3.8 圆内接正多边形 课件(共36张PPT)-2025-2026学年北师大版数学九年级下册教学课件
文档属性
| 名称 | 3.8 圆内接正多边形 课件(共36张PPT)-2025-2026学年北师大版数学九年级下册教学课件 |
|
|
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 8.8MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-11-18 07:24:15 | ||
图片预览
文档简介
(共36张PPT)
第 1 页：封面页
标题：3.8 圆内接正多边形
副标题：北师大版九年级数学下册
配图：左侧为 “圆内接正多边形系列图”（正三角形、正方形、正五边形、正六边形内接于同一圆，标注圆心 O），右侧为 “正六边形特写”（标注半径、边心距、中心角）
落款：授课教师 / 日期
第 2 页：学习目标
知识目标：理解圆内接正多边形的定义，掌握正多边形的中心、半径、中心角、边心距等概念，熟记正 n 边形的中心角公式与边心距的计算方法，能进行正多边形与圆的相关几何计算。
能力目标：通过尺规作图（如作圆内接正六边形、正方形），提升几何作图能力；运用正多边形与圆的关联知识解决 “边长、中心角、边心距” 等计算问题，培养逻辑推理与综合分析能力。
素养目标：体会 “圆与正多边形的辩证关系”（正多边形内接于圆，圆是正多边形的外接圆），感受几何图形的对称性与美感，培养数形结合与转化思想。
第 3 页：情境导入 正多边形与圆的关联
生活情境（配图）：
古建筑中的正多边形装饰（如正六边形窗格、正方形地砖），其顶点均在同一个圆形轮廓上；
钟表的表盘（圆形）上，12 个刻度点均匀分布，连接相邻刻度点可形成圆内接正十二边形。
概念引入：
像这样，顶点都在同一个圆上的正多边形，叫做圆内接正多边形，这个圆叫做正多边形的外接圆。
（反例：边不相等或角不相等的多边形，即使顶点在圆上，也不是圆内接正多边形）
思考引入：如何将一个圆等分，得到圆内接正多边形？圆内接正多边形的边长、角度与圆的半径有什么关系？
第 4 页：核心概念 圆内接正多边形的相关要素
1. 关键概念（以圆内接正 n 边形为例，n≥3，且 n 为整数）
概念
定义
图示特征（以正五边形 ABCDE 为例）
中心
正多边形外接圆的圆心，叫做正多边形的中心，记为 O
O 是正五边形 ABCDE 外接圆的圆心，也是正五边形的对称中心
半径
正多边形外接圆的半径，叫做正多边形的半径，记为 R
OA、OB、OC 等均为正五边形的半径，OA=OB=OC=R
中心角
正多边形每一条边所对的外接圆的圆心角，叫做正多边形的中心角，记为 α
∠AOB 是正五边形的中心角，对应边 AB，α =∠AOB
边心距
中心到正多边形某一条边的距离，叫做正多边形的边心距，记为 r
过 O 作 OH⊥AB 于 H，OH 为边心距，OH=r ，且 H 是 AB 的中点
边长
正多边形各边的长度，记为 a
AB、BC 等均为正五边形的边长，AB=BC=a
2. 核心公式推导
中心角公式：正 n 边形有 n 条边，对应 n 个相等的中心角，且 n 个中心角之和为 360°（周角），故：
α = 360°/n
示例：正三角形（n=3）的中心角 α =360°/3=120°；正方形（n=4）的中心角 α =360°/4=90°；正六边形（n=6）的中心角 α =360°/6=60°。
边长与半径、边心距的关系：以正 n 边形的一边 AB 为例，连接 OA、OB，作 OH⊥AB 于 H，则：
△OAB 是等腰三角形，OA=OB=R，OH=r ，AH=HB=a /2（垂径定理）；
∠AOH=α /2=180°/n（OH 平分中心角∠AOB）；
在 Rt△AOH 中，由三角函数得：
a /2 = R·sin(180°/n) → a = 2R·sin(180°/n)；
r = R·cos(180°/n)。
示例：正六边形（n=6）中，α =60°，∠AOH=30°，a =2R sin30°=2R×1/2=R（正六边形边长等于外接圆半径），r =R cos30°= (√3/2) R。
第 5 页：作图方法 作圆内接正多边形
1. 基本原理
要作圆内接正 n 边形，关键是将外接圆n 等分，依次连接各等分点，即可得到圆内接正 n 边形（依据：等弧对等弦，等弦对等边、等角）。
