：三式相加得 2 (x + y + z)=18→x + y + z=9，故 x=9 - 6=3，y=9 - 7=2，z=9 - 5=4；
∴ AD=3，BE=2，CF=4；
求内切圆半径 r：由三角形面积公式 S=√[p (p - a)(p - b)(p - c)]（海伦公式），其中 p=(5+6+7)/2=9，S=√[9×(9-5)×(9-6)×(9-7)]=√(9×4×3×2)=6√6；
又 S=(1/2)(AB + BC + AC) r=pr→r=S/p=6√6/9=2√6/3。
思路提炼：三角形内切圆中，“切线长” 与 “边长” 的关系可通过设未知数、列方程组求解，内切圆半径结合海伦公式或面积法计算。
第 7 页：易错警示与避坑指南
常见易错点：
混淆 “切线” 与 “切线长”：误将 “切线”（直线）当作 “切线长”（线段长度），导致表述错误；
定理条件遗漏：应用定理时忽略 “从圆外一点” 的条件，误将 “圆上一点引切线” 套用定理（圆上一点只能引 1 条切线，不存在 “两条切线长”）；
三角形内切圆切线长计算错误：设未知数时混淆 “对应边长”，如将 AD 与 BD 的和误等于 AC（应为 AB）。
避坑技巧：
表述时明确 “切线是直线，切线长是线段的长”，可在图中标注线段符号（如 PA 为切线长，用线段表示）；
应用定理前先判断 “点的位置”（圆外一点），确认存在两条切线后再用定理；
三角形内切圆中，设切线长时遵循 “顶点到切点的线段对应边长”，如 AD、AF 对应顶点 A，和为 AB + AC - BC 的一半（可记忆公式：AD=(AB + AC - BC)/2）。
第 8 页：课堂练习 分层巩固
基础题：
（1）从圆外一点 P 引圆的两条切线 PA、PB，若 PA=8cm，则 PB=cm。（答案：8）
（2）△ABC 的内切圆与 AB、BC、AC 分别切于 D、E、F，若 AB=10，BC=12，AC=14，则 AD=，BE=，CF=。（答案：6，4，8）
中档题：
如图，PA、PB 切⊙O 于 A、B，∠APB=80°，求∠AOB 的度数（提示：OA⊥PA，OB⊥PB，四边形 OAPB 内角和 360°，答案：100°）。
提升题：
如图，△ABC 中，∠C=90°，AC=6，BC=8，求其内切圆半径 r 及从 C 点到内切圆的切线长。（答案：r=2，切线长 = (AC + BC - AB)/2= (6+8-10)/2=2）
第 9 页：课堂小结与作业布置
小结：
切线长定理核心：圆外一点引圆的两条切线，“切线长相等” 且 “圆心与该点连线平分夹角”，本质是 “直角三角形全等” 的体现；
三角形内切圆关联：从顶点到内切圆的两条切线长相等，可通过设未知数、列方程组求切线长，结合面积法求内切圆半径；
应用关键：遇切线长问题，优先连接 “圆心 — 切点”（构直角）和 “圆心 — 圆外点”（用定理），结合直角三角形、全等三角形知识求解。
作业：
基础作业：教材习题 3.7 第 1、2、3 题（切线长计算、角度证明）；
拓展作业：如图，PA、PB 切⊙O 于 A、B，CD 切⊙O 于 E，△PCD 的周长为 12，求 PA 的长（答案：6）；
实践作业：用尺规作一个三角形的内切圆，测量各顶点到内切圆的切线长，验证 “切线长相等” 性质。
2025-2026学年北师大版数学九年级下册【示范课精品课件】
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
3.7 切线长定理
第三章 圆
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1. 直线和圆有哪些位置关系？
2. 如何判断直线和圆相切？(常用方法)
相离、相交、相切.
(1) 数量关系法(证明 d = r)；
(2) 判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
探究一：已知⊙O 和⊙O 外一点 P，你能过点 P 画出 ⊙O 的切线吗？这样的直线能画几条？
你还有其他的画法吗？
切线长的定义
1
P
1. 切线长的定义：
经过圆外一点画圆的切线，这点和切点之间的线段的长叫作切线长．
A
O
① 切线是直线，不能度量.