2. 常见正多边形的尺规作图
（1）作圆内接正六边形
步骤：
画⊙O，任取一点 A 在圆上；
以 A 为圆心、OA（半径 R）为半径画弧，交⊙O 于 B、F 两点；
分别以 B、F 为圆心、R 为半径画弧，交⊙O 于 C、E 两点；
以 C 为圆心、R 为半径画弧，交⊙O 于 D 点；
依次连接 A、B、C、D、E、F，得到圆内接正六边形 ABCDEF。
原理：正六边形的边长等于外接圆半径，故用半径可将圆六等分。
（2）作圆内接正方形
步骤：
画⊙O，作直径 AB；
作 AB 的垂直平分线，交⊙O 于 C、D 两点；
依次连接 A、C、B、D，得到圆内接正方形 ACBD。
原理：垂直的直径将圆四等分，对应正方形的四个顶点。
（3）作圆内接正三角形
步骤：
按上述方法作圆内接正六边形 ABCDEF；
依次连接 A、C、E（或 B、D、F），得到圆内接正三角形 ACE。
原理：隔一个等分点连接，将圆三等分。
第 6 页：典例精讲 1 正多边形与圆的计算（基础）
例题 1：求正六边形的边长与边心距
已知⊙O 的半径 R=4cm，求⊙O 的内接正六边形的边长 a 和边心距 r 。
解答步骤：
正六边形的中心角 α =360°/6=60°；
由正六边形边长公式 a =2R sin (180°/n)，得 a =2×4×sin (180°/6)=8×sin30°=8×1/2=4cm（或直接利用 “正六边形边长 = 半径”，得 a =R=4cm）；
边心距 r =R cos (180°/n)=4×cos30°=4×(√3/2)=2√3 cm。
结论：正六边形的边长为 4cm，边心距为 2√3 cm。
例题 2：求正五边形的中心角与内角
已知一个圆内接正五边形，求其中心角 α 和每个内角的度数。
解答步骤：
中心角 α =360°/5=72°；
正 n 边形的内角和公式为 (n-2)×180°，故正五边形内角和 =(5-2)×180°=540°；
每个内角的度数 = 540°/5=108°（或利用 “内角 = 180°- 中心角的一半 ×2=180°-α =180°-72°=108°”，原理：正五边形内角对应 2 个中心角的补角）。
结论：正五边形的中心角为 72°，每个内角为 108°。
第 7 页：典例精讲 2 正多边形与圆的综合计算（进阶）
例题 3：求圆内接正三角形的面积
已知⊙O 的半径 R=6cm，求⊙O 的内接正三角形 ABC 的面积。
解答步骤：
正三角形的中心角 α =360°/3=120°，边心距 r =R cos (180°/3)=6×cos60°=6×1/2=3cm；
边长 a =2R sin (180°/3)=2×6×sin60°=12×(√3/2)=6√3 cm；
正三角形的面积 = (1/2)× 周长 × 边心距（类比三角形面积 = (1/2)× 底 × 高，此处周长为 “底的 3 倍”，边心距为 “高的 1/3”）；
周长 = 3a =3×6√3=18√3 cm，面积 = (1/2)×18√3×3=27√3 cm ；
或直接用三角形面积公式：高 h=R + r =6 + 3=9cm（正三角形的高 = 外接圆半径 + 边心距），面积 = (1/2)×a ×h= (1/2)×6√3×9=27√3 cm 。
结论：正三角形的面积为 27√3 cm 。
例题 4：实际应用（正多边形地砖）
某广场用正八边形地砖铺地面，已知正八边形的外接圆半径 R=20cm，求每块地砖的边长（精确到 0.1cm）。
解答步骤：
正八边形（n=8）的中心角 α =360°/8=45°；
边长 a =2R sin (180°/8)=2×20×sin22.5°≈40×0.3827≈15.3cm。
结论：每块正八边形地砖的边长约为 15.3cm。
第 8 页：易错警示与避坑指南
常见易错点：
混淆 “中心角” 与 “内角”：误将正多边形的中心角当作内角（如正六边形中心角 60°，内角 120°，两者不同）；
边心距计算错误：忽略边心距是 “中心到边的距离”，误将 “中心到顶点的距离”（半径）当作边心距；
作图原理不清：作正多边形时，未理解 “等分圆” 的核心，如作正六边形时误用不同半径画弧，导致边长不相等。
避坑技巧：
记忆 “中心角 = 360°/n，内角 =(n-2)×180°/n”，可通过正三角形、正方形验证（正三角形中心角 120°≠内角 60°，正方形中心角 90°= 内角 90°，特殊情况需注意）；
计算边心距时，先构造 “半径、边心距、半边长” 的直角三角形，明确边心距是直角三角形的一条直角边（邻边）；
作图时严格遵循 “等半径等分圆” 的原则，确保各等分点到圆心的距离相等（即半径相等）。
第 9 页：课堂练习 分层巩固
基础题：
（1）圆内接正四边形（正方形）的中心角为______°，内角为______°，若外接圆半径为 5cm，边长为______cm。（答案：90，90，5√2）
（2）正 n 边形的中心角为 30°，则 n=，该正 n 边形的内角为°。（答案：12，150）
中档题：
已知⊙O 的半径为 8cm，求其内部接正六边形的边心距和面积。（答案：边心距 4√3 cm，面积 96√3 cm ）
提升题：
一个圆内接正三角形的边长为 6√3 cm，求该圆的半径 R 和正三角形的边心距 r。（答案：R=6cm，r=3cm）
第 10 页：课堂小结与作业布置
小结：
核心概念：圆内接正多边形的中心、半径、中心角、边心距，关键公式为中心角 α =360°/n，边长 a =2R sin (180°/n)，边心距 r =R cos (180°/n)；
作图核心：通过 “等分圆” 作圆内接正多边形，常见正六边形、正方形可通过尺规作图完成；
计算技巧：构造 “半径、边心距、半边长” 的直角三角形，结合三角函数或勾股定理求解。
作业：
基础作业：教材习题 3.8 第 1、2、3 题（正多边形的中心角、边长、边心距计算）；
拓展作业：已知圆内接正八边形的边长为 10cm，求该圆的半径（精确到 0.1cm，答案：≈13.1cm）；
实践作业：用圆规和直尺作一个半径为 5cm 的圆内接正六边形，测量其边长和边心距，验证与理论计算结果是否一致。
2025-2026学年北师大版数学九年级下册【示范课精品课件】
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
3.8 圆内接正多边形
第三章 圆
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
下图的这些图案，都是我们在日常生活中经常看到的.你能从这些图案中找出基本的几何图形吗
这个圆叫做该正多边形的外接圆.
圆内接正多边形
1
下列图形有什么特点？
顶点都在同一个圆上的正多边形叫做圆内接正多边形.
问题2 怎样由圆得到正多边形呢？
合作探究
把一个圆 n 等分(n ≥ 3)，依次连接各分点，所得的多边形是这个圆的内接正多边形.
能否类比圆学习一下圆内正多边形.
问题1 如何作圆内接正三角形 正四边形 正五边形
正六边形
类比学习
圆内接正多边形
外接圆的圆心
正多边形的中心
外接圆的半径
正多边形的半径
每一条边所
对的圆心角
正多边形的中心角
圆心到弦的距离
正多边形的边心距
如图，五边形 ABCDE 是⊙O的内接正五边形，说一说你知道的哪些知识点？
E
A
B
C
D
O
圆心O叫做这个正五边形的中心.
OA是这个正五边形的半径.
∠AOB是这个正五边形的中心角.
M
OM是这个正五边形的边心距.
说一说
例1 如图，在圆内接正六边形 ABCDEF 中，半径 OC = 4，OG⊥BC，垂足为 G，求这个正六边形的中心角、边长和边心距.
解：连接 OD.
∴ CD = OC = 4 .
∴ △COD 为等边三角形.
∵ 六边形 ABCDEF 为正六边形，
C
D
O
E
F
A
G
B
典例精析
∴正六边形 ABCDEF 的中心角为 60°，
边长为 4，边心距为
在Rt△COG 中，OC = 4，
C
D
O
E
F
A
G
B
2. 作边心距，构造直角三角形.
1. 连半径，得中心角；
O
边心距 r
边长一半
半径 R
B
P
中心角一半
圆内接正多边形的辅助线:
总结
方法总结
已知 ⊙O 的半径为 r，求作 ⊙O 的内接正六边形.
分析：因为正六边形每条边所对的圆心角为 ，
所以正六边形的边长与圆的半径 .
因此，在半径为 r 的圆上依次截取等于 的弦，
即可将圆六等分.
60°
相等
r
. O
做一做
作法：(1) 作 ⊙O 的任意一条直径
FC；
(2) 分别以 F，C 为圆心，以
r 为半径作弧，与 ⊙O
交于点 E，A 和 D，B；
(3) 依次连接 AB、BC、CD、
DE、EF、FA，便得到正
六边形 ABCDEF 即为所求.