② 切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是
圆外一点和切点，可以度量．
2. 切线长与切线的区别在哪里？
知识要点
如图，PA、PB 是⊙O 的两条切线，A，B 是切点.
(1) 这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？
是轴对称图形，对称轴是直线 OP .
合作探究
O
P
A
B
切线长定理
2
如图，PA、PB 是⊙O 的两条切线，A，B 是切点.
(2) 在这个图中你能找到相等的线段吗？说说你的理由.
合作探究
O
P
A
B
PA = PB
猜想：
请证明你的猜想.
证明：连接 OA、OB.
已知：如图， PA，PB 是☉O 的两条切线，A，B 为切点.
求证：PA = PB.
试用文字语言叙述你所发现的结论.
动手实践
∴ PA = PB.
∴ Rt△POA≌Rt△POB.
∵ OA = OB，OP = OP，
在 Rt△POA 和 Rt△POB 中，
∴∠PAO = ∠PBO = 90°.
∵PA，PB 是☉O 的切线，
如何验证我们的猜想是否正确？
思考 图中还有哪些量？猜想它们之间有什么关系？
猜想：∠APO = ∠BPO
测量，翻折，
类比上述方法求证.
合作探究
知识要点
过圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等.
几何语言：
∵ PA、PB 分别切 ☉O 于 A、B，
∴ PA = PB，∠OPA = ∠OPB.
切线长定理
这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角.
如图，四边形 ABCD 的四条边都与⊙O 相切，图中的线段之间有哪些等量关系？
A
B
O
C
D
E
F
G
H
结论：圆的外切四边形的两组对边的和相等.
即 AD＋BC＝AB＋CD.
合作探究
例1 如图，在Rt△ABC 中，∠C = 90°，AC = 10，BC = 24，⊙O 是△ABC 的内切圆，切点分别是 D，E，F，求⊙O 的半径.
B
D
A
F
C
E
O
解：连接 OD，OE，OF，则 OD = OE = OF，设 OD = r.
在 Rt△ABC 中，
AC = 10，BC = 24，
26
r
典例精析
∴ 四边形 OECF 为正方形.
∴ CE = CF = r.
∴ BE = 24 – r，AF = 10 – r.
∴ AB = BD + AD = BE + AF = 34 – 2r.
∵ ⊙O 分别与 AB，BC，AC 相切于点 D，E，F，
∴ OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，BD = BE，
AD = AF，CE = CF.
又∵∠C = 90°，
B
D
A
F
C
E
O
26
r
而 AB = 26，∴ 34 – 2r = 26.
∴ r = 4，即 ⊙O 的半径为 4.
1.(西宁)如图，PA，PB 与☉O 分别相切于点 A，B，PA＝2，∠P＝60°，则 AB＝( )
A. B.2 C.2 D.3
B
链接中考
2.(天津)如图，已知 AB 为⊙O 的直径，PA，PC 是 ⊙O 的切线，A，C 为切点，∠BAC = 30°.
(1) 求∠P 的大小；
(2) 若 AB = 2. 求 PA 的长(结果保留根号).
解：(1) PA 是⊙O 的切线，AB 为⊙O 的直径，
∴ PA⊥AB. ∴∠BAP = 90°.
∵∠BAC = 30°，
∴∠CAP = 90°-∠BAC = 60°.
又∵PA、PC 切⊙O 于点 A、C，
∴PA = PC. ∴△PAC 为等边三角形.
∴∠P = 60°.
(2) 如图，连接 BC，则∠ACB = 90°.
在 Rt△ACB 中，AB = 2，∠BAC = 30°.
∴ BC = 1，AC = ，∠PAC = 60°.
∴ △PAC 为等边三角形.
∴ PA = AC.
∴ PA = .
1. 如图，PA、PB 是 ⊙O 的两条切线，切点分别是 A、B，如果 AP = 4，∠APB = 40° ，
则 ∠APO = ，PB= .