. O
F
C
A
B
D
E
做一做
你还能借助尺规作出圆内接正四边形吗？
C
D
A
B
1. (雅安)如图，已知 ⊙O 的周长等于 6π，则该圆内接正六边形 ABCDEF 的边心距 OG 为 ( )
C
链接中考
链接中考
2. (青岛)如图，正六边形ABCDEF 内接于 ⊙O ，点 M 在 上，则 ∠CME 的度数为 ( )
A.30° B.36°
C.45° D.60°
D
1.下列说法正确的是（ ）
A. 各边都相等的多边形是正多边形
B. 一个圆有且只有一个内接正多边形
C. 圆内接正四边形的边长等于半径
D. 圆内接正n边形的中心角度数为
D
2. 已知正六边形 ABCDEF 内接于⊙O ，正六边形的周长是 24 ，则⊙O 的半径长是 ( )
O
30°
24÷6÷2 = 2
R
B
P
B
3. 如图，已知点 O 是正六边形 ABCDEF 的对称中心，G，H 分别是 AF，BC 上的点，且 AG = BH．
(1) 求∠FAB 的度数；
(2) 求证：OG = OH．
(1) 解：∵ 六边形 ABCDEF 是正六边形，
O
∴∠FAB = .
(2) 证明：连接 OA、OB.
∵ OA = OB，
∴∠OAB =∠OBA.
∵∠FAB =∠CBA，
∴∠OAG =∠OBH.
∴△AOG≌△BOH (SAS).
∴ OG = OH．
又∵ AG = BH，
O
拓广探索：如图，M，N 分别是☉O 内接正多边形的边AB，BC 上的点，且 BM = CN.
(1) 图①中∠MON = °，图②中∠MON = °，
图③中∠MON = °；
(2) 试探究∠MON 的度数与正 n 边形的边数 n 的关系.
90
72
120
.
A
B
C
M
N
O
图①
A
B
C
D
M
N
O
图②
A
B
C
D
E
M
N
O
图③
返回
B
1.
正十边形的中心角的度数为( )
A．30°
B．36°
C．45°
D．60°
返回
2.
C
正多边形的中心角为45°，则该正多边形的边数是( )
A．4
B．6
C．8
D．12
返回
3.
A
如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O.若AB＝4，则⊙O的直径为( )
A．8
B．10
C．12
D．14
返回
4.
B
返回
5.
B
[教材P97“例”变式]如图，正方形ABCD内接于⊙O，若⊙O的周长为4π，则正方形ABCD的边心距为( )
返回
6.
D
如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，连接OC，OD，则∠BAE－∠COD＝( )
A．60°
B．54°
C．48°
D．36°
返回
7.
8
如图，A，B，C，D为一个正多边形的顶点，点O为正多边形的中心，若∠ADB＝22.5°，则这个正多边形的边数为________.
返回
8.
如图，某螺帽的横截面为正六边形，边长a＝12 mm，要拧开此螺帽，扳手张开的开口b至少要________mm.
9.
如图，AD为⊙O的直径，作⊙O的内接正三角形ABC．甲、乙两人的作法分别是：
甲：①作OD的垂直平分线，交⊙O于点B，C；②连接AB，AC，△ABC即为所求作的三角形.
乙：①以点D为圆心，OD的长为半径作圆弧，交⊙O于点B，C；②连接AB，BC，CA，△ABC即为所求作的三角形.
A
对于甲、乙两人的作法，下列判断正确的是( )
A．甲、乙均正确
B．甲、乙均错误
C．甲正确，乙错误
D．甲错误，乙正确
返回
返回
10.
解：如图，正八边形ABCDEFGH即为所求．
(4分)如图，已知⊙O和⊙O上的一点A，作⊙O的内接正八边形ABCDEFGH.(不写作法，保留作图痕迹)
返回
11.
A
[教材P99“习题3.10”第4题变式]半径为R的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距分别为a，b，c，则a，b，c的大小关系是( )
A．a＜b＜c
B．b＜a＜c
C．a＜c＜b
D．c＜b＜a
返回
12.
C
我国魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”：通过圆内接正多边形割圆，边数越多割得越细，正多边形的周长就越接近圆的周长．如图①，由圆内接正六边形可算出π≈3.若利用图②的圆内接正十二边形来计算圆周率，则圆周率π约为( )
A．12sin 30° B．12cos 30°
C．12sin 15° D．12cos 15°
返回
13.
圆内接正多边形
正多边形和圆的关系
正多边形的
有关概念
正多边形的
有关计算
添加辅助线的方法：
连半径，作边心距
中心
半径
边心距
中心角
正 n 边形各顶点等分其外接圆
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！
第 1 页：封面页
标题：3.8 圆内接正多边形
副标题：北师大版九年级数学下册
配图：左侧为 “圆内接正多边形系列图”（正三角形、正方形、正五边形、正六边形内接于同一圆，标注圆心 O），右侧为 “正六边形特写”（标注半径、边心距、中心角）
落款：授课教师 / 日期
第 2 页：学习目标
知识目标：理解圆内接正多边形的定义，掌握正多边形的中心、半径、中心角、边心距等概念，熟记正 n 边形的中心角公式与边心距的计算方法，能进行正多边形与圆的相关几何计算。
能力目标：通过尺规作图（如作圆内接正六边形、正方形），提升几何作图能力；运用正多边形与圆的关联知识解决 “边长、中心角、边心距” 等计算问题，培养逻辑推理与综合分析能力。
素养目标：体会 “圆与正多边形的辩证关系”（正多边形内接于圆，圆是正多边形的外接圆），感受几何图形的对称性与美感，培养数形结合与转化思想。
第 3 页：情境导入 正多边形与圆的关联
生活情境（配图）：
古建筑中的正多边形装饰（如正六边形窗格、正方形地砖），其顶点均在同一个圆形轮廓上；
钟表的表盘（圆形）上，12 个刻度点均匀分布，连接相邻刻度点可形成圆内接正十二边形。
概念引入：
像这样，顶点都在同一个圆上的正多边形，叫做圆内接正多边形，这个圆叫做正多边形的外接圆。
（反例：边不相等或角不相等的多边形，即使顶点在圆上，也不是圆内接正多边形）
思考引入：如何将一个圆等分，得到圆内接正多边形？圆内接正多边形的边长、角度与圆的半径有什么关系？
第 4 页：核心概念 圆内接正多边形的相关要素
1. 关键概念（以圆内接正 n 边形为例，n≥3，且 n 为整数）
概念
定义
图示特征（以正五边形 ABCDE 为例）
中心
正多边形外接圆的圆心，叫做正多边形的中心，记为 O
O 是正五边形 ABCDE 外接圆的圆心，也是正五边形的对称中心
半径
正多边形外接圆的半径，叫做正多边形的半径，记为 R
OA、OB、OC 等均为正五边形的半径，OA=OB=OC=R
中心角
正多边形每一条边所对的外接圆的圆心角，叫做正多边形的中心角，记为 α
∠AOB 是正五边形的中心角，对应边 AB，α =∠AOB
边心距
中心到正多边形某一条边的距离，叫做正多边形的边心距，记为 r
过 O 作 OH⊥AB 于 H，OH 为边心距，OH=r ，且 H 是 AB 的中点
边长
正多边形各边的长度，记为 a
AB、BC 等均为正五边形的边长，AB=BC=a
2. 核心公式推导
中心角公式：正 n 边形有 n 条边，对应 n 个相等的中心角，且 n 个中心角之和为 360°（周角），故：
α = 360°/n
示例：正三角形（n=3）的中心角 α =360°/3=120°；正方形（n=4）的中心角 α =360°/4=90°；正六边形（n=6）的中心角 α =360°/6=60°。
边长与半径、边心距的关系：以正 n 边形的一边 AB 为例，连接 OA、OB，作 OH⊥AB 于 H，则：
△OAB 是等腰三角形，OA=OB=R，OH=r ，AH=HB=a /2（垂径定理）；
∠AOH=α /2=180°/n（OH 平分中心角∠AOB）；
在 Rt△AOH 中，由三角函数得：
a /2 = R·sin(180°/n) → a = 2R·sin(180°/n)；
r = R·cos(180°/n)。
示例：正六边形（n=6）中，α =60°，∠AOH=30°，a =2R sin30°=2R×1/2=R（正六边形边长等于外接圆半径），r =R cos30°= (√3/2) R。
第 5 页：作图方法 作圆内接正多边形
1. 基本原理
要作圆内接正 n 边形，关键是将外接圆n 等分，依次连接各等分点，即可得到圆内接正 n 边形（依据：等弧对等弦，等弦对等边、等角）。
2. 常见正多边形的尺规作图
（1）作圆内接正六边形
步骤：
画⊙O，任取一点 A 在圆上；
以 A 为圆心、OA（半径 R）为半径画弧，交⊙O 于 B、F 两点；