20°
4
B
P
O
A
第1题
110°
2. 如图，已知点 O 是 △ABC 的内心，且 ∠ABC= 60°， ∠ACB= 80°，则 ∠BOC= .
A
B
C
O
3. △ABC 的内切圆 ☉O 与三边分别切于 D、E、F三点，如图，已知 AF=3，BD + CE=12，则 △ABC的周长是 .
A
B
C
F
E
D
O
30
4. (湖州)如图，已知 △ABC 的内切圆⊙O 与 BC 边相切于点 D，连接 OB，OD. 若∠ABC = 40°，求∠BOD 的度数.
解：∵△ABC 的内切圆⊙O 与 BC 边相切于点 D，
∴ OB 平分∠ABC，OD⊥BC.
∴∠BOD = 90°-∠OBD = 70°.
A
B
C
D
O
返回
C
1.
已知点P是⊙O外一点，过点P可作⊙O的切线条数是(　　)
A．0条
B．1条
C．2条
D．无数条
返回
2.
B
如图，P为⊙O外一点，PA，PB分别切⊙O于A，B两点，若PA＝6，则PB的长是(　　)
A．3
B．6
C．9
D．12
返回
3.
C
如图，PA，PB分别切⊙O于点A，B，若∠APO＝30°，OA＝2，则BP的长为(　　)
返回
4.
D
如图，四边形ABCD外切于⊙O，且AB＝10，CD＝15，则四边形ABCD的周长为(　　)
A．60
B．55
C．45
D．50
返回
5.
B
如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，AC是⊙O的直径，∠BAC＝15°，则∠P的度数为(　　)
A．25°
B．30°
C．45°
D．50°
返回
6.
D
如图，PA，PB为⊙O的切线，切点分别为A，B，PO交AB于点C，PO的延长线交⊙O于点D，下列结论不一定成立的是(　　)
A．PA＝PB
B．∠BPD＝∠APD
C．AB⊥PD
D．PC＝CD
返回
7.
A
[教材P96“习题3.9”第2题变式]如图，△ABC的内切圆⊙O分别与AB，BC，CA相切于点D，E，F，若AD＝3，BE＝2，CF＝4，则△ABC的周长为(　　)
A．18
B．17
C．16
D．15
返回
8.
A
[教材P96“习题3.9”第1题变式]如图，射线PA，PB分别切⊙O于点A，B，直线DE切⊙O于点C，交PA于点D，交PB于点E，若△PDE的周长是12 cm，则点P到⊙O的切线长是(　　)
A．6 cm B．3 cm
C．24 cm D．12 cm
返回
9.
6
如图，BC与⊙O相切于点C，线段BO交⊙O于点A，过点A作⊙O的切线交BC于点D．若CD＝3，AB＝4，则⊙O的半径为________.
10.
(4分)[教材P95“例”变式]如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，⊙O与△ABC的三边分别相切于点D，E，F，若⊙O的半径为2，求△ABC的周长.
解：连接OE，OF，设AD＝x，由切线长定理得AE＝x.
∵⊙O与△ABC的三边分别相切于点D，E，F，
∴OE⊥AC，OF⊥BC. 又∵∠C＝90°，OE＝OF，
∴四边形OECF为正方形．∵⊙O的半径为2，∴CE＝CF＝2.
又∵BC＝5，∴BD＝BF＝3.
在Rt△ABC中，∵AC2＋BC2＝AB2，∴(x＋2)2＋52＝(x＋3)2，
解得x＝10，∴AD＝AE＝10，∴AB＝13，AC＝12，
∴△ABC的周长为AC＋BC＋AB＝12＋5＋13＝30.
返回
切线长
切线长定理
作用
提供了证线段和
角相等的新方法
辅助线
分别连接圆心和切点；
连接两切点；
连接圆心和圆外一点.
三角形内切圆
运用切线长定理，将相等线段转化集中到某条边上，从而建立方程.
应用
重要结论
只适合于直角三角形
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！