分别以 B、F 为圆心、R 为半径画弧，交⊙O 于 C、E 两点；
以 C 为圆心、R 为半径画弧，交⊙O 于 D 点；
依次连接 A、B、C、D、E、F，得到圆内接正六边形 ABCDEF。
原理：正六边形的边长等于外接圆半径，故用半径可将圆六等分。
（2）作圆内接正方形
步骤：
画⊙O，作直径 AB；
作 AB 的垂直平分线，交⊙O 于 C、D 两点；
依次连接 A、C、B、D，得到圆内接正方形 ACBD。
原理：垂直的直径将圆四等分，对应正方形的四个顶点。
（3）作圆内接正三角形
步骤：
按上述方法作圆内接正六边形 ABCDEF；
依次连接 A、C、E（或 B、D、F），得到圆内接正三角形 ACE。
原理：隔一个等分点连接，将圆三等分。
第 6 页：典例精讲 1 正多边形与圆的计算（基础）
例题 1：求正六边形的边长与边心距
已知⊙O 的半径 R=4cm，求⊙O 的内接正六边形的边长 a 和边心距 r 。
解答步骤：
正六边形的中心角 α =360°/6=60°；
由正六边形边长公式 a =2R sin (180°/n)，得 a =2×4×sin (180°/6)=8×sin30°=8×1/2=4cm（或直接利用 “正六边形边长 = 半径”，得 a =R=4cm）；
边心距 r =R cos (180°/n)=4×cos30°=4×(√3/2)=2√3 cm。
结论：正六边形的边长为 4cm，边心距为 2√3 cm。
例题 2：求正五边形的中心角与内角
已知一个圆内接正五边形，求其中心角 α 和每个内角的度数。
解答步骤：
中心角 α =360°/5=72°；
正 n 边形的内角和公式为 (n-2)×180°，故正五边形内角和 =(5-2)×180°=540°；
每个内角的度数 = 540°/5=108°（或利用 “内角 = 180°- 中心角的一半 ×2=180°-α =180°-72°=108°”，原理：正五边形内角对应 2 个中心角的补角）。
结论：正五边形的中心角为 72°，每个内角为 108°。
第 7 页：典例精讲 2 正多边形与圆的综合计算（进阶）
例题 3：求圆内接正三角形的面积
已知⊙O 的半径 R=6cm，求⊙O 的内接正三角形 ABC 的面积。
解答步骤：
正三角形的中心角 α =360°/3=120°，边心距 r =R cos (180°/3)=6×cos60°=6×1/2=3cm；
边长 a =2R sin (180°/3)=2×6×sin60°=12×(√3/2)=6√3 cm；
正三角形的面积 = (1/2)× 周长 × 边心距（类比三角形面积 = (1/2)× 底 × 高，此处周长为 “底的 3 倍”，边心距为 “高的 1/3”）；
周长 = 3a =3×6√3=18√3 cm，面积 = (1/2)×18√3×3=27√3 cm ；
或直接用三角形面积公式：高 h=R + r =6 + 3=9cm（正三角形的高 = 外接圆半径 + 边心距），面积 = (1/2)×a ×h= (1/2)×6√3×9=27√3 cm 。
结论：正三角形的面积为 27√3 cm 。
例题 4：实际应用（正多边形地砖）
某广场用正八边形地砖铺地面，已知正八边形的外接圆半径 R=20cm，求每块地砖的边长（精确到 0.1cm）。
解答步骤：
正八边形（n=8）的中心角 α =360°/8=45°；
边长 a =2R sin (180°/8)=2×20×sin22.5°≈40×0.3827≈15.3cm。
结论：每块正八边形地砖的边长约为 15.3cm。
第 8 页：易错警示与避坑指南
常见易错点：
混淆 “中心角” 与 “内角”：误将正多边形的中心角当作内角（如正六边形中心角 60°，内角 120°，两者不同）；
边心距计算错误：忽略边心距是 “中心到边的距离”，误将 “中心到顶点的距离”（半径）当作边心距；
作图原理不清：作正多边形时，未理解 “等分圆” 的核心，如作正六边形时误用不同半径画弧，导致边长不相等。
避坑技巧：
记忆 “中心角 = 360°/n，内角 =(n-2)×180°/n”，可通过正三角形、正方形验证（正三角形中心角 120°≠内角 60°，正方形中心角 90°= 内角 90°，特殊情况需注意）；
计算边心距时，先构造 “半径、边心距、半边长” 的直角三角形，明确边心距是直角三角形的一条直角边（邻边）；
作图时严格遵循 “等半径等分圆” 的原则，确保各等分点到圆心的距离相等（即半径相等）。
第 9 页：课堂练习 分层巩固
基础题：
（1）圆内接正四边形（正方形）的中心角为______°，内角为______°，若外接圆半径为 5cm，边长为______cm。（答案：90，90，5√2）
（2）正 n 边形的中心角为 30°，则 n=，该正 n 边形的内角为°。（答案：12，150）
中档题：
已知⊙O 的半径为 8cm，求其内部接正六边形的边心距和面积。（答案：边心距 4√3 cm，面积 96√3 cm ）
提升题：
一个圆内接正三角形的边长为 6√3 cm，求该圆的半径 R 和正三角形的边心距 r。（答案：R=6cm，r=3cm）
第 10 页：课堂小结与作业布置
小结：
核心概念：圆内接正多边形的中心、半径、中心角、边心距，关键公式为中心角 α =360°/n，边长 a =2R sin (180°/n)，边心距 r =R cos (180°/n)；
作图核心：通过 “等分圆” 作圆内接正多边形，常见正六边形、正方形可通过尺规作图完成；
计算技巧：构造 “半径、边心距、半边长” 的直角三角形，结合三角函数或勾股定理求解。
作业：
基础作业：教材习题 3.8 第 1、2、3 题（正多边形的中心角、边长、边心距计算）；
拓展作业：已知圆内接正八边形的边长为 10cm，求该圆的半径（精确到 0.1cm，答案：≈13.1cm）；
实践作业：用圆规和直尺作一个半径为 5cm 的圆内接正六边形，测量其边长和边心距，验证与理论计算结果是否一致。
2025-2026学年北师大版数学九年级下册【示范课精品课件】
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
3.8 圆内接正多边形
第三章 圆
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
下图的这些图案，都是我们在日常生活中经常看到的.你能从这些图案中找出基本的几何图形吗
这个圆叫做该正多边形的外接圆.
圆内接正多边形
1
下列图形有什么特点？
顶点都在同一个圆上的正多边形叫做圆内接正多边形.
问题2 怎样由圆得到正多边形呢？
合作探究
把一个圆 n 等分(n ≥ 3)，依次连接各分点，所得的多边形是这个圆的内接正多边形.
能否类比圆学习一下圆内正多边形.
问题1 如何作圆内接正三角形 正四边形 正五边形
正六边形
类比学习
圆内接正多边形
外接圆的圆心
正多边形的中心
外接圆的半径
正多边形的半径
每一条边所
对的圆心角
正多边形的中心角
圆心到弦的距离
正多边形的边心距
如图，五边形 ABCDE 是⊙O的内接正五边形，说一说你知道的哪些知识点？
E
A
B
C
D
O
圆心O叫做这个正五边形的中心.
OA是这个正五边形的半径.
∠AOB是这个正五边形的中心角.
M
OM是这个正五边形的边心距.
说一说
例1 如图，在圆内接正六边形 ABCDEF 中，半径 OC = 4，OG⊥BC，垂足为 G，求这个正六边形的中心角、边长和边心距.
解：连接 OD.
∴ CD = OC = 4 .
∴ △COD 为等边三角形.
∵ 六边形 ABCDEF 为正六边形，
C
D
O
E
F
A
G
B
典例精析
∴正六边形 ABCDEF 的中心角为 60°，
边长为 4，边心距为
在Rt△COG 中，OC = 4，
C
D
O
E
F
A
G
B
2. 作边心距，构造直角三角形.
1. 连半径，得中心角；
O
边心距 r
边长一半
半径 R
B
P
中心角一半
圆内接正多边形的辅助线:
总结
方法总结
已知 ⊙O 的半径为 r，求作 ⊙O 的内接正六边形.
分析：因为正六边形每条边所对的圆心角为 ，
所以正六边形的边长与圆的半径 .
因此，在半径为 r 的圆上依次截取等于 的弦，
即可将圆六等分.
60°
相等
r
. O
做一做
作法：(1) 作 ⊙O 的任意一条直径
FC；
(2) 分别以 F，C 为圆心，以
r 为半径作弧，与 ⊙O
交于点 E，A 和 D，B；
(3) 依次连接 AB、BC、CD、
DE、EF、FA，便得到正
六边形 ABCDEF 即为所求.
. O
F
C
A
B
D
E
做一做
你还能借助尺规作出圆内接正四边形吗？
C
D
A
B
1. (雅安)如图，已知 ⊙O 的周长等于 6π，则该圆内接正六边形 ABCDEF 的边心距 OG 为 ( )
C
链接中考
链接中考
2. (青岛)如图，正六边形ABCDEF 内接于 ⊙O ，点 M 在 上，则 ∠CME 的度数为 ( )
A.30° B.36°
C.45° D.60°
D
1.下列说法正确的是（ ）
A. 各边都相等的多边形是正多边形
B. 一个圆有且只有一个内接正多边形
C. 圆内接正四边形的边长等于半径
D. 圆内接正n边形的中心角度数为
D
2. 已知正六边形 ABCDEF 内接于⊙O ，正六边形的周长是 24 ，则⊙O 的半径长是 ( )
O
30°
24÷6÷2 = 2
R
B
P
B
3. 如图，已知点 O 是正六边形 ABCDEF 的对称中心，G，H 分别是 AF，BC 上的点，且 AG = BH．
(1) 求∠FAB 的度数；
(2) 求证：OG = OH．
(1) 解：∵ 六边形 ABCDEF 是正六边形，
O
∴∠FAB = .
(2) 证明：连接 OA、OB.
∵ OA = OB，
∴∠OAB =∠OBA.
∵∠FAB =∠CBA，
∴∠OAG =∠OBH.
∴△AOG≌△BOH (SAS).
∴ OG = OH．
又∵ AG = BH，
O
拓广探索：如图，M，N 分别是☉O 内接正多边形的边AB，BC 上的点，且 BM = CN.
(1) 图①中∠MON = °，图②中∠MON = °，
图③中∠MON = °；
(2) 试探究∠MON 的度数与正 n 边形的边数 n 的关系.
90
72
120
.
A
B
C
M
N
O
图①
A
B
C
D
M
N
O
图②
A
B
C
D
E
M
N
O
图③
返回
B
1.
正十边形的中心角的度数为( )
A．30°
B．36°
C．45°
D．60°
返回
2.
C
正多边形的中心角为45°，则该正多边形的边数是( )
A．4
B．6
C．8
D．12
返回
3.
A
如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O.若AB＝4，则⊙O的直径为( )
A．8
B．10
C．12
D．14
返回
4.
B
返回
5.
B
[教材P97“例”变式]如图，正方形ABCD内接于⊙O，若⊙O的周长为4π，则正方形ABCD的边心距为( )
返回
6.
D
如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，连接OC，OD，则∠BAE－∠COD＝( )
A．60°
B．54°
C．48°
D．36°
返回
7.
8
如图，A，B，C，D为一个正多边形的顶点，点O为正多边形的中心，若∠ADB＝22.5°，则这个正多边形的边数为________.
返回
8.
如图，某螺帽的横截面为正六边形，边长a＝12 mm，要拧开此螺帽，扳手张开的开口b至少要________mm.
9.
如图，AD为⊙O的直径，作⊙O的内接正三角形ABC．甲、乙两人的作法分别是：
甲：①作OD的垂直平分线，交⊙O于点B，C；②连接AB，AC，△ABC即为所求作的三角形.
乙：①以点D为圆心，OD的长为半径作圆弧，交⊙O于点B，C；②连接AB，BC，CA，△ABC即为所求作的三角形.
A
对于甲、乙两人的作法，下列判断正确的是( )
A．甲、乙均正确
B．甲、乙均错误
C．甲正确，乙错误
D．甲错误，乙正确
返回
返回
10.
解：如图，正八边形ABCDEFGH即为所求．
(4分)如图，已知⊙O和⊙O上的一点A，作⊙O的内接正八边形ABCDEFGH.(不写作法，保留作图痕迹)
返回
11.
A
[教材P99“习题3.10”第4题变式]半径为R的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距分别为a，b，c，则a，b，c的大小关系是( )
A．a＜b＜c
B．b＜a＜c
C．a＜c＜b
D．c＜b＜a
返回
12.
C
我国魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”：通过圆内接正多边形割圆，边数越多割得越细，正多边形的周长就越接近圆的周长．如图①，由圆内接正六边形可算出π≈3.若利用图②的圆内接正十二边形来计算圆周率，则圆周率π约为( )
A．12sin 30° B．12cos 30°
C．12sin 15° D．12cos 15°
返回
13.
圆内接正多边形
正多边形和圆的关系
正多边形的
有关概念
正多边形的
有关计算
添加辅助线的方法：
连半径，作边心距
中心
半径
边心距
中心角
正 n 边形各顶点等分其外接圆
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！